Theorem broucube 31888

Description: Brouwer - or as Kulpa calls it, "Bohl-Brouwer" - fixed point theorem for the unit cube. Theorem on [Kulpa] p. 548. (Contributed by Brendan Leahy, 21-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
poimir.0	|- ( ph -> N e. NN )
poimir.i	|- I = ( ( 0 [,] 1 ) ^m ( 1 ... N ) )
poimir.r	|- R = ( Xt_ ` ( ( 1 ... N ) X. { ( topGen ` ran (,) ) } ) )
broucube.1	|- ( ph -> F e. ( ( R ↾t I ) Cn ( R ↾t I ) ) )

Assertion

Ref	Expression
broucube	|- ( ph -> E. c e. I c = ( F ` c ) )

Distinct variable groups:   ph, c   F, c   I, c   N, c   R, c

Proof of Theorem broucube

Dummy variables n x z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		poimir.0	. . 3 |- ( ph -> N e. NN )
2		poimir.i	. . 3 |- I = ( ( 0 [,] 1 ) ^m ( 1 ... N ) )
3		poimir.r	. . 3 |- R = ( Xt_ ` ( ( 1 ... N ) X. { ( topGen ` ran (,) ) } ) )
4		elmapfn 7499	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( ( 0 [,] 1 ) ^m ( 1 ... N ) ) -> x Fn ( 1 ... N ) )
5	4, 2	eleq2s 2530	. . . . . . 7 |- ( x e. I -> x Fn ( 1 ... N ) )
6	5	adantl 467	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> x Fn ( 1 ... N ) )
7		broucube.1	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F e. ( ( R ↾t I ) Cn ( R ↾t I ) ) )
8		ovex 6330	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 ... N ) e. _V
9		retopon 21771	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( topGen ` ran (,) ) e. (TopOn ` RR )
10	3	pttoponconst 20599	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 1 ... N ) e. _V /\ ( topGen ` ran (,) ) e. (TopOn ` RR ) ) -> R e. (TopOn ` ( RR ^m ( 1 ... N ) ) ) )
11	8, 9, 10	mp2an 676	. . . . . . . . . . . 12 |- R e. (TopOn ` ( RR ^m ( 1 ... N ) ) )
12		reex 9631	. . . . . . . . . . . . . 14 |- RR e. _V
13		unitssre 11780	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 [,] 1 ) C_ RR
14		mapss 7519	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( RR e. _V /\ ( 0 [,] 1 ) C_ RR ) -> ( ( 0 [,] 1 ) ^m ( 1 ... N ) ) C_ ( RR ^m ( 1 ... N ) ) )
15	12, 13, 14	mp2an 676	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0 [,] 1 ) ^m ( 1 ... N ) ) C_ ( RR ^m ( 1 ... N ) )
16	2, 15	eqsstri 3494	. . . . . . . . . . . 12 |- I C_ ( RR ^m ( 1 ... N ) )
17		resttopon 20164	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. (TopOn ` ( RR ^m ( 1 ... N ) ) ) /\ I C_ ( RR ^m ( 1 ... N ) ) ) -> ( R ↾t I ) e. (TopOn ` I ) )
18	11, 16, 17	mp2an 676	. . . . . . . . . . 11 |- ( R ↾t I ) e. (TopOn ` I )
19	18	toponunii 19934	. . . . . . . . . 10 |- I = U. ( R ↾t I )
20	19, 19	cnf 20249	. . . . . . . . 9 |- ( F e. ( ( R ↾t I ) Cn ( R ↾t I ) ) -> F : I --> I )
21	7, 20	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : I --> I )
22	21	ffvelrnda 6034	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( F ` x ) e. I )
23		elmapfn 7499	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` x ) e. ( ( 0 [,] 1 ) ^m ( 1 ... N ) ) -> ( F ` x ) Fn ( 1 ... N ) )
24	23, 2	eleq2s 2530	. . . . . . 7 |- ( ( F ` x ) e. I -> ( F ` x ) Fn ( 1 ... N ) )
25	22, 24	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( F ` x ) Fn ( 1 ... N ) )
26	8	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( 1 ... N ) e. _V )
27		inidm 3671	. . . . . 6 |- ( ( 1 ... N ) i^i ( 1 ... N ) ) = ( 1 ... N )
28		eqidd 2423	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. I ) /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( x ` n ) = ( x ` n ) )
29		eqidd 2423	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. I ) /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( F ` x ) ` n ) = ( ( F ` x ) ` n ) )
30	6, 25, 26, 26, 27, 28, 29	offval 6549	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( x oF - ( F ` x ) ) = ( n e. ( 1 ... N ) |-> ( ( x ` n ) - ( ( F ` x ) ` n ) ) ) )
31	30	mpteq2dva 4507	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. I |-> ( x oF - ( F ` x ) ) ) = ( x e. I |-> ( n e. ( 1 ... N ) |-> ( ( x ` n ) - ( ( F ` x ) ` n ) ) ) ) )
32	18	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( R ↾t I ) e. (TopOn ` I ) )
33	8	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 ... N ) e. _V )
34		retop 21769	. . . . . . 7 |- ( topGen ` ran (,) ) e. Top
35	34	fconst6 5787	. . . . . 6 |- ( ( 1 ... N ) X. { ( topGen ` ran (,) ) } ) : ( 1 ... N ) --> Top
36	35	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( 1 ... N ) X. { ( topGen ` ran (,) ) } ) : ( 1 ... N ) --> Top )
37	18	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( R ↾t I ) e. (TopOn ` I ) )
38		eqid 2422	. . . . . . . . . . . 12 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
39	38	cnfldtop 21791	. . . . . . . . . . 11 |- ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top
40		cnrest2r 20290	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top -> ( ( R ↾t I ) Cn ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) ) C_ ( ( R ↾t I ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
41	39, 40	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R ↾t I ) Cn ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) ) C_ ( ( R ↾t I ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) )
42		resmpt 5170	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( I C_ ( RR ^m ( 1 ... N ) ) -> ( ( x e. ( RR ^m ( 1 ... N ) ) |-> ( x ` n ) ) |` I ) = ( x e. I |-> ( x ` n ) ) )
43	16, 42	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ( RR ^m ( 1 ... N ) ) |-> ( x ` n ) ) |` I ) = ( x e. I |-> ( x ` n ) )
44	11	toponunii 19934	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( RR ^m ( 1 ... N ) ) = U. R
45	44, 3	ptpjcn 20613	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( 1 ... N ) e. _V /\ ( ( 1 ... N ) X. { ( topGen ` ran (,) ) } ) : ( 1 ... N ) --> Top /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( x e. ( RR ^m ( 1 ... N ) ) |-> ( x ` n ) ) e. ( R Cn ( ( ( 1 ... N ) X. { ( topGen ` ran (,) ) } ) ` n ) ) )
46	8, 35, 45	mp3an12 1350	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ( 1 ... N ) -> ( x e. ( RR ^m ( 1 ... N ) ) |-> ( x ` n ) ) e. ( R Cn ( ( ( 1 ... N ) X. { ( topGen ` ran (,) ) } ) ` n ) ) )
47	44	cnrest 20288	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. ( RR ^m ( 1 ... N ) ) |-> ( x ` n ) ) e. ( R Cn ( ( ( 1 ... N ) X. { ( topGen ` ran (,) ) } ) ` n ) ) /\ I C_ ( RR ^m ( 1 ... N ) ) ) -> ( ( x e. ( RR ^m ( 1 ... N ) ) |-> ( x ` n ) ) |` I ) e. ( ( R ↾t I ) Cn ( ( ( 1 ... N ) X. { ( topGen ` ran (,) ) } ) ` n ) ) )
48	46, 16, 47	sylancl 666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ( 1 ... N ) -> ( ( x e. ( RR ^m ( 1 ... N ) ) |-> ( x ` n ) ) |` I ) e. ( ( R ↾t I ) Cn ( ( ( 1 ... N ) X. { ( topGen ` ran (,) ) } ) ` n ) ) )
49	43, 48	syl5eqelr 2515	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ( 1 ... N ) -> ( x e. I |-> ( x ` n ) ) e. ( ( R ↾t I ) Cn ( ( ( 1 ... N ) X. { ( topGen ` ran (,) ) } ) ` n ) ) )
50		fvex 5888	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( topGen ` ran (,) ) e. _V
51	50	fvconst2 6132	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( 1 ... N ) X. { ( topGen ` ran (,) ) } ) ` n ) = ( topGen ` ran (,) ) )
52	38	tgioo2 21808	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
53	51, 52	syl6eq 2479	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( 1 ... N ) X. { ( topGen ` ran (,) ) } ) ` n ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) )
54	53	oveq2d 6318	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ( 1 ... N ) -> ( ( R ↾t I ) Cn ( ( ( 1 ... N ) X. { ( topGen ` ran (,) ) } ) ` n ) ) = ( ( R ↾t I ) Cn ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) ) )
55	49, 54	eleqtrd 2512	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( 1 ... N ) -> ( x e. I |-> ( x ` n ) ) e. ( ( R ↾t I ) Cn ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) ) )
56	41, 55	sseldi 3462	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( 1 ... N ) -> ( x e. I |-> ( x ` n ) ) e. ( ( R ↾t I ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
57	56	adantl 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( x e. I |-> ( x ` n ) ) e. ( ( R ↾t I ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
58	21	feqmptd 5931	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F = ( x e. I |-> ( F ` x ) ) )
59	58, 7	eqeltrrd 2511	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. I |-> ( F ` x ) ) e. ( ( R ↾t I ) Cn ( R ↾t I ) ) )
60	59	adantr 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( x e. I |-> ( F ` x ) ) e. ( ( R ↾t I ) Cn ( R ↾t I ) ) )
61		fveq1 5877	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = z -> ( x ` n ) = ( z ` n ) )
62	61	cbvmptv 4513	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. I |-> ( x ` n ) ) = ( z e. I |-> ( z ` n ) )
63	62, 57	syl5eqelr 2515	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( z e. I |-> ( z ` n ) ) e. ( ( R ↾t I ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
64		fveq1 5877	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( F ` x ) -> ( z ` n ) = ( ( F ` x ) ` n ) )
65	37, 60, 37, 63, 64	cnmpt11 20665	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( x e. I |-> ( ( F ` x ) ` n ) ) e. ( ( R ↾t I ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
66	38	subcn 21885	. . . . . . . . 9 |- - e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) )
67	66	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> - e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
68	37, 57, 65, 67	cnmpt12f 20668	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( x e. I |-> ( ( x ` n ) - ( ( F ` x ) ` n ) ) ) e. ( ( R ↾t I ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
69		elmapi 7498	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( ( 0 [,] 1 ) ^m ( 1 ... N ) ) -> x : ( 1 ... N ) --> ( 0 [,] 1 ) )
70	69, 2	eleq2s 2530	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. I -> x : ( 1 ... N ) --> ( 0 [,] 1 ) )
71	70	ffvelrnda 6034	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. I /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( x ` n ) e. ( 0 [,] 1 ) )
72	13, 71	sseldi 3462	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. I /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( x ` n ) e. RR )
73	72	adantll 718	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. I ) /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( x ` n ) e. RR )
74		elmapi 7498	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F ` x ) e. ( ( 0 [,] 1 ) ^m ( 1 ... N ) ) -> ( F ` x ) : ( 1 ... N ) --> ( 0 [,] 1 ) )
75	74, 2	eleq2s 2530	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F ` x ) e. I -> ( F ` x ) : ( 1 ... N ) --> ( 0 [,] 1 ) )
76	22, 75	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( F ` x ) : ( 1 ... N ) --> ( 0 [,] 1 ) )
77	76	ffvelrnda 6034	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. I ) /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( F ` x ) ` n ) e. ( 0 [,] 1 ) )
78	13, 77	sseldi 3462	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. I ) /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( F ` x ) ` n ) e. RR )
79	73, 78	resubcld 10048	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. I ) /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( x ` n ) - ( ( F ` x ) ` n ) ) e. RR )
80	79	an32s 811	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) /\ x e. I ) -> ( ( x ` n ) - ( ( F ` x ) ` n ) ) e. RR )
81		eqid 2422	. . . . . . . . 9 |- ( x e. I |-> ( ( x ` n ) - ( ( F ` x ) ` n ) ) ) = ( x e. I |-> ( ( x ` n ) - ( ( F ` x ) ` n ) ) )
82	80, 81	fmptd 6058	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( x e. I |-> ( ( x ` n ) - ( ( F ` x ) ` n ) ) ) : I --> RR )
83		frn 5749	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. I |-> ( ( x ` n ) - ( ( F ` x ) ` n ) ) ) : I --> RR -> ran ( x e. I |-> ( ( x ` n ) - ( ( F ` x ) ` n ) ) ) C_ RR )
84	38	cnfldtopon 21790	. . . . . . . . 9 |- ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC )
85		ax-resscn 9597	. . . . . . . . 9 |- RR C_ CC
86		cnrest2 20289	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC ) /\ ran ( x e. I |-> ( ( x ` n ) - ( ( F ` x ) ` n ) ) ) C_ RR /\ RR C_ CC ) -> ( ( x e. I |-> ( ( x ` n ) - ( ( F ` x ) ` n ) ) ) e. ( ( R ↾t I ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) <-> ( x e. I |-> ( ( x ` n ) - ( ( F ` x ) ` n ) ) ) e. ( ( R ↾t I ) Cn ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) ) ) )
87	84, 85, 86	mp3an13 1351	. . . . . . . 8 |- ( ran ( x e. I |-> ( ( x ` n ) - ( ( F ` x ) ` n ) ) ) C_ RR -> ( ( x e. I |-> ( ( x ` n ) - ( ( F ` x ) ` n ) ) ) e. ( ( R ↾t I ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) <-> ( x e. I |-> ( ( x ` n ) - ( ( F ` x ) ` n ) ) ) e. ( ( R ↾t I ) Cn ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) ) ) )
88	82, 83, 87	3syl 18	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( x e. I |-> ( ( x ` n ) - ( ( F ` x ) ` n ) ) ) e. ( ( R ↾t I ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) <-> ( x e. I |-> ( ( x ` n ) - ( ( F ` x ) ` n ) ) ) e. ( ( R ↾t I ) Cn ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) ) ) )
89	68, 88	mpbid 213	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( x e. I |-> ( ( x ` n ) - ( ( F ` x ) ` n ) ) ) e. ( ( R ↾t I ) Cn ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) ) )
90	54	adantl 467	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( R ↾t I ) Cn ( ( ( 1 ... N ) X. { ( topGen ` ran (,) ) } ) ` n ) ) = ( ( R ↾t I ) Cn ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) ) )
91	89, 90	eleqtrrd 2513	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( x e. I |-> ( ( x ` n ) - ( ( F ` x ) ` n ) ) ) e. ( ( R ↾t I ) Cn ( ( ( 1 ... N ) X. { ( topGen ` ran (,) ) } ) ` n ) ) )
92	3, 32, 33, 36, 91	ptcn 20629	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. I |-> ( n e. ( 1 ... N ) |-> ( ( x ` n ) - ( ( F ` x ) ` n ) ) ) ) e. ( ( R ↾t I ) Cn R ) )
93	31, 92	eqeltrd 2510	. . 3 |- ( ph -> ( x e. I |-> ( x oF - ( F ` x ) ) ) e. ( ( R ↾t I ) Cn R ) )
94		simpr2 1012	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... N ) /\ z e. I /\ ( z ` n ) = 0 ) ) -> z e. I )
95		id 23	. . . . . . . . 9 |- ( x = z -> x = z )
96		fveq2 5878	. . . . . . . . 9 |- ( x = z -> ( F ` x ) = ( F ` z ) )
97	95, 96	oveq12d 6320	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( x oF - ( F ` x ) ) = ( z oF - ( F ` z ) ) )
98		eqid 2422	. . . . . . . 8 |- ( x e. I |-> ( x oF - ( F ` x ) ) ) = ( x e. I |-> ( x oF - ( F ` x ) ) )
99		ovex 6330	. . . . . . . 8 |- ( z oF - ( F ` z ) ) e. _V
100	97, 98, 99	fvmpt 5961	. . . . . . 7 |- ( z e. I -> ( ( x e. I |-> ( x oF - ( F ` x ) ) ) ` z ) = ( z oF - ( F ` z ) ) )
101	100	fveq1d 5880	. . . . . 6 |- ( z e. I -> ( ( ( x e. I |-> ( x oF - ( F ` x ) ) ) ` z ) ` n ) = ( ( z oF - ( F ` z ) ) ` n ) )
102	94, 101	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... N ) /\ z e. I /\ ( z ` n ) = 0 ) ) -> ( ( ( x e. I |-> ( x oF - ( F ` x ) ) ) ` z ) ` n ) = ( ( z oF - ( F ` z ) ) ` n ) )
103		elmapfn 7499	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ( ( 0 [,] 1 ) ^m ( 1 ... N ) ) -> z Fn ( 1 ... N ) )
104	103, 2	eleq2s 2530	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. I -> z Fn ( 1 ... N ) )
105	104	adantl 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( z ` n ) = 0 ) /\ z e. I ) -> z Fn ( 1 ... N ) )
106	21	ffvelrnda 6034	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. I ) -> ( F ` z ) e. I )
107		elmapfn 7499	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F ` z ) e. ( ( 0 [,] 1 ) ^m ( 1 ... N ) ) -> ( F ` z ) Fn ( 1 ... N ) )
108	107, 2	eleq2s 2530	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F ` z ) e. I -> ( F ` z ) Fn ( 1 ... N ) )
109	106, 108	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. I ) -> ( F ` z ) Fn ( 1 ... N ) )
110	109	adantlr 719	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( z ` n ) = 0 ) /\ z e. I ) -> ( F ` z ) Fn ( 1 ... N ) )
111	8	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( z ` n ) = 0 ) /\ z e. I ) -> ( 1 ... N ) e. _V )
112		simpllr 767	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( z ` n ) = 0 ) /\ z e. I ) /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( z ` n ) = 0 )
113		eqidd 2423	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( z ` n ) = 0 ) /\ z e. I ) /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( F ` z ) ` n ) = ( ( F ` z ) ` n ) )
114	105, 110, 111, 111, 27, 112, 113	ofval 6551	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( z ` n ) = 0 ) /\ z e. I ) /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( z oF - ( F ` z ) ) ` n ) = ( 0 - ( ( F ` z ) ` n ) ) )
115		df-neg 9864	. . . . . . . . 9 |- -u ( ( F ` z ) ` n ) = ( 0 - ( ( F ` z ) ` n ) )
116	114, 115	syl6eqr 2481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( z ` n ) = 0 ) /\ z e. I ) /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( z oF - ( F ` z ) ) ` n ) = -u ( ( F ` z ) ` n ) )
117	116	exp41 613	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( z ` n ) = 0 -> ( z e. I -> ( n e. ( 1 ... N ) -> ( ( z oF - ( F ` z ) ) ` n ) = -u ( ( F ` z ) ` n ) ) ) ) )
118	117	com24 90	. . . . . 6 |- ( ph -> ( n e. ( 1 ... N ) -> ( z e. I -> ( ( z ` n ) = 0 -> ( ( z oF - ( F ` z ) ) ` n ) = -u ( ( F ` z ) ` n ) ) ) ) )
119	118	3imp2 1220	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... N ) /\ z e. I /\ ( z ` n ) = 0 ) ) -> ( ( z oF - ( F ` z ) ) ` n ) = -u ( ( F ` z ) ` n ) )
120	102, 119	eqtrd 2463	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... N ) /\ z e. I /\ ( z ` n ) = 0 ) ) -> ( ( ( x e. I |-> ( x oF - ( F ` x ) ) ) ` z ) ` n ) = -u ( ( F ` z ) ` n ) )
121		elmapi 7498	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F ` z ) e. ( ( 0 [,] 1 ) ^m ( 1 ... N ) ) -> ( F ` z ) : ( 1 ... N ) --> ( 0 [,] 1 ) )
122	121, 2	eleq2s 2530	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F ` z ) e. I -> ( F ` z ) : ( 1 ... N ) --> ( 0 [,] 1 ) )
123	106, 122	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. I ) -> ( F ` z ) : ( 1 ... N ) --> ( 0 [,] 1 ) )
124	123	ffvelrnda 6034	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. I ) /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( F ` z ) ` n ) e. ( 0 [,] 1 ) )
125		0xr 9688	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. RR*
126		1re 9643	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. RR
127	126	rexri 9694	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. RR*
128		iccgelb 11692	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. RR* /\ 1 e. RR* /\ ( ( F ` z ) ` n ) e. ( 0 [,] 1 ) ) -> 0 <_ ( ( F ` z ) ` n ) )
129	125, 127, 128	mp3an12 1350	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F ` z ) ` n ) e. ( 0 [,] 1 ) -> 0 <_ ( ( F ` z ) ` n ) )
130	124, 129	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. I ) /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> 0 <_ ( ( F ` z ) ` n ) )
131	13, 124	sseldi 3462	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. I ) /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( F ` z ) ` n ) e. RR )
132	131	le0neg2d 10187	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. I ) /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( 0 <_ ( ( F ` z ) ` n ) <-> -u ( ( F ` z ) ` n ) <_ 0 ) )
133	130, 132	mpbid 213	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. I ) /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> -u ( ( F ` z ) ` n ) <_ 0 )
134	133	an32s 811	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) /\ z e. I ) -> -u ( ( F ` z ) ` n ) <_ 0 )
135	134	anasss 651	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... N ) /\ z e. I ) ) -> -u ( ( F ` z ) ` n ) <_ 0 )
136	135	3adantr3 1166	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... N ) /\ z e. I /\ ( z ` n ) = 0 ) ) -> -u ( ( F ` z ) ` n ) <_ 0 )
137	120, 136	eqbrtrd 4441	. . 3 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... N ) /\ z e. I /\ ( z ` n ) = 0 ) ) -> ( ( ( x e. I |-> ( x oF - ( F ` x ) ) ) ` z ) ` n ) <_ 0 )
138		iccleub 11691	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. RR* /\ 1 e. RR* /\ ( ( F ` z ) ` n ) e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( F ` z ) ` n ) <_ 1 )
139	125, 127, 138	mp3an12 1350	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F ` z ) ` n ) e. ( 0 [,] 1 ) -> ( ( F ` z ) ` n ) <_ 1 )
140	124, 139	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. I ) /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( F ` z ) ` n ) <_ 1 )
141		1red 9659	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. I ) /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> 1 e. RR )
142	141, 131	subge0d 10204	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. I ) /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( 0 <_ ( 1 - ( ( F ` z ) ` n ) ) <-> ( ( F ` z ) ` n ) <_ 1 ) )
143	140, 142	mpbird 235	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. I ) /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> 0 <_ ( 1 - ( ( F ` z ) ` n ) ) )
144	143	an32s 811	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) /\ z e. I ) -> 0 <_ ( 1 - ( ( F ` z ) ` n ) ) )
145	144	anasss 651	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... N ) /\ z e. I ) ) -> 0 <_ ( 1 - ( ( F ` z ) ` n ) ) )
146	145	3adantr3 1166	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... N ) /\ z e. I /\ ( z ` n ) = 1 ) ) -> 0 <_ ( 1 - ( ( F ` z ) ` n ) ) )
147		simpr2 1012	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... N ) /\ z e. I /\ ( z ` n ) = 1 ) ) -> z e. I )
148	147, 101	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... N ) /\ z e. I /\ ( z ` n ) = 1 ) ) -> ( ( ( x e. I |-> ( x oF - ( F ` x ) ) ) ` z ) ` n ) = ( ( z oF - ( F ` z ) ) ` n ) )
149	104	adantl 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( z ` n ) = 1 ) /\ z e. I ) -> z Fn ( 1 ... N ) )
150	109	adantlr 719	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( z ` n ) = 1 ) /\ z e. I ) -> ( F ` z ) Fn ( 1 ... N ) )
151	8	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( z ` n ) = 1 ) /\ z e. I ) -> ( 1 ... N ) e. _V )
152		simpllr 767	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( z ` n ) = 1 ) /\ z e. I ) /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( z ` n ) = 1 )
153		eqidd 2423	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( z ` n ) = 1 ) /\ z e. I ) /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( F ` z ) ` n ) = ( ( F ` z ) ` n ) )
154	149, 150, 151, 151, 27, 152, 153	ofval 6551	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( z ` n ) = 1 ) /\ z e. I ) /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( z oF - ( F ` z ) ) ` n ) = ( 1 - ( ( F ` z ) ` n ) ) )
155	154	exp41 613	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( z ` n ) = 1 -> ( z e. I -> ( n e. ( 1 ... N ) -> ( ( z oF - ( F ` z ) ) ` n ) = ( 1 - ( ( F ` z ) ` n ) ) ) ) ) )
156	155	com24 90	. . . . . 6 |- ( ph -> ( n e. ( 1 ... N ) -> ( z e. I -> ( ( z ` n ) = 1 -> ( ( z oF - ( F ` z ) ) ` n ) = ( 1 - ( ( F ` z ) ` n ) ) ) ) ) )
157	156	3imp2 1220	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... N ) /\ z e. I /\ ( z ` n ) = 1 ) ) -> ( ( z oF - ( F ` z ) ) ` n ) = ( 1 - ( ( F ` z ) ` n ) ) )
158	148, 157	eqtrd 2463	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... N ) /\ z e. I /\ ( z ` n ) = 1 ) ) -> ( ( ( x e. I |-> ( x oF - ( F ` x ) ) ) ` z ) ` n ) = ( 1 - ( ( F ` z ) ` n ) ) )
159	146, 158	breqtrrd 4447	. . 3 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... N ) /\ z e. I /\ ( z ` n ) = 1 ) ) -> 0 <_ ( ( ( x e. I |-> ( x oF - ( F ` x ) ) ) ` z ) ` n ) )
160	1, 2, 3, 93, 137, 159	poimir 31887	. 2 |- ( ph -> E. c e. I ( ( x e. I |-> ( x oF - ( F ` x ) ) ) ` c ) = ( ( 1 ... N ) X. { 0 } ) )
161		id 23	. . . . . . . 8 |- ( x = c -> x = c )
162		fveq2 5878	. . . . . . . 8 |- ( x = c -> ( F ` x ) = ( F ` c ) )
163	161, 162	oveq12d 6320	. . . . . . 7 |- ( x = c -> ( x oF - ( F ` x ) ) = ( c oF - ( F ` c ) ) )
164		ovex 6330	. . . . . . 7 |- ( c oF - ( F ` c ) ) e. _V
165	163, 98, 164	fvmpt 5961	. . . . . 6 |- ( c e. I -> ( ( x e. I |-> ( x oF - ( F ` x ) ) ) ` c ) = ( c oF - ( F ` c ) ) )
166	165	adantl 467	. . . . 5 |- ( ( ph /\ c e. I ) -> ( ( x e. I |-> ( x oF - ( F ` x ) ) ) ` c ) = ( c oF - ( F ` c ) ) )
167	166	eqeq1d 2424	. . . 4 |- ( ( ph /\ c e. I ) -> ( ( ( x e. I |-> ( x oF - ( F ` x ) ) ) ` c ) = ( ( 1 ... N ) X. { 0 } ) <-> ( c oF - ( F ` c ) ) = ( ( 1 ... N ) X. { 0 } ) ) )
168		elmapfn 7499	. . . . . . . . . . 11 |- ( c e. ( ( 0 [,] 1 ) ^m ( 1 ... N ) ) -> c Fn ( 1 ... N ) )
169	168, 2	eleq2s 2530	. . . . . . . . . 10 |- ( c e. I -> c Fn ( 1 ... N ) )
170	169	adantl 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ c e. I ) -> c Fn ( 1 ... N ) )
171	21	ffvelrnda 6034	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ c e. I ) -> ( F ` c ) e. I )
172		elmapfn 7499	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F ` c ) e. ( ( 0 [,] 1 ) ^m ( 1 ... N ) ) -> ( F ` c ) Fn ( 1 ... N ) )
173	172, 2	eleq2s 2530	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F ` c ) e. I -> ( F ` c ) Fn ( 1 ... N ) )
174	171, 173	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ c e. I ) -> ( F ` c ) Fn ( 1 ... N ) )
175	8	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ c e. I ) -> ( 1 ... N ) e. _V )
176		eqidd 2423	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ c e. I ) /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( c ` n ) = ( c ` n ) )
177		eqidd 2423	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ c e. I ) /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( F ` c ) ` n ) = ( ( F ` c ) ` n ) )
178	170, 174, 175, 175, 27, 176, 177	ofval 6551	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ c e. I ) /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( c oF - ( F ` c ) ) ` n ) = ( ( c ` n ) - ( ( F ` c ) ` n ) ) )
179		c0ex 9638	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. _V
180	179	fvconst2 6132	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( 1 ... N ) X. { 0 } ) ` n ) = 0 )
181	180	adantl 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ c e. I ) /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( 1 ... N ) X. { 0 } ) ` n ) = 0 )
182	178, 181	eqeq12d 2444	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ c e. I ) /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( c oF - ( F ` c ) ) ` n ) = ( ( ( 1 ... N ) X. { 0 } ) ` n ) <-> ( ( c ` n ) - ( ( F ` c ) ` n ) ) = 0 ) )
183	13, 85	sstri 3473	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 [,] 1 ) C_ CC
184		elmapi 7498	. . . . . . . . . . . 12 |- ( c e. ( ( 0 [,] 1 ) ^m ( 1 ... N ) ) -> c : ( 1 ... N ) --> ( 0 [,] 1 ) )
185	184, 2	eleq2s 2530	. . . . . . . . . . 11 |- ( c e. I -> c : ( 1 ... N ) --> ( 0 [,] 1 ) )
186	185	ffvelrnda 6034	. . . . . . . . . 10 |- ( ( c e. I /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( c ` n ) e. ( 0 [,] 1 ) )
187	183, 186	sseldi 3462	. . . . . . . . 9 |- ( ( c e. I /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( c ` n ) e. CC )
188	187	adantll 718	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ c e. I ) /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( c ` n ) e. CC )
189		elmapi 7498	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F ` c ) e. ( ( 0 [,] 1 ) ^m ( 1 ... N ) ) -> ( F ` c ) : ( 1 ... N ) --> ( 0 [,] 1 ) )
190	189, 2	eleq2s 2530	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F ` c ) e. I -> ( F ` c ) : ( 1 ... N ) --> ( 0 [,] 1 ) )
191	171, 190	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ c e. I ) -> ( F ` c ) : ( 1 ... N ) --> ( 0 [,] 1 ) )
192	191	ffvelrnda 6034	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ c e. I ) /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( F ` c ) ` n ) e. ( 0 [,] 1 ) )
193	183, 192	sseldi 3462	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ c e. I ) /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( F ` c ) ` n ) e. CC )
194	188, 193	subeq0ad 9997	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ c e. I ) /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( c ` n ) - ( ( F ` c ) ` n ) ) = 0 <-> ( c ` n ) = ( ( F ` c ) ` n ) ) )
195	182, 194	bitrd 256	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ c e. I ) /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( c oF - ( F ` c ) ) ` n ) = ( ( ( 1 ... N ) X. { 0 } ) ` n ) <-> ( c ` n ) = ( ( F ` c ) ` n ) ) )
196	195	ralbidva 2861	. . . . 5 |- ( ( ph /\ c e. I ) -> ( A. n e. ( 1 ... N ) ( ( c oF - ( F ` c ) ) ` n ) = ( ( ( 1 ... N ) X. { 0 } ) ` n ) <-> A. n e. ( 1 ... N ) ( c ` n ) = ( ( F ` c ) ` n ) ) )
197	170, 174, 175, 175, 27	offn 6553	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ c e. I ) -> ( c oF - ( F ` c ) ) Fn ( 1 ... N ) )
198		fnconstg 5785	. . . . . . 7 |- ( 0 e. _V -> ( ( 1 ... N ) X. { 0 } ) Fn ( 1 ... N ) )
199	179, 198	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( ( 1 ... N ) X. { 0 } ) Fn ( 1 ... N )
200		eqfnfv 5988	. . . . . 6 |- ( ( ( c oF - ( F ` c ) ) Fn ( 1 ... N ) /\ ( ( 1 ... N ) X. { 0 } ) Fn ( 1 ... N ) ) -> ( ( c oF - ( F ` c ) ) = ( ( 1 ... N ) X. { 0 } ) <-> A. n e. ( 1 ... N ) ( ( c oF - ( F ` c ) ) ` n ) = ( ( ( 1 ... N ) X. { 0 } ) ` n ) ) )
201	197, 199, 200	sylancl 666	. . . . 5 |- ( ( ph /\ c e. I ) -> ( ( c oF - ( F ` c ) ) = ( ( 1 ... N ) X. { 0 } ) <-> A. n e. ( 1 ... N ) ( ( c oF - ( F ` c ) ) ` n ) = ( ( ( 1 ... N ) X. { 0 } ) ` n ) ) )
202		eqfnfv 5988	. . . . . 6 |- ( ( c Fn ( 1 ... N ) /\ ( F ` c ) Fn ( 1 ... N ) ) -> ( c = ( F ` c ) <-> A. n e. ( 1 ... N ) ( c ` n ) = ( ( F ` c ) ` n ) ) )
203	170, 174, 202	syl2anc 665	. . . . 5 |- ( ( ph /\ c e. I ) -> ( c = ( F ` c ) <-> A. n e. ( 1 ... N ) ( c ` n ) = ( ( F ` c ) ` n ) ) )
204	196, 201, 203	3bitr4d 288	. . . 4 |- ( ( ph /\ c e. I ) -> ( ( c oF - ( F ` c ) ) = ( ( 1 ... N ) X. { 0 } ) <-> c = ( F ` c ) ) )
205	167, 204	bitrd 256	. . 3 |- ( ( ph /\ c e. I ) -> ( ( ( x e. I |-> ( x oF - ( F ` x ) ) ) ` c ) = ( ( 1 ... N ) X. { 0 } ) <-> c = ( F ` c ) ) )
206	205	rexbidva 2936	. 2 |- ( ph -> ( E. c e. I ( ( x e. I |-> ( x oF - ( F ` x ) ) ) ` c ) = ( ( 1 ... N ) X. { 0 } ) <-> E. c e. I c = ( F ` c ) ) )
207	160, 206	mpbid 213	1 |- ( ph -> E. c e. I c = ( F ` c ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   /\ w3a 982   = wceq 1437   e. wcel 1868   A.wral 2775   E.wrex 2776   _Vcvv 3081   C_ wss 3436   {csn 3996   class class class wbr 4420   |-> cmpt 4479   X. cxp 4848   ran crn 4851   |` cres 4852   Fn wfn 5593   -->wf 5594   ` cfv 5598  (class class class)co 6302   oFcof 6540   ^m cmap 7477   CCcc 9538   RRcr 9539   0cc0 9540   1c1 9541   RR*cxr 9675   <_ cle 9677   - cmin 9861   -ucneg 9862   NNcn 10610   (,)cioo 11636   [,]cicc 11639   ...cfz 11785   ↾_t crest 15307   TopOpenctopn 15308   topGenctg 15324   Xt_cpt 15325  ℂ_fldccnfld 18958   Topctop 19904  TopOnctopon 19905   Cn ccn 20227   tX ctx 20562

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-inf2 8149  ax-cnex 9596  ax-resscn 9597  ax-1cn 9598  ax-icn 9599  ax-addcl 9600  ax-addrcl 9601  ax-mulcl 9602  ax-mulrcl 9603  ax-mulcom 9604  ax-addass 9605  ax-mulass 9606  ax-distr 9607  ax-i2m1 9608  ax-1ne0 9609  ax-1rid 9610  ax-rnegex 9611  ax-rrecex 9612  ax-cnre 9613  ax-pre-lttri 9614  ax-pre-lttrn 9615  ax-pre-ltadd 9616  ax-pre-mulgt0 9617  ax-pre-sup 9618

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-iin 4299  df-disj 4392  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-se 4810  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-isom 5607  df-riota 6264  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-of 6542  df-om 6704  df-1st 6804  df-2nd 6805  df-supp 6923  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-2o 7188  df-oadd 7191  df-omul 7192  df-er 7368  df-map 7479  df-pm 7480  df-ixp 7528  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fsupp 7887  df-fi 7928  df-sup 7959  df-inf 7960  df-oi 8028  df-card 8375  df-acn 8378  df-cda 8599  df-pnf 9678  df-mnf 9679  df-xr 9680  df-ltxr 9681  df-le 9682  df-sub 9863  df-neg 9864  df-div 10271  df-nn 10611  df-2 10669  df-3 10670  df-4 10671  df-5 10672  df-6 10673  df-7 10674  df-8 10675  df-9 10676  df-10 10677  df-n0 10871  df-z 10939  df-dec 11053  df-uz 11161  df-q 11266  df-rp 11304  df-xneg 11410  df-xadd 11411  df-xmul 11412  df-ioo 11640  df-icc 11643  df-fz 11786  df-fzo 11917  df-fl 12028  df-seq 12214  df-exp 12273  df-fac 12460  df-bc 12488  df-hash 12516  df-cj 13151  df-re 13152  df-im 13153  df-sqrt 13287  df-abs 13288  df-clim 13540  df-sum 13741  df-dvds 14294  df-struct 15111  df-ndx 15112  df-slot 15113  df-base 15114  df-sets 15115  df-ress 15116  df-plusg 15191  df-mulr 15192  df-starv 15193  df-sca 15194  df-vsca 15195  df-ip 15196  df-tset 15197  df-ple 15198  df-ds 15200  df-unif 15201  df-hom 15202  df-cco 15203  df-rest 15309  df-topn 15310  df-0g 15328  df-gsum 15329  df-topgen 15330  df-pt 15331  df-prds 15334  df-xrs 15388  df-qtop 15394  df-imas 15395  df-xps 15398  df-mre 15480  df-mrc 15481  df-acs 15483  df-ps 16434  df-tsr 16435  df-mgm 16476  df-sgrp 16515  df-mnd 16525  df-submnd 16571  df-mulg 16664  df-cntz 16959  df-cmn 17420  df-psmet 18950  df-xmet 18951  df-met 18952  df-bl 18953  df-mopn 18954  df-cnfld 18959  df-top 19908  df-bases 19909  df-topon 19910  df-topsp 19911  df-cld 20021  df-ntr 20022  df-cls 20023  df-lp 20139  df-cn 20230  df-cnp 20231  df-t1 20317  df-haus 20318  df-cmp 20389  df-tx 20564  df-hmeo 20757  df-hmph 20758  df-xms 21322  df-ms 21323  df-tms 21324  df-ii 21896

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