Theorem broucube 31986

Description: Brouwer - or as Kulpa calls it, "Bohl-Brouwer" - fixed point theorem for the unit cube. Theorem on [Kulpa] p. 548. (Contributed by Brendan Leahy, 21-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
poimir.0	|- ( ph -> N e. NN )
poimir.i	|- I = ( ( 0 [,] 1 ) ^m ( 1 ... N ) )
poimir.r	|- R = ( Xt_ ` ( ( 1 ... N ) X. { ( topGen ` ran (,) ) } ) )
broucube.1	|- ( ph -> F e. ( ( R ↾t I ) Cn ( R ↾t I ) ) )

Assertion

Ref	Expression
broucube	|- ( ph -> E. c e. I c = ( F ` c ) )

Distinct variable groups:   ph, c   F, c   I, c   N, c   R, c

Proof of Theorem broucube

Dummy variables n x z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		poimir.0	. . 3 |- ( ph -> N e. NN )
2		poimir.i	. . 3 |- I = ( ( 0 [,] 1 ) ^m ( 1 ... N ) )
3		poimir.r	. . 3 |- R = ( Xt_ ` ( ( 1 ... N ) X. { ( topGen ` ran (,) ) } ) )
4		elmapfn 7499	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( ( 0 [,] 1 ) ^m ( 1 ... N ) ) -> x Fn ( 1 ... N ) )
5	4, 2	eleq2s 2549	. . . . . . 7 |- ( x e. I -> x Fn ( 1 ... N ) )
6	5	adantl 468	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> x Fn ( 1 ... N ) )
7		broucube.1	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F e. ( ( R ↾t I ) Cn ( R ↾t I ) ) )
8		ovex 6323	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 ... N ) e. _V
9		retopon 21796	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( topGen ` ran (,) ) e. (TopOn ` RR )
10	3	pttoponconst 20624	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 1 ... N ) e. _V /\ ( topGen ` ran (,) ) e. (TopOn ` RR ) ) -> R e. (TopOn ` ( RR ^m ( 1 ... N ) ) ) )
11	8, 9, 10	mp2an 679	. . . . . . . . . . . 12 |- R e. (TopOn ` ( RR ^m ( 1 ... N ) ) )
12		reex 9635	. . . . . . . . . . . . . 14 |- RR e. _V
13		unitssre 11786	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 [,] 1 ) C_ RR
14		mapss 7519	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( RR e. _V /\ ( 0 [,] 1 ) C_ RR ) -> ( ( 0 [,] 1 ) ^m ( 1 ... N ) ) C_ ( RR ^m ( 1 ... N ) ) )
15	12, 13, 14	mp2an 679	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0 [,] 1 ) ^m ( 1 ... N ) ) C_ ( RR ^m ( 1 ... N ) )
16	2, 15	eqsstri 3464	. . . . . . . . . . . 12 |- I C_ ( RR ^m ( 1 ... N ) )
17		resttopon 20189	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. (TopOn ` ( RR ^m ( 1 ... N ) ) ) /\ I C_ ( RR ^m ( 1 ... N ) ) ) -> ( R ↾t I ) e. (TopOn ` I ) )
18	11, 16, 17	mp2an 679	. . . . . . . . . . 11 |- ( R ↾t I ) e. (TopOn ` I )
19	18	toponunii 19959	. . . . . . . . . 10 |- I = U. ( R ↾t I )
20	19, 19	cnf 20274	. . . . . . . . 9 |- ( F e. ( ( R ↾t I ) Cn ( R ↾t I ) ) -> F : I --> I )
21	7, 20	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : I --> I )
22	21	ffvelrnda 6027	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( F ` x ) e. I )
23		elmapfn 7499	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` x ) e. ( ( 0 [,] 1 ) ^m ( 1 ... N ) ) -> ( F ` x ) Fn ( 1 ... N ) )
24	23, 2	eleq2s 2549	. . . . . . 7 |- ( ( F ` x ) e. I -> ( F ` x ) Fn ( 1 ... N ) )
25	22, 24	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( F ` x ) Fn ( 1 ... N ) )
26	8	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( 1 ... N ) e. _V )
27		inidm 3643	. . . . . 6 |- ( ( 1 ... N ) i^i ( 1 ... N ) ) = ( 1 ... N )
28		eqidd 2454	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. I ) /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( x ` n ) = ( x ` n ) )
29		eqidd 2454	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. I ) /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( F ` x ) ` n ) = ( ( F ` x ) ` n ) )
30	6, 25, 26, 26, 27, 28, 29	offval 6543	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( x oF - ( F ` x ) ) = ( n e. ( 1 ... N ) |-> ( ( x ` n ) - ( ( F ` x ) ` n ) ) ) )
31	30	mpteq2dva 4492	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. I |-> ( x oF - ( F ` x ) ) ) = ( x e. I |-> ( n e. ( 1 ... N ) |-> ( ( x ` n ) - ( ( F ` x ) ` n ) ) ) ) )
32	18	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( R ↾t I ) e. (TopOn ` I ) )
33	8	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 ... N ) e. _V )
34		retop 21794	. . . . . . 7 |- ( topGen ` ran (,) ) e. Top
35	34	fconst6 5778	. . . . . 6 |- ( ( 1 ... N ) X. { ( topGen ` ran (,) ) } ) : ( 1 ... N ) --> Top
36	35	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( 1 ... N ) X. { ( topGen ` ran (,) ) } ) : ( 1 ... N ) --> Top )
37	18	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( R ↾t I ) e. (TopOn ` I ) )
38		eqid 2453	. . . . . . . . . . . 12 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
39	38	cnfldtop 21816	. . . . . . . . . . 11 |- ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top
40		cnrest2r 20315	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top -> ( ( R ↾t I ) Cn ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) ) C_ ( ( R ↾t I ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
41	39, 40	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R ↾t I ) Cn ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) ) C_ ( ( R ↾t I ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) )
42		resmpt 5157	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( I C_ ( RR ^m ( 1 ... N ) ) -> ( ( x e. ( RR ^m ( 1 ... N ) ) |-> ( x ` n ) ) |` I ) = ( x e. I |-> ( x ` n ) ) )
43	16, 42	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ( RR ^m ( 1 ... N ) ) |-> ( x ` n ) ) |` I ) = ( x e. I |-> ( x ` n ) )
44	11	toponunii 19959	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( RR ^m ( 1 ... N ) ) = U. R
45	44, 3	ptpjcn 20638	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( 1 ... N ) e. _V /\ ( ( 1 ... N ) X. { ( topGen ` ran (,) ) } ) : ( 1 ... N ) --> Top /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( x e. ( RR ^m ( 1 ... N ) ) |-> ( x ` n ) ) e. ( R Cn ( ( ( 1 ... N ) X. { ( topGen ` ran (,) ) } ) ` n ) ) )
46	8, 35, 45	mp3an12 1356	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ( 1 ... N ) -> ( x e. ( RR ^m ( 1 ... N ) ) |-> ( x ` n ) ) e. ( R Cn ( ( ( 1 ... N ) X. { ( topGen ` ran (,) ) } ) ` n ) ) )
47	44	cnrest 20313	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. ( RR ^m ( 1 ... N ) ) |-> ( x ` n ) ) e. ( R Cn ( ( ( 1 ... N ) X. { ( topGen ` ran (,) ) } ) ` n ) ) /\ I C_ ( RR ^m ( 1 ... N ) ) ) -> ( ( x e. ( RR ^m ( 1 ... N ) ) |-> ( x ` n ) ) |` I ) e. ( ( R ↾t I ) Cn ( ( ( 1 ... N ) X. { ( topGen ` ran (,) ) } ) ` n ) ) )
48	46, 16, 47	sylancl 669	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ( 1 ... N ) -> ( ( x e. ( RR ^m ( 1 ... N ) ) |-> ( x ` n ) ) |` I ) e. ( ( R ↾t I ) Cn ( ( ( 1 ... N ) X. { ( topGen ` ran (,) ) } ) ` n ) ) )
49	43, 48	syl5eqelr 2536	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ( 1 ... N ) -> ( x e. I |-> ( x ` n ) ) e. ( ( R ↾t I ) Cn ( ( ( 1 ... N ) X. { ( topGen ` ran (,) ) } ) ` n ) ) )
50		fvex 5880	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( topGen ` ran (,) ) e. _V
51	50	fvconst2 6125	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( 1 ... N ) X. { ( topGen ` ran (,) ) } ) ` n ) = ( topGen ` ran (,) ) )
52	38	tgioo2 21833	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
53	51, 52	syl6eq 2503	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( 1 ... N ) X. { ( topGen ` ran (,) ) } ) ` n ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) )
54	53	oveq2d 6311	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ( 1 ... N ) -> ( ( R ↾t I ) Cn ( ( ( 1 ... N ) X. { ( topGen ` ran (,) ) } ) ` n ) ) = ( ( R ↾t I ) Cn ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) ) )
55	49, 54	eleqtrd 2533	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( 1 ... N ) -> ( x e. I |-> ( x ` n ) ) e. ( ( R ↾t I ) Cn ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) ) )
56	41, 55	sseldi 3432	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( 1 ... N ) -> ( x e. I |-> ( x ` n ) ) e. ( ( R ↾t I ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
57	56	adantl 468	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( x e. I |-> ( x ` n ) ) e. ( ( R ↾t I ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
58	21	feqmptd 5923	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F = ( x e. I |-> ( F ` x ) ) )
59	58, 7	eqeltrrd 2532	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. I |-> ( F ` x ) ) e. ( ( R ↾t I ) Cn ( R ↾t I ) ) )
60	59	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( x e. I |-> ( F ` x ) ) e. ( ( R ↾t I ) Cn ( R ↾t I ) ) )
61		fveq1 5869	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = z -> ( x ` n ) = ( z ` n ) )
62	61	cbvmptv 4498	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. I |-> ( x ` n ) ) = ( z e. I |-> ( z ` n ) )
63	62, 57	syl5eqelr 2536	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( z e. I |-> ( z ` n ) ) e. ( ( R ↾t I ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
64		fveq1 5869	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( F ` x ) -> ( z ` n ) = ( ( F ` x ) ` n ) )
65	37, 60, 37, 63, 64	cnmpt11 20690	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( x e. I |-> ( ( F ` x ) ` n ) ) e. ( ( R ↾t I ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
66	38	subcn 21910	. . . . . . . . 9 |- - e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) )
67	66	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> - e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
68	37, 57, 65, 67	cnmpt12f 20693	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( x e. I |-> ( ( x ` n ) - ( ( F ` x ) ` n ) ) ) e. ( ( R ↾t I ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
69		elmapi 7498	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( ( 0 [,] 1 ) ^m ( 1 ... N ) ) -> x : ( 1 ... N ) --> ( 0 [,] 1 ) )
70	69, 2	eleq2s 2549	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. I -> x : ( 1 ... N ) --> ( 0 [,] 1 ) )
71	70	ffvelrnda 6027	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. I /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( x ` n ) e. ( 0 [,] 1 ) )
72	13, 71	sseldi 3432	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. I /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( x ` n ) e. RR )
73	72	adantll 721	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. I ) /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( x ` n ) e. RR )
74		elmapi 7498	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F ` x ) e. ( ( 0 [,] 1 ) ^m ( 1 ... N ) ) -> ( F ` x ) : ( 1 ... N ) --> ( 0 [,] 1 ) )
75	74, 2	eleq2s 2549	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F ` x ) e. I -> ( F ` x ) : ( 1 ... N ) --> ( 0 [,] 1 ) )
76	22, 75	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( F ` x ) : ( 1 ... N ) --> ( 0 [,] 1 ) )
77	76	ffvelrnda 6027	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. I ) /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( F ` x ) ` n ) e. ( 0 [,] 1 ) )
78	13, 77	sseldi 3432	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. I ) /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( F ` x ) ` n ) e. RR )
79	73, 78	resubcld 10054	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. I ) /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( x ` n ) - ( ( F ` x ) ` n ) ) e. RR )
80	79	an32s 814	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) /\ x e. I ) -> ( ( x ` n ) - ( ( F ` x ) ` n ) ) e. RR )
81		eqid 2453	. . . . . . . . 9 |- ( x e. I |-> ( ( x ` n ) - ( ( F ` x ) ` n ) ) ) = ( x e. I |-> ( ( x ` n ) - ( ( F ` x ) ` n ) ) )
82	80, 81	fmptd 6051	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( x e. I |-> ( ( x ` n ) - ( ( F ` x ) ` n ) ) ) : I --> RR )
83		frn 5740	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. I |-> ( ( x ` n ) - ( ( F ` x ) ` n ) ) ) : I --> RR -> ran ( x e. I |-> ( ( x ` n ) - ( ( F ` x ) ` n ) ) ) C_ RR )
84	38	cnfldtopon 21815	. . . . . . . . 9 |- ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC )
85		ax-resscn 9601	. . . . . . . . 9 |- RR C_ CC
86		cnrest2 20314	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC ) /\ ran ( x e. I |-> ( ( x ` n ) - ( ( F ` x ) ` n ) ) ) C_ RR /\ RR C_ CC ) -> ( ( x e. I |-> ( ( x ` n ) - ( ( F ` x ) ` n ) ) ) e. ( ( R ↾t I ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) <-> ( x e. I |-> ( ( x ` n ) - ( ( F ` x ) ` n ) ) ) e. ( ( R ↾t I ) Cn ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) ) ) )
87	84, 85, 86	mp3an13 1357	. . . . . . . 8 |- ( ran ( x e. I |-> ( ( x ` n ) - ( ( F ` x ) ` n ) ) ) C_ RR -> ( ( x e. I |-> ( ( x ` n ) - ( ( F ` x ) ` n ) ) ) e. ( ( R ↾t I ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) <-> ( x e. I |-> ( ( x ` n ) - ( ( F ` x ) ` n ) ) ) e. ( ( R ↾t I ) Cn ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) ) ) )
88	82, 83, 87	3syl 18	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( x e. I |-> ( ( x ` n ) - ( ( F ` x ) ` n ) ) ) e. ( ( R ↾t I ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) <-> ( x e. I |-> ( ( x ` n ) - ( ( F ` x ) ` n ) ) ) e. ( ( R ↾t I ) Cn ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) ) ) )
89	68, 88	mpbid 214	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( x e. I |-> ( ( x ` n ) - ( ( F ` x ) ` n ) ) ) e. ( ( R ↾t I ) Cn ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) ) )
90	54	adantl 468	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( R ↾t I ) Cn ( ( ( 1 ... N ) X. { ( topGen ` ran (,) ) } ) ` n ) ) = ( ( R ↾t I ) Cn ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) ) )
91	89, 90	eleqtrrd 2534	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( x e. I |-> ( ( x ` n ) - ( ( F ` x ) ` n ) ) ) e. ( ( R ↾t I ) Cn ( ( ( 1 ... N ) X. { ( topGen ` ran (,) ) } ) ` n ) ) )
92	3, 32, 33, 36, 91	ptcn 20654	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. I |-> ( n e. ( 1 ... N ) |-> ( ( x ` n ) - ( ( F ` x ) ` n ) ) ) ) e. ( ( R ↾t I ) Cn R ) )
93	31, 92	eqeltrd 2531	. . 3 |- ( ph -> ( x e. I |-> ( x oF - ( F ` x ) ) ) e. ( ( R ↾t I ) Cn R ) )
94		simpr2 1016	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... N ) /\ z e. I /\ ( z ` n ) = 0 ) ) -> z e. I )
95		id 22	. . . . . . . . 9 |- ( x = z -> x = z )
96		fveq2 5870	. . . . . . . . 9 |- ( x = z -> ( F ` x ) = ( F ` z ) )
97	95, 96	oveq12d 6313	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( x oF - ( F ` x ) ) = ( z oF - ( F ` z ) ) )
98		eqid 2453	. . . . . . . 8 |- ( x e. I |-> ( x oF - ( F ` x ) ) ) = ( x e. I |-> ( x oF - ( F ` x ) ) )
99		ovex 6323	. . . . . . . 8 |- ( z oF - ( F ` z ) ) e. _V
100	97, 98, 99	fvmpt 5953	. . . . . . 7 |- ( z e. I -> ( ( x e. I |-> ( x oF - ( F ` x ) ) ) ` z ) = ( z oF - ( F ` z ) ) )
101	100	fveq1d 5872	. . . . . 6 |- ( z e. I -> ( ( ( x e. I |-> ( x oF - ( F ` x ) ) ) ` z ) ` n ) = ( ( z oF - ( F ` z ) ) ` n ) )
102	94, 101	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... N ) /\ z e. I /\ ( z ` n ) = 0 ) ) -> ( ( ( x e. I |-> ( x oF - ( F ` x ) ) ) ` z ) ` n ) = ( ( z oF - ( F ` z ) ) ` n ) )
103		elmapfn 7499	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ( ( 0 [,] 1 ) ^m ( 1 ... N ) ) -> z Fn ( 1 ... N ) )
104	103, 2	eleq2s 2549	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. I -> z Fn ( 1 ... N ) )
105	104	adantl 468	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( z ` n ) = 0 ) /\ z e. I ) -> z Fn ( 1 ... N ) )
106	21	ffvelrnda 6027	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. I ) -> ( F ` z ) e. I )
107		elmapfn 7499	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F ` z ) e. ( ( 0 [,] 1 ) ^m ( 1 ... N ) ) -> ( F ` z ) Fn ( 1 ... N ) )
108	107, 2	eleq2s 2549	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F ` z ) e. I -> ( F ` z ) Fn ( 1 ... N ) )
109	106, 108	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. I ) -> ( F ` z ) Fn ( 1 ... N ) )
110	109	adantlr 722	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( z ` n ) = 0 ) /\ z e. I ) -> ( F ` z ) Fn ( 1 ... N ) )
111	8	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( z ` n ) = 0 ) /\ z e. I ) -> ( 1 ... N ) e. _V )
112		simpllr 770	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( z ` n ) = 0 ) /\ z e. I ) /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( z ` n ) = 0 )
113		eqidd 2454	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( z ` n ) = 0 ) /\ z e. I ) /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( F ` z ) ` n ) = ( ( F ` z ) ` n ) )
114	105, 110, 111, 111, 27, 112, 113	ofval 6545	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( z ` n ) = 0 ) /\ z e. I ) /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( z oF - ( F ` z ) ) ` n ) = ( 0 - ( ( F ` z ) ` n ) ) )
115		df-neg 9868	. . . . . . . . 9 |- -u ( ( F ` z ) ` n ) = ( 0 - ( ( F ` z ) ` n ) )
116	114, 115	syl6eqr 2505	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( z ` n ) = 0 ) /\ z e. I ) /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( z oF - ( F ` z ) ) ` n ) = -u ( ( F ` z ) ` n ) )
117	116	exp41 615	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( z ` n ) = 0 -> ( z e. I -> ( n e. ( 1 ... N ) -> ( ( z oF - ( F ` z ) ) ` n ) = -u ( ( F ` z ) ` n ) ) ) ) )
118	117	com24 90	. . . . . 6 |- ( ph -> ( n e. ( 1 ... N ) -> ( z e. I -> ( ( z ` n ) = 0 -> ( ( z oF - ( F ` z ) ) ` n ) = -u ( ( F ` z ) ` n ) ) ) ) )
119	118	3imp2 1225	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... N ) /\ z e. I /\ ( z ` n ) = 0 ) ) -> ( ( z oF - ( F ` z ) ) ` n ) = -u ( ( F ` z ) ` n ) )
120	102, 119	eqtrd 2487	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... N ) /\ z e. I /\ ( z ` n ) = 0 ) ) -> ( ( ( x e. I |-> ( x oF - ( F ` x ) ) ) ` z ) ` n ) = -u ( ( F ` z ) ` n ) )
121		elmapi 7498	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F ` z ) e. ( ( 0 [,] 1 ) ^m ( 1 ... N ) ) -> ( F ` z ) : ( 1 ... N ) --> ( 0 [,] 1 ) )
122	121, 2	eleq2s 2549	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F ` z ) e. I -> ( F ` z ) : ( 1 ... N ) --> ( 0 [,] 1 ) )
123	106, 122	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. I ) -> ( F ` z ) : ( 1 ... N ) --> ( 0 [,] 1 ) )
124	123	ffvelrnda 6027	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. I ) /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( F ` z ) ` n ) e. ( 0 [,] 1 ) )
125		0xr 9692	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. RR*
126		1re 9647	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. RR
127	126	rexri 9698	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. RR*
128		iccgelb 11698	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. RR* /\ 1 e. RR* /\ ( ( F ` z ) ` n ) e. ( 0 [,] 1 ) ) -> 0 <_ ( ( F ` z ) ` n ) )
129	125, 127, 128	mp3an12 1356	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F ` z ) ` n ) e. ( 0 [,] 1 ) -> 0 <_ ( ( F ` z ) ` n ) )
130	124, 129	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. I ) /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> 0 <_ ( ( F ` z ) ` n ) )
131	13, 124	sseldi 3432	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. I ) /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( F ` z ) ` n ) e. RR )
132	131	le0neg2d 10193	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. I ) /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( 0 <_ ( ( F ` z ) ` n ) <-> -u ( ( F ` z ) ` n ) <_ 0 ) )
133	130, 132	mpbid 214	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. I ) /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> -u ( ( F ` z ) ` n ) <_ 0 )
134	133	an32s 814	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) /\ z e. I ) -> -u ( ( F ` z ) ` n ) <_ 0 )
135	134	anasss 653	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... N ) /\ z e. I ) ) -> -u ( ( F ` z ) ` n ) <_ 0 )
136	135	3adantr3 1170	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... N ) /\ z e. I /\ ( z ` n ) = 0 ) ) -> -u ( ( F ` z ) ` n ) <_ 0 )
137	120, 136	eqbrtrd 4426	. . 3 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... N ) /\ z e. I /\ ( z ` n ) = 0 ) ) -> ( ( ( x e. I |-> ( x oF - ( F ` x ) ) ) ` z ) ` n ) <_ 0 )
138		iccleub 11697	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. RR* /\ 1 e. RR* /\ ( ( F ` z ) ` n ) e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( F ` z ) ` n ) <_ 1 )
139	125, 127, 138	mp3an12 1356	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F ` z ) ` n ) e. ( 0 [,] 1 ) -> ( ( F ` z ) ` n ) <_ 1 )
140	124, 139	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. I ) /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( F ` z ) ` n ) <_ 1 )
141		1red 9663	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. I ) /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> 1 e. RR )
142	141, 131	subge0d 10210	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. I ) /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( 0 <_ ( 1 - ( ( F ` z ) ` n ) ) <-> ( ( F ` z ) ` n ) <_ 1 ) )
143	140, 142	mpbird 236	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. I ) /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> 0 <_ ( 1 - ( ( F ` z ) ` n ) ) )
144	143	an32s 814	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) /\ z e. I ) -> 0 <_ ( 1 - ( ( F ` z ) ` n ) ) )
145	144	anasss 653	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... N ) /\ z e. I ) ) -> 0 <_ ( 1 - ( ( F ` z ) ` n ) ) )
146	145	3adantr3 1170	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... N ) /\ z e. I /\ ( z ` n ) = 1 ) ) -> 0 <_ ( 1 - ( ( F ` z ) ` n ) ) )
147		simpr2 1016	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... N ) /\ z e. I /\ ( z ` n ) = 1 ) ) -> z e. I )
148	147, 101	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... N ) /\ z e. I /\ ( z ` n ) = 1 ) ) -> ( ( ( x e. I |-> ( x oF - ( F ` x ) ) ) ` z ) ` n ) = ( ( z oF - ( F ` z ) ) ` n ) )
149	104	adantl 468	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( z ` n ) = 1 ) /\ z e. I ) -> z Fn ( 1 ... N ) )
150	109	adantlr 722	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( z ` n ) = 1 ) /\ z e. I ) -> ( F ` z ) Fn ( 1 ... N ) )
151	8	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( z ` n ) = 1 ) /\ z e. I ) -> ( 1 ... N ) e. _V )
152		simpllr 770	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( z ` n ) = 1 ) /\ z e. I ) /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( z ` n ) = 1 )
153		eqidd 2454	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( z ` n ) = 1 ) /\ z e. I ) /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( F ` z ) ` n ) = ( ( F ` z ) ` n ) )
154	149, 150, 151, 151, 27, 152, 153	ofval 6545	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( z ` n ) = 1 ) /\ z e. I ) /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( z oF - ( F ` z ) ) ` n ) = ( 1 - ( ( F ` z ) ` n ) ) )
155	154	exp41 615	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( z ` n ) = 1 -> ( z e. I -> ( n e. ( 1 ... N ) -> ( ( z oF - ( F ` z ) ) ` n ) = ( 1 - ( ( F ` z ) ` n ) ) ) ) ) )
156	155	com24 90	. . . . . 6 |- ( ph -> ( n e. ( 1 ... N ) -> ( z e. I -> ( ( z ` n ) = 1 -> ( ( z oF - ( F ` z ) ) ` n ) = ( 1 - ( ( F ` z ) ` n ) ) ) ) ) )
157	156	3imp2 1225	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... N ) /\ z e. I /\ ( z ` n ) = 1 ) ) -> ( ( z oF - ( F ` z ) ) ` n ) = ( 1 - ( ( F ` z ) ` n ) ) )
158	148, 157	eqtrd 2487	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... N ) /\ z e. I /\ ( z ` n ) = 1 ) ) -> ( ( ( x e. I |-> ( x oF - ( F ` x ) ) ) ` z ) ` n ) = ( 1 - ( ( F ` z ) ` n ) ) )
159	146, 158	breqtrrd 4432	. . 3 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... N ) /\ z e. I /\ ( z ` n ) = 1 ) ) -> 0 <_ ( ( ( x e. I |-> ( x oF - ( F ` x ) ) ) ` z ) ` n ) )
160	1, 2, 3, 93, 137, 159	poimir 31985	. 2 |- ( ph -> E. c e. I ( ( x e. I |-> ( x oF - ( F ` x ) ) ) ` c ) = ( ( 1 ... N ) X. { 0 } ) )
161		id 22	. . . . . . . 8 |- ( x = c -> x = c )
162		fveq2 5870	. . . . . . . 8 |- ( x = c -> ( F ` x ) = ( F ` c ) )
163	161, 162	oveq12d 6313	. . . . . . 7 |- ( x = c -> ( x oF - ( F ` x ) ) = ( c oF - ( F ` c ) ) )
164		ovex 6323	. . . . . . 7 |- ( c oF - ( F ` c ) ) e. _V
165	163, 98, 164	fvmpt 5953	. . . . . 6 |- ( c e. I -> ( ( x e. I |-> ( x oF - ( F ` x ) ) ) ` c ) = ( c oF - ( F ` c ) ) )
166	165	adantl 468	. . . . 5 |- ( ( ph /\ c e. I ) -> ( ( x e. I |-> ( x oF - ( F ` x ) ) ) ` c ) = ( c oF - ( F ` c ) ) )
167	166	eqeq1d 2455	. . . 4 |- ( ( ph /\ c e. I ) -> ( ( ( x e. I |-> ( x oF - ( F ` x ) ) ) ` c ) = ( ( 1 ... N ) X. { 0 } ) <-> ( c oF - ( F ` c ) ) = ( ( 1 ... N ) X. { 0 } ) ) )
168		elmapfn 7499	. . . . . . . . . . 11 |- ( c e. ( ( 0 [,] 1 ) ^m ( 1 ... N ) ) -> c Fn ( 1 ... N ) )
169	168, 2	eleq2s 2549	. . . . . . . . . 10 |- ( c e. I -> c Fn ( 1 ... N ) )
170	169	adantl 468	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ c e. I ) -> c Fn ( 1 ... N ) )
171	21	ffvelrnda 6027	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ c e. I ) -> ( F ` c ) e. I )
172		elmapfn 7499	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F ` c ) e. ( ( 0 [,] 1 ) ^m ( 1 ... N ) ) -> ( F ` c ) Fn ( 1 ... N ) )
173	172, 2	eleq2s 2549	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F ` c ) e. I -> ( F ` c ) Fn ( 1 ... N ) )
174	171, 173	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ c e. I ) -> ( F ` c ) Fn ( 1 ... N ) )
175	8	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ c e. I ) -> ( 1 ... N ) e. _V )
176		eqidd 2454	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ c e. I ) /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( c ` n ) = ( c ` n ) )
177		eqidd 2454	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ c e. I ) /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( F ` c ) ` n ) = ( ( F ` c ) ` n ) )
178	170, 174, 175, 175, 27, 176, 177	ofval 6545	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ c e. I ) /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( c oF - ( F ` c ) ) ` n ) = ( ( c ` n ) - ( ( F ` c ) ` n ) ) )
179		c0ex 9642	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. _V
180	179	fvconst2 6125	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( 1 ... N ) X. { 0 } ) ` n ) = 0 )
181	180	adantl 468	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ c e. I ) /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( 1 ... N ) X. { 0 } ) ` n ) = 0 )
182	178, 181	eqeq12d 2468	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ c e. I ) /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( c oF - ( F ` c ) ) ` n ) = ( ( ( 1 ... N ) X. { 0 } ) ` n ) <-> ( ( c ` n ) - ( ( F ` c ) ` n ) ) = 0 ) )
183	13, 85	sstri 3443	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 [,] 1 ) C_ CC
184		elmapi 7498	. . . . . . . . . . . 12 |- ( c e. ( ( 0 [,] 1 ) ^m ( 1 ... N ) ) -> c : ( 1 ... N ) --> ( 0 [,] 1 ) )
185	184, 2	eleq2s 2549	. . . . . . . . . . 11 |- ( c e. I -> c : ( 1 ... N ) --> ( 0 [,] 1 ) )
186	185	ffvelrnda 6027	. . . . . . . . . 10 |- ( ( c e. I /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( c ` n ) e. ( 0 [,] 1 ) )
187	183, 186	sseldi 3432	. . . . . . . . 9 |- ( ( c e. I /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( c ` n ) e. CC )
188	187	adantll 721	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ c e. I ) /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( c ` n ) e. CC )
189		elmapi 7498	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F ` c ) e. ( ( 0 [,] 1 ) ^m ( 1 ... N ) ) -> ( F ` c ) : ( 1 ... N ) --> ( 0 [,] 1 ) )
190	189, 2	eleq2s 2549	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F ` c ) e. I -> ( F ` c ) : ( 1 ... N ) --> ( 0 [,] 1 ) )
191	171, 190	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ c e. I ) -> ( F ` c ) : ( 1 ... N ) --> ( 0 [,] 1 ) )
192	191	ffvelrnda 6027	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ c e. I ) /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( F ` c ) ` n ) e. ( 0 [,] 1 ) )
193	183, 192	sseldi 3432	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ c e. I ) /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( F ` c ) ` n ) e. CC )
194	188, 193	subeq0ad 10001	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ c e. I ) /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( c ` n ) - ( ( F ` c ) ` n ) ) = 0 <-> ( c ` n ) = ( ( F ` c ) ` n ) ) )
195	182, 194	bitrd 257	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ c e. I ) /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( c oF - ( F ` c ) ) ` n ) = ( ( ( 1 ... N ) X. { 0 } ) ` n ) <-> ( c ` n ) = ( ( F ` c ) ` n ) ) )
196	195	ralbidva 2826	. . . . 5 |- ( ( ph /\ c e. I ) -> ( A. n e. ( 1 ... N ) ( ( c oF - ( F ` c ) ) ` n ) = ( ( ( 1 ... N ) X. { 0 } ) ` n ) <-> A. n e. ( 1 ... N ) ( c ` n ) = ( ( F ` c ) ` n ) ) )
197	170, 174, 175, 175, 27	offn 6547	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ c e. I ) -> ( c oF - ( F ` c ) ) Fn ( 1 ... N ) )
198		fnconstg 5776	. . . . . . 7 |- ( 0 e. _V -> ( ( 1 ... N ) X. { 0 } ) Fn ( 1 ... N ) )
199	179, 198	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( ( 1 ... N ) X. { 0 } ) Fn ( 1 ... N )
200		eqfnfv 5981	. . . . . 6 |- ( ( ( c oF - ( F ` c ) ) Fn ( 1 ... N ) /\ ( ( 1 ... N ) X. { 0 } ) Fn ( 1 ... N ) ) -> ( ( c oF - ( F ` c ) ) = ( ( 1 ... N ) X. { 0 } ) <-> A. n e. ( 1 ... N ) ( ( c oF - ( F ` c ) ) ` n ) = ( ( ( 1 ... N ) X. { 0 } ) ` n ) ) )
201	197, 199, 200	sylancl 669	. . . . 5 |- ( ( ph /\ c e. I ) -> ( ( c oF - ( F ` c ) ) = ( ( 1 ... N ) X. { 0 } ) <-> A. n e. ( 1 ... N ) ( ( c oF - ( F ` c ) ) ` n ) = ( ( ( 1 ... N ) X. { 0 } ) ` n ) ) )
202		eqfnfv 5981	. . . . . 6 |- ( ( c Fn ( 1 ... N ) /\ ( F ` c ) Fn ( 1 ... N ) ) -> ( c = ( F ` c ) <-> A. n e. ( 1 ... N ) ( c ` n ) = ( ( F ` c ) ` n ) ) )
203	170, 174, 202	syl2anc 667	. . . . 5 |- ( ( ph /\ c e. I ) -> ( c = ( F ` c ) <-> A. n e. ( 1 ... N ) ( c ` n ) = ( ( F ` c ) ` n ) ) )
204	196, 201, 203	3bitr4d 289	. . . 4 |- ( ( ph /\ c e. I ) -> ( ( c oF - ( F ` c ) ) = ( ( 1 ... N ) X. { 0 } ) <-> c = ( F ` c ) ) )
205	167, 204	bitrd 257	. . 3 |- ( ( ph /\ c e. I ) -> ( ( ( x e. I |-> ( x oF - ( F ` x ) ) ) ` c ) = ( ( 1 ... N ) X. { 0 } ) <-> c = ( F ` c ) ) )
206	205	rexbidva 2900	. 2 |- ( ph -> ( E. c e. I ( ( x e. I |-> ( x oF - ( F ` x ) ) ) ` c ) = ( ( 1 ... N ) X. { 0 } ) <-> E. c e. I c = ( F ` c ) ) )
207	160, 206	mpbid 214	1 |- ( ph -> E. c e. I c = ( F ` c ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 986   = wceq 1446   e. wcel 1889   A.wral 2739   E.wrex 2740   _Vcvv 3047   C_ wss 3406   {csn 3970   class class class wbr 4405   |-> cmpt 4464   X. cxp 4835   ran crn 4838   |` cres 4839   Fn wfn 5580   -->wf 5581   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   oFcof 6534   ^m cmap 7477   CCcc 9542   RRcr 9543   0cc0 9544   1c1 9545   RR*cxr 9679   <_ cle 9681   - cmin 9865   -ucneg 9866   NNcn 10616   (,)cioo 11642   [,]cicc 11645   ...cfz 11791   ↾_t crest 15331   TopOpenctopn 15332   topGenctg 15348   Xt_cpt 15349  ℂ_fldccnfld 18982   Topctop 19929  TopOnctopon 19930   Cn ccn 20252   tX ctx 20587

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-inf2 8151  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-pre-sup 9622

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-fal 1452  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-iin 4284  df-disj 4377  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-isom 5594  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6536  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-supp 6920  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-2o 7188  df-oadd 7191  df-omul 7192  df-er 7368  df-map 7479  df-pm 7480  df-ixp 7528  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fsupp 7889  df-fi 7930  df-sup 7961  df-inf 7962  df-oi 8030  df-card 8378  df-acn 8381  df-cda 8603  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-q 11272  df-rp 11310  df-xneg 11416  df-xadd 11417  df-xmul 11418  df-ioo 11646  df-icc 11649  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-fl 12035  df-seq 12221  df-exp 12280  df-fac 12467  df-bc 12495  df-hash 12523  df-cj 13174  df-re 13175  df-im 13176  df-sqrt 13310  df-abs 13311  df-clim 13564  df-sum 13765  df-dvds 14318  df-struct 15135  df-ndx 15136  df-slot 15137  df-base 15138  df-sets 15139  df-ress 15140  df-plusg 15215  df-mulr 15216  df-starv 15217  df-sca 15218  df-vsca 15219  df-ip 15220  df-tset 15221  df-ple 15222  df-ds 15224  df-unif 15225  df-hom 15226  df-cco 15227  df-rest 15333  df-topn 15334  df-0g 15352  df-gsum 15353  df-topgen 15354  df-pt 15355  df-prds 15358  df-xrs 15412  df-qtop 15418  df-imas 15419  df-xps 15422  df-mre 15504  df-mrc 15505  df-acs 15507  df-ps 16458  df-tsr 16459  df-mgm 16500  df-sgrp 16539  df-mnd 16549  df-submnd 16595  df-mulg 16688  df-cntz 16983  df-cmn 17444  df-psmet 18974  df-xmet 18975  df-met 18976  df-bl 18977  df-mopn 18978  df-cnfld 18983  df-top 19933  df-bases 19934  df-topon 19935  df-topsp 19936  df-cld 20046  df-ntr 20047  df-cls 20048  df-lp 20164  df-cn 20255  df-cnp 20256  df-t1 20342  df-haus 20343  df-cmp 20414  df-tx 20589  df-hmeo 20782  df-hmph 20783  df-xms 21347  df-ms 21348  df-tms 21349  df-ii 21921

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