MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bposlem8 Structured version   Unicode version

Theorem bposlem8 22605
Description: Lemma for bpos 22607. Evaluate  F ( 6 4 ) and show it is less than  log 2. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bposlem7.1  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  n ) ) )  +  ( ( 9  /  4
)  x.  ( G `
 ( n  / 
2 ) ) ) )  +  ( ( log `  2 )  /  ( sqr `  (
2  x.  n ) ) ) ) )
bposlem7.2  |-  G  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log `  x
)  /  x ) )
Assertion
Ref Expression
bposlem8  |-  ( ( F ` ; 6 4 )  e.  RR  /\  ( F `
; 6 4 )  < 
( log `  2
) )

Proof of Theorem bposlem8
StepHypRef Expression
1 6nn0 10592 . . . . 5  |-  6  e.  NN0
2 4nn 10473 . . . . 5  |-  4  e.  NN
31, 2decnncl 10760 . . . 4  |- ; 6 4  e.  NN
4 fveq2 5686 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  = ; 6 4  ->  ( sqr `  n )  =  ( sqr ` ; 6 4 ) )
5 8cn 10399 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  8  e.  CC
65sqvali 11937 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 8 ^ 2 )  =  ( 8  x.  8 )
7 8t8e64 10841 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 8  x.  8 )  = ; 6
4
86, 7eqtri 2458 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 8 ^ 2 )  = ; 6
4
98fveq2i 5689 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( sqr `  ( 8 ^ 2 ) )  =  ( sqr ` ; 6 4 )
10 0re 9378 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  e.  RR
11 8re 10398 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  8  e.  RR
12 8pos 10414 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  <  8
1310, 11, 12ltleii 9489 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  <_  8
1411sqrsqi 12854 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0  <_  8  ->  ( sqr `  ( 8 ^ 2 ) )  =  8 )
1513, 14ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( sqr `  ( 8 ^ 2 ) )  =  8
169, 15eqtr3i 2460 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( sqr ` ; 6 4 )  =  8
174, 16syl6eq 2486 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  = ; 6 4  ->  ( sqr `  n )  =  8 )
1817fveq2d 5690 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  = ; 6 4  ->  ( G `  ( sqr `  n ) )  =  ( G `  8
) )
19 8nn 10477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  8  e.  NN
20 nnrp 10992 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 8  e.  NN  ->  8  e.  RR+ )
21 fveq2 5686 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  8  ->  ( log `  x )  =  ( log `  8
) )
22 cu2 11956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 2 ^ 3 )  =  8
2322fveq2i 5689 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( log `  ( 2 ^ 3 ) )  =  ( log `  8 )
24 2rp 10988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  2  e.  RR+
25 3z 10671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  3  e.  ZZ
26 relogexp 22019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  3  e.  ZZ )  ->  ( log `  ( 2 ^ 3 ) )  =  ( 3  x.  ( log `  2 ) ) )
2724, 25, 26mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( log `  ( 2 ^ 3 ) )  =  ( 3  x.  ( log `  2 ) )
2823, 27eqtr3i 2460 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( log `  8 )  =  ( 3  x.  ( log `  2 ) )
2921, 28syl6eq 2486 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  8  ->  ( log `  x )  =  ( 3  x.  ( log `  2 ) ) )
30 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  8  ->  x  =  8 )
3129, 30oveq12d 6104 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  8  ->  (
( log `  x
)  /  x )  =  ( ( 3  x.  ( log `  2
) )  /  8
) )
32 3cn 10388 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  3  e.  CC
33 2nn 10471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  e.  NN
34 nnrp 10992 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 2  e.  NN  ->  2  e.  RR+ )
35 relogcl 22002 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 2  e.  RR+  ->  ( log `  2 )  e.  RR )
3633, 34, 35mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( log `  2 )  e.  RR
3736recni 9390 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( log `  2 )  e.  CC
3819nnne0i 10348 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  8  =/=  0
3932, 37, 5, 38div23i 10081 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 3  x.  ( log `  2 ) )  /  8 )  =  ( ( 3  / 
8 )  x.  ( log `  2 ) )
4031, 39syl6eq 2486 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  8  ->  (
( log `  x
)  /  x )  =  ( ( 3  /  8 )  x.  ( log `  2
) ) )
41 bposlem7.2 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  G  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log `  x
)  /  x ) )
42 ovex 6111 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 3  /  8 )  x.  ( log `  2
) )  e.  _V
4340, 41, 42fvmpt 5769 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 8  e.  RR+  ->  ( G `
 8 )  =  ( ( 3  / 
8 )  x.  ( log `  2 ) ) )
4419, 20, 43mp2b 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G `
 8 )  =  ( ( 3  / 
8 )  x.  ( log `  2 ) )
4518, 44syl6eq 2486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  = ; 6 4  ->  ( G `  ( sqr `  n ) )  =  ( ( 3  / 
8 )  x.  ( log `  2 ) ) )
4645oveq2d 6102 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  = ; 6 4  ->  (
( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  n
) ) )  =  ( ( sqr `  2
)  x.  ( ( 3  /  8 )  x.  ( log `  2
) ) ) )
47 sqr2re 13524 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( sqr `  2 )  e.  RR
4847recni 9390 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( sqr `  2 )  e.  CC
4932, 5, 38divcli 10065 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 3  /  8 )  e.  CC
5048, 49, 37mulassi 9387 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( sqr `  2
)  x.  ( 3  /  8 ) )  x.  ( log `  2
) )  =  ( ( sqr `  2
)  x.  ( ( 3  /  8 )  x.  ( log `  2
) ) )
51 4cn 10391 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  4  e.  CC
5248, 51, 48mul12i 9556 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( sqr `  2 )  x.  ( 4  x.  ( sqr `  2
) ) )  =  ( 4  x.  (
( sqr `  2
)  x.  ( sqr `  2 ) ) )
53 2re 10383 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  e.  RR
54 0le2 10404 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  <_  2
55 remsqsqr 12738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  0  <_  2 )  -> 
( ( sqr `  2
)  x.  ( sqr `  2 ) )  =  2 )
5653, 54, 55mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( sqr `  2 )  x.  ( sqr `  2
) )  =  2
5756oveq2i 6097 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 4  x.  ( ( sqr `  2 )  x.  ( sqr `  2
) ) )  =  ( 4  x.  2 )
58 4t2e8 10467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 4  x.  2 )  =  8
5952, 57, 583eqtri 2462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( sqr `  2 )  x.  ( 4  x.  ( sqr `  2
) ) )  =  8
6059oveq2i 6097 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( sqr `  2
)  x.  3 )  /  ( ( sqr `  2 )  x.  ( 4  x.  ( sqr `  2 ) ) ) )  =  ( ( ( sqr `  2
)  x.  3 )  /  8 )
6151, 48mulcli 9383 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 4  x.  ( sqr `  2
) )  e.  CC
62 nnrp 10992 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 4  e.  NN  ->  4  e.  RR+ )
632, 62ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  4  e.  RR+
64 rpsqrcl 12746 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 2  e.  RR+  ->  ( sqr `  2 )  e.  RR+ )
6533, 34, 64mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( sqr `  2 )  e.  RR+
66 rpmulcl 11004 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 4  e.  RR+  /\  ( sqr `  2 )  e.  RR+ )  ->  ( 4  x.  ( sqr `  2
) )  e.  RR+ )
6763, 65, 66mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 4  x.  ( sqr `  2
) )  e.  RR+
68 rpne0 10998 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 4  x.  ( sqr `  2 ) )  e.  RR+  ->  ( 4  x.  ( sqr `  2
) )  =/=  0
)
6967, 68ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 4  x.  ( sqr `  2
) )  =/=  0
70 rpne0 10998 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( sqr `  2 )  e.  RR+  ->  ( sqr `  2 )  =/=  0 )
7124, 64, 70mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( sqr `  2 )  =/=  0
72 divcan5 10025 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  ( ( 4  x.  ( sqr `  2
) )  e.  CC  /\  ( 4  x.  ( sqr `  2 ) )  =/=  0 )  /\  ( ( sqr `  2
)  e.  CC  /\  ( sqr `  2 )  =/=  0 ) )  ->  ( ( ( sqr `  2 )  x.  3 )  / 
( ( sqr `  2
)  x.  ( 4  x.  ( sqr `  2
) ) ) )  =  ( 3  / 
( 4  x.  ( sqr `  2 ) ) ) )
7332, 72mp3an1 1301 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( 4  x.  ( sqr `  2
) )  e.  CC  /\  ( 4  x.  ( sqr `  2 ) )  =/=  0 )  /\  ( ( sqr `  2
)  e.  CC  /\  ( sqr `  2 )  =/=  0 ) )  ->  ( ( ( sqr `  2 )  x.  3 )  / 
( ( sqr `  2
)  x.  ( 4  x.  ( sqr `  2
) ) ) )  =  ( 3  / 
( 4  x.  ( sqr `  2 ) ) ) )
7461, 69, 48, 71, 73mp4an 673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( sqr `  2
)  x.  3 )  /  ( ( sqr `  2 )  x.  ( 4  x.  ( sqr `  2 ) ) ) )  =  ( 3  /  ( 4  x.  ( sqr `  2
) ) )
75 4ne0 10410 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  4  =/=  0
76 divdiv1 10034 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  ( 4  e.  CC  /\  4  =/=  0 )  /\  ( ( sqr `  2 )  e.  CC  /\  ( sqr `  2 )  =/=  0 ) )  -> 
( ( 3  / 
4 )  /  ( sqr `  2 ) )  =  ( 3  / 
( 4  x.  ( sqr `  2 ) ) ) )
7732, 76mp3an1 1301 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 4  e.  CC  /\  4  =/=  0 )  /\  ( ( sqr `  2 )  e.  CC  /\  ( sqr `  2 )  =/=  0 ) )  -> 
( ( 3  / 
4 )  /  ( sqr `  2 ) )  =  ( 3  / 
( 4  x.  ( sqr `  2 ) ) ) )
7851, 75, 48, 71, 77mp4an 673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 3  /  4 )  /  ( sqr `  2
) )  =  ( 3  /  ( 4  x.  ( sqr `  2
) ) )
7974, 78eqtr4i 2461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( sqr `  2
)  x.  3 )  /  ( ( sqr `  2 )  x.  ( 4  x.  ( sqr `  2 ) ) ) )  =  ( ( 3  /  4
)  /  ( sqr `  2 ) )
8048, 32, 5, 38divassi 10079 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( sqr `  2
)  x.  3 )  /  8 )  =  ( ( sqr `  2
)  x.  ( 3  /  8 ) )
8160, 79, 803eqtr3ri 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( sqr `  2 )  x.  ( 3  / 
8 ) )  =  ( ( 3  / 
4 )  /  ( sqr `  2 ) )
8281oveq1i 6096 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( sqr `  2
)  x.  ( 3  /  8 ) )  x.  ( log `  2
) )  =  ( ( ( 3  / 
4 )  /  ( sqr `  2 ) )  x.  ( log `  2
) )
8350, 82eqtr3i 2460 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( sqr `  2 )  x.  ( ( 3  /  8 )  x.  ( log `  2
) ) )  =  ( ( ( 3  /  4 )  / 
( sqr `  2
) )  x.  ( log `  2 ) )
8446, 83syl6eq 2486 . . . . . . . . 9  |-  ( n  = ; 6 4  ->  (
( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  n
) ) )  =  ( ( ( 3  /  4 )  / 
( sqr `  2
) )  x.  ( log `  2 ) ) )
85 oveq1 6093 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  = ; 6 4  ->  (
n  /  2 )  =  (; 6 4  /  2
) )
86 df-6 10376 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  6  =  ( 5  +  1 )
8786oveq2i 6097 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2 ^ 6 )  =  ( 2 ^ (
5  +  1 ) )
88 2exp6 14107 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2 ^ 6 )  = ; 6
4
89 2cn 10384 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  e.  CC
90 5nn0 10591 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  5  e.  NN0
91 expp1 11864 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  5  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ (
5  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ 5 )  x.  2 ) )
9289, 90, 91mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2 ^ ( 5  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ 5 )  x.  2 )
9387, 88, 923eqtr3i 2466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |- ; 6 4  =  ( ( 2 ^ 5 )  x.  2 )
9493oveq1i 6096 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (; 6 4  /  2
)  =  ( ( ( 2 ^ 5 )  x.  2 )  /  2 )
95 nnexpcl 11870 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  5  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ 5 )  e.  NN )
9633, 90, 95mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2 ^ 5 )  e.  NN
9796nncni 10324 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2 ^ 5 )  e.  CC
98 2ne0 10406 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  =/=  0
9997, 89, 98divcan4i 10070 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 2 ^ 5 )  x.  2 )  /  2 )  =  ( 2 ^ 5 )
10094, 99eqtri 2458 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (; 6 4  /  2
)  =  ( 2 ^ 5 )
10185, 100syl6eq 2486 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  = ; 6 4  ->  (
n  /  2 )  =  ( 2 ^ 5 ) )
102101fveq2d 5690 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  = ; 6 4  ->  ( G `  ( n  /  2 ) )  =  ( G `  ( 2 ^ 5 ) ) )
103 nnrp 10992 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2 ^ 5 )  e.  NN  ->  (
2 ^ 5 )  e.  RR+ )
104 fveq2 5686 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  ( 2 ^ 5 )  ->  ( log `  x )  =  ( log `  (
2 ^ 5 ) ) )
105 5nn 10474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  5  e.  NN
106105nnzi 10662 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  5  e.  ZZ
107 relogexp 22019 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  5  e.  ZZ )  ->  ( log `  ( 2 ^ 5 ) )  =  ( 5  x.  ( log `  2 ) ) )
10824, 106, 107mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( log `  ( 2 ^ 5 ) )  =  ( 5  x.  ( log `  2 ) )
109104, 108syl6eq 2486 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( 2 ^ 5 )  ->  ( log `  x )  =  ( 5  x.  ( log `  2 ) ) )
110 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( 2 ^ 5 )  ->  x  =  ( 2 ^ 5 ) )
111109, 110oveq12d 6104 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( 2 ^ 5 )  ->  (
( log `  x
)  /  x )  =  ( ( 5  x.  ( log `  2
) )  /  (
2 ^ 5 ) ) )
112 5cn 10393 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  5  e.  CC
11396nnne0i 10348 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2 ^ 5 )  =/=  0
114112, 37, 97, 113div23i 10081 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 5  x.  ( log `  2 ) )  /  ( 2 ^ 5 ) )  =  ( ( 5  / 
( 2 ^ 5 ) )  x.  ( log `  2 ) )
115111, 114syl6eq 2486 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( 2 ^ 5 )  ->  (
( log `  x
)  /  x )  =  ( ( 5  /  ( 2 ^ 5 ) )  x.  ( log `  2
) ) )
116 ovex 6111 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 5  /  ( 2 ^ 5 ) )  x.  ( log `  2
) )  e.  _V
117115, 41, 116fvmpt 5769 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2 ^ 5 )  e.  RR+  ->  ( G `
 ( 2 ^ 5 ) )  =  ( ( 5  / 
( 2 ^ 5 ) )  x.  ( log `  2 ) ) )
11896, 103, 117mp2b 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G `
 ( 2 ^ 5 ) )  =  ( ( 5  / 
( 2 ^ 5 ) )  x.  ( log `  2 ) )
119102, 118syl6eq 2486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  = ; 6 4  ->  ( G `  ( n  /  2 ) )  =  ( ( 5  /  ( 2 ^ 5 ) )  x.  ( log `  2
) ) )
120119oveq2d 6102 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  = ; 6 4  ->  (
( 9  /  4
)  x.  ( G `
 ( n  / 
2 ) ) )  =  ( ( 9  /  4 )  x.  ( ( 5  / 
( 2 ^ 5 ) )  x.  ( log `  2 ) ) ) )
121 9cn 10401 . . . . . . . . . . . 12  |-  9  e.  CC
122121, 51, 75divcli 10065 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 9  /  4 )  e.  CC
123112, 97, 113divcli 10065 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 5  /  ( 2 ^ 5 ) )  e.  CC
124122, 123, 37mulassi 9387 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 9  /  4
)  x.  ( 5  /  ( 2 ^ 5 ) ) )  x.  ( log `  2
) )  =  ( ( 9  /  4
)  x.  ( ( 5  /  ( 2 ^ 5 ) )  x.  ( log `  2
) ) )
125120, 124syl6eqr 2488 . . . . . . . . 9  |-  ( n  = ; 6 4  ->  (
( 9  /  4
)  x.  ( G `
 ( n  / 
2 ) ) )  =  ( ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  / 
( 2 ^ 5 ) ) )  x.  ( log `  2
) ) )
12684, 125oveq12d 6104 . . . . . . . 8  |-  ( n  = ; 6 4  ->  (
( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  n
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( n  /  2 ) ) ) )  =  ( ( ( ( 3  /  4 )  / 
( sqr `  2
) )  x.  ( log `  2 ) )  +  ( ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  / 
( 2 ^ 5 ) ) )  x.  ( log `  2
) ) ) )
12732, 51, 75divcli 10065 . . . . . . . . . 10  |-  ( 3  /  4 )  e.  CC
128127, 48, 71divcli 10065 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 3  /  4 )  /  ( sqr `  2
) )  e.  CC
129122, 123mulcli 9383 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  / 
( 2 ^ 5 ) ) )  e.  CC
130128, 129, 37adddiri 9389 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( 3  / 
4 )  /  ( sqr `  2 ) )  +  ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  /  (
2 ^ 5 ) ) ) )  x.  ( log `  2
) )  =  ( ( ( ( 3  /  4 )  / 
( sqr `  2
) )  x.  ( log `  2 ) )  +  ( ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  / 
( 2 ^ 5 ) ) )  x.  ( log `  2
) ) )
131126, 130syl6eqr 2488 . . . . . . 7  |-  ( n  = ; 6 4  ->  (
( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  n
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( n  /  2 ) ) ) )  =  ( ( ( ( 3  /  4 )  / 
( sqr `  2
) )  +  ( ( 9  /  4
)  x.  ( 5  /  ( 2 ^ 5 ) ) ) )  x.  ( log `  2 ) ) )
132 oveq2 6094 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  = ; 6 4  ->  (
2  x.  n )  =  ( 2  x. ; 6
4 ) )
133132fveq2d 5690 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  = ; 6 4  ->  ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  =  ( sqr `  (
2  x. ; 6 4 ) ) )
1343nnrei 10323 . . . . . . . . . . . 12  |- ; 6 4  e.  RR
1353nngt0i 10347 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  < ; 6
4
13610, 134, 135ltleii 9489 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <_ ; 6
4
13753, 134, 54, 136sqrmulii 12866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( sqr `  ( 2  x. ; 6 4 ) )  =  ( ( sqr `  2 )  x.  ( sqr ` ; 6 4 ) )
13816oveq2i 6097 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( sqr `  2 )  x.  ( sqr ` ; 6 4 ) )  =  ( ( sqr `  2 )  x.  8 )
139137, 138eqtri 2458 . . . . . . . . . 10  |-  ( sqr `  ( 2  x. ; 6 4 ) )  =  ( ( sqr `  2 )  x.  8 )
140133, 139syl6eq 2486 . . . . . . . . 9  |-  ( n  = ; 6 4  ->  ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  =  ( ( sqr `  2
)  x.  8 ) )
141140oveq2d 6102 . . . . . . . 8  |-  ( n  = ; 6 4  ->  (
( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  n
) ) )  =  ( ( log `  2
)  /  ( ( sqr `  2 )  x.  8 ) ) )
14248, 5mulcli 9383 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( sqr `  2 )  x.  8 )  e.  CC
143 rpmulcl 11004 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( sqr `  2
)  e.  RR+  /\  8  e.  RR+ )  ->  (
( sqr `  2
)  x.  8 )  e.  RR+ )
14465, 20, 143sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 8  e.  NN  ->  (
( sqr `  2
)  x.  8 )  e.  RR+ )
145 rpne0 10998 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( sqr `  2
)  x.  8 )  e.  RR+  ->  ( ( sqr `  2 )  x.  8 )  =/=  0 )
14619, 144, 145mp2b 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( sqr `  2 )  x.  8 )  =/=  0
147 divrec2 10003 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( log `  2
)  e.  CC  /\  ( ( sqr `  2
)  x.  8 )  e.  CC  /\  (
( sqr `  2
)  x.  8 )  =/=  0 )  -> 
( ( log `  2
)  /  ( ( sqr `  2 )  x.  8 ) )  =  ( ( 1  /  ( ( sqr `  2 )  x.  8 ) )  x.  ( log `  2
) ) )
14837, 142, 146, 147mp3an 1314 . . . . . . . . 9  |-  ( ( log `  2 )  /  ( ( sqr `  2 )  x.  8 ) )  =  ( ( 1  / 
( ( sqr `  2
)  x.  8 ) )  x.  ( log `  2 ) )
14948, 5mulcomi 9384 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( sqr `  2 )  x.  8 )  =  ( 8  x.  ( sqr `  2 ) )
150149oveq2i 6097 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  /  ( ( sqr `  2 )  x.  8 ) )  =  ( 1  /  (
8  x.  ( sqr `  2 ) ) )
151 recdiv2 10036 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 8  e.  CC  /\  8  =/=  0 )  /\  ( ( sqr `  2 )  e.  CC  /\  ( sqr `  2 )  =/=  0 ) )  -> 
( ( 1  / 
8 )  /  ( sqr `  2 ) )  =  ( 1  / 
( 8  x.  ( sqr `  2 ) ) ) )
1525, 38, 48, 71, 151mp4an 673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  /  8 )  /  ( sqr `  2
) )  =  ( 1  /  ( 8  x.  ( sqr `  2
) ) )
153150, 152eqtr4i 2461 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  /  ( ( sqr `  2 )  x.  8 ) )  =  ( ( 1  / 
8 )  /  ( sqr `  2 ) )
154153oveq1i 6096 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  /  ( ( sqr `  2 )  x.  8 ) )  x.  ( log `  2
) )  =  ( ( ( 1  / 
8 )  /  ( sqr `  2 ) )  x.  ( log `  2
) )
155148, 154eqtri 2458 . . . . . . . 8  |-  ( ( log `  2 )  /  ( ( sqr `  2 )  x.  8 ) )  =  ( ( ( 1  /  8 )  / 
( sqr `  2
) )  x.  ( log `  2 ) )
156141, 155syl6eq 2486 . . . . . . 7  |-  ( n  = ; 6 4  ->  (
( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  n
) ) )  =  ( ( ( 1  /  8 )  / 
( sqr `  2
) )  x.  ( log `  2 ) ) )
157131, 156oveq12d 6104 . . . . . 6  |-  ( n  = ; 6 4  ->  (
( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  n ) ) )  +  ( ( 9  /  4 )  x.  ( G `  ( n  /  2
) ) ) )  +  ( ( log `  2 )  / 
( sqr `  (
2  x.  n ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( 3  /  4
)  /  ( sqr `  2 ) )  +  ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  /  (
2 ^ 5 ) ) ) )  x.  ( log `  2
) )  +  ( ( ( 1  / 
8 )  /  ( sqr `  2 ) )  x.  ( log `  2
) ) ) )
158128, 129addcli 9382 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 3  /  4
)  /  ( sqr `  2 ) )  +  ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  /  (
2 ^ 5 ) ) ) )  e.  CC
1595, 38reccli 10053 . . . . . . . 8  |-  ( 1  /  8 )  e.  CC
160159, 48, 71divcli 10065 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  /  8 )  /  ( sqr `  2
) )  e.  CC
161158, 160, 37adddiri 9389 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( 3  /  4 )  / 
( sqr `  2
) )  +  ( ( 9  /  4
)  x.  ( 5  /  ( 2 ^ 5 ) ) ) )  +  ( ( 1  /  8 )  /  ( sqr `  2
) ) )  x.  ( log `  2
) )  =  ( ( ( ( ( 3  /  4 )  /  ( sqr `  2
) )  +  ( ( 9  /  4
)  x.  ( 5  /  ( 2 ^ 5 ) ) ) )  x.  ( log `  2 ) )  +  ( ( ( 1  /  8 )  /  ( sqr `  2
) )  x.  ( log `  2 ) ) )
162157, 161syl6eqr 2488 . . . . 5  |-  ( n  = ; 6 4  ->  (
( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  n ) ) )  +  ( ( 9  /  4 )  x.  ( G `  ( n  /  2
) ) ) )  +  ( ( log `  2 )  / 
( sqr `  (
2  x.  n ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( 3  /  4
)  /  ( sqr `  2 ) )  +  ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  /  (
2 ^ 5 ) ) ) )  +  ( ( 1  / 
8 )  /  ( sqr `  2 ) ) )  x.  ( log `  2 ) ) )
163 bposlem7.1 . . . . 5  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  n ) ) )  +  ( ( 9  /  4
)  x.  ( G `
 ( n  / 
2 ) ) ) )  +  ( ( log `  2 )  /  ( sqr `  (
2  x.  n ) ) ) ) )
164 ovex 6111 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( 3  /  4 )  / 
( sqr `  2
) )  +  ( ( 9  /  4
)  x.  ( 5  /  ( 2 ^ 5 ) ) ) )  +  ( ( 1  /  8 )  /  ( sqr `  2
) ) )  x.  ( log `  2
) )  e.  _V
165162, 163, 164fvmpt 5769 . . . 4  |-  (; 6 4  e.  NN  ->  ( F ` ; 6 4 )  =  ( ( ( ( ( 3  /  4
)  /  ( sqr `  2 ) )  +  ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  /  (
2 ^ 5 ) ) ) )  +  ( ( 1  / 
8 )  /  ( sqr `  2 ) ) )  x.  ( log `  2 ) ) )
1663, 165ax-mp 5 . . 3  |-  ( F `
; 6 4 )  =  ( ( ( ( ( 3  /  4
)  /  ( sqr `  2 ) )  +  ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  /  (
2 ^ 5 ) ) ) )  +  ( ( 1  / 
8 )  /  ( sqr `  2 ) ) )  x.  ( log `  2 ) )
167 3re 10387 . . . . . . . 8  |-  3  e.  RR
168 4re 10390 . . . . . . . 8  |-  4  e.  RR
169167, 168, 75redivcli 10090 . . . . . . 7  |-  ( 3  /  4 )  e.  RR
170169, 47, 71redivcli 10090 . . . . . 6  |-  ( ( 3  /  4 )  /  ( sqr `  2
) )  e.  RR
171 9re 10400 . . . . . . . 8  |-  9  e.  RR
172171, 168, 75redivcli 10090 . . . . . . 7  |-  ( 9  /  4 )  e.  RR
173 5re 10392 . . . . . . . 8  |-  5  e.  RR
17496nnrei 10323 . . . . . . . 8  |-  ( 2 ^ 5 )  e.  RR
175173, 174, 113redivcli 10090 . . . . . . 7  |-  ( 5  /  ( 2 ^ 5 ) )  e.  RR
176172, 175remulcli 9392 . . . . . 6  |-  ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  / 
( 2 ^ 5 ) ) )  e.  RR
177170, 176readdcli 9391 . . . . 5  |-  ( ( ( 3  /  4
)  /  ( sqr `  2 ) )  +  ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  /  (
2 ^ 5 ) ) ) )  e.  RR
17811, 38rereccli 10088 . . . . . 6  |-  ( 1  /  8 )  e.  RR
179178, 47, 71redivcli 10090 . . . . 5  |-  ( ( 1  /  8 )  /  ( sqr `  2
) )  e.  RR
180177, 179readdcli 9391 . . . 4  |-  ( ( ( ( 3  / 
4 )  /  ( sqr `  2 ) )  +  ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  /  (
2 ^ 5 ) ) ) )  +  ( ( 1  / 
8 )  /  ( sqr `  2 ) ) )  e.  RR
181180, 36remulcli 9392 . . 3  |-  ( ( ( ( ( 3  /  4 )  / 
( sqr `  2
) )  +  ( ( 9  /  4
)  x.  ( 5  /  ( 2 ^ 5 ) ) ) )  +  ( ( 1  /  8 )  /  ( sqr `  2
) ) )  x.  ( log `  2
) )  e.  RR
182166, 181eqeltri 2508 . 2  |-  ( F `
; 6 4 )  e.  RR
183128, 129, 160add32i 9580 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( 3  / 
4 )  /  ( sqr `  2 ) )  +  ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  /  (
2 ^ 5 ) ) ) )  +  ( ( 1  / 
8 )  /  ( sqr `  2 ) ) )  =  ( ( ( ( 3  / 
4 )  /  ( sqr `  2 ) )  +  ( ( 1  /  8 )  / 
( sqr `  2
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  (
5  /  ( 2 ^ 5 ) ) ) )
184 6cn 10395 . . . . . . . . . . 11  |-  6  e.  CC
185 ax-1cn 9332 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
186184, 185, 5, 38divdiri 10080 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 6  +  1 )  /  8 )  =  ( ( 6  / 
8 )  +  ( 1  /  8 ) )
187 df-7 10377 . . . . . . . . . . 11  |-  7  =  ( 6  +  1 )
188187oveq1i 6096 . . . . . . . . . 10  |-  ( 7  /  8 )  =  ( ( 6  +  1 )  /  8
)
189 divcan5 10025 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  ( 4  e.  CC  /\  4  =/=  0 )  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  -> 
( ( 2  x.  3 )  /  (
2  x.  4 ) )  =  ( 3  /  4 ) )
19032, 189mp3an1 1301 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 4  e.  CC  /\  4  =/=  0 )  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  -> 
( ( 2  x.  3 )  /  (
2  x.  4 ) )  =  ( 3  /  4 ) )
19151, 75, 89, 98, 190mp4an 673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  x.  3 )  /  ( 2  x.  4 ) )  =  ( 3  /  4
)
192 3t2e6 10465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 3  x.  2 )  =  6
19332, 89, 192mulcomli 9385 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  x.  3 )  =  6
19451, 89, 58mulcomli 9385 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  x.  4 )  =  8
195193, 194oveq12i 6098 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  x.  3 )  /  ( 2  x.  4 ) )  =  ( 6  /  8
)
196191, 195eqtr3i 2460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 3  /  4 )  =  ( 6  /  8
)
197196oveq1i 6096 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 3  /  4 )  +  ( 1  / 
8 ) )  =  ( ( 6  / 
8 )  +  ( 1  /  8 ) )
198186, 188, 1973eqtr4ri 2469 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 3  /  4 )  +  ( 1  / 
8 ) )  =  ( 7  /  8
)
199198oveq1i 6096 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 3  /  4
)  +  ( 1  /  8 ) )  /  ( sqr `  2
) )  =  ( ( 7  /  8
)  /  ( sqr `  2 ) )
200127, 159, 48, 71divdiri 10080 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 3  /  4
)  +  ( 1  /  8 ) )  /  ( sqr `  2
) )  =  ( ( ( 3  / 
4 )  /  ( sqr `  2 ) )  +  ( ( 1  /  8 )  / 
( sqr `  2
) ) )
201 7cn 10397 . . . . . . . . 9  |-  7  e.  CC
202201, 5, 48, 38, 71divdiv32i 10078 . . . . . . . 8  |-  ( ( 7  /  8 )  /  ( sqr `  2
) )  =  ( ( 7  /  ( sqr `  2 ) )  /  8 )
203199, 200, 2023eqtr3i 2466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 3  /  4
)  /  ( sqr `  2 ) )  +  ( ( 1  /  8 )  / 
( sqr `  2
) ) )  =  ( ( 7  / 
( sqr `  2
) )  /  8
)
204203oveq1i 6096 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( 3  / 
4 )  /  ( sqr `  2 ) )  +  ( ( 1  /  8 )  / 
( sqr `  2
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  (
5  /  ( 2 ^ 5 ) ) ) )  =  ( ( ( 7  / 
( sqr `  2
) )  /  8
)  +  ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  / 
( 2 ^ 5 ) ) ) )
205183, 204eqtri 2458 . . . . 5  |-  ( ( ( ( 3  / 
4 )  /  ( sqr `  2 ) )  +  ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  /  (
2 ^ 5 ) ) ) )  +  ( ( 1  / 
8 )  /  ( sqr `  2 ) ) )  =  ( ( ( 7  /  ( sqr `  2 ) )  /  8 )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  (
5  /  ( 2 ^ 5 ) ) ) )
206 4nn0 10590 . . . . . . . . . . . 12  |-  4  e.  NN0
207 9nn0 10595 . . . . . . . . . . . 12  |-  9  e.  NN0
208 0nn0 10586 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  NN0
209 9lt10 10516 . . . . . . . . . . . 12  |-  9  <  10
210 4lt5 10486 . . . . . . . . . . . 12  |-  4  <  5
211206, 90, 207, 208, 209, 210decltc 10769 . . . . . . . . . . 11  |- ; 4 9  < ; 5 0
212 7t7e49 10834 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 7  x.  7 )  = ; 4
9
21356oveq1i 6096 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( sqr `  2
)  x.  ( sqr `  2 ) )  x.  ( 5  x.  5 ) )  =  ( 2  x.  (
5  x.  5 ) )
21448, 48, 112, 112mul4i 9558 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( sqr `  2
)  x.  ( sqr `  2 ) )  x.  ( 5  x.  5 ) )  =  ( ( ( sqr `  2 )  x.  5 )  x.  (
( sqr `  2
)  x.  5 ) )
215 5t2e10 10468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 5  x.  2 )  =  10
216112, 89, 215mulcomli 9385 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  x.  5 )  =  10
217216oveq1i 6096 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  x.  5 )  x.  5 )  =  ( 10  x.  5 )
21889, 112, 112mulassi 9387 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  x.  5 )  x.  5 )  =  ( 2  x.  (
5  x.  5 ) )
21990dec0u 10762 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 10  x.  5 )  = ; 5
0
220217, 218, 2193eqtr3i 2466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  x.  ( 5  x.  5 ) )  = ; 5
0
221213, 214, 2203eqtr3i 2466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( sqr `  2
)  x.  5 )  x.  ( ( sqr `  2 )  x.  5 ) )  = ; 5
0
222211, 212, 2213brtr4i 4315 . . . . . . . . . 10  |-  ( 7  x.  7 )  < 
( ( ( sqr `  2 )  x.  5 )  x.  (
( sqr `  2
)  x.  5 ) )
223 7re 10396 . . . . . . . . . . . 12  |-  7  e.  RR
224 7pos 10413 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  7
22510, 223, 224ltleii 9489 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <_  7
226 nnrp 10992 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 5  e.  NN  ->  5  e.  RR+ )
227105, 226ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  5  e.  RR+
228 rpmulcl 11004 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( sqr `  2
)  e.  RR+  /\  5  e.  RR+ )  ->  (
( sqr `  2
)  x.  5 )  e.  RR+ )
22965, 227, 228mp2an 672 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( sqr `  2 )  x.  5 )  e.  RR+
230 rpge0 10995 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( sqr `  2
)  x.  5 )  e.  RR+  ->  0  <_ 
( ( sqr `  2
)  x.  5 ) )
231229, 230ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <_  ( ( sqr `  2
)  x.  5 )
232 rpre 10989 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( sqr `  2
)  x.  5 )  e.  RR+  ->  ( ( sqr `  2 )  x.  5 )  e.  RR )
233229, 232ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( sqr `  2 )  x.  5 )  e.  RR
234223, 233lt2msqi 10237 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  <_  7  /\  0  <_  ( ( sqr `  2 )  x.  5 ) )  -> 
( 7  <  (
( sqr `  2
)  x.  5 )  <-> 
( 7  x.  7 )  <  ( ( ( sqr `  2
)  x.  5 )  x.  ( ( sqr `  2 )  x.  5 ) ) ) )
235225, 231, 234mp2an 672 . . . . . . . . . 10  |-  ( 7  <  ( ( sqr `  2 )  x.  5 )  <->  ( 7  x.  7 )  < 
( ( ( sqr `  2 )  x.  5 )  x.  (
( sqr `  2
)  x.  5 ) ) )
236222, 235mpbir 209 . . . . . . . . 9  |-  7  <  ( ( sqr `  2
)  x.  5 )
237 rpgt0 10994 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( sqr `  2 )  e.  RR+  ->  0  < 
( sqr `  2
) )
23824, 64, 237mp2b 10 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  ( sqr `  2
)
239 ltdivmul 10196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 7  e.  RR  /\  5  e.  RR  /\  (
( sqr `  2
)  e.  RR  /\  0  <  ( sqr `  2
) ) )  -> 
( ( 7  / 
( sqr `  2
) )  <  5  <->  7  <  ( ( sqr `  2 )  x.  5 ) ) )
240223, 173, 239mp3an12 1304 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( sqr `  2
)  e.  RR  /\  0  <  ( sqr `  2
) )  ->  (
( 7  /  ( sqr `  2 ) )  <  5  <->  7  <  ( ( sqr `  2
)  x.  5 ) ) )
24147, 238, 240mp2an 672 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 7  /  ( sqr `  2 ) )  <  5  <->  7  <  ( ( sqr `  2
)  x.  5 ) )
242236, 241mpbir 209 . . . . . . . 8  |-  ( 7  /  ( sqr `  2
) )  <  5
243223, 47, 71redivcli 10090 . . . . . . . . 9  |-  ( 7  /  ( sqr `  2
) )  e.  RR
244243, 173, 11, 12ltdiv1ii 10254 . . . . . . . 8  |-  ( ( 7  /  ( sqr `  2 ) )  <  5  <->  ( (
7  /  ( sqr `  2 ) )  /  8 )  < 
( 5  /  8
) )
245242, 244mpbi 208 . . . . . . 7  |-  ( ( 7  /  ( sqr `  2 ) )  /  8 )  < 
( 5  /  8
)
246 divsubdir 10019 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 8  e.  CC  /\  3  e.  CC  /\  (
8  e.  CC  /\  8  =/=  0 ) )  ->  ( ( 8  -  3 )  / 
8 )  =  ( ( 8  /  8
)  -  ( 3  /  8 ) ) )
2475, 32, 246mp3an12 1304 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 8  e.  CC  /\  8  =/=  0 )  -> 
( ( 8  -  3 )  /  8
)  =  ( ( 8  /  8 )  -  ( 3  / 
8 ) ) )
2485, 38, 247mp2an 672 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 8  -  3 )  /  8 )  =  ( ( 8  / 
8 )  -  (
3  /  8 ) )
249 5p3e8 10452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 5  +  3 )  =  8
250249oveq1i 6096 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 5  +  3 )  -  3 )  =  ( 8  -  3 )
251 pncan 9608 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 5  e.  CC  /\  3  e.  CC )  ->  ( ( 5  +  3 )  -  3 )  =  5 )
252112, 32, 251mp2an 672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 5  +  3 )  -  3 )  =  5
253250, 252eqtr3i 2460 . . . . . . . . . 10  |-  ( 8  -  3 )  =  5
254253oveq1i 6096 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 8  -  3 )  /  8 )  =  ( 5  /  8
)
2555, 38dividi 10056 . . . . . . . . . 10  |-  ( 8  /  8 )  =  1
256255oveq1i 6096 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 8  /  8 )  -  ( 3  / 
8 ) )  =  ( 1  -  (
3  /  8 ) )
257248, 254, 2563eqtr3ri 2467 . . . . . . . 8  |-  ( 1  -  ( 3  / 
8 ) )  =  ( 5  /  8
)
258 5lt8 10503 . . . . . . . . . . . . 13  |-  5  <  8
25911, 173remulcli 9392 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 8  x.  5 )  e.  RR
260173, 11, 259ltadd2i 9497 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 5  <  8  <->  ( (
8  x.  5 )  +  5 )  < 
( ( 8  x.  5 )  +  8 ) )
261258, 260mpbi 208 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 8  x.  5 )  +  5 )  < 
( ( 8  x.  5 )  +  8 )
262 df-9 10379 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  9  =  ( 8  +  1 )
263262oveq1i 6096 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 9  x.  5 )  =  ( ( 8  +  1 )  x.  5 )
2645, 185, 112adddiri 9389 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 8  +  1 )  x.  5 )  =  ( ( 8  x.  5 )  +  ( 1  x.  5 ) )
265112mulid2i 9381 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  x.  5 )  =  5
266265oveq2i 6097 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 8  x.  5 )  +  ( 1  x.  5 ) )  =  ( ( 8  x.  5 )  +  5 )
267263, 264, 2663eqtri 2462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 9  x.  5 )  =  ( ( 8  x.  5 )  +  5 )
26886oveq2i 6097 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 8  x.  6 )  =  ( 8  x.  (
5  +  1 ) )
2695, 112, 185adddii 9388 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 8  x.  ( 5  +  1 ) )  =  ( ( 8  x.  5 )  +  ( 8  x.  1 ) )
2705mulid1i 9380 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 8  x.  1 )  =  8
271270oveq2i 6097 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 8  x.  5 )  +  ( 8  x.  1 ) )  =  ( ( 8  x.  5 )  +  8 )
272268, 269, 2713eqtri 2462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 8  x.  6 )  =  ( ( 8  x.  5 )  +  8 )
273261, 267, 2723brtr4i 4315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 9  x.  5 )  < 
( 8  x.  6 )
274171, 173remulcli 9392 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 9  x.  5 )  e.  RR
275 6re 10394 . . . . . . . . . . . . 13  |-  6  e.  RR
27611, 275remulcli 9392 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 8  x.  6 )  e.  RR
277168, 174remulcli 9392 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 4  x.  ( 2 ^ 5 ) )  e.  RR
2782, 96nnmulcli 10338 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 4  x.  ( 2 ^ 5 ) )  e.  NN
279278nngt0i 10347 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  ( 4  x.  (
2 ^ 5 ) )
280274, 276, 277, 279ltdiv1ii 10254 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 9  x.  5 )  <  ( 8  x.  6 )  <->  ( (
9  x.  5 )  /  ( 4  x.  ( 2 ^ 5 ) ) )  < 
( ( 8  x.  6 )  /  (
4  x.  ( 2 ^ 5 ) ) ) )
281273, 280mpbi 208 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 9  x.  5 )  /  ( 4  x.  ( 2 ^ 5 ) ) )  < 
( ( 8  x.  6 )  /  (
4  x.  ( 2 ^ 5 ) ) )
282121, 51, 112, 97, 75, 113divmuldivi 10083 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  / 
( 2 ^ 5 ) ) )  =  ( ( 9  x.  5 )  /  (
4  x.  ( 2 ^ 5 ) ) )
283 nnexpcl 11870 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  4  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ 4 )  e.  NN )
28433, 206, 283mp2an 672 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2 ^ 4 )  e.  NN
285284nncni 10324 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2 ^ 4 )  e.  CC
286284nnne0i 10348 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2 ^ 4 )  =/=  0
287 divcan5 10025 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  ( 8  e.  CC  /\  8  =/=  0 )  /\  ( ( 2 ^ 4 )  e.  CC  /\  ( 2 ^ 4 )  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( 2 ^ 4 )  x.  3 )  /  (
( 2 ^ 4 )  x.  8 ) )  =  ( 3  /  8 ) )
28832, 287mp3an1 1301 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 8  e.  CC  /\  8  =/=  0 )  /\  ( ( 2 ^ 4 )  e.  CC  /\  ( 2 ^ 4 )  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( 2 ^ 4 )  x.  3 )  /  (
( 2 ^ 4 )  x.  8 ) )  =  ( 3  /  8 ) )
2895, 38, 285, 286, 288mp4an 673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2 ^ 4 )  x.  3 )  /  ( ( 2 ^ 4 )  x.  8 ) )  =  ( 3  /  8
)
290 df-4 10374 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  4  =  ( 3  +  1 )
291290oveq2i 6097 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2 ^ 4 )  =  ( 2 ^ (
3  +  1 ) )
292 3nn0 10589 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  3  e.  NN0
293 expp1 11864 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  3  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ (
3  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ 3 )  x.  2 ) )
29489, 292, 293mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2 ^ ( 3  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ 3 )  x.  2 )
29522oveq1i 6096 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2 ^ 3 )  x.  2 )  =  ( 8  x.  2 )
296291, 294, 2953eqtri 2462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2 ^ 4 )  =  ( 8  x.  2 )
297296oveq1i 6096 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2 ^ 4 )  x.  3 )  =  ( ( 8  x.  2 )  x.  3 )
2985, 89, 32mulassi 9387 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 8  x.  2 )  x.  3 )  =  ( 8  x.  (
2  x.  3 ) )
299193oveq2i 6097 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 8  x.  ( 2  x.  3 ) )  =  ( 8  x.  6 )
300297, 298, 2993eqtri 2462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2 ^ 4 )  x.  3 )  =  ( 8  x.  6 )
301 4p3e7 10449 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 4  +  3 )  =  7
302 5p2e7 10451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 5  +  2 )  =  7
303112, 89addcomi 9552 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 5  +  2 )  =  ( 2  +  5 )
304301, 302, 3033eqtr2i 2464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 4  +  3 )  =  ( 2  +  5 )
305304oveq2i 6097 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2 ^ ( 4  +  3 ) )  =  ( 2 ^ (
2  +  5 ) )
306 expadd 11898 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  4  e.  NN0  /\  3  e.  NN0 )  ->  (
2 ^ ( 4  +  3 ) )  =  ( ( 2 ^ 4 )  x.  ( 2 ^ 3 ) ) )
30789, 206, 292, 306mp3an 1314 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2 ^ ( 4  +  3 ) )  =  ( ( 2 ^ 4 )  x.  (
2 ^ 3 ) )
308 2nn0 10588 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  NN0
309 expadd 11898 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  2  e.  NN0  /\  5  e.  NN0 )  ->  (
2 ^ ( 2  +  5 ) )  =  ( ( 2 ^ 2 )  x.  ( 2 ^ 5 ) ) )
31089, 308, 90, 309mp3an 1314 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2 ^ ( 2  +  5 ) )  =  ( ( 2 ^ 2 )  x.  (
2 ^ 5 ) )
311305, 307, 3103eqtr3i 2466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2 ^ 4 )  x.  ( 2 ^ 3 ) )  =  ( ( 2 ^ 2 )  x.  (
2 ^ 5 ) )
31222oveq2i 6097 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2 ^ 4 )  x.  ( 2 ^ 3 ) )  =  ( ( 2 ^ 4 )  x.  8 )
313 sq2 11954 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2 ^ 2 )  =  4
314313oveq1i 6096 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2 ^ 2 )  x.  ( 2 ^ 5 ) )  =  ( 4  x.  (
2 ^ 5 ) )
315311, 312, 3143eqtr3i 2466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2 ^ 4 )  x.  8 )  =  ( 4  x.  (
2 ^ 5 ) )
316300, 315oveq12i 6098 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2 ^ 4 )  x.  3 )  /  ( ( 2 ^ 4 )  x.  8 ) )  =  ( ( 8  x.  6 )  /  (
4  x.  ( 2 ^ 5 ) ) )
317289, 316eqtr3i 2460 . . . . . . . . . 10  |-  ( 3  /  8 )  =  ( ( 8  x.  6 )  /  (
4  x.  ( 2 ^ 5 ) ) )
318281, 282, 3173brtr4i 4315 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  / 
( 2 ^ 5 ) ) )  < 
( 3  /  8
)
319167, 11, 38redivcli 10090 . . . . . . . . . 10  |-  ( 3  /  8 )  e.  RR
320 1re 9377 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR
321 ltsub2 9828 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( 9  / 
4 )  x.  (
5  /  ( 2 ^ 5 ) ) )  e.  RR  /\  ( 3  /  8
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  /  (
2 ^ 5 ) ) )  <  (
3  /  8 )  <-> 
( 1  -  (
3  /  8 ) )  <  ( 1  -  ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  /  (
2 ^ 5 ) ) ) ) ) )
322176, 319, 320, 321mp3an 1314 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 9  /  4
)  x.  ( 5  /  ( 2 ^ 5 ) ) )  <  ( 3  / 
8 )  <->  ( 1  -  ( 3  / 
8 ) )  < 
( 1  -  (
( 9  /  4
)  x.  ( 5  /  ( 2 ^ 5 ) ) ) ) )
323318, 322mpbi 208 . . . . . . . 8  |-  ( 1  -  ( 3  / 
8 ) )  < 
( 1  -  (
( 9  /  4
)  x.  ( 5  /  ( 2 ^ 5 ) ) ) )
324257, 323eqbrtrri 4308 . . . . . . 7  |-  ( 5  /  8 )  < 
( 1  -  (
( 9  /  4
)  x.  ( 5  /  ( 2 ^ 5 ) ) ) )
325243, 11, 38redivcli 10090 . . . . . . . 8  |-  ( ( 7  /  ( sqr `  2 ) )  /  8 )  e.  RR
326173, 11, 38redivcli 10090 . . . . . . . 8  |-  ( 5  /  8 )  e.  RR
327320, 176resubcli 9663 . . . . . . . 8  |-  ( 1  -  ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  /  (
2 ^ 5 ) ) ) )  e.  RR
328325, 326, 327lttri 9492 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( 7  / 
( sqr `  2
) )  /  8
)  <  ( 5  /  8 )  /\  ( 5  /  8
)  <  ( 1  -  ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  /  (
2 ^ 5 ) ) ) ) )  ->  ( ( 7  /  ( sqr `  2
) )  /  8
)  <  ( 1  -  ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  /  (
2 ^ 5 ) ) ) ) )
329245, 324, 328mp2an 672 . . . . . 6  |-  ( ( 7  /  ( sqr `  2 ) )  /  8 )  < 
( 1  -  (
( 9  /  4
)  x.  ( 5  /  ( 2 ^ 5 ) ) ) )
330325, 176, 320ltaddsubi 9893 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( 7  / 
( sqr `  2
) )  /  8
)  +  ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  / 
( 2 ^ 5 ) ) ) )  <  1  <->  ( (
7  /  ( sqr `  2 ) )  /  8 )  < 
( 1  -  (
( 9  /  4
)  x.  ( 5  /  ( 2 ^ 5 ) ) ) ) )
331329, 330mpbir 209 . . . . 5  |-  ( ( ( 7  /  ( sqr `  2 ) )  /  8 )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  (
5  /  ( 2 ^ 5 ) ) ) )  <  1
332205, 331eqbrtri 4306 . . . 4  |-  ( ( ( ( 3  / 
4 )  /  ( sqr `  2 ) )  +  ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  /  (
2 ^ 5 ) ) ) )  +  ( ( 1  / 
8 )  /  ( sqr `  2 ) ) )  <  1
333 1lt2 10480 . . . . . . 7  |-  1  <  2
334 rplogcl 22028 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  1  <  2 )  -> 
( log `  2
)  e.  RR+ )
33553, 333, 334mp2an 672 . . . . . 6  |-  ( log `  2 )  e.  RR+
336 rpgt0 10994 . . . . . 6  |-  ( ( log `  2 )  e.  RR+  ->  0  < 
( log `  2
) )
337335, 336ax-mp 5 . . . . 5  |-  0  <  ( log `  2
)
338180, 320, 36, 337ltmul1ii 10253 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( 3  /  4 )  / 
( sqr `  2
) )  +  ( ( 9  /  4
)  x.  ( 5  /  ( 2 ^ 5 ) ) ) )  +  ( ( 1  /  8 )  /  ( sqr `  2
) ) )  <  1  <->  ( ( ( ( ( 3  / 
4 )  /  ( sqr `  2 ) )  +  ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  /  (
2 ^ 5 ) ) ) )  +  ( ( 1  / 
8 )  /  ( sqr `  2 ) ) )  x.  ( log `  2 ) )  <  ( 1  x.  ( log `  2
) ) )
339332, 338mpbi 208 . . 3  |-  ( ( ( ( ( 3  /  4 )  / 
( sqr `  2
) )  +  ( ( 9  /  4
)  x.  ( 5  /  ( 2 ^ 5 ) ) ) )  +  ( ( 1  /  8 )  /  ( sqr `  2
) ) )  x.  ( log `  2
) )  <  (
1  x.  ( log `  2 ) )
34037mulid2i 9381 . . . 4  |-  ( 1  x.  ( log `  2
) )  =  ( log `  2 )
341340eqcomi 2442 . . 3  |-  ( log `  2 )  =  ( 1  x.  ( log `  2 ) )
342339, 166, 3413brtr4i 4315 . 2  |-  ( F `
; 6 4 )  < 
( log `  2
)
343182, 342pm3.2i 455 1  |-  ( ( F ` ; 6 4 )  e.  RR  /\  ( F `
; 6 4 )  < 
( log `  2
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2601   class class class wbr 4287    e. cmpt 4345   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   CCcc 9272   RRcr 9273   0cc0 9274   1c1 9275    + caddc 9277    x. cmul 9279    < clt 9410    <_ cle 9411    - cmin 9587    / cdiv 9985   NNcn 10314   2c2 10363   3c3 10364   4c4 10365   5c5 10366   6c6 10367   7c7 10368   8c8 10369   9c9 10370   10c10 10371   NN0cn0 10571   ZZcz 10638  ;cdc 10747   RR+crp 10983   ^cexp 11857   sqrcsqr 12714   logclog 21981
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352  ax-addf 9353  ax-mulf 9354
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-iin 4169  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-supp 6686  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-pm 7209  df-ixp 7256  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fsupp 7613  df-fi 7653  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-cda 8329  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-xneg 11081  df-xadd 11082  df-xmul 11083  df-ioo 11296  df-ioc 11297  df-ico 11298  df-icc 11299  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-fl 11634  df-mod 11701  df-seq 11799  df-exp 11858  df-fac 12044  df-bc 12071  df-hash 12096  df-shft 12548  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-limsup 12941  df-clim 12958  df-rlim 12959  df-sum 13156  df-ef 13345  df-sin 13347  df-cos 13348  df-pi 13350  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-starv 14245  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-ip 14248  df-tset 14249  df-ple 14250  df-ds 14252  df-unif 14253  df-hom 14254  df-cco 14255  df-rest 14353  df-topn 14354  df-0g 14372  df-gsum 14373  df-topgen 14374  df-pt 14375  df-prds 14378  df-xrs 14432  df-qtop 14437  df-imas 14438  df-xps 14440  df-mre 14516  df-mrc 14517  df-acs 14519  df-mnd 15407  df-submnd 15457  df-mulg 15539  df-cntz 15826  df-cmn 16270  df-psmet 17784  df-xmet 17785  df-met 17786  df-bl 17787  df-mopn 17788  df-fbas 17789  df-fg 17790  df-cnfld 17794  df-top 18478  df-bases 18480  df-topon 18481  df-topsp 18482  df-cld 18598  df-ntr 18599  df-cls 18600  df-nei 18677  df-lp 18715  df-perf 18716  df-cn 18806  df-cnp 18807  df-haus 18894  df-tx 19110  df-hmeo 19303  df-fil 19394  df-fm 19486  df-flim 19487  df-flf 19488  df-xms 19870  df-ms 19871  df-tms 19872  df-cncf 20429  df-limc 21316  df-dv 21317  df-log 21983
This theorem is referenced by:  bposlem9  22606
  Copyright terms: Public domain W3C validator