Theorem brafnmul 11512

Description: Anti-linearity property of bra functional for multiplication.

Assertion

Ref	Expression
brafnmul	|- ((A e. CC /\ B e. ~H) -> (bra` (A .h B)) = ((*` A) .fn (bra` B)))

Proof of Theorem brafnmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		his5 10586	. . . . . . . 8 |- ((A e. CC /\ x e. ~H /\ B e. ~H) -> (x .ih (A .h B)) = ((*` A) x. (x .ih B)))
2	1	3com23 1074	. . . . . . 7 |- ((A e. CC /\ B e. ~H /\ x e. ~H) -> (x .ih (A .h B)) = ((*` A) x. (x .ih B)))
3	2	3expa 1067	. . . . . 6 |- (((A e. CC /\ B e. ~H) /\ x e. ~H) -> (x .ih (A .h B)) = ((*` A) x. (x .ih B)))
4		bravalval 11505	. . . . . . . 8 |- ((B e. ~H /\ x e. ~H) -> ((bra` B)` x) = (x .ih B))
5	4	adantll 428	. . . . . . 7 |- (((A e. CC /\ B e. ~H) /\ x e. ~H) -> ((bra` B)` x) = (x .ih B))
6	5	opreq2d 4898	. . . . . 6 |- (((A e. CC /\ B e. ~H) /\ x e. ~H) -> ((*` A) x. ((bra` B)` x)) = ((*` A) x. (x .ih B)))
7	3, 6	eqtr4d 1928	. . . . 5 |- (((A e. CC /\ B e. ~H) /\ x e. ~H) -> (x .ih (A .h B)) = ((*` A) x. ((bra` B)` x)))
8	7	eqeq2d 1895	. . . 4 |- (((A e. CC /\ B e. ~H) /\ x e. ~H) -> (y = (x .ih (A .h B)) <-> y = ((*` A) x. ((bra` B)` x))))
9	8	pm5.32da 711	. . 3 |- ((A e. CC /\ B e. ~H) -> ((x e. ~H /\ y = (x .ih (A .h B))) <-> (x e. ~H /\ y = ((*` A) x. ((bra` B)` x)))))
10	9	opabbidv 3401	. 2 |- ((A e. CC /\ B e. ~H) -> {<.x, y>. | (x e. ~H /\ y = (x .ih (A .h B)))} = {<.x, y>. | (x e. ~H /\ y = ((*` A) x. ((bra` B)` x)))})
11		hvmulcl 10515	. . 3 |- ((A e. CC /\ B e. ~H) -> (A .h B) e. ~H)
12		braval 11504	. . 3 |- ((A .h B) e. ~H -> (bra` (A .h B)) = {<.x, y>. | (x e. ~H /\ y = (x .ih (A .h B)))})
13	11, 12	syl 12	. 2 |- ((A e. CC /\ B e. ~H) -> (bra` (A .h B)) = {<.x, y>. | (x e. ~H /\ y = (x .ih (A .h B)))})
14		hfmmval 11148	. . 3 |- (((*` A) e. CC /\ (bra` B):~H-->CC) -> ((*` A) .fn (bra` B)) = {<.x, y>. | (x e. ~H /\ y = ((*` A) x. ((bra` B)` x)))})
15		cjcl 8014	. . 3 |- (A e. CC -> (*` A) e. CC)
16		brafn 11508	. . 3 |- (B e. ~H -> (bra` B):~H-->CC)
17	14, 15, 16	syl2an 503	. 2 |- ((A e. CC /\ B e. ~H) -> ((*` A) .fn (bra` B)) = {<.x, y>. | (x e. ~H /\ y = ((*` A) x. ((bra` B)` x)))})
18	10, 13, 17	3eqtr4d 1937	1 |- ((A e. CC /\ B e. ~H) -> (bra` (A .h B)) = ((*` A) .fn (bra` B)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  {copab 3395  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384   x. cmul 6391  *ccj 7999  ~Hchil 10420   .h csm 10422   .ih csp 10425   .fn chft 10443  bracbr 10457

This theorem is referenced by:  cnvbramul 11686

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731  ax-hilex 10501  ax-hfvmul 10507  ax-hfi 10579  ax-his1 10582  ax-his3 10584

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-map 5383  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-hfmul 11143  df-bra 11413

Copyright terms: Public domain