Theorem brdom3 8945

Description: Equivalence to a dominance relation. (Contributed by NM, 27-Mar-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
brdom3.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
brdom3	|- ( A ~<_ B <-> E. f ( A. x E* y x f y /\ A. x e. A E. y e. B y f x ) )

Distinct variable groups:   x, f, y, A   B, f, x, y

Proof of Theorem brdom3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldom 7574	. . . . . . . . 9 |- Rel ~<_
2	1	brrelexi 4886	. . . . . . . 8 |- ( A ~<_ B -> A e. _V )
3		0sdomg 7698	. . . . . . . 8 |- ( A e. _V -> ( (/) ~< A <-> A =/= (/) ) )
4	2, 3	syl 17	. . . . . . 7 |- ( A ~<_ B -> ( (/) ~< A <-> A =/= (/) ) )
5		df-ne 2618	. . . . . . 7 |- ( A =/= (/) <-> -. A = (/) )
6	4, 5	syl6bb 264	. . . . . 6 |- ( A ~<_ B -> ( (/) ~< A <-> -. A = (/) ) )
7	6	biimpar 487	. . . . 5 |- ( ( A ~<_ B /\ -. A = (/) ) -> (/) ~< A )
8		fodomr 7720	. . . . . 6 |- ( ( (/) ~< A /\ A ~<_ B ) -> E. f f : B -onto-> A )
9	8	ancoms 454	. . . . 5 |- ( ( A ~<_ B /\ (/) ~< A ) -> E. f f : B -onto-> A )
10	7, 9	syldan 472	. . . 4 |- ( ( A ~<_ B /\ -. A = (/) ) -> E. f f : B -onto-> A )
11		pm5.6 920	. . . 4 |- ( ( ( A ~<_ B /\ -. A = (/) ) -> E. f f : B -onto-> A ) <-> ( A ~<_ B -> ( A = (/) \/ E. f f : B -onto-> A ) ) )
12	10, 11	mpbi 211	. . 3 |- ( A ~<_ B -> ( A = (/) \/ E. f f : B -onto-> A ) )
13		br0 4463	. . . . . . . 8 |- -. x (/) y
14	13	nex 1674	. . . . . . 7 |- -. E. y x (/) y
15		exmo 2289	. . . . . . 7 |- ( E. y x (/) y \/ E* y x (/) y )
16	14, 15	mtpor 1649	. . . . . 6 |- E* y x (/) y
17	16	ax-gen 1665	. . . . 5 |- A. x E* y x (/) y
18		rzal 3896	. . . . 5 |- ( A = (/) -> A. x e. A E. y e. B y (/) x )
19		0ex 4548	. . . . . 6 |- (/) e. _V
20		breq 4419	. . . . . . . . 9 |- ( f = (/) -> ( x f y <-> x (/) y ) )
21	20	mobidv 2285	. . . . . . . 8 |- ( f = (/) -> ( E* y x f y <-> E* y x (/) y ) )
22	21	albidv 1757	. . . . . . 7 |- ( f = (/) -> ( A. x E* y x f y <-> A. x E* y x (/) y ) )
23		breq 4419	. . . . . . . . 9 |- ( f = (/) -> ( y f x <-> y (/) x ) )
24	23	rexbidv 2937	. . . . . . . 8 |- ( f = (/) -> ( E. y e. B y f x <-> E. y e. B y (/) x ) )
25	24	ralbidv 2862	. . . . . . 7 |- ( f = (/) -> ( A. x e. A E. y e. B y f x <-> A. x e. A E. y e. B y (/) x ) )
26	22, 25	anbi12d 715	. . . . . 6 |- ( f = (/) -> ( ( A. x E* y x f y /\ A. x e. A E. y e. B y f x ) <-> ( A. x E* y x (/) y /\ A. x e. A E. y e. B y (/) x ) ) )
27	19, 26	spcev 3170	. . . . 5 |- ( ( A. x E* y x (/) y /\ A. x e. A E. y e. B y (/) x ) -> E. f ( A. x E* y x f y /\ A. x e. A E. y e. B y f x ) )
28	17, 18, 27	sylancr 667	. . . 4 |- ( A = (/) -> E. f ( A. x E* y x f y /\ A. x e. A E. y e. B y f x ) )
29		fofun 5802	. . . . . . 7 |- ( f : B -onto-> A -> Fun f )
30		dffun6 5607	. . . . . . . 8 |- ( Fun f <-> ( Rel f /\ A. x E* y x f y ) )
31	30	simprbi 465	. . . . . . 7 |- ( Fun f -> A. x E* y x f y )
32	29, 31	syl 17	. . . . . 6 |- ( f : B -onto-> A -> A. x E* y x f y )
33		dffo4 6044	. . . . . . 7 |- ( f : B -onto-> A <-> ( f : B --> A /\ A. x e. A E. y e. B y f x ) )
34	33	simprbi 465	. . . . . 6 |- ( f : B -onto-> A -> A. x e. A E. y e. B y f x )
35	32, 34	jca 534	. . . . 5 |- ( f : B -onto-> A -> ( A. x E* y x f y /\ A. x e. A E. y e. B y f x ) )
36	35	eximi 1702	. . . 4 |- ( E. f f : B -onto-> A -> E. f ( A. x E* y x f y /\ A. x e. A E. y e. B y f x ) )
37	28, 36	jaoi 380	. . 3 |- ( ( A = (/) \/ E. f f : B -onto-> A ) -> E. f ( A. x E* y x f y /\ A. x e. A E. y e. B y f x ) )
38	12, 37	syl 17	. 2 |- ( A ~<_ B -> E. f ( A. x E* y x f y /\ A. x e. A E. y e. B y f x ) )
39		inss1 3679	. . . . . . . . . . 11 |- ( f i^i ( B X. A ) ) C_ f
40	39	ssbri 4459	. . . . . . . . . 10 |- ( x ( f i^i ( B X. A ) ) y -> x f y )
41	40	moimi 2314	. . . . . . . . 9 |- ( E* y x f y -> E* y x ( f i^i ( B X. A ) ) y )
42	41	alimi 1680	. . . . . . . 8 |- ( A. x E* y x f y -> A. x E* y x ( f i^i ( B X. A ) ) y )
43		relxp 4953	. . . . . . . . . 10 |- Rel ( B X. A )
44		relin2 4963	. . . . . . . . . 10 |- ( Rel ( B X. A ) -> Rel ( f i^i ( B X. A ) ) )
45	43, 44	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- Rel ( f i^i ( B X. A ) )
46		dffun6 5607	. . . . . . . . 9 |- ( Fun ( f i^i ( B X. A ) ) <-> ( Rel ( f i^i ( B X. A ) ) /\ A. x E* y x ( f i^i ( B X. A ) ) y ) )
47	45, 46	mpbiran 926	. . . . . . . 8 |- ( Fun ( f i^i ( B X. A ) ) <-> A. x E* y x ( f i^i ( B X. A ) ) y )
48	42, 47	sylibr 215	. . . . . . 7 |- ( A. x E* y x f y -> Fun ( f i^i ( B X. A ) ) )
49		funfn 5621	. . . . . . 7 |- ( Fun ( f i^i ( B X. A ) ) <-> ( f i^i ( B X. A ) ) Fn dom ( f i^i ( B X. A ) ) )
50	48, 49	sylib 199	. . . . . 6 |- ( A. x E* y x f y -> ( f i^i ( B X. A ) ) Fn dom ( f i^i ( B X. A ) ) )
51		rninxp 5287	. . . . . . 7 |- ( ran ( f i^i ( B X. A ) ) = A <-> A. x e. A E. y e. B y f x )
52	51	biimpri 209	. . . . . 6 |- ( A. x e. A E. y e. B y f x -> ran ( f i^i ( B X. A ) ) = A )
53	50, 52	anim12i 568	. . . . 5 |- ( ( A. x E* y x f y /\ A. x e. A E. y e. B y f x ) -> ( ( f i^i ( B X. A ) ) Fn dom ( f i^i ( B X. A ) ) /\ ran ( f i^i ( B X. A ) ) = A ) )
54		df-fo 5598	. . . . 5 |- ( ( f i^i ( B X. A ) ) : dom ( f i^i ( B X. A ) ) -onto-> A <-> ( ( f i^i ( B X. A ) ) Fn dom ( f i^i ( B X. A ) ) /\ ran ( f i^i ( B X. A ) ) = A ) )
55	53, 54	sylibr 215	. . . 4 |- ( ( A. x E* y x f y /\ A. x e. A E. y e. B y f x ) -> ( f i^i ( B X. A ) ) : dom ( f i^i ( B X. A ) ) -onto-> A )
56		vex 3081	. . . . . . 7 |- f e. _V
57	56	inex1 4557	. . . . . 6 |- ( f i^i ( B X. A ) ) e. _V
58	57	dmex 6731	. . . . 5 |- dom ( f i^i ( B X. A ) ) e. _V
59	58	fodom 8941	. . . 4 |- ( ( f i^i ( B X. A ) ) : dom ( f i^i ( B X. A ) ) -onto-> A -> A ~<_ dom ( f i^i ( B X. A ) ) )
60		brdom3.2	. . . . . 6 |- B e. _V
61		inss2 3680	. . . . . . . 8 |- ( f i^i ( B X. A ) ) C_ ( B X. A )
62		dmss 5045	. . . . . . . 8 |- ( ( f i^i ( B X. A ) ) C_ ( B X. A ) -> dom ( f i^i ( B X. A ) ) C_ dom ( B X. A ) )
63	61, 62	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- dom ( f i^i ( B X. A ) ) C_ dom ( B X. A )
64		dmxpss 5279	. . . . . . 7 |- dom ( B X. A ) C_ B
65	63, 64	sstri 3470	. . . . . 6 |- dom ( f i^i ( B X. A ) ) C_ B
66		ssdomg 7613	. . . . . 6 |- ( B e. _V -> ( dom ( f i^i ( B X. A ) ) C_ B -> dom ( f i^i ( B X. A ) ) ~<_ B ) )
67	60, 65, 66	mp2 9	. . . . 5 |- dom ( f i^i ( B X. A ) ) ~<_ B
68		domtr 7620	. . . . 5 |- ( ( A ~<_ dom ( f i^i ( B X. A ) ) /\ dom ( f i^i ( B X. A ) ) ~<_ B ) -> A ~<_ B )
69	67, 68	mpan2 675	. . . 4 |- ( A ~<_ dom ( f i^i ( B X. A ) ) -> A ~<_ B )
70	55, 59, 69	3syl 18	. . 3 |- ( ( A. x E* y x f y /\ A. x e. A E. y e. B y f x ) -> A ~<_ B )
71	70	exlimiv 1766	. 2 |- ( E. f ( A. x E* y x f y /\ A. x e. A E. y e. B y f x ) -> A ~<_ B )
72	38, 71	impbii 190	1 |- ( A ~<_ B <-> E. f ( A. x E* y x f y /\ A. x e. A E. y e. B y f x ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 187   \/ wo 369   /\ wa 370   A.wal 1435   = wceq 1437   E.wex 1659   e. wcel 1867   E*wmo 2264   =/= wne 2616   A.wral 2773   E.wrex 2774   _Vcvv 3078   i^i cin 3432   C_ wss 3433   (/)c0 3758   class class class wbr 4417   X. cxp 4843   dom cdm 4845   ran crn 4846   Rel wrel 4850   Fun wfun 5586   Fn wfn 5587   -->wf 5588   -onto->wfo 5590   ~<_ cdom 7566   ~< csdm 7567

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-ac2 8882

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-se 4805  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-isom 5601  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-er 7362  df-map 7473  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-card 8363  df-acn 8366  df-ac 8536

This theorem is referenced by:  brdom5  8946  brdom4  8947