MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  brabv Structured version   Unicode version

Theorem brabv 6244
Description: If two classes are in a relationship given by an ordered-pair class abstraction, the classes are sets. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
brabv  |-  ( X { <. x ,  y
>.  |  ph } Y  ->  ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )
)

Proof of Theorem brabv
StepHypRef Expression
1 df-br 4404 . 2  |-  ( X { <. x ,  y
>.  |  ph } Y  <->  <. X ,  Y >.  e. 
{ <. x ,  y
>.  |  ph } )
2 opprc 4192 . . . 4  |-  ( -.  ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  -> 
<. X ,  Y >.  =  (/) )
3 0neqopab 6243 . . . . 5  |-  -.  (/)  e.  { <. x ,  y >.  |  ph }
4 eleq1 2526 . . . . 5  |-  ( <. X ,  Y >.  =  (/)  ->  ( <. X ,  Y >.  e.  { <. x ,  y >.  |  ph } 
<->  (/)  e.  { <. x ,  y >.  |  ph } ) )
53, 4mtbiri 303 . . . 4  |-  ( <. X ,  Y >.  =  (/)  ->  -.  <. X ,  Y >.  e.  { <. x ,  y >.  |  ph } )
62, 5syl 16 . . 3  |-  ( -.  ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  ->  -.  <. X ,  Y >.  e.  { <. x ,  y >.  |  ph } )
76con4i 130 . 2  |-  ( <. X ,  Y >.  e. 
{ <. x ,  y
>.  |  ph }  ->  ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )
)
81, 7sylbi 195 1  |-  ( X { <. x ,  y
>.  |  ph } Y  ->  ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3078   (/)c0 3748   <.cop 3994   class class class wbr 4403   {copab 4460
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pr 4642
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-v 3080  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-br 4404  df-opab 4462
This theorem is referenced by:  bropopvvv  6766  isfunc  14897  eqgval  15853
  Copyright terms: Public domain W3C validator