MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  brdomi Structured version   Unicode version

Theorem brdomi 7527
Description: Dominance relation. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
brdomi  |-  ( A  ~<_  B  ->  E. f 
f : A -1-1-> B
)
Distinct variable groups:    A, f    B, f

Proof of Theorem brdomi
StepHypRef Expression
1 reldom 7522 . . . 4  |-  Rel  ~<_
21brrelex2i 5041 . . 3  |-  ( A  ~<_  B  ->  B  e.  _V )
3 brdomg 7526 . . 3  |-  ( B  e.  _V  ->  ( A  ~<_  B  <->  E. f 
f : A -1-1-> B
) )
42, 3syl 16 . 2  |-  ( A  ~<_  B  ->  ( A  ~<_  B 
<->  E. f  f : A -1-1-> B ) )
54ibi 241 1  |-  ( A  ~<_  B  ->  E. f 
f : A -1-1-> B
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184   E.wex 1596    e. wcel 1767   _Vcvv 3113   class class class wbr 4447   -1-1->wf1 5585    ~<_ cdom 7514
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pr 4686  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-dm 5009  df-rn 5010  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-dom 7518
This theorem is referenced by:  2dom  7588  xpdom2  7612  domunsncan  7617  fodomr  7668  domssex  7678  sucdom2  7714  hartogslem1  7967  infdifsn  8073  acndom  8432  acndom2  8435  fictb  8625  fin23lem41  8732  iundom2g  8915  pwfseq  9042  ctex  27231
  Copyright terms: Public domain W3C validator