MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  brdomi Structured version   Unicode version

Theorem brdomi 7546
Description: Dominance relation. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
brdomi  |-  ( A  ~<_  B  ->  E. f 
f : A -1-1-> B
)
Distinct variable groups:    A, f    B, f

Proof of Theorem brdomi
StepHypRef Expression
1 reldom 7541 . . . 4  |-  Rel  ~<_
21brrelex2i 5050 . . 3  |-  ( A  ~<_  B  ->  B  e.  _V )
3 brdomg 7545 . . 3  |-  ( B  e.  _V  ->  ( A  ~<_  B  <->  E. f 
f : A -1-1-> B
) )
42, 3syl 16 . 2  |-  ( A  ~<_  B  ->  ( A  ~<_  B 
<->  E. f  f : A -1-1-> B ) )
54ibi 241 1  |-  ( A  ~<_  B  ->  E. f 
f : A -1-1-> B
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184   E.wex 1613    e. wcel 1819   _Vcvv 3109   class class class wbr 4456   -1-1->wf1 5591    ~<_ cdom 7533
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-opab 4516  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-dm 5018  df-rn 5019  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-dom 7537
This theorem is referenced by:  2dom  7607  xpdom2  7631  domunsncan  7636  fodomr  7687  domssex  7697  sucdom2  7733  hartogslem1  7985  infdifsn  8090  acndom  8449  acndom2  8452  fictb  8642  fin23lem41  8749  iundom2g  8932  pwfseq  9059  ctex  27688  omssubadd  28444
  Copyright terms: Public domain W3C validator