Theorem braval 11504

Description: The bra of a vector, expressed as <.A | in Dirac notation. See df-bra 11413.

Assertion

Ref	Expression
braval	|- (A e. ~H -> (bra` A) = {<.x, y>. | (x e. ~H /\ y = (x .ih A))})

Distinct variable group:   x,y,A

Proof of Theorem braval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq2 4890	. . . . 5 |- (z = A -> (x .ih z) = (x .ih A))
2	1	eqeq2d 1895	. . . 4 |- (z = A -> (y = (x .ih z) <-> y = (x .ih A)))
3	2	anbi2d 678	. . 3 |- (z = A -> ((x e. ~H /\ y = (x .ih z)) <-> (x e. ~H /\ y = (x .ih A))))
4	3	opabbidv 3401	. 2 |- (z = A -> {<.x, y>. | (x e. ~H /\ y = (x .ih z))} = {<.x, y>. | (x e. ~H /\ y = (x .ih A))})
5		df-bra 11413	. 2 |- bra = {<.z, w>. | (z e. ~H /\ w = {<.x, y>. | (x e. ~H /\ y = (x .ih z))})}
6		ax-hilex 10501	. . 3 |- ~H e. _V
7	6	opabex2 4539	. 2 |- {<.x, y>. | (x e. ~H /\ y = (x .ih A))} e. _V
8	4, 5, 7	fvopab4 4743	1 |- (A e. ~H -> (bra` A) = {<.x, y>. | (x e. ~H /\ y = (x .ih A))})

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  {copab 3395  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  ~Hchil 10420   .ih csp 10425  bracbr 10457

This theorem is referenced by:  bravalval 11505  brafn 11508  bra0 11511  brafnmul 11512  rnbra 11678  kbass2 11688

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-hilex 10501

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014  df-opr 4886  df-bra 11413

Copyright terms: Public domain