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Theorem brbtwn 24404
Description: The binary relationship form of the betweenness predicate. The statement  A  Btwn  <. B ,  C >. should be informally read as " A lies on a line segment between  B and  C. This exact definition is abstracted away by Tarski's geometry axioms later on. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
brbtwn  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  ->  ( A  Btwn  <. B ,  C >.  <->  E. t  e.  (
0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( A `  i
)  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( B `
 i ) )  +  ( t  x.  ( C `  i
) ) ) ) )
Distinct variable groups:    i, N, t    A, i, t    B, i, t    C, i, t

Proof of Theorem brbtwn
Dummy variables  n  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-btwn 24397 . . 3  |-  Btwn  =  `' { <. <. y ,  z
>. ,  x >.  |  E. n  e.  NN  ( ( y  e.  ( EE `  n
)  /\  z  e.  ( EE `  n )  /\  x  e.  ( EE `  n ) )  /\  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... n
) ( x `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  (
y `  i )
)  +  ( t  x.  ( z `  i ) ) ) ) }
21breqi 4445 . 2  |-  ( A 
Btwn  <. B ,  C >.  <-> 
A `' { <. <.
y ,  z >. ,  x >.  |  E. n  e.  NN  (
( y  e.  ( EE `  n )  /\  z  e.  ( EE `  n )  /\  x  e.  ( EE `  n ) )  /\  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... n
) ( x `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  (
y `  i )
)  +  ( t  x.  ( z `  i ) ) ) ) } <. B ,  C >. )
3 opex 4701 . . . . 5  |-  <. B ,  C >.  e.  _V
4 brcnvg 5172 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  <. B ,  C >.  e. 
_V )  ->  ( A `' { <. <. y ,  z
>. ,  x >.  |  E. n  e.  NN  ( ( y  e.  ( EE `  n
)  /\  z  e.  ( EE `  n )  /\  x  e.  ( EE `  n ) )  /\  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... n
) ( x `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  (
y `  i )
)  +  ( t  x.  ( z `  i ) ) ) ) } <. B ,  C >. 
<-> 
<. B ,  C >. {
<. <. y ,  z
>. ,  x >.  |  E. n  e.  NN  ( ( y  e.  ( EE `  n
)  /\  z  e.  ( EE `  n )  /\  x  e.  ( EE `  n ) )  /\  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... n
) ( x `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  (
y `  i )
)  +  ( t  x.  ( z `  i ) ) ) ) } A ) )
53, 4mpan2 669 . . . 4  |-  ( A  e.  ( EE `  N )  ->  ( A `' { <. <. y ,  z
>. ,  x >.  |  E. n  e.  NN  ( ( y  e.  ( EE `  n
)  /\  z  e.  ( EE `  n )  /\  x  e.  ( EE `  n ) )  /\  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... n
) ( x `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  (
y `  i )
)  +  ( t  x.  ( z `  i ) ) ) ) } <. B ,  C >. 
<-> 
<. B ,  C >. {
<. <. y ,  z
>. ,  x >.  |  E. n  e.  NN  ( ( y  e.  ( EE `  n
)  /\  z  e.  ( EE `  n )  /\  x  e.  ( EE `  n ) )  /\  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... n
) ( x `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  (
y `  i )
)  +  ( t  x.  ( z `  i ) ) ) ) } A ) )
653ad2ant1 1015 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  ->  ( A `' { <. <. y ,  z
>. ,  x >.  |  E. n  e.  NN  ( ( y  e.  ( EE `  n
)  /\  z  e.  ( EE `  n )  /\  x  e.  ( EE `  n ) )  /\  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... n
) ( x `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  (
y `  i )
)  +  ( t  x.  ( z `  i ) ) ) ) } <. B ,  C >. 
<-> 
<. B ,  C >. {
<. <. y ,  z
>. ,  x >.  |  E. n  e.  NN  ( ( y  e.  ( EE `  n
)  /\  z  e.  ( EE `  n )  /\  x  e.  ( EE `  n ) )  /\  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... n
) ( x `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  (
y `  i )
)  +  ( t  x.  ( z `  i ) ) ) ) } A ) )
7 df-br 4440 . . . 4  |-  ( <. B ,  C >. {
<. <. y ,  z
>. ,  x >.  |  E. n  e.  NN  ( ( y  e.  ( EE `  n
)  /\  z  e.  ( EE `  n )  /\  x  e.  ( EE `  n ) )  /\  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... n
) ( x `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  (
y `  i )
)  +  ( t  x.  ( z `  i ) ) ) ) } A  <->  <. <. B ,  C >. ,  A >.  e. 
{ <. <. y ,  z
>. ,  x >.  |  E. n  e.  NN  ( ( y  e.  ( EE `  n
)  /\  z  e.  ( EE `  n )  /\  x  e.  ( EE `  n ) )  /\  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... n
) ( x `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  (
y `  i )
)  +  ( t  x.  ( z `  i ) ) ) ) } )
8 eleq1 2526 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  B  ->  (
y  e.  ( EE
`  n )  <->  B  e.  ( EE `  n ) ) )
983anbi1d 1301 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  B  ->  (
( y  e.  ( EE `  n )  /\  z  e.  ( EE `  n )  /\  x  e.  ( EE `  n ) )  <->  ( B  e.  ( EE `  n
)  /\  z  e.  ( EE `  n )  /\  x  e.  ( EE `  n ) ) ) )
10 fveq1 5847 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  B  ->  (
y `  i )  =  ( B `  i ) )
1110oveq2d 6286 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  B  ->  (
( 1  -  t
)  x.  ( y `
 i ) )  =  ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i
) ) )
1211oveq1d 6285 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  B  ->  (
( ( 1  -  t )  x.  (
y `  i )
)  +  ( t  x.  ( z `  i ) ) )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i ) )  +  ( t  x.  (
z `  i )
) ) )
1312eqeq2d 2468 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  B  ->  (
( x `  i
)  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( y `
 i ) )  +  ( t  x.  ( z `  i
) ) )  <->  ( x `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( z `  i ) ) ) ) )
1413rexralbidv 2973 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  B  ->  ( E. t  e.  (
0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... n ) ( x `  i
)  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( y `
 i ) )  +  ( t  x.  ( z `  i
) ) )  <->  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... n
) ( x `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( z `  i ) ) ) ) )
159, 14anbi12d 708 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  B  ->  (
( ( y  e.  ( EE `  n
)  /\  z  e.  ( EE `  n )  /\  x  e.  ( EE `  n ) )  /\  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... n
) ( x `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  (
y `  i )
)  +  ( t  x.  ( z `  i ) ) ) )  <->  ( ( B  e.  ( EE `  n )  /\  z  e.  ( EE `  n
)  /\  x  e.  ( EE `  n ) )  /\  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... n
) ( x `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( z `  i ) ) ) ) ) )
1615rexbidv 2965 . . . . . . 7  |-  ( y  =  B  ->  ( E. n  e.  NN  ( ( y  e.  ( EE `  n
)  /\  z  e.  ( EE `  n )  /\  x  e.  ( EE `  n ) )  /\  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... n
) ( x `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  (
y `  i )
)  +  ( t  x.  ( z `  i ) ) ) )  <->  E. n  e.  NN  ( ( B  e.  ( EE `  n
)  /\  z  e.  ( EE `  n )  /\  x  e.  ( EE `  n ) )  /\  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... n
) ( x `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( z `  i ) ) ) ) ) )
17 eleq1 2526 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  C  ->  (
z  e.  ( EE
`  n )  <->  C  e.  ( EE `  n ) ) )
18173anbi2d 1302 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  C  ->  (
( B  e.  ( EE `  n )  /\  z  e.  ( EE `  n )  /\  x  e.  ( EE `  n ) )  <->  ( B  e.  ( EE `  n
)  /\  C  e.  ( EE `  n )  /\  x  e.  ( EE `  n ) ) ) )
19 fveq1 5847 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  C  ->  (
z `  i )  =  ( C `  i ) )
2019oveq2d 6286 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  C  ->  (
t  x.  ( z `
 i ) )  =  ( t  x.  ( C `  i
) ) )
2120oveq2d 6286 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  C  ->  (
( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( z `  i ) ) )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i ) )  +  ( t  x.  ( C `  i )
) ) )
2221eqeq2d 2468 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  C  ->  (
( x `  i
)  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( B `
 i ) )  +  ( t  x.  ( z `  i
) ) )  <->  ( x `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( C `  i ) ) ) ) )
2322rexralbidv 2973 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  C  ->  ( E. t  e.  (
0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... n ) ( x `  i
)  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( B `
 i ) )  +  ( t  x.  ( z `  i
) ) )  <->  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... n
) ( x `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( C `  i ) ) ) ) )
2418, 23anbi12d 708 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  C  ->  (
( ( B  e.  ( EE `  n
)  /\  z  e.  ( EE `  n )  /\  x  e.  ( EE `  n ) )  /\  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... n
) ( x `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( z `  i ) ) ) )  <->  ( ( B  e.  ( EE `  n )  /\  C  e.  ( EE `  n
)  /\  x  e.  ( EE `  n ) )  /\  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... n
) ( x `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( C `  i ) ) ) ) ) )
2524rexbidv 2965 . . . . . . 7  |-  ( z  =  C  ->  ( E. n  e.  NN  ( ( B  e.  ( EE `  n
)  /\  z  e.  ( EE `  n )  /\  x  e.  ( EE `  n ) )  /\  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... n
) ( x `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( z `  i ) ) ) )  <->  E. n  e.  NN  ( ( B  e.  ( EE `  n
)  /\  C  e.  ( EE `  n )  /\  x  e.  ( EE `  n ) )  /\  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... n
) ( x `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( C `  i ) ) ) ) ) )
26 eleq1 2526 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  A  ->  (
x  e.  ( EE
`  n )  <->  A  e.  ( EE `  n ) ) )
27263anbi3d 1303 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  A  ->  (
( B  e.  ( EE `  n )  /\  C  e.  ( EE `  n )  /\  x  e.  ( EE `  n ) )  <->  ( B  e.  ( EE `  n
)  /\  C  e.  ( EE `  n )  /\  A  e.  ( EE `  n ) ) ) )
28 fveq1 5847 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  A  ->  (
x `  i )  =  ( A `  i ) )
2928eqeq1d 2456 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  A  ->  (
( x `  i
)  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( B `
 i ) )  +  ( t  x.  ( C `  i
) ) )  <->  ( A `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( C `  i ) ) ) ) )
3029rexralbidv 2973 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  A  ->  ( E. t  e.  (
0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... n ) ( x `  i
)  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( B `
 i ) )  +  ( t  x.  ( C `  i
) ) )  <->  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... n
) ( A `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( C `  i ) ) ) ) )
3127, 30anbi12d 708 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  A  ->  (
( ( B  e.  ( EE `  n
)  /\  C  e.  ( EE `  n )  /\  x  e.  ( EE `  n ) )  /\  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... n
) ( x `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( C `  i ) ) ) )  <->  ( ( B  e.  ( EE `  n )  /\  C  e.  ( EE `  n
)  /\  A  e.  ( EE `  n ) )  /\  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... n
) ( A `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( C `  i ) ) ) ) ) )
3231rexbidv 2965 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  ( E. n  e.  NN  ( ( B  e.  ( EE `  n
)  /\  C  e.  ( EE `  n )  /\  x  e.  ( EE `  n ) )  /\  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... n
) ( x `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( C `  i ) ) ) )  <->  E. n  e.  NN  ( ( B  e.  ( EE `  n
)  /\  C  e.  ( EE `  n )  /\  A  e.  ( EE `  n ) )  /\  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... n
) ( A `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( C `  i ) ) ) ) ) )
3316, 25, 32eloprabg 6363 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  ( EE
`  N )  /\  C  e.  ( EE `  N )  /\  A  e.  ( EE `  N
) )  ->  ( <. <. B ,  C >. ,  A >.  e.  { <. <. y ,  z
>. ,  x >.  |  E. n  e.  NN  ( ( y  e.  ( EE `  n
)  /\  z  e.  ( EE `  n )  /\  x  e.  ( EE `  n ) )  /\  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... n
) ( x `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  (
y `  i )
)  +  ( t  x.  ( z `  i ) ) ) ) }  <->  E. n  e.  NN  ( ( B  e.  ( EE `  n )  /\  C  e.  ( EE `  n
)  /\  A  e.  ( EE `  n ) )  /\  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... n
) ( A `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( C `  i ) ) ) ) ) )
34 simp1 994 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  ( EE
`  n )  /\  C  e.  ( EE `  n )  /\  A  e.  ( EE `  n
) )  ->  B  e.  ( EE `  n
) )
35 simp1 994 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  ( EE
`  N )  /\  C  e.  ( EE `  N )  /\  A  e.  ( EE `  N
) )  ->  B  e.  ( EE `  N
) )
36 eedimeq 24403 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  ( EE
`  n )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  ->  n  =  N )
3734, 35, 36syl2anr 476 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N )  /\  A  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( B  e.  ( EE `  n )  /\  C  e.  ( EE `  n
)  /\  A  e.  ( EE `  n ) ) )  ->  n  =  N )
38 oveq2 6278 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  N  ->  (
1 ... n )  =  ( 1 ... N
) )
3938raleqdv 3057 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  N  ->  ( A. i  e.  (
1 ... n ) ( A `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i ) )  +  ( t  x.  ( C `  i )
) )  <->  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( A `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( C `  i ) ) ) ) )
4039rexbidv 2965 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  N  ->  ( E. t  e.  (
0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... n ) ( A `  i
)  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( B `
 i ) )  +  ( t  x.  ( C `  i
) ) )  <->  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... N
) ( A `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( C `  i ) ) ) ) )
4137, 40syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N )  /\  A  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( B  e.  ( EE `  n )  /\  C  e.  ( EE `  n
)  /\  A  e.  ( EE `  n ) ) )  ->  ( E. t  e.  (
0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... n ) ( A `  i
)  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( B `
 i ) )  +  ( t  x.  ( C `  i
) ) )  <->  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... N
) ( A `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( C `  i ) ) ) ) )
4241biimpd 207 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N )  /\  A  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( B  e.  ( EE `  n )  /\  C  e.  ( EE `  n
)  /\  A  e.  ( EE `  n ) ) )  ->  ( E. t  e.  (
0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... n ) ( A `  i
)  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( B `
 i ) )  +  ( t  x.  ( C `  i
) ) )  ->  E. t  e.  (
0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( A `  i
)  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( B `
 i ) )  +  ( t  x.  ( C `  i
) ) ) ) )
4342expimpd 601 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  ( EE
`  N )  /\  C  e.  ( EE `  N )  /\  A  e.  ( EE `  N
) )  ->  (
( ( B  e.  ( EE `  n
)  /\  C  e.  ( EE `  n )  /\  A  e.  ( EE `  n ) )  /\  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... n
) ( A `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( C `  i ) ) ) )  ->  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... N
) ( A `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( C `  i ) ) ) ) )
4443rexlimdvw 2949 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  ( EE
`  N )  /\  C  e.  ( EE `  N )  /\  A  e.  ( EE `  N
) )  ->  ( E. n  e.  NN  ( ( B  e.  ( EE `  n
)  /\  C  e.  ( EE `  n )  /\  A  e.  ( EE `  n ) )  /\  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... n
) ( A `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( C `  i ) ) ) )  ->  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... N
) ( A `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( C `  i ) ) ) ) )
45 eleenn 24401 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  ( EE `  N )  ->  N  e.  NN )
46453ad2ant1 1015 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  ( EE
`  N )  /\  C  e.  ( EE `  N )  /\  A  e.  ( EE `  N
) )  ->  N  e.  NN )
47 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  N  ->  ( EE `  n )  =  ( EE `  N
) )
4847eleq2d 2524 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  N  ->  ( B  e.  ( EE `  n )  <->  B  e.  ( EE `  N ) ) )
4947eleq2d 2524 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  N  ->  ( C  e.  ( EE `  n )  <->  C  e.  ( EE `  N ) ) )
5047eleq2d 2524 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  N  ->  ( A  e.  ( EE `  n )  <->  A  e.  ( EE `  N ) ) )
5148, 49, 503anbi123d 1297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  N  ->  (
( B  e.  ( EE `  n )  /\  C  e.  ( EE `  n )  /\  A  e.  ( EE `  n ) )  <->  ( B  e.  ( EE `  N
)  /\  C  e.  ( EE `  N )  /\  A  e.  ( EE `  N ) ) ) )
5251, 40anbi12d 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  N  ->  (
( ( B  e.  ( EE `  n
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) A. i  e.  ( 1 ... n
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)  +  ( t  x.  ( C `  i ) ) ) )  <->  ( ( B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
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)  +  ( t  x.  ( C `  i ) ) ) ) ) )
5352rspcev 3207 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( B  e.  ( EE `  N
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) A. i  e.  ( 1 ... N
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)  +  ( t  x.  ( C `  i ) ) ) ) )  ->  E. n  e.  NN  ( ( B  e.  ( EE `  n )  /\  C  e.  ( EE `  n
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)  +  ( t  x.  ( C `  i ) ) ) ) )
5453exp32 603 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N )  /\  A  e.  ( EE `  N ) )  ->  ( E. t  e.  ( 0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( A `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i ) )  +  ( t  x.  ( C `  i )
) )  ->  E. n  e.  NN  ( ( B  e.  ( EE `  n )  /\  C  e.  ( EE `  n
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) A. i  e.  ( 1 ... n
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5546, 54mpcom 36 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  ( EE
`  N )  /\  C  e.  ( EE `  N )  /\  A  e.  ( EE `  N
) )  ->  ( E. t  e.  (
0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( A `  i
)  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( B `
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) ) )  ->  E. n  e.  NN  ( ( B  e.  ( EE `  n
)  /\  C  e.  ( EE `  n )  /\  A  e.  ( EE `  n ) )  /\  E. t  e.  ( 0 [,] 1
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)  +  ( t  x.  ( C `  i ) ) ) ) ) )
5644, 55impbid 191 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  ( EE
`  N )  /\  C  e.  ( EE `  N )  /\  A  e.  ( EE `  N
) )  ->  ( E. n  e.  NN  ( ( B  e.  ( EE `  n
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) A. i  e.  ( 1 ... n
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)  =  ( ( ( 1  -  t
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 i ) )  +  ( t  x.  ( C `  i
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5733, 56bitrd 253 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  ( EE
`  N )  /\  C  e.  ( EE `  N )  /\  A  e.  ( EE `  N
) )  ->  ( <. <. B ,  C >. ,  A >.  e.  { <. <. y ,  z
>. ,  x >.  |  E. n  e.  NN  ( ( y  e.  ( EE `  n
)  /\  z  e.  ( EE `  n )  /\  x  e.  ( EE `  n ) )  /\  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... n
) ( x `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  (
y `  i )
)  +  ( t  x.  ( z `  i ) ) ) ) }  <->  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... N
) ( A `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( C `  i ) ) ) ) )
58573comr 1202 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  ->  ( <. <. B ,  C >. ,  A >.  e.  { <. <. y ,  z
>. ,  x >.  |  E. n  e.  NN  ( ( y  e.  ( EE `  n
)  /\  z  e.  ( EE `  n )  /\  x  e.  ( EE `  n ) )  /\  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... n
) ( x `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  (
y `  i )
)  +  ( t  x.  ( z `  i ) ) ) ) }  <->  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... N
) ( A `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( C `  i ) ) ) ) )
597, 58syl5bb 257 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  ->  ( <. B ,  C >. {
<. <. y ,  z
>. ,  x >.  |  E. n  e.  NN  ( ( y  e.  ( EE `  n
)  /\  z  e.  ( EE `  n )  /\  x  e.  ( EE `  n ) )  /\  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... n
) ( x `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  (
y `  i )
)  +  ( t  x.  ( z `  i ) ) ) ) } A  <->  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... N
) ( A `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( C `  i ) ) ) ) )
606, 59bitrd 253 . 2  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  ->  ( A `' { <. <. y ,  z
>. ,  x >.  |  E. n  e.  NN  ( ( y  e.  ( EE `  n
)  /\  z  e.  ( EE `  n )  /\  x  e.  ( EE `  n ) )  /\  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... n
) ( x `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  (
y `  i )
)  +  ( t  x.  ( z `  i ) ) ) ) } <. B ,  C >. 
<->  E. t  e.  ( 0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( A `  i
)  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( B `
 i ) )  +  ( t  x.  ( C `  i
) ) ) ) )
612, 60syl5bb 257 1  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  ->  ( A  Btwn  <. B ,  C >.  <->  E. t  e.  (
0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( A `  i
)  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( B `
 i ) )  +  ( t  x.  ( C `  i
) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804   E.wrex 2805   _Vcvv 3106   <.cop 4022   class class class wbr 4439   `'ccnv 4987   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   {coprab 6271   0cc0 9481   1c1 9482    + caddc 9484    x. cmul 9486    - cmin 9796   NNcn 10531   [,]cicc 11535   ...cfz 11675   EEcee 24393    Btwn cbtwn 24394
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676  df-ee 24396  df-btwn 24397
This theorem is referenced by:  brbtwn2  24410  axsegcon  24432  ax5seg  24443  axbtwnid  24444  axpasch  24446  axeuclid  24468  axcontlem2  24470  axcontlem4  24472  axcontlem7  24475  axcontlem8  24476
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