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Theorem bposlem8 22515
Description: Lemma for bpos 22517. Evaluate  F ( 6 4 ) and show it is less than  log 2. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bposlem7.1  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  n ) ) )  +  ( ( 9  /  4
)  x.  ( G `
 ( n  / 
2 ) ) ) )  +  ( ( log `  2 )  /  ( sqr `  (
2  x.  n ) ) ) ) )
bposlem7.2  |-  G  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log `  x
)  /  x ) )
Assertion
Ref Expression
bposlem8  |-  ( ( F ` ; 6 4 )  e.  RR  /\  ( F `
; 6 4 )  < 
( log `  2
) )

Proof of Theorem bposlem8
StepHypRef Expression
1 6nn0 10588 . . . . 5  |-  6  e.  NN0
2 4nn 10469 . . . . 5  |-  4  e.  NN
31, 2decnncl 10756 . . . 4  |- ; 6 4  e.  NN
4 fveq2 5679 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  = ; 6 4  ->  ( sqr `  n )  =  ( sqr ` ; 6 4 ) )
5 8cn 10395 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  8  e.  CC
65sqvali 11929 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 8 ^ 2 )  =  ( 8  x.  8 )
7 8t8e64 10837 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 8  x.  8 )  = ; 6
4
86, 7eqtri 2453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 8 ^ 2 )  = ; 6
4
98fveq2i 5682 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( sqr `  ( 8 ^ 2 ) )  =  ( sqr ` ; 6 4 )
10 0re 9374 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  e.  RR
11 8re 10394 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  8  e.  RR
12 8pos 10410 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  <  8
1310, 11, 12ltleii 9485 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  <_  8
1411sqrsqi 12846 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0  <_  8  ->  ( sqr `  ( 8 ^ 2 ) )  =  8 )
1513, 14ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( sqr `  ( 8 ^ 2 ) )  =  8
169, 15eqtr3i 2455 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( sqr ` ; 6 4 )  =  8
174, 16syl6eq 2481 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  = ; 6 4  ->  ( sqr `  n )  =  8 )
1817fveq2d 5683 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  = ; 6 4  ->  ( G `  ( sqr `  n ) )  =  ( G `  8
) )
19 8nn 10473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  8  e.  NN
20 nnrp 10988 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 8  e.  NN  ->  8  e.  RR+ )
21 fveq2 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  8  ->  ( log `  x )  =  ( log `  8
) )
22 cu2 11948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 2 ^ 3 )  =  8
2322fveq2i 5682 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( log `  ( 2 ^ 3 ) )  =  ( log `  8 )
24 2rp 10984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  2  e.  RR+
25 3z 10667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  3  e.  ZZ
26 relogexp 21929 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  3  e.  ZZ )  ->  ( log `  ( 2 ^ 3 ) )  =  ( 3  x.  ( log `  2 ) ) )
2724, 25, 26mp2an 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( log `  ( 2 ^ 3 ) )  =  ( 3  x.  ( log `  2 ) )
2823, 27eqtr3i 2455 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( log `  8 )  =  ( 3  x.  ( log `  2 ) )
2921, 28syl6eq 2481 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  8  ->  ( log `  x )  =  ( 3  x.  ( log `  2 ) ) )
30 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  8  ->  x  =  8 )
3129, 30oveq12d 6098 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  8  ->  (
( log `  x
)  /  x )  =  ( ( 3  x.  ( log `  2
) )  /  8
) )
32 3cn 10384 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  3  e.  CC
33 2nn 10467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  e.  NN
34 nnrp 10988 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 2  e.  NN  ->  2  e.  RR+ )
35 relogcl 21912 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 2  e.  RR+  ->  ( log `  2 )  e.  RR )
3633, 34, 35mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( log `  2 )  e.  RR
3736recni 9386 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( log `  2 )  e.  CC
3819nnne0i 10344 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  8  =/=  0
3932, 37, 5, 38div23i 10077 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 3  x.  ( log `  2 ) )  /  8 )  =  ( ( 3  / 
8 )  x.  ( log `  2 ) )
4031, 39syl6eq 2481 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  8  ->  (
( log `  x
)  /  x )  =  ( ( 3  /  8 )  x.  ( log `  2
) ) )
41 bposlem7.2 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  G  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log `  x
)  /  x ) )
42 ovex 6105 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 3  /  8 )  x.  ( log `  2
) )  e.  _V
4340, 41, 42fvmpt 5762 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 8  e.  RR+  ->  ( G `
 8 )  =  ( ( 3  / 
8 )  x.  ( log `  2 ) ) )
4419, 20, 43mp2b 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G `
 8 )  =  ( ( 3  / 
8 )  x.  ( log `  2 ) )
4518, 44syl6eq 2481 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  = ; 6 4  ->  ( G `  ( sqr `  n ) )  =  ( ( 3  / 
8 )  x.  ( log `  2 ) ) )
4645oveq2d 6096 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  = ; 6 4  ->  (
( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  n
) ) )  =  ( ( sqr `  2
)  x.  ( ( 3  /  8 )  x.  ( log `  2
) ) ) )
47 sqr2re 13515 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( sqr `  2 )  e.  RR
4847recni 9386 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( sqr `  2 )  e.  CC
4932, 5, 38divcli 10061 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 3  /  8 )  e.  CC
5048, 49, 37mulassi 9383 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( sqr `  2
)  x.  ( 3  /  8 ) )  x.  ( log `  2
) )  =  ( ( sqr `  2
)  x.  ( ( 3  /  8 )  x.  ( log `  2
) ) )
51 4cn 10387 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  4  e.  CC
5248, 51, 48mul12i 9552 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( sqr `  2 )  x.  ( 4  x.  ( sqr `  2
) ) )  =  ( 4  x.  (
( sqr `  2
)  x.  ( sqr `  2 ) ) )
53 2re 10379 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  e.  RR
54 0le2 10400 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  <_  2
55 remsqsqr 12730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  0  <_  2 )  -> 
( ( sqr `  2
)  x.  ( sqr `  2 ) )  =  2 )
5653, 54, 55mp2an 665 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( sqr `  2 )  x.  ( sqr `  2
) )  =  2
5756oveq2i 6091 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 4  x.  ( ( sqr `  2 )  x.  ( sqr `  2
) ) )  =  ( 4  x.  2 )
58 4t2e8 10463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 4  x.  2 )  =  8
5952, 57, 583eqtri 2457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( sqr `  2 )  x.  ( 4  x.  ( sqr `  2
) ) )  =  8
6059oveq2i 6091 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( sqr `  2
)  x.  3 )  /  ( ( sqr `  2 )  x.  ( 4  x.  ( sqr `  2 ) ) ) )  =  ( ( ( sqr `  2
)  x.  3 )  /  8 )
6151, 48mulcli 9379 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 4  x.  ( sqr `  2
) )  e.  CC
62 nnrp 10988 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 4  e.  NN  ->  4  e.  RR+ )
632, 62ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  4  e.  RR+
64 rpsqrcl 12738 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 2  e.  RR+  ->  ( sqr `  2 )  e.  RR+ )
6533, 34, 64mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( sqr `  2 )  e.  RR+
66 rpmulcl 11000 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 4  e.  RR+  /\  ( sqr `  2 )  e.  RR+ )  ->  ( 4  x.  ( sqr `  2
) )  e.  RR+ )
6763, 65, 66mp2an 665 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 4  x.  ( sqr `  2
) )  e.  RR+
68 rpne0 10994 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 4  x.  ( sqr `  2 ) )  e.  RR+  ->  ( 4  x.  ( sqr `  2
) )  =/=  0
)
6967, 68ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 4  x.  ( sqr `  2
) )  =/=  0
70 rpne0 10994 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( sqr `  2 )  e.  RR+  ->  ( sqr `  2 )  =/=  0 )
7124, 64, 70mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( sqr `  2 )  =/=  0
72 divcan5 10021 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  ( ( 4  x.  ( sqr `  2
) )  e.  CC  /\  ( 4  x.  ( sqr `  2 ) )  =/=  0 )  /\  ( ( sqr `  2
)  e.  CC  /\  ( sqr `  2 )  =/=  0 ) )  ->  ( ( ( sqr `  2 )  x.  3 )  / 
( ( sqr `  2
)  x.  ( 4  x.  ( sqr `  2
) ) ) )  =  ( 3  / 
( 4  x.  ( sqr `  2 ) ) ) )
7332, 72mp3an1 1294 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( 4  x.  ( sqr `  2
) )  e.  CC  /\  ( 4  x.  ( sqr `  2 ) )  =/=  0 )  /\  ( ( sqr `  2
)  e.  CC  /\  ( sqr `  2 )  =/=  0 ) )  ->  ( ( ( sqr `  2 )  x.  3 )  / 
( ( sqr `  2
)  x.  ( 4  x.  ( sqr `  2
) ) ) )  =  ( 3  / 
( 4  x.  ( sqr `  2 ) ) ) )
7461, 69, 48, 71, 73mp4an 666 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( sqr `  2
)  x.  3 )  /  ( ( sqr `  2 )  x.  ( 4  x.  ( sqr `  2 ) ) ) )  =  ( 3  /  ( 4  x.  ( sqr `  2
) ) )
75 4ne0 10406 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  4  =/=  0
76 divdiv1 10030 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  ( 4  e.  CC  /\  4  =/=  0 )  /\  ( ( sqr `  2 )  e.  CC  /\  ( sqr `  2 )  =/=  0 ) )  -> 
( ( 3  / 
4 )  /  ( sqr `  2 ) )  =  ( 3  / 
( 4  x.  ( sqr `  2 ) ) ) )
7732, 76mp3an1 1294 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 4  e.  CC  /\  4  =/=  0 )  /\  ( ( sqr `  2 )  e.  CC  /\  ( sqr `  2 )  =/=  0 ) )  -> 
( ( 3  / 
4 )  /  ( sqr `  2 ) )  =  ( 3  / 
( 4  x.  ( sqr `  2 ) ) ) )
7851, 75, 48, 71, 77mp4an 666 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 3  /  4 )  /  ( sqr `  2
) )  =  ( 3  /  ( 4  x.  ( sqr `  2
) ) )
7974, 78eqtr4i 2456 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( sqr `  2
)  x.  3 )  /  ( ( sqr `  2 )  x.  ( 4  x.  ( sqr `  2 ) ) ) )  =  ( ( 3  /  4
)  /  ( sqr `  2 ) )
8048, 32, 5, 38divassi 10075 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( sqr `  2
)  x.  3 )  /  8 )  =  ( ( sqr `  2
)  x.  ( 3  /  8 ) )
8160, 79, 803eqtr3ri 2462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( sqr `  2 )  x.  ( 3  / 
8 ) )  =  ( ( 3  / 
4 )  /  ( sqr `  2 ) )
8281oveq1i 6090 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( sqr `  2
)  x.  ( 3  /  8 ) )  x.  ( log `  2
) )  =  ( ( ( 3  / 
4 )  /  ( sqr `  2 ) )  x.  ( log `  2
) )
8350, 82eqtr3i 2455 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( sqr `  2 )  x.  ( ( 3  /  8 )  x.  ( log `  2
) ) )  =  ( ( ( 3  /  4 )  / 
( sqr `  2
) )  x.  ( log `  2 ) )
8446, 83syl6eq 2481 . . . . . . . . 9  |-  ( n  = ; 6 4  ->  (
( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  n
) ) )  =  ( ( ( 3  /  4 )  / 
( sqr `  2
) )  x.  ( log `  2 ) ) )
85 oveq1 6087 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  = ; 6 4  ->  (
n  /  2 )  =  (; 6 4  /  2
) )
86 df-6 10372 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  6  =  ( 5  +  1 )
8786oveq2i 6091 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2 ^ 6 )  =  ( 2 ^ (
5  +  1 ) )
88 2exp6 14098 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2 ^ 6 )  = ; 6
4
89 2cn 10380 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  e.  CC
90 5nn0 10587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  5  e.  NN0
91 expp1 11856 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  5  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ (
5  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ 5 )  x.  2 ) )
9289, 90, 91mp2an 665 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2 ^ ( 5  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ 5 )  x.  2 )
9387, 88, 923eqtr3i 2461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |- ; 6 4  =  ( ( 2 ^ 5 )  x.  2 )
9493oveq1i 6090 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (; 6 4  /  2
)  =  ( ( ( 2 ^ 5 )  x.  2 )  /  2 )
95 nnexpcl 11862 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  5  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ 5 )  e.  NN )
9633, 90, 95mp2an 665 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2 ^ 5 )  e.  NN
9796nncni 10320 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2 ^ 5 )  e.  CC
98 2ne0 10402 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  =/=  0
9997, 89, 98divcan4i 10066 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 2 ^ 5 )  x.  2 )  /  2 )  =  ( 2 ^ 5 )
10094, 99eqtri 2453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (; 6 4  /  2
)  =  ( 2 ^ 5 )
10185, 100syl6eq 2481 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  = ; 6 4  ->  (
n  /  2 )  =  ( 2 ^ 5 ) )
102101fveq2d 5683 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  = ; 6 4  ->  ( G `  ( n  /  2 ) )  =  ( G `  ( 2 ^ 5 ) ) )
103 nnrp 10988 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2 ^ 5 )  e.  NN  ->  (
2 ^ 5 )  e.  RR+ )
104 fveq2 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  ( 2 ^ 5 )  ->  ( log `  x )  =  ( log `  (
2 ^ 5 ) ) )
105 5nn 10470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  5  e.  NN
106105nnzi 10658 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  5  e.  ZZ
107 relogexp 21929 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  5  e.  ZZ )  ->  ( log `  ( 2 ^ 5 ) )  =  ( 5  x.  ( log `  2 ) ) )
10824, 106, 107mp2an 665 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( log `  ( 2 ^ 5 ) )  =  ( 5  x.  ( log `  2 ) )
109104, 108syl6eq 2481 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( 2 ^ 5 )  ->  ( log `  x )  =  ( 5  x.  ( log `  2 ) ) )
110 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( 2 ^ 5 )  ->  x  =  ( 2 ^ 5 ) )
111109, 110oveq12d 6098 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( 2 ^ 5 )  ->  (
( log `  x
)  /  x )  =  ( ( 5  x.  ( log `  2
) )  /  (
2 ^ 5 ) ) )
112 5cn 10389 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  5  e.  CC
11396nnne0i 10344 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2 ^ 5 )  =/=  0
114112, 37, 97, 113div23i 10077 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 5  x.  ( log `  2 ) )  /  ( 2 ^ 5 ) )  =  ( ( 5  / 
( 2 ^ 5 ) )  x.  ( log `  2 ) )
115111, 114syl6eq 2481 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( 2 ^ 5 )  ->  (
( log `  x
)  /  x )  =  ( ( 5  /  ( 2 ^ 5 ) )  x.  ( log `  2
) ) )
116 ovex 6105 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 5  /  ( 2 ^ 5 ) )  x.  ( log `  2
) )  e.  _V
117115, 41, 116fvmpt 5762 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2 ^ 5 )  e.  RR+  ->  ( G `
 ( 2 ^ 5 ) )  =  ( ( 5  / 
( 2 ^ 5 ) )  x.  ( log `  2 ) ) )
11896, 103, 117mp2b 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G `
 ( 2 ^ 5 ) )  =  ( ( 5  / 
( 2 ^ 5 ) )  x.  ( log `  2 ) )
119102, 118syl6eq 2481 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  = ; 6 4  ->  ( G `  ( n  /  2 ) )  =  ( ( 5  /  ( 2 ^ 5 ) )  x.  ( log `  2
) ) )
120119oveq2d 6096 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  = ; 6 4  ->  (
( 9  /  4
)  x.  ( G `
 ( n  / 
2 ) ) )  =  ( ( 9  /  4 )  x.  ( ( 5  / 
( 2 ^ 5 ) )  x.  ( log `  2 ) ) ) )
121 9cn 10397 . . . . . . . . . . . 12  |-  9  e.  CC
122121, 51, 75divcli 10061 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 9  /  4 )  e.  CC
123112, 97, 113divcli 10061 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 5  /  ( 2 ^ 5 ) )  e.  CC
124122, 123, 37mulassi 9383 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 9  /  4
)  x.  ( 5  /  ( 2 ^ 5 ) ) )  x.  ( log `  2
) )  =  ( ( 9  /  4
)  x.  ( ( 5  /  ( 2 ^ 5 ) )  x.  ( log `  2
) ) )
125120, 124syl6eqr 2483 . . . . . . . . 9  |-  ( n  = ; 6 4  ->  (
( 9  /  4
)  x.  ( G `
 ( n  / 
2 ) ) )  =  ( ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  / 
( 2 ^ 5 ) ) )  x.  ( log `  2
) ) )
12684, 125oveq12d 6098 . . . . . . . 8  |-  ( n  = ; 6 4  ->  (
( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  n
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( n  /  2 ) ) ) )  =  ( ( ( ( 3  /  4 )  / 
( sqr `  2
) )  x.  ( log `  2 ) )  +  ( ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  / 
( 2 ^ 5 ) ) )  x.  ( log `  2
) ) ) )
12732, 51, 75divcli 10061 . . . . . . . . . 10  |-  ( 3  /  4 )  e.  CC
128127, 48, 71divcli 10061 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 3  /  4 )  /  ( sqr `  2
) )  e.  CC
129122, 123mulcli 9379 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  / 
( 2 ^ 5 ) ) )  e.  CC
130128, 129, 37adddiri 9385 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( 3  / 
4 )  /  ( sqr `  2 ) )  +  ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  /  (
2 ^ 5 ) ) ) )  x.  ( log `  2
) )  =  ( ( ( ( 3  /  4 )  / 
( sqr `  2
) )  x.  ( log `  2 ) )  +  ( ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  / 
( 2 ^ 5 ) ) )  x.  ( log `  2
) ) )
131126, 130syl6eqr 2483 . . . . . . 7  |-  ( n  = ; 6 4  ->  (
( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  n
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( n  /  2 ) ) ) )  =  ( ( ( ( 3  /  4 )  / 
( sqr `  2
) )  +  ( ( 9  /  4
)  x.  ( 5  /  ( 2 ^ 5 ) ) ) )  x.  ( log `  2 ) ) )
132 oveq2 6088 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  = ; 6 4  ->  (
2  x.  n )  =  ( 2  x. ; 6
4 ) )
133132fveq2d 5683 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  = ; 6 4  ->  ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  =  ( sqr `  (
2  x. ; 6 4 ) ) )
1343nnrei 10319 . . . . . . . . . . . 12  |- ; 6 4  e.  RR
1353nngt0i 10343 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  < ; 6
4
13610, 134, 135ltleii 9485 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <_ ; 6
4
13753, 134, 54, 136sqrmulii 12858 . . . . . . . . . . 11  |-  ( sqr `  ( 2  x. ; 6 4 ) )  =  ( ( sqr `  2 )  x.  ( sqr ` ; 6 4 ) )
13816oveq2i 6091 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( sqr `  2 )  x.  ( sqr ` ; 6 4 ) )  =  ( ( sqr `  2 )  x.  8 )
139137, 138eqtri 2453 . . . . . . . . . 10  |-  ( sqr `  ( 2  x. ; 6 4 ) )  =  ( ( sqr `  2 )  x.  8 )
140133, 139syl6eq 2481 . . . . . . . . 9  |-  ( n  = ; 6 4  ->  ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  =  ( ( sqr `  2
)  x.  8 ) )
141140oveq2d 6096 . . . . . . . 8  |-  ( n  = ; 6 4  ->  (
( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  n
) ) )  =  ( ( log `  2
)  /  ( ( sqr `  2 )  x.  8 ) ) )
14248, 5mulcli 9379 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( sqr `  2 )  x.  8 )  e.  CC
143 rpmulcl 11000 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( sqr `  2
)  e.  RR+  /\  8  e.  RR+ )  ->  (
( sqr `  2
)  x.  8 )  e.  RR+ )
14465, 20, 143sylancr 656 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 8  e.  NN  ->  (
( sqr `  2
)  x.  8 )  e.  RR+ )
145 rpne0 10994 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( sqr `  2
)  x.  8 )  e.  RR+  ->  ( ( sqr `  2 )  x.  8 )  =/=  0 )
14619, 144, 145mp2b 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( sqr `  2 )  x.  8 )  =/=  0
147 divrec2 9999 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( log `  2
)  e.  CC  /\  ( ( sqr `  2
)  x.  8 )  e.  CC  /\  (
( sqr `  2
)  x.  8 )  =/=  0 )  -> 
( ( log `  2
)  /  ( ( sqr `  2 )  x.  8 ) )  =  ( ( 1  /  ( ( sqr `  2 )  x.  8 ) )  x.  ( log `  2
) ) )
14837, 142, 146, 147mp3an 1307 . . . . . . . . 9  |-  ( ( log `  2 )  /  ( ( sqr `  2 )  x.  8 ) )  =  ( ( 1  / 
( ( sqr `  2
)  x.  8 ) )  x.  ( log `  2 ) )
14948, 5mulcomi 9380 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( sqr `  2 )  x.  8 )  =  ( 8  x.  ( sqr `  2 ) )
150149oveq2i 6091 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  /  ( ( sqr `  2 )  x.  8 ) )  =  ( 1  /  (
8  x.  ( sqr `  2 ) ) )
151 recdiv2 10032 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 8  e.  CC  /\  8  =/=  0 )  /\  ( ( sqr `  2 )  e.  CC  /\  ( sqr `  2 )  =/=  0 ) )  -> 
( ( 1  / 
8 )  /  ( sqr `  2 ) )  =  ( 1  / 
( 8  x.  ( sqr `  2 ) ) ) )
1525, 38, 48, 71, 151mp4an 666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  /  8 )  /  ( sqr `  2
) )  =  ( 1  /  ( 8  x.  ( sqr `  2
) ) )
153150, 152eqtr4i 2456 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  /  ( ( sqr `  2 )  x.  8 ) )  =  ( ( 1  / 
8 )  /  ( sqr `  2 ) )
154153oveq1i 6090 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  /  ( ( sqr `  2 )  x.  8 ) )  x.  ( log `  2
) )  =  ( ( ( 1  / 
8 )  /  ( sqr `  2 ) )  x.  ( log `  2
) )
155148, 154eqtri 2453 . . . . . . . 8  |-  ( ( log `  2 )  /  ( ( sqr `  2 )  x.  8 ) )  =  ( ( ( 1  /  8 )  / 
( sqr `  2
) )  x.  ( log `  2 ) )
156141, 155syl6eq 2481 . . . . . . 7  |-  ( n  = ; 6 4  ->  (
( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  n
) ) )  =  ( ( ( 1  /  8 )  / 
( sqr `  2
) )  x.  ( log `  2 ) ) )
157131, 156oveq12d 6098 . . . . . 6  |-  ( n  = ; 6 4  ->  (
( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  n ) ) )  +  ( ( 9  /  4 )  x.  ( G `  ( n  /  2
) ) ) )  +  ( ( log `  2 )  / 
( sqr `  (
2  x.  n ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( 3  /  4
)  /  ( sqr `  2 ) )  +  ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  /  (
2 ^ 5 ) ) ) )  x.  ( log `  2
) )  +  ( ( ( 1  / 
8 )  /  ( sqr `  2 ) )  x.  ( log `  2
) ) ) )
158128, 129addcli 9378 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 3  /  4
)  /  ( sqr `  2 ) )  +  ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  /  (
2 ^ 5 ) ) ) )  e.  CC
1595, 38reccli 10049 . . . . . . . 8  |-  ( 1  /  8 )  e.  CC
160159, 48, 71divcli 10061 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  /  8 )  /  ( sqr `  2
) )  e.  CC
161158, 160, 37adddiri 9385 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( 3  /  4 )  / 
( sqr `  2
) )  +  ( ( 9  /  4
)  x.  ( 5  /  ( 2 ^ 5 ) ) ) )  +  ( ( 1  /  8 )  /  ( sqr `  2
) ) )  x.  ( log `  2
) )  =  ( ( ( ( ( 3  /  4 )  /  ( sqr `  2
) )  +  ( ( 9  /  4
)  x.  ( 5  /  ( 2 ^ 5 ) ) ) )  x.  ( log `  2 ) )  +  ( ( ( 1  /  8 )  /  ( sqr `  2
) )  x.  ( log `  2 ) ) )
162157, 161syl6eqr 2483 . . . . 5  |-  ( n  = ; 6 4  ->  (
( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  n ) ) )  +  ( ( 9  /  4 )  x.  ( G `  ( n  /  2
) ) ) )  +  ( ( log `  2 )  / 
( sqr `  (
2  x.  n ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( 3  /  4
)  /  ( sqr `  2 ) )  +  ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  /  (
2 ^ 5 ) ) ) )  +  ( ( 1  / 
8 )  /  ( sqr `  2 ) ) )  x.  ( log `  2 ) ) )
163 bposlem7.1 . . . . 5  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  n ) ) )  +  ( ( 9  /  4
)  x.  ( G `
 ( n  / 
2 ) ) ) )  +  ( ( log `  2 )  /  ( sqr `  (
2  x.  n ) ) ) ) )
164 ovex 6105 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( 3  /  4 )  / 
( sqr `  2
) )  +  ( ( 9  /  4
)  x.  ( 5  /  ( 2 ^ 5 ) ) ) )  +  ( ( 1  /  8 )  /  ( sqr `  2
) ) )  x.  ( log `  2
) )  e.  _V
165162, 163, 164fvmpt 5762 . . . 4  |-  (; 6 4  e.  NN  ->  ( F ` ; 6 4 )  =  ( ( ( ( ( 3  /  4
)  /  ( sqr `  2 ) )  +  ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  /  (
2 ^ 5 ) ) ) )  +  ( ( 1  / 
8 )  /  ( sqr `  2 ) ) )  x.  ( log `  2 ) ) )
1663, 165ax-mp 5 . . 3  |-  ( F `
; 6 4 )  =  ( ( ( ( ( 3  /  4
)  /  ( sqr `  2 ) )  +  ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  /  (
2 ^ 5 ) ) ) )  +  ( ( 1  / 
8 )  /  ( sqr `  2 ) ) )  x.  ( log `  2 ) )
167 3re 10383 . . . . . . . 8  |-  3  e.  RR
168 4re 10386 . . . . . . . 8  |-  4  e.  RR
169167, 168, 75redivcli 10086 . . . . . . 7  |-  ( 3  /  4 )  e.  RR
170169, 47, 71redivcli 10086 . . . . . 6  |-  ( ( 3  /  4 )  /  ( sqr `  2
) )  e.  RR
171 9re 10396 . . . . . . . 8  |-  9  e.  RR
172171, 168, 75redivcli 10086 . . . . . . 7  |-  ( 9  /  4 )  e.  RR
173 5re 10388 . . . . . . . 8  |-  5  e.  RR
17496nnrei 10319 . . . . . . . 8  |-  ( 2 ^ 5 )  e.  RR
175173, 174, 113redivcli 10086 . . . . . . 7  |-  ( 5  /  ( 2 ^ 5 ) )  e.  RR
176172, 175remulcli 9388 . . . . . 6  |-  ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  / 
( 2 ^ 5 ) ) )  e.  RR
177170, 176readdcli 9387 . . . . 5  |-  ( ( ( 3  /  4
)  /  ( sqr `  2 ) )  +  ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  /  (
2 ^ 5 ) ) ) )  e.  RR
17811, 38rereccli 10084 . . . . . 6  |-  ( 1  /  8 )  e.  RR
179178, 47, 71redivcli 10086 . . . . 5  |-  ( ( 1  /  8 )  /  ( sqr `  2
) )  e.  RR
180177, 179readdcli 9387 . . . 4  |-  ( ( ( ( 3  / 
4 )  /  ( sqr `  2 ) )  +  ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  /  (
2 ^ 5 ) ) ) )  +  ( ( 1  / 
8 )  /  ( sqr `  2 ) ) )  e.  RR
181180, 36remulcli 9388 . . 3  |-  ( ( ( ( ( 3  /  4 )  / 
( sqr `  2
) )  +  ( ( 9  /  4
)  x.  ( 5  /  ( 2 ^ 5 ) ) ) )  +  ( ( 1  /  8 )  /  ( sqr `  2
) ) )  x.  ( log `  2
) )  e.  RR
182166, 181eqeltri 2503 . 2  |-  ( F `
; 6 4 )  e.  RR
183128, 129, 160add32i 9576 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( 3  / 
4 )  /  ( sqr `  2 ) )  +  ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  /  (
2 ^ 5 ) ) ) )  +  ( ( 1  / 
8 )  /  ( sqr `  2 ) ) )  =  ( ( ( ( 3  / 
4 )  /  ( sqr `  2 ) )  +  ( ( 1  /  8 )  / 
( sqr `  2
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  (
5  /  ( 2 ^ 5 ) ) ) )
184 6cn 10391 . . . . . . . . . . 11  |-  6  e.  CC
185 ax-1cn 9328 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
186184, 185, 5, 38divdiri 10076 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 6  +  1 )  /  8 )  =  ( ( 6  / 
8 )  +  ( 1  /  8 ) )
187 df-7 10373 . . . . . . . . . . 11  |-  7  =  ( 6  +  1 )
188187oveq1i 6090 . . . . . . . . . 10  |-  ( 7  /  8 )  =  ( ( 6  +  1 )  /  8
)
189 divcan5 10021 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  ( 4  e.  CC  /\  4  =/=  0 )  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  -> 
( ( 2  x.  3 )  /  (
2  x.  4 ) )  =  ( 3  /  4 ) )
19032, 189mp3an1 1294 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 4  e.  CC  /\  4  =/=  0 )  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  -> 
( ( 2  x.  3 )  /  (
2  x.  4 ) )  =  ( 3  /  4 ) )
19151, 75, 89, 98, 190mp4an 666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  x.  3 )  /  ( 2  x.  4 ) )  =  ( 3  /  4
)
192 3t2e6 10461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 3  x.  2 )  =  6
19332, 89, 192mulcomli 9381 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  x.  3 )  =  6
19451, 89, 58mulcomli 9381 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  x.  4 )  =  8
195193, 194oveq12i 6092 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  x.  3 )  /  ( 2  x.  4 ) )  =  ( 6  /  8
)
196191, 195eqtr3i 2455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 3  /  4 )  =  ( 6  /  8
)
197196oveq1i 6090 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 3  /  4 )  +  ( 1  / 
8 ) )  =  ( ( 6  / 
8 )  +  ( 1  /  8 ) )
198186, 188, 1973eqtr4ri 2464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 3  /  4 )  +  ( 1  / 
8 ) )  =  ( 7  /  8
)
199198oveq1i 6090 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 3  /  4
)  +  ( 1  /  8 ) )  /  ( sqr `  2
) )  =  ( ( 7  /  8
)  /  ( sqr `  2 ) )
200127, 159, 48, 71divdiri 10076 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 3  /  4
)  +  ( 1  /  8 ) )  /  ( sqr `  2
) )  =  ( ( ( 3  / 
4 )  /  ( sqr `  2 ) )  +  ( ( 1  /  8 )  / 
( sqr `  2
) ) )
201 7cn 10393 . . . . . . . . 9  |-  7  e.  CC
202201, 5, 48, 38, 71divdiv32i 10074 . . . . . . . 8  |-  ( ( 7  /  8 )  /  ( sqr `  2
) )  =  ( ( 7  /  ( sqr `  2 ) )  /  8 )
203199, 200, 2023eqtr3i 2461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 3  /  4
)  /  ( sqr `  2 ) )  +  ( ( 1  /  8 )  / 
( sqr `  2
) ) )  =  ( ( 7  / 
( sqr `  2
) )  /  8
)
204203oveq1i 6090 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( 3  / 
4 )  /  ( sqr `  2 ) )  +  ( ( 1  /  8 )  / 
( sqr `  2
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  (
5  /  ( 2 ^ 5 ) ) ) )  =  ( ( ( 7  / 
( sqr `  2
) )  /  8
)  +  ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  / 
( 2 ^ 5 ) ) ) )
205183, 204eqtri 2453 . . . . 5  |-  ( ( ( ( 3  / 
4 )  /  ( sqr `  2 ) )  +  ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  /  (
2 ^ 5 ) ) ) )  +  ( ( 1  / 
8 )  /  ( sqr `  2 ) ) )  =  ( ( ( 7  /  ( sqr `  2 ) )  /  8 )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  (
5  /  ( 2 ^ 5 ) ) ) )
206 4nn0 10586 . . . . . . . . . . . 12  |-  4  e.  NN0
207 9nn0 10591 . . . . . . . . . . . 12  |-  9  e.  NN0
208 0nn0 10582 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  NN0
209 9lt10 10512 . . . . . . . . . . . 12  |-  9  <  10
210 4lt5 10482 . . . . . . . . . . . 12  |-  4  <  5
211206, 90, 207, 208, 209, 210decltc 10765 . . . . . . . . . . 11  |- ; 4 9  < ; 5 0
212 7t7e49 10830 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 7  x.  7 )  = ; 4
9
21356oveq1i 6090 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( sqr `  2
)  x.  ( sqr `  2 ) )  x.  ( 5  x.  5 ) )  =  ( 2  x.  (
5  x.  5 ) )
21448, 48, 112, 112mul4i 9554 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( sqr `  2
)  x.  ( sqr `  2 ) )  x.  ( 5  x.  5 ) )  =  ( ( ( sqr `  2 )  x.  5 )  x.  (
( sqr `  2
)  x.  5 ) )
215 5t2e10 10464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 5  x.  2 )  =  10
216112, 89, 215mulcomli 9381 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  x.  5 )  =  10
217216oveq1i 6090 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  x.  5 )  x.  5 )  =  ( 10  x.  5 )
21889, 112, 112mulassi 9383 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  x.  5 )  x.  5 )  =  ( 2  x.  (
5  x.  5 ) )
21990dec0u 10758 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 10  x.  5 )  = ; 5
0
220217, 218, 2193eqtr3i 2461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  x.  ( 5  x.  5 ) )  = ; 5
0
221213, 214, 2203eqtr3i 2461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( sqr `  2
)  x.  5 )  x.  ( ( sqr `  2 )  x.  5 ) )  = ; 5
0
222211, 212, 2213brtr4i 4308 . . . . . . . . . 10  |-  ( 7  x.  7 )  < 
( ( ( sqr `  2 )  x.  5 )  x.  (
( sqr `  2
)  x.  5 ) )
223 7re 10392 . . . . . . . . . . . 12  |-  7  e.  RR
224 7pos 10409 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  7
22510, 223, 224ltleii 9485 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <_  7
226 nnrp 10988 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 5  e.  NN  ->  5  e.  RR+ )
227105, 226ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  5  e.  RR+
228 rpmulcl 11000 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( sqr `  2
)  e.  RR+  /\  5  e.  RR+ )  ->  (
( sqr `  2
)  x.  5 )  e.  RR+ )
22965, 227, 228mp2an 665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( sqr `  2 )  x.  5 )  e.  RR+
230 rpge0 10991 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( sqr `  2
)  x.  5 )  e.  RR+  ->  0  <_ 
( ( sqr `  2
)  x.  5 ) )
231229, 230ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <_  ( ( sqr `  2
)  x.  5 )
232 rpre 10985 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( sqr `  2
)  x.  5 )  e.  RR+  ->  ( ( sqr `  2 )  x.  5 )  e.  RR )
233229, 232ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( sqr `  2 )  x.  5 )  e.  RR
234223, 233lt2msqi 10233 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  <_  7  /\  0  <_  ( ( sqr `  2 )  x.  5 ) )  -> 
( 7  <  (
( sqr `  2
)  x.  5 )  <-> 
( 7  x.  7 )  <  ( ( ( sqr `  2
)  x.  5 )  x.  ( ( sqr `  2 )  x.  5 ) ) ) )
235225, 231, 234mp2an 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( 7  <  ( ( sqr `  2 )  x.  5 )  <->  ( 7  x.  7 )  < 
( ( ( sqr `  2 )  x.  5 )  x.  (
( sqr `  2
)  x.  5 ) ) )
236222, 235mpbir 209 . . . . . . . . 9  |-  7  <  ( ( sqr `  2
)  x.  5 )
237 rpgt0 10990 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( sqr `  2 )  e.  RR+  ->  0  < 
( sqr `  2
) )
23824, 64, 237mp2b 10 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  ( sqr `  2
)
239 ltdivmul 10192 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 7  e.  RR  /\  5  e.  RR  /\  (
( sqr `  2
)  e.  RR  /\  0  <  ( sqr `  2
) ) )  -> 
( ( 7  / 
( sqr `  2
) )  <  5  <->  7  <  ( ( sqr `  2 )  x.  5 ) ) )
240223, 173, 239mp3an12 1297 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( sqr `  2
)  e.  RR  /\  0  <  ( sqr `  2
) )  ->  (
( 7  /  ( sqr `  2 ) )  <  5  <->  7  <  ( ( sqr `  2
)  x.  5 ) ) )
24147, 238, 240mp2an 665 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 7  /  ( sqr `  2 ) )  <  5  <->  7  <  ( ( sqr `  2
)  x.  5 ) )
242236, 241mpbir 209 . . . . . . . 8  |-  ( 7  /  ( sqr `  2
) )  <  5
243223, 47, 71redivcli 10086 . . . . . . . . 9  |-  ( 7  /  ( sqr `  2
) )  e.  RR
244243, 173, 11, 12ltdiv1ii 10250 . . . . . . . 8  |-  ( ( 7  /  ( sqr `  2 ) )  <  5  <->  ( (
7  /  ( sqr `  2 ) )  /  8 )  < 
( 5  /  8
) )
245242, 244mpbi 208 . . . . . . 7  |-  ( ( 7  /  ( sqr `  2 ) )  /  8 )  < 
( 5  /  8
)
246 divsubdir 10015 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 8  e.  CC  /\  3  e.  CC  /\  (
8  e.  CC  /\  8  =/=  0 ) )  ->  ( ( 8  -  3 )  / 
8 )  =  ( ( 8  /  8
)  -  ( 3  /  8 ) ) )
2475, 32, 246mp3an12 1297 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 8  e.  CC  /\  8  =/=  0 )  -> 
( ( 8  -  3 )  /  8
)  =  ( ( 8  /  8 )  -  ( 3  / 
8 ) ) )
2485, 38, 247mp2an 665 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 8  -  3 )  /  8 )  =  ( ( 8  / 
8 )  -  (
3  /  8 ) )
249 5p3e8 10448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 5  +  3 )  =  8
250249oveq1i 6090 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 5  +  3 )  -  3 )  =  ( 8  -  3 )
251 pncan 9604 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 5  e.  CC  /\  3  e.  CC )  ->  ( ( 5  +  3 )  -  3 )  =  5 )
252112, 32, 251mp2an 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 5  +  3 )  -  3 )  =  5
253250, 252eqtr3i 2455 . . . . . . . . . 10  |-  ( 8  -  3 )  =  5
254253oveq1i 6090 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 8  -  3 )  /  8 )  =  ( 5  /  8
)
2555, 38dividi 10052 . . . . . . . . . 10  |-  ( 8  /  8 )  =  1
256255oveq1i 6090 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 8  /  8 )  -  ( 3  / 
8 ) )  =  ( 1  -  (
3  /  8 ) )
257248, 254, 2563eqtr3ri 2462 . . . . . . . 8  |-  ( 1  -  ( 3  / 
8 ) )  =  ( 5  /  8
)
258 5lt8 10499 . . . . . . . . . . . . 13  |-  5  <  8
25911, 173remulcli 9388 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 8  x.  5 )  e.  RR
260173, 11, 259ltadd2i 9493 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 5  <  8  <->  ( (
8  x.  5 )  +  5 )  < 
( ( 8  x.  5 )  +  8 ) )
261258, 260mpbi 208 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 8  x.  5 )  +  5 )  < 
( ( 8  x.  5 )  +  8 )
262 df-9 10375 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  9  =  ( 8  +  1 )
263262oveq1i 6090 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 9  x.  5 )  =  ( ( 8  +  1 )  x.  5 )
2645, 185, 112adddiri 9385 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 8  +  1 )  x.  5 )  =  ( ( 8  x.  5 )  +  ( 1  x.  5 ) )
265112mulid2i 9377 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  x.  5 )  =  5
266265oveq2i 6091 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 8  x.  5 )  +  ( 1  x.  5 ) )  =  ( ( 8  x.  5 )  +  5 )
267263, 264, 2663eqtri 2457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 9  x.  5 )  =  ( ( 8  x.  5 )  +  5 )
26886oveq2i 6091 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 8  x.  6 )  =  ( 8  x.  (
5  +  1 ) )
2695, 112, 185adddii 9384 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 8  x.  ( 5  +  1 ) )  =  ( ( 8  x.  5 )  +  ( 8  x.  1 ) )
2705mulid1i 9376 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 8  x.  1 )  =  8
271270oveq2i 6091 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 8  x.  5 )  +  ( 8  x.  1 ) )  =  ( ( 8  x.  5 )  +  8 )
272268, 269, 2713eqtri 2457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 8  x.  6 )  =  ( ( 8  x.  5 )  +  8 )
273261, 267, 2723brtr4i 4308 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 9  x.  5 )  < 
( 8  x.  6 )
274171, 173remulcli 9388 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 9  x.  5 )  e.  RR
275 6re 10390 . . . . . . . . . . . . 13  |-  6  e.  RR
27611, 275remulcli 9388 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 8  x.  6 )  e.  RR
277168, 174remulcli 9388 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 4  x.  ( 2 ^ 5 ) )  e.  RR
2782, 96nnmulcli 10334 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 4  x.  ( 2 ^ 5 ) )  e.  NN
279278nngt0i 10343 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  ( 4  x.  (
2 ^ 5 ) )
280274, 276, 277, 279ltdiv1ii 10250 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 9  x.  5 )  <  ( 8  x.  6 )  <->  ( (
9  x.  5 )  /  ( 4  x.  ( 2 ^ 5 ) ) )  < 
( ( 8  x.  6 )  /  (
4  x.  ( 2 ^ 5 ) ) ) )
281273, 280mpbi 208 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 9  x.  5 )  /  ( 4  x.  ( 2 ^ 5 ) ) )  < 
( ( 8  x.  6 )  /  (
4  x.  ( 2 ^ 5 ) ) )
282121, 51, 112, 97, 75, 113divmuldivi 10079 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  / 
( 2 ^ 5 ) ) )  =  ( ( 9  x.  5 )  /  (
4  x.  ( 2 ^ 5 ) ) )
283 nnexpcl 11862 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  4  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ 4 )  e.  NN )
28433, 206, 283mp2an 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2 ^ 4 )  e.  NN
285284nncni 10320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2 ^ 4 )  e.  CC
286284nnne0i 10344 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2 ^ 4 )  =/=  0
287 divcan5 10021 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  ( 8  e.  CC  /\  8  =/=  0 )  /\  ( ( 2 ^ 4 )  e.  CC  /\  ( 2 ^ 4 )  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( 2 ^ 4 )  x.  3 )  /  (
( 2 ^ 4 )  x.  8 ) )  =  ( 3  /  8 ) )
28832, 287mp3an1 1294 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 8  e.  CC  /\  8  =/=  0 )  /\  ( ( 2 ^ 4 )  e.  CC  /\  ( 2 ^ 4 )  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( 2 ^ 4 )  x.  3 )  /  (
( 2 ^ 4 )  x.  8 ) )  =  ( 3  /  8 ) )
2895, 38, 285, 286, 288mp4an 666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2 ^ 4 )  x.  3 )  /  ( ( 2 ^ 4 )  x.  8 ) )  =  ( 3  /  8
)
290 df-4 10370 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  4  =  ( 3  +  1 )
291290oveq2i 6091 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2 ^ 4 )  =  ( 2 ^ (
3  +  1 ) )
292 3nn0 10585 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  3  e.  NN0
293 expp1 11856 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  3  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ (
3  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ 3 )  x.  2 ) )
29489, 292, 293mp2an 665 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2 ^ ( 3  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ 3 )  x.  2 )
29522oveq1i 6090 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2 ^ 3 )  x.  2 )  =  ( 8  x.  2 )
296291, 294, 2953eqtri 2457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2 ^ 4 )  =  ( 8  x.  2 )
297296oveq1i 6090 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2 ^ 4 )  x.  3 )  =  ( ( 8  x.  2 )  x.  3 )
2985, 89, 32mulassi 9383 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 8  x.  2 )  x.  3 )  =  ( 8  x.  (
2  x.  3 ) )
299193oveq2i 6091 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 8  x.  ( 2  x.  3 ) )  =  ( 8  x.  6 )
300297, 298, 2993eqtri 2457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2 ^ 4 )  x.  3 )  =  ( 8  x.  6 )
301 4p3e7 10445 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 4  +  3 )  =  7
302 5p2e7 10447 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 5  +  2 )  =  7
303112, 89addcomi 9548 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 5  +  2 )  =  ( 2  +  5 )
304301, 302, 3033eqtr2i 2459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 4  +  3 )  =  ( 2  +  5 )
305304oveq2i 6091 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2 ^ ( 4  +  3 ) )  =  ( 2 ^ (
2  +  5 ) )
306 expadd 11890 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  4  e.  NN0  /\  3  e.  NN0 )  ->  (
2 ^ ( 4  +  3 ) )  =  ( ( 2 ^ 4 )  x.  ( 2 ^ 3 ) ) )
30789, 206, 292, 306mp3an 1307 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2 ^ ( 4  +  3 ) )  =  ( ( 2 ^ 4 )  x.  (
2 ^ 3 ) )
308 2nn0 10584 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  NN0
309 expadd 11890 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  2  e.  NN0  /\  5  e.  NN0 )  ->  (
2 ^ ( 2  +  5 ) )  =  ( ( 2 ^ 2 )  x.  ( 2 ^ 5 ) ) )
31089, 308, 90, 309mp3an 1307 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2 ^ ( 2  +  5 ) )  =  ( ( 2 ^ 2 )  x.  (
2 ^ 5 ) )
311305, 307, 3103eqtr3i 2461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2 ^ 4 )  x.  ( 2 ^ 3 ) )  =  ( ( 2 ^ 2 )  x.  (
2 ^ 5 ) )
31222oveq2i 6091 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2 ^ 4 )  x.  ( 2 ^ 3 ) )  =  ( ( 2 ^ 4 )  x.  8 )
313 sq2 11946 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2 ^ 2 )  =  4
314313oveq1i 6090 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2 ^ 2 )  x.  ( 2 ^ 5 ) )  =  ( 4  x.  (
2 ^ 5 ) )
315311, 312, 3143eqtr3i 2461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2 ^ 4 )  x.  8 )  =  ( 4  x.  (
2 ^ 5 ) )
316300, 315oveq12i 6092 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2 ^ 4 )  x.  3 )  /  ( ( 2 ^ 4 )  x.  8 ) )  =  ( ( 8  x.  6 )  /  (
4  x.  ( 2 ^ 5 ) ) )
317289, 316eqtr3i 2455 . . . . . . . . . 10  |-  ( 3  /  8 )  =  ( ( 8  x.  6 )  /  (
4  x.  ( 2 ^ 5 ) ) )
318281, 282, 3173brtr4i 4308 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  / 
( 2 ^ 5 ) ) )  < 
( 3  /  8
)
319167, 11, 38redivcli 10086 . . . . . . . . . 10  |-  ( 3  /  8 )  e.  RR
320 1re 9373 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR
321 ltsub2 9824 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( 9  / 
4 )  x.  (
5  /  ( 2 ^ 5 ) ) )  e.  RR  /\  ( 3  /  8
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  /  (
2 ^ 5 ) ) )  <  (
3  /  8 )  <-> 
( 1  -  (
3  /  8 ) )  <  ( 1  -  ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  /  (
2 ^ 5 ) ) ) ) ) )
322176, 319, 320, 321mp3an 1307 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 9  /  4
)  x.  ( 5  /  ( 2 ^ 5 ) ) )  <  ( 3  / 
8 )  <->  ( 1  -  ( 3  / 
8 ) )  < 
( 1  -  (
( 9  /  4
)  x.  ( 5  /  ( 2 ^ 5 ) ) ) ) )
323318, 322mpbi 208 . . . . . . . 8  |-  ( 1  -  ( 3  / 
8 ) )  < 
( 1  -  (
( 9  /  4
)  x.  ( 5  /  ( 2 ^ 5 ) ) ) )
324257, 323eqbrtrri 4301 . . . . . . 7  |-  ( 5  /  8 )  < 
( 1  -  (
( 9  /  4
)  x.  ( 5  /  ( 2 ^ 5 ) ) ) )
325243, 11, 38redivcli 10086 . . . . . . . 8  |-  ( ( 7  /  ( sqr `  2 ) )  /  8 )  e.  RR
326173, 11, 38redivcli 10086 . . . . . . . 8  |-  ( 5  /  8 )  e.  RR
327320, 176resubcli 9659 . . . . . . . 8  |-  ( 1  -  ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  /  (
2 ^ 5 ) ) ) )  e.  RR
328325, 326, 327lttri 9488 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( 7  / 
( sqr `  2
) )  /  8
)  <  ( 5  /  8 )  /\  ( 5  /  8
)  <  ( 1  -  ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  /  (
2 ^ 5 ) ) ) ) )  ->  ( ( 7  /  ( sqr `  2
) )  /  8
)  <  ( 1  -  ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  /  (
2 ^ 5 ) ) ) ) )
329245, 324, 328mp2an 665 . . . . . 6  |-  ( ( 7  /  ( sqr `  2 ) )  /  8 )  < 
( 1  -  (
( 9  /  4
)  x.  ( 5  /  ( 2 ^ 5 ) ) ) )
330325, 176, 320ltaddsubi 9889 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( 7  / 
( sqr `  2
) )  /  8
)  +  ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  / 
( 2 ^ 5 ) ) ) )  <  1  <->  ( (
7  /  ( sqr `  2 ) )  /  8 )  < 
( 1  -  (
( 9  /  4
)  x.  ( 5  /  ( 2 ^ 5 ) ) ) ) )
331329, 330mpbir 209 . . . . 5  |-  ( ( ( 7  /  ( sqr `  2 ) )  /  8 )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  (
5  /  ( 2 ^ 5 ) ) ) )  <  1
332205, 331eqbrtri 4299 . . . 4  |-  ( ( ( ( 3  / 
4 )  /  ( sqr `  2 ) )  +  ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  /  (
2 ^ 5 ) ) ) )  +  ( ( 1  / 
8 )  /  ( sqr `  2 ) ) )  <  1
333 1lt2 10476 . . . . . . 7  |-  1  <  2
334 rplogcl 21938 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  1  <  2 )  -> 
( log `  2
)  e.  RR+ )
33553, 333, 334mp2an 665 . . . . . 6  |-  ( log `  2 )  e.  RR+
336 rpgt0 10990 . . . . . 6  |-  ( ( log `  2 )  e.  RR+  ->  0  < 
( log `  2
) )
337335, 336ax-mp 5 . . . . 5  |-  0  <  ( log `  2
)
338180, 320, 36, 337ltmul1ii 10249 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( 3  /  4 )  / 
( sqr `  2
) )  +  ( ( 9  /  4
)  x.  ( 5  /  ( 2 ^ 5 ) ) ) )  +  ( ( 1  /  8 )  /  ( sqr `  2
) ) )  <  1  <->  ( ( ( ( ( 3  / 
4 )  /  ( sqr `  2 ) )  +  ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  /  (
2 ^ 5 ) ) ) )  +  ( ( 1  / 
8 )  /  ( sqr `  2 ) ) )  x.  ( log `  2 ) )  <  ( 1  x.  ( log `  2
) ) )
339332, 338mpbi 208 . . 3  |-  ( ( ( ( ( 3  /  4 )  / 
( sqr `  2
) )  +  ( ( 9  /  4
)  x.  ( 5  /  ( 2 ^ 5 ) ) ) )  +  ( ( 1  /  8 )  /  ( sqr `  2
) ) )  x.  ( log `  2
) )  <  (
1  x.  ( log `  2 ) )
34037mulid2i 9377 . . . 4  |-  ( 1  x.  ( log `  2
) )  =  ( log `  2 )
341340eqcomi 2437 . . 3  |-  ( log `  2 )  =  ( 1  x.  ( log `  2 ) )
342339, 166, 3413brtr4i 4308 . 2  |-  ( F `
; 6 4 )  < 
( log `  2
)
343182, 342pm3.2i 452 1  |-  ( ( F ` ; 6 4 )  e.  RR  /\  ( F `
; 6 4 )  < 
( log `  2
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1362    e. wcel 1755    =/= wne 2596   class class class wbr 4280    e. cmpt 4338   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   CCcc 9268   RRcr 9269   0cc0 9270   1c1 9271    + caddc 9273    x. cmul 9275    < clt 9406    <_ cle 9407    - cmin 9583    / cdiv 9981   NNcn 10310   2c2 10359   3c3 10360   4c4 10361   5c5 10362   6c6 10363   7c7 10364   8c8 10365   9c9 10366   10c10 10367   NN0cn0 10567   ZZcz 10634  ;cdc 10743   RR+crp 10979   ^cexp 11849   sqrcsqr 12706   logclog 21891
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-inf2 7835  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347  ax-pre-sup 9348  ax-addf 9349  ax-mulf 9350
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-fal 1368  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-iin 4162  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-se 4667  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-isom 5415  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-of 6309  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-supp 6680  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-2o 6909  df-oadd 6912  df-er 7089  df-map 7204  df-pm 7205  df-ixp 7252  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-fsupp 7609  df-fi 7649  df-sup 7679  df-oi 7712  df-card 8097  df-cda 8325  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-div 9982  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-4 10370  df-5 10371  df-6 10372  df-7 10373  df-8 10374  df-9 10375  df-10 10376  df-n0 10568  df-z 10635  df-dec 10744  df-uz 10850  df-q 10942  df-rp 10980  df-xneg 11077  df-xadd 11078  df-xmul 11079  df-ioo 11292  df-ioc 11293  df-ico 11294  df-icc 11295  df-fz 11425  df-fzo 11533  df-fl 11626  df-mod 11693  df-seq 11791  df-exp 11850  df-fac 12036  df-bc 12063  df-hash 12088  df-shft 12540  df-cj 12572  df-re 12573  df-im 12574  df-sqr 12708  df-abs 12709  df-limsup 12933  df-clim 12950  df-rlim 12951  df-sum 13148  df-ef 13336  df-sin 13338  df-cos 13339  df-pi 13341  df-struct 14159  df-ndx 14160  df-slot 14161  df-base 14162  df-sets 14163  df-ress 14164  df-plusg 14234  df-mulr 14235  df-starv 14236  df-sca 14237  df-vsca 14238  df-ip 14239  df-tset 14240  df-ple 14241  df-ds 14243  df-unif 14244  df-hom 14245  df-cco 14246  df-rest 14344  df-topn 14345  df-0g 14363  df-gsum 14364  df-topgen 14365  df-pt 14366  df-prds 14369  df-xrs 14423  df-qtop 14428  df-imas 14429  df-xps 14431  df-mre 14507  df-mrc 14508  df-acs 14510  df-mnd 15398  df-submnd 15448  df-mulg 15528  df-cntz 15815  df-cmn 16259  df-psmet 17653  df-xmet 17654  df-met 17655  df-bl 17656  df-mopn 17657  df-fbas 17658  df-fg 17659  df-cnfld 17663  df-top 18345  df-bases 18347  df-topon 18348  df-topsp 18349  df-cld 18465  df-ntr 18466  df-cls 18467  df-nei 18544  df-lp 18582  df-perf 18583  df-cn 18673  df-cnp 18674  df-haus 18761  df-tx 18977  df-hmeo 19170  df-fil 19261  df-fm 19353  df-flim 19354  df-flf 19355  df-xms 19737  df-ms 19738  df-tms 19739  df-cncf 20296  df-limc 21183  df-dv 21184  df-log 21893
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