MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bropopvvv Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem bropopvvv 6874
Description: If a binary relation holds for the result of an operation which is a result of an operation, the involved classes are sets. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Dec-2017.) (Proof shortened by AV, 3-Jan-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
bropopvvv.o  |-  O  =  ( v  e.  _V ,  e  e.  _V  |->  ( a  e.  v ,  b  e.  v 
|->  { <. f ,  p >.  |  ph } ) )
bropopvvv.p  |-  ( ( v  =  V  /\  e  =  E )  ->  ( ph  <->  ps )
)
bropopvvv.oo  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V
) )  ->  ( A ( V O E ) B )  =  { <. f ,  p >.  |  th } )
Assertion
Ref Expression
bropopvvv  |-  ( F ( A ( V O E ) B ) P  ->  (
( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V
) ) )
Distinct variable groups:    E, a,
b, e, f, p, v    V, a, b, e, f, p, v    ps, e, v
Allowed substitution hints:    ph( v, e, f, p, a, b)    ps( f, p, a, b)    th( v, e, f, p, a, b)    A( v, e, f, p, a, b)    B( v, e, f, p, a, b)    P( v, e, f, p, a, b)    F( v, e, f, p, a, b)    O( v, e, f, p, a, b)

Proof of Theorem bropopvvv
Dummy variable  c is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brovpreldm 6873 . . 3  |-  ( F ( A ( V O E ) B ) P  ->  <. A ,  B >.  e.  dom  ( V O E ) )
2 simpl 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  =  V  /\  e  =  E )  ->  v  =  V )
3 bropopvvv.p . . . . . . . . . 10  |-  ( ( v  =  V  /\  e  =  E )  ->  ( ph  <->  ps )
)
43opabbidv 4466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  =  V  /\  e  =  E )  ->  { <. f ,  p >.  |  ph }  =  { <. f ,  p >.  |  ps } )
52, 2, 4mpt2eq123dv 6353 . . . . . . . 8  |-  ( ( v  =  V  /\  e  =  E )  ->  ( a  e.  v ,  b  e.  v 
|->  { <. f ,  p >.  |  ph } )  =  ( a  e.  V ,  b  e.  V  |->  { <. f ,  p >.  |  ps } ) )
6 bropopvvv.o . . . . . . . 8  |-  O  =  ( v  e.  _V ,  e  e.  _V  |->  ( a  e.  v ,  b  e.  v 
|->  { <. f ,  p >.  |  ph } ) )
75, 6ovmpt2ga 6426 . . . . . . 7  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  (
a  e.  V , 
b  e.  V  |->  {
<. f ,  p >.  |  ps } )  e. 
_V )  ->  ( V O E )  =  ( a  e.  V ,  b  e.  V  |->  { <. f ,  p >.  |  ps } ) )
87dmeqd 5037 . . . . . 6  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  (
a  e.  V , 
b  e.  V  |->  {
<. f ,  p >.  |  ps } )  e. 
_V )  ->  dom  ( V O E )  =  dom  ( a  e.  V ,  b  e.  V  |->  { <. f ,  p >.  |  ps } ) )
98eleq2d 2514 . . . . 5  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  (
a  e.  V , 
b  e.  V  |->  {
<. f ,  p >.  |  ps } )  e. 
_V )  ->  ( <. A ,  B >.  e. 
dom  ( V O E )  <->  <. A ,  B >.  e.  dom  (
a  e.  V , 
b  e.  V  |->  {
<. f ,  p >.  |  ps } ) ) )
10 dmoprabss 6378 . . . . . . . 8  |-  dom  { <. <. a ,  b
>. ,  c >.  |  ( ( a  e.  V  /\  b  e.  V )  /\  c  =  { <. f ,  p >.  |  ps } ) }  C_  ( V  X.  V )
1110sseli 3428 . . . . . . 7  |-  ( <. A ,  B >.  e. 
dom  { <. <. a ,  b
>. ,  c >.  |  ( ( a  e.  V  /\  b  e.  V )  /\  c  =  { <. f ,  p >.  |  ps } ) }  ->  <. A ,  B >.  e.  ( V  X.  V ) )
12 opelxp 4864 . . . . . . . 8  |-  ( <. A ,  B >.  e.  ( V  X.  V
)  <->  ( A  e.  V  /\  B  e.  V ) )
13 df-br 4403 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F ( A ( V O E ) B ) P  <->  <. F ,  P >.  e.  ( A ( V O E ) B ) )
14 ne0i 3737 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( <. F ,  P >.  e.  ( A ( V O E ) B )  ->  ( A
( V O E ) B )  =/=  (/) )
15 bropopvvv.oo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V
) )  ->  ( A ( V O E ) B )  =  { <. f ,  p >.  |  th } )
1615breqd 4413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V
) )  ->  ( F ( A ( V O E ) B ) P  <->  F { <. f ,  p >.  |  th } P ) )
17 brabv 6335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( F { <. f ,  p >.  |  th } P  ->  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)
1817anim2i 573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  F { <. f ,  p >.  |  th } P )  ->  (
( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
) )
1918ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( F { <. f ,  p >.  |  th } P  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
) ) )
2019adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V
) )  ->  ( F { <. f ,  p >.  |  th } P  ->  ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) ) ) )
2116, 20sylbid 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V
) )  ->  ( F ( A ( V O E ) B ) P  -> 
( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) ) ) )
2221ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  ( F ( A ( V O E ) B ) P  -> 
( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) ) ) ) )
2322com23 81 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( F ( A ( V O E ) B ) P  ->  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  (
( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
) ) ) )
2423a1d 26 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( ( A ( V O E ) B )  =/=  (/)  ->  ( F ( A ( V O E ) B ) P  -> 
( ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  (
( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
) ) ) ) )
256mpt2ndm0 6510 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( V O E )  =  (/) )
26 df-ov 6293 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A ( V O E ) B )  =  ( ( V O E ) `  <. A ,  B >. )
27 fveq1 5864 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( V O E )  =  (/)  ->  ( ( V O E ) `
 <. A ,  B >. )  =  ( (/) ` 
<. A ,  B >. ) )
2826, 27syl5eq 2497 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( V O E )  =  (/)  ->  ( A ( V O E ) B )  =  ( (/) `  <. A ,  B >. ) )
29 0fv 5898 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (/) ` 
<. A ,  B >. )  =  (/)
3028, 29syl6eq 2501 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( V O E )  =  (/)  ->  ( A ( V O E ) B )  =  (/) )
31 eqneqall 2634 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A ( V O E ) B )  =  (/)  ->  ( ( A ( V O E ) B )  =/=  (/)  ->  ( F
( A ( V O E ) B ) P  ->  (
( A  e.  V  /\  B  e.  V
)  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) ) ) ) ) )
3225, 30, 313syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( ( A ( V O E ) B )  =/=  (/)  ->  ( F ( A ( V O E ) B ) P  -> 
( ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  (
( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
) ) ) ) )
3324, 32pm2.61i 168 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A ( V O E ) B )  =/=  (/)  ->  ( F
( A ( V O E ) B ) P  ->  (
( A  e.  V  /\  B  e.  V
)  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) ) ) ) )
3414, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( <. F ,  P >.  e.  ( A ( V O E ) B )  ->  ( F
( A ( V O E ) B ) P  ->  (
( A  e.  V  /\  B  e.  V
)  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) ) ) ) )
3513, 34sylbi 199 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F ( A ( V O E ) B ) P  ->  ( F ( A ( V O E ) B ) P  -> 
( ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  (
( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
) ) ) )
3635pm2.43i 49 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F ( A ( V O E ) B ) P  ->  (
( A  e.  V  /\  B  e.  V
)  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) ) ) )
3736com12 32 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  ( F ( A ( V O E ) B ) P  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) ) ) )
3837anc2ri 561 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  ( F ( A ( V O E ) B ) P  ->  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V ) ) ) )
39 df-3an 987 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V
) )  <->  ( (
( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V ) ) )
4038, 39syl6ibr 231 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  ( F ( A ( V O E ) B ) P  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )
) ) )
4112, 40sylbi 199 . . . . . . 7  |-  ( <. A ,  B >.  e.  ( V  X.  V
)  ->  ( F
( A ( V O E ) B ) P  ->  (
( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V
) ) ) )
4211, 41syl 17 . . . . . 6  |-  ( <. A ,  B >.  e. 
dom  { <. <. a ,  b
>. ,  c >.  |  ( ( a  e.  V  /\  b  e.  V )  /\  c  =  { <. f ,  p >.  |  ps } ) }  ->  ( F
( A ( V O E ) B ) P  ->  (
( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V
) ) ) )
43 df-mpt2 6295 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  V ,  b  e.  V  |->  { <. f ,  p >.  |  ps } )  =  { <. <. a ,  b
>. ,  c >.  |  ( ( a  e.  V  /\  b  e.  V )  /\  c  =  { <. f ,  p >.  |  ps } ) }
4443dmeqi 5036 . . . . . 6  |-  dom  (
a  e.  V , 
b  e.  V  |->  {
<. f ,  p >.  |  ps } )  =  dom  { <. <. a ,  b >. ,  c
>.  |  ( (
a  e.  V  /\  b  e.  V )  /\  c  =  { <. f ,  p >.  |  ps } ) }
4542, 44eleq2s 2547 . . . . 5  |-  ( <. A ,  B >.  e. 
dom  ( a  e.  V ,  b  e.  V  |->  { <. f ,  p >.  |  ps } )  ->  ( F ( A ( V O E ) B ) P  -> 
( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )
) ) )
469, 45syl6bi 232 . . . 4  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  (
a  e.  V , 
b  e.  V  |->  {
<. f ,  p >.  |  ps } )  e. 
_V )  ->  ( <. A ,  B >.  e. 
dom  ( V O E )  ->  ( F ( A ( V O E ) B ) P  -> 
( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )
) ) ) )
47 3ianor 1002 . . . . 5  |-  ( -.  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  ( a  e.  V ,  b  e.  V  |->  { <. f ,  p >.  |  ps } )  e.  _V )  <->  ( -.  V  e.  _V  \/  -.  E  e.  _V  \/  -.  ( a  e.  V ,  b  e.  V  |->  { <. f ,  p >.  |  ps } )  e.  _V ) )
48 df-3or 986 . . . . . 6  |-  ( ( -.  V  e.  _V  \/  -.  E  e.  _V  \/  -.  ( a  e.  V ,  b  e.  V  |->  { <. f ,  p >.  |  ps } )  e.  _V ) 
<->  ( ( -.  V  e.  _V  \/  -.  E  e.  _V )  \/  -.  ( a  e.  V ,  b  e.  V  |->  { <. f ,  p >.  |  ps } )  e.  _V ) )
49 ianor 491 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  <->  ( -.  V  e.  _V  \/  -.  E  e.  _V ) )
5025dmeqd 5037 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  dom  ( V O E )  =  dom  (/) )
5150eleq2d 2514 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( <. A ,  B >.  e.  dom  ( V O E )  <->  <. A ,  B >.  e.  dom  (/) ) )
52 dm0 5048 . . . . . . . . . . 11  |-  dom  (/)  =  (/)
5352eleq2i 2521 . . . . . . . . . 10  |-  ( <. A ,  B >.  e. 
dom  (/)  <->  <. A ,  B >.  e.  (/) )
5451, 53syl6bb 265 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( <. A ,  B >.  e.  dom  ( V O E )  <->  <. A ,  B >.  e.  (/) ) )
55 noel 3735 . . . . . . . . . 10  |-  -.  <. A ,  B >.  e.  (/)
5655pm2.21i 135 . . . . . . . . 9  |-  ( <. A ,  B >.  e.  (/)  ->  ( F ( A ( V O E ) B ) P  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )
) ) )
5754, 56syl6bi 232 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( <. A ,  B >.  e.  dom  ( V O E )  -> 
( F ( A ( V O E ) B ) P  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )
) ) ) )
5849, 57sylbir 217 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  V  e.  _V  \/  -.  E  e.  _V )  ->  ( <. A ,  B >.  e.  dom  ( V O E )  -> 
( F ( A ( V O E ) B ) P  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )
) ) ) )
59 anor 492 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  <->  -.  ( -.  V  e. 
_V  \/  -.  E  e.  _V ) )
60 id 22 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( V  e.  _V  ->  V  e.  _V )
6160ancri 555 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( V  e.  _V  ->  ( V  e.  _V  /\  V  e.  _V ) )
6261adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( V  e.  _V  /\  V  e.  _V )
)
63 mpt2exga 6869 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( V  e.  _V  /\  V  e.  _V )  ->  ( a  e.  V ,  b  e.  V  |->  { <. f ,  p >.  |  ps } )  e.  _V )
6462, 63syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( a  e.  V ,  b  e.  V  |->  { <. f ,  p >.  |  ps } )  e.  _V )
6564pm2.24d 138 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( -.  ( a  e.  V ,  b  e.  V  |->  { <. f ,  p >.  |  ps } )  e.  _V  ->  ( <. A ,  B >.  e.  dom  ( V O E )  -> 
( F ( A ( V O E ) B ) P  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )
) ) ) ) )
6659, 65sylbir 217 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( -.  V  e. 
_V  \/  -.  E  e.  _V )  ->  ( -.  ( a  e.  V ,  b  e.  V  |->  { <. f ,  p >.  |  ps } )  e.  _V  ->  ( <. A ,  B >.  e. 
dom  ( V O E )  ->  ( F ( A ( V O E ) B ) P  -> 
( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )
) ) ) ) )
6766imp 431 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  ( -.  V  e.  _V  \/  -.  E  e.  _V )  /\  -.  ( a  e.  V ,  b  e.  V  |->  { <. f ,  p >.  |  ps } )  e.  _V )  -> 
( <. A ,  B >.  e.  dom  ( V O E )  -> 
( F ( A ( V O E ) B ) P  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )
) ) ) )
6858, 67jaoi3 981 . . . . . 6  |-  ( ( ( -.  V  e. 
_V  \/  -.  E  e.  _V )  \/  -.  ( a  e.  V ,  b  e.  V  |->  { <. f ,  p >.  |  ps } )  e.  _V )  -> 
( <. A ,  B >.  e.  dom  ( V O E )  -> 
( F ( A ( V O E ) B ) P  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )
) ) ) )
6948, 68sylbi 199 . . . . 5  |-  ( ( -.  V  e.  _V  \/  -.  E  e.  _V  \/  -.  ( a  e.  V ,  b  e.  V  |->  { <. f ,  p >.  |  ps } )  e.  _V )  ->  ( <. A ,  B >.  e.  dom  ( V O E )  -> 
( F ( A ( V O E ) B ) P  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )
) ) ) )
7047, 69sylbi 199 . . . 4  |-  ( -.  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  ( a  e.  V ,  b  e.  V  |->  { <. f ,  p >.  |  ps } )  e.  _V )  -> 
( <. A ,  B >.  e.  dom  ( V O E )  -> 
( F ( A ( V O E ) B ) P  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )
) ) ) )
7146, 70pm2.61i 168 . . 3  |-  ( <. A ,  B >.  e. 
dom  ( V O E )  ->  ( F ( A ( V O E ) B ) P  -> 
( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )
) ) )
721, 71syl 17 . 2  |-  ( F ( A ( V O E ) B ) P  ->  ( F ( A ( V O E ) B ) P  -> 
( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )
) ) )
7372pm2.43i 49 1  |-  ( F ( A ( V O E ) B ) P  ->  (
( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    \/ wo 370    /\ wa 371    \/ w3o 984    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887    =/= wne 2622   _Vcvv 3045   (/)c0 3731   <.cop 3974   class class class wbr 4402   {copab 4460    X. cxp 4832   dom cdm 4834   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   {coprab 6291    |-> cmpt2 6292
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-1st 6793  df-2nd 6794
This theorem is referenced by:  wlkonprop  25263  trlonprop  25272  pthonprop  25307  spthonprp  25315
  Copyright terms: Public domain W3C validator