Theorem brdom3 8897

Description: Equivalence to a dominance relation. (Contributed by NM, 27-Mar-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
brdom3.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
brdom3	|- ( A ~<_ B <-> E. f ( A. x E* y x f y /\ A. x e. A E. y e. B y f x ) )

Distinct variable groups:   x, f, y, A   B, f, x, y

Proof of Theorem brdom3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldom 7515	. . . . . . . . 9 |- Rel ~<_
2	1	brrelexi 5029	. . . . . . . 8 |- ( A ~<_ B -> A e. _V )
3		0sdomg 7639	. . . . . . . 8 |- ( A e. _V -> ( (/) ~< A <-> A =/= (/) ) )
4	2, 3	syl 16	. . . . . . 7 |- ( A ~<_ B -> ( (/) ~< A <-> A =/= (/) ) )
5		df-ne 2651	. . . . . . 7 |- ( A =/= (/) <-> -. A = (/) )
6	4, 5	syl6bb 261	. . . . . 6 |- ( A ~<_ B -> ( (/) ~< A <-> -. A = (/) ) )
7	6	biimpar 483	. . . . 5 |- ( ( A ~<_ B /\ -. A = (/) ) -> (/) ~< A )
8		fodomr 7661	. . . . . 6 |- ( ( (/) ~< A /\ A ~<_ B ) -> E. f f : B -onto-> A )
9	8	ancoms 451	. . . . 5 |- ( ( A ~<_ B /\ (/) ~< A ) -> E. f f : B -onto-> A )
10	7, 9	syldan 468	. . . 4 |- ( ( A ~<_ B /\ -. A = (/) ) -> E. f f : B -onto-> A )
11		pm5.6 910	. . . 4 |- ( ( ( A ~<_ B /\ -. A = (/) ) -> E. f f : B -onto-> A ) <-> ( A ~<_ B -> ( A = (/) \/ E. f f : B -onto-> A ) ) )
12	10, 11	mpbi 208	. . 3 |- ( A ~<_ B -> ( A = (/) \/ E. f f : B -onto-> A ) )
13		br0 4485	. . . . . . . 8 |- -. x (/) y
14	13	nex 1632	. . . . . . 7 |- -. E. y x (/) y
15		exmo 2311	. . . . . . 7 |- ( E. y x (/) y \/ E* y x (/) y )
16	14, 15	mtpor 1607	. . . . . 6 |- E* y x (/) y
17	16	ax-gen 1623	. . . . 5 |- A. x E* y x (/) y
18		rzal 3919	. . . . 5 |- ( A = (/) -> A. x e. A E. y e. B y (/) x )
19		0ex 4569	. . . . . 6 |- (/) e. _V
20		breq 4441	. . . . . . . . 9 |- ( f = (/) -> ( x f y <-> x (/) y ) )
21	20	mobidv 2307	. . . . . . . 8 |- ( f = (/) -> ( E* y x f y <-> E* y x (/) y ) )
22	21	albidv 1718	. . . . . . 7 |- ( f = (/) -> ( A. x E* y x f y <-> A. x E* y x (/) y ) )
23		breq 4441	. . . . . . . . 9 |- ( f = (/) -> ( y f x <-> y (/) x ) )
24	23	rexbidv 2965	. . . . . . . 8 |- ( f = (/) -> ( E. y e. B y f x <-> E. y e. B y (/) x ) )
25	24	ralbidv 2893	. . . . . . 7 |- ( f = (/) -> ( A. x e. A E. y e. B y f x <-> A. x e. A E. y e. B y (/) x ) )
26	22, 25	anbi12d 708	. . . . . 6 |- ( f = (/) -> ( ( A. x E* y x f y /\ A. x e. A E. y e. B y f x ) <-> ( A. x E* y x (/) y /\ A. x e. A E. y e. B y (/) x ) ) )
27	19, 26	spcev 3198	. . . . 5 |- ( ( A. x E* y x (/) y /\ A. x e. A E. y e. B y (/) x ) -> E. f ( A. x E* y x f y /\ A. x e. A E. y e. B y f x ) )
28	17, 18, 27	sylancr 661	. . . 4 |- ( A = (/) -> E. f ( A. x E* y x f y /\ A. x e. A E. y e. B y f x ) )
29		fofun 5778	. . . . . . 7 |- ( f : B -onto-> A -> Fun f )
30		dffun6 5585	. . . . . . . 8 |- ( Fun f <-> ( Rel f /\ A. x E* y x f y ) )
31	30	simprbi 462	. . . . . . 7 |- ( Fun f -> A. x E* y x f y )
32	29, 31	syl 16	. . . . . 6 |- ( f : B -onto-> A -> A. x E* y x f y )
33		dffo4 6023	. . . . . . 7 |- ( f : B -onto-> A <-> ( f : B --> A /\ A. x e. A E. y e. B y f x ) )
34	33	simprbi 462	. . . . . 6 |- ( f : B -onto-> A -> A. x e. A E. y e. B y f x )
35	32, 34	jca 530	. . . . 5 |- ( f : B -onto-> A -> ( A. x E* y x f y /\ A. x e. A E. y e. B y f x ) )
36	35	eximi 1661	. . . 4 |- ( E. f f : B -onto-> A -> E. f ( A. x E* y x f y /\ A. x e. A E. y e. B y f x ) )
37	28, 36	jaoi 377	. . 3 |- ( ( A = (/) \/ E. f f : B -onto-> A ) -> E. f ( A. x E* y x f y /\ A. x e. A E. y e. B y f x ) )
38	12, 37	syl 16	. 2 |- ( A ~<_ B -> E. f ( A. x E* y x f y /\ A. x e. A E. y e. B y f x ) )
39		inss1 3704	. . . . . . . . . . 11 |- ( f i^i ( B X. A ) ) C_ f
40	39	ssbri 4481	. . . . . . . . . 10 |- ( x ( f i^i ( B X. A ) ) y -> x f y )
41	40	moimi 2338	. . . . . . . . 9 |- ( E* y x f y -> E* y x ( f i^i ( B X. A ) ) y )
42	41	alimi 1638	. . . . . . . 8 |- ( A. x E* y x f y -> A. x E* y x ( f i^i ( B X. A ) ) y )
43		relxp 5098	. . . . . . . . . 10 |- Rel ( B X. A )
44		relin2 5109	. . . . . . . . . 10 |- ( Rel ( B X. A ) -> Rel ( f i^i ( B X. A ) ) )
45	43, 44	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- Rel ( f i^i ( B X. A ) )
46		dffun6 5585	. . . . . . . . 9 |- ( Fun ( f i^i ( B X. A ) ) <-> ( Rel ( f i^i ( B X. A ) ) /\ A. x E* y x ( f i^i ( B X. A ) ) y ) )
47	45, 46	mpbiran 916	. . . . . . . 8 |- ( Fun ( f i^i ( B X. A ) ) <-> A. x E* y x ( f i^i ( B X. A ) ) y )
48	42, 47	sylibr 212	. . . . . . 7 |- ( A. x E* y x f y -> Fun ( f i^i ( B X. A ) ) )
49		funfn 5599	. . . . . . 7 |- ( Fun ( f i^i ( B X. A ) ) <-> ( f i^i ( B X. A ) ) Fn dom ( f i^i ( B X. A ) ) )
50	48, 49	sylib 196	. . . . . 6 |- ( A. x E* y x f y -> ( f i^i ( B X. A ) ) Fn dom ( f i^i ( B X. A ) ) )
51		rninxp 5431	. . . . . . 7 |- ( ran ( f i^i ( B X. A ) ) = A <-> A. x e. A E. y e. B y f x )
52	51	biimpri 206	. . . . . 6 |- ( A. x e. A E. y e. B y f x -> ran ( f i^i ( B X. A ) ) = A )
53	50, 52	anim12i 564	. . . . 5 |- ( ( A. x E* y x f y /\ A. x e. A E. y e. B y f x ) -> ( ( f i^i ( B X. A ) ) Fn dom ( f i^i ( B X. A ) ) /\ ran ( f i^i ( B X. A ) ) = A ) )
54		df-fo 5576	. . . . 5 |- ( ( f i^i ( B X. A ) ) : dom ( f i^i ( B X. A ) ) -onto-> A <-> ( ( f i^i ( B X. A ) ) Fn dom ( f i^i ( B X. A ) ) /\ ran ( f i^i ( B X. A ) ) = A ) )
55	53, 54	sylibr 212	. . . 4 |- ( ( A. x E* y x f y /\ A. x e. A E. y e. B y f x ) -> ( f i^i ( B X. A ) ) : dom ( f i^i ( B X. A ) ) -onto-> A )
56		vex 3109	. . . . . . 7 |- f e. _V
57	56	inex1 4578	. . . . . 6 |- ( f i^i ( B X. A ) ) e. _V
58	57	dmex 6706	. . . . 5 |- dom ( f i^i ( B X. A ) ) e. _V
59	58	fodom 8893	. . . 4 |- ( ( f i^i ( B X. A ) ) : dom ( f i^i ( B X. A ) ) -onto-> A -> A ~<_ dom ( f i^i ( B X. A ) ) )
60		brdom3.2	. . . . . 6 |- B e. _V
61		inss2 3705	. . . . . . . 8 |- ( f i^i ( B X. A ) ) C_ ( B X. A )
62		dmss 5191	. . . . . . . 8 |- ( ( f i^i ( B X. A ) ) C_ ( B X. A ) -> dom ( f i^i ( B X. A ) ) C_ dom ( B X. A ) )
63	61, 62	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- dom ( f i^i ( B X. A ) ) C_ dom ( B X. A )
64		dmxpss 5423	. . . . . . 7 |- dom ( B X. A ) C_ B
65	63, 64	sstri 3498	. . . . . 6 |- dom ( f i^i ( B X. A ) ) C_ B
66		ssdomg 7554	. . . . . 6 |- ( B e. _V -> ( dom ( f i^i ( B X. A ) ) C_ B -> dom ( f i^i ( B X. A ) ) ~<_ B ) )
67	60, 65, 66	mp2 9	. . . . 5 |- dom ( f i^i ( B X. A ) ) ~<_ B
68		domtr 7561	. . . . 5 |- ( ( A ~<_ dom ( f i^i ( B X. A ) ) /\ dom ( f i^i ( B X. A ) ) ~<_ B ) -> A ~<_ B )
69	67, 68	mpan2 669	. . . 4 |- ( A ~<_ dom ( f i^i ( B X. A ) ) -> A ~<_ B )
70	55, 59, 69	3syl 20	. . 3 |- ( ( A. x E* y x f y /\ A. x e. A E. y e. B y f x ) -> A ~<_ B )
71	70	exlimiv 1727	. 2 |- ( E. f ( A. x E* y x f y /\ A. x e. A E. y e. B y f x ) -> A ~<_ B )
72	38, 71	impbii 188	1 |- ( A ~<_ B <-> E. f ( A. x E* y x f y /\ A. x e. A E. y e. B y f x ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 366   /\ wa 367   A.wal 1396   = wceq 1398   E.wex 1617   e. wcel 1823   E*wmo 2285   =/= wne 2649   A.wral 2804   E.wrex 2805   _Vcvv 3106   i^i cin 3460   C_ wss 3461   (/)c0 3783   class class class wbr 4439   X. cxp 4986   dom cdm 4988   ran crn 4989   Rel wrel 4993   Fun wfun 5564   Fn wfn 5565   -->wf 5566   -onto->wfo 5568   ~<_ cdom 7507   ~< csdm 7508

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-ac2 8834

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-card 8311  df-acn 8314  df-ac 8488

This theorem is referenced by:  brdom5  8898  brdom4  8899