MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  brdomi Structured version   Unicode version

Theorem brdomi 7424
Description: Dominance relation. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
brdomi  |-  ( A  ~<_  B  ->  E. f 
f : A -1-1-> B
)
Distinct variable groups:    A, f    B, f

Proof of Theorem brdomi
StepHypRef Expression
1 reldom 7419 . . . 4  |-  Rel  ~<_
21brrelex2i 4981 . . 3  |-  ( A  ~<_  B  ->  B  e.  _V )
3 brdomg 7423 . . 3  |-  ( B  e.  _V  ->  ( A  ~<_  B  <->  E. f 
f : A -1-1-> B
) )
42, 3syl 16 . 2  |-  ( A  ~<_  B  ->  ( A  ~<_  B 
<->  E. f  f : A -1-1-> B ) )
54ibi 241 1  |-  ( A  ~<_  B  ->  E. f 
f : A -1-1-> B
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184   E.wex 1587    e. wcel 1758   _Vcvv 3071   class class class wbr 4393   -1-1->wf1 5516    ~<_ cdom 7411
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pr 4632  ax-un 6475
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-rab 2804  df-v 3073  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-nul 3739  df-if 3893  df-sn 3979  df-pr 3981  df-op 3985  df-uni 4193  df-br 4394  df-opab 4452  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-dm 4951  df-rn 4952  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-dom 7415
This theorem is referenced by:  2dom  7485  xpdom2  7509  domunsncan  7514  fodomr  7565  domssex  7575  sucdom2  7611  hartogslem1  7860  infdifsn  7966  acndom  8325  acndom2  8328  fictb  8518  fin23lem41  8625  iundom2g  8808  pwfseq  8935  ctex  26152
  Copyright terms: Public domain W3C validator