Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  brbigcup Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem brbigcup 30658
Description: Binary relationship over  Bigcup. (Contributed by Scott Fenton, 11-Apr-2012.)
Hypothesis
Ref Expression
brbigcup.1  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
brbigcup  |-  ( A
Bigcup B  <->  U. A  =  B )

Proof of Theorem brbigcup
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relbigcup 30657 . . 3  |-  Rel  Bigcup
21brrelexi 4874 . 2  |-  ( A
Bigcup B  ->  A  e.  _V )
3 brbigcup.1 . . . 4  |-  B  e. 
_V
4 eleq1 2516 . . . 4  |-  ( U. A  =  B  ->  ( U. A  e.  _V  <->  B  e.  _V ) )
53, 4mpbiri 237 . . 3  |-  ( U. A  =  B  ->  U. A  e.  _V )
6 uniexb 6598 . . 3  |-  ( A  e.  _V  <->  U. A  e. 
_V )
75, 6sylibr 216 . 2  |-  ( U. A  =  B  ->  A  e.  _V )
8 breq1 4404 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  (
x Bigcup B  <->  A Bigcup B ) )
9 unieq 4205 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  U. x  =  U. A )
109eqeq1d 2452 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  ( U. x  =  B  <->  U. A  =  B ) )
11 vex 3047 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
12 df-bigcup 30617 . . . . 5  |-  Bigcup  =  ( ( _V  X.  _V )  \  ran  ( ( _V  (x)  _E  )  /_\  ( (  _E  o.  _E  )  (x)  _V )
) )
13 brxp 4864 . . . . . 6  |-  ( x ( _V  X.  _V ) B  <->  ( x  e. 
_V  /\  B  e.  _V ) )
1411, 3, 13mpbir2an 930 . . . . 5  |-  x ( _V  X.  _V ) B
15 epel 4747 . . . . . . 7  |-  ( y  _E  z  <->  y  e.  z )
1615rexbii 2888 . . . . . 6  |-  ( E. z  e.  x  y  _E  z  <->  E. z  e.  x  y  e.  z )
17 vex 3047 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
1817, 11coep 30384 . . . . . 6  |-  ( y (  _E  o.  _E  ) x  <->  E. z  e.  x  y  _E  z )
19 eluni2 4201 . . . . . 6  |-  ( y  e.  U. x  <->  E. z  e.  x  y  e.  z )
2016, 18, 193bitr4ri 282 . . . . 5  |-  ( y  e.  U. x  <->  y (  _E  o.  _E  ) x )
2111, 3, 12, 14, 20brtxpsd3 30656 . . . 4  |-  ( x
Bigcup B  <->  B  =  U. x )
22 eqcom 2457 . . . 4  |-  ( B  =  U. x  <->  U. x  =  B )
2321, 22bitri 253 . . 3  |-  ( x
Bigcup B  <->  U. x  =  B )
248, 10, 23vtoclbg 3107 . 2  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A Bigcup B  <->  U. A  =  B ) )
252, 7, 24pm5.21nii 355 1  |-  ( A
Bigcup B  <->  U. A  =  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 188    = wceq 1443    e. wcel 1886   E.wrex 2737   _Vcvv 3044   U.cuni 4197   class class class wbr 4401    _E cep 4742    X. cxp 4831    o. ccom 4837   Bigcupcbigcup 30593
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-symdif 3662  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-op 3974  df-uni 4198  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-eprel 4744  df-id 4748  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-fo 5587  df-fv 5589  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-txp 30613  df-bigcup 30617
This theorem is referenced by:  dfbigcup2  30659  fvbigcup  30662  ellimits  30670  brapply  30698  dfrdg4  30711
  Copyright terms: Public domain W3C validator