MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  brcnvg Structured version   Unicode version

Theorem brcnvg 5125
Description: The converse of a binary relation swaps arguments. Theorem 11 of [Suppes] p. 61. (Contributed by NM, 10-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
brcnvg  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  ( A `' R B 
<->  B R A ) )

Proof of Theorem brcnvg
StepHypRef Expression
1 opelcnvg 5124 . 2  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  ( <. A ,  B >.  e.  `' R  <->  <. B ,  A >.  e.  R ) )
2 df-br 4395 . 2  |-  ( A `' R B  <->  <. A ,  B >.  e.  `' R
)
3 df-br 4395 . 2  |-  ( B R A  <->  <. B ,  A >.  e.  R )
41, 2, 33bitr4g 288 1  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  ( A `' R B 
<->  B R A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    e. wcel 1842   <.cop 3977   class class class wbr 4394   `'ccnv 4941
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pr 4629
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-rab 2762  df-v 3060  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-br 4395  df-opab 4453  df-cnv 4950
This theorem is referenced by:  brcnv  5127  brelrng  5174  eliniseg  5307  relbrcnvg  5317  brcodir  5328  dffv2  5878  ersym  7280  brdifun  7295  lbinfm  10456  infmrgelb  10483  infmrlb  10484  infmxrlb  11496  infmxrgelb  11497  brcnvtrclfv  12893  oduleg  15978  posglbd  15996  znleval  18783  brbtwn  24500  fcoinvbr  27777  xrge0infssd  27903  infxrge0lb  27906  infxrge0glb  27907  cnvordtrestixx  28228  xrge0iifiso  28250  oms0  28625  orvcgteel  28792  ballotlemirc  28856  inffz  29817  fv1stcnv  29881  fv2ndcnv  29882  elpredg  29931  predep  29945  wsuclem  30054  wsuclb  30057  colineardim1  30372  gtinf  30535  infrglb  36934  gte-lte  38744  gt-lt  38745
  Copyright terms: Public domain W3C validator