MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  brabv Structured version   Unicode version

Theorem brabv 6323
Description: If two classes are in a relationship given by an ordered-pair class abstraction, the classes are sets. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
brabv  |-  ( X { <. x ,  y
>.  |  ph } Y  ->  ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )
)

Proof of Theorem brabv
StepHypRef Expression
1 df-br 4396 . 2  |-  ( X { <. x ,  y
>.  |  ph } Y  <->  <. X ,  Y >.  e. 
{ <. x ,  y
>.  |  ph } )
2 opprc 4181 . . . 4  |-  ( -.  ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  -> 
<. X ,  Y >.  =  (/) )
3 0neqopab 6322 . . . . 5  |-  -.  (/)  e.  { <. x ,  y >.  |  ph }
4 eleq1 2474 . . . . 5  |-  ( <. X ,  Y >.  =  (/)  ->  ( <. X ,  Y >.  e.  { <. x ,  y >.  |  ph } 
<->  (/)  e.  { <. x ,  y >.  |  ph } ) )
53, 4mtbiri 301 . . . 4  |-  ( <. X ,  Y >.  =  (/)  ->  -.  <. X ,  Y >.  e.  { <. x ,  y >.  |  ph } )
62, 5syl 17 . . 3  |-  ( -.  ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  ->  -.  <. X ,  Y >.  e.  { <. x ,  y >.  |  ph } )
76con4i 130 . 2  |-  ( <. X ,  Y >.  e. 
{ <. x ,  y
>.  |  ph }  ->  ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )
)
81, 7sylbi 195 1  |-  ( X { <. x ,  y
>.  |  ph } Y  ->  ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   _Vcvv 3059   (/)c0 3738   <.cop 3978   class class class wbr 4395   {copab 4452
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pr 4630
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-v 3061  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-br 4396  df-opab 4454
This theorem is referenced by:  bropopvvv  6864  isfunc  15477  eqgval  16574
  Copyright terms: Public domain W3C validator