Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  brbigcup Structured version   Unicode version

Theorem brbigcup 30249
Description: Binary relationship over  Bigcup. (Contributed by Scott Fenton, 11-Apr-2012.)
Hypothesis
Ref Expression
brbigcup.1  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
brbigcup  |-  ( A
Bigcup B  <->  U. A  =  B )

Proof of Theorem brbigcup
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relbigcup 30248 . . 3  |-  Rel  Bigcup
21brrelexi 4866 . 2  |-  ( A
Bigcup B  ->  A  e.  _V )
3 brbigcup.1 . . . 4  |-  B  e. 
_V
4 eleq1 2476 . . . 4  |-  ( U. A  =  B  ->  ( U. A  e.  _V  <->  B  e.  _V ) )
53, 4mpbiri 235 . . 3  |-  ( U. A  =  B  ->  U. A  e.  _V )
6 uniexb 6594 . . 3  |-  ( A  e.  _V  <->  U. A  e. 
_V )
75, 6sylibr 214 . 2  |-  ( U. A  =  B  ->  A  e.  _V )
8 breq1 4400 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  (
x Bigcup B  <->  A Bigcup B ) )
9 unieq 4201 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  U. x  =  U. A )
109eqeq1d 2406 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  ( U. x  =  B  <->  U. A  =  B ) )
11 vex 3064 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
12 df-bigcup 30208 . . . . 5  |-  Bigcup  =  ( ( _V  X.  _V )  \  ran  ( ( _V  (x)  _E  )  /_\  ( (  _E  o.  _E  )  (x)  _V )
) )
13 brxp 4856 . . . . . 6  |-  ( x ( _V  X.  _V ) B  <->  ( x  e. 
_V  /\  B  e.  _V ) )
1411, 3, 13mpbir2an 923 . . . . 5  |-  x ( _V  X.  _V ) B
15 epel 4739 . . . . . . 7  |-  ( y  _E  z  <->  y  e.  z )
1615rexbii 2908 . . . . . 6  |-  ( E. z  e.  x  y  _E  z  <->  E. z  e.  x  y  e.  z )
17 vex 3064 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
1817, 11coep 29977 . . . . . 6  |-  ( y (  _E  o.  _E  ) x  <->  E. z  e.  x  y  _E  z )
19 eluni2 4197 . . . . . 6  |-  ( y  e.  U. x  <->  E. z  e.  x  y  e.  z )
2016, 18, 193bitr4ri 280 . . . . 5  |-  ( y  e.  U. x  <->  y (  _E  o.  _E  ) x )
2111, 3, 12, 14, 20brtxpsd3 30247 . . . 4  |-  ( x
Bigcup B  <->  B  =  U. x )
22 eqcom 2413 . . . 4  |-  ( B  =  U. x  <->  U. x  =  B )
2321, 22bitri 251 . . 3  |-  ( x
Bigcup B  <->  U. x  =  B )
248, 10, 23vtoclbg 3120 . 2  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A Bigcup B  <->  U. A  =  B ) )
252, 7, 24pm5.21nii 353 1  |-  ( A
Bigcup B  <->  U. A  =  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 186    = wceq 1407    e. wcel 1844   E.wrex 2757   _Vcvv 3061   U.cuni 4193   class class class wbr 4397    _E cep 4734    X. cxp 4823    o. ccom 4829   Bigcupcbigcup 30184
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-symdif 3672  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-op 3981  df-uni 4194  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-eprel 4736  df-id 4740  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-fo 5577  df-fv 5579  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-txp 30204  df-bigcup 30208
This theorem is referenced by:  dfbigcup2  30250  fvbigcup  30253  ellimits  30261  brapply  30289  dfrdg4  30302
  Copyright terms: Public domain W3C validator