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Theorem brdom7disj 8365
Description: An equivalence to a dominance relation for disjoint sets. (Contributed by NM, 29-Mar-2007.) (Revised by NM, 16-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
brdom7disj.1  |-  A  e. 
_V
brdom7disj.2  |-  B  e. 
_V
brdom7disj.3  |-  ( A  i^i  B )  =  (/)
Assertion
Ref Expression
brdom7disj  |-  ( A  ~<_  B  <->  E. f ( A. x  e.  B  E* y  e.  A {
x ,  y }  e.  f  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  {
y ,  x }  e.  f ) )
Distinct variable groups:    x, f,
y, A    B, f, x, y

Proof of Theorem brdom7disj
Dummy variables  g 
v  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brdom7disj.2 . . 3  |-  B  e. 
_V
21brdom4 8364 . 2  |-  ( A  ~<_  B  <->  E. g ( A. x  e.  B  E* y  e.  A x
g y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y
g x ) )
3 incom 3493 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( B  i^i  A )  =  ( A  i^i  B
)
4 brdom7disj.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  i^i  B )  =  (/)
53, 4eqtri 2424 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B  i^i  A )  =  (/)
6 disjne 3633 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( B  i^i  A
)  =  (/)  /\  x  e.  B  /\  w  e.  A )  ->  x  =/=  w )
75, 6mp3an1 1266 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  B  /\  w  e.  A )  ->  x  =/=  w )
8 vex 2919 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  x  e. 
_V
9 vex 2919 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  y  e. 
_V
10 vex 2919 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  z  e. 
_V
11 vex 2919 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  w  e. 
_V
128, 9, 10, 11opthpr 3936 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =/=  w  ->  ( { x ,  y }  =  { z ,  w }  <->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) )
137, 12syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  B  /\  w  e.  A )  ->  ( { x ,  y }  =  {
z ,  w }  <->  ( x  =  z  /\  y  =  w )
) )
14 equcom 1688 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  z  <->  z  =  x )
15 equcom 1688 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  w  <->  w  =  y )
1614, 15anbi12i 679 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  z  /\  y  =  w )  <->  ( z  =  x  /\  w  =  y )
)
1713, 16syl6rbb 254 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  B  /\  w  e.  A )  ->  ( ( z  =  x  /\  w  =  y )  <->  { x ,  y }  =  { z ,  w } ) )
18 df-br 4173 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z g w  <->  <. z ,  w >.  e.  g
)
1918a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  B  /\  w  e.  A )  ->  ( z g w  <->  <. z ,  w >.  e.  g ) )
2017, 19anbi12d 692 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  B  /\  w  e.  A )  ->  ( ( ( z  =  x  /\  w  =  y )  /\  z g w )  <-> 
( { x ,  y }  =  {
z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) ) )
2120rexbidva 2683 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  B  ->  ( E. w  e.  A  ( ( z  =  x  /\  w  =  y )  /\  z
g w )  <->  E. w  e.  A  ( {
x ,  y }  =  { z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) ) )
2221rexbidv 2687 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  B  ->  ( E. z  e.  B  E. w  e.  A  ( ( z  =  x  /\  w  =  y )  /\  z
g w )  <->  E. z  e.  B  E. w  e.  A  ( {
x ,  y }  =  { z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) ) )
23 rexcom 2829 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. z  e.  B  E. w  e.  A  ( { x ,  y }  =  { z ,  w }  /\  <.
z ,  w >.  e.  g )  <->  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( {
x ,  y }  =  { z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) )
24 zfpair2 4364 . . . . . . . . . . . 12  |-  { x ,  y }  e.  _V
25 eqeq1 2410 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  { x ,  y }  ->  (
v  =  { z ,  w }  <->  { x ,  y }  =  { z ,  w } ) )
2625anbi1d 686 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  { x ,  y }  ->  (
( v  =  {
z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g )  <->  ( {
x ,  y }  =  { z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) ) )
27262rexbidv 2709 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  { x ,  y }  ->  ( E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  {
z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g )  <->  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( {
x ,  y }  =  { z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) ) )
2824, 27elab 3042 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { x ,  y }  e.  { v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  {
z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) }  <->  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( { x ,  y }  =  { z ,  w }  /\  <.
z ,  w >.  e.  g ) )
2923, 28bitr4i 244 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. z  e.  B  E. w  e.  A  ( { x ,  y }  =  { z ,  w }  /\  <.
z ,  w >.  e.  g )  <->  { x ,  y }  e.  { v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  { z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) } )
3022, 29syl6rbb 254 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  B  ->  ( { x ,  y }  e.  { v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  { z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) }  <->  E. z  e.  B  E. w  e.  A  ( ( z  =  x  /\  w  =  y )  /\  z
g w ) ) )
3130adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  A )  ->  ( { x ,  y }  e.  {
v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  { z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) }  <->  E. z  e.  B  E. w  e.  A  ( ( z  =  x  /\  w  =  y )  /\  z
g w ) ) )
32 breq1 4175 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  x  ->  (
z g w  <->  x g
w ) )
33 breq2 4176 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  y  ->  (
x g w  <->  x g
y ) )
3432, 33ceqsrex2v 3031 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  A )  ->  ( E. z  e.  B  E. w  e.  A  ( ( z  =  x  /\  w  =  y )  /\  z g w )  <-> 
x g y ) )
3531, 34bitrd 245 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  A )  ->  ( { x ,  y }  e.  {
v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  { z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) }  <-> 
x g y ) )
3635rmobidva 2856 . . . . . 6  |-  ( x  e.  B  ->  ( E* y  e.  A { x ,  y }  e.  { v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  { z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) }  <->  E* y  e.  A x g y ) )
3736ralbiia 2698 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  B  E* y  e.  A {
x ,  y }  e.  { v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  {
z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) }  <->  A. x  e.  B  E* y  e.  A x g y )
38 zfpair2 4364 . . . . . . . . . . 11  |-  { y ,  x }  e.  _V
39 eqeq1 2410 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  { y ,  x }  ->  (
v  =  { z ,  w }  <->  { y ,  x }  =  {
z ,  w }
) )
4039anbi1d 686 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  { y ,  x }  ->  (
( v  =  {
z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g )  <->  ( {
y ,  x }  =  { z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) ) )
41402rexbidv 2709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  { y ,  x }  ->  ( E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  {
z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g )  <->  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( {
y ,  x }  =  { z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) ) )
4238, 41elab 3042 . . . . . . . . . 10  |-  ( { y ,  x }  e.  { v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  (
v  =  { z ,  w }  /\  <.
z ,  w >.  e.  g ) }  <->  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( {
y ,  x }  =  { z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) )
43 disjne 3633 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( B  i^i  A
)  =  (/)  /\  z  e.  B  /\  x  e.  A )  ->  z  =/=  x )
445, 43mp3an1 1266 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  B  /\  x  e.  A )  ->  z  =/=  x )
4544ancoms 440 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  A  /\  z  e.  B )  ->  z  =/=  x )
4610, 11, 9, 8opthpr 3936 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =/=  x  ->  ( { z ,  w }  =  { y ,  x }  <->  ( z  =  y  /\  w  =  x ) ) )
4745, 46syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  A  /\  z  e.  B )  ->  ( { z ,  w }  =  {
y ,  x }  <->  ( z  =  y  /\  w  =  x )
) )
48 eqcom 2406 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { y ,  x }  =  { z ,  w } 
<->  { z ,  w }  =  { y ,  x } )
49 ancom 438 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  =  x  /\  z  =  y )  <->  ( z  =  y  /\  w  =  x )
)
5047, 48, 493bitr4g 280 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  A  /\  z  e.  B )  ->  ( { y ,  x }  =  {
z ,  w }  <->  ( w  =  x  /\  z  =  y )
) )
5118bicomi 194 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( <.
z ,  w >.  e.  g  <->  z g w )
5251a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  A  /\  z  e.  B )  ->  ( <. z ,  w >.  e.  g  <->  z g
w ) )
5350, 52anbi12d 692 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  A  /\  z  e.  B )  ->  ( ( { y ,  x }  =  { z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g )  <->  ( (
w  =  x  /\  z  =  y )  /\  z g w ) ) )
5453rexbidva 2683 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  ->  ( E. z  e.  B  ( { y ,  x }  =  { z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g )  <->  E. z  e.  B  ( ( w  =  x  /\  z  =  y )  /\  z
g w ) ) )
5554rexbidv 2687 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  A  ->  ( E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( { y ,  x }  =  { z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g )  <->  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( ( w  =  x  /\  z  =  y )  /\  z
g w ) ) )
5642, 55syl5bb 249 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  A  ->  ( { y ,  x }  e.  { v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  {
z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) }  <->  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( ( w  =  x  /\  z  =  y )  /\  z
g w ) ) )
5756adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  ( { y ,  x }  e.  {
v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  { z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) }  <->  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( ( w  =  x  /\  z  =  y )  /\  z
g w ) ) )
58 breq2 4176 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  x  ->  (
z g w  <->  z g
x ) )
59 breq1 4175 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  y  ->  (
z g x  <->  y g
x ) )
6058, 59ceqsrex2v 3031 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  ( E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( ( w  =  x  /\  z  =  y )  /\  z g w )  <-> 
y g x ) )
6157, 60bitrd 245 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  ( { y ,  x }  e.  {
v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  { z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) }  <-> 
y g x ) )
6261rexbidva 2683 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  ->  ( E. y  e.  B  { y ,  x }  e.  { v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  {
z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) }  <->  E. y  e.  B  y g x ) )
6362ralbiia 2698 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  {
y ,  x }  e.  { v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  (
v  =  { z ,  w }  /\  <.
z ,  w >.  e.  g ) }  <->  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y g
x )
64 brdom7disj.1 . . . . . . 7  |-  A  e. 
_V
65 snex 4365 . . . . . . . 8  |-  { {
z ,  w } }  e.  _V
66 simpl 444 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( v  =  { z ,  w }  /\  <.
z ,  w >.  e.  g )  ->  v  =  { z ,  w } )
6766ss2abi 3375 . . . . . . . . 9  |-  { v  |  ( v  =  { z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) } 
C_  { v  |  v  =  { z ,  w } }
68 df-sn 3780 . . . . . . . . 9  |-  { {
z ,  w } }  =  { v  |  v  =  {
z ,  w } }
6967, 68sseqtr4i 3341 . . . . . . . 8  |-  { v  |  ( v  =  { z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) } 
C_  { { z ,  w } }
7065, 69ssexi 4308 . . . . . . 7  |-  { v  |  ( v  =  { z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) }  e.  _V
7164, 1, 70ab2rexex2 6186 . . . . . 6  |-  { v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  { z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) }  e.  _V
72 eleq2 2465 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  { v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  {
z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) }  ->  ( { x ,  y }  e.  f 
<->  { x ,  y }  e.  { v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  { z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) } ) )
7372rmobidv 2857 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  { v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  {
z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) }  ->  ( E* y  e.  A { x ,  y }  e.  f  <->  E* y  e.  A { x ,  y }  e.  { v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  { z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) } ) )
7473ralbidv 2686 . . . . . . 7  |-  ( f  =  { v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  {
z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) }  ->  ( A. x  e.  B  E* y  e.  A { x ,  y }  e.  f  <->  A. x  e.  B  E* y  e.  A { x ,  y }  e.  { v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  { z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) } ) )
75 eleq2 2465 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  { v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  {
z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) }  ->  ( { y ,  x }  e.  f 
<->  { y ,  x }  e.  { v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  {
z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) } ) )
7675rexbidv 2687 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  { v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  {
z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) }  ->  ( E. y  e.  B  { y ,  x }  e.  f  <->  E. y  e.  B  { y ,  x }  e.  { v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  {
z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) } ) )
7776ralbidv 2686 . . . . . . 7  |-  ( f  =  { v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  {
z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) }  ->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  { y ,  x }  e.  f  <->  A. x  e.  A  E. y  e.  B  { y ,  x }  e.  { v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  {
z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) } ) )
7874, 77anbi12d 692 . . . . . 6  |-  ( f  =  { v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  {
z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) }  ->  ( ( A. x  e.  B  E* y  e.  A {
x ,  y }  e.  f  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  {
y ,  x }  e.  f )  <->  ( A. x  e.  B  E* y  e.  A {
x ,  y }  e.  { v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  {
z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) }  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  { y ,  x }  e.  {
v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  { z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) } ) ) )
7971, 78spcev 3003 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  B  E* y  e.  A { x ,  y }  e.  { v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  { z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) }  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  { y ,  x }  e.  {
v  |  E. w  e.  A  E. z  e.  B  ( v  =  { z ,  w }  /\  <. z ,  w >.  e.  g ) } )  ->  E. f
( A. x  e.  B  E* y  e.  A { x ,  y }  e.  f  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  { y ,  x }  e.  f ) )
8037, 63, 79syl2anbr 467 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  B  E* y  e.  A x g y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y
g x )  ->  E. f ( A. x  e.  B  E* y  e.  A { x ,  y }  e.  f  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  { y ,  x }  e.  f ) )
8180exlimiv 1641 . . 3  |-  ( E. g ( A. x  e.  B  E* y  e.  A x g y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y g x )  ->  E. f
( A. x  e.  B  E* y  e.  A { x ,  y }  e.  f  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  { y ,  x }  e.  f ) )
82 preq1 3843 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  x  ->  { w ,  z }  =  { x ,  z } )
8382eleq1d 2470 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  x  ->  ( { w ,  z }  e.  f  <->  { x ,  z }  e.  f ) )
84 preq2 3844 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  y  ->  { x ,  z }  =  { x ,  y } )
8584eleq1d 2470 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  y  ->  ( { x ,  z }  e.  f  <->  { x ,  y }  e.  f ) )
86 eqid 2404 . . . . . . . 8  |-  { <. w ,  z >.  |  {
w ,  z }  e.  f }  =  { <. w ,  z
>.  |  { w ,  z }  e.  f }
878, 9, 83, 85, 86brab 4437 . . . . . . 7  |-  ( x { <. w ,  z
>.  |  { w ,  z }  e.  f } y  <->  { x ,  y }  e.  f )
8887rmobii 2859 . . . . . 6  |-  ( E* y  e.  A x { <. w ,  z
>.  |  { w ,  z }  e.  f } y  <->  E* y  e.  A { x ,  y }  e.  f )
8988ralbii 2690 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  B  E* y  e.  A x { <. w ,  z
>.  |  { w ,  z }  e.  f } y  <->  A. x  e.  B  E* y  e.  A { x ,  y }  e.  f )
90 preq1 3843 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  y  ->  { w ,  z }  =  { y ,  z } )
9190eleq1d 2470 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  y  ->  ( { w ,  z }  e.  f  <->  { y ,  z }  e.  f ) )
92 preq2 3844 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  x  ->  { y ,  z }  =  { y ,  x } )
9392eleq1d 2470 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  x  ->  ( { y ,  z }  e.  f  <->  { y ,  x }  e.  f ) )
949, 8, 91, 93, 86brab 4437 . . . . . . 7  |-  ( y { <. w ,  z
>.  |  { w ,  z }  e.  f } x  <->  { y ,  x }  e.  f )
9594rexbii 2691 . . . . . 6  |-  ( E. y  e.  B  y { <. w ,  z
>.  |  { w ,  z }  e.  f } x  <->  E. y  e.  B  { y ,  x }  e.  f )
9695ralbii 2690 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  y { <. w ,  z
>.  |  { w ,  z }  e.  f } x  <->  A. x  e.  A  E. y  e.  B  { y ,  x }  e.  f )
97 df-opab 4227 . . . . . . 7  |-  { <. w ,  z >.  |  {
w ,  z }  e.  f }  =  { v  |  E. w E. z ( v  =  <. w ,  z
>.  /\  { w ,  z }  e.  f ) }
98 vex 2919 . . . . . . . . 9  |-  f  e. 
_V
9998uniex 4664 . . . . . . . 8  |-  U. f  e.  _V
10011prid1 3872 . . . . . . . . . . 11  |-  w  e. 
{ w ,  z }
101 elunii 3980 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  e.  { w ,  z }  /\  { w ,  z }  e.  f )  ->  w  e.  U. f
)
102100, 101mpan 652 . . . . . . . . . 10  |-  ( { w ,  z }  e.  f  ->  w  e.  U. f )
103102adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  =  <. w ,  z >.  /\  {
w ,  z }  e.  f )  ->  w  e.  U. f
)
104103exlimiv 1641 . . . . . . . 8  |-  ( E. z ( v  = 
<. w ,  z >.  /\  { w ,  z }  e.  f )  ->  w  e.  U. f )
10510prid2 3873 . . . . . . . . . . 11  |-  z  e. 
{ w ,  z }
106 elunii 3980 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  { w ,  z }  /\  { w ,  z }  e.  f )  -> 
z  e.  U. f
)
107105, 106mpan 652 . . . . . . . . . 10  |-  ( { w ,  z }  e.  f  ->  z  e.  U. f )
108107adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  =  <. w ,  z >.  /\  {
w ,  z }  e.  f )  -> 
z  e.  U. f
)
109 df-sn 3780 . . . . . . . . . . 11  |-  { <. w ,  z >. }  =  { v  |  v  =  <. w ,  z
>. }
110 snex 4365 . . . . . . . . . . 11  |-  { <. w ,  z >. }  e.  _V
111109, 110eqeltrri 2475 . . . . . . . . . 10  |-  { v  |  v  =  <. w ,  z >. }  e.  _V
112 simpl 444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( v  =  <. w ,  z >.  /\  {
w ,  z }  e.  f )  -> 
v  =  <. w ,  z >. )
113112ss2abi 3375 . . . . . . . . . 10  |-  { v  |  ( v  = 
<. w ,  z >.  /\  { w ,  z }  e.  f ) }  C_  { v  |  v  =  <. w ,  z >. }
114111, 113ssexi 4308 . . . . . . . . 9  |-  { v  |  ( v  = 
<. w ,  z >.  /\  { w ,  z }  e.  f ) }  e.  _V
11599, 108, 114abexex 5962 . . . . . . . 8  |-  { v  |  E. z ( v  =  <. w ,  z >.  /\  {
w ,  z }  e.  f ) }  e.  _V
11699, 104, 115abexex 5962 . . . . . . 7  |-  { v  |  E. w E. z ( v  = 
<. w ,  z >.  /\  { w ,  z }  e.  f ) }  e.  _V
11797, 116eqeltri 2474 . . . . . 6  |-  { <. w ,  z >.  |  {
w ,  z }  e.  f }  e.  _V
118 breq 4174 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  { <. w ,  z >.  |  {
w ,  z }  e.  f }  ->  ( x g y  <->  x { <. w ,  z >.  |  { w ,  z }  e.  f } y ) )
119118rmobidv 2857 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  { <. w ,  z >.  |  {
w ,  z }  e.  f }  ->  ( E* y  e.  A x g y  <->  E* y  e.  A x { <. w ,  z >.  |  {
w ,  z }  e.  f } y ) )
120119ralbidv 2686 . . . . . . 7  |-  ( g  =  { <. w ,  z >.  |  {
w ,  z }  e.  f }  ->  ( A. x  e.  B  E* y  e.  A x g y  <->  A. x  e.  B  E* y  e.  A x { <. w ,  z >.  |  {
w ,  z }  e.  f } y ) )
121 breq 4174 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  { <. w ,  z >.  |  {
w ,  z }  e.  f }  ->  ( y g x  <->  y { <. w ,  z >.  |  { w ,  z }  e.  f } x ) )
122121rexbidv 2687 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  { <. w ,  z >.  |  {
w ,  z }  e.  f }  ->  ( E. y  e.  B  y g x  <->  E. y  e.  B  y { <. w ,  z >.  |  { w ,  z }  e.  f } x ) )
123122ralbidv 2686 . . . . . . 7  |-  ( g  =  { <. w ,  z >.  |  {
w ,  z }  e.  f }  ->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  y g x  <->  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y { <. w ,  z >.  |  { w ,  z }  e.  f } x ) )
124120, 123anbi12d 692 . . . . . 6  |-  ( g  =  { <. w ,  z >.  |  {
w ,  z }  e.  f }  ->  ( ( A. x  e.  B  E* y  e.  A x g y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y g x )  <->  ( A. x  e.  B  E* y  e.  A x { <. w ,  z >.  |  {
w ,  z }  e.  f } y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y { <. w ,  z >.  |  {
w ,  z }  e.  f } x
) ) )
125117, 124spcev 3003 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  B  E* y  e.  A x { <. w ,  z
>.  |  { w ,  z }  e.  f } y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y { <. w ,  z
>.  |  { w ,  z }  e.  f } x )  ->  E. g ( A. x  e.  B  E* y  e.  A x g y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y g x ) )
12689, 96, 125syl2anbr 467 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  B  E* y  e.  A { x ,  y }  e.  f  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  {
y ,  x }  e.  f )  ->  E. g
( A. x  e.  B  E* y  e.  A x g y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y g x ) )
127126exlimiv 1641 . . 3  |-  ( E. f ( A. x  e.  B  E* y  e.  A { x ,  y }  e.  f  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  { y ,  x }  e.  f )  ->  E. g
( A. x  e.  B  E* y  e.  A x g y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y g x ) )
12881, 127impbii 181 . 2  |-  ( E. g ( A. x  e.  B  E* y  e.  A x g y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y g x )  <->  E. f ( A. x  e.  B  E* y  e.  A {
x ,  y }  e.  f  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  {
y ,  x }  e.  f ) )
1292, 128bitri 241 1  |-  ( A  ~<_  B  <->  E. f ( A. x  e.  B  E* y  e.  A {
x ,  y }  e.  f  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  {
y ,  x }  e.  f ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721   {cab 2390    =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667   E*wrmo 2669   _Vcvv 2916    i^i cin 3279   (/)c0 3588   {csn 3774   {cpr 3775   <.cop 3777   U.cuni 3975   class class class wbr 4172   {copab 4225    ~<_ cdom 7066
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-ac2 8299
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-suc 4547  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-card 7782  df-acn 7785  df-ac 7953
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