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Theorem brdom4 8364
Description: An equivalence to a dominance relation. (Contributed by NM, 28-Mar-2007.) (Revised by NM, 16-Jun-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
brdom3.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
brdom4  |-  ( A  ~<_  B  <->  E. f ( A. x  e.  B  E* y  e.  A x
f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y
f x ) )
Distinct variable groups:    x, f,
y, A    B, f, x, y

Proof of Theorem brdom4
StepHypRef Expression
1 brdom3.2 . . . 4  |-  B  e. 
_V
21brdom3 8362 . . 3  |-  ( A  ~<_  B  <->  E. f ( A. x E* y  x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y f
x ) )
3 mormo 2880 . . . . . . 7  |-  ( E* y  x f y  ->  E* y  e.  A x f y )
43alimi 1565 . . . . . 6  |-  ( A. x E* y  x f y  ->  A. x E* y  e.  A x f y )
5 alral 2724 . . . . . 6  |-  ( A. x E* y  e.  A x f y  ->  A. x  e.  B  E* y  e.  A x f y )
64, 5syl 16 . . . . 5  |-  ( A. x E* y  x f y  ->  A. x  e.  B  E* y  e.  A x f y )
76anim1i 552 . . . 4  |-  ( ( A. x E* y  x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y
f x )  -> 
( A. x  e.  B  E* y  e.  A x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y f x ) )
87eximi 1582 . . 3  |-  ( E. f ( A. x E* y  x f
y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y f
x )  ->  E. f
( A. x  e.  B  E* y  e.  A x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y f x ) )
92, 8sylbi 188 . 2  |-  ( A  ~<_  B  ->  E. f
( A. x  e.  B  E* y  e.  A x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y f x ) )
10 inss2 3522 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  C_  ( B  X.  A
)
11 dmss 5028 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) 
C_  ( B  X.  A )  ->  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) 
C_  dom  ( B  X.  A ) )
1210, 11ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  dom  (
f  i^i  ( B  X.  A ) )  C_  dom  ( B  X.  A
)
13 dmxpss 5259 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  dom  ( B  X.  A )  C_  B
1412, 13sstri 3317 . . . . . . . . . . . . 13  |-  dom  (
f  i^i  ( B  X.  A ) )  C_  B
1514sseli 3304 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  ->  x  e.  B )
16 rnss 5057 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) 
C_  ( B  X.  A )  ->  ran  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) 
C_  ran  ( B  X.  A ) )
1710, 16ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ran  (
f  i^i  ( B  X.  A ) )  C_  ran  ( B  X.  A
)
18 rnxpss 5260 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ran  ( B  X.  A )  C_  A
1917, 18sstri 3317 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ran  (
f  i^i  ( B  X.  A ) )  C_  A
2019sseli 3304 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ran  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  -> 
y  e.  A )
21 inss1 3521 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  C_  f
2221ssbri 4214 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) y  ->  x f
y )
2320, 22anim12i 550 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  ran  (
f  i^i  ( B  X.  A ) )  /\  x ( f  i^i  ( B  X.  A
) ) y )  ->  ( y  e.  A  /\  x f y ) )
2423moimi 2301 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E* y ( y  e.  A  /\  x f y )  ->  E* y ( y  e. 
ran  ( f  i^i  ( B  X.  A
) )  /\  x
( f  i^i  ( B  X.  A ) ) y ) )
25 df-rmo 2674 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E* y  e.  A x f y  <->  E* y
( y  e.  A  /\  x f y ) )
26 df-rmo 2674 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E* y  e.  ran  (
f  i^i  ( B  X.  A ) ) x ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) y  <->  E* y ( y  e.  ran  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  /\  x ( f  i^i  ( B  X.  A
) ) y ) )
2724, 25, 263imtr4i 258 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E* y  e.  A x f y  ->  E* y  e.  ran  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) x ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) y )
2815, 27imim12i 55 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  B  ->  E* y  e.  A x f y )  ->  ( x  e. 
dom  ( f  i^i  ( B  X.  A
) )  ->  E* y  e.  ran  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) x ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) y ) )
2928ralimi2 2738 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  B  E* y  e.  A x
f y  ->  A. x  e.  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A
) ) E* y  e.  ran  ( f  i^i  ( B  X.  A
) ) x ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) y )
30 relxp 4942 . . . . . . . . . . 11  |-  Rel  ( B  X.  A )
31 relin2 4952 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Rel  ( B  X.  A
)  ->  Rel  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) )
3230, 31ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  Rel  (
f  i^i  ( B  X.  A ) )
3329, 32jctil 524 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  B  E* y  e.  A x
f y  ->  ( Rel  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  /\  A. x  e. 
dom  ( f  i^i  ( B  X.  A
) ) E* y  e.  ran  ( f  i^i  ( B  X.  A
) ) x ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) y ) )
34 dffun9 5440 . . . . . . . . 9  |-  ( Fun  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  <-> 
( Rel  ( f  i^i  ( B  X.  A
) )  /\  A. x  e.  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) E* y  e.  ran  (
f  i^i  ( B  X.  A ) ) x ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) y ) )
3533, 34sylibr 204 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  B  E* y  e.  A x
f y  ->  Fun  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) )
36 funfn 5441 . . . . . . . 8  |-  ( Fun  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  <-> 
( f  i^i  ( B  X.  A ) )  Fn  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) )
3735, 36sylib 189 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  B  E* y  e.  A x
f y  ->  (
f  i^i  ( B  X.  A ) )  Fn 
dom  ( f  i^i  ( B  X.  A
) ) )
38 rninxp 5269 . . . . . . . 8  |-  ( ran  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  =  A  <->  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y f
x )
3938biimpri 198 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  y
f x  ->  ran  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  =  A )
4037, 39anim12i 550 . . . . . 6  |-  ( ( A. x  e.  B  E* y  e.  A x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y
f x )  -> 
( ( f  i^i  ( B  X.  A
) )  Fn  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  /\  ran  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  =  A ) )
41 df-fo 5419 . . . . . 6  |-  ( ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) : dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) -onto-> A  <-> 
( ( f  i^i  ( B  X.  A
) )  Fn  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  /\  ran  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  =  A ) )
4240, 41sylibr 204 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  B  E* y  e.  A x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y
f x )  -> 
( f  i^i  ( B  X.  A ) ) : dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) -onto-> A )
43 vex 2919 . . . . . . . 8  |-  f  e. 
_V
4443inex1 4304 . . . . . . 7  |-  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  e. 
_V
4544dmex 5091 . . . . . 6  |-  dom  (
f  i^i  ( B  X.  A ) )  e. 
_V
4645fodom 8358 . . . . 5  |-  ( ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) : dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) -onto-> A  ->  A  ~<_  dom  (
f  i^i  ( B  X.  A ) ) )
4742, 46syl 16 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  B  E* y  e.  A x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y
f x )  ->  A  ~<_  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A
) ) )
48 ssdomg 7112 . . . . 5  |-  ( B  e.  _V  ->  ( dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) 
C_  B  ->  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  ~<_  B ) )
491, 14, 48mp2 9 . . . 4  |-  dom  (
f  i^i  ( B  X.  A ) )  ~<_  B
50 domtr 7119 . . . 4  |-  ( ( A  ~<_  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A
) )  /\  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  ~<_  B )  ->  A  ~<_  B )
5147, 49, 50sylancl 644 . . 3  |-  ( ( A. x  e.  B  E* y  e.  A x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y
f x )  ->  A  ~<_  B )
5251exlimiv 1641 . 2  |-  ( E. f ( A. x  e.  B  E* y  e.  A x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y f x )  ->  A  ~<_  B )
539, 52impbii 181 1  |-  ( A  ~<_  B  <->  E. f ( A. x  e.  B  E* y  e.  A x
f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y
f x ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359   A.wal 1546   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721   E*wmo 2255   A.wral 2666   E.wrex 2667   E*wrmo 2669   _Vcvv 2916    i^i cin 3279    C_ wss 3280   class class class wbr 4172    X. cxp 4835   dom cdm 4837   ran crn 4838   Rel wrel 4842   Fun wfun 5407    Fn wfn 5408   -onto->wfo 5411    ~<_ cdom 7066
This theorem is referenced by:  brdom7disj  8365
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-ac2 8299
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-suc 4547  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-card 7782  df-acn 7785  df-ac 7953
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