MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bropopvvv Unicode version

Theorem bropopvvv 6385
Description: If a binary relation holds for the result of an operation which is a result of an operation, the involved classes are sets. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
bropopvvv.o  |-  O  =  ( v  e.  _V ,  e  e.  _V  |->  ( a  e.  v ,  b  e.  v 
|->  { <. f ,  p >.  |  ph } ) )
bropopvvv.p  |-  ( ( v  =  V  /\  e  =  E )  ->  ( ph  <->  ps )
)
bropopvvv.oo  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V
) )  ->  ( A ( V O E ) B )  =  { <. f ,  p >.  |  th } )
Assertion
Ref Expression
bropopvvv  |-  ( F ( A ( V O E ) B ) P  ->  (
( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V
) ) )
Distinct variable groups:    E, a,
b, e, f, p, v    V, a, b, e, f, p, v    ps, e, v
Allowed substitution hints:    ph( v, e, f, p, a, b)    ps( f, p, a, b)    th( v, e, f, p, a, b)    A( v, e, f, p, a, b)    B( v, e, f, p, a, b)    P( v, e, f, p, a, b)    F( v, e, f, p, a, b)    O( v, e, f, p, a, b)

Proof of Theorem bropopvvv
Dummy variable  c is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-br 4173 . . 3  |-  ( F ( A ( V O E ) B ) P  <->  <. F ,  P >.  e.  ( A ( V O E ) B ) )
2 ne0i 3594 . . . 4  |-  ( <. F ,  P >.  e.  ( A ( V O E ) B )  ->  ( A
( V O E ) B )  =/=  (/) )
3 df-ov 6043 . . . . . 6  |-  ( A ( V O E ) B )  =  ( ( V O E ) `  <. A ,  B >. )
4 ndmfv 5714 . . . . . 6  |-  ( -. 
<. A ,  B >.  e. 
dom  ( V O E )  ->  (
( V O E ) `  <. A ,  B >. )  =  (/) )
53, 4syl5eq 2448 . . . . 5  |-  ( -. 
<. A ,  B >.  e. 
dom  ( V O E )  ->  ( A ( V O E ) B )  =  (/) )
65necon1ai 2609 . . . 4  |-  ( ( A ( V O E ) B )  =/=  (/)  ->  <. A ,  B >.  e.  dom  ( V O E ) )
7 simpl 444 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( v  =  V  /\  e  =  E )  ->  v  =  V )
8 bropopvvv.p . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( v  =  V  /\  e  =  E )  ->  ( ph  <->  ps )
)
98opabbidv 4231 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( v  =  V  /\  e  =  E )  ->  { <. f ,  p >.  |  ph }  =  { <. f ,  p >.  |  ps } )
107, 7, 9mpt2eq123dv 6095 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  =  V  /\  e  =  E )  ->  ( a  e.  v ,  b  e.  v 
|->  { <. f ,  p >.  |  ph } )  =  ( a  e.  V ,  b  e.  V  |->  { <. f ,  p >.  |  ps } ) )
11 bropopvvv.o . . . . . . . . 9  |-  O  =  ( v  e.  _V ,  e  e.  _V  |->  ( a  e.  v ,  b  e.  v 
|->  { <. f ,  p >.  |  ph } ) )
1210, 11ovmpt2ga 6162 . . . . . . . 8  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  (
a  e.  V , 
b  e.  V  |->  {
<. f ,  p >.  |  ps } )  e. 
_V )  ->  ( V O E )  =  ( a  e.  V ,  b  e.  V  |->  { <. f ,  p >.  |  ps } ) )
1312dmeqd 5031 . . . . . . 7  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  (
a  e.  V , 
b  e.  V  |->  {
<. f ,  p >.  |  ps } )  e. 
_V )  ->  dom  ( V O E )  =  dom  ( a  e.  V ,  b  e.  V  |->  { <. f ,  p >.  |  ps } ) )
1413eleq2d 2471 . . . . . 6  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  (
a  e.  V , 
b  e.  V  |->  {
<. f ,  p >.  |  ps } )  e. 
_V )  ->  ( <. A ,  B >.  e. 
dom  ( V O E )  <->  <. A ,  B >.  e.  dom  (
a  e.  V , 
b  e.  V  |->  {
<. f ,  p >.  |  ps } ) ) )
15 dmoprabss 6114 . . . . . . . . 9  |-  dom  { <. <. a ,  b
>. ,  c >.  |  ( ( a  e.  V  /\  b  e.  V )  /\  c  =  { <. f ,  p >.  |  ps } ) }  C_  ( V  X.  V )
1615sseli 3304 . . . . . . . 8  |-  ( <. A ,  B >.  e. 
dom  { <. <. a ,  b
>. ,  c >.  |  ( ( a  e.  V  /\  b  e.  V )  /\  c  =  { <. f ,  p >.  |  ps } ) }  ->  <. A ,  B >.  e.  ( V  X.  V ) )
17 opelxp 4867 . . . . . . . . 9  |-  ( <. A ,  B >.  e.  ( V  X.  V
)  <->  ( A  e.  V  /\  B  e.  V ) )
18 bropopvvv.oo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V
) )  ->  ( A ( V O E ) B )  =  { <. f ,  p >.  |  th } )
1918breqd 4183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V
) )  ->  ( F ( A ( V O E ) B ) P  <->  F { <. f ,  p >.  |  th } P ) )
20 brabv 6079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( F { <. f ,  p >.  |  th } P  ->  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)
2120anim2i 553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  F { <. f ,  p >.  |  th } P )  ->  (
( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
) )
2221ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( F { <. f ,  p >.  |  th } P  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
) ) )
2322adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V
) )  ->  ( F { <. f ,  p >.  |  th } P  ->  ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) ) ) )
2419, 23sylbid 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V
) )  ->  ( F ( A ( V O E ) B ) P  -> 
( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) ) ) )
2524ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  ( F ( A ( V O E ) B ) P  -> 
( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) ) ) ) )
2625com23 74 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( F ( A ( V O E ) B ) P  ->  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  (
( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
) ) ) )
2726a1d 23 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( ( A ( V O E ) B )  =/=  (/)  ->  ( F ( A ( V O E ) B ) P  -> 
( ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  (
( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
) ) ) ) )
2811reldmmpt2 6140 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  Rel  dom  O
2928ovprc 6067 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( V O E )  =  (/) )
30 fveq1 5686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( V O E )  =  (/)  ->  ( ( V O E ) `
 <. A ,  B >. )  =  ( (/) ` 
<. A ,  B >. ) )
313, 30syl5eq 2448 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( V O E )  =  (/)  ->  ( A ( V O E ) B )  =  ( (/) `  <. A ,  B >. ) )
32 fv01 5722 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (/) ` 
<. A ,  B >. )  =  (/)
3331, 32syl6eq 2452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( V O E )  =  (/)  ->  ( A ( V O E ) B )  =  (/) )
34 df-ne 2569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A ( V O E ) B )  =/=  (/)  <->  -.  ( A
( V O E ) B )  =  (/) )
35 pm2.21 102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( -.  ( A ( V O E ) B )  =  (/)  ->  (
( A ( V O E ) B )  =  (/)  ->  ( F ( A ( V O E ) B ) P  -> 
( ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  (
( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
) ) ) ) )
3634, 35sylbi 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A ( V O E ) B )  =/=  (/)  ->  ( ( A ( V O E ) B )  =  (/)  ->  ( F ( A ( V O E ) B ) P  ->  (
( A  e.  V  /\  B  e.  V
)  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) ) ) ) ) )
3736com12 29 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A ( V O E ) B )  =  (/)  ->  ( ( A ( V O E ) B )  =/=  (/)  ->  ( F
( A ( V O E ) B ) P  ->  (
( A  e.  V  /\  B  e.  V
)  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) ) ) ) ) )
3829, 33, 373syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( ( A ( V O E ) B )  =/=  (/)  ->  ( F ( A ( V O E ) B ) P  -> 
( ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  (
( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
) ) ) ) )
3927, 38pm2.61i 158 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A ( V O E ) B )  =/=  (/)  ->  ( F
( A ( V O E ) B ) P  ->  (
( A  e.  V  /\  B  e.  V
)  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) ) ) ) )
402, 39syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( <. F ,  P >.  e.  ( A ( V O E ) B )  ->  ( F
( A ( V O E ) B ) P  ->  (
( A  e.  V  /\  B  e.  V
)  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) ) ) ) )
411, 40sylbi 188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F ( A ( V O E ) B ) P  ->  ( F ( A ( V O E ) B ) P  -> 
( ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  (
( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
) ) ) )
4241pm2.43i 45 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F ( A ( V O E ) B ) P  ->  (
( A  e.  V  /\  B  e.  V
)  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) ) ) )
4342com12 29 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  ( F ( A ( V O E ) B ) P  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) ) ) )
4443anc2ri 542 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  ( F ( A ( V O E ) B ) P  ->  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V ) ) ) )
45 df-3an 938 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V
) )  <->  ( (
( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V ) ) )
4644, 45syl6ibr 219 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  ( F ( A ( V O E ) B ) P  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )
) ) )
4717, 46sylbi 188 . . . . . . . 8  |-  ( <. A ,  B >.  e.  ( V  X.  V
)  ->  ( F
( A ( V O E ) B ) P  ->  (
( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V
) ) ) )
4816, 47syl 16 . . . . . . 7  |-  ( <. A ,  B >.  e. 
dom  { <. <. a ,  b
>. ,  c >.  |  ( ( a  e.  V  /\  b  e.  V )  /\  c  =  { <. f ,  p >.  |  ps } ) }  ->  ( F
( A ( V O E ) B ) P  ->  (
( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V
) ) ) )
49 df-mpt2 6045 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  V ,  b  e.  V  |->  { <. f ,  p >.  |  ps } )  =  { <. <. a ,  b
>. ,  c >.  |  ( ( a  e.  V  /\  b  e.  V )  /\  c  =  { <. f ,  p >.  |  ps } ) }
5049dmeqi 5030 . . . . . . 7  |-  dom  (
a  e.  V , 
b  e.  V  |->  {
<. f ,  p >.  |  ps } )  =  dom  { <. <. a ,  b >. ,  c
>.  |  ( (
a  e.  V  /\  b  e.  V )  /\  c  =  { <. f ,  p >.  |  ps } ) }
5148, 50eleq2s 2496 . . . . . 6  |-  ( <. A ,  B >.  e. 
dom  ( a  e.  V ,  b  e.  V  |->  { <. f ,  p >.  |  ps } )  ->  ( F ( A ( V O E ) B ) P  -> 
( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )
) ) )
5214, 51syl6bi 220 . . . . 5  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  (
a  e.  V , 
b  e.  V  |->  {
<. f ,  p >.  |  ps } )  e. 
_V )  ->  ( <. A ,  B >.  e. 
dom  ( V O E )  ->  ( F ( A ( V O E ) B ) P  -> 
( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )
) ) ) )
53 3ianor 951 . . . . . 6  |-  ( -.  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  ( a  e.  V ,  b  e.  V  |->  { <. f ,  p >.  |  ps } )  e.  _V )  <->  ( -.  V  e.  _V  \/  -.  E  e.  _V  \/  -.  ( a  e.  V ,  b  e.  V  |->  { <. f ,  p >.  |  ps } )  e.  _V ) )
54 df-3or 937 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  V  e.  _V  \/  -.  E  e.  _V  \/  -.  ( a  e.  V ,  b  e.  V  |->  { <. f ,  p >.  |  ps } )  e.  _V ) 
<->  ( ( -.  V  e.  _V  \/  -.  E  e.  _V )  \/  -.  ( a  e.  V ,  b  e.  V  |->  { <. f ,  p >.  |  ps } )  e.  _V ) )
55 ianor 475 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  <->  ( -.  V  e.  _V  \/  -.  E  e.  _V ) )
5629dmeqd 5031 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  dom  ( V O E )  =  dom  (/) )
5756eleq2d 2471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( <. A ,  B >.  e.  dom  ( V O E )  <->  <. A ,  B >.  e.  dom  (/) ) )
58 dm0 5042 . . . . . . . . . . . . 13  |-  dom  (/)  =  (/)
5958eleq2i 2468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( <. A ,  B >.  e. 
dom  (/)  <->  <. A ,  B >.  e.  (/) )
6057, 59syl6bb 253 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( <. A ,  B >.  e.  dom  ( V O E )  <->  <. A ,  B >.  e.  (/) ) )
61 noel 3592 . . . . . . . . . . . 12  |-  -.  <. A ,  B >.  e.  (/)
6261pm2.21i 125 . . . . . . . . . . 11  |-  ( <. A ,  B >.  e.  (/)  ->  ( F ( A ( V O E ) B ) P  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )
) ) )
6360, 62syl6bi 220 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( <. A ,  B >.  e.  dom  ( V O E )  -> 
( F ( A ( V O E ) B ) P  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )
) ) ) )
6455, 63sylbir 205 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  V  e.  _V  \/  -.  E  e.  _V )  ->  ( <. A ,  B >.  e.  dom  ( V O E )  -> 
( F ( A ( V O E ) B ) P  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )
) ) ) )
65 anor 476 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  <->  -.  ( -.  V  e. 
_V  \/  -.  E  e.  _V ) )
66 id 20 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( V  e.  _V  ->  V  e.  _V )
6766ancri 536 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( V  e.  _V  ->  ( V  e.  _V  /\  V  e.  _V ) )
6867adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( V  e.  _V  /\  V  e.  _V )
)
69 mpt2exga 6383 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( V  e.  _V  /\  V  e.  _V )  ->  ( a  e.  V ,  b  e.  V  |->  { <. f ,  p >.  |  ps } )  e.  _V )
7068, 69syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( a  e.  V ,  b  e.  V  |->  { <. f ,  p >.  |  ps } )  e.  _V )
7170pm2.24d 137 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( -.  ( a  e.  V ,  b  e.  V  |->  { <. f ,  p >.  |  ps } )  e.  _V  ->  ( <. A ,  B >.  e.  dom  ( V O E )  -> 
( F ( A ( V O E ) B ) P  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )
) ) ) ) )
7265, 71sylbir 205 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( -.  V  e. 
_V  \/  -.  E  e.  _V )  ->  ( -.  ( a  e.  V ,  b  e.  V  |->  { <. f ,  p >.  |  ps } )  e.  _V  ->  ( <. A ,  B >.  e. 
dom  ( V O E )  ->  ( F ( A ( V O E ) B ) P  -> 
( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )
) ) ) ) )
7372imp 419 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  ( -.  V  e.  _V  \/  -.  E  e.  _V )  /\  -.  ( a  e.  V ,  b  e.  V  |->  { <. f ,  p >.  |  ps } )  e.  _V )  -> 
( <. A ,  B >.  e.  dom  ( V O E )  -> 
( F ( A ( V O E ) B ) P  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )
) ) ) )
7464, 73jaoi 369 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( -.  V  e. 
_V  \/  -.  E  e.  _V )  \/  ( -.  ( -.  V  e. 
_V  \/  -.  E  e.  _V )  /\  -.  ( a  e.  V ,  b  e.  V  |->  { <. f ,  p >.  |  ps } )  e.  _V ) )  ->  ( <. A ,  B >.  e.  dom  ( V O E )  -> 
( F ( A ( V O E ) B ) P  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )
) ) ) )
7574jaoi2 934 . . . . . . 7  |-  ( ( ( -.  V  e. 
_V  \/  -.  E  e.  _V )  \/  -.  ( a  e.  V ,  b  e.  V  |->  { <. f ,  p >.  |  ps } )  e.  _V )  -> 
( <. A ,  B >.  e.  dom  ( V O E )  -> 
( F ( A ( V O E ) B ) P  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )
) ) ) )
7654, 75sylbi 188 . . . . . 6  |-  ( ( -.  V  e.  _V  \/  -.  E  e.  _V  \/  -.  ( a  e.  V ,  b  e.  V  |->  { <. f ,  p >.  |  ps } )  e.  _V )  ->  ( <. A ,  B >.  e.  dom  ( V O E )  -> 
( F ( A ( V O E ) B ) P  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )
) ) ) )
7753, 76sylbi 188 . . . . 5  |-  ( -.  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  ( a  e.  V ,  b  e.  V  |->  { <. f ,  p >.  |  ps } )  e.  _V )  -> 
( <. A ,  B >.  e.  dom  ( V O E )  -> 
( F ( A ( V O E ) B ) P  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )
) ) ) )
7852, 77pm2.61i 158 . . . 4  |-  ( <. A ,  B >.  e. 
dom  ( V O E )  ->  ( F ( A ( V O E ) B ) P  -> 
( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )
) ) )
792, 6, 783syl 19 . . 3  |-  ( <. F ,  P >.  e.  ( A ( V O E ) B )  ->  ( F
( A ( V O E ) B ) P  ->  (
( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V
) ) ) )
801, 79sylbi 188 . 2  |-  ( F ( A ( V O E ) B ) P  ->  ( F ( A ( V O E ) B ) P  -> 
( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V )
) ) )
8180pm2.43i 45 1  |-  ( F ( A ( V O E ) B ) P  ->  (
( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    \/ w3o 935    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   _Vcvv 2916   (/)c0 3588   <.cop 3777   class class class wbr 4172   {copab 4225    X. cxp 4835   dom cdm 4837   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   {coprab 6041    e. cmpt2 6042
This theorem is referenced by:  wlkonprop  21485  trlonprop  21495  pthonprop  21530  spthonprp  21538
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309
  Copyright terms: Public domain W3C validator