Theorem bropopvvv 6874

Description: If a binary relation holds for the result of an operation which is a result of an operation, the involved classes are sets. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Dec-2017.) (Proof shortened by AV, 3-Jan-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
bropopvvv.o	|- O = ( v e. _V , e e. _V |-> ( a e. v , b e. v |-> { <. f , p >. | ph } ) )
bropopvvv.p	|- ( ( v = V /\ e = E ) -> ( ph <-> ps ) )
bropopvvv.oo	|- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) -> ( A ( V O E ) B ) = { <. f , p >. | th } )

Assertion

Ref	Expression
bropopvvv	|- ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) )

Distinct variable groups:   E, a, b, e, f, p, v   V, a, b, e, f, p, v   ps, e, v

Allowed substitution hints:   ph( v, e, f, p, a, b)   ps( f, p, a, b)   th( v, e, f, p, a, b)   A( v, e, f, p, a, b)   B( v, e, f, p, a, b)   P( v, e, f, p, a, b)   F( v, e, f, p, a, b)   O( v, e, f, p, a, b)

Proof of Theorem bropopvvv

Dummy variable c is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brovpreldm 6873	. . 3 |- ( F ( A ( V O E ) B ) P -> <. A , B >. e. dom ( V O E ) )
2		simpl 459	. . . . . . . . 9 |- ( ( v = V /\ e = E ) -> v = V )
3		bropopvvv.p	. . . . . . . . . 10 |- ( ( v = V /\ e = E ) -> ( ph <-> ps ) )
4	3	opabbidv 4466	. . . . . . . . 9 |- ( ( v = V /\ e = E ) -> { <. f , p >. | ph } = { <. f , p >. | ps } )
5	2, 2, 4	mpt2eq123dv 6353	. . . . . . . 8 |- ( ( v = V /\ e = E ) -> ( a e. v , b e. v |-> { <. f , p >. | ph } ) = ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) )
6		bropopvvv.o	. . . . . . . 8 |- O = ( v e. _V , e e. _V |-> ( a e. v , b e. v |-> { <. f , p >. | ph } ) )
7	5, 6	ovmpt2ga 6426	. . . . . . 7 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V /\ ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) e. _V ) -> ( V O E ) = ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) )
8	7	dmeqd 5037	. . . . . 6 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V /\ ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) e. _V ) -> dom ( V O E ) = dom ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) )
9	8	eleq2d 2514	. . . . 5 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V /\ ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) e. _V ) -> ( <. A , B >. e. dom ( V O E ) <-> <. A , B >. e. dom ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) ) )
10		dmoprabss 6378	. . . . . . . 8 |- dom { <. <. a , b >. , c >. | ( ( a e. V /\ b e. V ) /\ c = { <. f , p >. | ps } ) } C_ ( V X. V )
11	10	sseli 3428	. . . . . . 7 |- ( <. A , B >. e. dom { <. <. a , b >. , c >. | ( ( a e. V /\ b e. V ) /\ c = { <. f , p >. | ps } ) } -> <. A , B >. e. ( V X. V ) )
12		opelxp 4864	. . . . . . . 8 |- ( <. A , B >. e. ( V X. V ) <-> ( A e. V /\ B e. V ) )
13		df-br 4403	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F ( A ( V O E ) B ) P <-> <. F , P >. e. ( A ( V O E ) B ) )
14		ne0i 3737	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( <. F , P >. e. ( A ( V O E ) B ) -> ( A ( V O E ) B ) =/= (/) )
15		bropopvvv.oo	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) -> ( A ( V O E ) B ) = { <. f , p >. | th } )
16	15	breqd 4413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P <-> F { <. f , p >. | th } P ) )
17		brabv 6335	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( F { <. f , p >. | th } P -> ( F e. _V /\ P e. _V ) )
18	17	anim2i 573	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ F { <. f , p >. | th } P ) -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) )
19	18	ex 436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( F { <. f , p >. | th } P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) ) )
20	19	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) -> ( F { <. f , p >. | th } P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) ) )
21	16, 20	sylbid 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) ) )
22	21	ex 436	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( ( A e. V /\ B e. V ) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) ) ) )
23	22	com23 81	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( A e. V /\ B e. V ) -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) ) ) )
24	23	a1d 26	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( ( A ( V O E ) B ) =/= (/) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( A e. V /\ B e. V ) -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) ) ) ) )
25	6	mpt2ndm0 6510	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -. ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( V O E ) = (/) )
26		df-ov 6293	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A ( V O E ) B ) = ( ( V O E ) ` <. A , B >. )
27		fveq1 5864	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( V O E ) = (/) -> ( ( V O E ) ` <. A , B >. ) = ( (/) ` <. A , B >. ) )
28	26, 27	syl5eq 2497	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( V O E ) = (/) -> ( A ( V O E ) B ) = ( (/) ` <. A , B >. ) )
29		0fv 5898	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( (/) ` <. A , B >. ) = (/)
30	28, 29	syl6eq 2501	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( V O E ) = (/) -> ( A ( V O E ) B ) = (/) )
31		eqneqall 2634	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A ( V O E ) B ) = (/) -> ( ( A ( V O E ) B ) =/= (/) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( A e. V /\ B e. V ) -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) ) ) ) )
32	25, 30, 31	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( ( A ( V O E ) B ) =/= (/) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( A e. V /\ B e. V ) -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) ) ) ) )
33	24, 32	pm2.61i 168	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A ( V O E ) B ) =/= (/) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( A e. V /\ B e. V ) -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) ) ) )
34	14, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( <. F , P >. e. ( A ( V O E ) B ) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( A e. V /\ B e. V ) -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) ) ) )
35	13, 34	sylbi 199	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( A e. V /\ B e. V ) -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) ) ) )
36	35	pm2.43i 49	. . . . . . . . . . 11 |- ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( A e. V /\ B e. V ) -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) ) )
37	36	com12 32	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. V /\ B e. V ) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) ) )
38	37	anc2ri 561	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. V /\ B e. V ) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) ) )
39		df-3an 987	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) <-> ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) )
40	38, 39	syl6ibr 231	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ B e. V ) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) ) )
41	12, 40	sylbi 199	. . . . . . 7 |- ( <. A , B >. e. ( V X. V ) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) ) )
42	11, 41	syl 17	. . . . . 6 |- ( <. A , B >. e. dom { <. <. a , b >. , c >. | ( ( a e. V /\ b e. V ) /\ c = { <. f , p >. | ps } ) } -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) ) )
43		df-mpt2 6295	. . . . . . 7 |- ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) = { <. <. a , b >. , c >. | ( ( a e. V /\ b e. V ) /\ c = { <. f , p >. | ps } ) }
44	43	dmeqi 5036	. . . . . 6 |- dom ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) = dom { <. <. a , b >. , c >. | ( ( a e. V /\ b e. V ) /\ c = { <. f , p >. | ps } ) }
45	42, 44	eleq2s 2547	. . . . 5 |- ( <. A , B >. e. dom ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) ) )
46	9, 45	syl6bi 232	. . . 4 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V /\ ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) e. _V ) -> ( <. A , B >. e. dom ( V O E ) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) ) ) )
47		3ianor 1002	. . . . 5 |- ( -. ( V e. _V /\ E e. _V /\ ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) e. _V ) <-> ( -. V e. _V \/ -. E e. _V \/ -. ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) e. _V ) )
48		df-3or 986	. . . . . 6 |- ( ( -. V e. _V \/ -. E e. _V \/ -. ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) e. _V ) <-> ( ( -. V e. _V \/ -. E e. _V ) \/ -. ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) e. _V ) )
49		ianor 491	. . . . . . . 8 |- ( -. ( V e. _V /\ E e. _V ) <-> ( -. V e. _V \/ -. E e. _V ) )
50	25	dmeqd 5037	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. ( V e. _V /\ E e. _V ) -> dom ( V O E ) = dom (/) )
51	50	eleq2d 2514	. . . . . . . . . 10 |- ( -. ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( <. A , B >. e. dom ( V O E ) <-> <. A , B >. e. dom (/) ) )
52		dm0 5048	. . . . . . . . . . 11 |- dom (/) = (/)
53	52	eleq2i 2521	. . . . . . . . . 10 |- ( <. A , B >. e. dom (/) <-> <. A , B >. e. (/) )
54	51, 53	syl6bb 265	. . . . . . . . 9 |- ( -. ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( <. A , B >. e. dom ( V O E ) <-> <. A , B >. e. (/) ) )
55		noel 3735	. . . . . . . . . 10 |- -. <. A , B >. e. (/)
56	55	pm2.21i 135	. . . . . . . . 9 |- ( <. A , B >. e. (/) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) ) )
57	54, 56	syl6bi 232	. . . . . . . 8 |- ( -. ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( <. A , B >. e. dom ( V O E ) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) ) ) )
58	49, 57	sylbir 217	. . . . . . 7 |- ( ( -. V e. _V \/ -. E e. _V ) -> ( <. A , B >. e. dom ( V O E ) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) ) ) )
59		anor 492	. . . . . . . . 9 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V ) <-> -. ( -. V e. _V \/ -. E e. _V ) )
60		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( V e. _V -> V e. _V )
61	60	ancri 555	. . . . . . . . . . . 12 |- ( V e. _V -> ( V e. _V /\ V e. _V ) )
62	61	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( V e. _V /\ V e. _V ) )
63		mpt2exga 6869	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( V e. _V /\ V e. _V ) -> ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) e. _V )
64	62, 63	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) e. _V )
65	64	pm2.24d 138	. . . . . . . . 9 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( -. ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) e. _V -> ( <. A , B >. e. dom ( V O E ) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) ) ) ) )
66	59, 65	sylbir 217	. . . . . . . 8 |- ( -. ( -. V e. _V \/ -. E e. _V ) -> ( -. ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) e. _V -> ( <. A , B >. e. dom ( V O E ) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) ) ) ) )
67	66	imp 431	. . . . . . 7 |- ( ( -. ( -. V e. _V \/ -. E e. _V ) /\ -. ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) e. _V ) -> ( <. A , B >. e. dom ( V O E ) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) ) ) )
68	58, 67	jaoi3 981	. . . . . 6 |- ( ( ( -. V e. _V \/ -. E e. _V ) \/ -. ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) e. _V ) -> ( <. A , B >. e. dom ( V O E ) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) ) ) )
69	48, 68	sylbi 199	. . . . 5 |- ( ( -. V e. _V \/ -. E e. _V \/ -. ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) e. _V ) -> ( <. A , B >. e. dom ( V O E ) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) ) ) )
70	47, 69	sylbi 199	. . . 4 |- ( -. ( V e. _V /\ E e. _V /\ ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) e. _V ) -> ( <. A , B >. e. dom ( V O E ) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) ) ) )
71	46, 70	pm2.61i 168	. . 3 |- ( <. A , B >. e. dom ( V O E ) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) ) )
72	1, 71	syl 17	. 2 |- ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) ) )
73	72	pm2.43i 49	1 |- ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   \/ wo 370   /\ wa 371   \/ w3o 984   /\ w3a 985   = wceq 1444   e. wcel 1887   =/= wne 2622   _Vcvv 3045   (/)c0 3731   <.cop 3974   class class class wbr 4402   {copab 4460   X. cxp 4832   dom cdm 4834   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   {coprab 6291   |-> cmpt2 6292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-1st 6793  df-2nd 6794

This theorem is referenced by:  wlkonprop  25263  trlonprop  25272  pthonprop  25307  spthonprp  25315