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Theorem brdom3 8691
Description: Equivalence to a dominance relation. (Contributed by NM, 27-Mar-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
brdom3.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
brdom3  |-  ( A  ~<_  B  <->  E. f ( A. x E* y  x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y f
x ) )
Distinct variable groups:    x, f,
y, A    B, f, x, y

Proof of Theorem brdom3
StepHypRef Expression
1 reldom 7312 . . . . . . . . 9  |-  Rel  ~<_
21brrelexi 4875 . . . . . . . 8  |-  ( A  ~<_  B  ->  A  e.  _V )
3 0sdomg 7436 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  _V  ->  ( (/) 
~<  A  <->  A  =/=  (/) ) )
42, 3syl 16 . . . . . . 7  |-  ( A  ~<_  B  ->  ( (/)  ~<  A  <->  A  =/=  (/) ) )
5 df-ne 2606 . . . . . . 7  |-  ( A  =/=  (/)  <->  -.  A  =  (/) )
64, 5syl6bb 261 . . . . . 6  |-  ( A  ~<_  B  ->  ( (/)  ~<  A  <->  -.  A  =  (/) ) )
76biimpar 482 . . . . 5  |-  ( ( A  ~<_  B  /\  -.  A  =  (/) )  ->  (/) 
~<  A )
8 fodomr 7458 . . . . . 6  |-  ( (
(/)  ~<  A  /\  A  ~<_  B )  ->  E. f 
f : B -onto-> A
)
98ancoms 450 . . . . 5  |-  ( ( A  ~<_  B  /\  (/)  ~<  A )  ->  E. f  f : B -onto-> A )
107, 9syldan 467 . . . 4  |-  ( ( A  ~<_  B  /\  -.  A  =  (/) )  ->  E. f  f : B -onto-> A )
11 pm5.6 898 . . . 4  |-  ( ( ( A  ~<_  B  /\  -.  A  =  (/) )  ->  E. f  f : B -onto-> A )  <->  ( A  ~<_  B  ->  ( A  =  (/)  \/  E. f  f : B -onto-> A ) ) )
1210, 11mpbi 208 . . 3  |-  ( A  ~<_  B  ->  ( A  =  (/)  \/  E. f 
f : B -onto-> A
) )
13 noel 3638 . . . . . . . . 9  |-  -.  <. x ,  y >.  e.  (/)
14 df-br 4290 . . . . . . . . 9  |-  ( x
(/) y  <->  <. x ,  y >.  e.  (/) )
1513, 14mtbir 299 . . . . . . . 8  |-  -.  x (/) y
1615nex 1605 . . . . . . 7  |-  -.  E. y  x (/) y
17 exmo 2285 . . . . . . 7  |-  ( E. y  x (/) y  \/ 
E* y  x (/) y )
1816, 17mtpor 1582 . . . . . 6  |-  E* y  x (/) y
1918ax-gen 1596 . . . . 5  |-  A. x E* y  x (/) y
20 rzal 3778 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y (/) x )
21 0ex 4419 . . . . . 6  |-  (/)  e.  _V
22 breq 4291 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  (/)  ->  ( x f y  <->  x (/) y ) )
2322mobidv 2280 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  (/)  ->  ( E* y  x f y  <->  E* y  x (/) y ) )
2423albidv 1684 . . . . . . 7  |-  ( f  =  (/)  ->  ( A. x E* y  x f y  <->  A. x E* y  x (/) y ) )
25 breq 4291 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  (/)  ->  ( y f x  <->  y (/) x ) )
2625rexbidv 2734 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  (/)  ->  ( E. y  e.  B  y f x  <->  E. y  e.  B  y (/) x ) )
2726ralbidv 2733 . . . . . . 7  |-  ( f  =  (/)  ->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  y
f x  <->  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y (/) x ) )
2824, 27anbi12d 705 . . . . . 6  |-  ( f  =  (/)  ->  ( ( A. x E* y  x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y
f x )  <->  ( A. x E* y  x (/) y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y (/) x ) ) )
2921, 28spcev 3061 . . . . 5  |-  ( ( A. x E* y  x (/) y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y (/) x )  ->  E. f
( A. x E* y  x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y f x ) )
3019, 20, 29sylancr 658 . . . 4  |-  ( A  =  (/)  ->  E. f
( A. x E* y  x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y f x ) )
31 fofun 5618 . . . . . . 7  |-  ( f : B -onto-> A  ->  Fun  f )
32 dffun6 5430 . . . . . . . 8  |-  ( Fun  f  <->  ( Rel  f  /\  A. x E* y  x f y ) )
3332simprbi 461 . . . . . . 7  |-  ( Fun  f  ->  A. x E* y  x f
y )
3431, 33syl 16 . . . . . 6  |-  ( f : B -onto-> A  ->  A. x E* y  x f y )
35 dffo4 5856 . . . . . . 7  |-  ( f : B -onto-> A  <->  ( f : B --> A  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y
f x ) )
3635simprbi 461 . . . . . 6  |-  ( f : B -onto-> A  ->  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y f x )
3734, 36jca 529 . . . . 5  |-  ( f : B -onto-> A  -> 
( A. x E* y  x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y f x ) )
3837eximi 1630 . . . 4  |-  ( E. f  f : B -onto-> A  ->  E. f ( A. x E* y  x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y f
x ) )
3930, 38jaoi 379 . . 3  |-  ( ( A  =  (/)  \/  E. f  f : B -onto-> A )  ->  E. f
( A. x E* y  x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y f x ) )
4012, 39syl 16 . 2  |-  ( A  ~<_  B  ->  E. f
( A. x E* y  x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y f x ) )
41 inss1 3567 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  C_  f
4241ssbri 4331 . . . . . . . . . 10  |-  ( x ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) y  ->  x f
y )
4342moimi 2323 . . . . . . . . 9  |-  ( E* y  x f y  ->  E* y  x ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) y )
4443alimi 1609 . . . . . . . 8  |-  ( A. x E* y  x f y  ->  A. x E* y  x (
f  i^i  ( B  X.  A ) ) y )
45 relxp 4943 . . . . . . . . . 10  |-  Rel  ( B  X.  A )
46 relin2 4954 . . . . . . . . . 10  |-  ( Rel  ( B  X.  A
)  ->  Rel  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) )
4745, 46ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  Rel  (
f  i^i  ( B  X.  A ) )
48 dffun6 5430 . . . . . . . . 9  |-  ( Fun  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  <-> 
( Rel  ( f  i^i  ( B  X.  A
) )  /\  A. x E* y  x ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) y ) )
4947, 48mpbiran 904 . . . . . . . 8  |-  ( Fun  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  <->  A. x E* y  x ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) y )
5044, 49sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( A. x E* y  x f y  ->  Fun  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) )
51 funfn 5444 . . . . . . 7  |-  ( Fun  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  <-> 
( f  i^i  ( B  X.  A ) )  Fn  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) )
5250, 51sylib 196 . . . . . 6  |-  ( A. x E* y  x f y  ->  ( f  i^i  ( B  X.  A
) )  Fn  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) )
53 rninxp 5274 . . . . . . 7  |-  ( ran  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  =  A  <->  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y f
x )
5453biimpri 206 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  y
f x  ->  ran  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  =  A )
5552, 54anim12i 563 . . . . 5  |-  ( ( A. x E* y  x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y
f x )  -> 
( ( f  i^i  ( B  X.  A
) )  Fn  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  /\  ran  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  =  A ) )
56 df-fo 5421 . . . . 5  |-  ( ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) : dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) -onto-> A  <-> 
( ( f  i^i  ( B  X.  A
) )  Fn  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  /\  ran  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  =  A ) )
5755, 56sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( A. x E* y  x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y
f x )  -> 
( f  i^i  ( B  X.  A ) ) : dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) -onto-> A )
58 vex 2973 . . . . . . 7  |-  f  e. 
_V
5958inex1 4430 . . . . . 6  |-  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  e. 
_V
6059dmex 6510 . . . . 5  |-  dom  (
f  i^i  ( B  X.  A ) )  e. 
_V
6160fodom 8687 . . . 4  |-  ( ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) : dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) -onto-> A  ->  A  ~<_  dom  (
f  i^i  ( B  X.  A ) ) )
62 brdom3.2 . . . . . 6  |-  B  e. 
_V
63 inss2 3568 . . . . . . . 8  |-  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  C_  ( B  X.  A
)
64 dmss 5035 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) 
C_  ( B  X.  A )  ->  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) 
C_  dom  ( B  X.  A ) )
6563, 64ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  dom  (
f  i^i  ( B  X.  A ) )  C_  dom  ( B  X.  A
)
66 dmxpss 5266 . . . . . . 7  |-  dom  ( B  X.  A )  C_  B
6765, 66sstri 3362 . . . . . 6  |-  dom  (
f  i^i  ( B  X.  A ) )  C_  B
68 ssdomg 7351 . . . . . 6  |-  ( B  e.  _V  ->  ( dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) ) 
C_  B  ->  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  ~<_  B ) )
6962, 67, 68mp2 9 . . . . 5  |-  dom  (
f  i^i  ( B  X.  A ) )  ~<_  B
70 domtr 7358 . . . . 5  |-  ( ( A  ~<_  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A
) )  /\  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A ) )  ~<_  B )  ->  A  ~<_  B )
7169, 70mpan2 666 . . . 4  |-  ( A  ~<_  dom  ( f  i^i  ( B  X.  A
) )  ->  A  ~<_  B )
7257, 61, 713syl 20 . . 3  |-  ( ( A. x E* y  x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y
f x )  ->  A  ~<_  B )
7372exlimiv 1693 . 2  |-  ( E. f ( A. x E* y  x f
y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y f
x )  ->  A  ~<_  B )
7440, 73impbii 188 1  |-  ( A  ~<_  B  <->  E. f ( A. x E* y  x f y  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  y f
x ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369   A.wal 1362    = wceq 1364   E.wex 1591    e. wcel 1761   E*wmo 2258    =/= wne 2604   A.wral 2713   E.wrex 2714   _Vcvv 2970    i^i cin 3324    C_ wss 3325   (/)c0 3634   <.cop 3880   class class class wbr 4289    X. cxp 4834   dom cdm 4836   ran crn 4837   Rel wrel 4841   Fun wfun 5409    Fn wfn 5410   -->wf 5411   -onto->wfo 5413    ~<_ cdom 7304    ~< csdm 7305
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-ac2 8628
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-er 7097  df-map 7212  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-card 8105  df-acn 8108  df-ac 8282
This theorem is referenced by:  brdom5  8692  brdom4  8693
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