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Theorem brdom5 8907
Description: An equivalence to a dominance relation. (Contributed by NM, 29-Mar-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
brdom3.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
brdom5  |-  ( A  ~<_  B  <->  E. f ( A. x  e.  B  E* y  x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y
f x ) )
Distinct variable groups:    x, f,
y, A    B, f, x, y

Proof of Theorem brdom5
StepHypRef Expression
1 brdom3.2 . . . 4  |-  B  e. 
_V
21brdom3 8906 . . 3  |-  ( A  ~<_  B  <->  E. f ( A. x E* y  x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y f
x ) )
3 alral 2829 . . . . 5  |-  ( A. x E* y  x f y  ->  A. x  e.  B  E* y  x f y )
43anim1i 568 . . . 4  |-  ( ( A. x E* y  x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y
f x )  -> 
( A. x  e.  B  E* y  x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y
f x ) )
54eximi 1635 . . 3  |-  ( E. f ( A. x E* y  x f
y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y f
x )  ->  E. f
( A. x  e.  B  E* y  x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y
f x ) )
62, 5sylbi 195 . 2  |-  ( A  ~<_  B  ->  E. f
( A. x  e.  B  E* y  x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y
f x ) )
7 inss2 3719 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  C_  ( B  X.  A
)
8 dmss 5202 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) 
C_  ( B  X.  A )  ->  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) 
C_  dom  ( B  X.  A ) )
97, 8ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  dom  (
f  i^i  ( B  X.  A ) )  C_  dom  ( B  X.  A
)
10 dmxpss 5438 . . . . . . . . . . . . 13  |-  dom  ( B  X.  A )  C_  B
119, 10sstri 3513 . . . . . . . . . . . 12  |-  dom  (
f  i^i  ( B  X.  A ) )  C_  B
1211sseli 3500 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  ->  x  e.  B )
13 inss1 3718 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  C_  f
1413ssbri 4489 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) y  ->  x f
y )
1514moimi 2342 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E* y  x f y  ->  E* y  x ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) y )
1612, 15imim12i 57 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  B  ->  E* y  x f
y )  ->  (
x  e.  dom  (
f  i^i  ( B  X.  A ) )  ->  E* y  x (
f  i^i  ( B  X.  A ) ) y ) )
1716ralimi2 2854 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  B  E* y  x f y  ->  A. x  e.  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) E* y  x ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) y )
18 relxp 5110 . . . . . . . . . 10  |-  Rel  ( B  X.  A )
19 relin2 5121 . . . . . . . . . 10  |-  ( Rel  ( B  X.  A
)  ->  Rel  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) )
2018, 19ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  Rel  (
f  i^i  ( B  X.  A ) )
2117, 20jctil 537 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  B  E* y  x f y  -> 
( Rel  ( f  i^i  ( B  X.  A
) )  /\  A. x  e.  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) E* y  x ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) y ) )
22 dffun7 5614 . . . . . . . 8  |-  ( Fun  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  <-> 
( Rel  ( f  i^i  ( B  X.  A
) )  /\  A. x  e.  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) E* y  x ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) y ) )
2321, 22sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  B  E* y  x f y  ->  Fun  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) )
24 funfn 5617 . . . . . . 7  |-  ( Fun  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  <-> 
( f  i^i  ( B  X.  A ) )  Fn  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) )
2523, 24sylib 196 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  B  E* y  x f y  -> 
( f  i^i  ( B  X.  A ) )  Fn  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) )
26 rninxp 5446 . . . . . . 7  |-  ( ran  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  =  A  <->  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y f
x )
2726biimpri 206 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  y
f x  ->  ran  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  =  A )
2825, 27anim12i 566 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  B  E* y  x f
y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y f
x )  ->  (
( f  i^i  ( B  X.  A ) )  Fn  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  /\  ran  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  =  A ) )
29 df-fo 5594 . . . . 5  |-  ( ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) : dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) -onto-> A  <-> 
( ( f  i^i  ( B  X.  A
) )  Fn  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  /\  ran  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  =  A ) )
3028, 29sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  B  E* y  x f
y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y f
x )  ->  (
f  i^i  ( B  X.  A ) ) : dom  ( f  i^i  ( B  X.  A
) ) -onto-> A )
31 vex 3116 . . . . . . 7  |-  f  e. 
_V
3231inex1 4588 . . . . . 6  |-  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  e. 
_V
3332dmex 6717 . . . . 5  |-  dom  (
f  i^i  ( B  X.  A ) )  e. 
_V
3433fodom 8902 . . . 4  |-  ( ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) : dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) -onto-> A  ->  A  ~<_  dom  (
f  i^i  ( B  X.  A ) ) )
35 ssdomg 7561 . . . . . 6  |-  ( B  e.  _V  ->  ( dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) 
C_  B  ->  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  ~<_  B ) )
361, 11, 35mp2 9 . . . . 5  |-  dom  (
f  i^i  ( B  X.  A ) )  ~<_  B
37 domtr 7568 . . . . 5  |-  ( ( A  ~<_  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A
) )  /\  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  ~<_  B )  ->  A  ~<_  B )
3836, 37mpan2 671 . . . 4  |-  ( A  ~<_  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A
) )  ->  A  ~<_  B )
3930, 34, 383syl 20 . . 3  |-  ( ( A. x  e.  B  E* y  x f
y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y f
x )  ->  A  ~<_  B )
4039exlimiv 1698 . 2  |-  ( E. f ( A. x  e.  B  E* y  x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y
f x )  ->  A  ~<_  B )
416, 40impbii 188 1  |-  ( A  ~<_  B  <->  E. f ( A. x  e.  B  E* y  x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y
f x ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1377    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767   E*wmo 2276   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113    i^i cin 3475    C_ wss 3476   class class class wbr 4447    X. cxp 4997   dom cdm 4999   ran crn 5000   Rel wrel 5004   Fun wfun 5582    Fn wfn 5583   -onto->wfo 5586    ~<_ cdom 7514
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-ac2 8843
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-card 8320  df-acn 8323  df-ac 8497
This theorem is referenced by:  brdom6disj  8910
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