Theorem brdom3 8695

Description: Equivalence to a dominance relation. (Contributed by NM, 27-Mar-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
brdom3.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
brdom3	|- ( A ~<_ B <-> E. f ( A. x E* y x f y /\ A. x e. A E. y e. B y f x ) )

Distinct variable groups:   x, f, y, A   B, f, x, y

Proof of Theorem brdom3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldom 7316	. . . . . . . . 9 |- Rel ~<_
2	1	brrelexi 4879	. . . . . . . 8 |- ( A ~<_ B -> A e. _V )
3		0sdomg 7440	. . . . . . . 8 |- ( A e. _V -> ( (/) ~< A <-> A =/= (/) ) )
4	2, 3	syl 16	. . . . . . 7 |- ( A ~<_ B -> ( (/) ~< A <-> A =/= (/) ) )
5		df-ne 2608	. . . . . . 7 |- ( A =/= (/) <-> -. A = (/) )
6	4, 5	syl6bb 261	. . . . . 6 |- ( A ~<_ B -> ( (/) ~< A <-> -. A = (/) ) )
7	6	biimpar 485	. . . . 5 |- ( ( A ~<_ B /\ -. A = (/) ) -> (/) ~< A )
8		fodomr 7462	. . . . . 6 |- ( ( (/) ~< A /\ A ~<_ B ) -> E. f f : B -onto-> A )
9	8	ancoms 453	. . . . 5 |- ( ( A ~<_ B /\ (/) ~< A ) -> E. f f : B -onto-> A )
10	7, 9	syldan 470	. . . 4 |- ( ( A ~<_ B /\ -. A = (/) ) -> E. f f : B -onto-> A )
11		pm5.6 903	. . . 4 |- ( ( ( A ~<_ B /\ -. A = (/) ) -> E. f f : B -onto-> A ) <-> ( A ~<_ B -> ( A = (/) \/ E. f f : B -onto-> A ) ) )
12	10, 11	mpbi 208	. . 3 |- ( A ~<_ B -> ( A = (/) \/ E. f f : B -onto-> A ) )
13		noel 3641	. . . . . . . . 9 |- -. <. x , y >. e. (/)
14		df-br 4293	. . . . . . . . 9 |- ( x (/) y <-> <. x , y >. e. (/) )
15	13, 14	mtbir 299	. . . . . . . 8 |- -. x (/) y
16	15	nex 1600	. . . . . . 7 |- -. E. y x (/) y
17		exmo 2282	. . . . . . 7 |- ( E. y x (/) y \/ E* y x (/) y )
18	16, 17	mtpor 1577	. . . . . 6 |- E* y x (/) y
19	18	ax-gen 1591	. . . . 5 |- A. x E* y x (/) y
20		rzal 3781	. . . . 5 |- ( A = (/) -> A. x e. A E. y e. B y (/) x )
21		0ex 4422	. . . . . 6 |- (/) e. _V
22		breq 4294	. . . . . . . . 9 |- ( f = (/) -> ( x f y <-> x (/) y ) )
23	22	mobidv 2277	. . . . . . . 8 |- ( f = (/) -> ( E* y x f y <-> E* y x (/) y ) )
24	23	albidv 1679	. . . . . . 7 |- ( f = (/) -> ( A. x E* y x f y <-> A. x E* y x (/) y ) )
25		breq 4294	. . . . . . . . 9 |- ( f = (/) -> ( y f x <-> y (/) x ) )
26	25	rexbidv 2736	. . . . . . . 8 |- ( f = (/) -> ( E. y e. B y f x <-> E. y e. B y (/) x ) )
27	26	ralbidv 2735	. . . . . . 7 |- ( f = (/) -> ( A. x e. A E. y e. B y f x <-> A. x e. A E. y e. B y (/) x ) )
28	24, 27	anbi12d 710	. . . . . 6 |- ( f = (/) -> ( ( A. x E* y x f y /\ A. x e. A E. y e. B y f x ) <-> ( A. x E* y x (/) y /\ A. x e. A E. y e. B y (/) x ) ) )
29	21, 28	spcev 3064	. . . . 5 |- ( ( A. x E* y x (/) y /\ A. x e. A E. y e. B y (/) x ) -> E. f ( A. x E* y x f y /\ A. x e. A E. y e. B y f x ) )
30	19, 20, 29	sylancr 663	. . . 4 |- ( A = (/) -> E. f ( A. x E* y x f y /\ A. x e. A E. y e. B y f x ) )
31		fofun 5621	. . . . . . 7 |- ( f : B -onto-> A -> Fun f )
32		dffun6 5433	. . . . . . . 8 |- ( Fun f <-> ( Rel f /\ A. x E* y x f y ) )
33	32	simprbi 464	. . . . . . 7 |- ( Fun f -> A. x E* y x f y )
34	31, 33	syl 16	. . . . . 6 |- ( f : B -onto-> A -> A. x E* y x f y )
35		dffo4 5859	. . . . . . 7 |- ( f : B -onto-> A <-> ( f : B --> A /\ A. x e. A E. y e. B y f x ) )
36	35	simprbi 464	. . . . . 6 |- ( f : B -onto-> A -> A. x e. A E. y e. B y f x )
37	34, 36	jca 532	. . . . 5 |- ( f : B -onto-> A -> ( A. x E* y x f y /\ A. x e. A E. y e. B y f x ) )
38	37	eximi 1625	. . . 4 |- ( E. f f : B -onto-> A -> E. f ( A. x E* y x f y /\ A. x e. A E. y e. B y f x ) )
39	30, 38	jaoi 379	. . 3 |- ( ( A = (/) \/ E. f f : B -onto-> A ) -> E. f ( A. x E* y x f y /\ A. x e. A E. y e. B y f x ) )
40	12, 39	syl 16	. 2 |- ( A ~<_ B -> E. f ( A. x E* y x f y /\ A. x e. A E. y e. B y f x ) )
41		inss1 3570	. . . . . . . . . . 11 |- ( f i^i ( B X. A ) ) C_ f
42	41	ssbri 4334	. . . . . . . . . 10 |- ( x ( f i^i ( B X. A ) ) y -> x f y )
43	42	moimi 2320	. . . . . . . . 9 |- ( E* y x f y -> E* y x ( f i^i ( B X. A ) ) y )
44	43	alimi 1604	. . . . . . . 8 |- ( A. x E* y x f y -> A. x E* y x ( f i^i ( B X. A ) ) y )
45		relxp 4947	. . . . . . . . . 10 |- Rel ( B X. A )
46		relin2 4958	. . . . . . . . . 10 |- ( Rel ( B X. A ) -> Rel ( f i^i ( B X. A ) ) )
47	45, 46	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- Rel ( f i^i ( B X. A ) )
48		dffun6 5433	. . . . . . . . 9 |- ( Fun ( f i^i ( B X. A ) ) <-> ( Rel ( f i^i ( B X. A ) ) /\ A. x E* y x ( f i^i ( B X. A ) ) y ) )
49	47, 48	mpbiran 909	. . . . . . . 8 |- ( Fun ( f i^i ( B X. A ) ) <-> A. x E* y x ( f i^i ( B X. A ) ) y )
50	44, 49	sylibr 212	. . . . . . 7 |- ( A. x E* y x f y -> Fun ( f i^i ( B X. A ) ) )
51		funfn 5447	. . . . . . 7 |- ( Fun ( f i^i ( B X. A ) ) <-> ( f i^i ( B X. A ) ) Fn dom ( f i^i ( B X. A ) ) )
52	50, 51	sylib 196	. . . . . 6 |- ( A. x E* y x f y -> ( f i^i ( B X. A ) ) Fn dom ( f i^i ( B X. A ) ) )
53		rninxp 5277	. . . . . . 7 |- ( ran ( f i^i ( B X. A ) ) = A <-> A. x e. A E. y e. B y f x )
54	53	biimpri 206	. . . . . 6 |- ( A. x e. A E. y e. B y f x -> ran ( f i^i ( B X. A ) ) = A )
55	52, 54	anim12i 566	. . . . 5 |- ( ( A. x E* y x f y /\ A. x e. A E. y e. B y f x ) -> ( ( f i^i ( B X. A ) ) Fn dom ( f i^i ( B X. A ) ) /\ ran ( f i^i ( B X. A ) ) = A ) )
56		df-fo 5424	. . . . 5 |- ( ( f i^i ( B X. A ) ) : dom ( f i^i ( B X. A ) ) -onto-> A <-> ( ( f i^i ( B X. A ) ) Fn dom ( f i^i ( B X. A ) ) /\ ran ( f i^i ( B X. A ) ) = A ) )
57	55, 56	sylibr 212	. . . 4 |- ( ( A. x E* y x f y /\ A. x e. A E. y e. B y f x ) -> ( f i^i ( B X. A ) ) : dom ( f i^i ( B X. A ) ) -onto-> A )
58		vex 2975	. . . . . . 7 |- f e. _V
59	58	inex1 4433	. . . . . 6 |- ( f i^i ( B X. A ) ) e. _V
60	59	dmex 6511	. . . . 5 |- dom ( f i^i ( B X. A ) ) e. _V
61	60	fodom 8691	. . . 4 |- ( ( f i^i ( B X. A ) ) : dom ( f i^i ( B X. A ) ) -onto-> A -> A ~<_ dom ( f i^i ( B X. A ) ) )
62		brdom3.2	. . . . . 6 |- B e. _V
63		inss2 3571	. . . . . . . 8 |- ( f i^i ( B X. A ) ) C_ ( B X. A )
64		dmss 5039	. . . . . . . 8 |- ( ( f i^i ( B X. A ) ) C_ ( B X. A ) -> dom ( f i^i ( B X. A ) ) C_ dom ( B X. A ) )
65	63, 64	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- dom ( f i^i ( B X. A ) ) C_ dom ( B X. A )
66		dmxpss 5269	. . . . . . 7 |- dom ( B X. A ) C_ B
67	65, 66	sstri 3365	. . . . . 6 |- dom ( f i^i ( B X. A ) ) C_ B
68		ssdomg 7355	. . . . . 6 |- ( B e. _V -> ( dom ( f i^i ( B X. A ) ) C_ B -> dom ( f i^i ( B X. A ) ) ~<_ B ) )
69	62, 67, 68	mp2 9	. . . . 5 |- dom ( f i^i ( B X. A ) ) ~<_ B
70		domtr 7362	. . . . 5 |- ( ( A ~<_ dom ( f i^i ( B X. A ) ) /\ dom ( f i^i ( B X. A ) ) ~<_ B ) -> A ~<_ B )
71	69, 70	mpan2 671	. . . 4 |- ( A ~<_ dom ( f i^i ( B X. A ) ) -> A ~<_ B )
72	57, 61, 71	3syl 20	. . 3 |- ( ( A. x E* y x f y /\ A. x e. A E. y e. B y f x ) -> A ~<_ B )
73	72	exlimiv 1688	. 2 |- ( E. f ( A. x E* y x f y /\ A. x e. A E. y e. B y f x ) -> A ~<_ B )
74	40, 73	impbii 188	1 |- ( A ~<_ B <-> E. f ( A. x E* y x f y /\ A. x e. A E. y e. B y f x ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   A.wal 1367   = wceq 1369   E.wex 1586   e. wcel 1756   E*wmo 2254   =/= wne 2606   A.wral 2715   E.wrex 2716   _Vcvv 2972   i^i cin 3327   C_ wss 3328   (/)c0 3637   <.cop 3883   class class class wbr 4292   X. cxp 4838   dom cdm 4840   ran crn 4841   Rel wrel 4845   Fun wfun 5412   Fn wfn 5413   -->wf 5414   -onto->wfo 5416   ~<_ cdom 7308   ~< csdm 7309

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-ac2 8632

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-er 7101  df-map 7216  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-card 8109  df-acn 8112  df-ac 8286

This theorem is referenced by:  brdom5  8696  brdom4  8697