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Theorem brprcneu 5856
Description: If  A is a proper class, then there is no unique binary relationship with  A as the first element. (Contributed by Scott Fenton, 7-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
brprcneu  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  -.  E! x  A F x )
Distinct variable groups:    x, A    x, F

Proof of Theorem brprcneu
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dtru 4593 . . . . . . . . 9  |-  -.  A. y  y  =  x
2 exnal 1698 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. y  -.  x  =  y  <->  -.  A. y  x  =  y )
3 equcom 1861 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  <->  y  =  x )
43albii 1690 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  x  =  y  <->  A. y  y  =  x )
52, 4xchbinx 312 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y  -.  x  =  y  <->  -.  A. y 
y  =  x )
61, 5mpbir 213 . . . . . . . 8  |-  E. y  -.  x  =  y
76jctr 545 . . . . . . 7  |-  ( (/)  e.  F  ->  ( (/)  e.  F  /\  E. y  -.  x  =  y
) )
8 19.42v 1833 . . . . . . 7  |-  ( E. y ( (/)  e.  F  /\  -.  x  =  y )  <->  ( (/)  e.  F  /\  E. y  -.  x  =  y ) )
97, 8sylibr 216 . . . . . 6  |-  ( (/)  e.  F  ->  E. y
( (/)  e.  F  /\  -.  x  =  y
) )
10 opprc1 4188 . . . . . . . 8  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  <. A ,  x >.  =  (/) )
1110eleq1d 2512 . . . . . . 7  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  (
<. A ,  x >.  e.  F  <->  (/)  e.  F ) )
12 opprc1 4188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  <. A ,  y >.  =  (/) )
1312eleq1d 2512 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  (
<. A ,  y >.  e.  F  <->  (/)  e.  F ) )
1411, 13anbi12d 716 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( ( <. A ,  x >.  e.  F  /\  <. A ,  y >.  e.  F
)  <->  ( (/)  e.  F  /\  (/)  e.  F ) ) )
15 anidm 649 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
(/)  e.  F  /\  (/) 
e.  F )  <->  (/)  e.  F
)
1614, 15syl6bb 265 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( ( <. A ,  x >.  e.  F  /\  <. A ,  y >.  e.  F
)  <->  (/)  e.  F ) )
1716anbi1d 710 . . . . . . . 8  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( ( ( <. A ,  x >.  e.  F  /\  <. A ,  y >.  e.  F )  /\  -.  x  =  y )  <->  (
(/)  e.  F  /\  -.  x  =  y
) ) )
1817exbidv 1767 . . . . . . 7  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( E. y ( (
<. A ,  x >.  e.  F  /\  <. A , 
y >.  e.  F )  /\  -.  x  =  y )  <->  E. y
( (/)  e.  F  /\  -.  x  =  y
) ) )
1911, 18imbi12d 322 . . . . . 6  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( ( <. A ,  x >.  e.  F  ->  E. y
( ( <. A ,  x >.  e.  F  /\  <. A ,  y >.  e.  F )  /\  -.  x  =  y )
)  <->  ( (/)  e.  F  ->  E. y ( (/)  e.  F  /\  -.  x  =  y ) ) ) )
209, 19mpbiri 237 . . . . 5  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  (
<. A ,  x >.  e.  F  ->  E. y
( ( <. A ,  x >.  e.  F  /\  <. A ,  y >.  e.  F )  /\  -.  x  =  y )
) )
21 df-br 4402 . . . . 5  |-  ( A F x  <->  <. A ,  x >.  e.  F )
22 df-br 4402 . . . . . . . 8  |-  ( A F y  <->  <. A , 
y >.  e.  F )
2321, 22anbi12i 702 . . . . . . 7  |-  ( ( A F x  /\  A F y )  <->  ( <. A ,  x >.  e.  F  /\  <. A ,  y
>.  e.  F ) )
2423anbi1i 700 . . . . . 6  |-  ( ( ( A F x  /\  A F y )  /\  -.  x  =  y )  <->  ( ( <. A ,  x >.  e.  F  /\  <. A , 
y >.  e.  F )  /\  -.  x  =  y ) )
2524exbii 1717 . . . . 5  |-  ( E. y ( ( A F x  /\  A F y )  /\  -.  x  =  y
)  <->  E. y ( (
<. A ,  x >.  e.  F  /\  <. A , 
y >.  e.  F )  /\  -.  x  =  y ) )
2620, 21, 253imtr4g 274 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( A F x  ->  E. y ( ( A F x  /\  A F y )  /\  -.  x  =  y
) ) )
2726eximdv 1763 . . 3  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( E. x  A F x  ->  E. x E. y ( ( A F x  /\  A F y )  /\  -.  x  =  y
) ) )
28 exnal 1698 . . . 4  |-  ( E. x  -.  A. y
( ( A F x  /\  A F y )  ->  x  =  y )  <->  -.  A. x A. y ( ( A F x  /\  A F y )  ->  x  =  y )
)
29 exanali 1720 . . . . 5  |-  ( E. y ( ( A F x  /\  A F y )  /\  -.  x  =  y
)  <->  -.  A. y
( ( A F x  /\  A F y )  ->  x  =  y ) )
3029exbii 1717 . . . 4  |-  ( E. x E. y ( ( A F x  /\  A F y )  /\  -.  x  =  y )  <->  E. x  -.  A. y ( ( A F x  /\  A F y )  ->  x  =  y )
)
31 breq2 4405 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( A F x  <->  A F
y ) )
3231mo4 2345 . . . . 5  |-  ( E* x  A F x  <->  A. x A. y ( ( A F x  /\  A F y )  ->  x  =  y ) )
3332notbii 298 . . . 4  |-  ( -. 
E* x  A F x  <->  -.  A. x A. y ( ( A F x  /\  A F y )  ->  x  =  y )
)
3428, 30, 333bitr4ri 282 . . 3  |-  ( -. 
E* x  A F x  <->  E. x E. y
( ( A F x  /\  A F y )  /\  -.  x  =  y )
)
3527, 34syl6ibr 231 . 2  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( E. x  A F x  ->  -.  E* x  A F x ) )
36 eu5 2324 . . . 4  |-  ( E! x  A F x  <-> 
( E. x  A F x  /\  E* x  A F x ) )
3736notbii 298 . . 3  |-  ( -.  E! x  A F x  <->  -.  ( E. x  A F x  /\  E* x  A F x ) )
38 imnan 424 . . 3  |-  ( ( E. x  A F x  ->  -.  E* x  A F x )  <->  -.  ( E. x  A F x  /\  E* x  A F x ) )
3937, 38bitr4i 256 . 2  |-  ( -.  E! x  A F x  <->  ( E. x  A F x  ->  -.  E* x  A F x ) )
4035, 39sylibr 216 1  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  -.  E! x  A F x )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 371   A.wal 1441   E.wex 1662    e. wcel 1886   E!weu 2298   E*wmo 2299   _Vcvv 3044   (/)c0 3730   <.cop 3973   class class class wbr 4401
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-nul 4533  ax-pow 4580
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-rab 2745  df-v 3046  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-nul 3731  df-if 3881  df-sn 3968  df-pr 3970  df-op 3974  df-br 4402
This theorem is referenced by:  fvprc  5857
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