Theorem brdom3 8906

Description: Equivalence to a dominance relation. (Contributed by NM, 27-Mar-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
brdom3.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
brdom3	|- ( A ~<_ B <-> E. f ( A. x E* y x f y /\ A. x e. A E. y e. B y f x ) )

Distinct variable groups:   x, f, y, A   B, f, x, y

Proof of Theorem brdom3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldom 7522	. . . . . . . . 9 |- Rel ~<_
2	1	brrelexi 5040	. . . . . . . 8 |- ( A ~<_ B -> A e. _V )
3		0sdomg 7646	. . . . . . . 8 |- ( A e. _V -> ( (/) ~< A <-> A =/= (/) ) )
4	2, 3	syl 16	. . . . . . 7 |- ( A ~<_ B -> ( (/) ~< A <-> A =/= (/) ) )
5		df-ne 2664	. . . . . . 7 |- ( A =/= (/) <-> -. A = (/) )
6	4, 5	syl6bb 261	. . . . . 6 |- ( A ~<_ B -> ( (/) ~< A <-> -. A = (/) ) )
7	6	biimpar 485	. . . . 5 |- ( ( A ~<_ B /\ -. A = (/) ) -> (/) ~< A )
8		fodomr 7668	. . . . . 6 |- ( ( (/) ~< A /\ A ~<_ B ) -> E. f f : B -onto-> A )
9	8	ancoms 453	. . . . 5 |- ( ( A ~<_ B /\ (/) ~< A ) -> E. f f : B -onto-> A )
10	7, 9	syldan 470	. . . 4 |- ( ( A ~<_ B /\ -. A = (/) ) -> E. f f : B -onto-> A )
11		pm5.6 910	. . . 4 |- ( ( ( A ~<_ B /\ -. A = (/) ) -> E. f f : B -onto-> A ) <-> ( A ~<_ B -> ( A = (/) \/ E. f f : B -onto-> A ) ) )
12	10, 11	mpbi 208	. . 3 |- ( A ~<_ B -> ( A = (/) \/ E. f f : B -onto-> A ) )
13		noel 3789	. . . . . . . . 9 |- -. <. x , y >. e. (/)
14		df-br 4448	. . . . . . . . 9 |- ( x (/) y <-> <. x , y >. e. (/) )
15	13, 14	mtbir 299	. . . . . . . 8 |- -. x (/) y
16	15	nex 1610	. . . . . . 7 |- -. E. y x (/) y
17		exmo 2304	. . . . . . 7 |- ( E. y x (/) y \/ E* y x (/) y )
18	16, 17	mtpor 1587	. . . . . 6 |- E* y x (/) y
19	18	ax-gen 1601	. . . . 5 |- A. x E* y x (/) y
20		rzal 3929	. . . . 5 |- ( A = (/) -> A. x e. A E. y e. B y (/) x )
21		0ex 4577	. . . . . 6 |- (/) e. _V
22		breq 4449	. . . . . . . . 9 |- ( f = (/) -> ( x f y <-> x (/) y ) )
23	22	mobidv 2299	. . . . . . . 8 |- ( f = (/) -> ( E* y x f y <-> E* y x (/) y ) )
24	23	albidv 1689	. . . . . . 7 |- ( f = (/) -> ( A. x E* y x f y <-> A. x E* y x (/) y ) )
25		breq 4449	. . . . . . . . 9 |- ( f = (/) -> ( y f x <-> y (/) x ) )
26	25	rexbidv 2973	. . . . . . . 8 |- ( f = (/) -> ( E. y e. B y f x <-> E. y e. B y (/) x ) )
27	26	ralbidv 2903	. . . . . . 7 |- ( f = (/) -> ( A. x e. A E. y e. B y f x <-> A. x e. A E. y e. B y (/) x ) )
28	24, 27	anbi12d 710	. . . . . 6 |- ( f = (/) -> ( ( A. x E* y x f y /\ A. x e. A E. y e. B y f x ) <-> ( A. x E* y x (/) y /\ A. x e. A E. y e. B y (/) x ) ) )
29	21, 28	spcev 3205	. . . . 5 |- ( ( A. x E* y x (/) y /\ A. x e. A E. y e. B y (/) x ) -> E. f ( A. x E* y x f y /\ A. x e. A E. y e. B y f x ) )
30	19, 20, 29	sylancr 663	. . . 4 |- ( A = (/) -> E. f ( A. x E* y x f y /\ A. x e. A E. y e. B y f x ) )
31		fofun 5796	. . . . . . 7 |- ( f : B -onto-> A -> Fun f )
32		dffun6 5603	. . . . . . . 8 |- ( Fun f <-> ( Rel f /\ A. x E* y x f y ) )
33	32	simprbi 464	. . . . . . 7 |- ( Fun f -> A. x E* y x f y )
34	31, 33	syl 16	. . . . . 6 |- ( f : B -onto-> A -> A. x E* y x f y )
35		dffo4 6037	. . . . . . 7 |- ( f : B -onto-> A <-> ( f : B --> A /\ A. x e. A E. y e. B y f x ) )
36	35	simprbi 464	. . . . . 6 |- ( f : B -onto-> A -> A. x e. A E. y e. B y f x )
37	34, 36	jca 532	. . . . 5 |- ( f : B -onto-> A -> ( A. x E* y x f y /\ A. x e. A E. y e. B y f x ) )
38	37	eximi 1635	. . . 4 |- ( E. f f : B -onto-> A -> E. f ( A. x E* y x f y /\ A. x e. A E. y e. B y f x ) )
39	30, 38	jaoi 379	. . 3 |- ( ( A = (/) \/ E. f f : B -onto-> A ) -> E. f ( A. x E* y x f y /\ A. x e. A E. y e. B y f x ) )
40	12, 39	syl 16	. 2 |- ( A ~<_ B -> E. f ( A. x E* y x f y /\ A. x e. A E. y e. B y f x ) )
41		inss1 3718	. . . . . . . . . . 11 |- ( f i^i ( B X. A ) ) C_ f
42	41	ssbri 4489	. . . . . . . . . 10 |- ( x ( f i^i ( B X. A ) ) y -> x f y )
43	42	moimi 2342	. . . . . . . . 9 |- ( E* y x f y -> E* y x ( f i^i ( B X. A ) ) y )
44	43	alimi 1614	. . . . . . . 8 |- ( A. x E* y x f y -> A. x E* y x ( f i^i ( B X. A ) ) y )
45		relxp 5110	. . . . . . . . . 10 |- Rel ( B X. A )
46		relin2 5121	. . . . . . . . . 10 |- ( Rel ( B X. A ) -> Rel ( f i^i ( B X. A ) ) )
47	45, 46	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- Rel ( f i^i ( B X. A ) )
48		dffun6 5603	. . . . . . . . 9 |- ( Fun ( f i^i ( B X. A ) ) <-> ( Rel ( f i^i ( B X. A ) ) /\ A. x E* y x ( f i^i ( B X. A ) ) y ) )
49	47, 48	mpbiran 916	. . . . . . . 8 |- ( Fun ( f i^i ( B X. A ) ) <-> A. x E* y x ( f i^i ( B X. A ) ) y )
50	44, 49	sylibr 212	. . . . . . 7 |- ( A. x E* y x f y -> Fun ( f i^i ( B X. A ) ) )
51		funfn 5617	. . . . . . 7 |- ( Fun ( f i^i ( B X. A ) ) <-> ( f i^i ( B X. A ) ) Fn dom ( f i^i ( B X. A ) ) )
52	50, 51	sylib 196	. . . . . 6 |- ( A. x E* y x f y -> ( f i^i ( B X. A ) ) Fn dom ( f i^i ( B X. A ) ) )
53		rninxp 5446	. . . . . . 7 |- ( ran ( f i^i ( B X. A ) ) = A <-> A. x e. A E. y e. B y f x )
54	53	biimpri 206	. . . . . 6 |- ( A. x e. A E. y e. B y f x -> ran ( f i^i ( B X. A ) ) = A )
55	52, 54	anim12i 566	. . . . 5 |- ( ( A. x E* y x f y /\ A. x e. A E. y e. B y f x ) -> ( ( f i^i ( B X. A ) ) Fn dom ( f i^i ( B X. A ) ) /\ ran ( f i^i ( B X. A ) ) = A ) )
56		df-fo 5594	. . . . 5 |- ( ( f i^i ( B X. A ) ) : dom ( f i^i ( B X. A ) ) -onto-> A <-> ( ( f i^i ( B X. A ) ) Fn dom ( f i^i ( B X. A ) ) /\ ran ( f i^i ( B X. A ) ) = A ) )
57	55, 56	sylibr 212	. . . 4 |- ( ( A. x E* y x f y /\ A. x e. A E. y e. B y f x ) -> ( f i^i ( B X. A ) ) : dom ( f i^i ( B X. A ) ) -onto-> A )
58		vex 3116	. . . . . . 7 |- f e. _V
59	58	inex1 4588	. . . . . 6 |- ( f i^i ( B X. A ) ) e. _V
60	59	dmex 6717	. . . . 5 |- dom ( f i^i ( B X. A ) ) e. _V
61	60	fodom 8902	. . . 4 |- ( ( f i^i ( B X. A ) ) : dom ( f i^i ( B X. A ) ) -onto-> A -> A ~<_ dom ( f i^i ( B X. A ) ) )
62		brdom3.2	. . . . . 6 |- B e. _V
63		inss2 3719	. . . . . . . 8 |- ( f i^i ( B X. A ) ) C_ ( B X. A )
64		dmss 5202	. . . . . . . 8 |- ( ( f i^i ( B X. A ) ) C_ ( B X. A ) -> dom ( f i^i ( B X. A ) ) C_ dom ( B X. A ) )
65	63, 64	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- dom ( f i^i ( B X. A ) ) C_ dom ( B X. A )
66		dmxpss 5438	. . . . . . 7 |- dom ( B X. A ) C_ B
67	65, 66	sstri 3513	. . . . . 6 |- dom ( f i^i ( B X. A ) ) C_ B
68		ssdomg 7561	. . . . . 6 |- ( B e. _V -> ( dom ( f i^i ( B X. A ) ) C_ B -> dom ( f i^i ( B X. A ) ) ~<_ B ) )
69	62, 67, 68	mp2 9	. . . . 5 |- dom ( f i^i ( B X. A ) ) ~<_ B
70		domtr 7568	. . . . 5 |- ( ( A ~<_ dom ( f i^i ( B X. A ) ) /\ dom ( f i^i ( B X. A ) ) ~<_ B ) -> A ~<_ B )
71	69, 70	mpan2 671	. . . 4 |- ( A ~<_ dom ( f i^i ( B X. A ) ) -> A ~<_ B )
72	57, 61, 71	3syl 20	. . 3 |- ( ( A. x E* y x f y /\ A. x e. A E. y e. B y f x ) -> A ~<_ B )
73	72	exlimiv 1698	. 2 |- ( E. f ( A. x E* y x f y /\ A. x e. A E. y e. B y f x ) -> A ~<_ B )
74	40, 73	impbii 188	1 |- ( A ~<_ B <-> E. f ( A. x E* y x f y /\ A. x e. A E. y e. B y f x ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   A.wal 1377   = wceq 1379   E.wex 1596   e. wcel 1767   E*wmo 2276   =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113   i^i cin 3475   C_ wss 3476   (/)c0 3785   <.cop 4033   class class class wbr 4447   X. cxp 4997   dom cdm 4999   ran crn 5000   Rel wrel 5004   Fun wfun 5582   Fn wfn 5583   -->wf 5584   -onto->wfo 5586   ~<_ cdom 7514   ~< csdm 7515

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-ac2 8843

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-card 8320  df-acn 8323  df-ac 8497

This theorem is referenced by:  brdom5  8907  brdom4  8908