Theorem brdom3 8691

Description: Equivalence to a dominance relation. (Contributed by NM, 27-Mar-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
brdom3.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
brdom3	|- ( A ~<_ B <-> E. f ( A. x E* y x f y /\ A. x e. A E. y e. B y f x ) )

Distinct variable groups:   x, f, y, A   B, f, x, y

Proof of Theorem brdom3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldom 7312	. . . . . . . . 9 |- Rel ~<_
2	1	brrelexi 4875	. . . . . . . 8 |- ( A ~<_ B -> A e. _V )
3		0sdomg 7436	. . . . . . . 8 |- ( A e. _V -> ( (/) ~< A <-> A =/= (/) ) )
4	2, 3	syl 16	. . . . . . 7 |- ( A ~<_ B -> ( (/) ~< A <-> A =/= (/) ) )
5		df-ne 2606	. . . . . . 7 |- ( A =/= (/) <-> -. A = (/) )
6	4, 5	syl6bb 261	. . . . . 6 |- ( A ~<_ B -> ( (/) ~< A <-> -. A = (/) ) )
7	6	biimpar 482	. . . . 5 |- ( ( A ~<_ B /\ -. A = (/) ) -> (/) ~< A )
8		fodomr 7458	. . . . . 6 |- ( ( (/) ~< A /\ A ~<_ B ) -> E. f f : B -onto-> A )
9	8	ancoms 450	. . . . 5 |- ( ( A ~<_ B /\ (/) ~< A ) -> E. f f : B -onto-> A )
10	7, 9	syldan 467	. . . 4 |- ( ( A ~<_ B /\ -. A = (/) ) -> E. f f : B -onto-> A )
11		pm5.6 898	. . . 4 |- ( ( ( A ~<_ B /\ -. A = (/) ) -> E. f f : B -onto-> A ) <-> ( A ~<_ B -> ( A = (/) \/ E. f f : B -onto-> A ) ) )
12	10, 11	mpbi 208	. . 3 |- ( A ~<_ B -> ( A = (/) \/ E. f f : B -onto-> A ) )
13		noel 3638	. . . . . . . . 9 |- -. <. x , y >. e. (/)
14		df-br 4290	. . . . . . . . 9 |- ( x (/) y <-> <. x , y >. e. (/) )
15	13, 14	mtbir 299	. . . . . . . 8 |- -. x (/) y
16	15	nex 1605	. . . . . . 7 |- -. E. y x (/) y
17		exmo 2285	. . . . . . 7 |- ( E. y x (/) y \/ E* y x (/) y )
18	16, 17	mtpor 1582	. . . . . 6 |- E* y x (/) y
19	18	ax-gen 1596	. . . . 5 |- A. x E* y x (/) y
20		rzal 3778	. . . . 5 |- ( A = (/) -> A. x e. A E. y e. B y (/) x )
21		0ex 4419	. . . . . 6 |- (/) e. _V
22		breq 4291	. . . . . . . . 9 |- ( f = (/) -> ( x f y <-> x (/) y ) )
23	22	mobidv 2280	. . . . . . . 8 |- ( f = (/) -> ( E* y x f y <-> E* y x (/) y ) )
24	23	albidv 1684	. . . . . . 7 |- ( f = (/) -> ( A. x E* y x f y <-> A. x E* y x (/) y ) )
25		breq 4291	. . . . . . . . 9 |- ( f = (/) -> ( y f x <-> y (/) x ) )
26	25	rexbidv 2734	. . . . . . . 8 |- ( f = (/) -> ( E. y e. B y f x <-> E. y e. B y (/) x ) )
27	26	ralbidv 2733	. . . . . . 7 |- ( f = (/) -> ( A. x e. A E. y e. B y f x <-> A. x e. A E. y e. B y (/) x ) )
28	24, 27	anbi12d 705	. . . . . 6 |- ( f = (/) -> ( ( A. x E* y x f y /\ A. x e. A E. y e. B y f x ) <-> ( A. x E* y x (/) y /\ A. x e. A E. y e. B y (/) x ) ) )
29	21, 28	spcev 3061	. . . . 5 |- ( ( A. x E* y x (/) y /\ A. x e. A E. y e. B y (/) x ) -> E. f ( A. x E* y x f y /\ A. x e. A E. y e. B y f x ) )
30	19, 20, 29	sylancr 658	. . . 4 |- ( A = (/) -> E. f ( A. x E* y x f y /\ A. x e. A E. y e. B y f x ) )
31		fofun 5618	. . . . . . 7 |- ( f : B -onto-> A -> Fun f )
32		dffun6 5430	. . . . . . . 8 |- ( Fun f <-> ( Rel f /\ A. x E* y x f y ) )
33	32	simprbi 461	. . . . . . 7 |- ( Fun f -> A. x E* y x f y )
34	31, 33	syl 16	. . . . . 6 |- ( f : B -onto-> A -> A. x E* y x f y )
35		dffo4 5856	. . . . . . 7 |- ( f : B -onto-> A <-> ( f : B --> A /\ A. x e. A E. y e. B y f x ) )
36	35	simprbi 461	. . . . . 6 |- ( f : B -onto-> A -> A. x e. A E. y e. B y f x )
37	34, 36	jca 529	. . . . 5 |- ( f : B -onto-> A -> ( A. x E* y x f y /\ A. x e. A E. y e. B y f x ) )
38	37	eximi 1630	. . . 4 |- ( E. f f : B -onto-> A -> E. f ( A. x E* y x f y /\ A. x e. A E. y e. B y f x ) )
39	30, 38	jaoi 379	. . 3 |- ( ( A = (/) \/ E. f f : B -onto-> A ) -> E. f ( A. x E* y x f y /\ A. x e. A E. y e. B y f x ) )
40	12, 39	syl 16	. 2 |- ( A ~<_ B -> E. f ( A. x E* y x f y /\ A. x e. A E. y e. B y f x ) )
41		inss1 3567	. . . . . . . . . . 11 |- ( f i^i ( B X. A ) ) C_ f
42	41	ssbri 4331	. . . . . . . . . 10 |- ( x ( f i^i ( B X. A ) ) y -> x f y )
43	42	moimi 2323	. . . . . . . . 9 |- ( E* y x f y -> E* y x ( f i^i ( B X. A ) ) y )
44	43	alimi 1609	. . . . . . . 8 |- ( A. x E* y x f y -> A. x E* y x ( f i^i ( B X. A ) ) y )
45		relxp 4943	. . . . . . . . . 10 |- Rel ( B X. A )
46		relin2 4954	. . . . . . . . . 10 |- ( Rel ( B X. A ) -> Rel ( f i^i ( B X. A ) ) )
47	45, 46	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- Rel ( f i^i ( B X. A ) )
48		dffun6 5430	. . . . . . . . 9 |- ( Fun ( f i^i ( B X. A ) ) <-> ( Rel ( f i^i ( B X. A ) ) /\ A. x E* y x ( f i^i ( B X. A ) ) y ) )
49	47, 48	mpbiran 904	. . . . . . . 8 |- ( Fun ( f i^i ( B X. A ) ) <-> A. x E* y x ( f i^i ( B X. A ) ) y )
50	44, 49	sylibr 212	. . . . . . 7 |- ( A. x E* y x f y -> Fun ( f i^i ( B X. A ) ) )
51		funfn 5444	. . . . . . 7 |- ( Fun ( f i^i ( B X. A ) ) <-> ( f i^i ( B X. A ) ) Fn dom ( f i^i ( B X. A ) ) )
52	50, 51	sylib 196	. . . . . 6 |- ( A. x E* y x f y -> ( f i^i ( B X. A ) ) Fn dom ( f i^i ( B X. A ) ) )
53		rninxp 5274	. . . . . . 7 |- ( ran ( f i^i ( B X. A ) ) = A <-> A. x e. A E. y e. B y f x )
54	53	biimpri 206	. . . . . 6 |- ( A. x e. A E. y e. B y f x -> ran ( f i^i ( B X. A ) ) = A )
55	52, 54	anim12i 563	. . . . 5 |- ( ( A. x E* y x f y /\ A. x e. A E. y e. B y f x ) -> ( ( f i^i ( B X. A ) ) Fn dom ( f i^i ( B X. A ) ) /\ ran ( f i^i ( B X. A ) ) = A ) )
56		df-fo 5421	. . . . 5 |- ( ( f i^i ( B X. A ) ) : dom ( f i^i ( B X. A ) ) -onto-> A <-> ( ( f i^i ( B X. A ) ) Fn dom ( f i^i ( B X. A ) ) /\ ran ( f i^i ( B X. A ) ) = A ) )
57	55, 56	sylibr 212	. . . 4 |- ( ( A. x E* y x f y /\ A. x e. A E. y e. B y f x ) -> ( f i^i ( B X. A ) ) : dom ( f i^i ( B X. A ) ) -onto-> A )
58		vex 2973	. . . . . . 7 |- f e. _V
59	58	inex1 4430	. . . . . 6 |- ( f i^i ( B X. A ) ) e. _V
60	59	dmex 6510	. . . . 5 |- dom ( f i^i ( B X. A ) ) e. _V
61	60	fodom 8687	. . . 4 |- ( ( f i^i ( B X. A ) ) : dom ( f i^i ( B X. A ) ) -onto-> A -> A ~<_ dom ( f i^i ( B X. A ) ) )
62		brdom3.2	. . . . . 6 |- B e. _V
63		inss2 3568	. . . . . . . 8 |- ( f i^i ( B X. A ) ) C_ ( B X. A )
64		dmss 5035	. . . . . . . 8 |- ( ( f i^i ( B X. A ) ) C_ ( B X. A ) -> dom ( f i^i ( B X. A ) ) C_ dom ( B X. A ) )
65	63, 64	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- dom ( f i^i ( B X. A ) ) C_ dom ( B X. A )
66		dmxpss 5266	. . . . . . 7 |- dom ( B X. A ) C_ B
67	65, 66	sstri 3362	. . . . . 6 |- dom ( f i^i ( B X. A ) ) C_ B
68		ssdomg 7351	. . . . . 6 |- ( B e. _V -> ( dom ( f i^i ( B X. A ) ) C_ B -> dom ( f i^i ( B X. A ) ) ~<_ B ) )
69	62, 67, 68	mp2 9	. . . . 5 |- dom ( f i^i ( B X. A ) ) ~<_ B
70		domtr 7358	. . . . 5 |- ( ( A ~<_ dom ( f i^i ( B X. A ) ) /\ dom ( f i^i ( B X. A ) ) ~<_ B ) -> A ~<_ B )
71	69, 70	mpan2 666	. . . 4 |- ( A ~<_ dom ( f i^i ( B X. A ) ) -> A ~<_ B )
72	57, 61, 71	3syl 20	. . 3 |- ( ( A. x E* y x f y /\ A. x e. A E. y e. B y f x ) -> A ~<_ B )
73	72	exlimiv 1693	. 2 |- ( E. f ( A. x E* y x f y /\ A. x e. A E. y e. B y f x ) -> A ~<_ B )
74	40, 73	impbii 188	1 |- ( A ~<_ B <-> E. f ( A. x E* y x f y /\ A. x e. A E. y e. B y f x ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   A.wal 1362   = wceq 1364   E.wex 1591   e. wcel 1761   E*wmo 2258   =/= wne 2604   A.wral 2713   E.wrex 2714   _Vcvv 2970   i^i cin 3324   C_ wss 3325   (/)c0 3634   <.cop 3880   class class class wbr 4289   X. cxp 4834   dom cdm 4836   ran crn 4837   Rel wrel 4841   Fun wfun 5409   Fn wfn 5410   -->wf 5411   -onto->wfo 5413   ~<_ cdom 7304   ~< csdm 7305

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-ac2 8628

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-er 7097  df-map 7212  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-card 8105  df-acn 8108  df-ac 8282

This theorem is referenced by:  brdom5  8692  brdom4  8693