Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  brofs2 Structured version   Unicode version

Theorem brofs2 29932
Description: Change some conditions for outer five segment predicate. (Contributed by Scott Fenton, 6-Oct-2013.)
Assertion
Ref Expression
brofs2  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( <. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >. 
OuterFiveSeg  <. <. E ,  F >. ,  <. G ,  H >. >. 
<->  ( B  Btwn  <. A ,  C >.  /\  <. A ,  <. B ,  C >. >.Cgr3 <. E ,  <. F ,  G >. >.  /\  ( <. A ,  D >.Cgr <. E ,  H >.  /\  <. B ,  D >.Cgr <. F ,  H >. ) ) ) )

Proof of Theorem brofs2
StepHypRef Expression
1 brofs 29860 . 2  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( <. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >. 
OuterFiveSeg  <. <. E ,  F >. ,  <. G ,  H >. >. 
<->  ( ( B  Btwn  <. A ,  C >.  /\  F  Btwn  <. E ,  G >. )  /\  ( <. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >.  /\ 
<. B ,  C >.Cgr <. F ,  G >. )  /\  ( <. A ,  D >.Cgr <. E ,  H >.  /\  <. B ,  D >.Cgr
<. F ,  H >. ) ) ) )
2 simpr1l 1053 . . . 4  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
( B  Btwn  <. A ,  C >.  /\  F  Btwn  <. E ,  G >. )  /\  ( <. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >.  /\  <. B ,  C >.Cgr
<. F ,  G >. )  /\  ( <. A ,  D >.Cgr <. E ,  H >.  /\  <. B ,  D >.Cgr
<. F ,  H >. ) ) )  ->  B  Btwn  <. A ,  C >. )
3 simpr2l 1055 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
( B  Btwn  <. A ,  C >.  /\  F  Btwn  <. E ,  G >. )  /\  ( <. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >.  /\  <. B ,  C >.Cgr
<. F ,  G >. )  /\  ( <. A ,  D >.Cgr <. E ,  H >.  /\  <. B ,  D >.Cgr
<. F ,  H >. ) ) )  ->  <. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >. )
4 simpr1 1002 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
( B  Btwn  <. A ,  C >.  /\  F  Btwn  <. E ,  G >. )  /\  ( <. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >.  /\  <. B ,  C >.Cgr
<. F ,  G >. )  /\  ( <. A ,  D >.Cgr <. E ,  H >.  /\  <. B ,  D >.Cgr
<. F ,  H >. ) ) )  ->  ( B  Btwn  <. A ,  C >.  /\  F  Btwn  <. E ,  G >. ) )
5 simpr2 1003 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
( B  Btwn  <. A ,  C >.  /\  F  Btwn  <. E ,  G >. )  /\  ( <. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >.  /\  <. B ,  C >.Cgr
<. F ,  G >. )  /\  ( <. A ,  D >.Cgr <. E ,  H >.  /\  <. B ,  D >.Cgr
<. F ,  H >. ) ) )  ->  ( <. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >.  /\ 
<. B ,  C >.Cgr <. F ,  G >. ) )
64, 5jca 532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
( B  Btwn  <. A ,  C >.  /\  F  Btwn  <. E ,  G >. )  /\  ( <. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >.  /\  <. B ,  C >.Cgr
<. F ,  G >. )  /\  ( <. A ,  D >.Cgr <. E ,  H >.  /\  <. B ,  D >.Cgr
<. F ,  H >. ) ) )  ->  (
( B  Btwn  <. A ,  C >.  /\  F  Btwn  <. E ,  G >. )  /\  ( <. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >.  /\  <. B ,  C >.Cgr
<. F ,  G >. ) ) )
76ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  (
( ( B  Btwn  <. A ,  C >.  /\  F  Btwn  <. E ,  G >. )  /\  ( <. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >.  /\ 
<. B ,  C >.Cgr <. F ,  G >. )  /\  ( <. A ,  D >.Cgr <. E ,  H >.  /\  <. B ,  D >.Cgr
<. F ,  H >. ) )  ->  ( ( B  Btwn  <. A ,  C >.  /\  F  Btwn  <. E ,  G >. )  /\  ( <. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >.  /\ 
<. B ,  C >.Cgr <. F ,  G >. ) ) ) )
8 simp11 1026 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  N  e.  NN )
9 simp12 1027 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  A  e.  ( EE `  N
) )
10 simp13 1028 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  B  e.  ( EE `  N
) )
11 simp21 1029 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  C  e.  ( EE `  N
) )
12 simp23 1031 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  E  e.  ( EE `  N
) )
13 simp31 1032 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  F  e.  ( EE `  N
) )
14 simp32 1033 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  G  e.  ( EE `  N
) )
15 cgrextend 29863 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( E  e.  ( EE `  N )  /\  F  e.  ( EE `  N
)  /\  G  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  (
( ( B  Btwn  <. A ,  C >.  /\  F  Btwn  <. E ,  G >. )  /\  ( <. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >.  /\ 
<. B ,  C >.Cgr <. F ,  G >. ) )  ->  <. A ,  C >.Cgr <. E ,  G >. ) )
168, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15syl133anc 1251 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  (
( ( B  Btwn  <. A ,  C >.  /\  F  Btwn  <. E ,  G >. )  /\  ( <. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >.  /\ 
<. B ,  C >.Cgr <. F ,  G >. ) )  ->  <. A ,  C >.Cgr <. E ,  G >. ) )
177, 16syld 44 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  (
( ( B  Btwn  <. A ,  C >.  /\  F  Btwn  <. E ,  G >. )  /\  ( <. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >.  /\ 
<. B ,  C >.Cgr <. F ,  G >. )  /\  ( <. A ,  D >.Cgr <. E ,  H >.  /\  <. B ,  D >.Cgr
<. F ,  H >. ) )  ->  <. A ,  C >.Cgr <. E ,  G >. ) )
1817imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
( B  Btwn  <. A ,  C >.  /\  F  Btwn  <. E ,  G >. )  /\  ( <. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >.  /\  <. B ,  C >.Cgr
<. F ,  G >. )  /\  ( <. A ,  D >.Cgr <. E ,  H >.  /\  <. B ,  D >.Cgr
<. F ,  H >. ) ) )  ->  <. A ,  C >.Cgr <. E ,  G >. )
19 simpr2r 1056 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
( B  Btwn  <. A ,  C >.  /\  F  Btwn  <. E ,  G >. )  /\  ( <. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >.  /\  <. B ,  C >.Cgr
<. F ,  G >. )  /\  ( <. A ,  D >.Cgr <. E ,  H >.  /\  <. B ,  D >.Cgr
<. F ,  H >. ) ) )  ->  <. B ,  C >.Cgr <. F ,  G >. )
203, 18, 193jca 1176 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
( B  Btwn  <. A ,  C >.  /\  F  Btwn  <. E ,  G >. )  /\  ( <. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >.  /\  <. B ,  C >.Cgr
<. F ,  G >. )  /\  ( <. A ,  D >.Cgr <. E ,  H >.  /\  <. B ,  D >.Cgr
<. F ,  H >. ) ) )  ->  ( <. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >.  /\ 
<. A ,  C >.Cgr <. E ,  G >.  /\ 
<. B ,  C >.Cgr <. F ,  G >. ) )
2120ex 434 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  (
( ( B  Btwn  <. A ,  C >.  /\  F  Btwn  <. E ,  G >. )  /\  ( <. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >.  /\ 
<. B ,  C >.Cgr <. F ,  G >. )  /\  ( <. A ,  D >.Cgr <. E ,  H >.  /\  <. B ,  D >.Cgr
<. F ,  H >. ) )  ->  ( <. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >.  /\  <. A ,  C >.Cgr <. E ,  G >.  /\  <. B ,  C >.Cgr
<. F ,  G >. ) ) )
22 brcgr3 29901 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( E  e.  ( EE `  N )  /\  F  e.  ( EE `  N
)  /\  G  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( <. A ,  <. B ,  C >. >.Cgr3 <. E ,  <. F ,  G >. >.  <->  ( <. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >.  /\  <. A ,  C >.Cgr <. E ,  G >.  /\  <. B ,  C >.Cgr
<. F ,  G >. ) ) )
238, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 22syl133anc 1251 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( <. A ,  <. B ,  C >. >.Cgr3 <. E ,  <. F ,  G >. >.  <->  ( <. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >.  /\  <. A ,  C >.Cgr <. E ,  G >.  /\  <. B ,  C >.Cgr
<. F ,  G >. ) ) )
2421, 23sylibrd 234 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  (
( ( B  Btwn  <. A ,  C >.  /\  F  Btwn  <. E ,  G >. )  /\  ( <. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >.  /\ 
<. B ,  C >.Cgr <. F ,  G >. )  /\  ( <. A ,  D >.Cgr <. E ,  H >.  /\  <. B ,  D >.Cgr
<. F ,  H >. ) )  ->  <. A ,  <. B ,  C >. >.Cgr3 <. E ,  <. F ,  G >. >. ) )
2524imp 429 . . . 4  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
( B  Btwn  <. A ,  C >.  /\  F  Btwn  <. E ,  G >. )  /\  ( <. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >.  /\  <. B ,  C >.Cgr
<. F ,  G >. )  /\  ( <. A ,  D >.Cgr <. E ,  H >.  /\  <. B ,  D >.Cgr
<. F ,  H >. ) ) )  ->  <. A ,  <. B ,  C >. >.Cgr3 <. E ,  <. F ,  G >. >. )
26 simpr3 1004 . . . 4  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
( B  Btwn  <. A ,  C >.  /\  F  Btwn  <. E ,  G >. )  /\  ( <. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >.  /\  <. B ,  C >.Cgr
<. F ,  G >. )  /\  ( <. A ,  D >.Cgr <. E ,  H >.  /\  <. B ,  D >.Cgr
<. F ,  H >. ) ) )  ->  ( <. A ,  D >.Cgr <. E ,  H >.  /\ 
<. B ,  D >.Cgr <. F ,  H >. ) )
272, 25, 263jca 1176 . . 3  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  (
( B  Btwn  <. A ,  C >.  /\  F  Btwn  <. E ,  G >. )  /\  ( <. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >.  /\  <. B ,  C >.Cgr
<. F ,  G >. )  /\  ( <. A ,  D >.Cgr <. E ,  H >.  /\  <. B ,  D >.Cgr
<. F ,  H >. ) ) )  ->  ( B  Btwn  <. A ,  C >.  /\  <. A ,  <. B ,  C >. >.Cgr3 <. E ,  <. F ,  G >. >.  /\  ( <. A ,  D >.Cgr
<. E ,  H >.  /\ 
<. B ,  D >.Cgr <. F ,  H >. ) ) )
28 simpr1 1002 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  ( B  Btwn  <. A ,  C >.  /\  <. A ,  <. B ,  C >. >.Cgr3 <. E ,  <. F ,  G >. >.  /\  ( <. A ,  D >.Cgr
<. E ,  H >.  /\ 
<. B ,  D >.Cgr <. F ,  H >. ) ) )  ->  B  Btwn  <. A ,  C >. )
29 3simpa 993 . . . . . . 7  |-  ( ( B  Btwn  <. A ,  C >.  /\  <. A ,  <. B ,  C >. >.Cgr3 <. E ,  <. F ,  G >. >.  /\  ( <. A ,  D >.Cgr <. E ,  H >.  /\  <. B ,  D >.Cgr <. F ,  H >. ) )  ->  ( B  Btwn  <. A ,  C >.  /\  <. A ,  <. B ,  C >. >.Cgr3 <. E ,  <. F ,  G >. >.
) )
30 btwnxfr 29911 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( E  e.  ( EE `  N )  /\  F  e.  ( EE `  N
)  /\  G  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  (
( B  Btwn  <. A ,  C >.  /\  <. A ,  <. B ,  C >. >.Cgr3 <. E ,  <. F ,  G >. >. )  ->  F  Btwn  <. E ,  G >. ) )
318, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 30syl133anc 1251 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  (
( B  Btwn  <. A ,  C >.  /\  <. A ,  <. B ,  C >. >.Cgr3 <. E ,  <. F ,  G >. >. )  ->  F  Btwn  <. E ,  G >. ) )
3229, 31syl5 32 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  (
( B  Btwn  <. A ,  C >.  /\  <. A ,  <. B ,  C >. >.Cgr3 <. E ,  <. F ,  G >. >.  /\  ( <. A ,  D >.Cgr <. E ,  H >.  /\  <. B ,  D >.Cgr <. F ,  H >. ) )  ->  F  Btwn  <. E ,  G >. ) )
3332imp 429 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  ( B  Btwn  <. A ,  C >.  /\  <. A ,  <. B ,  C >. >.Cgr3 <. E ,  <. F ,  G >. >.  /\  ( <. A ,  D >.Cgr
<. E ,  H >.  /\ 
<. B ,  D >.Cgr <. F ,  H >. ) ) )  ->  F  Btwn  <. E ,  G >. )
3428, 33jca 532 . . . 4  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  ( B  Btwn  <. A ,  C >.  /\  <. A ,  <. B ,  C >. >.Cgr3 <. E ,  <. F ,  G >. >.  /\  ( <. A ,  D >.Cgr
<. E ,  H >.  /\ 
<. B ,  D >.Cgr <. F ,  H >. ) ) )  ->  ( B  Btwn  <. A ,  C >.  /\  F  Btwn  <. E ,  G >. ) )
35 3simpb 994 . . . . . . 7  |-  ( (
<. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >.  /\ 
<. A ,  C >.Cgr <. E ,  G >.  /\ 
<. B ,  C >.Cgr <. F ,  G >. )  ->  ( <. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >.  /\  <. B ,  C >.Cgr
<. F ,  G >. ) )
3623, 35syl6bi 228 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( <. A ,  <. B ,  C >. >.Cgr3 <. E ,  <. F ,  G >. >.  ->  ( <. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >.  /\ 
<. B ,  C >.Cgr <. F ,  G >. ) ) )
3736imp 429 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  <. A ,  <. B ,  C >. >.Cgr3 <. E ,  <. F ,  G >. >. )  ->  ( <. A ,  B >.Cgr
<. E ,  F >.  /\ 
<. B ,  C >.Cgr <. F ,  G >. ) )
38373ad2antr2 1162 . . . 4  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  ( B  Btwn  <. A ,  C >.  /\  <. A ,  <. B ,  C >. >.Cgr3 <. E ,  <. F ,  G >. >.  /\  ( <. A ,  D >.Cgr
<. E ,  H >.  /\ 
<. B ,  D >.Cgr <. F ,  H >. ) ) )  ->  ( <. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >.  /\ 
<. B ,  C >.Cgr <. F ,  G >. ) )
39 simpr3 1004 . . . 4  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  ( B  Btwn  <. A ,  C >.  /\  <. A ,  <. B ,  C >. >.Cgr3 <. E ,  <. F ,  G >. >.  /\  ( <. A ,  D >.Cgr
<. E ,  H >.  /\ 
<. B ,  D >.Cgr <. F ,  H >. ) ) )  ->  ( <. A ,  D >.Cgr <. E ,  H >.  /\ 
<. B ,  D >.Cgr <. F ,  H >. ) )
4034, 38, 393jca 1176 . . 3  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
)  /\  E  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  ( B  Btwn  <. A ,  C >.  /\  <. A ,  <. B ,  C >. >.Cgr3 <. E ,  <. F ,  G >. >.  /\  ( <. A ,  D >.Cgr
<. E ,  H >.  /\ 
<. B ,  D >.Cgr <. F ,  H >. ) ) )  ->  (
( B  Btwn  <. A ,  C >.  /\  F  Btwn  <. E ,  G >. )  /\  ( <. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >.  /\  <. B ,  C >.Cgr
<. F ,  G >. )  /\  ( <. A ,  D >.Cgr <. E ,  H >.  /\  <. B ,  D >.Cgr
<. F ,  H >. ) ) )
4127, 40impbida 832 . 2  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  (
( ( B  Btwn  <. A ,  C >.  /\  F  Btwn  <. E ,  G >. )  /\  ( <. A ,  B >.Cgr <. E ,  F >.  /\ 
<. B ,  C >.Cgr <. F ,  G >. )  /\  ( <. A ,  D >.Cgr <. E ,  H >.  /\  <. B ,  D >.Cgr
<. F ,  H >. ) )  <->  ( B  Btwn  <. A ,  C >.  /\ 
<. A ,  <. B ,  C >. >.Cgr3 <. E ,  <. F ,  G >. >.  /\  ( <. A ,  D >.Cgr <. E ,  H >.  /\ 
<. B ,  D >.Cgr <. F ,  H >. ) ) ) )
421, 41bitrd 253 1  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N )  /\  E  e.  ( EE `  N
) )  /\  ( F  e.  ( EE `  N )  /\  G  e.  ( EE `  N
)  /\  H  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( <. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >. 
OuterFiveSeg  <. <. E ,  F >. ,  <. G ,  H >. >. 
<->  ( B  Btwn  <. A ,  C >.  /\  <. A ,  <. B ,  C >. >.Cgr3 <. E ,  <. F ,  G >. >.  /\  ( <. A ,  D >.Cgr <. E ,  H >.  /\  <. B ,  D >.Cgr <. F ,  H >. ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    e. wcel 1819   <.cop 4038   class class class wbr 4456   ` cfv 5594   NNcn 10556   EEcee 24318    Btwn cbtwn 24319  Cgrccgr 24320    OuterFiveSeg cofs 29837  Cgr3ccgr3 29891
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-rp 11246  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-seq 12111  df-exp 12170  df-hash 12409  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-clim 13323  df-sum 13521  df-ee 24321  df-btwn 24322  df-cgr 24323  df-ofs 29838  df-ifs 29895  df-cgr3 29896
This theorem is referenced by:  fscgr  29935  btwnconn1lem4  29945  btwnconn1lem8  29949  btwnconn1lem11  29952
  Copyright terms: Public domain W3C validator