Theorem brsdom2 5524

Description: Alternate definition of strict dominance. Definition 3 of [Suppes] p. 97.

Hypotheses

Ref	Expression
brsdom2.1	|- A e. _V
brsdom2.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
brsdom2	|- (A ~< B <-> (A ~<_ B /\ -. B ~<_ A))

Proof of Theorem brsdom2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfsdom2 5523	. . 3 |- ~< = ( ~<_ \ `' ~<_ )
2	1	eleq2i 1961	. 2 |- (<.A, B>. e. ~< <-> <.A, B>. e. ( ~<_ \ `' ~<_ ))
3		df-br 3339	. 2 |- (A ~< B <-> <.A, B>. e. ~< )
4		df-br 3339	. . . 4 |- (A ~<_ B <-> <.A, B>. e. ~<_ )
5		df-br 3339	. . . . . 6 |- (B ~<_ A <-> <.B, A>. e. ~<_ )
6		brsdom2.1	. . . . . . 7 |- A e. _V
7		brsdom2.2	. . . . . . 7 |- B e. _V
8	6, 7	opelcnv 4143	. . . . . 6 |- (<.A, B>. e. `' ~<_ <-> <.B, A>. e. ~<_ )
9	5, 8	bitr4i 193	. . . . 5 |- (B ~<_ A <-> <.A, B>. e. `' ~<_ )
10	9	notbii 204	. . . 4 |- (-. B ~<_ A <-> -. <.A, B>. e. `' ~<_ )
11	4, 10	anbi12i 540	. . 3 |- ((A ~<_ B /\ -. B ~<_ A) <-> (<.A, B>. e. ~<_ /\ -. <.A, B>. e. `' ~<_ ))
12		eldif 2609	. . 3 |- (<.A, B>. e. ( ~<_ \ `' ~<_ ) <-> (<.A, B>. e. ~<_ /\ -. <.A, B>. e. `' ~<_ ))
13	11, 12	bitr4i 193	. 2 |- ((A ~<_ B /\ -. B ~<_ A) <-> <.A, B>. e. ( ~<_ \ `' ~<_ ))
14	2, 3, 13	3bitr4i 200	1 |- (A ~< B <-> (A ~<_ B /\ -. B ~<_ A))

Syntax hints:  -. wn 2   <-> wb 163   /\ wa 240   e. wcel 1300  _Vcvv 2292   \ cdif 2590  <.cop 3046   class class class wbr 3338  `'ccnv 3985   ~<_ cdom 5424   ~< csdm 5425

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-er 5318  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429

Copyright terms: Public domain