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Theorem brprcneu 5785
Description: If  A is a proper class, then there is no unique binary relationship with  A as the first element. (Contributed by Scott Fenton, 7-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
brprcneu  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  -.  E! x  A F x )
Distinct variable groups:    x, A    x, F

Proof of Theorem brprcneu
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dtru 4584 . . . . . . . . 9  |-  -.  A. y  y  =  x
2 exnal 1619 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. y  -.  x  =  y  <->  -.  A. y  x  =  y )
3 equcom 1734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  <->  y  =  x )
43albii 1611 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  x  =  y  <->  A. y  y  =  x )
52, 4xchbinx 310 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y  -.  x  =  y  <->  -.  A. y 
y  =  x )
61, 5mpbir 209 . . . . . . . 8  |-  E. y  -.  x  =  y
76jctr 542 . . . . . . 7  |-  ( (/)  e.  F  ->  ( (/)  e.  F  /\  E. y  -.  x  =  y
) )
8 19.42v 1933 . . . . . . 7  |-  ( E. y ( (/)  e.  F  /\  -.  x  =  y )  <->  ( (/)  e.  F  /\  E. y  -.  x  =  y ) )
97, 8sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( (/)  e.  F  ->  E. y
( (/)  e.  F  /\  -.  x  =  y
) )
10 opprc1 4183 . . . . . . . 8  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  <. A ,  x >.  =  (/) )
1110eleq1d 2520 . . . . . . 7  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  (
<. A ,  x >.  e.  F  <->  (/)  e.  F ) )
12 opprc1 4183 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  <. A ,  y >.  =  (/) )
1312eleq1d 2520 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  (
<. A ,  y >.  e.  F  <->  (/)  e.  F ) )
1411, 13anbi12d 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( ( <. A ,  x >.  e.  F  /\  <. A ,  y >.  e.  F
)  <->  ( (/)  e.  F  /\  (/)  e.  F ) ) )
15 anidm 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
(/)  e.  F  /\  (/) 
e.  F )  <->  (/)  e.  F
)
1614, 15syl6bb 261 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( ( <. A ,  x >.  e.  F  /\  <. A ,  y >.  e.  F
)  <->  (/)  e.  F ) )
1716anbi1d 704 . . . . . . . 8  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( ( ( <. A ,  x >.  e.  F  /\  <. A ,  y >.  e.  F )  /\  -.  x  =  y )  <->  (
(/)  e.  F  /\  -.  x  =  y
) ) )
1817exbidv 1681 . . . . . . 7  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( E. y ( (
<. A ,  x >.  e.  F  /\  <. A , 
y >.  e.  F )  /\  -.  x  =  y )  <->  E. y
( (/)  e.  F  /\  -.  x  =  y
) ) )
1911, 18imbi12d 320 . . . . . 6  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( ( <. A ,  x >.  e.  F  ->  E. y
( ( <. A ,  x >.  e.  F  /\  <. A ,  y >.  e.  F )  /\  -.  x  =  y )
)  <->  ( (/)  e.  F  ->  E. y ( (/)  e.  F  /\  -.  x  =  y ) ) ) )
209, 19mpbiri 233 . . . . 5  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  (
<. A ,  x >.  e.  F  ->  E. y
( ( <. A ,  x >.  e.  F  /\  <. A ,  y >.  e.  F )  /\  -.  x  =  y )
) )
21 df-br 4394 . . . . 5  |-  ( A F x  <->  <. A ,  x >.  e.  F )
22 df-br 4394 . . . . . . . 8  |-  ( A F y  <->  <. A , 
y >.  e.  F )
2321, 22anbi12i 697 . . . . . . 7  |-  ( ( A F x  /\  A F y )  <->  ( <. A ,  x >.  e.  F  /\  <. A ,  y
>.  e.  F ) )
2423anbi1i 695 . . . . . 6  |-  ( ( ( A F x  /\  A F y )  /\  -.  x  =  y )  <->  ( ( <. A ,  x >.  e.  F  /\  <. A , 
y >.  e.  F )  /\  -.  x  =  y ) )
2524exbii 1635 . . . . 5  |-  ( E. y ( ( A F x  /\  A F y )  /\  -.  x  =  y
)  <->  E. y ( (
<. A ,  x >.  e.  F  /\  <. A , 
y >.  e.  F )  /\  -.  x  =  y ) )
2620, 21, 253imtr4g 270 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( A F x  ->  E. y ( ( A F x  /\  A F y )  /\  -.  x  =  y
) ) )
2726eximdv 1677 . . 3  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( E. x  A F x  ->  E. x E. y ( ( A F x  /\  A F y )  /\  -.  x  =  y
) ) )
28 exnal 1619 . . . 4  |-  ( E. x  -.  A. y
( ( A F x  /\  A F y )  ->  x  =  y )  <->  -.  A. x A. y ( ( A F x  /\  A F y )  ->  x  =  y )
)
29 exanali 1638 . . . . 5  |-  ( E. y ( ( A F x  /\  A F y )  /\  -.  x  =  y
)  <->  -.  A. y
( ( A F x  /\  A F y )  ->  x  =  y ) )
3029exbii 1635 . . . 4  |-  ( E. x E. y ( ( A F x  /\  A F y )  /\  -.  x  =  y )  <->  E. x  -.  A. y ( ( A F x  /\  A F y )  ->  x  =  y )
)
31 breq2 4397 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( A F x  <->  A F
y ) )
3231mo4 2324 . . . . 5  |-  ( E* x  A F x  <->  A. x A. y ( ( A F x  /\  A F y )  ->  x  =  y ) )
3332notbii 296 . . . 4  |-  ( -. 
E* x  A F x  <->  -.  A. x A. y ( ( A F x  /\  A F y )  ->  x  =  y )
)
3428, 30, 333bitr4ri 278 . . 3  |-  ( -. 
E* x  A F x  <->  E. x E. y
( ( A F x  /\  A F y )  /\  -.  x  =  y )
)
3527, 34syl6ibr 227 . 2  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( E. x  A F x  ->  -.  E* x  A F x ) )
36 eu5 2290 . . . 4  |-  ( E! x  A F x  <-> 
( E. x  A F x  /\  E* x  A F x ) )
3736notbii 296 . . 3  |-  ( -.  E! x  A F x  <->  -.  ( E. x  A F x  /\  E* x  A F x ) )
38 imnan 422 . . 3  |-  ( ( E. x  A F x  ->  -.  E* x  A F x )  <->  -.  ( E. x  A F x  /\  E* x  A F x ) )
3937, 38bitr4i 252 . 2  |-  ( -.  E! x  A F x  <->  ( E. x  A F x  ->  -.  E* x  A F x ) )
4035, 39sylibr 212 1  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  -.  E! x  A F x )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369   A.wal 1368   E.wex 1587    e. wcel 1758   E!weu 2260   E*wmo 2261   _Vcvv 3071   (/)c0 3738   <.cop 3984   class class class wbr 4393
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-nul 4522  ax-pow 4571
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-rab 2804  df-v 3073  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-nul 3739  df-if 3893  df-sn 3979  df-pr 3981  df-op 3985  df-br 4394
This theorem is referenced by:  fvprc  5786
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