Theorem brabg 3568

Description: The law of concretion for a binary relation.

Hypotheses

Ref	Expression
opelopabg.1	|- (x = A -> (ph <-> ps))
opelopabg.2	|- (y = B -> (ps <-> ch))
brabg.5	|- R = {<.x, y>. | ph}

Assertion

Ref	Expression
brabg	|- ((A e. C /\ B e. D) -> (ARB <-> ch))

Distinct variable groups:   x,y,A   x,B,y   ch,x,y

Proof of Theorem brabg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelopabg.1	. . 3 |- (x = A -> (ph <-> ps))
2		opelopabg.2	. . 3 |- (y = B -> (ps <-> ch))
3	1, 2	opelopabg 3567	. 2 |- ((A e. C /\ B e. D) -> (<.A, B>. e. {<.x, y>. | ph} <-> ch))
4		df-br 3339	. . 3 |- (ARB <-> <.A, B>. e. R)
5		brabg.5	. . . 4 |- R = {<.x, y>. | ph}
6	5	eleq2i 1961	. . 3 |- (<.A, B>. e. R <-> <.A, B>. e. {<.x, y>. | ph})
7	4, 6	bitri 190	. 2 |- (ARB <-> <.A, B>. e. {<.x, y>. | ph})
8	3, 7	syl5bb 591	1 |- ((A e. C /\ B e. D) -> (ARB <-> ch))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  <.cop 3046   class class class wbr 3338  {copab 3395

This theorem is referenced by:  brab 3571  ideqg 4114  ideqgOLD 4115  opelcnvg 4140  f1owe 4882  breng 5434  brdomg 5435  ltprord 6286  clim 8237  lmbr 9206  hmph 10241  hlim2 10693  cmbr 11160  leopg 11693  cvbr 11854  mdbr 11866  dmdbr 11871  epelcNEW 13826  soseq 13955  sltval 13988  isfne 15480  isref 15488  brabg2 15681  isphtpc 16059  isriscg 16138

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-br 3339  df-opab 3396

Copyright terms: Public domain