Theorem bropopvvv 6385

Description: If a binary relation holds for the result of an operation which is a result of an operation, the involved classes are sets. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
bropopvvv.o	|- O = ( v e. _V , e e. _V |-> ( a e. v , b e. v |-> { <. f , p >. | ph } ) )
bropopvvv.p	|- ( ( v = V /\ e = E ) -> ( ph <-> ps ) )
bropopvvv.oo	|- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) -> ( A ( V O E ) B ) = { <. f , p >. | th } )

Assertion

Ref	Expression
bropopvvv	|- ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) )

Distinct variable groups:   E, a, b, e, f, p, v   V, a, b, e, f, p, v   ps, e, v

Allowed substitution hints:   ph( v, e, f, p, a, b)   ps( f, p, a, b)   th( v, e, f, p, a, b)   A( v, e, f, p, a, b)   B( v, e, f, p, a, b)   P( v, e, f, p, a, b)   F( v, e, f, p, a, b)   O( v, e, f, p, a, b)

Proof of Theorem bropopvvv

Dummy variable c is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-br 4173	. . 3 |- ( F ( A ( V O E ) B ) P <-> <. F , P >. e. ( A ( V O E ) B ) )
2		ne0i 3594	. . . 4 |- ( <. F , P >. e. ( A ( V O E ) B ) -> ( A ( V O E ) B ) =/= (/) )
3		df-ov 6043	. . . . . 6 |- ( A ( V O E ) B ) = ( ( V O E ) ` <. A , B >. )
4		ndmfv 5714	. . . . . 6 |- ( -. <. A , B >. e. dom ( V O E ) -> ( ( V O E ) ` <. A , B >. ) = (/) )
5	3, 4	syl5eq 2448	. . . . 5 |- ( -. <. A , B >. e. dom ( V O E ) -> ( A ( V O E ) B ) = (/) )
6	5	necon1ai 2609	. . . 4 |- ( ( A ( V O E ) B ) =/= (/) -> <. A , B >. e. dom ( V O E ) )
7		simpl 444	. . . . . . . . . 10 |- ( ( v = V /\ e = E ) -> v = V )
8		bropopvvv.p	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( v = V /\ e = E ) -> ( ph <-> ps ) )
9	8	opabbidv 4231	. . . . . . . . . 10 |- ( ( v = V /\ e = E ) -> { <. f , p >. | ph } = { <. f , p >. | ps } )
10	7, 7, 9	mpt2eq123dv 6095	. . . . . . . . 9 |- ( ( v = V /\ e = E ) -> ( a e. v , b e. v |-> { <. f , p >. | ph } ) = ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) )
11		bropopvvv.o	. . . . . . . . 9 |- O = ( v e. _V , e e. _V |-> ( a e. v , b e. v |-> { <. f , p >. | ph } ) )
12	10, 11	ovmpt2ga 6162	. . . . . . . 8 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V /\ ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) e. _V ) -> ( V O E ) = ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) )
13	12	dmeqd 5031	. . . . . . 7 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V /\ ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) e. _V ) -> dom ( V O E ) = dom ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) )
14	13	eleq2d 2471	. . . . . 6 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V /\ ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) e. _V ) -> ( <. A , B >. e. dom ( V O E ) <-> <. A , B >. e. dom ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) ) )
15		dmoprabss 6114	. . . . . . . . 9 |- dom { <. <. a , b >. , c >. | ( ( a e. V /\ b e. V ) /\ c = { <. f , p >. | ps } ) } C_ ( V X. V )
16	15	sseli 3304	. . . . . . . 8 |- ( <. A , B >. e. dom { <. <. a , b >. , c >. | ( ( a e. V /\ b e. V ) /\ c = { <. f , p >. | ps } ) } -> <. A , B >. e. ( V X. V ) )
17		opelxp 4867	. . . . . . . . 9 |- ( <. A , B >. e. ( V X. V ) <-> ( A e. V /\ B e. V ) )
18		bropopvvv.oo	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) -> ( A ( V O E ) B ) = { <. f , p >. | th } )
19	18	breqd 4183	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P <-> F { <. f , p >. | th } P ) )
20		brabv 6079	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( F { <. f , p >. | th } P -> ( F e. _V /\ P e. _V ) )
21	20	anim2i 553	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ F { <. f , p >. | th } P ) -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) )
22	21	ex 424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( F { <. f , p >. | th } P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) ) )
23	22	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) -> ( F { <. f , p >. | th } P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) ) )
24	19, 23	sylbid 207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) ) )
25	24	ex 424	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( ( A e. V /\ B e. V ) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) ) ) )
26	25	com23 74	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( A e. V /\ B e. V ) -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) ) ) )
27	26	a1d 23	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( ( A ( V O E ) B ) =/= (/) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( A e. V /\ B e. V ) -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) ) ) ) )
28	11	reldmmpt2 6140	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- Rel dom O
29	28	ovprc 6067	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -. ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( V O E ) = (/) )
30		fveq1 5686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( V O E ) = (/) -> ( ( V O E ) ` <. A , B >. ) = ( (/) ` <. A , B >. ) )
31	3, 30	syl5eq 2448	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( V O E ) = (/) -> ( A ( V O E ) B ) = ( (/) ` <. A , B >. ) )
32		fv01 5722	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( (/) ` <. A , B >. ) = (/)
33	31, 32	syl6eq 2452	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( V O E ) = (/) -> ( A ( V O E ) B ) = (/) )
34		df-ne 2569	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A ( V O E ) B ) =/= (/) <-> -. ( A ( V O E ) B ) = (/) )
35		pm2.21 102	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( -. ( A ( V O E ) B ) = (/) -> ( ( A ( V O E ) B ) = (/) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( A e. V /\ B e. V ) -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) ) ) ) )
36	34, 35	sylbi 188	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A ( V O E ) B ) =/= (/) -> ( ( A ( V O E ) B ) = (/) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( A e. V /\ B e. V ) -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) ) ) ) )
37	36	com12 29	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A ( V O E ) B ) = (/) -> ( ( A ( V O E ) B ) =/= (/) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( A e. V /\ B e. V ) -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) ) ) ) )
38	29, 33, 37	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -. ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( ( A ( V O E ) B ) =/= (/) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( A e. V /\ B e. V ) -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) ) ) ) )
39	27, 38	pm2.61i 158	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A ( V O E ) B ) =/= (/) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( A e. V /\ B e. V ) -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) ) ) )
40	2, 39	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( <. F , P >. e. ( A ( V O E ) B ) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( A e. V /\ B e. V ) -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) ) ) )
41	1, 40	sylbi 188	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( A e. V /\ B e. V ) -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) ) ) )
42	41	pm2.43i 45	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( A e. V /\ B e. V ) -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) ) )
43	42	com12 29	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. V /\ B e. V ) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) ) )
44	43	anc2ri 542	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. V /\ B e. V ) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) ) )
45		df-3an 938	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) <-> ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) )
46	44, 45	syl6ibr 219	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. V /\ B e. V ) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) ) )
47	17, 46	sylbi 188	. . . . . . . 8 |- ( <. A , B >. e. ( V X. V ) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) ) )
48	16, 47	syl 16	. . . . . . 7 |- ( <. A , B >. e. dom { <. <. a , b >. , c >. | ( ( a e. V /\ b e. V ) /\ c = { <. f , p >. | ps } ) } -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) ) )
49		df-mpt2 6045	. . . . . . . 8 |- ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) = { <. <. a , b >. , c >. | ( ( a e. V /\ b e. V ) /\ c = { <. f , p >. | ps } ) }
50	49	dmeqi 5030	. . . . . . 7 |- dom ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) = dom { <. <. a , b >. , c >. | ( ( a e. V /\ b e. V ) /\ c = { <. f , p >. | ps } ) }
51	48, 50	eleq2s 2496	. . . . . 6 |- ( <. A , B >. e. dom ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) ) )
52	14, 51	syl6bi 220	. . . . 5 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V /\ ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) e. _V ) -> ( <. A , B >. e. dom ( V O E ) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) ) ) )
53		3ianor 951	. . . . . 6 |- ( -. ( V e. _V /\ E e. _V /\ ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) e. _V ) <-> ( -. V e. _V \/ -. E e. _V \/ -. ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) e. _V ) )
54		df-3or 937	. . . . . . 7 |- ( ( -. V e. _V \/ -. E e. _V \/ -. ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) e. _V ) <-> ( ( -. V e. _V \/ -. E e. _V ) \/ -. ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) e. _V ) )
55		ianor 475	. . . . . . . . . 10 |- ( -. ( V e. _V /\ E e. _V ) <-> ( -. V e. _V \/ -. E e. _V ) )
56	29	dmeqd 5031	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. ( V e. _V /\ E e. _V ) -> dom ( V O E ) = dom (/) )
57	56	eleq2d 2471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( <. A , B >. e. dom ( V O E ) <-> <. A , B >. e. dom (/) ) )
58		dm0 5042	. . . . . . . . . . . . 13 |- dom (/) = (/)
59	58	eleq2i 2468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( <. A , B >. e. dom (/) <-> <. A , B >. e. (/) )
60	57, 59	syl6bb 253	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( <. A , B >. e. dom ( V O E ) <-> <. A , B >. e. (/) ) )
61		noel 3592	. . . . . . . . . . . 12 |- -. <. A , B >. e. (/)
62	61	pm2.21i 125	. . . . . . . . . . 11 |- ( <. A , B >. e. (/) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) ) )
63	60, 62	syl6bi 220	. . . . . . . . . 10 |- ( -. ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( <. A , B >. e. dom ( V O E ) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) ) ) )
64	55, 63	sylbir 205	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. V e. _V \/ -. E e. _V ) -> ( <. A , B >. e. dom ( V O E ) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) ) ) )
65		anor 476	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V ) <-> -. ( -. V e. _V \/ -. E e. _V ) )
66		id 20	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( V e. _V -> V e. _V )
67	66	ancri 536	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( V e. _V -> ( V e. _V /\ V e. _V ) )
68	67	adantr 452	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( V e. _V /\ V e. _V ) )
69		mpt2exga 6383	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( V e. _V /\ V e. _V ) -> ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) e. _V )
70	68, 69	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) e. _V )
71	70	pm2.24d 137	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( -. ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) e. _V -> ( <. A , B >. e. dom ( V O E ) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) ) ) ) )
72	65, 71	sylbir 205	. . . . . . . . . 10 |- ( -. ( -. V e. _V \/ -. E e. _V ) -> ( -. ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) e. _V -> ( <. A , B >. e. dom ( V O E ) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) ) ) ) )
73	72	imp 419	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. ( -. V e. _V \/ -. E e. _V ) /\ -. ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) e. _V ) -> ( <. A , B >. e. dom ( V O E ) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) ) ) )
74	64, 73	jaoi 369	. . . . . . . 8 |- ( ( ( -. V e. _V \/ -. E e. _V ) \/ ( -. ( -. V e. _V \/ -. E e. _V ) /\ -. ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) e. _V ) ) -> ( <. A , B >. e. dom ( V O E ) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) ) ) )
75	74	jaoi2 934	. . . . . . 7 |- ( ( ( -. V e. _V \/ -. E e. _V ) \/ -. ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) e. _V ) -> ( <. A , B >. e. dom ( V O E ) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) ) ) )
76	54, 75	sylbi 188	. . . . . 6 |- ( ( -. V e. _V \/ -. E e. _V \/ -. ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) e. _V ) -> ( <. A , B >. e. dom ( V O E ) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) ) ) )
77	53, 76	sylbi 188	. . . . 5 |- ( -. ( V e. _V /\ E e. _V /\ ( a e. V , b e. V |-> { <. f , p >. | ps } ) e. _V ) -> ( <. A , B >. e. dom ( V O E ) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) ) ) )
78	52, 77	pm2.61i 158	. . . 4 |- ( <. A , B >. e. dom ( V O E ) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) ) )
79	2, 6, 78	3syl 19	. . 3 |- ( <. F , P >. e. ( A ( V O E ) B ) -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) ) )
80	1, 79	sylbi 188	. 2 |- ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) ) )
81	80	pm2.43i 45	1 |- ( F ( A ( V O E ) B ) P -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 177   \/ wo 358   /\ wa 359   \/ w3o 935   /\ w3a 936   = wceq 1649   e. wcel 1721   =/= wne 2567   _Vcvv 2916   (/)c0 3588   <.cop 3777   class class class wbr 4172   {copab 4225   X. cxp 4835   dom cdm 4837   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   {coprab 6041   e. cmpt2 6042

This theorem is referenced by:  wlkonprop  21485  trlonprop  21495  pthonprop  21530  spthonprp  21538

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309