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Theorem brprcneu 5874
Description: If  A is a proper class, then there is no unique binary relationship with  A as the first element. (Contributed by Scott Fenton, 7-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
brprcneu  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  -.  E! x  A F x )
Distinct variable groups:    x, A    x, F

Proof of Theorem brprcneu
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dtru 4616 . . . . . . . . 9  |-  -.  A. y  y  =  x
2 exnal 1695 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. y  -.  x  =  y  <->  -.  A. y  x  =  y )
3 equcom 1846 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  <->  y  =  x )
43albii 1687 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  x  =  y  <->  A. y  y  =  x )
52, 4xchbinx 311 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y  -.  x  =  y  <->  -.  A. y 
y  =  x )
61, 5mpbir 212 . . . . . . . 8  |-  E. y  -.  x  =  y
76jctr 544 . . . . . . 7  |-  ( (/)  e.  F  ->  ( (/)  e.  F  /\  E. y  -.  x  =  y
) )
8 19.42v 1826 . . . . . . 7  |-  ( E. y ( (/)  e.  F  /\  -.  x  =  y )  <->  ( (/)  e.  F  /\  E. y  -.  x  =  y ) )
97, 8sylibr 215 . . . . . 6  |-  ( (/)  e.  F  ->  E. y
( (/)  e.  F  /\  -.  x  =  y
) )
10 opprc1 4213 . . . . . . . 8  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  <. A ,  x >.  =  (/) )
1110eleq1d 2498 . . . . . . 7  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  (
<. A ,  x >.  e.  F  <->  (/)  e.  F ) )
12 opprc1 4213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  <. A ,  y >.  =  (/) )
1312eleq1d 2498 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  (
<. A ,  y >.  e.  F  <->  (/)  e.  F ) )
1411, 13anbi12d 715 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( ( <. A ,  x >.  e.  F  /\  <. A ,  y >.  e.  F
)  <->  ( (/)  e.  F  /\  (/)  e.  F ) ) )
15 anidm 648 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
(/)  e.  F  /\  (/) 
e.  F )  <->  (/)  e.  F
)
1614, 15syl6bb 264 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( ( <. A ,  x >.  e.  F  /\  <. A ,  y >.  e.  F
)  <->  (/)  e.  F ) )
1716anbi1d 709 . . . . . . . 8  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( ( ( <. A ,  x >.  e.  F  /\  <. A ,  y >.  e.  F )  /\  -.  x  =  y )  <->  (
(/)  e.  F  /\  -.  x  =  y
) ) )
1817exbidv 1761 . . . . . . 7  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( E. y ( (
<. A ,  x >.  e.  F  /\  <. A , 
y >.  e.  F )  /\  -.  x  =  y )  <->  E. y
( (/)  e.  F  /\  -.  x  =  y
) ) )
1911, 18imbi12d 321 . . . . . 6  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( ( <. A ,  x >.  e.  F  ->  E. y
( ( <. A ,  x >.  e.  F  /\  <. A ,  y >.  e.  F )  /\  -.  x  =  y )
)  <->  ( (/)  e.  F  ->  E. y ( (/)  e.  F  /\  -.  x  =  y ) ) ) )
209, 19mpbiri 236 . . . . 5  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  (
<. A ,  x >.  e.  F  ->  E. y
( ( <. A ,  x >.  e.  F  /\  <. A ,  y >.  e.  F )  /\  -.  x  =  y )
) )
21 df-br 4427 . . . . 5  |-  ( A F x  <->  <. A ,  x >.  e.  F )
22 df-br 4427 . . . . . . . 8  |-  ( A F y  <->  <. A , 
y >.  e.  F )
2321, 22anbi12i 701 . . . . . . 7  |-  ( ( A F x  /\  A F y )  <->  ( <. A ,  x >.  e.  F  /\  <. A ,  y
>.  e.  F ) )
2423anbi1i 699 . . . . . 6  |-  ( ( ( A F x  /\  A F y )  /\  -.  x  =  y )  <->  ( ( <. A ,  x >.  e.  F  /\  <. A , 
y >.  e.  F )  /\  -.  x  =  y ) )
2524exbii 1714 . . . . 5  |-  ( E. y ( ( A F x  /\  A F y )  /\  -.  x  =  y
)  <->  E. y ( (
<. A ,  x >.  e.  F  /\  <. A , 
y >.  e.  F )  /\  -.  x  =  y ) )
2620, 21, 253imtr4g 273 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( A F x  ->  E. y ( ( A F x  /\  A F y )  /\  -.  x  =  y
) ) )
2726eximdv 1757 . . 3  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( E. x  A F x  ->  E. x E. y ( ( A F x  /\  A F y )  /\  -.  x  =  y
) ) )
28 exnal 1695 . . . 4  |-  ( E. x  -.  A. y
( ( A F x  /\  A F y )  ->  x  =  y )  <->  -.  A. x A. y ( ( A F x  /\  A F y )  ->  x  =  y )
)
29 exanali 1717 . . . . 5  |-  ( E. y ( ( A F x  /\  A F y )  /\  -.  x  =  y
)  <->  -.  A. y
( ( A F x  /\  A F y )  ->  x  =  y ) )
3029exbii 1714 . . . 4  |-  ( E. x E. y ( ( A F x  /\  A F y )  /\  -.  x  =  y )  <->  E. x  -.  A. y ( ( A F x  /\  A F y )  ->  x  =  y )
)
31 breq2 4430 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( A F x  <->  A F
y ) )
3231mo4 2316 . . . . 5  |-  ( E* x  A F x  <->  A. x A. y ( ( A F x  /\  A F y )  ->  x  =  y ) )
3332notbii 297 . . . 4  |-  ( -. 
E* x  A F x  <->  -.  A. x A. y ( ( A F x  /\  A F y )  ->  x  =  y )
)
3428, 30, 333bitr4ri 281 . . 3  |-  ( -. 
E* x  A F x  <->  E. x E. y
( ( A F x  /\  A F y )  /\  -.  x  =  y )
)
3527, 34syl6ibr 230 . 2  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( E. x  A F x  ->  -.  E* x  A F x ) )
36 eu5 2294 . . . 4  |-  ( E! x  A F x  <-> 
( E. x  A F x  /\  E* x  A F x ) )
3736notbii 297 . . 3  |-  ( -.  E! x  A F x  <->  -.  ( E. x  A F x  /\  E* x  A F x ) )
38 imnan 423 . . 3  |-  ( ( E. x  A F x  ->  -.  E* x  A F x )  <->  -.  ( E. x  A F x  /\  E* x  A F x ) )
3937, 38bitr4i 255 . 2  |-  ( -.  E! x  A F x  <->  ( E. x  A F x  ->  -.  E* x  A F x ) )
4035, 39sylibr 215 1  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  -.  E! x  A F x )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 370   A.wal 1435   E.wex 1659    e. wcel 1870   E!weu 2266   E*wmo 2267   _Vcvv 3087   (/)c0 3767   <.cop 4008   class class class wbr 4426
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-nul 4556  ax-pow 4603
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-rab 2791  df-v 3089  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-br 4427
This theorem is referenced by:  fvprc  5875
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