Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  brbtwn Structured version   Unicode version

Theorem brbtwn 23875
 Description: The binary relationship form of the betweenness predicate. The statement should be informally read as " lies on a line segment between and . This exact definition is abstracted away by Tarski's geometry axioms later on. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
brbtwn
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,

Proof of Theorem brbtwn
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-btwn 23868 . . 3
21breqi 4453 . 2
3 opex 4711 . . . . 5
4 brcnvg 5181 . . . . 5
53, 4mpan2 671 . . . 4
653ad2ant1 1017 . . 3
7 df-br 4448 . . . 4
8 eleq1 2539 . . . . . . . . . 10
983anbi1d 1303 . . . . . . . . 9
10 fveq1 5863 . . . . . . . . . . . . 13
1110oveq2d 6298 . . . . . . . . . . . 12
1211oveq1d 6297 . . . . . . . . . . 11
1312eqeq2d 2481 . . . . . . . . . 10
1413rexralbidv 2981 . . . . . . . . 9
159, 14anbi12d 710 . . . . . . . 8
1615rexbidv 2973 . . . . . . 7
17 eleq1 2539 . . . . . . . . . 10
18173anbi2d 1304 . . . . . . . . 9
19 fveq1 5863 . . . . . . . . . . . . 13
2019oveq2d 6298 . . . . . . . . . . . 12
2120oveq2d 6298 . . . . . . . . . . 11
2221eqeq2d 2481 . . . . . . . . . 10
2322rexralbidv 2981 . . . . . . . . 9
2418, 23anbi12d 710 . . . . . . . 8
2524rexbidv 2973 . . . . . . 7
26 eleq1 2539 . . . . . . . . . 10
27263anbi3d 1305 . . . . . . . . 9
28 fveq1 5863 . . . . . . . . . . 11
2928eqeq1d 2469 . . . . . . . . . 10
3029rexralbidv 2981 . . . . . . . . 9
3127, 30anbi12d 710 . . . . . . . 8
3231rexbidv 2973 . . . . . . 7
3316, 25, 32eloprabg 6372 . . . . . 6
34 simp1 996 . . . . . . . . . . . 12
35 simp1 996 . . . . . . . . . . . 12
36 eedimeq 23874 . . . . . . . . . . . 12
3734, 35, 36syl2anr 478 . . . . . . . . . . 11
38 oveq2 6290 . . . . . . . . . . . . 13
3938raleqdv 3064 . . . . . . . . . . . 12
4039rexbidv 2973 . . . . . . . . . . 11
4137, 40syl 16 . . . . . . . . . 10
4241biimpd 207 . . . . . . . . 9
4342expimpd 603 . . . . . . . 8
4443rexlimdvw 2958 . . . . . . 7
45 eleenn 23872 . . . . . . . . 9
46453ad2ant1 1017 . . . . . . . 8
47 fveq2 5864 . . . . . . . . . . . . 13
4847eleq2d 2537 . . . . . . . . . . . 12
4947eleq2d 2537 . . . . . . . . . . . 12
5047eleq2d 2537 . . . . . . . . . . . 12
5148, 49, 503anbi123d 1299 . . . . . . . . . . 11
5251, 40anbi12d 710 . . . . . . . . . 10
5352rspcev 3214 . . . . . . . . 9
5453exp32 605 . . . . . . . 8
5546, 54mpcom 36 . . . . . . 7
5644, 55impbid 191 . . . . . 6
5733, 56bitrd 253 . . . . 5
58573comr 1204 . . . 4
597, 58syl5bb 257 . . 3
606, 59bitrd 253 . 2
612, 60syl5bb 257 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 973   wceq 1379   wcel 1767  wral 2814  wrex 2815  cvv 3113  cop 4033   class class class wbr 4447  ccnv 4998  cfv 5586  (class class class)co 6282  coprab 6283  cc0 9488  c1 9489   caddc 9491   cmul 9493   cmin 9801  cn 10532  cicc 11528  cfz 11668  cee 23864   cbtwn 23865 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-map 7419  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-z 10861  df-uz 11079  df-fz 11669  df-ee 23867  df-btwn 23868 This theorem is referenced by:  brbtwn2  23881  axsegcon  23903  ax5seg  23914  axbtwnid  23915  axpasch  23917  axeuclid  23939  axcontlem2  23941  axcontlem4  23943  axcontlem7  23946  axcontlem8  23947
 Copyright terms: Public domain W3C validator