Theorem bropopvvv 6860

Description: If a binary relation holds for the result of an operation which is a result of an operation, the involved classes are sets. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
bropopvvv.o	|- O = ( v e. _V , e e. _V |-> ( a e. v , b e. v |-> { <. f , p >. | ph } ) )
bropopvvv.p	|- ( ( v = V /\ e = E ) -> ( ph <-> ps ) )
bropopvvv.oo	|- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) -> ( A ( V O E ) B ) = { <. f , p >. | th } )

Assertion

Ref	Expression
bropopvvv	|- ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) )

Distinct variable groups:   E, a, b, e, f, p, v   V, a, b, e, f, p, v   ps, e, v

Allowed substitution hints:   ph( v, e, f, p, a, b)   ps( f, p, a, b)   th( v, e, f, p, a, b)   A( v, e, f, p, a, b)   B( v, e, f, p, a, b)   P( v, e, f, p, a, b)   F( v, e, f, p, a, b)   O( v, e, f, p, a, b)

Proof of Theorem bropopvvv

Dummy variable c is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-br 4448	. . 3 |- ( F ( A ( V O E ) B ) P <-> <. F , P >. e. ( A ( V O E ) B ) )
2		ne0i 3791	. . . 4 |- ( <. F , P >. e. ( A ( V O E ) B ) -> ( A ( V O E ) B ) =/= (/) )
3		df-ov 6285	. . . . . 6 |- ( A ( V O E ) B ) = ( ( V O E ) ` <. A , B >. )
4		ndmfv 5888	. . . . . 6 |- ( -. <. A , B >. e. dom ( V O E ) -> ( ( V O E ) ` <. A , B >. ) = (/) )
5	3, 4	syl5eq 2520	. . . . 5 |- ( -. <. A , B >. e. dom ( V O E ) -> ( A ( V O E ) B ) = (/) )
6	5	necon1ai 2698	. . . 4 |- ( ( A ( V O E ) B ) =/= (/) -> <. A , B >. e. dom ( V O E ) )
7		simpl 457	. . . . . . . . . 10 |- ( ( v = V /\ e = E ) -> v = V )
8		bropopvvv.p	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( v = V /\ e = E ) -> ( ph <-> ps ) )
9	8	opabbidv 4510	. . . . . . . . . 10 |- ( ( v = V /\ e = E ) -> { <. f , p >. | ph } = { <. f , p >. | ps } )
10	7, 7, 9	mpt2eq123dv 6341	. . . . . . . . 9 |- ( ( v = V /\ e = E ) -> ( a e. v , b e. v |-> { <. f , p >. | ph } ) = ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) )
11		bropopvvv.o	. . . . . . . . 9 |- O = ( v e. _V , e e. _V |-> ( a e. v , b e. v |-> { <. f , p >. | ph } ) )
12	10, 11	ovmpt2ga 6414	. . . . . . . 8 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V /\ ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) e. _V ) -> ( V O E ) = ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) )
13	12	dmeqd 5203	. . . . . . 7 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V /\ ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) e. _V ) -> dom ( V O E ) = dom ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) )
14	13	eleq2d 2537	. . . . . 6 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V /\ ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) e. _V ) -> ( <. A , B >. e. dom ( V O E ) <-> <. A , B >. e. dom ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) ) )
15		dmoprabss 6366	. . . . . . . . 9 |- dom { <. <. a , b >. , c >. | ( ( a e. V /\ b e. V ) /\ c = { <. f , p >. | ps } ) } C_ ( V X. V )
16	15	sseli 3500	. . . . . . . 8 |- ( <. A , B >. e. dom { <. <. a , b >. , c >. | ( ( a e. V /\ b e. V ) /\ c = { <. f , p >. | ps } ) } -> <. A , B >. e. ( V X. V ) )
17		opelxp 5028	. . . . . . . . 9 |- ( <. A , B >. e. ( V X. V ) <-> ( A e. V /\ B e. V ) )
18		bropopvvv.oo	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) -> ( A ( V O E ) B ) = { <. f , p >. | th } )
19	18	breqd 4458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P <-> F { <. f , p >. | th } P ) )
20		brabv 6324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( F { <. f , p >. | th } P -> ( F e. _V /\ P e. _V ) )
21	20	anim2i 569	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ F { <. f , p >. | th } P ) -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) )
22	21	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( F { <. f , p >. | th } P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) ) )
23	22	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) -> ( F { <. f , p >. | th } P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) ) )
24	19, 23	sylbid 215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) ) )
25	24	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( ( A e. V /\ B e. V ) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) ) ) )
26	25	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( A e. V /\ B e. V ) -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) ) ) )
27	26	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( ( A ( V O E ) B ) =/= (/) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( A e. V /\ B e. V ) -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) ) ) ) )
28	11	reldmmpt2 6395	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- Rel dom O
29	28	ovprc 6309	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -. ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( V O E ) = (/) )
30		fveq1 5863	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( V O E ) = (/) -> ( ( V O E ) ` <. A , B >. ) = ( (/) ` <. A , B >. ) )
31	3, 30	syl5eq 2520	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( V O E ) = (/) -> ( A ( V O E ) B ) = ( (/) ` <. A , B >. ) )
32		0fv 5897	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( (/) ` <. A , B >. ) = (/)
33	31, 32	syl6eq 2524	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( V O E ) = (/) -> ( A ( V O E ) B ) = (/) )
34		df-ne 2664	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A ( V O E ) B ) =/= (/) <-> -. ( A ( V O E ) B ) = (/) )
35		pm2.21 108	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( -. ( A ( V O E ) B ) = (/) -> ( ( A ( V O E ) B ) = (/) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( A e. V /\ B e. V ) -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) ) ) ) )
36	34, 35	sylbi 195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A ( V O E ) B ) =/= (/) -> ( ( A ( V O E ) B ) = (/) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( A e. V /\ B e. V ) -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) ) ) ) )
37	36	com12 31	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A ( V O E ) B ) = (/) -> ( ( A ( V O E ) B ) =/= (/) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( A e. V /\ B e. V ) -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) ) ) ) )
38	29, 33, 37	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -. ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( ( A ( V O E ) B ) =/= (/) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( A e. V /\ B e. V ) -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) ) ) ) )
39	27, 38	pm2.61i 164	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A ( V O E ) B ) =/= (/) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( A e. V /\ B e. V ) -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) ) ) )
40	2, 39	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( <. F , P >. e. ( A ( V O E ) B ) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( A e. V /\ B e. V ) -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) ) ) )
41	1, 40	sylbi 195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( A e. V /\ B e. V ) -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) ) ) )
42	41	pm2.43i 47	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( A e. V /\ B e. V ) -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) ) )
43	42	com12 31	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. V /\ B e. V ) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) ) )
44	43	anc2ri 558	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. V /\ B e. V ) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) ) )
45		df-3an 975	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) <-> ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) )
46	44, 45	syl6ibr 227	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. V /\ B e. V ) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) ) )
47	17, 46	sylbi 195	. . . . . . . 8 |- ( <. A , B >. e. ( V X. V ) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) ) )
48	16, 47	syl 16	. . . . . . 7 |- ( <. A , B >. e. dom { <. <. a , b >. , c >. | ( ( a e. V /\ b e. V ) /\ c = { <. f , p >. | ps } ) } -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) ) )
49		df-mpt2 6287	. . . . . . . 8 |- ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) = { <. <. a , b >. , c >. | ( ( a e. V /\ b e. V ) /\ c = { <. f , p >. | ps } ) }
50	49	dmeqi 5202	. . . . . . 7 |- dom ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) = dom { <. <. a , b >. , c >. | ( ( a e. V /\ b e. V ) /\ c = { <. f , p >. | ps } ) }
51	48, 50	eleq2s 2575	. . . . . 6 |- ( <. A , B >. e. dom ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) ) )
52	14, 51	syl6bi 228	. . . . 5 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V /\ ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) e. _V ) -> ( <. A , B >. e. dom ( V O E ) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) ) ) )
53		3ianor 990	. . . . . 6 |- ( -. ( V e. _V /\ E e. _V /\ ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) e. _V ) <-> ( -. V e. _V \/ -. E e. _V \/ -. ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) e. _V ) )
54		df-3or 974	. . . . . . 7 |- ( ( -. V e. _V \/ -. E e. _V \/ -. ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) e. _V ) <-> ( ( -. V e. _V \/ -. E e. _V ) \/ -. ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) e. _V ) )
55		ianor 488	. . . . . . . . . 10 |- ( -. ( V e. _V /\ E e. _V ) <-> ( -. V e. _V \/ -. E e. _V ) )
56	29	dmeqd 5203	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. ( V e. _V /\ E e. _V ) -> dom ( V O E ) = dom (/) )
57	56	eleq2d 2537	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( <. A , B >. e. dom ( V O E ) <-> <. A , B >. e. dom (/) ) )
58		dm0 5214	. . . . . . . . . . . . 13 |- dom (/) = (/)
59	58	eleq2i 2545	. . . . . . . . . . . 12 |- ( <. A , B >. e. dom (/) <-> <. A , B >. e. (/) )
60	57, 59	syl6bb 261	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( <. A , B >. e. dom ( V O E ) <-> <. A , B >. e. (/) ) )
61		noel 3789	. . . . . . . . . . . 12 |- -. <. A , B >. e. (/)
62	61	pm2.21i 131	. . . . . . . . . . 11 |- ( <. A , B >. e. (/) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) ) )
63	60, 62	syl6bi 228	. . . . . . . . . 10 |- ( -. ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( <. A , B >. e. dom ( V O E ) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) ) ) )
64	55, 63	sylbir 213	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. V e. _V \/ -. E e. _V ) -> ( <. A , B >. e. dom ( V O E ) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) ) ) )
65		anor 489	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V ) <-> -. ( -. V e. _V \/ -. E e. _V ) )
66		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( V e. _V -> V e. _V )
67	66	ancri 552	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( V e. _V -> ( V e. _V /\ V e. _V ) )
68	67	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( V e. _V /\ V e. _V ) )
69		mpt2exga 6856	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( V e. _V /\ V e. _V ) -> ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) e. _V )
70	68, 69	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) e. _V )
71	70	pm2.24d 143	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( -. ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) e. _V -> ( <. A , B >. e. dom ( V O E ) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) ) ) ) )
72	65, 71	sylbir 213	. . . . . . . . . 10 |- ( -. ( -. V e. _V \/ -. E e. _V ) -> ( -. ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) e. _V -> ( <. A , B >. e. dom ( V O E ) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) ) ) ) )
73	72	imp 429	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. ( -. V e. _V \/ -. E e. _V ) /\ -. ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) e. _V ) -> ( <. A , B >. e. dom ( V O E ) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) ) ) )
74	64, 73	jaoi 379	. . . . . . . 8 |- ( ( ( -. V e. _V \/ -. E e. _V ) \/ ( -. ( -. V e. _V \/ -. E e. _V ) /\ -. ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) e. _V ) ) -> ( <. A , B >. e. dom ( V O E ) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) ) ) )
75	74	jaoi2 966	. . . . . . 7 |- ( ( ( -. V e. _V \/ -. E e. _V ) \/ -. ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) e. _V ) -> ( <. A , B >. e. dom ( V O E ) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) ) ) )
76	54, 75	sylbi 195	. . . . . 6 |- ( ( -. V e. _V \/ -. E e. _V \/ -. ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) e. _V ) -> ( <. A , B >. e. dom ( V O E ) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) ) ) )
77	53, 76	sylbi 195	. . . . 5 |- ( -. ( V e. _V /\ E e. _V /\ ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) e. _V ) -> ( <. A , B >. e. dom ( V O E ) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) ) ) )
78	52, 77	pm2.61i 164	. . . 4 |- ( <. A , B >. e. dom ( V O E ) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) ) )
79	2, 6, 78	3syl 20	. . 3 |- ( <. F , P >. e. ( A ( V O E ) B ) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) ) )
80	1, 79	sylbi 195	. 2 |- ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) ) )
81	80	pm2.43i 47	1 |- ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   \/ w3o 972   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   _Vcvv 3113   (/)c0 3785   <.cop 4033   class class class wbr 4447   {copab 4504   X. cxp 4997   dom cdm 4999   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   {coprab 6283   |-> cmpt2 6284

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-1st 6781  df-2nd 6782

This theorem is referenced by:  wlkonprop  24211  trlonprop  24220  pthonprop  24255  spthonprp  24263