Theorem bren 5436

Description: Equinumerosity relation. Compare Definition of [Enderton] p. 129.

Hypothesis

Ref	Expression
bren.1	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
bren	|- (A ~~ B <-> E.f f:A-1-1-onto->B)

Distinct variable groups:   A,f   B,f

Proof of Theorem bren

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bren.1	. 2 |- B e. _V
2		breng 5434	. 2 |- (B e. _V -> (A ~~ B <-> E.f f:A-1-1-onto->B))
3	1, 2	ax-mp 7	1 |- (A ~~ B <-> E.f f:A-1-1-onto->B)

Syntax hints:   <-> wb 163   e. wcel 1300  E.wex 1326  _Vcvv 2292   class class class wbr 3338  -1-1-onto->wf1o 3997   ~~ cen 5423

This theorem is referenced by:  domen 5438  ener 5469  en0 5482  ensn1 5483  en1 5485  ac6sfi 5509  canth2 5548  mapen 5585  ssenen 5598  phplem4 5605  php3 5609  ssfi 5630  unfilem3 5643  unifi 5648  fiint 5650  fodomfi 5656  numth2 5947  ruc 8818  infxpidmlem10 8830  infxpidmlem12 8832  infmap2lem1 8848  fbssint 10279  eqindhome 14895  finsschain 15373  fcluscomplem 15620

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-dm 4004  df-rn 4005  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-en 5427

Copyright terms: Public domain