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Theorem brdom3 8897
Description: Equivalence to a dominance relation. (Contributed by NM, 27-Mar-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
brdom3.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
brdom3  |-  ( A  ~<_  B  <->  E. f ( A. x E* y  x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y f
x ) )
Distinct variable groups:    x, f,
y, A    B, f, x, y

Proof of Theorem brdom3
StepHypRef Expression
1 reldom 7515 . . . . . . . . 9  |-  Rel  ~<_
21brrelexi 5029 . . . . . . . 8  |-  ( A  ~<_  B  ->  A  e.  _V )
3 0sdomg 7639 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  _V  ->  ( (/) 
~<  A  <->  A  =/=  (/) ) )
42, 3syl 16 . . . . . . 7  |-  ( A  ~<_  B  ->  ( (/)  ~<  A  <->  A  =/=  (/) ) )
5 df-ne 2651 . . . . . . 7  |-  ( A  =/=  (/)  <->  -.  A  =  (/) )
64, 5syl6bb 261 . . . . . 6  |-  ( A  ~<_  B  ->  ( (/)  ~<  A  <->  -.  A  =  (/) ) )
76biimpar 483 . . . . 5  |-  ( ( A  ~<_  B  /\  -.  A  =  (/) )  ->  (/) 
~<  A )
8 fodomr 7661 . . . . . 6  |-  ( (
(/)  ~<  A  /\  A  ~<_  B )  ->  E. f 
f : B -onto-> A
)
98ancoms 451 . . . . 5  |-  ( ( A  ~<_  B  /\  (/)  ~<  A )  ->  E. f  f : B -onto-> A )
107, 9syldan 468 . . . 4  |-  ( ( A  ~<_  B  /\  -.  A  =  (/) )  ->  E. f  f : B -onto-> A )
11 pm5.6 910 . . . 4  |-  ( ( ( A  ~<_  B  /\  -.  A  =  (/) )  ->  E. f  f : B -onto-> A )  <->  ( A  ~<_  B  ->  ( A  =  (/)  \/  E. f  f : B -onto-> A ) ) )
1210, 11mpbi 208 . . 3  |-  ( A  ~<_  B  ->  ( A  =  (/)  \/  E. f 
f : B -onto-> A
) )
13 br0 4485 . . . . . . . 8  |-  -.  x (/) y
1413nex 1632 . . . . . . 7  |-  -.  E. y  x (/) y
15 exmo 2311 . . . . . . 7  |-  ( E. y  x (/) y  \/ 
E* y  x (/) y )
1614, 15mtpor 1607 . . . . . 6  |-  E* y  x (/) y
1716ax-gen 1623 . . . . 5  |-  A. x E* y  x (/) y
18 rzal 3919 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y (/) x )
19 0ex 4569 . . . . . 6  |-  (/)  e.  _V
20 breq 4441 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  (/)  ->  ( x f y  <->  x (/) y ) )
2120mobidv 2307 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  (/)  ->  ( E* y  x f y  <->  E* y  x (/) y ) )
2221albidv 1718 . . . . . . 7  |-  ( f  =  (/)  ->  ( A. x E* y  x f y  <->  A. x E* y  x (/) y ) )
23 breq 4441 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  (/)  ->  ( y f x  <->  y (/) x ) )
2423rexbidv 2965 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  (/)  ->  ( E. y  e.  B  y f x  <->  E. y  e.  B  y (/) x ) )
2524ralbidv 2893 . . . . . . 7  |-  ( f  =  (/)  ->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  y
f x  <->  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y (/) x ) )
2622, 25anbi12d 708 . . . . . 6  |-  ( f  =  (/)  ->  ( ( A. x E* y  x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y
f x )  <->  ( A. x E* y  x (/) y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y (/) x ) ) )
2719, 26spcev 3198 . . . . 5  |-  ( ( A. x E* y  x (/) y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y (/) x )  ->  E. f
( A. x E* y  x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y f x ) )
2817, 18, 27sylancr 661 . . . 4  |-  ( A  =  (/)  ->  E. f
( A. x E* y  x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y f x ) )
29 fofun 5778 . . . . . . 7  |-  ( f : B -onto-> A  ->  Fun  f )
30 dffun6 5585 . . . . . . . 8  |-  ( Fun  f  <->  ( Rel  f  /\  A. x E* y  x f y ) )
3130simprbi 462 . . . . . . 7  |-  ( Fun  f  ->  A. x E* y  x f
y )
3229, 31syl 16 . . . . . 6  |-  ( f : B -onto-> A  ->  A. x E* y  x f y )
33 dffo4 6023 . . . . . . 7  |-  ( f : B -onto-> A  <->  ( f : B --> A  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y
f x ) )
3433simprbi 462 . . . . . 6  |-  ( f : B -onto-> A  ->  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y f x )
3532, 34jca 530 . . . . 5  |-  ( f : B -onto-> A  -> 
( A. x E* y  x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y f x ) )
3635eximi 1661 . . . 4  |-  ( E. f  f : B -onto-> A  ->  E. f ( A. x E* y  x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y f
x ) )
3728, 36jaoi 377 . . 3  |-  ( ( A  =  (/)  \/  E. f  f : B -onto-> A )  ->  E. f
( A. x E* y  x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y f x ) )
3812, 37syl 16 . 2  |-  ( A  ~<_  B  ->  E. f
( A. x E* y  x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y f x ) )
39 inss1 3704 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  C_  f
4039ssbri 4481 . . . . . . . . . 10  |-  ( x ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) y  ->  x f
y )
4140moimi 2338 . . . . . . . . 9  |-  ( E* y  x f y  ->  E* y  x ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) y )
4241alimi 1638 . . . . . . . 8  |-  ( A. x E* y  x f y  ->  A. x E* y  x (
f  i^i  ( B  X.  A ) ) y )
43 relxp 5098 . . . . . . . . . 10  |-  Rel  ( B  X.  A )
44 relin2 5109 . . . . . . . . . 10  |-  ( Rel  ( B  X.  A
)  ->  Rel  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) )
4543, 44ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  Rel  (
f  i^i  ( B  X.  A ) )
46 dffun6 5585 . . . . . . . . 9  |-  ( Fun  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  <-> 
( Rel  ( f  i^i  ( B  X.  A
) )  /\  A. x E* y  x ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) y ) )
4745, 46mpbiran 916 . . . . . . . 8  |-  ( Fun  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  <->  A. x E* y  x ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) y )
4842, 47sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( A. x E* y  x f y  ->  Fun  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) )
49 funfn 5599 . . . . . . 7  |-  ( Fun  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  <-> 
( f  i^i  ( B  X.  A ) )  Fn  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) )
5048, 49sylib 196 . . . . . 6  |-  ( A. x E* y  x f y  ->  ( f  i^i  ( B  X.  A
) )  Fn  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) )
51 rninxp 5431 . . . . . . 7  |-  ( ran  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  =  A  <->  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y f
x )
5251biimpri 206 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  y
f x  ->  ran  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  =  A )
5350, 52anim12i 564 . . . . 5  |-  ( ( A. x E* y  x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y
f x )  -> 
( ( f  i^i  ( B  X.  A
) )  Fn  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  /\  ran  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  =  A ) )
54 df-fo 5576 . . . . 5  |-  ( ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) : dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) -onto-> A  <-> 
( ( f  i^i  ( B  X.  A
) )  Fn  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  /\  ran  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  =  A ) )
5553, 54sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( A. x E* y  x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y
f x )  -> 
( f  i^i  ( B  X.  A ) ) : dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) -onto-> A )
56 vex 3109 . . . . . . 7  |-  f  e. 
_V
5756inex1 4578 . . . . . 6  |-  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  e. 
_V
5857dmex 6706 . . . . 5  |-  dom  (
f  i^i  ( B  X.  A ) )  e. 
_V
5958fodom 8893 . . . 4  |-  ( ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) : dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) -onto-> A  ->  A  ~<_  dom  (
f  i^i  ( B  X.  A ) ) )
60 brdom3.2 . . . . . 6  |-  B  e. 
_V
61 inss2 3705 . . . . . . . 8  |-  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  C_  ( B  X.  A
)
62 dmss 5191 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) 
C_  ( B  X.  A )  ->  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) 
C_  dom  ( B  X.  A ) )
6361, 62ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  dom  (
f  i^i  ( B  X.  A ) )  C_  dom  ( B  X.  A
)
64 dmxpss 5423 . . . . . . 7  |-  dom  ( B  X.  A )  C_  B
6563, 64sstri 3498 . . . . . 6  |-  dom  (
f  i^i  ( B  X.  A ) )  C_  B
66 ssdomg 7554 . . . . . 6  |-  ( B  e.  _V  ->  ( dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) 
C_  B  ->  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  ~<_  B ) )
6760, 65, 66mp2 9 . . . . 5  |-  dom  (
f  i^i  ( B  X.  A ) )  ~<_  B
68 domtr 7561 . . . . 5  |-  ( ( A  ~<_  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A
) )  /\  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  ~<_  B )  ->  A  ~<_  B )
6967, 68mpan2 669 . . . 4  |-  ( A  ~<_  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A
) )  ->  A  ~<_  B )
7055, 59, 693syl 20 . . 3  |-  ( ( A. x E* y  x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y
f x )  ->  A  ~<_  B )
7170exlimiv 1727 . 2  |-  ( E. f ( A. x E* y  x f
y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y f
x )  ->  A  ~<_  B )
7238, 71impbii 188 1  |-  ( A  ~<_  B  <->  E. f ( A. x E* y  x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y f
x ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367   A.wal 1396    = wceq 1398   E.wex 1617    e. wcel 1823   E*wmo 2285    =/= wne 2649   A.wral 2804   E.wrex 2805   _Vcvv 3106    i^i cin 3460    C_ wss 3461   (/)c0 3783   class class class wbr 4439    X. cxp 4986   dom cdm 4988   ran crn 4989   Rel wrel 4993   Fun wfun 5564    Fn wfn 5565   -->wf 5566   -onto->wfo 5568    ~<_ cdom 7507    ~< csdm 7508
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-ac2 8834
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-card 8311  df-acn 8314  df-ac 8488
This theorem is referenced by:  brdom5  8898  brdom4  8899
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