Theorem brdom3 8956

Description: Equivalence to a dominance relation. (Contributed by NM, 27-Mar-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
brdom3.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
brdom3	|- ( A ~<_ B <-> E. f ( A. x E* y x f y /\ A. x e. A E. y e. B y f x ) )

Distinct variable groups:   x, f, y, A   B, f, x, y

Proof of Theorem brdom3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldom 7575	. . . . . . . . 9 |- Rel ~<_
2	1	brrelexi 4875	. . . . . . . 8 |- ( A ~<_ B -> A e. _V )
3		0sdomg 7701	. . . . . . . 8 |- ( A e. _V -> ( (/) ~< A <-> A =/= (/) ) )
4	2, 3	syl 17	. . . . . . 7 |- ( A ~<_ B -> ( (/) ~< A <-> A =/= (/) ) )
5		df-ne 2624	. . . . . . 7 |- ( A =/= (/) <-> -. A = (/) )
6	4, 5	syl6bb 265	. . . . . 6 |- ( A ~<_ B -> ( (/) ~< A <-> -. A = (/) ) )
7	6	biimpar 488	. . . . 5 |- ( ( A ~<_ B /\ -. A = (/) ) -> (/) ~< A )
8		fodomr 7723	. . . . . 6 |- ( ( (/) ~< A /\ A ~<_ B ) -> E. f f : B -onto-> A )
9	8	ancoms 455	. . . . 5 |- ( ( A ~<_ B /\ (/) ~< A ) -> E. f f : B -onto-> A )
10	7, 9	syldan 473	. . . 4 |- ( ( A ~<_ B /\ -. A = (/) ) -> E. f f : B -onto-> A )
11		pm5.6 923	. . . 4 |- ( ( ( A ~<_ B /\ -. A = (/) ) -> E. f f : B -onto-> A ) <-> ( A ~<_ B -> ( A = (/) \/ E. f f : B -onto-> A ) ) )
12	10, 11	mpbi 212	. . 3 |- ( A ~<_ B -> ( A = (/) \/ E. f f : B -onto-> A ) )
13		br0 4449	. . . . . . . 8 |- -. x (/) y
14	13	nex 1678	. . . . . . 7 |- -. E. y x (/) y
15		exmo 2324	. . . . . . 7 |- ( E. y x (/) y \/ E* y x (/) y )
16	14, 15	mtpor 1653	. . . . . 6 |- E* y x (/) y
17	16	ax-gen 1669	. . . . 5 |- A. x E* y x (/) y
18		rzal 3871	. . . . 5 |- ( A = (/) -> A. x e. A E. y e. B y (/) x )
19		0ex 4535	. . . . . 6 |- (/) e. _V
20		breq 4404	. . . . . . . . 9 |- ( f = (/) -> ( x f y <-> x (/) y ) )
21	20	mobidv 2320	. . . . . . . 8 |- ( f = (/) -> ( E* y x f y <-> E* y x (/) y ) )
22	21	albidv 1767	. . . . . . 7 |- ( f = (/) -> ( A. x E* y x f y <-> A. x E* y x (/) y ) )
23		breq 4404	. . . . . . . . 9 |- ( f = (/) -> ( y f x <-> y (/) x ) )
24	23	rexbidv 2901	. . . . . . . 8 |- ( f = (/) -> ( E. y e. B y f x <-> E. y e. B y (/) x ) )
25	24	ralbidv 2827	. . . . . . 7 |- ( f = (/) -> ( A. x e. A E. y e. B y f x <-> A. x e. A E. y e. B y (/) x ) )
26	22, 25	anbi12d 717	. . . . . 6 |- ( f = (/) -> ( ( A. x E* y x f y /\ A. x e. A E. y e. B y f x ) <-> ( A. x E* y x (/) y /\ A. x e. A E. y e. B y (/) x ) ) )
27	19, 26	spcev 3141	. . . . 5 |- ( ( A. x E* y x (/) y /\ A. x e. A E. y e. B y (/) x ) -> E. f ( A. x E* y x f y /\ A. x e. A E. y e. B y f x ) )
28	17, 18, 27	sylancr 669	. . . 4 |- ( A = (/) -> E. f ( A. x E* y x f y /\ A. x e. A E. y e. B y f x ) )
29		fofun 5794	. . . . . . 7 |- ( f : B -onto-> A -> Fun f )
30		dffun6 5597	. . . . . . . 8 |- ( Fun f <-> ( Rel f /\ A. x E* y x f y ) )
31	30	simprbi 466	. . . . . . 7 |- ( Fun f -> A. x E* y x f y )
32	29, 31	syl 17	. . . . . 6 |- ( f : B -onto-> A -> A. x E* y x f y )
33		dffo4 6038	. . . . . . 7 |- ( f : B -onto-> A <-> ( f : B --> A /\ A. x e. A E. y e. B y f x ) )
34	33	simprbi 466	. . . . . 6 |- ( f : B -onto-> A -> A. x e. A E. y e. B y f x )
35	32, 34	jca 535	. . . . 5 |- ( f : B -onto-> A -> ( A. x E* y x f y /\ A. x e. A E. y e. B y f x ) )
36	35	eximi 1707	. . . 4 |- ( E. f f : B -onto-> A -> E. f ( A. x E* y x f y /\ A. x e. A E. y e. B y f x ) )
37	28, 36	jaoi 381	. . 3 |- ( ( A = (/) \/ E. f f : B -onto-> A ) -> E. f ( A. x E* y x f y /\ A. x e. A E. y e. B y f x ) )
38	12, 37	syl 17	. 2 |- ( A ~<_ B -> E. f ( A. x E* y x f y /\ A. x e. A E. y e. B y f x ) )
39		inss1 3652	. . . . . . . . . . 11 |- ( f i^i ( B X. A ) ) C_ f
40	39	ssbri 4445	. . . . . . . . . 10 |- ( x ( f i^i ( B X. A ) ) y -> x f y )
41	40	moimi 2349	. . . . . . . . 9 |- ( E* y x f y -> E* y x ( f i^i ( B X. A ) ) y )
42	41	alimi 1684	. . . . . . . 8 |- ( A. x E* y x f y -> A. x E* y x ( f i^i ( B X. A ) ) y )
43		relxp 4942	. . . . . . . . . 10 |- Rel ( B X. A )
44		relin2 4952	. . . . . . . . . 10 |- ( Rel ( B X. A ) -> Rel ( f i^i ( B X. A ) ) )
45	43, 44	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- Rel ( f i^i ( B X. A ) )
46		dffun6 5597	. . . . . . . . 9 |- ( Fun ( f i^i ( B X. A ) ) <-> ( Rel ( f i^i ( B X. A ) ) /\ A. x E* y x ( f i^i ( B X. A ) ) y ) )
47	45, 46	mpbiran 929	. . . . . . . 8 |- ( Fun ( f i^i ( B X. A ) ) <-> A. x E* y x ( f i^i ( B X. A ) ) y )
48	42, 47	sylibr 216	. . . . . . 7 |- ( A. x E* y x f y -> Fun ( f i^i ( B X. A ) ) )
49		funfn 5611	. . . . . . 7 |- ( Fun ( f i^i ( B X. A ) ) <-> ( f i^i ( B X. A ) ) Fn dom ( f i^i ( B X. A ) ) )
50	48, 49	sylib 200	. . . . . 6 |- ( A. x E* y x f y -> ( f i^i ( B X. A ) ) Fn dom ( f i^i ( B X. A ) ) )
51		rninxp 5276	. . . . . . 7 |- ( ran ( f i^i ( B X. A ) ) = A <-> A. x e. A E. y e. B y f x )
52	51	biimpri 210	. . . . . 6 |- ( A. x e. A E. y e. B y f x -> ran ( f i^i ( B X. A ) ) = A )
53	50, 52	anim12i 570	. . . . 5 |- ( ( A. x E* y x f y /\ A. x e. A E. y e. B y f x ) -> ( ( f i^i ( B X. A ) ) Fn dom ( f i^i ( B X. A ) ) /\ ran ( f i^i ( B X. A ) ) = A ) )
54		df-fo 5588	. . . . 5 |- ( ( f i^i ( B X. A ) ) : dom ( f i^i ( B X. A ) ) -onto-> A <-> ( ( f i^i ( B X. A ) ) Fn dom ( f i^i ( B X. A ) ) /\ ran ( f i^i ( B X. A ) ) = A ) )
55	53, 54	sylibr 216	. . . 4 |- ( ( A. x E* y x f y /\ A. x e. A E. y e. B y f x ) -> ( f i^i ( B X. A ) ) : dom ( f i^i ( B X. A ) ) -onto-> A )
56		vex 3048	. . . . . . 7 |- f e. _V
57	56	inex1 4544	. . . . . 6 |- ( f i^i ( B X. A ) ) e. _V
58	57	dmex 6726	. . . . 5 |- dom ( f i^i ( B X. A ) ) e. _V
59	58	fodom 8952	. . . 4 |- ( ( f i^i ( B X. A ) ) : dom ( f i^i ( B X. A ) ) -onto-> A -> A ~<_ dom ( f i^i ( B X. A ) ) )
60		brdom3.2	. . . . . 6 |- B e. _V
61		inss2 3653	. . . . . . . 8 |- ( f i^i ( B X. A ) ) C_ ( B X. A )
62		dmss 5034	. . . . . . . 8 |- ( ( f i^i ( B X. A ) ) C_ ( B X. A ) -> dom ( f i^i ( B X. A ) ) C_ dom ( B X. A ) )
63	61, 62	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- dom ( f i^i ( B X. A ) ) C_ dom ( B X. A )
64		dmxpss 5268	. . . . . . 7 |- dom ( B X. A ) C_ B
65	63, 64	sstri 3441	. . . . . 6 |- dom ( f i^i ( B X. A ) ) C_ B
66		ssdomg 7615	. . . . . 6 |- ( B e. _V -> ( dom ( f i^i ( B X. A ) ) C_ B -> dom ( f i^i ( B X. A ) ) ~<_ B ) )
67	60, 65, 66	mp2 9	. . . . 5 |- dom ( f i^i ( B X. A ) ) ~<_ B
68		domtr 7622	. . . . 5 |- ( ( A ~<_ dom ( f i^i ( B X. A ) ) /\ dom ( f i^i ( B X. A ) ) ~<_ B ) -> A ~<_ B )
69	67, 68	mpan2 677	. . . 4 |- ( A ~<_ dom ( f i^i ( B X. A ) ) -> A ~<_ B )
70	55, 59, 69	3syl 18	. . 3 |- ( ( A. x E* y x f y /\ A. x e. A E. y e. B y f x ) -> A ~<_ B )
71	70	exlimiv 1776	. 2 |- ( E. f ( A. x E* y x f y /\ A. x e. A E. y e. B y f x ) -> A ~<_ B )
72	38, 71	impbii 191	1 |- ( A ~<_ B <-> E. f ( A. x E* y x f y /\ A. x e. A E. y e. B y f x ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   \/ wo 370   /\ wa 371   A.wal 1442   = wceq 1444   E.wex 1663   e. wcel 1887   E*wmo 2300   =/= wne 2622   A.wral 2737   E.wrex 2738   _Vcvv 3045   i^i cin 3403   C_ wss 3404   (/)c0 3731   class class class wbr 4402   X. cxp 4832   dom cdm 4834   ran crn 4835   Rel wrel 4839   Fun wfun 5576   Fn wfn 5577   -->wf 5578   -onto->wfo 5580   ~<_ cdom 7567   ~< csdm 7568

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-ac2 8893

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-card 8373  df-acn 8376  df-ac 8547

This theorem is referenced by:  brdom5  8957  brdom4  8958