MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  brres Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem brres 5111
Description: Binary relation on a restriction. (Contributed by NM, 12-Dec-2006.)
Hypothesis
Ref Expression
opelres.1  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
brres  |-  ( A ( C  |`  D ) B  <->  ( A C B  /\  A  e.  D ) )

Proof of Theorem brres
StepHypRef Expression
1 opelres.1 . . 3  |-  B  e. 
_V
21opelres 5110 . 2  |-  ( <. A ,  B >.  e.  ( C  |`  D )  <-> 
( <. A ,  B >.  e.  C  /\  A  e.  D ) )
3 df-br 4403 . 2  |-  ( A ( C  |`  D ) B  <->  <. A ,  B >.  e.  ( C  |`  D ) )
4 df-br 4403 . . 3  |-  ( A C B  <->  <. A ,  B >.  e.  C )
54anbi1i 701 . 2  |-  ( ( A C B  /\  A  e.  D )  <->  (
<. A ,  B >.  e.  C  /\  A  e.  D ) )
62, 3, 53bitr4i 281 1  |-  ( A ( C  |`  D ) B  <->  ( A C B  /\  A  e.  D ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 188    /\ wa 371    e. wcel 1887   _Vcvv 3045   <.cop 3974   class class class wbr 4402    |` cres 4836
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pr 4639
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3047  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-br 4403  df-opab 4462  df-xp 4840  df-res 4846
This theorem is referenced by:  dfres2  5157  dfima2  5170  poirr2  5224  cores  5338  resco  5339  rnco  5341  fnres  5692  fvres  5879  nfunsn  5896  1stconst  6884  2ndconst  6885  fsplit  6901  wfrlem5  7040  dprd2da  17675  metustid  21569  dvres  22866  dvres2  22867  ltgov  24642  axhcompl-zf  26651  hlimadd  26846  hhcmpl  26853  hhcms  26856  hlim0  26888  dfpo2  30395  dfdm5  30418  dfrn5  30419  frrlem5  30518  txpss3v  30645  brtxp  30647  pprodss4v  30651  brpprod  30652  brimg  30704  brapply  30705  funpartfun  30710  dfrdg4  30718  funressnfv  38629  dfdfat2  38633
  Copyright terms: Public domain W3C validator