MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  brdomg Structured version   Unicode version

Theorem brdomg 7527
Description: Dominance relation. (Contributed by NM, 15-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
brdomg  |-  ( B  e.  C  ->  ( A  ~<_  B  <->  E. f 
f : A -1-1-> B
) )
Distinct variable groups:    A, f    B, f
Allowed substitution hint:    C( f)

Proof of Theorem brdomg
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1eq2 5777 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
f : x -1-1-> y  <-> 
f : A -1-1-> y ) )
21exbidv 1690 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( E. f  f :
x -1-1-> y  <->  E. f 
f : A -1-1-> y ) )
3 f1eq3 5778 . . . . 5  |-  ( y  =  B  ->  (
f : A -1-1-> y  <-> 
f : A -1-1-> B
) )
43exbidv 1690 . . . 4  |-  ( y  =  B  ->  ( E. f  f : A -1-1-> y  <->  E. f 
f : A -1-1-> B
) )
5 df-dom 7519 . . . 4  |-  ~<_  =  { <. x ,  y >.  |  E. f  f : x -1-1-> y }
62, 4, 5brabg 4766 . . 3  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  C )  ->  ( A  ~<_  B  <->  E. f 
f : A -1-1-> B
) )
76ex 434 . 2  |-  ( A  e.  _V  ->  ( B  e.  C  ->  ( A  ~<_  B  <->  E. f 
f : A -1-1-> B
) ) )
8 reldom 7523 . . . . 5  |-  Rel  ~<_
98brrelexi 5040 . . . 4  |-  ( A  ~<_  B  ->  A  e.  _V )
10 f1f 5781 . . . . . 6  |-  ( f : A -1-1-> B  -> 
f : A --> B )
11 fdm 5735 . . . . . . 7  |-  ( f : A --> B  ->  dom  f  =  A
)
12 vex 3116 . . . . . . . 8  |-  f  e. 
_V
1312dmex 6718 . . . . . . 7  |-  dom  f  e.  _V
1411, 13syl6eqelr 2564 . . . . . 6  |-  ( f : A --> B  ->  A  e.  _V )
1510, 14syl 16 . . . . 5  |-  ( f : A -1-1-> B  ->  A  e.  _V )
1615exlimiv 1698 . . . 4  |-  ( E. f  f : A -1-1-> B  ->  A  e.  _V )
179, 16pm5.21ni 352 . . 3  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( A  ~<_  B  <->  E. f 
f : A -1-1-> B
) )
1817a1d 25 . 2  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( B  e.  C  -> 
( A  ~<_  B  <->  E. f 
f : A -1-1-> B
) ) )
197, 18pm2.61i 164 1  |-  ( B  e.  C  ->  ( A  ~<_  B  <->  E. f 
f : A -1-1-> B
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767   _Vcvv 3113   class class class wbr 4447   dom cdm 4999   -->wf 5584   -1-1->wf1 5585    ~<_ cdom 7515
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pr 4686  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-dm 5009  df-rn 5010  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-dom 7519
This theorem is referenced by:  brdomi  7528  brdom  7529  f1dom2g  7534  f1domg  7536  dom3d  7558  domdifsn  7601  fidomtri  8375  hashdom  12416  hashge3el3dif  12491  sizeusglecusg  24259  erdsze2lem1  28398
  Copyright terms: Public domain W3C validator