Theorem brfvidRP 36324

Description: If two elements are connected by a value of the identity relation, then they are connected via the argument. This is an example which uses brmptiunrelexpd 36319. (Contributed by RP, 21-Jul-2020.) (Proof modification is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
brfvidRP.r	|- ( ph -> R e. _V )

Assertion

Ref	Expression
brfvidRP	|- ( ph -> ( A ( _I ` R ) B <-> A R B ) )

Proof of Theorem brfvidRP

Dummy variables n r are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfid6 13139	. . 3 |- _I = ( r e. _V |-> U_ n e. { 1 } ( r ^r n ) )
2		brfvidRP.r	. . 3 |- ( ph -> R e. _V )
3		1nn0 10913	. . . 4 |- 1 e. NN0
4		snssi 4128	. . . 4 |- ( 1 e. NN0 -> { 1 } C_ NN0 )
5	3, 4	mp1i 13	. . 3 |- ( ph -> { 1 } C_ NN0 )
6	1, 2, 5	brmptiunrelexpd 36319	. 2 |- ( ph -> ( A ( _I ` R ) B <-> E. n e. { 1 } A ( R ^r n ) B ) )
7		oveq2 6322	. . . . 5 |- ( n = 1 -> ( R ^r n ) = ( R ^r 1 ) )
8	7	breqd 4426	. . . 4 |- ( n = 1 -> ( A ( R ^r n ) B <-> A ( R ^r 1 ) B ) )
9	8	rexsng 4018	. . 3 |- ( 1 e. NN0 -> ( E. n e. { 1 } A ( R ^r n ) B <-> A ( R ^r 1 ) B ) )
10	3, 9	mp1i 13	. 2 |- ( ph -> ( E. n e. { 1 } A ( R ^r n ) B <-> A ( R ^r 1 ) B ) )
11	2	relexp1d 13142	. . 3 |- ( ph -> ( R ^r 1 ) = R )
12	11	breqd 4426	. 2 |- ( ph -> ( A ( R ^r 1 ) B <-> A R B ) )
13	6, 10, 12	3bitrd 287	1 |- ( ph -> ( A ( _I ` R ) B <-> A R B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   = wceq 1454   e. wcel 1897   E.wrex 2749   _Vcvv 3056   C_ wss 3415   {csn 3979   class class class wbr 4415   _I cid 4762   ` cfv 5600  (class class class)co 6314   1c1 9565   NN0cn0 10897   ^r crelexp 13131

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-rep 4528  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-cnex 9620  ax-resscn 9621  ax-1cn 9622  ax-icn 9623  ax-addcl 9624  ax-addrcl 9625  ax-mulcl 9626  ax-mulrcl 9627  ax-mulcom 9628  ax-addass 9629  ax-mulass 9630  ax-distr 9631  ax-i2m1 9632  ax-1ne0 9633  ax-1rid 9634  ax-rnegex 9635  ax-rrecex 9636  ax-cnre 9637  ax-pre-lttri 9638  ax-pre-lttrn 9639  ax-pre-ltadd 9640  ax-pre-mulgt0 9641

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-iun 4293  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-om 6719  df-2nd 6820  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-er 7388  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-xr 9704  df-ltxr 9705  df-le 9706  df-sub 9887  df-neg 9888  df-nn 10637  df-n0 10898  df-z 10966  df-uz 11188  df-seq 12245  df-relexp 13132

This theorem is referenced by: (None)