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Theorem brdom3 8695
Description: Equivalence to a dominance relation. (Contributed by NM, 27-Mar-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
brdom3.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
brdom3  |-  ( A  ~<_  B  <->  E. f ( A. x E* y  x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y f
x ) )
Distinct variable groups:    x, f,
y, A    B, f, x, y

Proof of Theorem brdom3
StepHypRef Expression
1 reldom 7316 . . . . . . . . 9  |-  Rel  ~<_
21brrelexi 4879 . . . . . . . 8  |-  ( A  ~<_  B  ->  A  e.  _V )
3 0sdomg 7440 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  _V  ->  ( (/) 
~<  A  <->  A  =/=  (/) ) )
42, 3syl 16 . . . . . . 7  |-  ( A  ~<_  B  ->  ( (/)  ~<  A  <->  A  =/=  (/) ) )
5 df-ne 2608 . . . . . . 7  |-  ( A  =/=  (/)  <->  -.  A  =  (/) )
64, 5syl6bb 261 . . . . . 6  |-  ( A  ~<_  B  ->  ( (/)  ~<  A  <->  -.  A  =  (/) ) )
76biimpar 485 . . . . 5  |-  ( ( A  ~<_  B  /\  -.  A  =  (/) )  ->  (/) 
~<  A )
8 fodomr 7462 . . . . . 6  |-  ( (
(/)  ~<  A  /\  A  ~<_  B )  ->  E. f 
f : B -onto-> A
)
98ancoms 453 . . . . 5  |-  ( ( A  ~<_  B  /\  (/)  ~<  A )  ->  E. f  f : B -onto-> A )
107, 9syldan 470 . . . 4  |-  ( ( A  ~<_  B  /\  -.  A  =  (/) )  ->  E. f  f : B -onto-> A )
11 pm5.6 903 . . . 4  |-  ( ( ( A  ~<_  B  /\  -.  A  =  (/) )  ->  E. f  f : B -onto-> A )  <->  ( A  ~<_  B  ->  ( A  =  (/)  \/  E. f  f : B -onto-> A ) ) )
1210, 11mpbi 208 . . 3  |-  ( A  ~<_  B  ->  ( A  =  (/)  \/  E. f 
f : B -onto-> A
) )
13 noel 3641 . . . . . . . . 9  |-  -.  <. x ,  y >.  e.  (/)
14 df-br 4293 . . . . . . . . 9  |-  ( x
(/) y  <->  <. x ,  y >.  e.  (/) )
1513, 14mtbir 299 . . . . . . . 8  |-  -.  x (/) y
1615nex 1600 . . . . . . 7  |-  -.  E. y  x (/) y
17 exmo 2282 . . . . . . 7  |-  ( E. y  x (/) y  \/ 
E* y  x (/) y )
1816, 17mtpor 1577 . . . . . 6  |-  E* y  x (/) y
1918ax-gen 1591 . . . . 5  |-  A. x E* y  x (/) y
20 rzal 3781 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y (/) x )
21 0ex 4422 . . . . . 6  |-  (/)  e.  _V
22 breq 4294 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  (/)  ->  ( x f y  <->  x (/) y ) )
2322mobidv 2277 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  (/)  ->  ( E* y  x f y  <->  E* y  x (/) y ) )
2423albidv 1679 . . . . . . 7  |-  ( f  =  (/)  ->  ( A. x E* y  x f y  <->  A. x E* y  x (/) y ) )
25 breq 4294 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  (/)  ->  ( y f x  <->  y (/) x ) )
2625rexbidv 2736 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  (/)  ->  ( E. y  e.  B  y f x  <->  E. y  e.  B  y (/) x ) )
2726ralbidv 2735 . . . . . . 7  |-  ( f  =  (/)  ->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  y
f x  <->  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y (/) x ) )
2824, 27anbi12d 710 . . . . . 6  |-  ( f  =  (/)  ->  ( ( A. x E* y  x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y
f x )  <->  ( A. x E* y  x (/) y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y (/) x ) ) )
2921, 28spcev 3064 . . . . 5  |-  ( ( A. x E* y  x (/) y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y (/) x )  ->  E. f
( A. x E* y  x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y f x ) )
3019, 20, 29sylancr 663 . . . 4  |-  ( A  =  (/)  ->  E. f
( A. x E* y  x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y f x ) )
31 fofun 5621 . . . . . . 7  |-  ( f : B -onto-> A  ->  Fun  f )
32 dffun6 5433 . . . . . . . 8  |-  ( Fun  f  <->  ( Rel  f  /\  A. x E* y  x f y ) )
3332simprbi 464 . . . . . . 7  |-  ( Fun  f  ->  A. x E* y  x f
y )
3431, 33syl 16 . . . . . 6  |-  ( f : B -onto-> A  ->  A. x E* y  x f y )
35 dffo4 5859 . . . . . . 7  |-  ( f : B -onto-> A  <->  ( f : B --> A  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y
f x ) )
3635simprbi 464 . . . . . 6  |-  ( f : B -onto-> A  ->  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y f x )
3734, 36jca 532 . . . . 5  |-  ( f : B -onto-> A  -> 
( A. x E* y  x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y f x ) )
3837eximi 1625 . . . 4  |-  ( E. f  f : B -onto-> A  ->  E. f ( A. x E* y  x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y f
x ) )
3930, 38jaoi 379 . . 3  |-  ( ( A  =  (/)  \/  E. f  f : B -onto-> A )  ->  E. f
( A. x E* y  x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y f x ) )
4012, 39syl 16 . 2  |-  ( A  ~<_  B  ->  E. f
( A. x E* y  x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y f x ) )
41 inss1 3570 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  C_  f
4241ssbri 4334 . . . . . . . . . 10  |-  ( x ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) y  ->  x f
y )
4342moimi 2320 . . . . . . . . 9  |-  ( E* y  x f y  ->  E* y  x ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) y )
4443alimi 1604 . . . . . . . 8  |-  ( A. x E* y  x f y  ->  A. x E* y  x (
f  i^i  ( B  X.  A ) ) y )
45 relxp 4947 . . . . . . . . . 10  |-  Rel  ( B  X.  A )
46 relin2 4958 . . . . . . . . . 10  |-  ( Rel  ( B  X.  A
)  ->  Rel  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) )
4745, 46ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  Rel  (
f  i^i  ( B  X.  A ) )
48 dffun6 5433 . . . . . . . . 9  |-  ( Fun  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  <-> 
( Rel  ( f  i^i  ( B  X.  A
) )  /\  A. x E* y  x ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) y ) )
4947, 48mpbiran 909 . . . . . . . 8  |-  ( Fun  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  <->  A. x E* y  x ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) y )
5044, 49sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( A. x E* y  x f y  ->  Fun  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) )
51 funfn 5447 . . . . . . 7  |-  ( Fun  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  <-> 
( f  i^i  ( B  X.  A ) )  Fn  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) )
5250, 51sylib 196 . . . . . 6  |-  ( A. x E* y  x f y  ->  ( f  i^i  ( B  X.  A
) )  Fn  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) )
53 rninxp 5277 . . . . . . 7  |-  ( ran  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  =  A  <->  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y f
x )
5453biimpri 206 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  y
f x  ->  ran  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  =  A )
5552, 54anim12i 566 . . . . 5  |-  ( ( A. x E* y  x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y
f x )  -> 
( ( f  i^i  ( B  X.  A
) )  Fn  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  /\  ran  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  =  A ) )
56 df-fo 5424 . . . . 5  |-  ( ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) : dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) -onto-> A  <-> 
( ( f  i^i  ( B  X.  A
) )  Fn  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  /\  ran  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  =  A ) )
5755, 56sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( A. x E* y  x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y
f x )  -> 
( f  i^i  ( B  X.  A ) ) : dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) -onto-> A )
58 vex 2975 . . . . . . 7  |-  f  e. 
_V
5958inex1 4433 . . . . . 6  |-  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  e. 
_V
6059dmex 6511 . . . . 5  |-  dom  (
f  i^i  ( B  X.  A ) )  e. 
_V
6160fodom 8691 . . . 4  |-  ( ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) : dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) -onto-> A  ->  A  ~<_  dom  (
f  i^i  ( B  X.  A ) ) )
62 brdom3.2 . . . . . 6  |-  B  e. 
_V
63 inss2 3571 . . . . . . . 8  |-  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  C_  ( B  X.  A
)
64 dmss 5039 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) 
C_  ( B  X.  A )  ->  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) 
C_  dom  ( B  X.  A ) )
6563, 64ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  dom  (
f  i^i  ( B  X.  A ) )  C_  dom  ( B  X.  A
)
66 dmxpss 5269 . . . . . . 7  |-  dom  ( B  X.  A )  C_  B
6765, 66sstri 3365 . . . . . 6  |-  dom  (
f  i^i  ( B  X.  A ) )  C_  B
68 ssdomg 7355 . . . . . 6  |-  ( B  e.  _V  ->  ( dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) 
C_  B  ->  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  ~<_  B ) )
6962, 67, 68mp2 9 . . . . 5  |-  dom  (
f  i^i  ( B  X.  A ) )  ~<_  B
70 domtr 7362 . . . . 5  |-  ( ( A  ~<_  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A
) )  /\  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  ~<_  B )  ->  A  ~<_  B )
7169, 70mpan2 671 . . . 4  |-  ( A  ~<_  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A
) )  ->  A  ~<_  B )
7257, 61, 713syl 20 . . 3  |-  ( ( A. x E* y  x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y
f x )  ->  A  ~<_  B )
7372exlimiv 1688 . 2  |-  ( E. f ( A. x E* y  x f
y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y f
x )  ->  A  ~<_  B )
7440, 73impbii 188 1  |-  ( A  ~<_  B  <->  E. f ( A. x E* y  x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y f
x ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369   A.wal 1367    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756   E*wmo 2254    =/= wne 2606   A.wral 2715   E.wrex 2716   _Vcvv 2972    i^i cin 3327    C_ wss 3328   (/)c0 3637   <.cop 3883   class class class wbr 4292    X. cxp 4838   dom cdm 4840   ran crn 4841   Rel wrel 4845   Fun wfun 5412    Fn wfn 5413   -->wf 5414   -onto->wfo 5416    ~<_ cdom 7308    ~< csdm 7309
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-ac2 8632
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-er 7101  df-map 7216  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-card 8109  df-acn 8112  df-ac 8286
This theorem is referenced by:  brdom5  8696  brdom4  8697
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