MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  brsdom2 Structured version   Unicode version

Theorem brsdom2 7638
Description: Alternate definition of strict dominance. Definition 3 of [Suppes] p. 97. (Contributed by NM, 27-Jul-2004.)
Hypotheses
Ref Expression
brsdom2.1  |-  A  e. 
_V
brsdom2.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
brsdom2  |-  ( A 
~<  B  <->  ( A  ~<_  B  /\  -.  B  ~<_  A ) )

Proof of Theorem brsdom2
StepHypRef Expression
1 dfsdom2 7637 . . 3  |-  ~<  =  (  ~<_  \  `'  ~<_  )
21eleq2i 2545 . 2  |-  ( <. A ,  B >.  e. 
~< 
<-> 
<. A ,  B >.  e.  (  ~<_  \  `'  ~<_  ) )
3 df-br 4448 . 2  |-  ( A 
~<  B  <->  <. A ,  B >.  e.  ~<  )
4 df-br 4448 . . . 4  |-  ( A  ~<_  B  <->  <. A ,  B >.  e.  ~<_  )
5 df-br 4448 . . . . . 6  |-  ( B  ~<_  A  <->  <. B ,  A >.  e.  ~<_  )
6 brsdom2.1 . . . . . . 7  |-  A  e. 
_V
7 brsdom2.2 . . . . . . 7  |-  B  e. 
_V
86, 7opelcnv 5182 . . . . . 6  |-  ( <. A ,  B >.  e.  `' 
~<_ 
<-> 
<. B ,  A >.  e.  ~<_  )
95, 8bitr4i 252 . . . . 5  |-  ( B  ~<_  A  <->  <. A ,  B >.  e.  `'  ~<_  )
109notbii 296 . . . 4  |-  ( -.  B  ~<_  A  <->  -.  <. A ,  B >.  e.  `'  ~<_  )
114, 10anbi12i 697 . . 3  |-  ( ( A  ~<_  B  /\  -.  B  ~<_  A )  <->  ( <. A ,  B >.  e.  ~<_  /\  -.  <. A ,  B >.  e.  `' 
~<_  ) )
12 eldif 3486 . . 3  |-  ( <. A ,  B >.  e.  (  ~<_  \  `'  ~<_  )  <->  ( <. A ,  B >.  e.  ~<_  /\  -.  <. A ,  B >.  e.  `' 
~<_  ) )
1311, 12bitr4i 252 . 2  |-  ( ( A  ~<_  B  /\  -.  B  ~<_  A )  <->  <. A ,  B >.  e.  (  ~<_  \  `' 
~<_  ) )
142, 3, 133bitr4i 277 1  |-  ( A 
~<  B  <->  ( A  ~<_  B  /\  -.  B  ~<_  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1767   _Vcvv 3113    \ cdif 3473   <.cop 4033   class class class wbr 4447   `'ccnv 4998    ~<_ cdom 7511    ~< csdm 7512
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator