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Theorem bposlem9 22515
Description: Lemma for bpos 22516. Derive a contradiction. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bposlem7.1  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  n ) ) )  +  ( ( 9  /  4
)  x.  ( G `
 ( n  / 
2 ) ) ) )  +  ( ( log `  2 )  /  ( sqr `  (
2  x.  n ) ) ) ) )
bposlem7.2  |-  G  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log `  x
)  /  x ) )
bposlem9.3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
bposlem9.4  |-  ( ph  -> ; 6
4  <  N )
bposlem9.5  |-  ( ph  ->  -.  E. p  e. 
Prime  ( N  <  p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) )
Assertion
Ref Expression
bposlem9  |-  ( ph  ->  ps )
Distinct variable groups:    n, N    n, G    ph, n    N, p    x, N
Allowed substitution hints:    ph( x, p)    ps( x, n, p)    F( x, n, p)    G( x, p)

Proof of Theorem bposlem9
Dummy variable  q is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bposlem9.4 . . 3  |-  ( ph  -> ; 6
4  <  N )
2 bposlem7.1 . . . 4  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  n ) ) )  +  ( ( 9  /  4
)  x.  ( G `
 ( n  / 
2 ) ) ) )  +  ( ( log `  2 )  /  ( sqr `  (
2  x.  n ) ) ) ) )
3 bposlem7.2 . . . 4  |-  G  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log `  x
)  /  x ) )
4 6nn0 10587 . . . . . 6  |-  6  e.  NN0
5 4nn 10468 . . . . . 6  |-  4  e.  NN
64, 5decnncl 10755 . . . . 5  |- ; 6 4  e.  NN
76a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  -> ; 6
4  e.  NN )
8 bposlem9.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
9 ere 13356 . . . . . . . 8  |-  _e  e.  RR
10 8re 10393 . . . . . . . 8  |-  8  e.  RR
11 egt2lt3 13470 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  <  _e  /\  _e  <  3 )
1211simpri 459 . . . . . . . . 9  |-  _e  <  3
13 3lt8 10500 . . . . . . . . 9  |-  3  <  8
14 3re 10382 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  RR
159, 14, 10lttri 9487 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _e  <  3  /\  3  <  8 )  ->  _e  <  8
)
1612, 13, 15mp2an 665 . . . . . . . 8  |-  _e  <  8
179, 10, 16ltleii 9484 . . . . . . 7  |-  _e  <_  8
18 0re 9373 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR
19 epos 13471 . . . . . . . . 9  |-  0  <  _e
2018, 9, 19ltleii 9484 . . . . . . . 8  |-  0  <_  _e
21 8pos 10409 . . . . . . . . 9  |-  0  <  8
2218, 10, 21ltleii 9484 . . . . . . . 8  |-  0  <_  8
23 le2sq 11923 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( _e  e.  RR  /\  0  <_  _e )  /\  ( 8  e.  RR  /\  0  <_  8 ) )  ->  ( _e  <_  8  <->  ( _e ^
2 )  <_  (
8 ^ 2 ) ) )
249, 20, 10, 22, 23mp4an 666 . . . . . . 7  |-  ( _e 
<_  8  <->  ( _e ^
2 )  <_  (
8 ^ 2 ) )
2517, 24mpbi 208 . . . . . 6  |-  ( _e
^ 2 )  <_ 
( 8 ^ 2 )
2610recni 9385 . . . . . . . 8  |-  8  e.  CC
2726sqvali 11928 . . . . . . 7  |-  ( 8 ^ 2 )  =  ( 8  x.  8 )
28 8t8e64 10836 . . . . . . 7  |-  ( 8  x.  8 )  = ; 6
4
2927, 28eqtri 2453 . . . . . 6  |-  ( 8 ^ 2 )  = ; 6
4
3025, 29breqtri 4303 . . . . 5  |-  ( _e
^ 2 )  <_ ; 6 4
3130a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( _e ^ 2 )  <_ ; 6 4 )
329resqcli 11934 . . . . . 6  |-  ( _e
^ 2 )  e.  RR
3332a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( _e ^ 2 )  e.  RR )
346nnrei 10318 . . . . . 6  |- ; 6 4  e.  RR
3534a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  -> ; 6
4  e.  RR )
368nnred 10324 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
37 ltle 9450 . . . . . . 7  |-  ( (; 6
4  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (; 6 4  <  N  -> ; 6
4  <_  N )
)
3834, 36, 37sylancr 656 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (; 6 4  <  N  -> ; 6
4  <_  N )
)
391, 38mpd 15 . . . . 5  |-  ( ph  -> ; 6
4  <_  N )
4033, 35, 36, 31, 39letrd 9515 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( _e ^ 2 )  <_  N )
412, 3, 7, 8, 31, 40bposlem7 22513 . . 3  |-  ( ph  ->  (; 6 4  <  N  ->  ( F `  N
)  <  ( F ` ; 6 4 ) ) )
421, 41mpd 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( F `  N
)  <  ( F ` ; 6 4 ) )
432, 3bposlem8 22514 . . . . 5  |-  ( ( F ` ; 6 4 )  e.  RR  /\  ( F `
; 6 4 )  < 
( log `  2
) )
4443a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( F ` ; 6 4 )  e.  RR  /\  ( F ` ; 6 4 )  < 
( log `  2
) ) )
4544simpld 456 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F ` ; 6 4 )  e.  RR )
46 fveq2 5679 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  N  ->  ( sqr `  n )  =  ( sqr `  N
) )
4746fveq2d 5683 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  N  ->  ( G `  ( sqr `  n ) )  =  ( G `  ( sqr `  N ) ) )
4847oveq2d 6096 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  N  ->  (
( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  n
) ) )  =  ( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  N
) ) ) )
49 oveq1 6087 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  N  ->  (
n  /  2 )  =  ( N  / 
2 ) )
5049fveq2d 5683 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  N  ->  ( G `  ( n  /  2 ) )  =  ( G `  ( N  /  2
) ) )
5150oveq2d 6096 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  N  ->  (
( 9  /  4
)  x.  ( G `
 ( n  / 
2 ) ) )  =  ( ( 9  /  4 )  x.  ( G `  ( N  /  2 ) ) ) )
5248, 51oveq12d 6098 . . . . . . 7  |-  ( n  =  N  ->  (
( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  n
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( n  /  2 ) ) ) )  =  ( ( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  N
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( N  /  2 ) ) ) ) )
53 oveq2 6088 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  N  ->  (
2  x.  n )  =  ( 2  x.  N ) )
5453fveq2d 5683 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  N  ->  ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  =  ( sqr `  (
2  x.  N ) ) )
5554oveq2d 6096 . . . . . . 7  |-  ( n  =  N  ->  (
( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  n
) ) )  =  ( ( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) ) )
5652, 55oveq12d 6098 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  (
( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  n ) ) )  +  ( ( 9  /  4 )  x.  ( G `  ( n  /  2
) ) ) )  +  ( ( log `  2 )  / 
( sqr `  (
2  x.  n ) ) ) )  =  ( ( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  N ) ) )  +  ( ( 9  /  4
)  x.  ( G `
 ( N  / 
2 ) ) ) )  +  ( ( log `  2 )  /  ( sqr `  (
2  x.  N ) ) ) ) )
57 ovex 6105 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  N
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( N  /  2 ) ) ) )  +  ( ( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) ) )  e.  _V
5856, 2, 57fvmpt 5762 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( F `  N )  =  ( ( ( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  N
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( N  /  2 ) ) ) )  +  ( ( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) ) ) )
598, 58syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F `  N
)  =  ( ( ( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  N
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( N  /  2 ) ) ) )  +  ( ( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) ) ) )
60 sqr2re 13514 . . . . . . 7  |-  ( sqr `  2 )  e.  RR
618nnrpd 11013 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  RR+ )
6261rpsqrcld 12881 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( sqr `  N
)  e.  RR+ )
63 fveq2 5679 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( sqr `  N
)  ->  ( log `  x )  =  ( log `  ( sqr `  N ) ) )
64 id 22 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( sqr `  N
)  ->  x  =  ( sqr `  N ) )
6563, 64oveq12d 6098 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( sqr `  N
)  ->  ( ( log `  x )  /  x )  =  ( ( log `  ( sqr `  N ) )  /  ( sqr `  N
) ) )
66 ovex 6105 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( log `  ( sqr `  N ) )  / 
( sqr `  N
) )  e.  _V
6765, 3, 66fvmpt 5762 . . . . . . . . 9  |-  ( ( sqr `  N )  e.  RR+  ->  ( G `
 ( sqr `  N
) )  =  ( ( log `  ( sqr `  N ) )  /  ( sqr `  N
) ) )
6862, 67syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( G `  ( sqr `  N ) )  =  ( ( log `  ( sqr `  N
) )  /  ( sqr `  N ) ) )
6962relogcld 21956 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( log `  ( sqr `  N ) )  e.  RR )
7069, 62rerpdivcld 11041 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( log `  ( sqr `  N ) )  /  ( sqr `  N
) )  e.  RR )
7168, 70eqeltrd 2507 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( G `  ( sqr `  N ) )  e.  RR )
72 remulcl 9354 . . . . . . 7  |-  ( ( ( sqr `  2
)  e.  RR  /\  ( G `  ( sqr `  N ) )  e.  RR )  ->  (
( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  N
) ) )  e.  RR )
7360, 71, 72sylancr 656 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  N
) ) )  e.  RR )
74 9re 10395 . . . . . . . 8  |-  9  e.  RR
75 4re 10385 . . . . . . . 8  |-  4  e.  RR
76 4ne0 10405 . . . . . . . 8  |-  4  =/=  0
7774, 75, 76redivcli 10085 . . . . . . 7  |-  ( 9  /  4 )  e.  RR
7861rphalfcld 11026 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N  /  2
)  e.  RR+ )
79 fveq2 5679 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( N  / 
2 )  ->  ( log `  x )  =  ( log `  ( N  /  2 ) ) )
80 id 22 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( N  / 
2 )  ->  x  =  ( N  / 
2 ) )
8179, 80oveq12d 6098 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( N  / 
2 )  ->  (
( log `  x
)  /  x )  =  ( ( log `  ( N  /  2
) )  /  ( N  /  2 ) ) )
82 ovex 6105 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( log `  ( N  /  2 ) )  /  ( N  / 
2 ) )  e. 
_V
8381, 3, 82fvmpt 5762 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  /  2 )  e.  RR+  ->  ( G `
 ( N  / 
2 ) )  =  ( ( log `  ( N  /  2 ) )  /  ( N  / 
2 ) ) )
8478, 83syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( G `  ( N  /  2 ) )  =  ( ( log `  ( N  /  2
) )  /  ( N  /  2 ) ) )
8578relogcld 21956 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( log `  ( N  /  2 ) )  e.  RR )
8685, 78rerpdivcld 11041 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( log `  ( N  /  2 ) )  /  ( N  / 
2 ) )  e.  RR )
8784, 86eqeltrd 2507 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( G `  ( N  /  2 ) )  e.  RR )
88 remulcl 9354 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 9  /  4
)  e.  RR  /\  ( G `  ( N  /  2 ) )  e.  RR )  -> 
( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( N  /  2 ) ) )  e.  RR )
8977, 87, 88sylancr 656 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( N  /  2 ) ) )  e.  RR )
9073, 89readdcld 9400 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  N ) ) )  +  ( ( 9  /  4 )  x.  ( G `  ( N  /  2
) ) ) )  e.  RR )
91 2rp 10983 . . . . . . 7  |-  2  e.  RR+
92 relogcl 21911 . . . . . . 7  |-  ( 2  e.  RR+  ->  ( log `  2 )  e.  RR )
9391, 92ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( log `  2 )  e.  RR
94 rpmulcl 10999 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  N  e.  RR+ )  ->  (
2  x.  N )  e.  RR+ )
9591, 61, 94sylancr 656 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  e.  RR+ )
9695rpsqrcld 12881 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( sqr `  (
2  x.  N ) )  e.  RR+ )
97 rerpdivcl 11005 . . . . . 6  |-  ( ( ( log `  2
)  e.  RR  /\  ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  e.  RR+ )  ->  (
( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) )  e.  RR )
9893, 96, 97sylancr 656 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) )  e.  RR )
9990, 98readdcld 9400 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  N ) ) )  +  ( ( 9  /  4
)  x.  ( G `
 ( N  / 
2 ) ) ) )  +  ( ( log `  2 )  /  ( sqr `  (
2  x.  N ) ) ) )  e.  RR )
10059, 99eqeltrd 2507 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  N
)  e.  RR )
10193a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( log `  2
)  e.  RR )
10244simprd 460 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F ` ; 6 4 )  < 
( log `  2
) )
103 nnrp 10987 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 4  e.  NN  ->  4  e.  RR+ )
1045, 103ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  4  e.  RR+
105 relogcl 21911 . . . . . . . . . 10  |-  ( 4  e.  RR+  ->  ( log `  4 )  e.  RR )
106104, 105ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( log `  4 )  e.  RR
107 remulcl 9354 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  ( log `  4 )  e.  RR )  -> 
( N  x.  ( log `  4 ) )  e.  RR )
10836, 106, 107sylancl 655 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N  x.  ( log `  4 ) )  e.  RR )
10961relogcld 21956 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( log `  N
)  e.  RR )
110108, 109resubcld 9763 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( N  x.  ( log `  4 ) )  -  ( log `  N ) )  e.  RR )
111 rpre 10984 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  x.  N )  e.  RR+  ->  ( 2  x.  N )  e.  RR )
112 rpge0 10990 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  x.  N )  e.  RR+  ->  0  <_ 
( 2  x.  N
) )
113111, 112resqrcld 12887 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  x.  N )  e.  RR+  ->  ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  e.  RR )
11495, 113syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( sqr `  (
2  x.  N ) )  e.  RR )
115 3nn 10467 . . . . . . . . . . 11  |-  3  e.  NN
116 nndivre 10344 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  e.  RR  /\  3  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 )  e.  RR )
117114, 115, 116sylancl 655 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 )  e.  RR )
118 2re 10378 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  RR
119 readdcl 9352 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 )  e.  RR  /\  2  e.  RR )  ->  (
( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 )  e.  RR )
120117, 118, 119sylancl 655 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  /  3
)  +  2 )  e.  RR )
12195relogcld 21956 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( log `  (
2  x.  N ) )  e.  RR )
122120, 121remulcld 9401 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 )  x.  ( log `  ( 2  x.  N ) ) )  e.  RR )
123 remulcl 9354 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 4  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( 4  x.  N
)  e.  RR )
12475, 36, 123sylancr 656 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  N
)  e.  RR )
125 nndivre 10344 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 4  x.  N
)  e.  RR  /\  3  e.  NN )  ->  ( ( 4  x.  N )  /  3
)  e.  RR )
126124, 115, 125sylancl 655 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 4  x.  N )  /  3
)  e.  RR )
127 5re 10387 . . . . . . . . . 10  |-  5  e.  RR
128 resubcl 9660 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( 4  x.  N )  /  3
)  e.  RR  /\  5  e.  RR )  ->  ( ( ( 4  x.  N )  / 
3 )  -  5 )  e.  RR )
129126, 127, 128sylancl 655 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( 4  x.  N )  / 
3 )  -  5 )  e.  RR )
130 remulcl 9354 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( 4  x.  N )  / 
3 )  -  5 )  e.  RR  /\  ( log `  2 )  e.  RR )  -> 
( ( ( ( 4  x.  N )  /  3 )  - 
5 )  x.  ( log `  2 ) )  e.  RR )
131129, 93, 130sylancl 655 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 4  x.  N )  /  3 )  - 
5 )  x.  ( log `  2 ) )  e.  RR )
132122, 131readdcld 9400 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 )  x.  ( log `  (
2  x.  N ) ) )  +  ( ( ( ( 4  x.  N )  / 
3 )  -  5 )  x.  ( log `  2 ) ) )  e.  RR )
133 remulcl 9354 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( 4  x.  N )  /  3
)  e.  RR  /\  ( log `  2 )  e.  RR )  -> 
( ( ( 4  x.  N )  / 
3 )  x.  ( log `  2 ) )  e.  RR )
134126, 93, 133sylancl 655 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( 4  x.  N )  / 
3 )  x.  ( log `  2 ) )  e.  RR )
135134, 109resubcld 9763 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 4  x.  N )  /  3 )  x.  ( log `  2
) )  -  ( log `  N ) )  e.  RR )
1368nnzd 10733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
137 df-5 10370 . . . . . . . . . . . 12  |-  5  =  ( 4  +  1 )
13875a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  4  e.  RR )
139 6nn 10470 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  6  e.  NN
140 4nn0 10585 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  4  e.  NN0
141 4lt10 10516 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  4  <  10
142139, 140, 140, 141declti 10767 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  4  < ; 6
4
143142a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  4  < ; 6 4 )
144138, 35, 36, 143, 1lttrd 9519 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  4  <  N )
1455nnzi 10657 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  4  e.  ZZ
146 zltp1le 10681 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 4  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 4  <  N  <->  ( 4  +  1 )  <_  N ) )
147145, 136, 146sylancr 656 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 4  <  N  <->  ( 4  +  1 )  <_  N ) )
148144, 147mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 4  +  1 )  <_  N )
149137, 148syl5eqbr 4313 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  5  <_  N )
150 5nn 10469 . . . . . . . . . . . . 13  |-  5  e.  NN
151150nnzi 10657 . . . . . . . . . . . 12  |-  5  e.  ZZ
152151eluz1i 10855 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  5
)  <->  ( N  e.  ZZ  /\  5  <_  N ) )
153136, 149, 152sylanbrc 657 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
5 ) )
154 bposlem9.5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  -.  E. p  e. 
Prime  ( N  <  p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) )
155 breq2 4284 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( p  =  q  ->  ( N  <  p  <->  N  <  q ) )
156 breq1 4283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( p  =  q  ->  (
p  <_  ( 2  x.  N )  <->  q  <_  ( 2  x.  N ) ) )
157155, 156anbi12d 703 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( p  =  q  ->  (
( N  <  p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) )  <-> 
( N  <  q  /\  q  <_  ( 2  x.  N ) ) ) )
158157cbvrexv 2938 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. p  e.  Prime  ( N  <  p  /\  p  <_  ( 2  x.  N
) )  <->  E. q  e.  Prime  ( N  < 
q  /\  q  <_  ( 2  x.  N ) ) )
159154, 158sylnib 304 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  -.  E. q  e. 
Prime  ( N  <  q  /\  q  <_  ( 2  x.  N ) ) )
160 eqid 2433 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ ( n 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) ) ,  1 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ ( n  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) ) ,  1 ) )
161 eqid 2433 . . . . . . . . . 10  |-  ( |_
`  ( ( 2  x.  N )  / 
3 ) )  =  ( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  3 ) )
162 eqid 2433 . . . . . . . . . 10  |-  ( |_
`  ( sqr `  (
2  x.  N ) ) )  =  ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) )
163153, 159, 160, 161, 162bposlem6 22512 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 4 ^ N )  /  N
)  <  ( (
( 2  x.  N
)  ^c  ( ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 ) )  x.  ( 2  ^c  ( ( ( 4  x.  N )  /  3 )  - 
5 ) ) ) )
164 reexplog 21927 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 4  e.  RR+  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
4 ^ N )  =  ( exp `  ( N  x.  ( log `  4 ) ) ) )
165104, 136, 164sylancr 656 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 4 ^ N
)  =  ( exp `  ( N  x.  ( log `  4 ) ) ) )
16661reeflogd 21957 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( log `  N ) )  =  N )
167166eqcomd 2438 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  =  ( exp `  ( log `  N
) ) )
168165, 167oveq12d 6098 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 4 ^ N )  /  N
)  =  ( ( exp `  ( N  x.  ( log `  4
) ) )  / 
( exp `  ( log `  N ) ) ) )
169108recnd 9399 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( N  x.  ( log `  4 ) )  e.  CC )
170109recnd 9399 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( log `  N
)  e.  CC )
171 efsub 13366 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  x.  ( log `  4 ) )  e.  CC  /\  ( log `  N )  e.  CC )  ->  ( exp `  ( ( N  x.  ( log `  4
) )  -  ( log `  N ) ) )  =  ( ( exp `  ( N  x.  ( log `  4
) ) )  / 
( exp `  ( log `  N ) ) ) )
172169, 170, 171syl2anc 654 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( exp `  (
( N  x.  ( log `  4 ) )  -  ( log `  N
) ) )  =  ( ( exp `  ( N  x.  ( log `  4 ) ) )  /  ( exp `  ( log `  N ) ) ) )
173168, 172eqtr4d 2468 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 4 ^ N )  /  N
)  =  ( exp `  ( ( N  x.  ( log `  4 ) )  -  ( log `  N ) ) ) )
17495rpcnd 11016 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  e.  CC )
17595rpne0d 11019 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  =/=  0 )
176120recnd 9399 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  /  3
)  +  2 )  e.  CC )
177174, 175, 176cxpefd 22041 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  ^c 
( ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  /  3
)  +  2 ) )  =  ( exp `  ( ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 )  x.  ( log `  ( 2  x.  N ) ) ) ) )
178129recnd 9399 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( 4  x.  N )  / 
3 )  -  5 )  e.  CC )
179 2cn 10379 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  CC
180 2ne0 10401 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  =/=  0
181 cxpef 21994 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0  /\  (
( ( 4  x.  N )  /  3
)  -  5 )  e.  CC )  -> 
( 2  ^c 
( ( ( 4  x.  N )  / 
3 )  -  5 ) )  =  ( exp `  ( ( ( ( 4  x.  N )  /  3
)  -  5 )  x.  ( log `  2
) ) ) )
182179, 180, 181mp3an12 1297 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( 4  x.  N )  /  3
)  -  5 )  e.  CC  ->  (
2  ^c  ( ( ( 4  x.  N )  /  3
)  -  5 ) )  =  ( exp `  ( ( ( ( 4  x.  N )  /  3 )  - 
5 )  x.  ( log `  2 ) ) ) )
183178, 182syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 2  ^c 
( ( ( 4  x.  N )  / 
3 )  -  5 ) )  =  ( exp `  ( ( ( ( 4  x.  N )  /  3
)  -  5 )  x.  ( log `  2
) ) ) )
184177, 183oveq12d 6098 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  N )  ^c  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 ) )  x.  ( 2  ^c 
( ( ( 4  x.  N )  / 
3 )  -  5 ) ) )  =  ( ( exp `  (
( ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  /  3
)  +  2 )  x.  ( log `  (
2  x.  N ) ) ) )  x.  ( exp `  (
( ( ( 4  x.  N )  / 
3 )  -  5 )  x.  ( log `  2 ) ) ) ) )
185122recnd 9399 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 )  x.  ( log `  ( 2  x.  N ) ) )  e.  CC )
186131recnd 9399 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 4  x.  N )  /  3 )  - 
5 )  x.  ( log `  2 ) )  e.  CC )
187 efadd 13361 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 )  x.  ( log `  ( 2  x.  N ) ) )  e.  CC  /\  (
( ( ( 4  x.  N )  / 
3 )  -  5 )  x.  ( log `  2 ) )  e.  CC )  -> 
( exp `  (
( ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 )  x.  ( log `  ( 2  x.  N ) ) )  +  ( ( ( ( 4  x.  N
)  /  3 )  -  5 )  x.  ( log `  2
) ) ) )  =  ( ( exp `  ( ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 )  x.  ( log `  ( 2  x.  N ) ) ) )  x.  ( exp `  ( ( ( ( 4  x.  N )  /  3 )  - 
5 )  x.  ( log `  2 ) ) ) ) )
188185, 186, 187syl2anc 654 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( exp `  (
( ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 )  x.  ( log `  ( 2  x.  N ) ) )  +  ( ( ( ( 4  x.  N
)  /  3 )  -  5 )  x.  ( log `  2
) ) ) )  =  ( ( exp `  ( ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 )  x.  ( log `  ( 2  x.  N ) ) ) )  x.  ( exp `  ( ( ( ( 4  x.  N )  /  3 )  - 
5 )  x.  ( log `  2 ) ) ) ) )
189184, 188eqtr4d 2468 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  N )  ^c  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 ) )  x.  ( 2  ^c 
( ( ( 4  x.  N )  / 
3 )  -  5 ) ) )  =  ( exp `  (
( ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 )  x.  ( log `  ( 2  x.  N ) ) )  +  ( ( ( ( 4  x.  N
)  /  3 )  -  5 )  x.  ( log `  2
) ) ) ) )
190163, 173, 1893brtr3d 4309 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( exp `  (
( N  x.  ( log `  4 ) )  -  ( log `  N
) ) )  < 
( exp `  (
( ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 )  x.  ( log `  ( 2  x.  N ) ) )  +  ( ( ( ( 4  x.  N
)  /  3 )  -  5 )  x.  ( log `  2
) ) ) ) )
191 eflt 13383 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  x.  ( log `  4 ) )  -  ( log `  N ) )  e.  RR  /\  ( ( ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  /  3
)  +  2 )  x.  ( log `  (
2  x.  N ) ) )  +  ( ( ( ( 4  x.  N )  / 
3 )  -  5 )  x.  ( log `  2 ) ) )  e.  RR )  ->  ( ( ( N  x.  ( log `  4 ) )  -  ( log `  N
) )  <  (
( ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 )  x.  ( log `  ( 2  x.  N ) ) )  +  ( ( ( ( 4  x.  N
)  /  3 )  -  5 )  x.  ( log `  2
) ) )  <->  ( exp `  ( ( N  x.  ( log `  4 ) )  -  ( log `  N ) ) )  <  ( exp `  (
( ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 )  x.  ( log `  ( 2  x.  N ) ) )  +  ( ( ( ( 4  x.  N
)  /  3 )  -  5 )  x.  ( log `  2
) ) ) ) ) )
192110, 132, 191syl2anc 654 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  x.  ( log `  4
) )  -  ( log `  N ) )  <  ( ( ( ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 )  x.  ( log `  (
2  x.  N ) ) )  +  ( ( ( ( 4  x.  N )  / 
3 )  -  5 )  x.  ( log `  2 ) ) )  <->  ( exp `  (
( N  x.  ( log `  4 ) )  -  ( log `  N
) ) )  < 
( exp `  (
( ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 )  x.  ( log `  ( 2  x.  N ) ) )  +  ( ( ( ( 4  x.  N
)  /  3 )  -  5 )  x.  ( log `  2
) ) ) ) ) )
193190, 192mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( N  x.  ( log `  4 ) )  -  ( log `  N ) )  < 
( ( ( ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 )  x.  ( log `  (
2  x.  N ) ) )  +  ( ( ( ( 4  x.  N )  / 
3 )  -  5 )  x.  ( log `  2 ) ) ) )
194110, 132, 135, 193ltsub1dd 9938 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  x.  ( log `  4
) )  -  ( log `  N ) )  -  ( ( ( ( 4  x.  N
)  /  3 )  x.  ( log `  2
) )  -  ( log `  N ) ) )  <  ( ( ( ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 )  x.  ( log `  ( 2  x.  N ) ) )  +  ( ( ( ( 4  x.  N
)  /  3 )  -  5 )  x.  ( log `  2
) ) )  -  ( ( ( ( 4  x.  N )  /  3 )  x.  ( log `  2
) )  -  ( log `  N ) ) ) )
19536recnd 9399 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
196 mulcom 9355 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( 2  x.  N
)  =  ( N  x.  2 ) )
197179, 195, 196sylancr 656 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  =  ( N  x.  2 ) )
198197oveq1d 6095 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  x.  ( log `  2 ) )  =  ( ( N  x.  2 )  x.  ( log `  2
) ) )
19993recni 9385 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( log `  2 )  e.  CC
200 mulass 9357 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  ( log `  2 )  e.  CC )  ->  (
( N  x.  2 )  x.  ( log `  2 ) )  =  ( N  x.  ( 2  x.  ( log `  2 ) ) ) )
201179, 199, 200mp3an23 1299 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  CC  ->  (
( N  x.  2 )  x.  ( log `  2 ) )  =  ( N  x.  ( 2  x.  ( log `  2 ) ) ) )
202195, 201syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( N  x.  2 )  x.  ( log `  2 ) )  =  ( N  x.  ( 2  x.  ( log `  2 ) ) ) )
2031992timesi 10429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  x.  ( log `  2
) )  =  ( ( log `  2
)  +  ( log `  2 ) )
204 relogmul 21924 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  2  e.  RR+ )  ->  ( log `  ( 2  x.  2 ) )  =  ( ( log `  2
)  +  ( log `  2 ) ) )
20591, 91, 204mp2an 665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( log `  ( 2  x.  2 ) )  =  ( ( log `  2
)  +  ( log `  2 ) )
206 2t2e4 10458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
207206fveq2i 5682 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( log `  ( 2  x.  2 ) )  =  ( log `  4 )
208203, 205, 2073eqtr2i 2459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  x.  ( log `  2
) )  =  ( log `  4 )
209208oveq2i 6091 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  x.  ( 2  x.  ( log `  2
) ) )  =  ( N  x.  ( log `  4 ) )
210202, 209syl6eq 2481 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( N  x.  2 )  x.  ( log `  2 ) )  =  ( N  x.  ( log `  4 ) ) )
211198, 210eqtrd 2465 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  x.  ( log `  2 ) )  =  ( N  x.  ( log `  4 ) ) )
212211oveq1d 6095 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  N )  x.  ( log `  2
) )  -  (
( ( 4  x.  N )  /  3
)  x.  ( log `  2 ) ) )  =  ( ( N  x.  ( log `  4 ) )  -  ( ( ( 4  x.  N )  /  3 )  x.  ( log `  2
) ) ) )
213 4p2e6 10443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 4  +  2 )  =  6
214213oveq1i 6090 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 4  +  2 )  x.  N )  =  ( 6  x.  N
)
2155nncni 10319 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  4  e.  CC
216 adddir 9364 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 4  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  (
( 4  +  2 )  x.  N )  =  ( ( 4  x.  N )  +  ( 2  x.  N
) ) )
217215, 179, 216mp3an12 1297 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  CC  ->  (
( 4  +  2 )  x.  N )  =  ( ( 4  x.  N )  +  ( 2  x.  N
) ) )
218195, 217syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( 4  +  2 )  x.  N
)  =  ( ( 4  x.  N )  +  ( 2  x.  N ) ) )
219214, 218syl5eqr 2479 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 6  x.  N
)  =  ( ( 4  x.  N )  +  ( 2  x.  N ) ) )
220219oveq1d 6095 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 6  x.  N )  /  3
)  =  ( ( ( 4  x.  N
)  +  ( 2  x.  N ) )  /  3 ) )
221 6cn 10390 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  6  e.  CC
222 3cn 10383 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  3  e.  CC
223 3ne0 10403 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  3  =/=  0
224222, 223pm3.2i 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 3  e.  CC  /\  3  =/=  0 )
225 div23 10000 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 6  e.  CC  /\  N  e.  CC  /\  (
3  e.  CC  /\  3  =/=  0 ) )  ->  ( ( 6  x.  N )  / 
3 )  =  ( ( 6  /  3
)  x.  N ) )
226221, 224, 225mp3an13 1298 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  CC  ->  (
( 6  x.  N
)  /  3 )  =  ( ( 6  /  3 )  x.  N ) )
227195, 226syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( 6  x.  N )  /  3
)  =  ( ( 6  /  3 )  x.  N ) )
228 3t2e6 10460 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 3  x.  2 )  =  6
229228oveq1i 6090 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 3  x.  2 )  /  3 )  =  ( 6  /  3
)
230179, 222, 223divcan3i 10064 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 3  x.  2 )  /  3 )  =  2
231229, 230eqtr3i 2455 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 6  /  3 )  =  2
232231oveq1i 6090 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 6  /  3 )  x.  N )  =  ( 2  x.  N
)
233227, 232syl6eq 2481 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 6  x.  N )  /  3
)  =  ( 2  x.  N ) )
234124recnd 9399 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  N
)  e.  CC )
235 remulcl 9354 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( 2  x.  N
)  e.  RR )
236118, 36, 235sylancr 656 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  e.  RR )
237236recnd 9399 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  e.  CC )
238 divdir 10004 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 4  x.  N
)  e.  CC  /\  ( 2  x.  N
)  e.  CC  /\  ( 3  e.  CC  /\  3  =/=  0 ) )  ->  ( (
( 4  x.  N
)  +  ( 2  x.  N ) )  /  3 )  =  ( ( ( 4  x.  N )  / 
3 )  +  ( ( 2  x.  N
)  /  3 ) ) )
239224, 238mp3an3 1296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 4  x.  N
)  e.  CC  /\  ( 2  x.  N
)  e.  CC )  ->  ( ( ( 4  x.  N )  +  ( 2  x.  N ) )  / 
3 )  =  ( ( ( 4  x.  N )  /  3
)  +  ( ( 2  x.  N )  /  3 ) ) )
240234, 237, 239syl2anc 654 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( 4  x.  N )  +  ( 2  x.  N
) )  /  3
)  =  ( ( ( 4  x.  N
)  /  3 )  +  ( ( 2  x.  N )  / 
3 ) ) )
241220, 233, 2403eqtr3d 2473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  =  ( ( ( 4  x.  N
)  /  3 )  +  ( ( 2  x.  N )  / 
3 ) ) )
242241oveq1d 6095 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  -  (
( 4  x.  N
)  /  3 ) )  =  ( ( ( ( 4  x.  N )  /  3
)  +  ( ( 2  x.  N )  /  3 ) )  -  ( ( 4  x.  N )  / 
3 ) ) )
243126recnd 9399 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( 4  x.  N )  /  3
)  e.  CC )
244 nnrp 10987 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 3  e.  NN  ->  3  e.  RR+ )
245115, 244ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  e.  RR+
246 rpdivcl 11000 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  RR+  /\  3  e.  RR+ )  ->  (
( 2  x.  N
)  /  3 )  e.  RR+ )
24795, 245, 246sylancl 655 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  /  3
)  e.  RR+ )
248247rpcnd 11016 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  /  3
)  e.  CC )
249243, 248pncan2d 9708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 4  x.  N )  /  3 )  +  ( ( 2  x.  N )  /  3
) )  -  (
( 4  x.  N
)  /  3 ) )  =  ( ( 2  x.  N )  /  3 ) )
250242, 249eqtrd 2465 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  -  (
( 4  x.  N
)  /  3 ) )  =  ( ( 2  x.  N )  /  3 ) )
251250oveq1d 6095 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  N )  -  ( ( 4  x.  N )  /  3
) )  x.  ( log `  2 ) )  =  ( ( ( 2  x.  N )  /  3 )  x.  ( log `  2
) ) )
252101recnd 9399 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( log `  2
)  e.  CC )
253237, 243, 252subdird 9788 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  N )  -  ( ( 4  x.  N )  /  3
) )  x.  ( log `  2 ) )  =  ( ( ( 2  x.  N )  x.  ( log `  2
) )  -  (
( ( 4  x.  N )  /  3
)  x.  ( log `  2 ) ) ) )
254251, 253eqtr3d 2467 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  N )  / 
3 )  x.  ( log `  2 ) )  =  ( ( ( 2  x.  N )  x.  ( log `  2
) )  -  (
( ( 4  x.  N )  /  3
)  x.  ( log `  2 ) ) ) )
255134recnd 9399 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( 4  x.  N )  / 
3 )  x.  ( log `  2 ) )  e.  CC )
256169, 255, 170nnncan2d 9741 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  x.  ( log `  4
) )  -  ( log `  N ) )  -  ( ( ( ( 4  x.  N
)  /  3 )  x.  ( log `  2
) )  -  ( log `  N ) ) )  =  ( ( N  x.  ( log `  4 ) )  -  ( ( ( 4  x.  N )  /  3 )  x.  ( log `  2
) ) ) )
257212, 254, 2563eqtr4d 2475 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  N )  / 
3 )  x.  ( log `  2 ) )  =  ( ( ( N  x.  ( log `  4 ) )  -  ( log `  N
) )  -  (
( ( ( 4  x.  N )  / 
3 )  x.  ( log `  2 ) )  -  ( log `  N
) ) ) )
258117recnd 9399 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 )  e.  CC )
259179a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
260121recnd 9399 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( log `  (
2  x.  N ) )  e.  CC )
261258, 259, 260adddird 9398 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 )  x.  ( log `  ( 2  x.  N ) ) )  =  ( ( ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 )  x.  ( log `  (
2  x.  N ) ) )  +  ( 2  x.  ( log `  ( 2  x.  N
) ) ) ) )
262 relogmul 21924 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  N  e.  RR+ )  ->  ( log `  ( 2  x.  N ) )  =  ( ( log `  2
)  +  ( log `  N ) ) )
26391, 61, 262sylancr 656 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( log `  (
2  x.  N ) )  =  ( ( log `  2 )  +  ( log `  N
) ) )
264263oveq2d 6096 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( log `  ( 2  x.  N ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( log `  2
)  +  ( log `  N ) ) ) )
265259, 252, 170adddid 9397 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( log `  2
)  +  ( log `  N ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( log `  2
) )  +  ( 2  x.  ( log `  N ) ) ) )
266264, 265eqtrd 2465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( log `  ( 2  x.  N ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( log `  2
) )  +  ( 2  x.  ( log `  N ) ) ) )
267266oveq2d 6096 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  /  3 )  x.  ( log `  (
2  x.  N ) ) )  +  ( 2  x.  ( log `  ( 2  x.  N
) ) ) )  =  ( ( ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 )  x.  ( log `  (
2  x.  N ) ) )  +  ( ( 2  x.  ( log `  2 ) )  +  ( 2  x.  ( log `  N
) ) ) ) )
268261, 267eqtrd 2465 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 )  x.  ( log `  ( 2  x.  N ) ) )  =  ( ( ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 )  x.  ( log `  (
2  x.  N ) ) )  +  ( ( 2  x.  ( log `  2 ) )  +  ( 2  x.  ( log `  N
) ) ) ) )
269 5cn 10388 . . . . . . . . . . . 12  |-  5  e.  CC
270269a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  5  e.  CC )
271243, 270, 252subdird 9788 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 4  x.  N )  /  3 )  - 
5 )  x.  ( log `  2 ) )  =  ( ( ( ( 4  x.  N
)  /  3 )  x.  ( log `  2
) )  -  (
5  x.  ( log `  2 ) ) ) )
272271oveq1d 6095 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( 4  x.  N
)  /  3 )  -  5 )  x.  ( log `  2
) )  -  (
( ( ( 4  x.  N )  / 
3 )  x.  ( log `  2 ) )  -  ( log `  N
) ) )  =  ( ( ( ( ( 4  x.  N
)  /  3 )  x.  ( log `  2
) )  -  (
5  x.  ( log `  2 ) ) )  -  ( ( ( ( 4  x.  N )  /  3
)  x.  ( log `  2 ) )  -  ( log `  N
) ) ) )
273269, 199mulcli 9378 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 5  x.  ( log `  2
) )  e.  CC
274273a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 5  x.  ( log `  2 ) )  e.  CC )
275255, 274, 170nnncan1d 9740 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( 4  x.  N
)  /  3 )  x.  ( log `  2
) )  -  (
5  x.  ( log `  2 ) ) )  -  ( ( ( ( 4  x.  N )  /  3
)  x.  ( log `  2 ) )  -  ( log `  N
) ) )  =  ( ( log `  N
)  -  ( 5  x.  ( log `  2
) ) ) )
276272, 275eqtrd 2465 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( 4  x.  N
)  /  3 )  -  5 )  x.  ( log `  2
) )  -  (
( ( ( 4  x.  N )  / 
3 )  x.  ( log `  2 ) )  -  ( log `  N
) ) )  =  ( ( log `  N
)  -  ( 5  x.  ( log `  2
) ) ) )
277268, 276oveq12d 6098 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 )  x.  ( log `  (
2  x.  N ) ) )  +  ( ( ( ( ( 4  x.  N )  /  3 )  - 
5 )  x.  ( log `  2 ) )  -  ( ( ( ( 4  x.  N
)  /  3 )  x.  ( log `  2
) )  -  ( log `  N ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  /  3 )  x.  ( log `  (
2  x.  N ) ) )  +  ( ( 2  x.  ( log `  2 ) )  +  ( 2  x.  ( log `  N
) ) ) )  +  ( ( log `  N )  -  (
5  x.  ( log `  2 ) ) ) ) )
278135recnd 9399 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 4  x.  N )  /  3 )  x.  ( log `  2
) )  -  ( log `  N ) )  e.  CC )
279185, 186, 278addsubassd 9726 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 )  x.  ( log `  (
2  x.  N ) ) )  +  ( ( ( ( 4  x.  N )  / 
3 )  -  5 )  x.  ( log `  2 ) ) )  -  ( ( ( ( 4  x.  N )  /  3
)  x.  ( log `  2 ) )  -  ( log `  N
) ) )  =  ( ( ( ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 )  x.  ( log `  (
2  x.  N ) ) )  +  ( ( ( ( ( 4  x.  N )  /  3 )  - 
5 )  x.  ( log `  2 ) )  -  ( ( ( ( 4  x.  N
)  /  3 )  x.  ( log `  2
) )  -  ( log `  N ) ) ) ) )
280269, 222, 199subdiri 9781 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 5  -  3 )  x.  ( log `  2
) )  =  ( ( 5  x.  ( log `  2 ) )  -  ( 3  x.  ( log `  2
) ) )
281 3p2e5 10441 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 3  +  2 )  =  5
282281oveq1i 6090 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 3  +  2 )  -  3 )  =  ( 5  -  3 )
283 pncan2 9604 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  ( ( 3  +  2 )  -  3 )  =  2 )
284222, 179, 283mp2an 665 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 3  +  2 )  -  3 )  =  2
285282, 284eqtr3i 2455 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 5  -  3 )  =  2
286285oveq1i 6090 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 5  -  3 )  x.  ( log `  2
) )  =  ( 2  x.  ( log `  2 ) )
287280, 286eqtr3i 2455 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 5  x.  ( log `  2 ) )  -  ( 3  x.  ( log `  2
) ) )  =  ( 2  x.  ( log `  2 ) )
288287a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( 5  x.  ( log `  2
) )  -  (
3  x.  ( log `  2 ) ) )  =  ( 2  x.  ( log `  2
) ) )
289 df-3 10368 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  3  =  ( 2  +  1 )
290289oveq1i 6090 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 3  x.  ( log `  N
) )  =  ( ( 2  +  1 )  x.  ( log `  N ) )
291 1cnd 9389 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
292259, 291, 170adddird 9398 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( 2  +  1 )  x.  ( log `  N ) )  =  ( ( 2  x.  ( log `  N
) )  +  ( 1  x.  ( log `  N ) ) ) )
293290, 292syl5eq 2477 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 3  x.  ( log `  N ) )  =  ( ( 2  x.  ( log `  N
) )  +  ( 1  x.  ( log `  N ) ) ) )
294170mulid2d 9391 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  ( log `  N ) )  =  ( log `  N
) )
295294oveq2d 6096 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( log `  N
) )  +  ( 1  x.  ( log `  N ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( log `  N
) )  +  ( log `  N ) ) )
296293, 295eqtrd 2465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 3  x.  ( log `  N ) )  =  ( ( 2  x.  ( log `  N
) )  +  ( log `  N ) ) )
297296oveq1d 6095 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 3  x.  ( log `  N
) )  -  (
5  x.  ( log `  2 ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( log `  N ) )  +  ( log `  N
) )  -  (
5  x.  ( log `  2 ) ) ) )
298 mulcl 9353 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( log `  N )  e.  CC )  -> 
( 2  x.  ( log `  N ) )  e.  CC )
299179, 170, 298sylancr 656 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( log `  N ) )  e.  CC )
300299, 170, 274addsubassd 9726 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( log `  N
) )  +  ( log `  N ) )  -  ( 5  x.  ( log `  2
) ) )  =  ( ( 2  x.  ( log `  N
) )  +  ( ( log `  N
)  -  ( 5  x.  ( log `  2
) ) ) ) )
301297, 300eqtrd 2465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( 3  x.  ( log `  N
) )  -  (
5  x.  ( log `  2 ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( log `  N ) )  +  ( ( log `  N
)  -  ( 5  x.  ( log `  2
) ) ) ) )
302288, 301oveq12d 6098 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( 5  x.  ( log `  2
) )  -  (
3  x.  ( log `  2 ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( log `  N ) )  -  ( 5  x.  ( log `  2 ) ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( log `  2 ) )  +  ( ( 2  x.  ( log `  N
) )  +  ( ( log `  N
)  -  ( 5  x.  ( log `  2
) ) ) ) ) )
303 relogdiv 21925 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  RR+  /\  2  e.  RR+ )  ->  ( log `  ( N  / 
2 ) )  =  ( ( log `  N
)  -  ( log `  2 ) ) )
30461, 91, 303sylancl 655 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( log `  ( N  /  2 ) )  =  ( ( log `  N )  -  ( log `  2 ) ) )
305304oveq2d 6096 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 3  x.  ( log `  ( N  / 
2 ) ) )  =  ( 3  x.  ( ( log `  N
)  -  ( log `  2 ) ) ) )
306 subdi 9765 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  ( log `  N )  e.  CC  /\  ( log `  2 )  e.  CC )  ->  (
3  x.  ( ( log `  N )  -  ( log `  2
) ) )  =  ( ( 3  x.  ( log `  N
) )  -  (
3  x.  ( log `  2 ) ) ) )
307222, 199, 306mp3an13 1298 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( log `  N )  e.  CC  ->  (
3  x.  ( ( log `  N )  -  ( log `  2
) ) )  =  ( ( 3  x.  ( log `  N
) )  -  (
3  x.  ( log `  2 ) ) ) )
308170, 307syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 3  x.  (
( log `  N
)  -  ( log `  2 ) ) )  =  ( ( 3  x.  ( log `  N ) )  -  ( 3  x.  ( log `  2 ) ) ) )
309305, 308eqtrd 2465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 3  x.  ( log `  ( N  / 
2 ) ) )  =  ( ( 3  x.  ( log `  N
) )  -  (
3  x.  ( log `  2 ) ) ) )
310 div23 10000 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  N  e.  CC  /\  (
3  e.  CC  /\  3  =/=  0 ) )  ->  ( ( 2  x.  N )  / 
3 )  =  ( ( 2  /  3
)  x.  N ) )
311179, 224, 310mp3an13 1298 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  CC  ->  (
( 2  x.  N
)  /  3 )  =  ( ( 2  /  3 )  x.  N ) )
312195, 311syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  /  3
)  =  ( ( 2  /  3 )  x.  N ) )
313222, 179, 222, 179, 180, 180divmuldivi 10078 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 3  /  2 )  x.  ( 3  / 
2 ) )  =  ( ( 3  x.  3 )  /  (
2  x.  2 ) )
314 3t3e9 10461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 3  x.  3 )  =  9
315314, 206oveq12i 6092 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 3  x.  3 )  /  ( 2  x.  2 ) )  =  ( 9  /  4
)
316313, 315eqtr2i 2454 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 9  /  4 )  =  ( ( 3  / 
2 )  x.  (
3  /  2 ) )
317316a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 9  /  4
)  =  ( ( 3  /  2 )  x.  ( 3  / 
2 ) ) )
318312, 317oveq12d 6098 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  N )  / 
3 )  x.  (
9  /  4 ) )  =  ( ( ( 2  /  3
)  x.  N )  x.  ( ( 3  /  2 )  x.  ( 3  /  2
) ) ) )
319179, 222, 223divcli 10060 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2  /  3 )  e.  CC
320222, 179, 180divcli 10060 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 3  /  2 )  e.  CC
321 mul4 9525 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( 2  / 
3 )  e.  CC  /\  N  e.  CC )  /\  ( ( 3  /  2 )  e.  CC  /\  ( 3  /  2 )  e.  CC ) )  -> 
( ( ( 2  /  3 )  x.  N )  x.  (
( 3  /  2
)  x.  ( 3  /  2 ) ) )  =  ( ( ( 2  /  3
)  x.  ( 3  /  2 ) )  x.  ( N  x.  ( 3  /  2
) ) ) )
322320, 320, 321mpanr12 678 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 2  /  3
)  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( ( ( 2  /  3 )  x.  N )  x.  (
( 3  /  2
)  x.  ( 3  /  2 ) ) )  =  ( ( ( 2  /  3
)  x.  ( 3  /  2 ) )  x.  ( N  x.  ( 3  /  2
) ) ) )
323319, 195, 322sylancr 656 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  /  3 )  x.  N )  x.  (
( 3  /  2
)  x.  ( 3  /  2 ) ) )  =  ( ( ( 2  /  3
)  x.  ( 3  /  2 ) )  x.  ( N  x.  ( 3  /  2
) ) ) )
324 divcan6 10025 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  /\  ( 3  e.  CC  /\  3  =/=  0 ) )  -> 
( ( 2  / 
3 )  x.  (
3  /  2 ) )  =  1 )
325179, 180, 222, 223, 324mp4an 666 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 2  /  3 )  x.  ( 3  / 
2 ) )  =  1
326325oveq1i 6090 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( 2  /  3
)  x.  ( 3  /  2 ) )  x.  ( N  x.  ( 3  /  2
) ) )  =  ( 1  x.  ( N  x.  ( 3  /  2 ) ) )
327 mulcl 9353 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  CC  /\  ( 3  /  2
)  e.  CC )  ->  ( N  x.  ( 3  /  2
) )  e.  CC )
328195, 320, 327sylancl 655 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( N  x.  (
3  /  2 ) )  e.  CC )
329328mulid2d 9391 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  ( N  x.  ( 3  /  2 ) ) )  =  ( N  x.  ( 3  / 
2 ) ) )
330326, 329syl5eq 2477 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  /  3 )  x.  ( 3  /  2
) )  x.  ( N  x.  ( 3  /  2 ) ) )  =  ( N  x.  ( 3  / 
2 ) ) )
331 2cnne0 10523 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
332 div12 10003 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  CC  /\  3  e.  CC  /\  (
2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  ->  ( N  x.  ( 3  /  2
) )  =  ( 3  x.  ( N  /  2 ) ) )
333222, 331, 332mp3an23 1299 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  CC  ->  ( N  x.  ( 3  /  2 ) )  =  ( 3  x.  ( N  /  2
) ) )
334195, 333syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( N  x.  (
3  /  2 ) )  =  ( 3  x.  ( N  / 
2 ) ) )
335330, 334eqtrd 2465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  /  3 )  x.  ( 3  /  2
) )  x.  ( N  x.  ( 3  /  2 ) ) )  =  ( 3  x.  ( N  / 
2 ) ) )
336318, 323, 3353eqtrd 2469 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  N )  / 
3 )  x.  (
9  /  4 ) )  =  ( 3  x.  ( N  / 
2 ) ) )
337336, 84oveq12d 6098 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 2  x.  N )  /  3 )  x.  ( 9  /  4
) )  x.  ( G `  ( N  /  2 ) ) )  =  ( ( 3  x.  ( N  /  2 ) )  x.  ( ( log `  ( N  /  2
) )  /  ( N  /  2 ) ) ) )
33877recni 9385 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 9  /  4 )  e.  CC
339338a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 9  /  4
)  e.  CC )
34087recnd 9399 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( G `  ( N  /  2 ) )  e.  CC )
341248, 339, 340mulassd 9396 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 2  x.  N )  /  3 )  x.  ( 9  /  4
) )  x.  ( G `  ( N  /  2 ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  N
)  /  3 )  x.  ( ( 9  /  4 )  x.  ( G `  ( N  /  2 ) ) ) ) )
342222a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  3  e.  CC )
34378rpcnd 11016 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( N  /  2
)  e.  CC )
34485recnd 9399 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( log `  ( N  /  2 ) )  e.  CC )
34578rpne0d 11019 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( N  /  2
)  =/=  0 )
346344, 343, 345divcld 10094 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( log `  ( N  /  2 ) )  /  ( N  / 
2 ) )  e.  CC )
347342, 343, 346mulassd 9396 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( 3  x.  ( N  /  2
) )  x.  (
( log `  ( N  /  2 ) )  /  ( N  / 
2 ) ) )  =  ( 3  x.  ( ( N  / 
2 )  x.  (
( log `  ( N  /  2 ) )  /  ( N  / 
2 ) ) ) ) )
348344, 343, 345divcan2d 10096 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( N  / 
2 )  x.  (
( log `  ( N  /  2 ) )  /  ( N  / 
2 ) ) )  =  ( log `  ( N  /  2 ) ) )
349348oveq2d 6096 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 3  x.  (
( N  /  2
)  x.  ( ( log `  ( N  /  2 ) )  /  ( N  / 
2 ) ) ) )  =  ( 3  x.  ( log `  ( N  /  2 ) ) ) )
350347, 349eqtrd 2465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 3  x.  ( N  /  2
) )  x.  (
( log `  ( N  /  2 ) )  /  ( N  / 
2 ) ) )  =  ( 3  x.  ( log `  ( N  /  2 ) ) ) )
351337, 341, 3503eqtr3d 2473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  N )  / 
3 )  x.  (
( 9  /  4
)  x.  ( G `
 ( N  / 
2 ) ) ) )  =  ( 3  x.  ( log `  ( N  /  2 ) ) ) )
352222, 199mulcli 9378 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 3  x.  ( log `  2
) )  e.  CC
353352a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 3  x.  ( log `  2 ) )  e.  CC )
354 mulcl 9353 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  ( log `  N )  e.  CC )  -> 
( 3  x.  ( log `  N ) )  e.  CC )
355222, 170, 354sylancr 656 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 3  x.  ( log `  N ) )  e.  CC )
356274, 353, 355npncan3d 9742 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( 5  x.  ( log `  2
) )  -  (
3  x.  ( log `  2 ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( log `  N ) )  -  ( 5  x.  ( log `  2 ) ) ) )  =  ( ( 3  x.  ( log `  N ) )  -  ( 3  x.  ( log `  2
) ) ) )
357309, 351, 3563eqtr4d 2475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  N )  / 
3 )  x.  (
( 9  /  4
)  x.  ( G `
 ( N  / 
2 ) ) ) )  =  ( ( ( 5  x.  ( log `  2 ) )  -  ( 3  x.  ( log `  2
) ) )  +  ( ( 3  x.  ( log `  N
) )  -  (
5  x.  ( log `  2 ) ) ) ) )
358118, 93remulcli 9387 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  x.  ( log `  2
) )  e.  RR
359358recni 9385 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  x.  ( log `  2
) )  e.  CC
360359a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( log `  2 ) )  e.  CC )
361 subcl 9596 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( log `  N
)  e.  CC  /\  ( 5  x.  ( log `  2 ) )  e.  CC )  -> 
( ( log `  N
)  -  ( 5  x.  ( log `  2
) ) )  e.  CC )
362170, 273, 361sylancl 655 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( log `  N
)  -  ( 5  x.  ( log `  2
) ) )  e.  CC )
363360, 299, 362addassd 9395 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( log `  2
) )  +  ( 2  x.  ( log `  N ) ) )  +  ( ( log `  N )  -  (
5  x.  ( log `  2 ) ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( log `  2 ) )  +  ( ( 2  x.  ( log `  N
) )  +  ( ( log `  N
)  -  ( 5  x.  ( log `  2
) ) ) ) ) )
364302, 357, 3633eqtr4d 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  N )  / 
3 )  x.  (
( 9  /  4
)  x.  ( G `
 ( N  / 
2 ) ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( log `  2 ) )  +  ( 2  x.  ( log `  N
) ) )  +  ( ( log `  N
)  -  ( 5  x.  ( log `  2
) ) ) ) )
365364oveq2d 6096 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  /  3 )  x.  ( log `  (
2  x.  N ) ) )  +  ( ( ( 2  x.  N )  /  3
)  x.  ( ( 9  /  4 )  x.  ( G `  ( N  /  2
) ) ) ) )  =  ( ( ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 )  x.  ( log `  (
2  x.  N ) ) )  +  ( ( ( 2  x.  ( log `  2
) )  +  ( 2  x.  ( log `  N ) ) )  +  ( ( log `  N )  -  (
5  x.  ( log `  2 ) ) ) ) ) )
366 mulcl 9353 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 )  e.  CC  /\  ( log `  2 )  e.  CC )  ->  (
( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 )  x.  ( log `  2
) )  e.  CC )
367258, 199, 366sylancl 655 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  /  3
)  x.  ( log `  2 ) )  e.  CC )
368258, 170mulcld 9393 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  /  3
)  x.  ( log `  N ) )  e.  CC )
36989recnd 9399 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( N  /  2 ) ) )  e.  CC )
370248, 369mulcld 9393 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  N )  / 
3 )  x.  (
( 9  /  4
)  x.  ( G `
 ( N  / 
2 ) ) ) )  e.  CC )
371367, 368, 370addassd 9395 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 )  x.  ( log `  2
) )  +  ( ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 )  x.  ( log `  N
) ) )  +  ( ( ( 2  x.  N )  / 
3 )  x.  (
( 9  /  4
)  x.  ( G `
 ( N  / 
2 ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  /  3
)  x.  ( log `  2 ) )  +  ( ( ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 )  x.  ( log `  N
) )  +  ( ( ( 2  x.  N )  /  3
)  x.  ( ( 9  /  4 )  x.  ( G `  ( N  /  2
) ) ) ) ) ) )
372263oveq2d 6096 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  /  3
)  x.  ( log `  ( 2  x.  N
) ) )  =  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  /  3
)  x.  ( ( log `  2 )  +  ( log `  N
) ) ) )
373258, 252, 170adddid 9397 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  /  3
)  x.  ( ( log `  2 )  +  ( log `  N
) ) )  =  ( ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  /  3 )  x.  ( log `  2
) )  +  ( ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 )  x.  ( log `  N
) ) ) )
374372, 373eqtrd 2465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  /  3
)  x.  ( log `  ( 2  x.  N
) ) )  =  ( ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  /  3 )  x.  ( log `  2
) )  +  ( ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 )  x.  ( log `  N
) ) ) )
375374oveq1d 6095 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  /  3 )  x.  ( log `  (
2  x.  N ) ) )  +  ( ( ( 2  x.  N )  /  3
)  x.  ( ( 9  /  4 )  x.  ( G `  ( N  /  2
) ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  /  3
)  x.  ( log `  2 ) )  +  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  /  3 )  x.  ( log `  N
) ) )  +  ( ( ( 2  x.  N )  / 
3 )  x.  (
( 9  /  4
)  x.  ( G `
 ( N  / 
2 ) ) ) ) ) )
37659oveq2d 6096 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  N )  / 
3 )  x.  ( F `  N )
)  =  ( ( ( 2  x.  N
)  /  3 )  x.  ( ( ( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  N
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( N  /  2 ) ) ) )  +  ( ( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) ) ) ) )
37790recnd 9399 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  N ) ) )  +  ( ( 9  /  4 )  x.  ( G `  ( N  /  2
) ) ) )  e.  CC )
37898recnd 9399 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) )  e.  CC )
379248, 377, 378adddid 9397 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  N )  / 
3 )  x.  (
( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  N ) ) )  +  ( ( 9  /  4 )  x.  ( G `  ( N  /  2
) ) ) )  +  ( ( log `  2 )  / 
( sqr `  (
2  x.  N ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  N
)  /  3 )  x.  ( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  N ) ) )  +  ( ( 9  /  4
)  x.  ( G `
 ( N  / 
2 ) ) ) ) )  +  ( ( ( 2  x.  N )  /  3
)  x.  ( ( log `  2 )  /  ( sqr `  (
2  x.  N ) ) ) ) ) )
380376, 379eqtrd 2465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  N )  / 
3 )  x.  ( F `  N )
)  =  ( ( ( ( 2  x.  N )  /  3
)  x.  ( ( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  N
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( N  /  2 ) ) ) ) )  +  ( ( ( 2  x.  N )  / 
3 )  x.  (
( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) ) ) ) )
38173recnd 9399 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  N
) ) )  e.  CC )
382248, 381, 369adddid 9397 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  N )  / 
3 )  x.  (
( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  N
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( N  /  2 ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  N )  /  3 )  x.  ( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  N
) ) ) )  +  ( ( ( 2  x.  N )  /  3 )  x.  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( N  /  2 ) ) ) ) ) )
38395rpge0d 11018 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  0  <_  ( 2  x.  N ) )
384 remsqsqr 12729 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  RR  /\  0  <_  ( 2  x.  N ) )  -> 
( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) )  =  ( 2  x.  N
) )
385236, 383, 384syl2anc 654 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) )  =  ( 2  x.  N
) )
386385oveq1d 6095 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  x.  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) )  /  3 )  =  ( ( 2  x.  N )  /  3
) )
387114recnd 9399 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( sqr `  (
2  x.  N ) )  e.  CC )
388223a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  3  =/=  0 )
389387, 387, 342, 388div23d 10131 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  x.  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) )  /  3 )  =  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  /  3
)  x.  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) ) )
390386, 389eqtr3d 2467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  /  3
)  =  ( ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 )  x.  ( sqr `  (
2  x.  N ) ) ) )
391390oveq1d 6095 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  N )  / 
3 )  x.  (
( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  N
) ) ) )  =  ( ( ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 )  x.  ( sqr `  (
2  x.  N ) ) )  x.  (
( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  N
) ) ) ) )
392258, 387, 381mulassd 9396 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  /  3 )  x.  ( sqr `  (
2  x.  N ) ) )  x.  (
( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  N
) ) ) )  =  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  /  3 )  x.  ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  N ) ) ) ) ) )
393 0le2 10399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  0  <_  2
394118, 393pm3.2i 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <_  2 )
39561rprege0d 11021 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( N  e.  RR  /\  0  <_  N )
)
396 sqrmul 12732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( 2  e.  RR  /\  0  <_  2 )  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <_  N ) )  -> 
( sqr `  (
2  x.  N ) )  =  ( ( sqr `  2 )  x.  ( sqr `  N
) ) )
397394, 395, 396sylancr 656 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( sqr `  (
2  x.  N ) )  =  ( ( sqr `  2 )  x.  ( sqr `  N
) ) )
398397oveq1d 6095 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  N ) ) ) )  =  ( ( ( sqr `  2 )  x.  ( sqr `  N
) )  x.  (
( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  N
) ) ) ) )
39960recni 9385 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( sqr `  2 )  e.  CC
400399a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( sqr `  2
)  e.  CC )
40162rpcnd 11016 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( sqr `  N
)  e.  CC )
40271recnd 9399 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( G `  ( sqr `  N ) )  e.  CC )
403400, 401, 400, 402mul4d 9568 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( ( sqr `  2 )  x.  ( sqr `  N
) )  x.  (
( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  N
) ) ) )  =  ( ( ( sqr `  2 )  x.  ( sqr `  2
) )  x.  (
( sqr `  N
)  x.  ( G `
 ( sqr `  N
) ) ) ) )
404 remsqsqr 12729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  0  <_  2 )  -> 
( ( sqr `  2
)  x.  ( sqr `  2 ) )  =  2 )
405118, 393, 404mp2an 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( sqr `  2 )  x.  ( sqr `  2
) )  =  2
406405a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  2
)  x.  ( sqr `  2 ) )  =  2 )
40768oveq2d 6096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  N
)  x.  ( G `
 ( sqr `  N
) ) )  =  ( ( sqr `  N
)  x.  ( ( log `  ( sqr `  N ) )  / 
( sqr `  N
) ) ) )
40869recnd 9399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( log `  ( sqr `  N ) )  e.  CC )
40962rpne0d 11019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( sqr `  N
)  =/=  0 )
410408, 401, 409divcan2d 10096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  N
)  x.  ( ( log `  ( sqr `  N ) )  / 
( sqr `  N
) ) )  =  ( log `  ( sqr `  N ) ) )
411407, 410eqtrd 2465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  N
)  x.  ( G `
 ( sqr `  N
) ) )  =  ( log `  ( sqr `  N ) ) )
412406, 411oveq12d 6098 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( ( sqr `  2 )  x.  ( sqr `  2
) )  x.  (
( sqr `  N
)  x.  ( G `
 ( sqr `  N
) ) ) )  =  ( 2  x.  ( log `  ( sqr `  N ) ) ) )
4134082timesd 10554 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( log `  ( sqr `  N
) ) )  =  ( ( log `  ( sqr `  N ) )  +  ( log `  ( sqr `  N ) ) ) )
41462, 62relogmuld 21958 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( log `  (
( sqr `  N
)  x.  ( sqr `  N ) ) )  =  ( ( log `  ( sqr `  N
) )  +  ( log `  ( sqr `  N ) ) ) )
415 remsqsqr 12729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( N  e.  RR  /\  0  <_  N )  -> 
( ( sqr `  N
)  x.  ( sqr `  N ) )  =  N )
416395, 415syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  N
)  x.  ( sqr `  N ) )  =  N )
417416fveq2d 5683 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( log `  (
( sqr `  N
)  x.  ( sqr `  N ) ) )  =  ( log `  N
) )
418414, 417eqtr3d 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( log `  ( sqr `  N ) )  +  ( log `  ( sqr `  N ) ) )  =  ( log `  N ) )
419412, 413, 4183eqtrd 2469 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( ( sqr `  2 )  x.  ( sqr `  2
) )  x.  (
( sqr `  N
)  x.  ( G `
 ( sqr `  N
) ) ) )  =  ( log `  N
) )
420398, 403, 4193eqtrd 2469 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  N ) ) ) )  =  ( log `  N
) )
421420oveq2d 6096 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  /  3
)  x.  ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  x.  ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  N ) ) ) ) )  =  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  /  3
)  x.  ( log `  N ) ) )
422391, 392, 4213eqtrd 2469 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  N )  / 
3 )  x.  (
( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  N
) ) ) )  =  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  /  3 )  x.  ( log `  N
) ) )
423422oveq1d 6095 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 2  x.  N )  /  3 )  x.  ( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  N
) ) ) )  +  ( ( ( 2  x.  N )  /  3 )  x.  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( N  /  2 ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  /  3 )  x.  ( log `  N
) )  +  ( ( ( 2  x.  N )  /  3
)  x.  ( ( 9  /  4 )  x.  ( G `  ( N  /  2
) ) ) ) ) )
424382, 423eqtrd 2465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  N )  / 
3 )  x.  (
( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  N
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( N  /  2 ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  /  3 )  x.  ( log `  N
) )  +  ( ( ( 2  x.  N )  /  3
)  x.  ( ( 9  /  4 )  x.  ( G `  ( N  /  2
) ) ) ) ) )
425390oveq1d 6095 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  N )  / 
3 )  x.  (
( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) ) )  =  ( ( ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 )  x.  ( sqr `  (
2  x.  N ) ) )  x.  (
( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) ) ) )
426258, 387, 378mulassd 9396 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  /  3 )  x.  ( sqr `  (
2  x.  N ) ) )  x.  (
( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) ) )  =  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  /  3 )  x.  ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( log `  2 )  /  ( sqr `  (
2  x.  N ) ) ) ) ) )
42796rpne0d 11019 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( sqr `  (
2  x.  N ) )  =/=  0 )
428252, 387, 427divcan2d 10096 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( ( log `  2 )  /  ( sqr `  (
2  x.  N ) ) ) )  =  ( log `  2
) )
429428oveq2d 6096 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  /  3
)  x.  ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  x.  ( ( log `  2 )  / 
( sqr `  (
2  x.  N ) ) ) ) )  =  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  /  3 )  x.  ( log `  2
) ) )
430425, 426, 4293eqtrd 2469 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  N )  / 
3 )  x.  (
( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) ) )  =  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  /  3 )  x.  ( log `  2
) ) )
431424, 430oveq12d 6098 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 2  x.  N )  /  3 )  x.  ( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  N ) ) )  +  ( ( 9  /  4 )  x.  ( G `  ( N  /  2
) ) ) ) )  +  ( ( ( 2  x.  N
)  /  3 )  x.  ( ( log `  2 )  / 
( sqr `  (
2  x.  N ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 )  x.  ( log `  N
) )  +  ( ( ( 2  x.  N )  /  3
)  x.  ( ( 9  /  4 )  x.  ( G `  ( N  /  2
) ) ) ) )  +  ( ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 )  x.  ( log `  2
) ) ) )
432368, 370addcld 9392 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  /  3 )  x.  ( log `  N
) )  +  ( ( ( 2  x.  N )  /  3
)  x.  ( ( 9  /  4 )  x.  ( G `  ( N  /  2
) ) ) ) )  e.  CC )
433432, 367addcomd 9558 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 )  x.  ( log `  N
) )  +  ( ( ( 2  x.  N )  /  3
)  x.  ( ( 9  /  4 )  x.  ( G `  ( N  /  2
) ) ) ) )  +  ( ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 )  x.  ( log `  2
) ) )  =  ( ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  /  3 )  x.  ( log `  2
) )  +  ( ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  /  3
)  x.  ( log `  N ) )  +  ( ( ( 2  x.  N )  / 
3 )  x.  (
( 9  /  4
)  x.  ( G `
 ( N  / 
2 ) ) ) ) ) ) )
434380, 431, 4333eqtrd 2469 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  N )  / 
3 )  x.  ( F `  N )
)  =  ( ( ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 )  x.  ( log `  2
) )  +  ( ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  /  3
)  x.  ( log `  N ) )  +  ( ( ( 2  x.  N )  / 
3 )  x.  (
( 9  /  4
)  x.  ( G `
 ( N  / 
2 ) ) ) ) ) ) )
435371, 375, 4343eqtr4rd 2476 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  N )  / 
3 )  x.  ( F `  N )
)  =  ( ( ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 )  x.  ( log `  (
2  x.  N ) ) )  +  ( ( ( 2  x.  N )  /  3
)  x.  ( ( 9  /  4 )  x.  ( G `  ( N  /  2
) ) ) ) ) )
436258, 260mulcld 9393 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  /  3
)  x.  ( log `  ( 2  x.  N
) ) )  e.  CC )
437 addcl 9351 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 2  x.  ( log `  2 ) )  e.  CC  /\  (
2  x.  ( log `  N ) )  e.  CC )  ->  (
( 2  x.  ( log `  2 ) )  +  ( 2  x.  ( log `  N
) ) )  e.  CC )
438359, 299, 437sylancr 656 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( log `  2
) )  +  ( 2  x.  ( log `  N ) ) )  e.  CC )
439436, 438, 362addassd 9395 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 )  x.  ( log `  (
2  x.  N ) ) )  +  ( ( 2  x.  ( log `  2 ) )  +  ( 2  x.  ( log `  N
) ) ) )  +  ( ( log `  N )  -  (
5  x.  ( log `  2 ) ) ) )  =  ( ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  /  3
)  x.  ( log `  ( 2  x.  N
) ) )  +  ( ( ( 2  x.  ( log `  2
) )  +  ( 2  x.  ( log `  N ) ) )  +  ( ( log `  N )  -  (
5  x.  ( log `  2 ) ) ) ) ) )
440365, 435, 4393eqtr4d 2475 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  N )  / 
3 )  x.  ( F `  N )
)  =  ( ( ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  /  3
)  x.  ( log `  ( 2  x.  N
) ) )  +  ( ( 2  x.  ( log `  2
) )  +  ( 2  x.  ( log `  N ) ) ) )  +  ( ( log `  N )  -  ( 5  x.  ( log `  2
) ) ) ) )
441277, 279, 4403eqtr4rd 2476 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  N )  / 
3 )  x.  ( F `  N )
)  =  ( ( ( ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 )  x.  ( log `  ( 2  x.  N ) ) )  +  ( ( ( ( 4  x.  N
)  /  3 )  -  5 )  x.  ( log `  2
) ) )  -  ( ( ( ( 4  x.  N )  /  3 )  x.  ( log `  2
) )  -  ( log `  N ) ) ) )
442194, 257, 4413brtr4d 4310 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  N )  / 
3 )  x.  ( log `  2 ) )  <  ( ( (