MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  brdom2 Unicode version

Theorem brdom2 6777
Description: Dominance in terms of strict dominance and equinumerosity. Theorem 22(iv) of [Suppes] p. 97. (Contributed by NM, 17-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
brdom2  |-  ( A  ~<_  B  <->  ( A  ~<  B  \/  A  ~~  B
) )

Proof of Theorem brdom2
StepHypRef Expression
1 dfdom2 6773 . . 3  |-  ~<_  =  ( 
~<  u.  ~~  )
21eleq2i 2317 . 2  |-  ( <. A ,  B >.  e.  ~<_  <->  <. A ,  B >.  e.  (  ~<  u.  ~~  )
)
3 df-br 3921 . 2  |-  ( A  ~<_  B  <->  <. A ,  B >.  e.  ~<_  )
4 df-br 3921 . . . 4  |-  ( A 
~<  B  <->  <. A ,  B >.  e.  ~<  )
5 df-br 3921 . . . 4  |-  ( A 
~~  B  <->  <. A ,  B >.  e.  ~~  )
64, 5orbi12i 509 . . 3  |-  ( ( A  ~<  B  \/  A  ~~  B )  <->  ( <. A ,  B >.  e.  ~<  \/ 
<. A ,  B >.  e. 
~~  ) )
7 elun 3226 . . 3  |-  ( <. A ,  B >.  e.  (  ~<  u.  ~~  )  <->  (
<. A ,  B >.  e. 
~<  \/  <. A ,  B >.  e.  ~~  ) )
86, 7bitr4i 245 . 2  |-  ( ( A  ~<  B  \/  A  ~~  B )  <->  <. A ,  B >.  e.  (  ~<  u.  ~~  ) )
92, 3, 83bitr4i 270 1  |-  ( A  ~<_  B  <->  ( A  ~<  B  \/  A  ~~  B
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 178    \/ wo 359    e. wcel 1621    u. cun 3076   <.cop 3547   class class class wbr 3920    ~~ cen 6746    ~<_ cdom 6747    ~< csdm 6748
This theorem is referenced by:  bren2  6778  domnsym  6872  modom  6948  carddom2  7494  axcc4dom  7951  entric  8061  entri2  8062  gchor  8129  frgpcyg  16359  iunmbl2  18746  dyadmbl  18787  ctbnfien  26067
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pr 4108
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2516  df-v 2729  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-nul 3363  df-if 3471  df-sn 3550  df-pr 3551  df-op 3553  df-br 3921  df-opab 3975  df-xp 4594  df-rel 4595  df-f1o 4607  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752
  Copyright terms: Public domain W3C validator