Theorem bropopvvv 6893

Description: If a binary relation holds for the result of an operation which is a result of an operation, the involved classes are sets. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Dec-2017.) (Proof shortened by AV, 3-Jan-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
bropopvvv.o	|- O = ( v e. _V , e e. _V |-> ( a e. v , b e. v |-> { <. f , p >. | ph } ) )
bropopvvv.p	|- ( ( v = V /\ e = E ) -> ( ph <-> ps ) )
bropopvvv.oo	|- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) -> ( A ( V O E ) B ) = { <. f , p >. | th } )

Assertion

Ref	Expression
bropopvvv	|- ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) )

Distinct variable groups:   E, a, b, e, f, p, v   V, a, b, e, f, p, v   ps, e, v

Allowed substitution hints:   ph( v, e, f, p, a, b)   ps( f, p, a, b)   th( v, e, f, p, a, b)   A( v, e, f, p, a, b)   B( v, e, f, p, a, b)   P( v, e, f, p, a, b)   F( v, e, f, p, a, b)   O( v, e, f, p, a, b)

Proof of Theorem bropopvvv

Dummy variable c is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brovpreldm 6892	. . 3 |- ( F ( A ( V O E ) B ) P -> <. A , B >. e. dom ( V O E ) )
2		simpl 464	. . . . . . . . 9 |- ( ( v = V /\ e = E ) -> v = V )
3		bropopvvv.p	. . . . . . . . . 10 |- ( ( v = V /\ e = E ) -> ( ph <-> ps ) )
4	3	opabbidv 4459	. . . . . . . . 9 |- ( ( v = V /\ e = E ) -> { <. f , p >. | ph } = { <. f , p >. | ps } )
5	2, 2, 4	mpt2eq123dv 6372	. . . . . . . 8 |- ( ( v = V /\ e = E ) -> ( a e. v , b e. v |-> { <. f , p >. | ph } ) = ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) )
6		bropopvvv.o	. . . . . . . 8 |- O = ( v e. _V , e e. _V |-> ( a e. v , b e. v |-> { <. f , p >. | ph } ) )
7	5, 6	ovmpt2ga 6445	. . . . . . 7 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V /\ ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) e. _V ) -> ( V O E ) = ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) )
8	7	dmeqd 5042	. . . . . 6 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V /\ ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) e. _V ) -> dom ( V O E ) = dom ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) )
9	8	eleq2d 2534	. . . . 5 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V /\ ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) e. _V ) -> ( <. A , B >. e. dom ( V O E ) <-> <. A , B >. e. dom ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) ) )
10		dmoprabss 6397	. . . . . . . 8 |- dom { <. <. a , b >. , c >. | ( ( a e. V /\ b e. V ) /\ c = { <. f , p >. | ps } ) } C_ ( V X. V )
11	10	sseli 3414	. . . . . . 7 |- ( <. A , B >. e. dom { <. <. a , b >. , c >. | ( ( a e. V /\ b e. V ) /\ c = { <. f , p >. | ps } ) } -> <. A , B >. e. ( V X. V ) )
12		opelxp 4869	. . . . . . . 8 |- ( <. A , B >. e. ( V X. V ) <-> ( A e. V /\ B e. V ) )
13		df-br 4396	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F ( A ( V O E ) B ) P <-> <. F , P >. e. ( A ( V O E ) B ) )
14		ne0i 3728	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( <. F , P >. e. ( A ( V O E ) B ) -> ( A ( V O E ) B ) =/= (/) )
15		bropopvvv.oo	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) -> ( A ( V O E ) B ) = { <. f , p >. | th } )
16	15	breqd 4406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P <-> F { <. f , p >. | th } P ) )
17		brabv 6354	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( F { <. f , p >. | th } P -> ( F e. _V /\ P e. _V ) )
18	17	anim2i 579	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ F { <. f , p >. | th } P ) -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) )
19	18	ex 441	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( F { <. f , p >. | th } P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) ) )
20	19	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) -> ( F { <. f , p >. | th } P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) ) )
21	16, 20	sylbid 223	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) ) )
22	21	ex 441	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( ( A e. V /\ B e. V ) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) ) ) )
23	22	com23 80	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( A e. V /\ B e. V ) -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) ) ) )
24	23	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( ( A ( V O E ) B ) =/= (/) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( A e. V /\ B e. V ) -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) ) ) ) )
25	6	mpt2ndm0 6529	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -. ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( V O E ) = (/) )
26		df-ov 6311	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A ( V O E ) B ) = ( ( V O E ) ` <. A , B >. )
27		fveq1 5878	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( V O E ) = (/) -> ( ( V O E ) ` <. A , B >. ) = ( (/) ` <. A , B >. ) )
28	26, 27	syl5eq 2517	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( V O E ) = (/) -> ( A ( V O E ) B ) = ( (/) ` <. A , B >. ) )
29		0fv 5912	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( (/) ` <. A , B >. ) = (/)
30	28, 29	syl6eq 2521	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( V O E ) = (/) -> ( A ( V O E ) B ) = (/) )
31		eqneqall 2654	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A ( V O E ) B ) = (/) -> ( ( A ( V O E ) B ) =/= (/) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( A e. V /\ B e. V ) -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) ) ) ) )
32	25, 30, 31	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( ( A ( V O E ) B ) =/= (/) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( A e. V /\ B e. V ) -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) ) ) ) )
33	24, 32	pm2.61i 169	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A ( V O E ) B ) =/= (/) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( A e. V /\ B e. V ) -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) ) ) )
34	14, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( <. F , P >. e. ( A ( V O E ) B ) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( A e. V /\ B e. V ) -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) ) ) )
35	13, 34	sylbi 200	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( A e. V /\ B e. V ) -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) ) ) )
36	35	pm2.43i 48	. . . . . . . . . . 11 |- ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( A e. V /\ B e. V ) -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) ) )
37	36	com12 31	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. V /\ B e. V ) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) ) )
38	37	anc2ri 567	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. V /\ B e. V ) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) ) )
39		df-3an 1009	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) <-> ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) )
40	38, 39	syl6ibr 235	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ B e. V ) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) ) )
41	12, 40	sylbi 200	. . . . . . 7 |- ( <. A , B >. e. ( V X. V ) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) ) )
42	11, 41	syl 17	. . . . . 6 |- ( <. A , B >. e. dom { <. <. a , b >. , c >. | ( ( a e. V /\ b e. V ) /\ c = { <. f , p >. | ps } ) } -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) ) )
43		df-mpt2 6313	. . . . . . 7 |- ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) = { <. <. a , b >. , c >. | ( ( a e. V /\ b e. V ) /\ c = { <. f , p >. | ps } ) }
44	43	dmeqi 5041	. . . . . 6 |- dom ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) = dom { <. <. a , b >. , c >. | ( ( a e. V /\ b e. V ) /\ c = { <. f , p >. | ps } ) }
45	42, 44	eleq2s 2567	. . . . 5 |- ( <. A , B >. e. dom ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) ) )
46	9, 45	syl6bi 236	. . . 4 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V /\ ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) e. _V ) -> ( <. A , B >. e. dom ( V O E ) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) ) ) )
47		3ianor 1024	. . . . 5 |- ( -. ( V e. _V /\ E e. _V /\ ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) e. _V ) <-> ( -. V e. _V \/ -. E e. _V \/ -. ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) e. _V ) )
48		df-3or 1008	. . . . . 6 |- ( ( -. V e. _V \/ -. E e. _V \/ -. ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) e. _V ) <-> ( ( -. V e. _V \/ -. E e. _V ) \/ -. ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) e. _V ) )
49		ianor 496	. . . . . . . 8 |- ( -. ( V e. _V /\ E e. _V ) <-> ( -. V e. _V \/ -. E e. _V ) )
50	25	dmeqd 5042	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. ( V e. _V /\ E e. _V ) -> dom ( V O E ) = dom (/) )
51	50	eleq2d 2534	. . . . . . . . . 10 |- ( -. ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( <. A , B >. e. dom ( V O E ) <-> <. A , B >. e. dom (/) ) )
52		dm0 5054	. . . . . . . . . . 11 |- dom (/) = (/)
53	52	eleq2i 2541	. . . . . . . . . 10 |- ( <. A , B >. e. dom (/) <-> <. A , B >. e. (/) )
54	51, 53	syl6bb 269	. . . . . . . . 9 |- ( -. ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( <. A , B >. e. dom ( V O E ) <-> <. A , B >. e. (/) ) )
55		noel 3726	. . . . . . . . . 10 |- -. <. A , B >. e. (/)
56	55	pm2.21i 136	. . . . . . . . 9 |- ( <. A , B >. e. (/) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) ) )
57	54, 56	syl6bi 236	. . . . . . . 8 |- ( -. ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( <. A , B >. e. dom ( V O E ) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) ) ) )
58	49, 57	sylbir 218	. . . . . . 7 |- ( ( -. V e. _V \/ -. E e. _V ) -> ( <. A , B >. e. dom ( V O E ) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) ) ) )
59		anor 497	. . . . . . . . 9 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V ) <-> -. ( -. V e. _V \/ -. E e. _V ) )
60		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( V e. _V -> V e. _V )
61	60	ancri 561	. . . . . . . . . . . 12 |- ( V e. _V -> ( V e. _V /\ V e. _V ) )
62	61	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( V e. _V /\ V e. _V ) )
63		mpt2exga 6888	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( V e. _V /\ V e. _V ) -> ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) e. _V )
64	62, 63	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) e. _V )
65	64	pm2.24d 139	. . . . . . . . 9 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( -. ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) e. _V -> ( <. A , B >. e. dom ( V O E ) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) ) ) ) )
66	59, 65	sylbir 218	. . . . . . . 8 |- ( -. ( -. V e. _V \/ -. E e. _V ) -> ( -. ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) e. _V -> ( <. A , B >. e. dom ( V O E ) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) ) ) ) )
67	66	imp 436	. . . . . . 7 |- ( ( -. ( -. V e. _V \/ -. E e. _V ) /\ -. ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) e. _V ) -> ( <. A , B >. e. dom ( V O E ) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) ) ) )
68	58, 67	jaoi3 980	. . . . . 6 |- ( ( ( -. V e. _V \/ -. E e. _V ) \/ -. ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) e. _V ) -> ( <. A , B >. e. dom ( V O E ) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) ) ) )
69	48, 68	sylbi 200	. . . . 5 |- ( ( -. V e. _V \/ -. E e. _V \/ -. ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) e. _V ) -> ( <. A , B >. e. dom ( V O E ) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) ) ) )
70	47, 69	sylbi 200	. . . 4 |- ( -. ( V e. _V /\ E e. _V /\ ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) e. _V ) -> ( <. A , B >. e. dom ( V O E ) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) ) ) )
71	46, 70	pm2.61i 169	. . 3 |- ( <. A , B >. e. dom ( V O E ) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) ) )
72	1, 71	syl 17	. 2 |- ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) ) )
73	72	pm2.43i 48	1 |- ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   \/ wo 375   /\ wa 376   \/ w3o 1006   /\ w3a 1007   = wceq 1452   e. wcel 1904   =/= wne 2641   _Vcvv 3031   (/)c0 3722   <.cop 3965   class class class wbr 4395   {copab 4453   X. cxp 4837   dom cdm 4839   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   {coprab 6309   |-> cmpt2 6310

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-1st 6812  df-2nd 6813

This theorem is referenced by:  wlkonprop  25342  trlonprop  25351  pthonprop  25386  spthonprp  25394