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Theorem brfi1uzind 12498
Description: Properties of a binary relation with a finite first component with at least L elements, proven by finite induction on the size of the first component. This theorem can be applied for graphs (as binary relation between the set of vertices and an edge function) with a finite number of vertices, usually with  L  =  0 (see brfi1ind 12499) or  L  =  1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
brfi1uzind.r  |-  Rel  G
brfi1uzind.f  |-  F  e.  U
brfi1uzind.l  |-  L  e. 
NN0
brfi1uzind.1  |-  ( ( v  =  V  /\  e  =  E )  ->  ( ps  <->  ph ) )
brfi1uzind.2  |-  ( ( v  =  w  /\  e  =  f )  ->  ( ps  <->  th )
)
brfi1uzind.3  |-  ( ( v G e  /\  n  e.  v )  ->  ( v  \  {
n } ) G F )
brfi1uzind.4  |-  ( ( w  =  ( v 
\  { n }
)  /\  f  =  F )  ->  ( th 
<->  ch ) )
brfi1uzind.base  |-  ( ( v G e  /\  ( # `  v )  =  L )  ->  ps )
brfi1uzind.step  |-  ( ( ( ( y  +  1 )  e.  NN0  /\  ( v G e  /\  ( # `  v
)  =  ( y  +  1 )  /\  n  e.  v )
)  /\  ch )  ->  ps )
Assertion
Ref Expression
brfi1uzind  |-  ( ( V G E  /\  V  e.  Fin  /\  L  <_  ( # `  V
) )  ->  ph )
Distinct variable groups:    e, n, v, y    e, E, n, v    f, F, w   
e, G, f, n, v, w, y    e, V, n, v    ps, f, n, w, y    th, e, n, v    ch, f, w    ph, e, n, v    e, L, n, v, y
Allowed substitution hints:    ph( y, w, f)    ps( v, e)    ch( y, v, e, n)    th( y, w, f)    U( y, w, v, e, f, n)    E( y, w, f)    F( y, v, e, n)    L( w, f)    V( y, w, f)

Proof of Theorem brfi1uzind
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hashcl 12396 . . . 4  |-  ( V  e.  Fin  ->  ( # `
 V )  e. 
NN0 )
2 df-clel 2462 . . . . 5  |-  ( (
# `  V )  e.  NN0  <->  E. n ( n  =  ( # `  V
)  /\  n  e.  NN0 ) )
3 brfi1uzind.l . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  L  e. 
NN0
4 nn0z 10887 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( L  e.  NN0  ->  L  e.  ZZ )
53, 4mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( L  <_  ( # `
 V )  /\  n  e.  NN0 )  /\  n  =  ( # `  V
) )  ->  L  e.  ZZ )
6 nn0z 10887 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN0  ->  n  e.  ZZ )
76ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( L  <_  ( # `
 V )  /\  n  e.  NN0 )  /\  n  =  ( # `  V
) )  ->  n  e.  ZZ )
8 breq2 4451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
# `  V )  =  n  ->  ( L  <_  ( # `  V
)  <->  L  <_  n ) )
98eqcoms 2479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  ( # `  V
)  ->  ( L  <_  ( # `  V
)  <->  L  <_  n ) )
109biimpcd 224 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( L  <_  ( # `  V
)  ->  ( n  =  ( # `  V
)  ->  L  <_  n ) )
1110adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( L  <_  ( # `  V
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( n  =  ( # `  V
)  ->  L  <_  n ) )
1211imp 429 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( L  <_  ( # `
 V )  /\  n  e.  NN0 )  /\  n  =  ( # `  V
) )  ->  L  <_  n )
13 eqeq1 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  L  ->  (
x  =  ( # `  v )  <->  L  =  ( # `  v ) ) )
1413anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  L  ->  (
( v G e  /\  x  =  (
# `  v )
)  <->  ( v G e  /\  L  =  ( # `  v
) ) ) )
1514imbi1d 317 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  L  ->  (
( ( v G e  /\  x  =  ( # `  v
) )  ->  ps ) 
<->  ( ( v G e  /\  L  =  ( # `  v
) )  ->  ps ) ) )
16152albidv 1691 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  L  ->  ( A. v A. e ( ( v G e  /\  x  =  (
# `  v )
)  ->  ps )  <->  A. v A. e ( ( v G e  /\  L  =  (
# `  v )
)  ->  ps )
) )
17 eqeq1 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  y  ->  (
x  =  ( # `  v )  <->  y  =  ( # `  v ) ) )
1817anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  y  ->  (
( v G e  /\  x  =  (
# `  v )
)  <->  ( v G e  /\  y  =  ( # `  v
) ) ) )
1918imbi1d 317 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( v G e  /\  x  =  ( # `  v
) )  ->  ps ) 
<->  ( ( v G e  /\  y  =  ( # `  v
) )  ->  ps ) ) )
20192albidv 1691 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  y  ->  ( A. v A. e ( ( v G e  /\  x  =  (
# `  v )
)  ->  ps )  <->  A. v A. e ( ( v G e  /\  y  =  (
# `  v )
)  ->  ps )
) )
21 eqeq1 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
x  =  ( # `  v )  <->  ( y  +  1 )  =  ( # `  v
) ) )
2221anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( v G e  /\  x  =  (
# `  v )
)  <->  ( v G e  /\  ( y  +  1 )  =  ( # `  v
) ) ) )
2322imbi1d 317 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( ( v G e  /\  x  =  ( # `  v
) )  ->  ps ) 
<->  ( ( v G e  /\  ( y  +  1 )  =  ( # `  v
) )  ->  ps ) ) )
24232albidv 1691 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  ( A. v A. e ( ( v G e  /\  x  =  (
# `  v )
)  ->  ps )  <->  A. v A. e ( ( v G e  /\  ( y  +  1 )  =  (
# `  v )
)  ->  ps )
) )
25 eqeq1 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  n  ->  (
x  =  ( # `  v )  <->  n  =  ( # `  v ) ) )
2625anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  n  ->  (
( v G e  /\  x  =  (
# `  v )
)  <->  ( v G e  /\  n  =  ( # `  v
) ) ) )
2726imbi1d 317 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  n  ->  (
( ( v G e  /\  x  =  ( # `  v
) )  ->  ps ) 
<->  ( ( v G e  /\  n  =  ( # `  v
) )  ->  ps ) ) )
28272albidv 1691 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  n  ->  ( A. v A. e ( ( v G e  /\  x  =  (
# `  v )
)  ->  ps )  <->  A. v A. e ( ( v G e  /\  n  =  (
# `  v )
)  ->  ps )
) )
29 eqcom 2476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( L  =  ( # `  v
)  <->  ( # `  v
)  =  L )
30 brfi1uzind.base . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( v G e  /\  ( # `  v )  =  L )  ->  ps )
3129, 30sylan2b 475 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( v G e  /\  L  =  ( # `  v
) )  ->  ps )
3231gen2 1602 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  A. v A. e ( ( v G e  /\  L  =  ( # `  v
) )  ->  ps )
3332a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( L  e.  ZZ  ->  A. v A. e ( ( v G e  /\  L  =  ( # `  v
) )  ->  ps ) )
34 breq12 4452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( v  =  w  /\  e  =  f )  ->  ( v G e  <-> 
w G f ) )
35 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( v  =  w  ->  ( # `
 v )  =  ( # `  w
) )
3635eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( v  =  w  ->  (
y  =  ( # `  v )  <->  y  =  ( # `  w ) ) )
3736adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( v  =  w  /\  e  =  f )  ->  ( y  =  (
# `  v )  <->  y  =  ( # `  w
) ) )
3834, 37anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( v  =  w  /\  e  =  f )  ->  ( ( v G e  /\  y  =  ( # `  v
) )  <->  ( w G f  /\  y  =  ( # `  w
) ) ) )
39 brfi1uzind.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( v  =  w  /\  e  =  f )  ->  ( ps  <->  th )
)
4038, 39imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( v  =  w  /\  e  =  f )  ->  ( ( ( v G e  /\  y  =  ( # `  v
) )  ->  ps ) 
<->  ( ( w G f  /\  y  =  ( # `  w
) )  ->  th )
) )
4140cbval2v 2003 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. v A. e ( ( v G e  /\  y  =  ( # `  v
) )  ->  ps ) 
<-> 
A. w A. f
( ( w G f  /\  y  =  ( # `  w
) )  ->  th )
)
42 nn0ge0 10821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( L  e.  NN0  ->  0  <_  L )
43 0red 9597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( y  e.  ZZ  ->  0  e.  RR )
44 nn0re 10804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( L  e.  NN0  ->  L  e.  RR )
453, 44mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( y  e.  ZZ  ->  L  e.  RR )
46 zre 10868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( y  e.  ZZ  ->  y  e.  RR )
47 letr 9678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  L  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  (
( 0  <_  L  /\  L  <_  y )  ->  0  <_  y
) )
4843, 45, 46, 47syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( y  e.  ZZ  ->  (
( 0  <_  L  /\  L  <_  y )  ->  0  <_  y
) )
49 0nn0 10810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  0  e.  NN0
50 pm3.22 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( 0  <_  y  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( y  e.  ZZ  /\  0  <_  y )
)
51 0z 10875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  0  e.  ZZ
52 eluz1 11086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
y  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  <->  ( y  e.  ZZ  /\  0  <_ 
y ) ) )
5351, 52mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( 0  <_  y  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( y  e.  (
ZZ>= `  0 )  <->  ( y  e.  ZZ  /\  0  <_ 
y ) ) )
5450, 53mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( 0  <_  y  /\  y  e.  ZZ )  ->  y  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
55 eluznn0 11151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  y  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )  -> 
y  e.  NN0 )
5649, 54, 55sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( 0  <_  y  /\  y  e.  ZZ )  ->  y  e.  NN0 )
5756ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( 0  <_  y  ->  (
y  e.  ZZ  ->  y  e.  NN0 ) )
5848, 57syl6com 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( 0  <_  L  /\  L  <_  y )  -> 
( y  e.  ZZ  ->  ( y  e.  ZZ  ->  y  e.  NN0 )
) )
5958ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( 0  <_  L  ->  ( L  <_  y  ->  (
y  e.  ZZ  ->  ( y  e.  ZZ  ->  y  e.  NN0 ) ) ) )
6059com14 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y  e.  ZZ  ->  ( L  <_  y  ->  (
y  e.  ZZ  ->  ( 0  <_  L  ->  y  e.  NN0 ) ) ) )
6160pm2.43a 49 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  e.  ZZ  ->  ( L  <_  y  ->  (
0  <_  L  ->  y  e.  NN0 ) ) )
6261imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  L  <_  y )  -> 
( 0  <_  L  ->  y  e.  NN0 )
)
6362com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 0  <_  L  ->  (
( y  e.  ZZ  /\  L  <_  y )  ->  y  e.  NN0 )
)
643, 42, 63mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  L  <_  y )  -> 
y  e.  NN0 )
65643adant1 1014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ  /\  L  <_  y )  ->  y  e.  NN0 )
66 eqcom 2476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( y  +  1 )  =  ( # `  v
)  <->  ( # `  v
)  =  ( y  +  1 ) )
67 nn0re 10804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( y  e.  NN0  ->  y  e.  RR )
68 1red 9611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( y  e.  NN0  ->  1  e.  RR )
69 nn0ge0 10821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( y  e.  NN0  ->  0  <_ 
y )
70 0lt1 10075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  0  <  1
7170a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( y  e.  NN0  ->  0  <  1 )
7267, 68, 69, 71addgegt0d 10126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y  e.  NN0  ->  0  < 
( y  +  1 ) )
7372adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( # `  v )  =  ( y  +  1 ) )  -> 
0  <  ( y  +  1 ) )
74 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( # `  v )  =  ( y  +  1 ) )  -> 
( # `  v )  =  ( y  +  1 ) )
7573, 74breqtrrd 4473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( # `  v )  =  ( y  +  1 ) )  -> 
0  <  ( # `  v
) )
7666, 75sylan2b 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( y  +  1 )  =  ( # `  v ) )  -> 
0  <  ( # `  v
) )
7776adantrl 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( v G e  /\  ( y  +  1 )  =  (
# `  v )
) )  ->  0  <  ( # `  v
) )
78 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  v  e. 
_V
79 hashgt0elex 12432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( v  e.  _V  /\  0  <  ( # `  v
) )  ->  E. n  n  e.  v )
80 brfi1uzind.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( v G e  /\  n  e.  v )  ->  ( v  \  {
n } ) G F )
8178a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  n  e.  v )  ->  v  e.  _V )
82 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  n  e.  v )  ->  n  e.  v )
83 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  n  e.  v )  ->  y  e.  NN0 )
84 brfi1indlem 12497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( v  e.  _V  /\  n  e.  v  /\  y  e.  NN0 )  -> 
( ( # `  v
)  =  ( y  +  1 )  -> 
( # `  ( v 
\  { n }
) )  =  y ) )
8566, 84syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( v  e.  _V  /\  n  e.  v  /\  y  e.  NN0 )  -> 
( ( y  +  1 )  =  (
# `  v )  ->  ( # `  (
v  \  { n } ) )  =  y ) )
8681, 82, 83, 85syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  n  e.  v )  ->  ( ( y  +  1 )  =  (
# `  v )  ->  ( # `  (
v  \  { n } ) )  =  y ) )
8786imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( ( y  e.  NN0  /\  n  e.  v )  /\  ( y  +  1 )  =  (
# `  v )
)  ->  ( # `  (
v  \  { n } ) )  =  y )
88 peano2nn0 10836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( y  +  1 )  e. 
NN0 )
8988ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( ( y  e.  NN0  /\  n  e.  v )  /\  ( y  +  1 )  =  (
# `  v )
)  ->  ( y  +  1 )  e. 
NN0 )
9089ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( ( ( ( A. w A. f ( ( w G f  /\  y  =  ( # `  w
) )  ->  th )  /\  ( v  \  {
n } ) G F )  /\  (
( y  e.  NN0  /\  n  e.  v )  /\  ( y  +  1 )  =  (
# `  v )
) )  /\  v G e )  -> 
( y  +  1 )  e.  NN0 )
91 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( ( ( A. w A. f ( ( w G f  /\  y  =  ( # `  w
) )  ->  th )  /\  ( v  \  {
n } ) G F )  /\  (
( y  e.  NN0  /\  n  e.  v )  /\  ( y  +  1 )  =  (
# `  v )
) )  /\  v G e )  -> 
v G e )
92 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( ( ( A. w A. f ( ( w G f  /\  y  =  ( # `  w
) )  ->  th )  /\  ( v  \  {
n } ) G F )  /\  (
( y  e.  NN0  /\  n  e.  v )  /\  ( y  +  1 )  =  (
# `  v )
) )  /\  v G e )  -> 
( y  +  1 )  =  ( # `  v ) )
93 simprlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( ( ( A. w A. f ( ( w G f  /\  y  =  ( # `  w
) )  ->  th )  /\  ( v  \  {
n } ) G F )  /\  (
( y  e.  NN0  /\  n  e.  v )  /\  ( y  +  1 )  =  (
# `  v )
) )  ->  n  e.  v )
9493adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( ( ( A. w A. f ( ( w G f  /\  y  =  ( # `  w
) )  ->  th )  /\  ( v  \  {
n } ) G F )  /\  (
( y  e.  NN0  /\  n  e.  v )  /\  ( y  +  1 )  =  (
# `  v )
) )  /\  v G e )  ->  n  e.  v )
9591, 92, 943jca 1176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( ( ( ( A. w A. f ( ( w G f  /\  y  =  ( # `  w
) )  ->  th )  /\  ( v  \  {
n } ) G F )  /\  (
( y  e.  NN0  /\  n  e.  v )  /\  ( y  +  1 )  =  (
# `  v )
) )  /\  v G e )  -> 
( v G e  /\  ( y  +  1 )  =  (
# `  v )  /\  n  e.  v
) )
9690, 95jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( ( ( ( A. w A. f ( ( w G f  /\  y  =  ( # `  w
) )  ->  th )  /\  ( v  \  {
n } ) G F )  /\  (
( y  e.  NN0  /\  n  e.  v )  /\  ( y  +  1 )  =  (
# `  v )
) )  /\  v G e )  -> 
( ( y  +  1 )  e.  NN0  /\  ( v G e  /\  ( y  +  1 )  =  (
# `  v )  /\  n  e.  v
) ) )
97 difexg 4595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( v  e.  _V  ->  (
v  \  { n } )  e.  _V )
9878, 97ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( v 
\  { n }
)  e.  _V
99 brfi1uzind.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  F  e.  U
100 breq12 4452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47  |-  ( ( w  =  ( v 
\  { n }
)  /\  f  =  F )  ->  (
w G f  <->  ( v  \  { n } ) G F ) )
101 eqcom 2476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49  |-  ( y  =  ( # `  w
)  <->  ( # `  w
)  =  y )
102 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50  |-  ( w  =  ( v  \  { n } )  ->  ( # `  w
)  =  ( # `  ( v  \  {
n } ) ) )
103102eqeq1d 2469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49  |-  ( w  =  ( v  \  { n } )  ->  ( ( # `  w )  =  y  <-> 
( # `  ( v 
\  { n }
) )  =  y ) )
104101, 103syl5bb 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48  |-  ( w  =  ( v  \  { n } )  ->  ( y  =  ( # `  w
)  <->  ( # `  (
v  \  { n } ) )  =  y ) )
105104adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47  |-  ( ( w  =  ( v 
\  { n }
)  /\  f  =  F )  ->  (
y  =  ( # `  w )  <->  ( # `  (
v  \  { n } ) )  =  y ) )
106100, 105anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  ( ( w  =  ( v 
\  { n }
)  /\  f  =  F )  ->  (
( w G f  /\  y  =  (
# `  w )
)  <->  ( ( v 
\  { n }
) G F  /\  ( # `  ( v 
\  { n }
) )  =  y ) ) )
107 brfi1uzind.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  ( ( w  =  ( v 
\  { n }
)  /\  f  =  F )  ->  ( th 
<->  ch ) )
108106, 107imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( ( w  =  ( v 
\  { n }
)  /\  f  =  F )  ->  (
( ( w G f  /\  y  =  ( # `  w
) )  ->  th )  <->  ( ( ( v  \  { n } ) G F  /\  ( # `
 ( v  \  { n } ) )  =  y )  ->  ch ) ) )
109108spc2gv 3201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( ( ( v  \  {
n } )  e. 
_V  /\  F  e.  U )  ->  ( A. w A. f ( ( w G f  /\  y  =  (
# `  w )
)  ->  th )  ->  ( ( ( v 
\  { n }
) G F  /\  ( # `  ( v 
\  { n }
) )  =  y )  ->  ch )
) )
11098, 99, 109mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( A. w A. f ( ( w G f  /\  y  =  ( # `  w
) )  ->  th )  ->  ( ( ( v 
\  { n }
) G F  /\  ( # `  ( v 
\  { n }
) )  =  y )  ->  ch )
)
111110expdimp 437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( ( A. w A. f
( ( w G f  /\  y  =  ( # `  w
) )  ->  th )  /\  ( v  \  {
n } ) G F )  ->  (
( # `  ( v 
\  { n }
) )  =  y  ->  ch ) )
112111ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( ( ( ( A. w A. f ( ( w G f  /\  y  =  ( # `  w
) )  ->  th )  /\  ( v  \  {
n } ) G F )  /\  (
( y  e.  NN0  /\  n  e.  v )  /\  ( y  +  1 )  =  (
# `  v )
) )  /\  v G e )  -> 
( ( # `  (
v  \  { n } ) )  =  y  ->  ch )
)
113663anbi2i 1188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( v G e  /\  ( y  +  1 )  =  ( # `  v )  /\  n  e.  v )  <->  ( v G e  /\  ( # `
 v )  =  ( y  +  1 )  /\  n  e.  v ) )
114113anbi2i 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( ( ( y  +  1 )  e.  NN0  /\  ( v G e  /\  ( y  +  1 )  =  (
# `  v )  /\  n  e.  v
) )  <->  ( (
y  +  1 )  e.  NN0  /\  (
v G e  /\  ( # `  v )  =  ( y  +  1 )  /\  n  e.  v ) ) )
115 brfi1uzind.step . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( ( ( ( y  +  1 )  e.  NN0  /\  ( v G e  /\  ( # `  v
)  =  ( y  +  1 )  /\  n  e.  v )
)  /\  ch )  ->  ps )
116114, 115sylanb 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( ( ( ( y  +  1 )  e.  NN0  /\  ( v G e  /\  ( y  +  1 )  =  (
# `  v )  /\  n  e.  v
) )  /\  ch )  ->  ps )
11796, 112, 116syl6an 545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( ( ( A. w A. f ( ( w G f  /\  y  =  ( # `  w
) )  ->  th )  /\  ( v  \  {
n } ) G F )  /\  (
( y  e.  NN0  /\  n  e.  v )  /\  ( y  +  1 )  =  (
# `  v )
) )  /\  v G e )  -> 
( ( # `  (
v  \  { n } ) )  =  y  ->  ps )
)
118117exp41 610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( A. w A. f ( ( w G f  /\  y  =  ( # `  w
) )  ->  th )  ->  ( ( v  \  { n } ) G F  ->  (
( ( y  e. 
NN0  /\  n  e.  v )  /\  (
y  +  1 )  =  ( # `  v
) )  ->  (
v G e  -> 
( ( # `  (
v  \  { n } ) )  =  y  ->  ps )
) ) ) )
119118com15 93 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( (
# `  ( v  \  { n } ) )  =  y  -> 
( ( v  \  { n } ) G F  ->  (
( ( y  e. 
NN0  /\  n  e.  v )  /\  (
y  +  1 )  =  ( # `  v
) )  ->  (
v G e  -> 
( A. w A. f ( ( w G f  /\  y  =  ( # `  w
) )  ->  th )  ->  ps ) ) ) ) )
120119com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( (
# `  ( v  \  { n } ) )  =  y  -> 
( ( ( y  e.  NN0  /\  n  e.  v )  /\  (
y  +  1 )  =  ( # `  v
) )  ->  (
( v  \  {
n } ) G F  ->  ( v G e  ->  ( A. w A. f ( ( w G f  /\  y  =  (
# `  w )
)  ->  th )  ->  ps ) ) ) ) )
12187, 120mpcom 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( ( y  e.  NN0  /\  n  e.  v )  /\  ( y  +  1 )  =  (
# `  v )
)  ->  ( (
v  \  { n } ) G F  ->  ( v G e  ->  ( A. w A. f ( ( w G f  /\  y  =  ( # `  w
) )  ->  th )  ->  ps ) ) ) )
122121ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  n  e.  v )  ->  ( ( y  +  1 )  =  (
# `  v )  ->  ( ( v  \  { n } ) G F  ->  (
v G e  -> 
( A. w A. f ( ( w G f  /\  y  =  ( # `  w
) )  ->  th )  ->  ps ) ) ) ) )
123122com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  n  e.  v )  ->  ( ( v  \  { n } ) G F  ->  (
( y  +  1 )  =  ( # `  v )  ->  (
v G e  -> 
( A. w A. f ( ( w G f  /\  y  =  ( # `  w
) )  ->  th )  ->  ps ) ) ) ) )
124123ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( n  e.  v  ->  (
( v  \  {
n } ) G F  ->  ( (
y  +  1 )  =  ( # `  v
)  ->  ( v G e  ->  ( A. w A. f ( ( w G f  /\  y  =  (
# `  w )
)  ->  th )  ->  ps ) ) ) ) ) )
125124com15 93 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( v G e  ->  (
n  e.  v  -> 
( ( v  \  { n } ) G F  ->  (
( y  +  1 )  =  ( # `  v )  ->  (
y  e.  NN0  ->  ( A. w A. f
( ( w G f  /\  y  =  ( # `  w
) )  ->  th )  ->  ps ) ) ) ) ) )
126125imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( v G e  /\  n  e.  v )  ->  ( ( v  \  { n } ) G F  ->  (
( y  +  1 )  =  ( # `  v )  ->  (
y  e.  NN0  ->  ( A. w A. f
( ( w G f  /\  y  =  ( # `  w
) )  ->  th )  ->  ps ) ) ) ) )
12780, 126mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( v G e  /\  n  e.  v )  ->  ( ( y  +  1 )  =  (
# `  v )  ->  ( y  e.  NN0  ->  ( A. w A. f ( ( w G f  /\  y  =  ( # `  w
) )  ->  th )  ->  ps ) ) ) )
128127ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( v G e  ->  (
n  e.  v  -> 
( ( y  +  1 )  =  (
# `  v )  ->  ( y  e.  NN0  ->  ( A. w A. f ( ( w G f  /\  y  =  ( # `  w
) )  ->  th )  ->  ps ) ) ) ) )
129128com4l 84 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( n  e.  v  ->  (
( y  +  1 )  =  ( # `  v )  ->  (
y  e.  NN0  ->  ( v G e  -> 
( A. w A. f ( ( w G f  /\  y  =  ( # `  w
) )  ->  th )  ->  ps ) ) ) ) )
130129exlimiv 1698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( E. n  n  e.  v  ->  ( ( y  +  1 )  =  ( # `  v
)  ->  ( y  e.  NN0  ->  ( v G e  ->  ( A. w A. f ( ( w G f  /\  y  =  (
# `  w )
)  ->  th )  ->  ps ) ) ) ) )
13179, 130syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( v  e.  _V  /\  0  <  ( # `  v
) )  ->  (
( y  +  1 )  =  ( # `  v )  ->  (
y  e.  NN0  ->  ( v G e  -> 
( A. w A. f ( ( w G f  /\  y  =  ( # `  w
) )  ->  th )  ->  ps ) ) ) ) )
132131ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( v  e.  _V  ->  (
0  <  ( # `  v
)  ->  ( (
y  +  1 )  =  ( # `  v
)  ->  ( y  e.  NN0  ->  ( v G e  ->  ( A. w A. f ( ( w G f  /\  y  =  (
# `  w )
)  ->  th )  ->  ps ) ) ) ) ) )
133132com25 91 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( v  e.  _V  ->  (
v G e  -> 
( ( y  +  1 )  =  (
# `  v )  ->  ( y  e.  NN0  ->  ( 0  <  ( # `
 v )  -> 
( A. w A. f ( ( w G f  /\  y  =  ( # `  w
) )  ->  th )  ->  ps ) ) ) ) ) )
13478, 133ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( v G e  ->  (
( y  +  1 )  =  ( # `  v )  ->  (
y  e.  NN0  ->  ( 0  <  ( # `  v )  ->  ( A. w A. f ( ( w G f  /\  y  =  (
# `  w )
)  ->  th )  ->  ps ) ) ) ) )
135134imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( v G e  /\  ( y  +  1 )  =  ( # `  v ) )  -> 
( y  e.  NN0  ->  ( 0  <  ( # `
 v )  -> 
( A. w A. f ( ( w G f  /\  y  =  ( # `  w
) )  ->  th )  ->  ps ) ) ) )
136135impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( v G e  /\  ( y  +  1 )  =  (
# `  v )
) )  ->  (
0  <  ( # `  v
)  ->  ( A. w A. f ( ( w G f  /\  y  =  ( # `  w
) )  ->  th )  ->  ps ) ) )
13777, 136mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( v G e  /\  ( y  +  1 )  =  (
# `  v )
) )  ->  ( A. w A. f ( ( w G f  /\  y  =  (
# `  w )
)  ->  th )  ->  ps ) )
13865, 137sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ  /\  L  <_  y )  /\  ( v G e  /\  ( y  +  1 )  =  (
# `  v )
) )  ->  ( A. w A. f ( ( w G f  /\  y  =  (
# `  w )
)  ->  th )  ->  ps ) )
139138impancom 440 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ  /\  L  <_  y )  /\  A. w A. f ( ( w G f  /\  y  =  (
# `  w )
)  ->  th )
)  ->  ( (
v G e  /\  ( y  +  1 )  =  ( # `  v ) )  ->  ps ) )
140139alrimivv 1696 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ  /\  L  <_  y )  /\  A. w A. f ( ( w G f  /\  y  =  (
# `  w )
)  ->  th )
)  ->  A. v A. e ( ( v G e  /\  (
y  +  1 )  =  ( # `  v
) )  ->  ps ) )
141140ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ  /\  L  <_  y )  ->  ( A. w A. f ( ( w G f  /\  y  =  (
# `  w )
)  ->  th )  ->  A. v A. e
( ( v G e  /\  ( y  +  1 )  =  ( # `  v
) )  ->  ps ) ) )
14241, 141syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ  /\  L  <_  y )  ->  ( A. v A. e ( ( v G e  /\  y  =  (
# `  v )
)  ->  ps )  ->  A. v A. e
( ( v G e  /\  ( y  +  1 )  =  ( # `  v
) )  ->  ps ) ) )
14316, 20, 24, 28, 33, 142uzind 10952 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ  /\  L  <_  n )  ->  A. v A. e ( ( v G e  /\  n  =  ( # `  v
) )  ->  ps ) )
1445, 7, 12, 143syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( L  <_  ( # `
 V )  /\  n  e.  NN0 )  /\  n  =  ( # `  V
) )  ->  A. v A. e ( ( v G e  /\  n  =  ( # `  v
) )  ->  ps ) )
145 brfi1uzind.r . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  Rel  G
146145brrelexi 5040 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( V G E  ->  V  e.  _V )
147145brrelex2i 5041 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( V G E  ->  E  e.  _V )
148146, 147jca 532 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( V G E  ->  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V ) )
149 breq12 4452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( v  =  V  /\  e  =  E )  ->  ( v G e  <-> 
V G E ) )
150 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( v  =  V  ->  ( # `
 v )  =  ( # `  V
) )
151150eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( v  =  V  ->  (
n  =  ( # `  v )  <->  n  =  ( # `  V ) ) )
152151adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( v  =  V  /\  e  =  E )  ->  ( n  =  (
# `  v )  <->  n  =  ( # `  V
) ) )
153149, 152anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( v  =  V  /\  e  =  E )  ->  ( ( v G e  /\  n  =  ( # `  v
) )  <->  ( V G E  /\  n  =  ( # `  V
) ) ) )
154 brfi1uzind.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( v  =  V  /\  e  =  E )  ->  ( ps  <->  ph ) )
155153, 154imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( v  =  V  /\  e  =  E )  ->  ( ( ( v G e  /\  n  =  ( # `  v
) )  ->  ps ) 
<->  ( ( V G E  /\  n  =  ( # `  V
) )  ->  ph )
) )
156155spc2gv 3201 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( A. v A. e ( ( v G e  /\  n  =  ( # `  v
) )  ->  ps )  ->  ( ( V G E  /\  n  =  ( # `  V
) )  ->  ph )
) )
157156com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( ( V G E  /\  n  =  ( # `  V
) )  ->  ( A. v A. e ( ( v G e  /\  n  =  (
# `  v )
)  ->  ps )  ->  ph ) ) )
158157expd 436 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( V G E  ->  ( n  =  ( # `  V
)  ->  ( A. v A. e ( ( v G e  /\  n  =  ( # `  v
) )  ->  ps )  ->  ph ) ) ) )
159148, 158mpcom 36 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( V G E  ->  (
n  =  ( # `  V )  ->  ( A. v A. e ( ( v G e  /\  n  =  (
# `  v )
)  ->  ps )  ->  ph ) ) )
160159imp 429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( V G E  /\  n  =  ( # `  V
) )  ->  ( A. v A. e ( ( v G e  /\  n  =  (
# `  v )
)  ->  ps )  ->  ph ) )
161144, 160syl5com 30 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( L  <_  ( # `
 V )  /\  n  e.  NN0 )  /\  n  =  ( # `  V
) )  ->  (
( V G E  /\  n  =  (
# `  V )
)  ->  ph ) )
162161exp31 604 . . . . . . . . . . 11  |-  ( L  <_  ( # `  V
)  ->  ( n  e.  NN0  ->  ( n  =  ( # `  V
)  ->  ( ( V G E  /\  n  =  ( # `  V
) )  ->  ph )
) ) )
163162com14 88 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V G E  /\  n  =  ( # `  V
) )  ->  (
n  e.  NN0  ->  ( n  =  ( # `  V )  ->  ( L  <_  ( # `  V
)  ->  ph ) ) ) )
164163expcom 435 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( # `  V
)  ->  ( V G E  ->  ( n  e.  NN0  ->  ( n  =  ( # `  V
)  ->  ( L  <_  ( # `  V
)  ->  ph ) ) ) ) )
165164com24 87 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( # `  V
)  ->  ( n  =  ( # `  V
)  ->  ( n  e.  NN0  ->  ( V G E  ->  ( L  <_  ( # `  V
)  ->  ph ) ) ) ) )
166165pm2.43i 47 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( # `  V
)  ->  ( n  e.  NN0  ->  ( V G E  ->  ( L  <_  ( # `  V
)  ->  ph ) ) ) )
167166imp 429 . . . . . 6  |-  ( ( n  =  ( # `  V )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( V G E  ->  ( L  <_  ( # `  V
)  ->  ph ) ) )
168167exlimiv 1698 . . . . 5  |-  ( E. n ( n  =  ( # `  V
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( V G E  ->  ( L  <_  ( # `  V
)  ->  ph ) ) )
1692, 168sylbi 195 . . . 4  |-  ( (
# `  V )  e.  NN0  ->  ( V G E  ->  ( L  <_  ( # `  V
)  ->  ph ) ) )
1701, 169syl 16 . . 3  |-  ( V  e.  Fin  ->  ( V G E  ->  ( L  <_  ( # `  V
)  ->  ph ) ) )
171170com12 31 . 2  |-  ( V G E  ->  ( V  e.  Fin  ->  ( L  <_  ( # `  V
)  ->  ph ) ) )
1721713imp 1190 1  |-  ( ( V G E  /\  V  e.  Fin  /\  L  <_  ( # `  V
) )  ->  ph )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973   A.wal 1377    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767   _Vcvv 3113    \ cdif 3473   {csn 4027   class class class wbr 4447   Rel wrel 5004   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   Fincfn 7516   RRcr 9491   0cc0 9492   1c1 9493    + caddc 9495    < clt 9628    <_ cle 9629   NN0cn0 10795   ZZcz 10864   ZZ>=cuz 11082   #chash 12373
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-card 8320  df-cda 8548  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-fz 11673  df-hash 12374
This theorem is referenced by:  brfi1ind  12499
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