Theorem bropopvvv 6879

Description: If a binary relation holds for the result of an operation which is a result of an operation, the involved classes are sets. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
bropopvvv.o	|- O = ( v e. _V , e e. _V |-> ( a e. v , b e. v |-> { <. f , p >. | ph } ) )
bropopvvv.p	|- ( ( v = V /\ e = E ) -> ( ph <-> ps ) )
bropopvvv.oo	|- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) -> ( A ( V O E ) B ) = { <. f , p >. | th } )

Assertion

Ref	Expression
bropopvvv	|- ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) )

Distinct variable groups:   E, a, b, e, f, p, v   V, a, b, e, f, p, v   ps, e, v

Allowed substitution hints:   ph( v, e, f, p, a, b)   ps( f, p, a, b)   th( v, e, f, p, a, b)   A( v, e, f, p, a, b)   B( v, e, f, p, a, b)   P( v, e, f, p, a, b)   F( v, e, f, p, a, b)   O( v, e, f, p, a, b)

Proof of Theorem bropopvvv

Dummy variable c is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-br 4457	. . 3 |- ( F ( A ( V O E ) B ) P <-> <. F , P >. e. ( A ( V O E ) B ) )
2		ne0i 3799	. . . 4 |- ( <. F , P >. e. ( A ( V O E ) B ) -> ( A ( V O E ) B ) =/= (/) )
3		df-ov 6299	. . . . . 6 |- ( A ( V O E ) B ) = ( ( V O E ) ` <. A , B >. )
4		ndmfv 5896	. . . . . 6 |- ( -. <. A , B >. e. dom ( V O E ) -> ( ( V O E ) ` <. A , B >. ) = (/) )
5	3, 4	syl5eq 2510	. . . . 5 |- ( -. <. A , B >. e. dom ( V O E ) -> ( A ( V O E ) B ) = (/) )
6	5	necon1ai 2688	. . . 4 |- ( ( A ( V O E ) B ) =/= (/) -> <. A , B >. e. dom ( V O E ) )
7		simpl 457	. . . . . . . . . 10 |- ( ( v = V /\ e = E ) -> v = V )
8		bropopvvv.p	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( v = V /\ e = E ) -> ( ph <-> ps ) )
9	8	opabbidv 4520	. . . . . . . . . 10 |- ( ( v = V /\ e = E ) -> { <. f , p >. | ph } = { <. f , p >. | ps } )
10	7, 7, 9	mpt2eq123dv 6358	. . . . . . . . 9 |- ( ( v = V /\ e = E ) -> ( a e. v , b e. v |-> { <. f , p >. | ph } ) = ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) )
11		bropopvvv.o	. . . . . . . . 9 |- O = ( v e. _V , e e. _V |-> ( a e. v , b e. v |-> { <. f , p >. | ph } ) )
12	10, 11	ovmpt2ga 6431	. . . . . . . 8 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V /\ ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) e. _V ) -> ( V O E ) = ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) )
13	12	dmeqd 5215	. . . . . . 7 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V /\ ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) e. _V ) -> dom ( V O E ) = dom ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) )
14	13	eleq2d 2527	. . . . . 6 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V /\ ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) e. _V ) -> ( <. A , B >. e. dom ( V O E ) <-> <. A , B >. e. dom ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) ) )
15		dmoprabss 6383	. . . . . . . . 9 |- dom { <. <. a , b >. , c >. | ( ( a e. V /\ b e. V ) /\ c = { <. f , p >. | ps } ) } C_ ( V X. V )
16	15	sseli 3495	. . . . . . . 8 |- ( <. A , B >. e. dom { <. <. a , b >. , c >. | ( ( a e. V /\ b e. V ) /\ c = { <. f , p >. | ps } ) } -> <. A , B >. e. ( V X. V ) )
17		opelxp 5038	. . . . . . . . 9 |- ( <. A , B >. e. ( V X. V ) <-> ( A e. V /\ B e. V ) )
18		bropopvvv.oo	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) -> ( A ( V O E ) B ) = { <. f , p >. | th } )
19	18	breqd 4467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P <-> F { <. f , p >. | th } P ) )
20		brabv 6341	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( F { <. f , p >. | th } P -> ( F e. _V /\ P e. _V ) )
21	20	anim2i 569	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ F { <. f , p >. | th } P ) -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) )
22	21	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( F { <. f , p >. | th } P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) ) )
23	22	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) -> ( F { <. f , p >. | th } P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) ) )
24	19, 23	sylbid 215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) ) )
25	24	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( ( A e. V /\ B e. V ) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) ) ) )
26	25	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( A e. V /\ B e. V ) -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) ) ) )
27	26	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( ( A ( V O E ) B ) =/= (/) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( A e. V /\ B e. V ) -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) ) ) ) )
28	11	mpt2ndm0 6515	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -. ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( V O E ) = (/) )
29		fveq1 5871	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( V O E ) = (/) -> ( ( V O E ) ` <. A , B >. ) = ( (/) ` <. A , B >. ) )
30	3, 29	syl5eq 2510	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( V O E ) = (/) -> ( A ( V O E ) B ) = ( (/) ` <. A , B >. ) )
31		0fv 5905	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( (/) ` <. A , B >. ) = (/)
32	30, 31	syl6eq 2514	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( V O E ) = (/) -> ( A ( V O E ) B ) = (/) )
33		eqneqall 2664	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A ( V O E ) B ) = (/) -> ( ( A ( V O E ) B ) =/= (/) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( A e. V /\ B e. V ) -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) ) ) ) )
34	28, 32, 33	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -. ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( ( A ( V O E ) B ) =/= (/) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( A e. V /\ B e. V ) -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) ) ) ) )
35	27, 34	pm2.61i 164	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A ( V O E ) B ) =/= (/) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( A e. V /\ B e. V ) -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) ) ) )
36	2, 35	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( <. F , P >. e. ( A ( V O E ) B ) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( A e. V /\ B e. V ) -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) ) ) )
37	1, 36	sylbi 195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( A e. V /\ B e. V ) -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) ) ) )
38	37	pm2.43i 47	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( A e. V /\ B e. V ) -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) ) )
39	38	com12 31	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. V /\ B e. V ) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) ) )
40	39	anc2ri 558	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. V /\ B e. V ) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) ) )
41		df-3an 975	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) <-> ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) )
42	40, 41	syl6ibr 227	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. V /\ B e. V ) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) ) )
43	17, 42	sylbi 195	. . . . . . . 8 |- ( <. A , B >. e. ( V X. V ) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) ) )
44	16, 43	syl 16	. . . . . . 7 |- ( <. A , B >. e. dom { <. <. a , b >. , c >. | ( ( a e. V /\ b e. V ) /\ c = { <. f , p >. | ps } ) } -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) ) )
45		df-mpt2 6301	. . . . . . . 8 |- ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) = { <. <. a , b >. , c >. | ( ( a e. V /\ b e. V ) /\ c = { <. f , p >. | ps } ) }
46	45	dmeqi 5214	. . . . . . 7 |- dom ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) = dom { <. <. a , b >. , c >. | ( ( a e. V /\ b e. V ) /\ c = { <. f , p >. | ps } ) }
47	44, 46	eleq2s 2565	. . . . . 6 |- ( <. A , B >. e. dom ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) ) )
48	14, 47	syl6bi 228	. . . . 5 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V /\ ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) e. _V ) -> ( <. A , B >. e. dom ( V O E ) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) ) ) )
49		3ianor 990	. . . . . 6 |- ( -. ( V e. _V /\ E e. _V /\ ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) e. _V ) <-> ( -. V e. _V \/ -. E e. _V \/ -. ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) e. _V ) )
50		df-3or 974	. . . . . . 7 |- ( ( -. V e. _V \/ -. E e. _V \/ -. ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) e. _V ) <-> ( ( -. V e. _V \/ -. E e. _V ) \/ -. ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) e. _V ) )
51		ianor 488	. . . . . . . . 9 |- ( -. ( V e. _V /\ E e. _V ) <-> ( -. V e. _V \/ -. E e. _V ) )
52	28	dmeqd 5215	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. ( V e. _V /\ E e. _V ) -> dom ( V O E ) = dom (/) )
53	52	eleq2d 2527	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( <. A , B >. e. dom ( V O E ) <-> <. A , B >. e. dom (/) ) )
54		dm0 5226	. . . . . . . . . . . 12 |- dom (/) = (/)
55	54	eleq2i 2535	. . . . . . . . . . 11 |- ( <. A , B >. e. dom (/) <-> <. A , B >. e. (/) )
56	53, 55	syl6bb 261	. . . . . . . . . 10 |- ( -. ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( <. A , B >. e. dom ( V O E ) <-> <. A , B >. e. (/) ) )
57		noel 3797	. . . . . . . . . . 11 |- -. <. A , B >. e. (/)
58	57	pm2.21i 131	. . . . . . . . . 10 |- ( <. A , B >. e. (/) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) ) )
59	56, 58	syl6bi 228	. . . . . . . . 9 |- ( -. ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( <. A , B >. e. dom ( V O E ) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) ) ) )
60	51, 59	sylbir 213	. . . . . . . 8 |- ( ( -. V e. _V \/ -. E e. _V ) -> ( <. A , B >. e. dom ( V O E ) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) ) ) )
61		anor 489	. . . . . . . . . 10 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V ) <-> -. ( -. V e. _V \/ -. E e. _V ) )
62		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( V e. _V -> V e. _V )
63	62	ancri 552	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( V e. _V -> ( V e. _V /\ V e. _V ) )
64	63	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( V e. _V /\ V e. _V ) )
65		mpt2exga 6875	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( V e. _V /\ V e. _V ) -> ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) e. _V )
66	64, 65	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) e. _V )
67	66	pm2.24d 143	. . . . . . . . . 10 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( -. ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) e. _V -> ( <. A , B >. e. dom ( V O E ) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) ) ) ) )
68	61, 67	sylbir 213	. . . . . . . . 9 |- ( -. ( -. V e. _V \/ -. E e. _V ) -> ( -. ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) e. _V -> ( <. A , B >. e. dom ( V O E ) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) ) ) ) )
69	68	imp 429	. . . . . . . 8 |- ( ( -. ( -. V e. _V \/ -. E e. _V ) /\ -. ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) e. _V ) -> ( <. A , B >. e. dom ( V O E ) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) ) ) )
70	60, 69	jaoi3 969	. . . . . . 7 |- ( ( ( -. V e. _V \/ -. E e. _V ) \/ -. ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) e. _V ) -> ( <. A , B >. e. dom ( V O E ) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) ) ) )
71	50, 70	sylbi 195	. . . . . 6 |- ( ( -. V e. _V \/ -. E e. _V \/ -. ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) e. _V ) -> ( <. A , B >. e. dom ( V O E ) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) ) ) )
72	49, 71	sylbi 195	. . . . 5 |- ( -. ( V e. _V /\ E e. _V /\ ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) e. _V ) -> ( <. A , B >. e. dom ( V O E ) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) ) ) )
73	48, 72	pm2.61i 164	. . . 4 |- ( <. A , B >. e. dom ( V O E ) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) ) )
74	2, 6, 73	3syl 20	. . 3 |- ( <. F , P >. e. ( A ( V O E ) B ) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) ) )
75	1, 74	sylbi 195	. 2 |- ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) ) )
76	75	pm2.43i 47	1 |- ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   \/ w3o 972   /\ w3a 973   = wceq 1395   e. wcel 1819   =/= wne 2652   _Vcvv 3109   (/)c0 3793   <.cop 4038   class class class wbr 4456   {copab 4514   X. cxp 5006   dom cdm 5008   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   {coprab 6297   |-> cmpt2 6298

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6799  df-2nd 6800

This theorem is referenced by:  wlkonprop  24662  trlonprop  24671  pthonprop  24706  spthonprp  24714