Theorem braadd 11506

Description: Linearity property of bra for addition.

Assertion

Ref	Expression
braadd	|- ((A e. ~H /\ B e. ~H /\ C e. ~H) -> ((bra` A)` (B +h C)) = (((bra` A)` B) + ((bra` A)` C)))

Proof of Theorem braadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-his2 10583	. . 3 |- ((B e. ~H /\ C e. ~H /\ A e. ~H) -> ((B +h C) .ih A) = ((B .ih A) + (C .ih A)))
2	1	3comr 1076	. 2 |- ((A e. ~H /\ B e. ~H /\ C e. ~H) -> ((B +h C) .ih A) = ((B .ih A) + (C .ih A)))
3		bravalval 11505	. . . 4 |- ((A e. ~H /\ (B +h C) e. ~H) -> ((bra` A)` (B +h C)) = ((B +h C) .ih A))
4		hvaddcl 10514	. . . 4 |- ((B e. ~H /\ C e. ~H) -> (B +h C) e. ~H)
5	3, 4	sylan2 500	. . 3 |- ((A e. ~H /\ (B e. ~H /\ C e. ~H)) -> ((bra` A)` (B +h C)) = ((B +h C) .ih A))
6	5	3impb 1063	. 2 |- ((A e. ~H /\ B e. ~H /\ C e. ~H) -> ((bra` A)` (B +h C)) = ((B +h C) .ih A))
7		bravalval 11505	. . . 4 |- ((A e. ~H /\ B e. ~H) -> ((bra` A)` B) = (B .ih A))
8	7	3adant3 896	. . 3 |- ((A e. ~H /\ B e. ~H /\ C e. ~H) -> ((bra` A)` B) = (B .ih A))
9		bravalval 11505	. . . 4 |- ((A e. ~H /\ C e. ~H) -> ((bra` A)` C) = (C .ih A))
10	9	3adant2 895	. . 3 |- ((A e. ~H /\ B e. ~H /\ C e. ~H) -> ((bra` A)` C) = (C .ih A))
11	8, 10	opreq12d 4900	. 2 |- ((A e. ~H /\ B e. ~H /\ C e. ~H) -> (((bra` A)` B) + ((bra` A)` C)) = ((B .ih A) + (C .ih A)))
12	2, 6, 11	3eqtr4d 1937	1 |- ((A e. ~H /\ B e. ~H /\ C e. ~H) -> ((bra` A)` (B +h C)) = (((bra` A)` B) + ((bra` A)` C)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  ` cfv 3998  (class class class)co 4884   + caddc 6389  ~Hchil 10420   +h cva 10421   .ih csp 10425  bracbr 10457

This theorem is referenced by:  bralnfn 11509

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-hilex 10501  ax-hfvadd 10502  ax-his2 10583

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-opr 4886  df-bra 11413

Copyright terms: Public domain