Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  brsegle Structured version   Unicode version

Theorem brsegle 29733
Description: Binary relationship form of the segment comparison relationship. (Contributed by Scott Fenton, 11-Oct-2013.)
Assertion
Ref Expression
brsegle  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( <. A ,  B >.  Seg<_  <. C ,  D >.  <->  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) ) )
Distinct variable groups:    y, A    y, B    y, C    y, D    y, N

Proof of Theorem brsegle
Dummy variables  a 
b  c  d  n  p  q are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opex 4701 . . 3  |-  <. A ,  B >.  e.  _V
2 opex 4701 . . 3  |-  <. C ,  D >.  e.  _V
3 eqeq1 2447 . . . . . . . 8  |-  ( p  =  <. A ,  B >.  ->  ( p  = 
<. a ,  b >.  <->  <. A ,  B >.  = 
<. a ,  b >.
) )
4 eqcom 2452 . . . . . . . 8  |-  ( <. A ,  B >.  = 
<. a ,  b >.  <->  <.
a ,  b >.  =  <. A ,  B >. )
53, 4syl6bb 261 . . . . . . 7  |-  ( p  =  <. A ,  B >.  ->  ( p  = 
<. a ,  b >.  <->  <.
a ,  b >.  =  <. A ,  B >. ) )
653anbi1d 1304 . . . . . 6  |-  ( p  =  <. A ,  B >.  ->  ( ( p  =  <. a ,  b
>.  /\  q  =  <. c ,  d >.  /\  E. y  e.  ( EE `  n ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) )  <->  ( <. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  q  =  <. c ,  d
>.  /\  E. y  e.  ( EE `  n
) ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) ) ) )
76rexbidv 2954 . . . . 5  |-  ( p  =  <. A ,  B >.  ->  ( E. d  e.  ( EE `  n
) ( p  = 
<. a ,  b >.  /\  q  =  <. c ,  d >.  /\  E. y  e.  ( EE `  n ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) )  <->  E. d  e.  ( EE `  n
) ( <. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  q  =  <. c ,  d
>.  /\  E. y  e.  ( EE `  n
) ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) ) ) )
872rexbidv 2961 . . . 4  |-  ( p  =  <. A ,  B >.  ->  ( E. b  e.  ( EE `  n
) E. c  e.  ( EE `  n
) E. d  e.  ( EE `  n
) ( p  = 
<. a ,  b >.  /\  q  =  <. c ,  d >.  /\  E. y  e.  ( EE `  n ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) )  <->  E. b  e.  ( EE `  n
) E. c  e.  ( EE `  n
) E. d  e.  ( EE `  n
) ( <. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  q  =  <. c ,  d
>.  /\  E. y  e.  ( EE `  n
) ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) ) ) )
982rexbidv 2961 . . 3  |-  ( p  =  <. A ,  B >.  ->  ( E. n  e.  NN  E. a  e.  ( EE `  n
) E. b  e.  ( EE `  n
) E. c  e.  ( EE `  n
) E. d  e.  ( EE `  n
) ( p  = 
<. a ,  b >.  /\  q  =  <. c ,  d >.  /\  E. y  e.  ( EE `  n ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) )  <->  E. n  e.  NN  E. a  e.  ( EE `  n
) E. b  e.  ( EE `  n
) E. c  e.  ( EE `  n
) E. d  e.  ( EE `  n
) ( <. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  q  =  <. c ,  d
>.  /\  E. y  e.  ( EE `  n
) ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) ) ) )
10 eqeq1 2447 . . . . . . . 8  |-  ( q  =  <. C ,  D >.  ->  ( q  = 
<. c ,  d >.  <->  <. C ,  D >.  = 
<. c ,  d >.
) )
11 eqcom 2452 . . . . . . . 8  |-  ( <. C ,  D >.  = 
<. c ,  d >.  <->  <.
c ,  d >.  =  <. C ,  D >. )
1210, 11syl6bb 261 . . . . . . 7  |-  ( q  =  <. C ,  D >.  ->  ( q  = 
<. c ,  d >.  <->  <.
c ,  d >.  =  <. C ,  D >. ) )
13123anbi2d 1305 . . . . . 6  |-  ( q  =  <. C ,  D >.  ->  ( ( <.
a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  q  =  <. c ,  d >.  /\  E. y  e.  ( EE `  n ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) )  <->  ( <. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d >.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  n ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) ) ) )
1413rexbidv 2954 . . . . 5  |-  ( q  =  <. C ,  D >.  ->  ( E. d  e.  ( EE `  n
) ( <. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  q  =  <. c ,  d
>.  /\  E. y  e.  ( EE `  n
) ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) )  <->  E. d  e.  ( EE `  n
) ( <. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d >.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  n ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) ) ) )
15142rexbidv 2961 . . . 4  |-  ( q  =  <. C ,  D >.  ->  ( E. b  e.  ( EE `  n
) E. c  e.  ( EE `  n
) E. d  e.  ( EE `  n
) ( <. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  q  =  <. c ,  d
>.  /\  E. y  e.  ( EE `  n
) ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) )  <->  E. b  e.  ( EE `  n
) E. c  e.  ( EE `  n
) E. d  e.  ( EE `  n
) ( <. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d >.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  n ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) ) ) )
16152rexbidv 2961 . . 3  |-  ( q  =  <. C ,  D >.  ->  ( E. n  e.  NN  E. a  e.  ( EE `  n
) E. b  e.  ( EE `  n
) E. c  e.  ( EE `  n
) E. d  e.  ( EE `  n
) ( <. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  q  =  <. c ,  d
>.  /\  E. y  e.  ( EE `  n
) ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) )  <->  E. n  e.  NN  E. a  e.  ( EE `  n
) E. b  e.  ( EE `  n
) E. c  e.  ( EE `  n
) E. d  e.  ( EE `  n
) ( <. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d >.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  n ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) ) ) )
17 df-segle 29732 . . 3  |-  Seg<_  =  { <. p ,  q >.  |  E. n  e.  NN  E. a  e.  ( EE
`  n ) E. b  e.  ( EE
`  n ) E. c  e.  ( EE
`  n ) E. d  e.  ( EE
`  n ) ( p  =  <. a ,  b >.  /\  q  =  <. c ,  d
>.  /\  E. y  e.  ( EE `  n
) ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) ) }
181, 2, 9, 16, 17brab 4760 . 2  |-  ( <. A ,  B >.  Seg<_  <. C ,  D >.  <->  E. n  e.  NN  E. a  e.  ( EE `  n
) E. b  e.  ( EE `  n
) E. c  e.  ( EE `  n
) E. d  e.  ( EE `  n
) ( <. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d >.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  n ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) ) )
19 vex 3098 . . . . . . . . 9  |-  a  e. 
_V
20 vex 3098 . . . . . . . . 9  |-  b  e. 
_V
2119, 20opth 4711 . . . . . . . 8  |-  ( <.
a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  <-> 
( a  =  A  /\  b  =  B ) )
22 vex 3098 . . . . . . . . 9  |-  c  e. 
_V
23 vex 3098 . . . . . . . . 9  |-  d  e. 
_V
2422, 23opth 4711 . . . . . . . 8  |-  ( <.
c ,  d >.  =  <. C ,  D >.  <-> 
( c  =  C  /\  d  =  D ) )
25 biid 236 . . . . . . . 8  |-  ( E. y  e.  ( EE
`  n ) ( y  Btwn  <. c ,  d >.  /\  <. a ,  b >.Cgr <. c ,  y >. )  <->  E. y  e.  ( EE
`  n ) ( y  Btwn  <. c ,  d >.  /\  <. a ,  b >.Cgr <. c ,  y >. )
)
2621, 24, 253anbi123i 1186 . . . . . . 7  |-  ( (
<. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d
>.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  n
) ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) )  <->  ( (
a  =  A  /\  b  =  B )  /\  ( c  =  C  /\  d  =  D )  /\  E. y  e.  ( EE `  n
) ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) ) )
27262rexbii 2946 . . . . . 6  |-  ( E. c  e.  ( EE
`  n ) E. d  e.  ( EE
`  n ) (
<. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d
>.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  n
) ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) )  <->  E. c  e.  ( EE `  n
) E. d  e.  ( EE `  n
) ( ( a  =  A  /\  b  =  B )  /\  (
c  =  C  /\  d  =  D )  /\  E. y  e.  ( EE `  n ) ( y  Btwn  <. c ,  d >.  /\  <. a ,  b >.Cgr <. c ,  y >. )
) )
28272rexbii 2946 . . . . 5  |-  ( E. a  e.  ( EE
`  n ) E. b  e.  ( EE
`  n ) E. c  e.  ( EE
`  n ) E. d  e.  ( EE
`  n ) (
<. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d
>.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  n
) ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) )  <->  E. a  e.  ( EE `  n
) E. b  e.  ( EE `  n
) E. c  e.  ( EE `  n
) E. d  e.  ( EE `  n
) ( ( a  =  A  /\  b  =  B )  /\  (
c  =  C  /\  d  =  D )  /\  E. y  e.  ( EE `  n ) ( y  Btwn  <. c ,  d >.  /\  <. a ,  b >.Cgr <. c ,  y >. )
) )
2928rexbii 2945 . . . 4  |-  ( E. n  e.  NN  E. a  e.  ( EE `  n ) E. b  e.  ( EE `  n
) E. c  e.  ( EE `  n
) E. d  e.  ( EE `  n
) ( <. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d >.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  n ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) )  <->  E. n  e.  NN  E. a  e.  ( EE `  n
) E. b  e.  ( EE `  n
) E. c  e.  ( EE `  n
) E. d  e.  ( EE `  n
) ( ( a  =  A  /\  b  =  B )  /\  (
c  =  C  /\  d  =  D )  /\  E. y  e.  ( EE `  n ) ( y  Btwn  <. c ,  d >.  /\  <. a ,  b >.Cgr <. c ,  y >. )
) )
30 simpl2l 1050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  n  e.  NN )  ->  A  e.  ( EE
`  N ) )
3130ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( a  =  A  /\  ( b  =  B  /\  ( c  =  C  /\  d  =  D ) ) )  /\  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  ( ( A  e.  ( EE `  n )  /\  B  e.  ( EE `  n
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  n )  /\  D  e.  ( EE `  n
) ) ) ) )  ->  A  e.  ( EE `  N ) )
32 eleenn 24071 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  ( EE `  N )  ->  N  e.  NN )
3331, 32syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( a  =  A  /\  ( b  =  B  /\  ( c  =  C  /\  d  =  D ) ) )  /\  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  ( ( A  e.  ( EE `  n )  /\  B  e.  ( EE `  n
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  n )  /\  D  e.  ( EE `  n
) ) ) ) )  ->  N  e.  NN )
34 simprlr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( a  =  A  /\  ( b  =  B  /\  ( c  =  C  /\  d  =  D ) ) )  /\  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  ( ( A  e.  ( EE `  n )  /\  B  e.  ( EE `  n
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  n )  /\  D  e.  ( EE `  n
) ) ) ) )  ->  n  e.  NN )
35 simprll 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  ( ( A  e.  ( EE `  n
)  /\  B  e.  ( EE `  n ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  n )  /\  D  e.  ( EE `  n
) ) ) )  ->  A  e.  ( EE `  n ) )
3635adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( a  =  A  /\  ( b  =  B  /\  ( c  =  C  /\  d  =  D ) ) )  /\  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  ( ( A  e.  ( EE `  n )  /\  B  e.  ( EE `  n
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  n )  /\  D  e.  ( EE `  n
) ) ) ) )  ->  A  e.  ( EE `  n ) )
37 axdimuniq 24088 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE
`  N ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  n
) ) )  ->  N  =  n )
3833, 31, 34, 36, 37syl22anc 1230 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( a  =  A  /\  ( b  =  B  /\  ( c  =  C  /\  d  =  D ) ) )  /\  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  ( ( A  e.  ( EE `  n )  /\  B  e.  ( EE `  n
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  n )  /\  D  e.  ( EE `  n
) ) ) ) )  ->  N  =  n )
3938fveq2d 5860 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( a  =  A  /\  ( b  =  B  /\  ( c  =  C  /\  d  =  D ) ) )  /\  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  ( ( A  e.  ( EE `  n )  /\  B  e.  ( EE `  n
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  n )  /\  D  e.  ( EE `  n
) ) ) ) )  ->  ( EE `  N )  =  ( EE `  n ) )
4039rexeqdv 3047 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( a  =  A  /\  ( b  =  B  /\  ( c  =  C  /\  d  =  D ) ) )  /\  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  ( ( A  e.  ( EE `  n )  /\  B  e.  ( EE `  n
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  n )  /\  D  e.  ( EE `  n
) ) ) ) )  ->  ( E. y  e.  ( EE `  N ) ( y 
Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr
<. C ,  y >.
)  <->  E. y  e.  ( EE `  n ) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) ) )
4140exbiri 622 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  =  A  /\  ( b  =  B  /\  ( c  =  C  /\  d  =  D ) ) )  ->  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  ( ( A  e.  ( EE `  n
)  /\  B  e.  ( EE `  n ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  n )  /\  D  e.  ( EE `  n
) ) ) )  ->  ( E. y  e.  ( EE `  n
) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. )  ->  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) ) ) )
4241anassrs 648 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( a  =  A  /\  b  =  B )  /\  ( c  =  C  /\  d  =  D ) )  -> 
( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  ( ( A  e.  ( EE `  n )  /\  B  e.  ( EE `  n
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  n )  /\  D  e.  ( EE `  n
) ) ) )  ->  ( E. y  e.  ( EE `  n
) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. )  ->  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) ) ) )
43 eleq1 2515 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  A  ->  (
a  e.  ( EE
`  n )  <->  A  e.  ( EE `  n ) ) )
44 eleq1 2515 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  =  B  ->  (
b  e.  ( EE
`  n )  <->  B  e.  ( EE `  n ) ) )
4543, 44bi2anan9 873 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  =  A  /\  b  =  B )  ->  ( ( a  e.  ( EE `  n
)  /\  b  e.  ( EE `  n ) )  <->  ( A  e.  ( EE `  n
)  /\  B  e.  ( EE `  n ) ) ) )
46 eleq1 2515 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( c  =  C  ->  (
c  e.  ( EE
`  n )  <->  C  e.  ( EE `  n ) ) )
47 eleq1 2515 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( d  =  D  ->  (
d  e.  ( EE
`  n )  <->  D  e.  ( EE `  n ) ) )
4846, 47bi2anan9 873 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( c  =  C  /\  d  =  D )  ->  ( ( c  e.  ( EE `  n
)  /\  d  e.  ( EE `  n ) )  <->  ( C  e.  ( EE `  n
)  /\  D  e.  ( EE `  n ) ) ) )
4945, 48bi2anan9 873 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( a  =  A  /\  b  =  B )  /\  ( c  =  C  /\  d  =  D ) )  -> 
( ( ( a  e.  ( EE `  n )  /\  b  e.  ( EE `  n
) )  /\  (
c  e.  ( EE
`  n )  /\  d  e.  ( EE `  n ) ) )  <-> 
( ( A  e.  ( EE `  n
)  /\  B  e.  ( EE `  n ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  n )  /\  D  e.  ( EE `  n
) ) ) ) )
5049anbi2d 703 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( a  =  A  /\  b  =  B )  /\  ( c  =  C  /\  d  =  D ) )  -> 
( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  ( ( a  e.  ( EE `  n )  /\  b  e.  ( EE `  n
) )  /\  (
c  e.  ( EE
`  n )  /\  d  e.  ( EE `  n ) ) ) )  <->  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  ( ( A  e.  ( EE `  n )  /\  B  e.  ( EE `  n
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  n )  /\  D  e.  ( EE `  n
) ) ) ) ) )
51 opeq12 4204 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( a  =  A  /\  b  =  B )  -> 
<. a ,  b >.  =  <. A ,  B >. )
5251breq1d 4447 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( a  =  A  /\  b  =  B )  ->  ( <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. 
<-> 
<. A ,  B >.Cgr <.
c ,  y >.
) )
5352anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  =  A  /\  b  =  B )  ->  ( ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. )  <->  ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. A ,  B >.Cgr
<. c ,  y >.
) ) )
54 opeq12 4204 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( c  =  C  /\  d  =  D )  -> 
<. c ,  d >.  =  <. C ,  D >. )
5554breq2d 4449 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( c  =  C  /\  d  =  D )  ->  ( y  Btwn  <. c ,  d >.  <->  y  Btwn  <. C ,  D >. ) )
56 opeq1 4202 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( c  =  C  ->  <. c ,  y >.  =  <. C ,  y >. )
5756breq2d 4449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( c  =  C  ->  ( <. A ,  B >.Cgr <.
c ,  y >.  <->  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) )
5857adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( c  =  C  /\  d  =  D )  ->  ( <. A ,  B >.Cgr
<. c ,  y >.  <->  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) )
5955, 58anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( c  =  C  /\  d  =  D )  ->  ( ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. A ,  B >.Cgr
<. c ,  y >.
)  <->  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) ) )
6053, 59sylan9bb 699 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( a  =  A  /\  b  =  B )  /\  ( c  =  C  /\  d  =  D ) )  -> 
( ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. )  <->  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) ) )
6160rexbidv 2954 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( a  =  A  /\  b  =  B )  /\  ( c  =  C  /\  d  =  D ) )  -> 
( E. y  e.  ( EE `  n
) ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. )  <->  E. y  e.  ( EE `  n ) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) ) )
6261imbi1d 317 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( a  =  A  /\  b  =  B )  /\  ( c  =  C  /\  d  =  D ) )  -> 
( ( E. y  e.  ( EE `  n
) ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. )  ->  E. y  e.  ( EE `  N
) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) )  <->  ( E. y  e.  ( EE `  n
) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. )  ->  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) ) ) )
6342, 50, 623imtr4d 268 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( a  =  A  /\  b  =  B )  /\  ( c  =  C  /\  d  =  D ) )  -> 
( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  ( ( a  e.  ( EE `  n )  /\  b  e.  ( EE `  n
) )  /\  (
c  e.  ( EE
`  n )  /\  d  e.  ( EE `  n ) ) ) )  ->  ( E. y  e.  ( EE `  n ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. )  ->  E. y  e.  ( EE `  N
) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) ) ) )
6463com12 31 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  ( ( a  e.  ( EE `  n
)  /\  b  e.  ( EE `  n ) )  /\  ( c  e.  ( EE `  n )  /\  d  e.  ( EE `  n
) ) ) )  ->  ( ( ( a  =  A  /\  b  =  B )  /\  ( c  =  C  /\  d  =  D ) )  ->  ( E. y  e.  ( EE `  n ) ( y  Btwn  <. c ,  d >.  /\  <. a ,  b >.Cgr <. c ,  y >. )  ->  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) ) ) )
6564expd 436 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  ( ( a  e.  ( EE `  n
)  /\  b  e.  ( EE `  n ) )  /\  ( c  e.  ( EE `  n )  /\  d  e.  ( EE `  n
) ) ) )  ->  ( ( a  =  A  /\  b  =  B )  ->  (
( c  =  C  /\  d  =  D )  ->  ( E. y  e.  ( EE `  n ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. )  ->  E. y  e.  ( EE `  N
) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) ) ) ) )
66653impd 1211 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  ( ( a  e.  ( EE `  n
)  /\  b  e.  ( EE `  n ) )  /\  ( c  e.  ( EE `  n )  /\  d  e.  ( EE `  n
) ) ) )  ->  ( ( ( a  =  A  /\  b  =  B )  /\  ( c  =  C  /\  d  =  D )  /\  E. y  e.  ( EE `  n
) ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) )  ->  E. y  e.  ( EE `  N
) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) ) )
6766expr 615 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  ( a  e.  ( EE `  n )  /\  b  e.  ( EE `  n ) ) )  ->  (
( c  e.  ( EE `  n )  /\  d  e.  ( EE `  n ) )  ->  ( (
( a  =  A  /\  b  =  B )  /\  ( c  =  C  /\  d  =  D )  /\  E. y  e.  ( EE `  n ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) )  ->  E. y  e.  ( EE `  N
) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) ) ) )
6867rexlimdvv 2941 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  n  e.  NN )  /\  ( a  e.  ( EE `  n )  /\  b  e.  ( EE `  n ) ) )  ->  ( E. c  e.  ( EE `  n ) E. d  e.  ( EE
`  n ) ( ( a  =  A  /\  b  =  B )  /\  ( c  =  C  /\  d  =  D )  /\  E. y  e.  ( EE `  n ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) )  ->  E. y  e.  ( EE `  N
) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) ) )
6968rexlimdvva 2942 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( E. a  e.  ( EE `  n
) E. b  e.  ( EE `  n
) E. c  e.  ( EE `  n
) E. d  e.  ( EE `  n
) ( ( a  =  A  /\  b  =  B )  /\  (
c  =  C  /\  d  =  D )  /\  E. y  e.  ( EE `  n ) ( y  Btwn  <. c ,  d >.  /\  <. a ,  b >.Cgr <. c ,  y >. )
)  ->  E. y  e.  ( EE `  N
) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) ) )
7069rexlimdva 2935 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( E. n  e.  NN  E. a  e.  ( EE `  n
) E. b  e.  ( EE `  n
) E. c  e.  ( EE `  n
) E. d  e.  ( EE `  n
) ( ( a  =  A  /\  b  =  B )  /\  (
c  =  C  /\  d  =  D )  /\  E. y  e.  ( EE `  n ) ( y  Btwn  <. c ,  d >.  /\  <. a ,  b >.Cgr <. c ,  y >. )
)  ->  E. y  e.  ( EE `  N
) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) ) )
7129, 70syl5bi 217 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( E. n  e.  NN  E. a  e.  ( EE `  n
) E. b  e.  ( EE `  n
) E. c  e.  ( EE `  n
) E. d  e.  ( EE `  n
) ( <. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d >.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  n ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) )  ->  E. y  e.  ( EE `  N
) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) ) )
72 simpl1 1000 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  E. y  e.  ( EE
`  N ) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) )  ->  N  e.  NN )
73 simpl2l 1050 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  E. y  e.  ( EE
`  N ) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) )  ->  A  e.  ( EE `  N
) )
74 simpl2r 1051 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  E. y  e.  ( EE
`  N ) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) )  ->  B  e.  ( EE `  N
) )
75 simpl3l 1052 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  E. y  e.  ( EE
`  N ) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) )  ->  C  e.  ( EE `  N
) )
76 simpl3r 1053 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  E. y  e.  ( EE
`  N ) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) )  ->  D  e.  ( EE `  N
) )
77 eqidd 2444 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  E. y  e.  ( EE
`  N ) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) )  ->  <. A ,  B >.  =  <. A ,  B >. )
78 eqidd 2444 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  E. y  e.  ( EE
`  N ) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) )  ->  <. C ,  D >.  =  <. C ,  D >. )
79 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  E. y  e.  ( EE
`  N ) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) )  ->  E. y  e.  ( EE `  N
) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) )
80 opeq1 4202 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  C  ->  <. c ,  d >.  =  <. C ,  d >. )
8180eqeq1d 2445 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  C  ->  ( <. c ,  d >.  =  <. C ,  D >.  <->  <. C ,  d >.  =  <. C ,  D >. ) )
8280breq2d 4449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  C  ->  (
y  Btwn  <. c ,  d >.  <->  y  Btwn  <. C , 
d >. ) )
8382, 57anbi12d 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  C  ->  (
( y  Btwn  <. c ,  d >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. c ,  y >. )  <->  ( y  Btwn  <. C , 
d >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) ) )
8483rexbidv 2954 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  C  ->  ( E. y  e.  ( EE `  N ) ( y  Btwn  <. c ,  d >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. c ,  y
>. )  <->  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y  Btwn  <. C , 
d >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) ) )
8581, 843anbi23d 1303 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  C  ->  (
( <. A ,  B >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d
>.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  N
) ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. A ,  B >.Cgr
<. c ,  y >.
) )  <->  ( <. A ,  B >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. C ,  d >.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y 
Btwn  <. C ,  d
>.  /\  <. A ,  B >.Cgr
<. C ,  y >.
) ) ) )
86 opeq2 4203 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  =  D  ->  <. C , 
d >.  =  <. C ,  D >. )
8786eqeq1d 2445 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  D  ->  ( <. C ,  d >.  =  <. C ,  D >.  <->  <. C ,  D >.  = 
<. C ,  D >. ) )
8886breq2d 4449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  =  D  ->  (
y  Btwn  <. C , 
d >. 
<->  y  Btwn  <. C ,  D >. ) )
8988anbi1d 704 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  =  D  ->  (
( y  Btwn  <. C , 
d >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. )  <->  ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) ) )
9089rexbidv 2954 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  D  ->  ( E. y  e.  ( EE `  N ) ( y  Btwn  <. C , 
d >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. )  <->  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) ) )
9187, 903anbi23d 1303 . . . . . . . 8  |-  ( d  =  D  ->  (
( <. A ,  B >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. C ,  d
>.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  N
) ( y  Btwn  <. C ,  d >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) )  <->  ( <. A ,  B >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. C ,  D >.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  N
) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) ) ) )
9285, 91rspc2ev 3207 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( EE
`  N )  /\  D  e.  ( EE `  N )  /\  ( <. A ,  B >.  = 
<. A ,  B >.  /\ 
<. C ,  D >.  = 
<. C ,  D >.  /\ 
E. y  e.  ( EE `  N ) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) ) )  ->  E. c  e.  ( EE `  N ) E. d  e.  ( EE
`  N ) (
<. A ,  B >.  = 
<. A ,  B >.  /\ 
<. c ,  d >.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  N
) ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. A ,  B >.Cgr
<. c ,  y >.
) ) )
9375, 76, 77, 78, 79, 92syl113anc 1241 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  E. y  e.  ( EE
`  N ) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) )  ->  E. c  e.  ( EE `  N
) E. d  e.  ( EE `  N
) ( <. A ,  B >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d >.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. A ,  B >.Cgr
<. c ,  y >.
) ) )
94 opeq1 4202 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  A  ->  <. a ,  b >.  =  <. A ,  b >. )
9594eqeq1d 2445 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  A  ->  ( <. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  <->  <. A ,  b >.  =  <. A ,  B >. ) )
9694breq1d 4447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  A  ->  ( <. a ,  b >.Cgr <. c ,  y >.  <->  <. A ,  b >.Cgr <.
c ,  y >.
) )
9796anbi2d 703 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  A  ->  (
( y  Btwn  <. c ,  d >.  /\  <. a ,  b >.Cgr <. c ,  y >. )  <->  ( y  Btwn  <. c ,  d >.  /\  <. A , 
b >.Cgr <. c ,  y
>. ) ) )
9897rexbidv 2954 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  A  ->  ( E. y  e.  ( EE `  N ) ( y  Btwn  <. c ,  d >.  /\  <. a ,  b >.Cgr <. c ,  y >. )  <->  E. y  e.  ( EE
`  N ) ( y  Btwn  <. c ,  d >.  /\  <. A , 
b >.Cgr <. c ,  y
>. ) ) )
9995, 983anbi13d 1302 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  A  ->  (
( <. a ,  b
>.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d >.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) )  <->  ( <. A ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d >.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. A ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) ) ) )
100992rexbidv 2961 . . . . . . 7  |-  ( a  =  A  ->  ( E. c  e.  ( EE `  N ) E. d  e.  ( EE
`  N ) (
<. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d
>.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  N
) ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) )  <->  E. c  e.  ( EE `  N
) E. d  e.  ( EE `  N
) ( <. A , 
b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d >.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. A ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) ) ) )
101 opeq2 4203 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  B  ->  <. A , 
b >.  =  <. A ,  B >. )
102101eqeq1d 2445 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  B  ->  ( <. A ,  b >.  =  <. A ,  B >.  <->  <. A ,  B >.  = 
<. A ,  B >. ) )
103101breq1d 4447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  B  ->  ( <. A ,  b >.Cgr <. c ,  y >.  <->  <. A ,  B >.Cgr <.
c ,  y >.
) )
104103anbi2d 703 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  B  ->  (
( y  Btwn  <. c ,  d >.  /\  <. A ,  b >.Cgr <. c ,  y >. )  <->  ( y  Btwn  <. c ,  d >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. c ,  y
>. ) ) )
105104rexbidv 2954 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  B  ->  ( E. y  e.  ( EE `  N ) ( y  Btwn  <. c ,  d >.  /\  <. A , 
b >.Cgr <. c ,  y
>. )  <->  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y  Btwn  <. c ,  d >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. c ,  y >. )
) )
106102, 1053anbi13d 1302 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  B  ->  (
( <. A ,  b
>.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d >.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. A ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) )  <->  ( <. A ,  B >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d >.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. A ,  B >.Cgr
<. c ,  y >.
) ) ) )
1071062rexbidv 2961 . . . . . . 7  |-  ( b  =  B  ->  ( E. c  e.  ( EE `  N ) E. d  e.  ( EE
`  N ) (
<. A ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d
>.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  N
) ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. A ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) )  <->  E. c  e.  ( EE `  N
) E. d  e.  ( EE `  N
) ( <. A ,  B >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d >.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. A ,  B >.Cgr
<. c ,  y >.
) ) ) )
108100, 107rspc2ev 3207 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  E. c  e.  ( EE `  N ) E. d  e.  ( EE `  N
) ( <. A ,  B >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d >.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. A ,  B >.Cgr
<. c ,  y >.
) ) )  ->  E. a  e.  ( EE `  N ) E. b  e.  ( EE
`  N ) E. c  e.  ( EE
`  N ) E. d  e.  ( EE
`  N ) (
<. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d
>.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  N
) ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) ) )
10973, 74, 93, 108syl3anc 1229 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  E. y  e.  ( EE
`  N ) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) )  ->  E. a  e.  ( EE `  N
) E. b  e.  ( EE `  N
) E. c  e.  ( EE `  N
) E. d  e.  ( EE `  N
) ( <. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d >.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) ) )
110 fveq2 5856 . . . . . . 7  |-  ( n  =  N  ->  ( EE `  n )  =  ( EE `  N
) )
111110rexeqdv 3047 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  N  ->  ( E. y  e.  ( EE `  n ) ( y  Btwn  <. c ,  d >.  /\  <. a ,  b >.Cgr <. c ,  y >. )  <->  E. y  e.  ( EE
`  N ) ( y  Btwn  <. c ,  d >.  /\  <. a ,  b >.Cgr <. c ,  y >. )
) )
1121113anbi3d 1306 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  N  ->  (
( <. a ,  b
>.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d >.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  n ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) )  <->  ( <. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d >.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) ) ) )
113110, 112rexeqbidv 3055 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  N  ->  ( E. d  e.  ( EE `  n ) (
<. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d
>.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  n
) ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) )  <->  E. d  e.  ( EE `  N
) ( <. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d >.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) ) ) )
114110, 113rexeqbidv 3055 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  N  ->  ( E. c  e.  ( EE `  n ) E. d  e.  ( EE
`  n ) (
<. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d
>.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  n
) ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) )  <->  E. c  e.  ( EE `  N
) E. d  e.  ( EE `  N
) ( <. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d >.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) ) ) )
115110, 114rexeqbidv 3055 . . . . . . 7  |-  ( n  =  N  ->  ( E. b  e.  ( EE `  n ) E. c  e.  ( EE
`  n ) E. d  e.  ( EE
`  n ) (
<. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d
>.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  n
) ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) )  <->  E. b  e.  ( EE `  N
) E. c  e.  ( EE `  N
) E. d  e.  ( EE `  N
) ( <. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d >.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) ) ) )
116110, 115rexeqbidv 3055 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  ( E. a  e.  ( EE `  n ) E. b  e.  ( EE
`  n ) E. c  e.  ( EE
`  n ) E. d  e.  ( EE
`  n ) (
<. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d
>.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  n
) ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) )  <->  E. a  e.  ( EE `  N
) E. b  e.  ( EE `  N
) E. c  e.  ( EE `  N
) E. d  e.  ( EE `  N
) ( <. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d >.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) ) ) )
117116rspcev 3196 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  E. a  e.  ( EE
`  N ) E. b  e.  ( EE
`  N ) E. c  e.  ( EE
`  N ) E. d  e.  ( EE
`  N ) (
<. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d
>.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  N
) ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) ) )  ->  E. n  e.  NN  E. a  e.  ( EE
`  n ) E. b  e.  ( EE
`  n ) E. c  e.  ( EE
`  n ) E. d  e.  ( EE
`  n ) (
<. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d
>.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  n
) ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) ) )
11872, 109, 117syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  E. y  e.  ( EE
`  N ) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) )  ->  E. n  e.  NN  E. a  e.  ( EE `  n
) E. b  e.  ( EE `  n
) E. c  e.  ( EE `  n
) E. d  e.  ( EE `  n
) ( <. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d >.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  n ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) ) )
119118ex 434 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( E. y  e.  ( EE `  N
) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. )  ->  E. n  e.  NN  E. a  e.  ( EE
`  n ) E. b  e.  ( EE
`  n ) E. c  e.  ( EE
`  n ) E. d  e.  ( EE
`  n ) (
<. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d
>.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  n
) ( y  Btwn  <.
c ,  d >.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) ) ) )
12071, 119impbid 191 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( E. n  e.  NN  E. a  e.  ( EE `  n
) E. b  e.  ( EE `  n
) E. c  e.  ( EE `  n
) E. d  e.  ( EE `  n
) ( <. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d >.  =  <. C ,  D >.  /\  E. y  e.  ( EE `  n ) ( y 
Btwn  <. c ,  d
>.  /\  <. a ,  b
>.Cgr <. c ,  y
>. ) )  <->  E. y  e.  ( EE `  N
) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\ 
<. A ,  B >.Cgr <. C ,  y >. ) ) )
12118, 120syl5bb 257 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( <. A ,  B >.  Seg<_  <. C ,  D >.  <->  E. y  e.  ( EE `  N ) ( y  Btwn  <. C ,  D >.  /\  <. A ,  B >.Cgr <. C ,  y
>. ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804   E.wrex 2794   <.cop 4020   class class class wbr 4437   ` cfv 5578   NNcn 10542   EEcee 24063    Btwn cbtwn 24064  Cgrccgr 24065    Seg<_ csegle 29731
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-map 7424  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10543  df-z 10871  df-uz 11091  df-fz 11682  df-ee 24066  df-segle 29732
This theorem is referenced by:  brsegle2  29734  seglecgr12im  29735  seglerflx  29737  seglemin  29738  segletr  29739  segleantisym  29740  seglelin  29741  btwnsegle  29742
  Copyright terms: Public domain W3C validator