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Theorem brdom3 8906
Description: Equivalence to a dominance relation. (Contributed by NM, 27-Mar-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
brdom3.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
brdom3  |-  ( A  ~<_  B  <->  E. f ( A. x E* y  x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y f
x ) )
Distinct variable groups:    x, f,
y, A    B, f, x, y

Proof of Theorem brdom3
StepHypRef Expression
1 reldom 7522 . . . . . . . . 9  |-  Rel  ~<_
21brrelexi 5040 . . . . . . . 8  |-  ( A  ~<_  B  ->  A  e.  _V )
3 0sdomg 7646 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  _V  ->  ( (/) 
~<  A  <->  A  =/=  (/) ) )
42, 3syl 16 . . . . . . 7  |-  ( A  ~<_  B  ->  ( (/)  ~<  A  <->  A  =/=  (/) ) )
5 df-ne 2664 . . . . . . 7  |-  ( A  =/=  (/)  <->  -.  A  =  (/) )
64, 5syl6bb 261 . . . . . 6  |-  ( A  ~<_  B  ->  ( (/)  ~<  A  <->  -.  A  =  (/) ) )
76biimpar 485 . . . . 5  |-  ( ( A  ~<_  B  /\  -.  A  =  (/) )  ->  (/) 
~<  A )
8 fodomr 7668 . . . . . 6  |-  ( (
(/)  ~<  A  /\  A  ~<_  B )  ->  E. f 
f : B -onto-> A
)
98ancoms 453 . . . . 5  |-  ( ( A  ~<_  B  /\  (/)  ~<  A )  ->  E. f  f : B -onto-> A )
107, 9syldan 470 . . . 4  |-  ( ( A  ~<_  B  /\  -.  A  =  (/) )  ->  E. f  f : B -onto-> A )
11 pm5.6 910 . . . 4  |-  ( ( ( A  ~<_  B  /\  -.  A  =  (/) )  ->  E. f  f : B -onto-> A )  <->  ( A  ~<_  B  ->  ( A  =  (/)  \/  E. f  f : B -onto-> A ) ) )
1210, 11mpbi 208 . . 3  |-  ( A  ~<_  B  ->  ( A  =  (/)  \/  E. f 
f : B -onto-> A
) )
13 noel 3789 . . . . . . . . 9  |-  -.  <. x ,  y >.  e.  (/)
14 df-br 4448 . . . . . . . . 9  |-  ( x
(/) y  <->  <. x ,  y >.  e.  (/) )
1513, 14mtbir 299 . . . . . . . 8  |-  -.  x (/) y
1615nex 1610 . . . . . . 7  |-  -.  E. y  x (/) y
17 exmo 2304 . . . . . . 7  |-  ( E. y  x (/) y  \/ 
E* y  x (/) y )
1816, 17mtpor 1587 . . . . . 6  |-  E* y  x (/) y
1918ax-gen 1601 . . . . 5  |-  A. x E* y  x (/) y
20 rzal 3929 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y (/) x )
21 0ex 4577 . . . . . 6  |-  (/)  e.  _V
22 breq 4449 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  (/)  ->  ( x f y  <->  x (/) y ) )
2322mobidv 2299 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  (/)  ->  ( E* y  x f y  <->  E* y  x (/) y ) )
2423albidv 1689 . . . . . . 7  |-  ( f  =  (/)  ->  ( A. x E* y  x f y  <->  A. x E* y  x (/) y ) )
25 breq 4449 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  (/)  ->  ( y f x  <->  y (/) x ) )
2625rexbidv 2973 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  (/)  ->  ( E. y  e.  B  y f x  <->  E. y  e.  B  y (/) x ) )
2726ralbidv 2903 . . . . . . 7  |-  ( f  =  (/)  ->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  y
f x  <->  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y (/) x ) )
2824, 27anbi12d 710 . . . . . 6  |-  ( f  =  (/)  ->  ( ( A. x E* y  x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y
f x )  <->  ( A. x E* y  x (/) y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y (/) x ) ) )
2921, 28spcev 3205 . . . . 5  |-  ( ( A. x E* y  x (/) y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y (/) x )  ->  E. f
( A. x E* y  x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y f x ) )
3019, 20, 29sylancr 663 . . . 4  |-  ( A  =  (/)  ->  E. f
( A. x E* y  x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y f x ) )
31 fofun 5796 . . . . . . 7  |-  ( f : B -onto-> A  ->  Fun  f )
32 dffun6 5603 . . . . . . . 8  |-  ( Fun  f  <->  ( Rel  f  /\  A. x E* y  x f y ) )
3332simprbi 464 . . . . . . 7  |-  ( Fun  f  ->  A. x E* y  x f
y )
3431, 33syl 16 . . . . . 6  |-  ( f : B -onto-> A  ->  A. x E* y  x f y )
35 dffo4 6037 . . . . . . 7  |-  ( f : B -onto-> A  <->  ( f : B --> A  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y
f x ) )
3635simprbi 464 . . . . . 6  |-  ( f : B -onto-> A  ->  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y f x )
3734, 36jca 532 . . . . 5  |-  ( f : B -onto-> A  -> 
( A. x E* y  x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y f x ) )
3837eximi 1635 . . . 4  |-  ( E. f  f : B -onto-> A  ->  E. f ( A. x E* y  x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y f
x ) )
3930, 38jaoi 379 . . 3  |-  ( ( A  =  (/)  \/  E. f  f : B -onto-> A )  ->  E. f
( A. x E* y  x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y f x ) )
4012, 39syl 16 . 2  |-  ( A  ~<_  B  ->  E. f
( A. x E* y  x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y f x ) )
41 inss1 3718 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  C_  f
4241ssbri 4489 . . . . . . . . . 10  |-  ( x ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) y  ->  x f
y )
4342moimi 2342 . . . . . . . . 9  |-  ( E* y  x f y  ->  E* y  x ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) y )
4443alimi 1614 . . . . . . . 8  |-  ( A. x E* y  x f y  ->  A. x E* y  x (
f  i^i  ( B  X.  A ) ) y )
45 relxp 5110 . . . . . . . . . 10  |-  Rel  ( B  X.  A )
46 relin2 5121 . . . . . . . . . 10  |-  ( Rel  ( B  X.  A
)  ->  Rel  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) )
4745, 46ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  Rel  (
f  i^i  ( B  X.  A ) )
48 dffun6 5603 . . . . . . . . 9  |-  ( Fun  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  <-> 
( Rel  ( f  i^i  ( B  X.  A
) )  /\  A. x E* y  x ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) y ) )
4947, 48mpbiran 916 . . . . . . . 8  |-  ( Fun  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  <->  A. x E* y  x ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) y )
5044, 49sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( A. x E* y  x f y  ->  Fun  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) )
51 funfn 5617 . . . . . . 7  |-  ( Fun  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  <-> 
( f  i^i  ( B  X.  A ) )  Fn  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) )
5250, 51sylib 196 . . . . . 6  |-  ( A. x E* y  x f y  ->  ( f  i^i  ( B  X.  A
) )  Fn  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) )
53 rninxp 5446 . . . . . . 7  |-  ( ran  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  =  A  <->  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y f
x )
5453biimpri 206 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  y
f x  ->  ran  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  =  A )
5552, 54anim12i 566 . . . . 5  |-  ( ( A. x E* y  x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y
f x )  -> 
( ( f  i^i  ( B  X.  A
) )  Fn  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  /\  ran  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  =  A ) )
56 df-fo 5594 . . . . 5  |-  ( ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) : dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) -onto-> A  <-> 
( ( f  i^i  ( B  X.  A
) )  Fn  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  /\  ran  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  =  A ) )
5755, 56sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( A. x E* y  x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y
f x )  -> 
( f  i^i  ( B  X.  A ) ) : dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) -onto-> A )
58 vex 3116 . . . . . . 7  |-  f  e. 
_V
5958inex1 4588 . . . . . 6  |-  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  e. 
_V
6059dmex 6717 . . . . 5  |-  dom  (
f  i^i  ( B  X.  A ) )  e. 
_V
6160fodom 8902 . . . 4  |-  ( ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) : dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) -onto-> A  ->  A  ~<_  dom  (
f  i^i  ( B  X.  A ) ) )
62 brdom3.2 . . . . . 6  |-  B  e. 
_V
63 inss2 3719 . . . . . . . 8  |-  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  C_  ( B  X.  A
)
64 dmss 5202 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) 
C_  ( B  X.  A )  ->  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) 
C_  dom  ( B  X.  A ) )
6563, 64ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  dom  (
f  i^i  ( B  X.  A ) )  C_  dom  ( B  X.  A
)
66 dmxpss 5438 . . . . . . 7  |-  dom  ( B  X.  A )  C_  B
6765, 66sstri 3513 . . . . . 6  |-  dom  (
f  i^i  ( B  X.  A ) )  C_  B
68 ssdomg 7561 . . . . . 6  |-  ( B  e.  _V  ->  ( dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) 
C_  B  ->  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  ~<_  B ) )
6962, 67, 68mp2 9 . . . . 5  |-  dom  (
f  i^i  ( B  X.  A ) )  ~<_  B
70 domtr 7568 . . . . 5  |-  ( ( A  ~<_  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A
) )  /\  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  ~<_  B )  ->  A  ~<_  B )
7169, 70mpan2 671 . . . 4  |-  ( A  ~<_  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A
) )  ->  A  ~<_  B )
7257, 61, 713syl 20 . . 3  |-  ( ( A. x E* y  x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y
f x )  ->  A  ~<_  B )
7372exlimiv 1698 . 2  |-  ( E. f ( A. x E* y  x f
y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y f
x )  ->  A  ~<_  B )
7440, 73impbii 188 1  |-  ( A  ~<_  B  <->  E. f ( A. x E* y  x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y f
x ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369   A.wal 1377    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767   E*wmo 2276    =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113    i^i cin 3475    C_ wss 3476   (/)c0 3785   <.cop 4033   class class class wbr 4447    X. cxp 4997   dom cdm 4999   ran crn 5000   Rel wrel 5004   Fun wfun 5582    Fn wfn 5583   -->wf 5584   -onto->wfo 5586    ~<_ cdom 7514    ~< csdm 7515
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-ac2 8843
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-card 8320  df-acn 8323  df-ac 8497
This theorem is referenced by:  brdom5  8907  brdom4  8908
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