MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  brric2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem brric2 17973
Description: The relation "is isomorphic to" for (unital) rings. This theorem corresponds to the definition df-risc 32222 of the ring isomorphism relation in JM's mathbox. (Contributed by AV, 24-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
brric2  |-  ( R 
~=r  S  <->  ( ( R  e.  Ring  /\  S  e. 
Ring )  /\  E. f  f  e.  ( R RingIso  S ) ) )
Distinct variable groups:    R, f    S, f

Proof of Theorem brric2
StepHypRef Expression
1 brric 17972 . 2  |-  ( R 
~=r  S  <->  ( R RingIso  S
)  =/=  (/) )
2 n0 3741 . 2  |-  ( ( R RingIso  S )  =/=  (/)  <->  E. f 
f  e.  ( R RingIso  S ) )
3 rimrcl 17952 . . . . 5  |-  ( f  e.  ( R RingIso  S
)  ->  ( R  e.  _V  /\  S  e. 
_V ) )
4 isrim0 17951 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  _V  /\  S  e.  _V )  ->  ( f  e.  ( R RingIso  S )  <->  ( f  e.  ( R RingHom  S )  /\  `' f  e.  ( S RingHom  R ) ) ) )
5 eqid 2451 . . . . . . . . 9  |-  (mulGrp `  R )  =  (mulGrp `  R )
6 eqid 2451 . . . . . . . . 9  |-  (mulGrp `  S )  =  (mulGrp `  S )
75, 6isrhm 17949 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  ( R RingHom  S
)  <->  ( ( R  e.  Ring  /\  S  e. 
Ring )  /\  (
f  e.  ( R 
GrpHom  S )  /\  f  e.  ( (mulGrp `  R
) MndHom  (mulGrp `  S )
) ) ) )
87simplbi 462 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  ( R RingHom  S
)  ->  ( R  e.  Ring  /\  S  e.  Ring ) )
98adantr 467 . . . . . 6  |-  ( ( f  e.  ( R RingHom  S )  /\  `' f  e.  ( S RingHom  R ) )  ->  ( R  e.  Ring  /\  S  e.  Ring ) )
104, 9syl6bi 232 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  _V  /\  S  e.  _V )  ->  ( f  e.  ( R RingIso  S )  ->  ( R  e.  Ring  /\  S  e.  Ring ) ) )
113, 10mpcom 37 . . . 4  |-  ( f  e.  ( R RingIso  S
)  ->  ( R  e.  Ring  /\  S  e.  Ring ) )
1211exlimiv 1776 . . 3  |-  ( E. f  f  e.  ( R RingIso  S )  ->  ( R  e.  Ring  /\  S  e.  Ring ) )
1312pm4.71ri 639 . 2  |-  ( E. f  f  e.  ( R RingIso  S )  <->  ( ( R  e.  Ring  /\  S  e.  Ring )  /\  E. f  f  e.  ( R RingIso  S ) ) )
141, 2, 133bitri 275 1  |-  ( R 
~=r  S  <->  ( ( R  e.  Ring  /\  S  e. 
Ring )  /\  E. f  f  e.  ( R RingIso  S ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 188    /\ wa 371   E.wex 1663    e. wcel 1887    =/= wne 2622   _Vcvv 3045   (/)c0 3731   class class class wbr 4402   `'ccnv 4833   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   MndHom cmhm 16580    GrpHom cghm 16880  mulGrpcmgp 17723   Ringcrg 17780   RingHom crh 17940   RingIso crs 17941    ~=r cric 17942
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-plusg 15203  df-0g 15340  df-mhm 16582  df-ghm 16881  df-mgp 17724  df-ur 17736  df-ring 17782  df-rnghom 17943  df-rngiso 17944  df-ric 17946
This theorem is referenced by:  ricgic  17974
  Copyright terms: Public domain W3C validator