HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  bra11 Structured version   Unicode version

Theorem bra11 27737
Description: The bra function maps vectors one-to-one onto the set of continuous linear functionals. (Contributed by NM, 26-May-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
bra11  |-  bra : ~H
-1-1-onto-> ( LinFn  i^i  ConFn )

Proof of Theorem bra11
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-hilex 26628 . . . 4  |-  ~H  e.  _V
21mptex 6143 . . 3  |-  ( y  e.  ~H  |->  ( y 
.ih  x ) )  e.  _V
3 df-bra 27479 . . 3  |-  bra  =  ( x  e.  ~H  |->  ( y  e.  ~H  |->  ( y  .ih  x
) ) )
42, 3fnmpti 5716 . 2  |-  bra  Fn  ~H
5 rnbra 27736 . 2  |-  ran  bra  =  ( LinFn  i^i  ConFn )
6 fveq1 5872 . . . . . 6  |-  ( ( bra `  x )  =  ( bra `  y
)  ->  ( ( bra `  x ) `  z )  =  ( ( bra `  y
) `  z )
)
7 braval 27573 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( bra `  x
) `  z )  =  ( z  .ih  x ) )
87adantlr 719 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( bra `  x ) `  z
)  =  ( z 
.ih  x ) )
9 braval 27573 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( bra `  y
) `  z )  =  ( z  .ih  y ) )
109adantll 718 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( bra `  y ) `  z
)  =  ( z 
.ih  y ) )
118, 10eqeq12d 2442 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( ( bra `  x ) `
 z )  =  ( ( bra `  y
) `  z )  <->  ( z  .ih  x )  =  ( z  .ih  y ) ) )
126, 11syl5ib 222 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( bra `  x )  =  ( bra `  y )  ->  ( z  .ih  x )  =  ( z  .ih  y ) ) )
1312ralrimdva 2841 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( bra `  x
)  =  ( bra `  y )  ->  A. z  e.  ~H  ( z  .ih  x )  =  ( z  .ih  y ) ) )
14 hial2eq2 26736 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( A. z  e. 
~H  ( z  .ih  x )  =  ( z  .ih  y )  <-> 
x  =  y ) )
1513, 14sylibd 217 . . 3  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( bra `  x
)  =  ( bra `  y )  ->  x  =  y ) )
1615rgen2a 2850 . 2  |-  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( ( bra `  x )  =  ( bra `  y )  ->  x  =  y )
17 dff1o6 6181 . 2  |-  ( bra
: ~H -1-1-onto-> ( LinFn  i^i  ConFn )  <->  ( bra  Fn 
~H  /\  ran  bra  =  ( LinFn  i^i  ConFn )  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
( bra `  x
)  =  ( bra `  y )  ->  x  =  y ) ) )
184, 5, 16, 17mpbir3an 1187 1  |-  bra : ~H
-1-1-onto-> ( LinFn  i^i  ConFn )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1867   A.wral 2773    i^i cin 3432    |-> cmpt 4476   ran crn 4847    Fn wfn 5588   -1-1-onto->wf1o 5592   ` cfv 5593  (class class class)co 6297   ~Hchil 26548    .ih csp 26551   ConFnccnfn 26582   LinFnclf 26583   bracbr 26585
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4530  ax-sep 4540  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6589  ax-inf2 8144  ax-cc 8861  ax-cnex 9591  ax-resscn 9592  ax-1cn 9593  ax-icn 9594  ax-addcl 9595  ax-addrcl 9596  ax-mulcl 9597  ax-mulrcl 9598  ax-mulcom 9599  ax-addass 9600  ax-mulass 9601  ax-distr 9602  ax-i2m1 9603  ax-1ne0 9604  ax-1rid 9605  ax-rnegex 9606  ax-rrecex 9607  ax-cnre 9608  ax-pre-lttri 9609  ax-pre-lttrn 9610  ax-pre-ltadd 9611  ax-pre-mulgt0 9612  ax-pre-sup 9613  ax-addf 9614  ax-mulf 9615  ax-hilex 26628  ax-hfvadd 26629  ax-hvcom 26630  ax-hvass 26631  ax-hv0cl 26632  ax-hvaddid 26633  ax-hfvmul 26634  ax-hvmulid 26635  ax-hvmulass 26636  ax-hvdistr1 26637  ax-hvdistr2 26638  ax-hvmul0 26639  ax-hfi 26708  ax-his1 26711  ax-his2 26712  ax-his3 26713  ax-his4 26714  ax-hcompl 26831
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-iin 4296  df-br 4418  df-opab 4477  df-mpt 4478  df-tr 4513  df-eprel 4757  df-id 4761  df-po 4767  df-so 4768  df-fr 4805  df-se 4806  df-we 4807  df-xp 4852  df-rel 4853  df-cnv 4854  df-co 4855  df-dm 4856  df-rn 4857  df-res 4858  df-ima 4859  df-pred 5391  df-ord 5437  df-on 5438  df-lim 5439  df-suc 5440  df-iota 5557  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6259  df-ov 6300  df-oprab 6301  df-mpt2 6302  df-of 6537  df-om 6699  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-omul 7187  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7882  df-fi 7923  df-sup 7954  df-inf 7955  df-oi 8023  df-card 8370  df-acn 8373  df-cda 8594  df-pnf 9673  df-mnf 9674  df-xr 9675  df-ltxr 9676  df-le 9677  df-sub 9858  df-neg 9859  df-div 10266  df-nn 10606  df-2 10664  df-3 10665  df-4 10666  df-5 10667  df-6 10668  df-7 10669  df-8 10670  df-9 10671  df-10 10672  df-n0 10866  df-z 10934  df-dec 11048  df-uz 11156  df-q 11261  df-rp 11299  df-xneg 11405  df-xadd 11406  df-xmul 11407  df-ioo 11635  df-ico 11637  df-icc 11638  df-fz 11779  df-fzo 11910  df-fl 12021  df-seq 12207  df-exp 12266  df-hash 12509  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-clim 13530  df-rlim 13531  df-sum 13731  df-struct 15101  df-ndx 15102  df-slot 15103  df-base 15104  df-sets 15105  df-ress 15106  df-plusg 15181  df-mulr 15182  df-starv 15183  df-sca 15184  df-vsca 15185  df-ip 15186  df-tset 15187  df-ple 15188  df-ds 15190  df-unif 15191  df-hom 15192  df-cco 15193  df-rest 15299  df-topn 15300  df-0g 15318  df-gsum 15319  df-topgen 15320  df-pt 15321  df-prds 15324  df-xrs 15378  df-qtop 15384  df-imas 15385  df-xps 15388  df-mre 15470  df-mrc 15471  df-acs 15473  df-mgm 16466  df-sgrp 16505  df-mnd 16515  df-submnd 16561  df-mulg 16654  df-cntz 16949  df-cmn 17410  df-psmet 18940  df-xmet 18941  df-met 18942  df-bl 18943  df-mopn 18944  df-fbas 18945  df-fg 18946  df-cnfld 18949  df-top 19898  df-bases 19899  df-topon 19900  df-topsp 19901  df-cld 20011  df-ntr 20012  df-cls 20013  df-nei 20091  df-cn 20220  df-cnp 20221  df-lm 20222  df-t1 20307  df-haus 20308  df-tx 20554  df-hmeo 20747  df-fil 20838  df-fm 20930  df-flim 20931  df-flf 20932  df-xms 21312  df-ms 21313  df-tms 21314  df-cfil 22202  df-cau 22203  df-cmet 22204  df-grpo 25895  df-gid 25896  df-ginv 25897  df-gdiv 25898  df-ablo 25986  df-subgo 26006  df-vc 26141  df-nv 26187  df-va 26190  df-ba 26191  df-sm 26192  df-0v 26193  df-vs 26194  df-nmcv 26195  df-ims 26196  df-dip 26313  df-ssp 26337  df-ph 26430  df-cbn 26481  df-hnorm 26597  df-hba 26598  df-hvsub 26600  df-hlim 26601  df-hcau 26602  df-sh 26836  df-ch 26850  df-oc 26881  df-ch0 26882  df-nmfn 27474  df-nlfn 27475  df-cnfn 27476  df-lnfn 27477  df-bra 27479
This theorem is referenced by:  bracnln  27738  cnvbraval  27739  cnvbracl  27740  cnvbrabra  27741  bracnvbra  27742  bracnlnval  27743
  Copyright terms: Public domain W3C validator