Theorem bralnfn 11509

Description: The Dirac bra function is a linear functional.

Assertion

Ref	Expression
bralnfn	|- (A e. ~H -> (bra` A) e. LinFn)

Proof of Theorem bralnfn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ellnfn 11447	. 2 |- ((bra` A) e. LinFn <-> ((bra` A):~H-->CC /\ A.x e. CC A.y e. ~H A.z e. ~H ((bra` A)` ((x .h y) +h z)) = ((x x. ((bra` A)` y)) + ((bra` A)` z))))
2		brafn 11508	. 2 |- (A e. ~H -> (bra` A):~H-->CC)
3		simpll 448	. . . . . . 7 |- (((A e. ~H /\ x e. CC) /\ (y e. ~H /\ z e. ~H)) -> A e. ~H)
4		hvmulcl 10515	. . . . . . . 8 |- ((x e. CC /\ y e. ~H) -> (x .h y) e. ~H)
5	4	ad2ant2lr 446	. . . . . . 7 |- (((A e. ~H /\ x e. CC) /\ (y e. ~H /\ z e. ~H)) -> (x .h y) e. ~H)
6		simprr 451	. . . . . . 7 |- (((A e. ~H /\ x e. CC) /\ (y e. ~H /\ z e. ~H)) -> z e. ~H)
7		braadd 11506	. . . . . . 7 |- ((A e. ~H /\ (x .h y) e. ~H /\ z e. ~H) -> ((bra` A)` ((x .h y) +h z)) = (((bra` A)` (x .h y)) + ((bra` A)` z)))
8	3, 5, 6, 7	syl111anc 1100	. . . . . 6 |- (((A e. ~H /\ x e. CC) /\ (y e. ~H /\ z e. ~H)) -> ((bra` A)` ((x .h y) +h z)) = (((bra` A)` (x .h y)) + ((bra` A)` z)))
9		bramul 11507	. . . . . . . . 9 |- ((A e. ~H /\ x e. CC /\ y e. ~H) -> ((bra` A)` (x .h y)) = (x x. ((bra` A)` y)))
10	9	3expa 1067	. . . . . . . 8 |- (((A e. ~H /\ x e. CC) /\ y e. ~H) -> ((bra` A)` (x .h y)) = (x x. ((bra` A)` y)))
11	10	adantrr 431	. . . . . . 7 |- (((A e. ~H /\ x e. CC) /\ (y e. ~H /\ z e. ~H)) -> ((bra` A)` (x .h y)) = (x x. ((bra` A)` y)))
12	11	opreq1d 4897	. . . . . 6 |- (((A e. ~H /\ x e. CC) /\ (y e. ~H /\ z e. ~H)) -> (((bra` A)` (x .h y)) + ((bra` A)` z)) = ((x x. ((bra` A)` y)) + ((bra` A)` z)))
13	8, 12	eqtrd 1925	. . . . 5 |- (((A e. ~H /\ x e. CC) /\ (y e. ~H /\ z e. ~H)) -> ((bra` A)` ((x .h y) +h z)) = ((x x. ((bra` A)` y)) + ((bra` A)` z)))
14	13	ex 402	. . . 4 |- ((A e. ~H /\ x e. CC) -> ((y e. ~H /\ z e. ~H) -> ((bra` A)` ((x .h y) +h z)) = ((x x. ((bra` A)` y)) + ((bra` A)` z))))
15	14	r19.21aivv 2183	. . 3 |- ((A e. ~H /\ x e. CC) -> A.y e. ~H A.z e. ~H ((bra` A)` ((x .h y) +h z)) = ((x x. ((bra` A)` y)) + ((bra` A)` z)))
16	15	r19.21aiva 2176	. 2 |- (A e. ~H -> A.x e. CC A.y e. ~H A.z e. ~H ((bra` A)` ((x .h y) +h z)) = ((x x. ((bra` A)` y)) + ((bra` A)` z)))
17	1, 2, 16	sylanbrc 527	1 |- (A e. ~H -> (bra` A) e. LinFn)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384   + caddc 6389   x. cmul 6391  ~Hchil 10420   +h cva 10421   .h csm 10422  LinFnclf 10455  bracbr 10457

This theorem is referenced by:  rnbra 11678  kbass4 11690

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-hilex 10501  ax-hfvadd 10502  ax-hfvmul 10507  ax-hfi 10579  ax-his2 10583  ax-his3 10584

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-opr 4886  df-lnfn 11411  df-bra 11413

Copyright terms: Public domain