Theorem bra11 11679

Description: The bra function maps vectors one-to-one onto the set of continuous linear functionals.

Assertion

Ref	Expression
bra11	|- bra:~H-1-1-onto->(LinFn i^i ConFn)

Proof of Theorem bra11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dff1o2 4639	. 2 |- (bra:~H-1-1-onto->(LinFn i^i ConFn) <-> (bra Fn ~H /\ Fun `'bra /\ ran bra = (LinFn i^i ConFn)))
2		ax-hilex 10501	. . . 4 |- ~H e. _V
3	2	opabex2 4539	. . 3 |- {<.x, y>. | (x e. ~H /\ y = (x .ih z))} e. _V
4		df-bra 11413	. . 3 |- bra = {<.z, t>. | (z e. ~H /\ t = {<.x, y>. | (x e. ~H /\ y = (x .ih z))})}
5	3, 4	fnopab2 4549	. 2 |- bra Fn ~H
6		funcnv 4475	. . 3 |- (Fun `'bra <-> A.t e. ran braE*z zbrat)
7		visset 2295	. . . . . . . . . . . 12 |- t e. _V
8	7	fnbrfvb 4712	. . . . . . . . . . 11 |- ((bra Fn ~H /\ z e. ~H) -> ((bra` z) = t <-> zbrat))
9	5, 8	mpan 759	. . . . . . . . . 10 |- (z e. ~H -> ((bra` z) = t <-> zbrat))
10	7	fnbrfvb 4712	. . . . . . . . . . 11 |- ((bra Fn ~H /\ y e. ~H) -> ((bra` y) = t <-> ybrat))
11	5, 10	mpan 759	. . . . . . . . . 10 |- (y e. ~H -> ((bra` y) = t <-> ybrat))
12	9, 11	bi2anan9 694	. . . . . . . . 9 |- ((z e. ~H /\ y e. ~H) -> (((bra` z) = t /\ (bra` y) = t) <-> (zbrat /\ ybrat)))
13		fveq1 4680	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((bra` z) = (bra` y) -> ((bra` z)` x) = ((bra` y)` x))
14	13	adantl 424	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((((z e. ~H /\ y e. ~H) /\ x e. ~H) /\ (bra` z) = (bra` y)) -> ((bra` z)` x) = ((bra` y)` x))
15		bravalval 11505	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((z e. ~H /\ x e. ~H) -> ((bra` z)` x) = (x .ih z))
16	15	adantlr 429	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((z e. ~H /\ y e. ~H) /\ x e. ~H) -> ((bra` z)` x) = (x .ih z))
17	16	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((((z e. ~H /\ y e. ~H) /\ x e. ~H) /\ (bra` z) = (bra` y)) -> ((bra` z)` x) = (x .ih z))
18		bravalval 11505	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((y e. ~H /\ x e. ~H) -> ((bra` y)` x) = (x .ih y))
19	18	adantll 428	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((z e. ~H /\ y e. ~H) /\ x e. ~H) -> ((bra` y)` x) = (x .ih y))
20	19	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((((z e. ~H /\ y e. ~H) /\ x e. ~H) /\ (bra` z) = (bra` y)) -> ((bra` y)` x) = (x .ih y))
21	14, 17, 20	3eqtr3d 1934	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((((z e. ~H /\ y e. ~H) /\ x e. ~H) /\ (bra` z) = (bra` y)) -> (x .ih z) = (x .ih y))
22	21	exp31 407	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((z e. ~H /\ y e. ~H) -> (x e. ~H -> ((bra` z) = (bra` y) -> (x .ih z) = (x .ih y))))
23	22	com23 36	. . . . . . . . . . . 12 |- ((z e. ~H /\ y e. ~H) -> ((bra` z) = (bra` y) -> (x e. ~H -> (x .ih z) = (x .ih y))))
24	23	r19.21adv 2181	. . . . . . . . . . 11 |- ((z e. ~H /\ y e. ~H) -> ((bra` z) = (bra` y) -> A.x e. ~H (x .ih z) = (x .ih y)))
25		hial2eq2 10606	. . . . . . . . . . 11 |- ((z e. ~H /\ y e. ~H) -> (A.x e. ~H (x .ih z) = (x .ih y) <-> z = y))
26	24, 25	sylibd 219	. . . . . . . . . 10 |- ((z e. ~H /\ y e. ~H) -> ((bra` z) = (bra` y) -> z = y))
27		eqtr3 1907	. . . . . . . . . 10 |- (((bra` z) = t /\ (bra` y) = t) -> (bra` z) = (bra` y))
28	26, 27	syl5 20	. . . . . . . . 9 |- ((z e. ~H /\ y e. ~H) -> (((bra` z) = t /\ (bra` y) = t) -> z = y))
29	12, 28	sylbird 222	. . . . . . . 8 |- ((z e. ~H /\ y e. ~H) -> ((zbrat /\ ybrat) -> z = y))
30	29	imp 377	. . . . . . 7 |- (((z e. ~H /\ y e. ~H) /\ (zbrat /\ ybrat)) -> z = y)
31	30	an4s 566	. . . . . 6 |- (((z e. ~H /\ zbrat) /\ (y e. ~H /\ ybrat)) -> z = y)
32	31	gen2 1329	. . . . 5 |- A.zA.y(((z e. ~H /\ zbrat) /\ (y e. ~H /\ ybrat)) -> z = y)
33	32	a1i 8	. . . 4 |- (E.z e. ~H (bra` z) = t -> A.zA.y(((z e. ~H /\ zbrat) /\ (y e. ~H /\ ybrat)) -> z = y))
34		fvelrnb 4719	. . . . 5 |- (bra Fn ~H -> (t e. ran bra <-> E.z e. ~H (bra` z) = t))
35	5, 34	ax-mp 7	. . . 4 |- (t e. ran bra <-> E.z e. ~H (bra` z) = t)
36		visset 2295	. . . . . . . . 9 |- z e. _V
37	36	breldm 4161	. . . . . . . 8 |- (zbrat -> z e. dom bra)
38	3, 4	dmopab2 4550	. . . . . . . 8 |- dom bra = ~H
39	37, 38	syl6eleq 1981	. . . . . . 7 |- (zbrat -> z e. ~H)
40	39	pm4.71ri 700	. . . . . 6 |- (zbrat <-> (z e. ~H /\ zbrat))
41	40	mobii 1801	. . . . 5 |- (E*z zbrat <-> E*z(z e. ~H /\ zbrat))
42		eleq1 1957	. . . . . . 7 |- (z = y -> (z e. ~H <-> y e. ~H))
43		breq1 3341	. . . . . . 7 |- (z = y -> (zbrat <-> ybrat))
44	42, 43	anbi12d 690	. . . . . 6 |- (z = y -> ((z e. ~H /\ zbrat) <-> (y e. ~H /\ ybrat)))
45	44	mo4 1799	. . . . 5 |- (E*z(z e. ~H /\ zbrat) <-> A.zA.y(((z e. ~H /\ zbrat) /\ (y e. ~H /\ ybrat)) -> z = y))
46	41, 45	bitri 190	. . . 4 |- (E*z zbrat <-> A.zA.y(((z e. ~H /\ zbrat) /\ (y e. ~H /\ ybrat)) -> z = y))
47	33, 35, 46	3imtr4i 236	. . 3 |- (t e. ran bra -> E*z zbrat)
48	6, 47	mprgbir 2163	. 2 |- Fun `'bra
49		rnbra 11678	. 2 |- ran bra = (LinFn i^i ConFn)
50	1, 5, 48, 49	mpbir3an 1052	1 |- bra:~H-1-1-onto->(LinFn i^i ConFn)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300  E*wmo 1772  A.wral 2105  E.wrex 2106   i^i cin 2592   class class class wbr 3338  {copab 3395  `'ccnv 3985  dom cdm 3986  ran crn 3987  Fun wfun 3992   Fn wfn 3993  -1-1-onto->wf1o 3997  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  ~Hchil 10420   .ih csp 10425  ConFnccnf 10454  LinFnclf 10455  bracbr 10457

This theorem is referenced by:  bracnln 11680  cnvbraval 11681  cnvbracl 11682  cnvbrabra 11683  bracnvbra 11684  bracnlnval 11685

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1302  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-reg 5695  ax-inf2 5731  ax-ac 5906  ax-hilex 10501  ax-hfvadd 10502  ax-hvcom 10503  ax-hvass 10504  ax-hv0cl 10505  ax-hvaddid 10506  ax-hfvmul 10507  ax-hvmulid 10508  ax-hvmulass 10509  ax-hvdistr1 10510  ax-hvdistr2 10511  ax-hvmul0 10512  ax-hfi 10579  ax-his1 10582  ax-his2 10583  ax-his3 10584  ax-his4 10585  ax-hcompl 10704

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-iin 3258  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-map 5383  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-r1 5750  df-rank 5751  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-3 7155  df-4 7156  df-n0 7309  df-z 7345  df-q 7436  df-fl 7463  df-ioo 7528  df-uz 7587  df-fz 7638  df-seq1 7721  df-shft 7754  df-seqz 7776  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-clim 8235  df-sum 8240  df-top 8861  df-bases 8863  df-topgen 8864  df-cld 8939  df-ntr 8940  df-cls 8941  df-cn 9030  df-cnp 9031  df-haus 9059  df-met 9070  df-bl 9072  df-opn 9073  df-lm 9200  df-grp 9316  df-gid 9317  df-ginv 9318  df-gdiv 9319  df-abl 9408  df-vc 9497  df-nv 9543  df-va 9546  df-ba 9547  df-sm 9548  df-0v 9549  df-vs 9550  df-nm 9551  df-ims 9552  df-ip 9689  df-ph 9813  df-hnorm 10469  df-hvsub 10472  df-hlim 10473  df-hcau 10474  df-sh 10709  df-ch 10725  df-oc 10757  df-ch0 10758  df-nmfn 11408  df-nlfn 11409  df-cnfn 11410  df-lnfn 11411  df-bra 11413

Copyright terms: Public domain