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Theorem bropopvvv 6864
Description: If a binary relation holds for the result of an operation which is a result of an operation, the involved classes are sets. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
bropopvvv.o  |-  O  =  ( v  e.  _V ,  e  e.  _V  |->  ( a  e.  v ,  b  e.  v 
|->  { <. f ,  p >.  |  ph } ) )
bropopvvv.p  |-  ( ( v  =  V  /\  e  =  E )  ->  ( ph  <->  ps )
)
bropopvvv.oo  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V
) )  ->  ( A ( V O E ) B )  =  { <. f ,  p >.  |  th } )
Assertion
Ref Expression
bropopvvv  |-  ( F ( A ( V O E ) B ) P  ->  (
( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V
) ) )
Distinct variable groups:    E, a,
b, e, f, p, v    V, a, b, e, f, p, v    ps, e, v
Allowed substitution hints:    ph( v, e, f, p, a, b)    ps( f, p, a, b)    th( v, e, f, p, a, b)    A( v, e, f, p, a, b)    B( v, e, f, p, a, b)    P( v, e, f, p, a, b)    F( v, e, f, p, a, b)    O( v, e, f, p, a, b)

Proof of Theorem bropopvvv
Dummy variable  c is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-br 4396 . . 3  |-  ( F ( A ( V O E ) B ) P  <->  <. F ,  P >.  e.  ( A ( V O E ) B ) )
2 ne0i 3744 . . . 4  |-  ( <. F ,  P >.  e.  ( A ( V O E ) B )  ->  ( A
( V O E ) B )  =/=  (/) )
3 df-ov 6281 . . . . . 6  |-  ( A ( V O E ) B )  =  ( ( V O E ) `  <. A ,  B >. )
4 ndmfv 5873 . . . . . 6  |-  ( -. 
<. A ,  B >.  e. 
dom  ( V O E )  ->  (
( V O E ) `  <. A ,  B >. )  =  (/) )
53, 4syl5eq 2455 . . . . 5  |-  ( -. 
<. A ,  B >.  e. 
dom  ( V O E )  ->  ( A ( V O E ) B )  =  (/) )
65necon1ai 2634 . . . 4  |-  ( ( A ( V O E ) B )  =/=  (/)  ->  <. A ,  B >.  e.  dom  ( V O E ) )
7 simpl 455 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( v  =  V  /\  e  =  E )  ->  v  =  V )
8 bropopvvv.p . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( v  =  V  /\  e  =  E )  ->  ( ph  <->  ps )
)
98opabbidv 4458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( v  =  V  /\  e  =  E )  ->  { <. f ,  p >.  |  ph }  =  { <. f ,  p >.  |  ps } )
107, 7, 9mpt2eq123dv 6340 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  =  V  /\  e  =  E )  ->  ( a  e.  v ,  b  e.  v 
|->  { <. f ,  p >.  |  ph } )  =  ( a  e.  V ,  b  e.  V  |->  { <. f ,  p >.  |  ps } ) )
11 bropopvvv.o . . . . . . . . 9  |-  O  =  ( v  e.  _V ,  e  e.  _V  |->  ( a  e.  v ,  b  e.  v 
|->  { <. f ,  p >.  |  ph } ) )
1210, 11ovmpt2ga 6413 . . . . . . . 8  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  (
a  e.  V , 
b  e.  V  |->  {
<. f ,  p >.  |  ps } )  e. 
_V )  ->  ( V O E )  =  ( a  e.  V ,  b  e.  V  |->  { <. f ,  p >.  |  ps } ) )
1312dmeqd 5026 . . . . . . 7  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  (
a  e.  V , 
b  e.  V  |->  {
<. f ,  p >.  |  ps } )  e. 
_V )  ->  dom  ( V O E )  =  dom  ( a  e.  V ,  b  e.  V  |->  { <. f ,  p >.  |  ps } ) )
1413eleq2d 2472 . . . . . 6  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  (
a  e.  V , 
b  e.  V  |->  {
<. f ,  p >.  |  ps } )  e. 
_V )  ->  ( <. A ,  B >.  e. 
dom  ( V O E )  <->  <. A ,  B >.  e.  dom  (
a  e.  V , 
b  e.  V  |->  {
<. f ,  p >.  |  ps } ) ) )
15 dmoprabss 6365 . . . . . . . . 9  |-  dom  { <. <. a ,  b
>. ,  c >.  |  ( ( a  e.  V  /\  b  e.  V )  /\  c  =  { <. f ,  p >.  |  ps } ) }  C_  ( V  X.  V )
1615sseli 3438 . . . . . . . 8  |-  ( <. A ,  B >.  e. 
dom  { <. <. a ,  b
>. ,  c >.  |  ( ( a  e.  V  /\  b  e.  V )  /\  c  =  { <. f ,  p >.  |  ps } ) }  ->  <. A ,  B >.  e.  ( V  X.  V ) )
17 opelxp 4853 . . . . . . . . 9  |-  ( <. A ,  B >.  e.  ( V  X.  V
)  <->  ( A  e.  V  /\  B  e.  V ) )
18 bropopvvv.oo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V
) )  ->  ( A ( V O E ) B )  =  { <. f ,  p >.  |  th } )
1918breqd 4406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V
) )  ->  ( F ( A ( V O E ) B ) P  <->  F { <. f ,  p >.  |  th } P ) )
20 brabv 6323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( F { <. f ,  p >.  |  th } P  ->  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)
2120anim2i 567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  F { <. f ,  p >.  |  th } P )  ->  (
( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
) )
2221ex 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( F { <. f ,  p >.  |  th } P  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
) ) )
2322adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V
) )  ->  ( F { <. f ,  p >.  |  th } P  ->  ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) ) ) )
2419, 23sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V
) )  ->  ( F ( A ( V O E ) B ) P  -> 
( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) ) ) )
2524ex 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  ( F ( A ( V O E ) B ) P  -> 
( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) ) ) ) )
2625com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( F ( A ( V O E ) B ) P  ->  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  (
( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
) ) ) )
2726a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( ( A ( V O E ) B )  =/=  (/)  ->  ( F ( A ( V O E ) B ) P  -> 
( ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  (
( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
) ) ) ) )
2811mpt2ndm0 6497 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( V O E )  =  (/) )
29 fveq1 5848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( V O E )  =  (/)  ->  ( ( V O E ) `
 <. A ,  B >. )  =  ( (/) ` 
<. A ,  B >. ) )
303, 29syl5eq 2455 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( V O E )  =  (/)  ->  ( A ( V O E ) B )  =  ( (/) `  <. A ,  B >. ) )
31 0fv 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (/) ` 
<. A ,  B >. )  =  (/)
3230, 31syl6eq 2459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( V O E )  =  (/)  ->  ( A ( V O E ) B )  =  (/) )
33 eqneqall 2610 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A ( V O E ) B )  =  (/)  ->  ( ( A ( V O E ) B )  =/=  (/)  ->  ( F
( A ( V O E ) B ) P  ->  (
( A  e.  V  /\  B  e.  V
)  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) ) ) ) ) )
3428, 32, 333syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( ( A ( V O E ) B )  =/=  (/)  ->  ( F ( A ( V O E ) B ) P  -> 
( ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  (
( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
) ) ) ) )
3527, 34pm2.61i 164 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A ( V O E ) B )  =/=  (/)  ->  ( F
( A ( V O E ) B ) P  ->  (
( A  e.  V  /\  B  e.  V
)  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) ) ) ) )
362, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( <. F ,  P >.  e.  ( A ( V O E ) B )  ->  ( F
( A ( V O E ) B ) P  ->  (
( A  e.  V  /\  B  e.  V
)  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) ) ) ) )
371, 36sylbi 195 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F ( A ( V O E ) B ) P  ->  ( F ( A ( V O E ) B ) P  -> 
( ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  (
( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
) ) ) )
3837pm2.43i 46 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F ( A ( V O E ) B ) P  ->  (
( A  e.  V  /\  B  e.  V
)  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) ) ) )
3938com12 29 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  ( F ( A ( V O E ) B ) P  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) ) ) )
4039anc2ri 556 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  ( F ( A ( V O E ) B ) P  ->  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V ) ) ) )
41 df-3an 976 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V
) )  <->  ( (
( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V ) ) )
4240, 41syl6ibr 227 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  ( F ( A ( V O E ) B ) P  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )
) ) )
4317, 42sylbi 195 . . . . . . . 8  |-  ( <. A ,  B >.  e.  ( V  X.  V
)  ->  ( F
( A ( V O E ) B ) P  ->  (
( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V
) ) ) )
4416, 43syl 17 . . . . . . 7  |-  ( <. A ,  B >.  e. 
dom  { <. <. a ,  b
>. ,  c >.  |  ( ( a  e.  V  /\  b  e.  V )  /\  c  =  { <. f ,  p >.  |  ps } ) }  ->  ( F
( A ( V O E ) B ) P  ->  (
( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V
) ) ) )
45 df-mpt2 6283 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  V ,  b  e.  V  |->  { <. f ,  p >.  |  ps } )  =  { <. <. a ,  b
>. ,  c >.  |  ( ( a  e.  V  /\  b  e.  V )  /\  c  =  { <. f ,  p >.  |  ps } ) }
4645dmeqi 5025 . . . . . . 7  |-  dom  (
a  e.  V , 
b  e.  V  |->  {
<. f ,  p >.  |  ps } )  =  dom  { <. <. a ,  b >. ,  c
>.  |  ( (
a  e.  V  /\  b  e.  V )  /\  c  =  { <. f ,  p >.  |  ps } ) }
4744, 46eleq2s 2510 . . . . . 6  |-  ( <. A ,  B >.  e. 
dom  ( a  e.  V ,  b  e.  V  |->  { <. f ,  p >.  |  ps } )  ->  ( F ( A ( V O E ) B ) P  -> 
( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )
) ) )
4814, 47syl6bi 228 . . . . 5  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  (
a  e.  V , 
b  e.  V  |->  {
<. f ,  p >.  |  ps } )  e. 
_V )  ->  ( <. A ,  B >.  e. 
dom  ( V O E )  ->  ( F ( A ( V O E ) B ) P  -> 
( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )
) ) ) )
49 3ianor 991 . . . . . 6  |-  ( -.  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  ( a  e.  V ,  b  e.  V  |->  { <. f ,  p >.  |  ps } )  e.  _V )  <->  ( -.  V  e.  _V  \/  -.  E  e.  _V  \/  -.  ( a  e.  V ,  b  e.  V  |->  { <. f ,  p >.  |  ps } )  e.  _V ) )
50 df-3or 975 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  V  e.  _V  \/  -.  E  e.  _V  \/  -.  ( a  e.  V ,  b  e.  V  |->  { <. f ,  p >.  |  ps } )  e.  _V ) 
<->  ( ( -.  V  e.  _V  \/  -.  E  e.  _V )  \/  -.  ( a  e.  V ,  b  e.  V  |->  { <. f ,  p >.  |  ps } )  e.  _V ) )
51 ianor 486 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  <->  ( -.  V  e.  _V  \/  -.  E  e.  _V ) )
5228dmeqd 5026 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  dom  ( V O E )  =  dom  (/) )
5352eleq2d 2472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( <. A ,  B >.  e.  dom  ( V O E )  <->  <. A ,  B >.  e.  dom  (/) ) )
54 dm0 5037 . . . . . . . . . . . 12  |-  dom  (/)  =  (/)
5554eleq2i 2480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( <. A ,  B >.  e. 
dom  (/)  <->  <. A ,  B >.  e.  (/) )
5653, 55syl6bb 261 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( <. A ,  B >.  e.  dom  ( V O E )  <->  <. A ,  B >.  e.  (/) ) )
57 noel 3742 . . . . . . . . . . 11  |-  -.  <. A ,  B >.  e.  (/)
5857pm2.21i 131 . . . . . . . . . 10  |-  ( <. A ,  B >.  e.  (/)  ->  ( F ( A ( V O E ) B ) P  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )
) ) )
5956, 58syl6bi 228 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( <. A ,  B >.  e.  dom  ( V O E )  -> 
( F ( A ( V O E ) B ) P  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )
) ) ) )
6051, 59sylbir 213 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  V  e.  _V  \/  -.  E  e.  _V )  ->  ( <. A ,  B >.  e.  dom  ( V O E )  -> 
( F ( A ( V O E ) B ) P  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )
) ) ) )
61 anor 487 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  <->  -.  ( -.  V  e. 
_V  \/  -.  E  e.  _V ) )
62 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( V  e.  _V  ->  V  e.  _V )
6362ancri 550 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( V  e.  _V  ->  ( V  e.  _V  /\  V  e.  _V ) )
6463adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( V  e.  _V  /\  V  e.  _V )
)
65 mpt2exga 6860 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( V  e.  _V  /\  V  e.  _V )  ->  ( a  e.  V ,  b  e.  V  |->  { <. f ,  p >.  |  ps } )  e.  _V )
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( a  e.  V ,  b  e.  V  |->  { <. f ,  p >.  |  ps } )  e.  _V )
6766pm2.24d 143 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( -.  ( a  e.  V ,  b  e.  V  |->  { <. f ,  p >.  |  ps } )  e.  _V  ->  ( <. A ,  B >.  e.  dom  ( V O E )  -> 
( F ( A ( V O E ) B ) P  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )
) ) ) ) )
6861, 67sylbir 213 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( -.  V  e. 
_V  \/  -.  E  e.  _V )  ->  ( -.  ( a  e.  V ,  b  e.  V  |->  { <. f ,  p >.  |  ps } )  e.  _V  ->  ( <. A ,  B >.  e. 
dom  ( V O E )  ->  ( F ( A ( V O E ) B ) P  -> 
( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )
) ) ) ) )
6968imp 427 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  ( -.  V  e.  _V  \/  -.  E  e.  _V )  /\  -.  ( a  e.  V ,  b  e.  V  |->  { <. f ,  p >.  |  ps } )  e.  _V )  -> 
( <. A ,  B >.  e.  dom  ( V O E )  -> 
( F ( A ( V O E ) B ) P  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )
) ) ) )
7060, 69jaoi3 970 . . . . . . 7  |-  ( ( ( -.  V  e. 
_V  \/  -.  E  e.  _V )  \/  -.  ( a  e.  V ,  b  e.  V  |->  { <. f ,  p >.  |  ps } )  e.  _V )  -> 
( <. A ,  B >.  e.  dom  ( V O E )  -> 
( F ( A ( V O E ) B ) P  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )
) ) ) )
7150, 70sylbi 195 . . . . . 6  |-  ( ( -.  V  e.  _V  \/  -.  E  e.  _V  \/  -.  ( a  e.  V ,  b  e.  V  |->  { <. f ,  p >.  |  ps } )  e.  _V )  ->  ( <. A ,  B >.  e.  dom  ( V O E )  -> 
( F ( A ( V O E ) B ) P  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )
) ) ) )
7249, 71sylbi 195 . . . . 5  |-  ( -.  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  ( a  e.  V ,  b  e.  V  |->  { <. f ,  p >.  |  ps } )  e.  _V )  -> 
( <. A ,  B >.  e.  dom  ( V O E )  -> 
( F ( A ( V O E ) B ) P  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )
) ) ) )
7348, 72pm2.61i 164 . . . 4  |-  ( <. A ,  B >.  e. 
dom  ( V O E )  ->  ( F ( A ( V O E ) B ) P  -> 
( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )
) ) )
742, 6, 733syl 18 . . 3  |-  ( <. F ,  P >.  e.  ( A ( V O E ) B )  ->  ( F
( A ( V O E ) B ) P  ->  (
( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V
) ) ) )
751, 74sylbi 195 . 2  |-  ( F ( A ( V O E ) B ) P  ->  ( F ( A ( V O E ) B ) P  -> 
( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )
) ) )
7675pm2.43i 46 1  |-  ( F ( A ( V O E ) B ) P  ->  (
( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    \/ w3o 973    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598   _Vcvv 3059   (/)c0 3738   <.cop 3978   class class class wbr 4395   {copab 4452    X. cxp 4821   dom cdm 4823   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   {coprab 6279    |-> cmpt2 6280
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-1st 6784  df-2nd 6785
This theorem is referenced by:  wlkonprop  24952  trlonprop  24961  pthonprop  24996  spthonprp  25004
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