Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  brsegle2 Structured version   Unicode version

Theorem brsegle2 29990
Description: Alternate characterization of segment comparison. Theorem 5.5 of [Schwabhauser] p. 41-42. (Contributed by Scott Fenton, 11-Oct-2013.)
Assertion
Ref Expression
brsegle2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( <. A ,  B >.  Seg<_  <. C ,  D >.  <->  E. x  e.  ( EE `  N ) ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. ) ) )
Distinct variable groups:    x, N    x, A    x, B    x, C    x, D

Proof of Theorem brsegle2
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brsegle 29989 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( <. A ,  B >.  Seg<_  <. C ,  D >.  <->  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) ) )
2 simprl 754 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) )  ->  y  Btwn  <. C ,  D >. )
3 simpl1 997 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  ->  N  e.  NN )
4 simpl3l 1049 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  ->  C  e.  ( EE `  N ) )
5 simpl3r 1050 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  ->  D  e.  ( EE `  N ) )
6 simpr 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  -> 
y  e.  ( EE
`  N ) )
7 btwncolinear2 29951 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( EE `  N
) ) )  -> 
( y  Btwn  <. C ,  D >.  ->  C  Colinear  <. y ,  D >. ) )
83, 4, 5, 6, 7syl13anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  -> 
( y  Btwn  <. C ,  D >.  ->  C  Colinear  <. y ,  D >. ) )
98adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) )  ->  (
y  Btwn  <. C ,  D >.  ->  C  Colinear  <. y ,  D >. ) )
102, 9mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) )  ->  C  Colinear  <.
y ,  D >. )
11 simpl2l 1047 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  ->  A  e.  ( EE `  N ) )
12 simpl2r 1048 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  ->  B  e.  ( EE `  N ) )
13 simprr 755 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) )  ->  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. )
143, 11, 12, 4, 6, 13cgrcomand 29872 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) )  ->  <. C , 
y >.Cgr <. A ,  B >. )
15 simpl2 998 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  -> 
( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) ) )
16 lineext 29957 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) ) )  -> 
( ( C  Colinear  <. y ,  D >.  /\  <. C ,  y >.Cgr <. A ,  B >. )  ->  E. x  e.  ( EE `  N
) <. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. A ,  <. B ,  x >. >.
) )
173, 4, 6, 5, 15, 16syl131anc 1239 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  -> 
( ( C  Colinear  <. y ,  D >.  /\  <. C ,  y >.Cgr <. A ,  B >. )  ->  E. x  e.  ( EE `  N
) <. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. A ,  <. B ,  x >. >.
) )
1817adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) )  ->  (
( C  Colinear  <. y ,  D >.  /\  <. C , 
y >.Cgr <. A ,  B >. )  ->  E. x  e.  ( EE `  N
) <. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. A ,  <. B ,  x >. >.
) )
1910, 14, 18mp2and 677 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) )  ->  E. x  e.  ( EE `  N
) <. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. A ,  <. B ,  x >. >.
)
20 an32 796 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  <->  ( (
( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) ) )
21 simpll1 1033 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  ->  N  e.  NN )
22 simpl3l 1049 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  ->  C  e.  ( EE `  N ) )
2322adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  ->  C  e.  ( EE `  N ) )
24 simpr 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  -> 
y  e.  ( EE
`  N ) )
25 simpl3r 1050 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  ->  D  e.  ( EE `  N ) )
2625adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  ->  D  e.  ( EE `  N ) )
27 simpl2l 1047 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  ->  A  e.  ( EE `  N ) )
2827adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  ->  A  e.  ( EE `  N ) )
29 simpl2r 1048 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  ->  B  e.  ( EE `  N ) )
3029adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  ->  B  e.  ( EE `  N ) )
31 simplr 753 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  ->  x  e.  ( EE `  N ) )
32 brcgr3 29927 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  x  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( <. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. A ,  <. B ,  x >. >.  <->  ( <. C ,  y >.Cgr <. A ,  B >.  /\  <. C ,  D >.Cgr <. A ,  x >.  /\  <. y ,  D >.Cgr
<. B ,  x >. ) ) )
3321, 23, 24, 26, 28, 30, 31, 32syl133anc 1249 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  -> 
( <. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. A ,  <. B ,  x >. >.  <->  (
<. C ,  y >.Cgr <. A ,  B >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. A ,  x >.  /\ 
<. y ,  D >.Cgr <. B ,  x >. ) ) )
3433adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) )  ->  ( <. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. A ,  <. B ,  x >. >.  <->  ( <. C ,  y >.Cgr <. A ,  B >.  /\  <. C ,  D >.Cgr <. A ,  x >.  /\  <. y ,  D >.Cgr
<. B ,  x >. ) ) )
35 simp2l 1020 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. )  /\  ( <. C ,  y >.Cgr <. A ,  B >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. A ,  x >.  /\ 
<. y ,  D >.Cgr <. B ,  x >. ) )  ->  y  Btwn  <. C ,  D >. )
36 simp3 996 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. )  /\  ( <. C ,  y >.Cgr <. A ,  B >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. A ,  x >.  /\ 
<. y ,  D >.Cgr <. B ,  x >. ) )  ->  ( <. C ,  y >.Cgr <. A ,  B >.  /\  <. C ,  D >.Cgr <. A ,  x >.  /\  <. y ,  D >.Cgr
<. B ,  x >. ) )
37333ad2ant1 1015 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. )  /\  ( <. C ,  y >.Cgr <. A ,  B >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. A ,  x >.  /\ 
<. y ,  D >.Cgr <. B ,  x >. ) )  ->  ( <. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. A ,  <. B ,  x >. >.  <->  ( <. C ,  y >.Cgr <. A ,  B >.  /\  <. C ,  D >.Cgr <. A ,  x >.  /\  <. y ,  D >.Cgr
<. B ,  x >. ) ) )
3836, 37mpbird 232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. )  /\  ( <. C ,  y >.Cgr <. A ,  B >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. A ,  x >.  /\ 
<. y ,  D >.Cgr <. B ,  x >. ) )  ->  <. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. A ,  <. B ,  x >. >. )
39 btwnxfr 29937 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
)  /\  x  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  (
( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. A ,  <. B ,  x >. >. )  ->  B  Btwn  <. A ,  x >. ) )
4021, 23, 24, 26, 28, 30, 31, 39syl133anc 1249 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  -> 
( ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. A ,  <. B ,  x >. >. )  ->  B  Btwn  <. A ,  x >. ) )
41403ad2ant1 1015 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. )  /\  ( <. C ,  y >.Cgr <. A ,  B >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. A ,  x >.  /\ 
<. y ,  D >.Cgr <. B ,  x >. ) )  ->  ( (
y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. A ,  <. B ,  x >. >. )  ->  B  Btwn  <. A ,  x >. ) )
4235, 38, 41mp2and 677 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. )  /\  ( <. C ,  y >.Cgr <. A ,  B >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. A ,  x >.  /\ 
<. y ,  D >.Cgr <. B ,  x >. ) )  ->  B  Btwn  <. A ,  x >. )
43 simp32 1031 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. )  /\  ( <. C ,  y >.Cgr <. A ,  B >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. A ,  x >.  /\ 
<. y ,  D >.Cgr <. B ,  x >. ) )  ->  <. C ,  D >.Cgr <. A ,  x >. )
44 cgrcom 29871 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  x  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( <. C ,  D >.Cgr <. A ,  x >.  <->  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. ) )
4521, 23, 26, 28, 31, 44syl122anc 1235 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  -> 
( <. C ,  D >.Cgr
<. A ,  x >.  <->  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. ) )
46453ad2ant1 1015 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. )  /\  ( <. C ,  y >.Cgr <. A ,  B >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. A ,  x >.  /\ 
<. y ,  D >.Cgr <. B ,  x >. ) )  ->  ( <. C ,  D >.Cgr <. A ,  x >. 
<-> 
<. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. ) )
4743, 46mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. )  /\  ( <. C ,  y >.Cgr <. A ,  B >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. A ,  x >.  /\ 
<. y ,  D >.Cgr <. B ,  x >. ) )  ->  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. )
4842, 47jca 530 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. )  /\  ( <. C ,  y >.Cgr <. A ,  B >.  /\ 
<. C ,  D >.Cgr <. A ,  x >.  /\ 
<. y ,  D >.Cgr <. B ,  x >. ) )  ->  ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr
<. C ,  D >. ) )
49483expia 1196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) )  ->  (
( <. C ,  y
>.Cgr <. A ,  B >.  /\  <. C ,  D >.Cgr
<. A ,  x >.  /\ 
<. y ,  D >.Cgr <. B ,  x >. )  ->  ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\ 
<. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. ) ) )
5034, 49sylbid 215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) )  ->  ( <. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. A ,  <. B ,  x >. >.  ->  ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr
<. C ,  D >. ) ) )
5120, 50sylanb 470 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) )  ->  ( <. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. A ,  <. B ,  x >. >.  ->  ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr
<. C ,  D >. ) ) )
5251an32s 802 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) )  /\  x  e.  ( EE `  N
) )  ->  ( <. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. A ,  <. B ,  x >. >.  ->  ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr
<. C ,  D >. ) ) )
5352reximdva 2929 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) )  ->  ( E. x  e.  ( EE `  N ) <. C ,  <. y ,  D >. >.Cgr3 <. A ,  <. B ,  x >. >.  ->  E. x  e.  ( EE `  N
) ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\ 
<. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. ) ) )
5419, 53mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) )  ->  E. x  e.  ( EE `  N
) ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\ 
<. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. ) )
5554ex 432 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  -> 
( ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. )  ->  E. x  e.  ( EE `  N ) ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. ) ) )
5655rexlimdva 2946 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( E. y  e.  ( EE `  N
) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. )  ->  E. x  e.  ( EE `  N ) ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. ) ) )
57 simprl 754 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. ) )  ->  B  Btwn  <. A ,  x >. )
58 simpll1 1033 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. ) )  ->  N  e.  NN )
5927adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. ) )  ->  A  e.  ( EE `  N
) )
60 simplr 753 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. ) )  ->  x  e.  ( EE `  N
) )
6129adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. ) )  ->  B  e.  ( EE `  N
) )
62 btwncolinear1 29950 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  x  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) ) )  -> 
( B  Btwn  <. A ,  x >.  ->  A  Colinear  <. x ,  B >. ) )
6358, 59, 60, 61, 62syl13anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. ) )  ->  ( B  Btwn  <. A ,  x >.  ->  A  Colinear  <. x ,  B >. ) )
6457, 63mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. ) )  ->  A  Colinear  <.
x ,  B >. )
65 simprr 755 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. ) )  ->  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. )
66 simpl1 997 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  ->  N  e.  NN )
67 simpr 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  ->  x  e.  ( EE `  N ) )
68 simpl3 999 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  -> 
( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )
69 lineext 29957 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  x  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  -> 
( ( A  Colinear  <. x ,  B >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. )  ->  E. y  e.  ( EE `  N
) <. A ,  <. x ,  B >. >.Cgr3 <. C ,  <. D ,  y >. >. ) )
7066, 27, 67, 29, 68, 69syl131anc 1239 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  -> 
( ( A  Colinear  <. x ,  B >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. )  ->  E. y  e.  ( EE `  N
) <. A ,  <. x ,  B >. >.Cgr3 <. C ,  <. D ,  y >. >. ) )
7170adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. ) )  ->  (
( A  Colinear  <. x ,  B >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. )  ->  E. y  e.  ( EE `  N
) <. A ,  <. x ,  B >. >.Cgr3 <. C ,  <. D ,  y >. >. ) )
7264, 65, 71mp2and 677 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. ) )  ->  E. y  e.  ( EE `  N
) <. A ,  <. x ,  B >. >.Cgr3 <. C ,  <. D ,  y >. >. )
7327, 67, 293jca 1174 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  -> 
( A  e.  ( EE `  N )  /\  x  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) ) )
7473adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  -> 
( A  e.  ( EE `  N )  /\  x  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) ) )
75 brcgr3 29927 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  x  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  y  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( <. A ,  <. x ,  B >. >.Cgr3 <. C ,  <. D ,  y >. >.  <->  ( <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>.  /\  <. x ,  B >.Cgr
<. D ,  y >.
) ) )
7621, 74, 23, 26, 24, 75syl113anc 1238 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  -> 
( <. A ,  <. x ,  B >. >.Cgr3 <. C ,  <. D ,  y >. >.  <-> 
( <. A ,  x >.Cgr
<. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >.  /\ 
<. x ,  B >.Cgr <. D ,  y >. ) ) )
7776adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. ) )  ->  ( <. A ,  <. x ,  B >. >.Cgr3 <. C ,  <. D ,  y >. >.  <->  ( <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>.  /\  <. x ,  B >.Cgr
<. D ,  y >.
) ) )
78 simp2l 1020 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. )  /\  ( <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >.  /\ 
<. x ,  B >.Cgr <. D ,  y >. ) )  ->  B  Btwn  <. A ,  x >. )
79 simp32 1031 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. )  /\  ( <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >.  /\ 
<. x ,  B >.Cgr <. D ,  y >. ) )  ->  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. )
80 simp2r 1021 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. )  /\  ( <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >.  /\ 
<. x ,  B >.Cgr <. D ,  y >. ) )  ->  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. )
81 simp33 1032 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. )  /\  ( <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >.  /\ 
<. x ,  B >.Cgr <. D ,  y >. ) )  ->  <. x ,  B >.Cgr <. D ,  y
>. )
82 cgrcomlr 29879 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( D  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( <. x ,  B >.Cgr <. D ,  y
>. 
<-> 
<. B ,  x >.Cgr <.
y ,  D >. ) )
8321, 31, 30, 26, 24, 82syl122anc 1235 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  -> 
( <. x ,  B >.Cgr
<. D ,  y >.  <->  <. B ,  x >.Cgr <.
y ,  D >. ) )
84833ad2ant1 1015 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. )  /\  ( <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >.  /\ 
<. x ,  B >.Cgr <. D ,  y >. ) )  ->  ( <. x ,  B >.Cgr <. D , 
y >. 
<-> 
<. B ,  x >.Cgr <.
y ,  D >. ) )
8581, 84mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. )  /\  ( <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >.  /\ 
<. x ,  B >.Cgr <. D ,  y >. ) )  ->  <. B ,  x >.Cgr <. y ,  D >. )
8679, 80, 853jca 1174 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. )  /\  ( <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >.  /\ 
<. x ,  B >.Cgr <. D ,  y >. ) )  ->  ( <. A ,  B >.Cgr <. C , 
y >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >.  /\  <. B ,  x >.Cgr
<. y ,  D >. ) )
87 brcgr3 29927 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  x  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( <. A ,  <. B ,  x >. >.Cgr3 <. C ,  <. y ,  D >. >.  <->  ( <. A ,  B >.Cgr <. C , 
y >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >.  /\  <. B ,  x >.Cgr
<. y ,  D >. ) ) )
8821, 28, 30, 31, 23, 24, 26, 87syl133anc 1249 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  -> 
( <. A ,  <. B ,  x >. >.Cgr3 <. C ,  <. y ,  D >. >.  <->  (
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >.  /\ 
<. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >.  /\ 
<. B ,  x >.Cgr <.
y ,  D >. ) ) )
89883ad2ant1 1015 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. )  /\  ( <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >.  /\ 
<. x ,  B >.Cgr <. D ,  y >. ) )  ->  ( <. A ,  <. B ,  x >. >.Cgr3 <. C ,  <. y ,  D >. >.  <->  ( <. A ,  B >.Cgr <. C , 
y >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >.  /\  <. B ,  x >.Cgr
<. y ,  D >. ) ) )
9086, 89mpbird 232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. )  /\  ( <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >.  /\ 
<. x ,  B >.Cgr <. D ,  y >. ) )  ->  <. A ,  <. B ,  x >. >.Cgr3 <. C ,  <. y ,  D >. >. )
91 btwnxfr 29937 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  x  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  y  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  (
( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  <. B ,  x >. >.Cgr3 <. C ,  <. y ,  D >. >. )  ->  y  Btwn  <. C ,  D >. ) )
9221, 28, 30, 31, 23, 24, 26, 91syl133anc 1249 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  -> 
( ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\ 
<. A ,  <. B ,  x >. >.Cgr3 <. C ,  <. y ,  D >. >. )  ->  y  Btwn  <. C ,  D >. ) )
93923ad2ant1 1015 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. )  /\  ( <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >.  /\ 
<. x ,  B >.Cgr <. D ,  y >. ) )  ->  ( ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  <. B ,  x >. >.Cgr3 <. C ,  <. y ,  D >. >.
)  ->  y  Btwn  <. C ,  D >. ) )
9478, 90, 93mp2and 677 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. )  /\  ( <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >.  /\ 
<. x ,  B >.Cgr <. D ,  y >. ) )  ->  y  Btwn  <. C ,  D >. )
9594, 79jca 530 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. )  /\  ( <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >.  /\ 
<. x ,  B >.Cgr <. D ,  y >. ) )  ->  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr
<. C ,  y >.
) )
96953expia 1196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. ) )  ->  (
( <. A ,  x >.Cgr
<. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >.  /\ 
<. x ,  B >.Cgr <. D ,  y >. )  ->  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) ) )
9777, 96sylbid 215 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  y  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. ) )  ->  ( <. A ,  <. x ,  B >. >.Cgr3 <. C ,  <. D ,  y >. >.  ->  (
y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) ) )
9897an32s 802 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. ) )  /\  y  e.  ( EE `  N
) )  ->  ( <. A ,  <. x ,  B >. >.Cgr3 <. C ,  <. D ,  y >. >.  ->  (
y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) ) )
9998reximdva 2929 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. ) )  ->  ( E. y  e.  ( EE `  N ) <. A ,  <. x ,  B >. >.Cgr3 <. C ,  <. D ,  y >. >.  ->  E. y  e.  ( EE `  N
) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) ) )
10072, 99mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. ) )  ->  E. y  e.  ( EE `  N
) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) )
101100ex 432 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  -> 
( ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\ 
<. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. )  ->  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) ) )
102101rexlimdva 2946 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( E. x  e.  ( EE `  N
) ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\ 
<. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. )  ->  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) ) )
10356, 102impbid 191 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( E. y  e.  ( EE `  N
) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. )  <->  E. x  e.  ( EE `  N ) ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. ) ) )
1041, 103bitrd 253 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( <. A ,  B >.  Seg<_  <. C ,  D >.  <->  E. x  e.  ( EE `  N ) ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. A ,  x >.Cgr <. C ,  D >. ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    e. wcel 1823   E.wrex 2805   <.cop 4022   class class class wbr 4439   ` cfv 5570   NNcn 10531   EEcee 24396    Btwn cbtwn 24397  Cgrccgr 24398  Cgr3ccgr3 29917    Colinear ccolin 29918    Seg<_ csegle 29987
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-rp 11222  df-ico 11538  df-icc 11539  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-seq 12093  df-exp 12152  df-hash 12391  df-cj 13017  df-re 13018  df-im 13019  df-sqrt 13153  df-abs 13154  df-clim 13396  df-sum 13594  df-ee 24399  df-btwn 24400  df-cgr 24401  df-ofs 29864  df-colinear 29920  df-ifs 29921  df-cgr3 29922  df-segle 29988
This theorem is referenced by:  segleantisym  29996  seglelin  29997  outsidele  30013
  Copyright terms: Public domain W3C validator