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Theorem brfi1indALT 12653
Description: Alternate proof of brfi1ind 12652, which does not use brfi1uzind 12651. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Jan-2018.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
brfi1ind.r  |-  Rel  G
brfi1ind.f  |-  F  e.  U
brfi1ind.1  |-  ( ( v  =  V  /\  e  =  E )  ->  ( ps  <->  ph ) )
brfi1ind.2  |-  ( ( v  =  w  /\  e  =  f )  ->  ( ps  <->  th )
)
brfi1ind.3  |-  ( ( v G e  /\  n  e.  v )  ->  ( v  \  {
n } ) G F )
brfi1ind.4  |-  ( ( w  =  ( v 
\  { n }
)  /\  f  =  F )  ->  ( th 
<->  ch ) )
brfi1ind.base  |-  ( ( v G e  /\  ( # `  v )  =  0 )  ->  ps )
brfi1ind.step  |-  ( ( ( ( y  +  1 )  e.  NN0  /\  ( v G e  /\  ( # `  v
)  =  ( y  +  1 )  /\  n  e.  v )
)  /\  ch )  ->  ps )
Assertion
Ref Expression
brfi1indALT  |-  ( ( V G E  /\  V  e.  Fin )  ->  ph )
Distinct variable groups:    e, E, n, v    f, F, w   
e, G, f, n, v, w, y    e, V, n, v    ps, f, n, w, y    th, e, n, v    ch, f, w    ph, e, n, v
Allowed substitution hints:    ph( y, w, f)    ps( v, e)    ch( y, v, e, n)    th( y, w, f)    U( y, w, v, e, f, n)    E( y, w, f)    F( y, v, e, n)    V( y, w, f)

Proof of Theorem brfi1indALT
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hashcl 12538 . . 3  |-  ( V  e.  Fin  ->  ( # `
 V )  e. 
NN0 )
2 df-clel 2447 . . . 4  |-  ( (
# `  V )  e.  NN0  <->  E. n ( n  =  ( # `  V
)  /\  n  e.  NN0 ) )
3 eqeq2 2462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  0  ->  (
( # `  v )  =  x  <->  ( # `  v
)  =  0 ) )
43anbi2d 710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  0  ->  (
( v G e  /\  ( # `  v
)  =  x )  <-> 
( v G e  /\  ( # `  v
)  =  0 ) ) )
54imbi1d 319 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  0  ->  (
( ( v G e  /\  ( # `  v )  =  x )  ->  ps )  <->  ( ( v G e  /\  ( # `  v
)  =  0 )  ->  ps ) ) )
652albidv 1769 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  0  ->  ( A. v A. e ( ( v G e  /\  ( # `  v
)  =  x )  ->  ps )  <->  A. v A. e ( ( v G e  /\  ( # `
 v )  =  0 )  ->  ps ) ) )
7 eqeq2 2462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  (
( # `  v )  =  x  <->  ( # `  v
)  =  y ) )
87anbi2d 710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  (
( v G e  /\  ( # `  v
)  =  x )  <-> 
( v G e  /\  ( # `  v
)  =  y ) ) )
98imbi1d 319 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( v G e  /\  ( # `  v )  =  x )  ->  ps )  <->  ( ( v G e  /\  ( # `  v
)  =  y )  ->  ps ) ) )
1092albidv 1769 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  ( A. v A. e ( ( v G e  /\  ( # `  v
)  =  x )  ->  ps )  <->  A. v A. e ( ( v G e  /\  ( # `
 v )  =  y )  ->  ps ) ) )
11 eqeq2 2462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( # `  v )  =  x  <->  ( # `  v
)  =  ( y  +  1 ) ) )
1211anbi2d 710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( v G e  /\  ( # `  v
)  =  x )  <-> 
( v G e  /\  ( # `  v
)  =  ( y  +  1 ) ) ) )
1312imbi1d 319 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( ( v G e  /\  ( # `  v )  =  x )  ->  ps )  <->  ( ( v G e  /\  ( # `  v
)  =  ( y  +  1 ) )  ->  ps ) ) )
14132albidv 1769 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  ( A. v A. e ( ( v G e  /\  ( # `  v
)  =  x )  ->  ps )  <->  A. v A. e ( ( v G e  /\  ( # `
 v )  =  ( y  +  1 ) )  ->  ps ) ) )
15 eqeq2 2462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  n  ->  (
( # `  v )  =  x  <->  ( # `  v
)  =  n ) )
1615anbi2d 710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  n  ->  (
( v G e  /\  ( # `  v
)  =  x )  <-> 
( v G e  /\  ( # `  v
)  =  n ) ) )
1716imbi1d 319 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  n  ->  (
( ( v G e  /\  ( # `  v )  =  x )  ->  ps )  <->  ( ( v G e  /\  ( # `  v
)  =  n )  ->  ps ) ) )
18172albidv 1769 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  n  ->  ( A. v A. e ( ( v G e  /\  ( # `  v
)  =  x )  ->  ps )  <->  A. v A. e ( ( v G e  /\  ( # `
 v )  =  n )  ->  ps ) ) )
19 brfi1ind.base . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( v G e  /\  ( # `  v )  =  0 )  ->  ps )
2019gen2 1670 . . . . . . . . . . 11  |-  A. v A. e ( ( v G e  /\  ( # `
 v )  =  0 )  ->  ps )
21 breq12 4407 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( v  =  w  /\  e  =  f )  ->  ( v G e  <-> 
w G f ) )
22 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  =  w  ->  ( # `
 v )  =  ( # `  w
) )
2322eqeq1d 2453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  =  w  ->  (
( # `  v )  =  y  <->  ( # `  w
)  =  y ) )
2423adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( v  =  w  /\  e  =  f )  ->  ( ( # `  v
)  =  y  <->  ( # `  w
)  =  y ) )
2521, 24anbi12d 717 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( v  =  w  /\  e  =  f )  ->  ( ( v G e  /\  ( # `  v )  =  y )  <->  ( w G f  /\  ( # `  w )  =  y ) ) )
26 brfi1ind.2 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( v  =  w  /\  e  =  f )  ->  ( ps  <->  th )
)
2725, 26imbi12d 322 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( v  =  w  /\  e  =  f )  ->  ( ( ( v G e  /\  ( # `
 v )  =  y )  ->  ps ) 
<->  ( ( w G f  /\  ( # `  w )  =  y )  ->  th )
) )
2827cbval2v 2122 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. v A. e ( ( v G e  /\  ( # `  v )  =  y )  ->  ps )  <->  A. w A. f
( ( w G f  /\  ( # `  w )  =  y )  ->  th )
)
29 nn0re 10878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  NN0  ->  y  e.  RR )
30 1re 9642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  1  e.  RR
3130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  NN0  ->  1  e.  RR )
32 nn0ge0 10895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  NN0  ->  0  <_ 
y )
33 0lt1 10136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  0  <  1
3433a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  NN0  ->  0  <  1 )
3529, 31, 32, 34addgegt0d 10187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  NN0  ->  0  < 
( y  +  1 ) )
3635adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( # `  v )  =  ( y  +  1 ) )  -> 
0  <  ( y  +  1 ) )
37 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( # `  v )  =  ( y  +  1 ) )  -> 
( # `  v )  =  ( y  +  1 ) )
3836, 37breqtrrd 4429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( # `  v )  =  ( y  +  1 ) )  -> 
0  <  ( # `  v
) )
3938adantrl 722 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( v G e  /\  ( # `  v
)  =  ( y  +  1 ) ) )  ->  0  <  (
# `  v )
)
40 vex 3048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  v  e. 
_V
41 hashgt0elex 12578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( v  e.  _V  /\  0  <  ( # `  v
) )  ->  E. n  n  e.  v )
42 brfi1ind.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( v G e  /\  n  e.  v )  ->  ( v  \  {
n } ) G F )
4340a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  n  e.  v )  ->  v  e.  _V )
44 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  n  e.  v )  ->  n  e.  v )
45 simpl 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  n  e.  v )  ->  y  e.  NN0 )
46 brfi1indlem 12649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( v  e.  _V  /\  n  e.  v  /\  y  e.  NN0 )  -> 
( ( # `  v
)  =  ( y  +  1 )  -> 
( # `  ( v 
\  { n }
) )  =  y ) )
4743, 44, 45, 46syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  n  e.  v )  ->  ( ( # `  v
)  =  ( y  +  1 )  -> 
( # `  ( v 
\  { n }
) )  =  y ) )
4847imp 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( y  e.  NN0  /\  n  e.  v )  /\  ( # `  v
)  =  ( y  +  1 ) )  ->  ( # `  (
v  \  { n } ) )  =  y )
49 peano2nn0 10910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( y  +  1 )  e. 
NN0 )
5049ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( ( y  e.  NN0  /\  n  e.  v )  /\  ( # `  v
)  =  ( y  +  1 ) )  ->  ( y  +  1 )  e.  NN0 )
5150ad2antlr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( ( ( A. w A. f ( ( w G f  /\  ( # `
 w )  =  y )  ->  th )  /\  ( v  \  {
n } ) G F )  /\  (
( y  e.  NN0  /\  n  e.  v )  /\  ( # `  v
)  =  ( y  +  1 ) ) )  /\  v G e )  ->  (
y  +  1 )  e.  NN0 )
52 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( ( ( A. w A. f ( ( w G f  /\  ( # `
 w )  =  y )  ->  th )  /\  ( v  \  {
n } ) G F )  /\  (
( y  e.  NN0  /\  n  e.  v )  /\  ( # `  v
)  =  ( y  +  1 ) ) )  /\  v G e )  ->  v G e )
53 simplrr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( ( ( A. w A. f ( ( w G f  /\  ( # `
 w )  =  y )  ->  th )  /\  ( v  \  {
n } ) G F )  /\  (
( y  e.  NN0  /\  n  e.  v )  /\  ( # `  v
)  =  ( y  +  1 ) ) )  /\  v G e )  ->  ( # `
 v )  =  ( y  +  1 ) )
54 simprlr 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( ( A. w A. f ( ( w G f  /\  ( # `
 w )  =  y )  ->  th )  /\  ( v  \  {
n } ) G F )  /\  (
( y  e.  NN0  /\  n  e.  v )  /\  ( # `  v
)  =  ( y  +  1 ) ) )  ->  n  e.  v )
5554adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( ( ( A. w A. f ( ( w G f  /\  ( # `
 w )  =  y )  ->  th )  /\  ( v  \  {
n } ) G F )  /\  (
( y  e.  NN0  /\  n  e.  v )  /\  ( # `  v
)  =  ( y  +  1 ) ) )  /\  v G e )  ->  n  e.  v )
5652, 53, 553jca 1188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( ( ( A. w A. f ( ( w G f  /\  ( # `
 w )  =  y )  ->  th )  /\  ( v  \  {
n } ) G F )  /\  (
( y  e.  NN0  /\  n  e.  v )  /\  ( # `  v
)  =  ( y  +  1 ) ) )  /\  v G e )  ->  (
v G e  /\  ( # `  v )  =  ( y  +  1 )  /\  n  e.  v ) )
5751, 56jca 535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( ( ( A. w A. f ( ( w G f  /\  ( # `
 w )  =  y )  ->  th )  /\  ( v  \  {
n } ) G F )  /\  (
( y  e.  NN0  /\  n  e.  v )  /\  ( # `  v
)  =  ( y  +  1 ) ) )  /\  v G e )  ->  (
( y  +  1 )  e.  NN0  /\  ( v G e  /\  ( # `  v
)  =  ( y  +  1 )  /\  n  e.  v )
) )
58 difexg 4551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( v  e.  _V  ->  (
v  \  { n } )  e.  _V )
5940, 58ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( v 
\  { n }
)  e.  _V
60 brfi1ind.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  F  e.  U
61 breq12 4407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( ( w  =  ( v 
\  { n }
)  /\  f  =  F )  ->  (
w G f  <->  ( v  \  { n } ) G F ) )
62 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( w  =  ( v  \  { n } )  ->  ( # `  w
)  =  ( # `  ( v  \  {
n } ) ) )
6362eqeq1d 2453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( w  =  ( v  \  { n } )  ->  ( ( # `  w )  =  y  <-> 
( # `  ( v 
\  { n }
) )  =  y ) )
6463adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( ( w  =  ( v 
\  { n }
)  /\  f  =  F )  ->  (
( # `  w )  =  y  <->  ( # `  (
v  \  { n } ) )  =  y ) )
6561, 64anbi12d 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( ( w  =  ( v 
\  { n }
)  /\  f  =  F )  ->  (
( w G f  /\  ( # `  w
)  =  y )  <-> 
( ( v  \  { n } ) G F  /\  ( # `
 ( v  \  { n } ) )  =  y ) ) )
66 brfi1ind.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( ( w  =  ( v 
\  { n }
)  /\  f  =  F )  ->  ( th 
<->  ch ) )
6765, 66imbi12d 322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( w  =  ( v 
\  { n }
)  /\  f  =  F )  ->  (
( ( w G f  /\  ( # `  w )  =  y )  ->  th )  <->  ( ( ( v  \  { n } ) G F  /\  ( # `
 ( v  \  { n } ) )  =  y )  ->  ch ) ) )
6867spc2gv 3137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( ( v  \  {
n } )  e. 
_V  /\  F  e.  U )  ->  ( A. w A. f ( ( w G f  /\  ( # `  w
)  =  y )  ->  th )  ->  (
( ( v  \  { n } ) G F  /\  ( # `
 ( v  \  { n } ) )  =  y )  ->  ch ) ) )
6959, 60, 68mp2an 678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( A. w A. f ( ( w G f  /\  ( # `  w )  =  y )  ->  th )  ->  ( ( ( v  \  {
n } ) G F  /\  ( # `  ( v  \  {
n } ) )  =  y )  ->  ch ) )
7069expdimp 439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( A. w A. f
( ( w G f  /\  ( # `  w )  =  y )  ->  th )  /\  ( v  \  {
n } ) G F )  ->  (
( # `  ( v 
\  { n }
) )  =  y  ->  ch ) )
7170ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( ( ( A. w A. f ( ( w G f  /\  ( # `
 w )  =  y )  ->  th )  /\  ( v  \  {
n } ) G F )  /\  (
( y  e.  NN0  /\  n  e.  v )  /\  ( # `  v
)  =  ( y  +  1 ) ) )  /\  v G e )  ->  (
( # `  ( v 
\  { n }
) )  =  y  ->  ch ) )
72 brfi1ind.step . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( ( ( y  +  1 )  e.  NN0  /\  ( v G e  /\  ( # `  v
)  =  ( y  +  1 )  /\  n  e.  v )
)  /\  ch )  ->  ps )
7357, 71, 72syl6an 548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( ( A. w A. f ( ( w G f  /\  ( # `
 w )  =  y )  ->  th )  /\  ( v  \  {
n } ) G F )  /\  (
( y  e.  NN0  /\  n  e.  v )  /\  ( # `  v
)  =  ( y  +  1 ) ) )  /\  v G e )  ->  (
( # `  ( v 
\  { n }
) )  =  y  ->  ps ) )
7473exp41 615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( A. w A. f ( ( w G f  /\  ( # `  w )  =  y )  ->  th )  ->  ( ( v  \  { n } ) G F  ->  ( ( ( y  e.  NN0  /\  n  e.  v )  /\  ( # `  v
)  =  ( y  +  1 ) )  ->  ( v G e  ->  ( ( # `
 ( v  \  { n } ) )  =  y  ->  ps ) ) ) ) )
7574com15 96 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( (
# `  ( v  \  { n } ) )  =  y  -> 
( ( v  \  { n } ) G F  ->  (
( ( y  e. 
NN0  /\  n  e.  v )  /\  ( # `
 v )  =  ( y  +  1 ) )  ->  (
v G e  -> 
( A. w A. f ( ( w G f  /\  ( # `
 w )  =  y )  ->  th )  ->  ps ) ) ) ) )
7675com23 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( (
# `  ( v  \  { n } ) )  =  y  -> 
( ( ( y  e.  NN0  /\  n  e.  v )  /\  ( # `
 v )  =  ( y  +  1 ) )  ->  (
( v  \  {
n } ) G F  ->  ( v G e  ->  ( A. w A. f ( ( w G f  /\  ( # `  w
)  =  y )  ->  th )  ->  ps ) ) ) ) )
7748, 76mpcom 37 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( y  e.  NN0  /\  n  e.  v )  /\  ( # `  v
)  =  ( y  +  1 ) )  ->  ( ( v 
\  { n }
) G F  -> 
( v G e  ->  ( A. w A. f ( ( w G f  /\  ( # `
 w )  =  y )  ->  th )  ->  ps ) ) ) )
7877ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  n  e.  v )  ->  ( ( # `  v
)  =  ( y  +  1 )  -> 
( ( v  \  { n } ) G F  ->  (
v G e  -> 
( A. w A. f ( ( w G f  /\  ( # `
 w )  =  y )  ->  th )  ->  ps ) ) ) ) )
7978com23 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  n  e.  v )  ->  ( ( v  \  { n } ) G F  ->  (
( # `  v )  =  ( y  +  1 )  ->  (
v G e  -> 
( A. w A. f ( ( w G f  /\  ( # `
 w )  =  y )  ->  th )  ->  ps ) ) ) ) )
8079ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( n  e.  v  ->  (
( v  \  {
n } ) G F  ->  ( ( # `
 v )  =  ( y  +  1 )  ->  ( v G e  ->  ( A. w A. f ( ( w G f  /\  ( # `  w
)  =  y )  ->  th )  ->  ps ) ) ) ) ) )
8180com15 96 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( v G e  ->  (
n  e.  v  -> 
( ( v  \  { n } ) G F  ->  (
( # `  v )  =  ( y  +  1 )  ->  (
y  e.  NN0  ->  ( A. w A. f
( ( w G f  /\  ( # `  w )  =  y )  ->  th )  ->  ps ) ) ) ) ) )
8281imp 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( v G e  /\  n  e.  v )  ->  ( ( v  \  { n } ) G F  ->  (
( # `  v )  =  ( y  +  1 )  ->  (
y  e.  NN0  ->  ( A. w A. f
( ( w G f  /\  ( # `  w )  =  y )  ->  th )  ->  ps ) ) ) ) )
8342, 82mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( v G e  /\  n  e.  v )  ->  ( ( # `  v
)  =  ( y  +  1 )  -> 
( y  e.  NN0  ->  ( A. w A. f ( ( w G f  /\  ( # `
 w )  =  y )  ->  th )  ->  ps ) ) ) )
8483ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( v G e  ->  (
n  e.  v  -> 
( ( # `  v
)  =  ( y  +  1 )  -> 
( y  e.  NN0  ->  ( A. w A. f ( ( w G f  /\  ( # `
 w )  =  y )  ->  th )  ->  ps ) ) ) ) )
8584com4l 87 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  e.  v  ->  (
( # `  v )  =  ( y  +  1 )  ->  (
y  e.  NN0  ->  ( v G e  -> 
( A. w A. f ( ( w G f  /\  ( # `
 w )  =  y )  ->  th )  ->  ps ) ) ) ) )
8685exlimiv 1776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( E. n  n  e.  v  ->  ( ( # `  v )  =  ( y  +  1 )  ->  ( y  e. 
NN0  ->  ( v G e  ->  ( A. w A. f ( ( w G f  /\  ( # `  w )  =  y )  ->  th )  ->  ps )
) ) ) )
8741, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( v  e.  _V  /\  0  <  ( # `  v
) )  ->  (
( # `  v )  =  ( y  +  1 )  ->  (
y  e.  NN0  ->  ( v G e  -> 
( A. w A. f ( ( w G f  /\  ( # `
 w )  =  y )  ->  th )  ->  ps ) ) ) ) )
8887ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( v  e.  _V  ->  (
0  <  ( # `  v
)  ->  ( ( # `
 v )  =  ( y  +  1 )  ->  ( y  e.  NN0  ->  ( v G e  ->  ( A. w A. f ( ( w G f  /\  ( # `  w
)  =  y )  ->  th )  ->  ps ) ) ) ) ) )
8988com25 94 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( v  e.  _V  ->  (
v G e  -> 
( ( # `  v
)  =  ( y  +  1 )  -> 
( y  e.  NN0  ->  ( 0  <  ( # `
 v )  -> 
( A. w A. f ( ( w G f  /\  ( # `
 w )  =  y )  ->  th )  ->  ps ) ) ) ) ) )
9040, 89ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v G e  ->  (
( # `  v )  =  ( y  +  1 )  ->  (
y  e.  NN0  ->  ( 0  <  ( # `  v )  ->  ( A. w A. f ( ( w G f  /\  ( # `  w
)  =  y )  ->  th )  ->  ps ) ) ) ) )
9190imp 431 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( v G e  /\  ( # `  v )  =  ( y  +  1 ) )  -> 
( y  e.  NN0  ->  ( 0  <  ( # `
 v )  -> 
( A. w A. f ( ( w G f  /\  ( # `
 w )  =  y )  ->  th )  ->  ps ) ) ) )
9291impcom 432 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( v G e  /\  ( # `  v
)  =  ( y  +  1 ) ) )  ->  ( 0  <  ( # `  v
)  ->  ( A. w A. f ( ( w G f  /\  ( # `  w )  =  y )  ->  th )  ->  ps )
) )
9339, 92mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  ( v G e  /\  ( # `  v
)  =  ( y  +  1 ) ) )  ->  ( A. w A. f ( ( w G f  /\  ( # `  w )  =  y )  ->  th )  ->  ps )
)
9493impancom 442 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  A. w A. f ( ( w G f  /\  ( # `  w
)  =  y )  ->  th ) )  -> 
( ( v G e  /\  ( # `  v )  =  ( y  +  1 ) )  ->  ps )
)
9594alrimivv 1774 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  A. w A. f ( ( w G f  /\  ( # `  w
)  =  y )  ->  th ) )  ->  A. v A. e ( ( v G e  /\  ( # `  v
)  =  ( y  +  1 ) )  ->  ps ) )
9695ex 436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( A. w A. f ( ( w G f  /\  ( # `  w )  =  y )  ->  th )  ->  A. v A. e ( ( v G e  /\  ( # `
 v )  =  ( y  +  1 ) )  ->  ps ) ) )
9728, 96syl5bi 221 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( A. v A. e ( ( v G e  /\  ( # `  v )  =  y )  ->  ps )  ->  A. v A. e ( ( v G e  /\  ( # `
 v )  =  ( y  +  1 ) )  ->  ps ) ) )
986, 10, 14, 18, 20, 97nn0ind 11030 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN0  ->  A. v A. e ( ( v G e  /\  ( # `
 v )  =  n )  ->  ps ) )
99 brfi1ind.r . . . . . . . . . . . . . 14  |-  Rel  G
10099brrelexi 4875 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( V G E  ->  V  e.  _V )
10199brrelex2i 4876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( V G E  ->  E  e.  _V )
102100, 101jca 535 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( V G E  ->  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V ) )
103 breq12 4407 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( v  =  V  /\  e  =  E )  ->  ( v G e  <-> 
V G E ) )
104 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( v  =  V  ->  ( # `
 v )  =  ( # `  V
) )
105104eqeq1d 2453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  =  V  ->  (
( # `  v )  =  n  <->  ( # `  V
)  =  n ) )
106105adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( v  =  V  /\  e  =  E )  ->  ( ( # `  v
)  =  n  <->  ( # `  V
)  =  n ) )
107103, 106anbi12d 717 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( v  =  V  /\  e  =  E )  ->  ( ( v G e  /\  ( # `  v )  =  n )  <->  ( V G E  /\  ( # `  V )  =  n ) ) )
108 brfi1ind.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( v  =  V  /\  e  =  E )  ->  ( ps  <->  ph ) )
109107, 108imbi12d 322 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( v  =  V  /\  e  =  E )  ->  ( ( ( v G e  /\  ( # `
 v )  =  n )  ->  ps ) 
<->  ( ( V G E  /\  ( # `  V )  =  n )  ->  ph ) ) )
110109spc2gv 3137 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( A. v A. e ( ( v G e  /\  ( # `
 v )  =  n )  ->  ps )  ->  ( ( V G E  /\  ( # `
 V )  =  n )  ->  ph )
) )
111110com23 81 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( ( V G E  /\  ( # `  V )  =  n )  ->  ( A. v A. e ( ( v G e  /\  ( # `  v )  =  n )  ->  ps )  ->  ph )
) )
112111expd 438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( V G E  ->  ( ( # `  V )  =  n  ->  ( A. v A. e ( ( v G e  /\  ( # `
 v )  =  n )  ->  ps )  ->  ph ) ) ) )
113102, 112mpcom 37 . . . . . . . . . . 11  |-  ( V G E  ->  (
( # `  V )  =  n  ->  ( A. v A. e ( ( v G e  /\  ( # `  v
)  =  n )  ->  ps )  ->  ph ) ) )
114113imp 431 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V G E  /\  ( # `  V )  =  n )  -> 
( A. v A. e ( ( v G e  /\  ( # `
 v )  =  n )  ->  ps )  ->  ph ) )
11598, 114syl5 33 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V G E  /\  ( # `  V )  =  n )  -> 
( n  e.  NN0  ->  ph ) )
116115expcom 437 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  V )  =  n  ->  ( V G E  ->  (
n  e.  NN0  ->  ph ) ) )
117116com23 81 . . . . . . 7  |-  ( (
# `  V )  =  n  ->  ( n  e.  NN0  ->  ( V G E  ->  ph )
) )
118117eqcoms 2459 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( # `  V
)  ->  ( n  e.  NN0  ->  ( V G E  ->  ph )
) )
119118imp 431 . . . . 5  |-  ( ( n  =  ( # `  V )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( V G E  ->  ph )
)
120119exlimiv 1776 . . . 4  |-  ( E. n ( n  =  ( # `  V
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( V G E  ->  ph )
)
1212, 120sylbi 199 . . 3  |-  ( (
# `  V )  e.  NN0  ->  ( V G E  ->  ph )
)
1221, 121syl 17 . 2  |-  ( V  e.  Fin  ->  ( V G E  ->  ph )
)
123122impcom 432 1  |-  ( ( V G E  /\  V  e.  Fin )  ->  ph )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 985   A.wal 1442    = wceq 1444   E.wex 1663    e. wcel 1887   _Vcvv 3045    \ cdif 3401   {csn 3968   class class class wbr 4402   Rel wrel 4839   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   Fincfn 7569   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540    + caddc 9542    < clt 9675   NN0cn0 10869   #chash 12515
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-hash 12516
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