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Theorem bposlem8 23683
Description: Lemma for bpos 23685. Evaluate  F ( 6 4 ) and show it is less than  log 2. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bposlem7.1  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  n ) ) )  +  ( ( 9  /  4
)  x.  ( G `
 ( n  / 
2 ) ) ) )  +  ( ( log `  2 )  /  ( sqr `  (
2  x.  n ) ) ) ) )
bposlem7.2  |-  G  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log `  x
)  /  x ) )
Assertion
Ref Expression
bposlem8  |-  ( ( F ` ; 6 4 )  e.  RR  /\  ( F `
; 6 4 )  < 
( log `  2
) )

Proof of Theorem bposlem8
StepHypRef Expression
1 6nn0 10733 . . . . 5  |-  6  e.  NN0
2 4nn 10612 . . . . 5  |-  4  e.  NN
31, 2decnncl 10908 . . . 4  |- ; 6 4  e.  NN
4 fveq2 5774 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  = ; 6 4  ->  ( sqr `  n )  =  ( sqr ` ; 6 4 ) )
5 8cn 10538 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  8  e.  CC
65sqvali 12150 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 8 ^ 2 )  =  ( 8  x.  8 )
7 8t8e64 10989 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 8  x.  8 )  = ; 6
4
86, 7eqtri 2411 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 8 ^ 2 )  = ; 6
4
98fveq2i 5777 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( sqr `  ( 8 ^ 2 ) )  =  ( sqr ` ; 6 4 )
10 0re 9507 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  e.  RR
11 8re 10537 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  8  e.  RR
12 8pos 10553 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  <  8
1310, 11, 12ltleii 9618 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  <_  8
1411sqrtsqi 13209 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0  <_  8  ->  ( sqr `  ( 8 ^ 2 ) )  =  8 )
1513, 14ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( sqr `  ( 8 ^ 2 ) )  =  8
169, 15eqtr3i 2413 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( sqr ` ; 6 4 )  =  8
174, 16syl6eq 2439 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  = ; 6 4  ->  ( sqr `  n )  =  8 )
1817fveq2d 5778 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  = ; 6 4  ->  ( G `  ( sqr `  n ) )  =  ( G `  8
) )
19 8nn 10616 . . . . . . . . . . . . 13  |-  8  e.  NN
20 nnrp 11148 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 8  e.  NN  ->  8  e.  RR+ )
21 fveq2 5774 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  8  ->  ( log `  x )  =  ( log `  8
) )
22 cu2 12169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 2 ^ 3 )  =  8
2322fveq2i 5777 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( log `  ( 2 ^ 3 ) )  =  ( log `  8 )
24 2rp 11144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  2  e.  RR+
25 3z 10814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  3  e.  ZZ
26 relogexp 23068 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  3  e.  ZZ )  ->  ( log `  ( 2 ^ 3 ) )  =  ( 3  x.  ( log `  2 ) ) )
2724, 25, 26mp2an 670 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( log `  ( 2 ^ 3 ) )  =  ( 3  x.  ( log `  2 ) )
2823, 27eqtr3i 2413 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( log `  8 )  =  ( 3  x.  ( log `  2 ) )
2921, 28syl6eq 2439 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  8  ->  ( log `  x )  =  ( 3  x.  ( log `  2 ) ) )
30 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  8  ->  x  =  8 )
3129, 30oveq12d 6214 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  8  ->  (
( log `  x
)  /  x )  =  ( ( 3  x.  ( log `  2
) )  /  8
) )
32 3cn 10527 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  3  e.  CC
33 2nn 10610 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  e.  NN
34 nnrp 11148 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 2  e.  NN  ->  2  e.  RR+ )
35 relogcl 23048 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 2  e.  RR+  ->  ( log `  2 )  e.  RR )
3633, 34, 35mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( log `  2 )  e.  RR
3736recni 9519 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( log `  2 )  e.  CC
3819nnne0i 10487 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  8  =/=  0
3932, 37, 5, 38div23i 10219 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 3  x.  ( log `  2 ) )  /  8 )  =  ( ( 3  / 
8 )  x.  ( log `  2 ) )
4031, 39syl6eq 2439 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  8  ->  (
( log `  x
)  /  x )  =  ( ( 3  /  8 )  x.  ( log `  2
) ) )
41 bposlem7.2 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  G  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log `  x
)  /  x ) )
42 ovex 6224 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 3  /  8 )  x.  ( log `  2
) )  e.  _V
4340, 41, 42fvmpt 5857 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 8  e.  RR+  ->  ( G `
 8 )  =  ( ( 3  / 
8 )  x.  ( log `  2 ) ) )
4419, 20, 43mp2b 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G `
 8 )  =  ( ( 3  / 
8 )  x.  ( log `  2 ) )
4518, 44syl6eq 2439 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  = ; 6 4  ->  ( G `  ( sqr `  n ) )  =  ( ( 3  / 
8 )  x.  ( log `  2 ) ) )
4645oveq2d 6212 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  = ; 6 4  ->  (
( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  n
) ) )  =  ( ( sqr `  2
)  x.  ( ( 3  /  8 )  x.  ( log `  2
) ) ) )
47 sqrt2re 13985 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( sqr `  2 )  e.  RR
4847recni 9519 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( sqr `  2 )  e.  CC
4932, 5, 38divcli 10203 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 3  /  8 )  e.  CC
5048, 49, 37mulassi 9516 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( sqr `  2
)  x.  ( 3  /  8 ) )  x.  ( log `  2
) )  =  ( ( sqr `  2
)  x.  ( ( 3  /  8 )  x.  ( log `  2
) ) )
51 4cn 10530 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  4  e.  CC
5248, 51, 48mul12i 9686 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( sqr `  2 )  x.  ( 4  x.  ( sqr `  2
) ) )  =  ( 4  x.  (
( sqr `  2
)  x.  ( sqr `  2 ) ) )
53 2re 10522 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  e.  RR
54 0le2 10543 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  <_  2
55 remsqsqrt 13092 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  0  <_  2 )  -> 
( ( sqr `  2
)  x.  ( sqr `  2 ) )  =  2 )
5653, 54, 55mp2an 670 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( sqr `  2 )  x.  ( sqr `  2
) )  =  2
5756oveq2i 6207 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 4  x.  ( ( sqr `  2 )  x.  ( sqr `  2
) ) )  =  ( 4  x.  2 )
58 4t2e8 10606 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 4  x.  2 )  =  8
5952, 57, 583eqtri 2415 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( sqr `  2 )  x.  ( 4  x.  ( sqr `  2
) ) )  =  8
6059oveq2i 6207 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( sqr `  2
)  x.  3 )  /  ( ( sqr `  2 )  x.  ( 4  x.  ( sqr `  2 ) ) ) )  =  ( ( ( sqr `  2
)  x.  3 )  /  8 )
6151, 48mulcli 9512 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 4  x.  ( sqr `  2
) )  e.  CC
62 nnrp 11148 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 4  e.  NN  ->  4  e.  RR+ )
632, 62ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  4  e.  RR+
64 rpsqrtcl 13100 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 2  e.  RR+  ->  ( sqr `  2 )  e.  RR+ )
6533, 34, 64mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( sqr `  2 )  e.  RR+
66 rpmulcl 11161 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 4  e.  RR+  /\  ( sqr `  2 )  e.  RR+ )  ->  ( 4  x.  ( sqr `  2
) )  e.  RR+ )
6763, 65, 66mp2an 670 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 4  x.  ( sqr `  2
) )  e.  RR+
68 rpne0 11154 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 4  x.  ( sqr `  2 ) )  e.  RR+  ->  ( 4  x.  ( sqr `  2
) )  =/=  0
)
6967, 68ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 4  x.  ( sqr `  2
) )  =/=  0
70 rpne0 11154 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( sqr `  2 )  e.  RR+  ->  ( sqr `  2 )  =/=  0 )
7124, 64, 70mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( sqr `  2 )  =/=  0
72 divcan5 10163 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  ( ( 4  x.  ( sqr `  2
) )  e.  CC  /\  ( 4  x.  ( sqr `  2 ) )  =/=  0 )  /\  ( ( sqr `  2
)  e.  CC  /\  ( sqr `  2 )  =/=  0 ) )  ->  ( ( ( sqr `  2 )  x.  3 )  / 
( ( sqr `  2
)  x.  ( 4  x.  ( sqr `  2
) ) ) )  =  ( 3  / 
( 4  x.  ( sqr `  2 ) ) ) )
7332, 72mp3an1 1309 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( 4  x.  ( sqr `  2
) )  e.  CC  /\  ( 4  x.  ( sqr `  2 ) )  =/=  0 )  /\  ( ( sqr `  2
)  e.  CC  /\  ( sqr `  2 )  =/=  0 ) )  ->  ( ( ( sqr `  2 )  x.  3 )  / 
( ( sqr `  2
)  x.  ( 4  x.  ( sqr `  2
) ) ) )  =  ( 3  / 
( 4  x.  ( sqr `  2 ) ) ) )
7461, 69, 48, 71, 73mp4an 671 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( sqr `  2
)  x.  3 )  /  ( ( sqr `  2 )  x.  ( 4  x.  ( sqr `  2 ) ) ) )  =  ( 3  /  ( 4  x.  ( sqr `  2
) ) )
75 4ne0 10549 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  4  =/=  0
76 divdiv1 10172 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  ( 4  e.  CC  /\  4  =/=  0 )  /\  ( ( sqr `  2 )  e.  CC  /\  ( sqr `  2 )  =/=  0 ) )  -> 
( ( 3  / 
4 )  /  ( sqr `  2 ) )  =  ( 3  / 
( 4  x.  ( sqr `  2 ) ) ) )
7732, 76mp3an1 1309 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 4  e.  CC  /\  4  =/=  0 )  /\  ( ( sqr `  2 )  e.  CC  /\  ( sqr `  2 )  =/=  0 ) )  -> 
( ( 3  / 
4 )  /  ( sqr `  2 ) )  =  ( 3  / 
( 4  x.  ( sqr `  2 ) ) ) )
7851, 75, 48, 71, 77mp4an 671 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 3  /  4 )  /  ( sqr `  2
) )  =  ( 3  /  ( 4  x.  ( sqr `  2
) ) )
7974, 78eqtr4i 2414 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( sqr `  2
)  x.  3 )  /  ( ( sqr `  2 )  x.  ( 4  x.  ( sqr `  2 ) ) ) )  =  ( ( 3  /  4
)  /  ( sqr `  2 ) )
8048, 32, 5, 38divassi 10217 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( sqr `  2
)  x.  3 )  /  8 )  =  ( ( sqr `  2
)  x.  ( 3  /  8 ) )
8160, 79, 803eqtr3ri 2420 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( sqr `  2 )  x.  ( 3  / 
8 ) )  =  ( ( 3  / 
4 )  /  ( sqr `  2 ) )
8281oveq1i 6206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( sqr `  2
)  x.  ( 3  /  8 ) )  x.  ( log `  2
) )  =  ( ( ( 3  / 
4 )  /  ( sqr `  2 ) )  x.  ( log `  2
) )
8350, 82eqtr3i 2413 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( sqr `  2 )  x.  ( ( 3  /  8 )  x.  ( log `  2
) ) )  =  ( ( ( 3  /  4 )  / 
( sqr `  2
) )  x.  ( log `  2 ) )
8446, 83syl6eq 2439 . . . . . . . . 9  |-  ( n  = ; 6 4  ->  (
( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  n
) ) )  =  ( ( ( 3  /  4 )  / 
( sqr `  2
) )  x.  ( log `  2 ) ) )
85 oveq1 6203 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  = ; 6 4  ->  (
n  /  2 )  =  (; 6 4  /  2
) )
86 df-6 10515 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  6  =  ( 5  +  1 )
8786oveq2i 6207 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2 ^ 6 )  =  ( 2 ^ (
5  +  1 ) )
88 2exp6 14574 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2 ^ 6 )  = ; 6
4
89 2cn 10523 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  e.  CC
90 5nn0 10732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  5  e.  NN0
91 expp1 12076 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  5  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ (
5  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ 5 )  x.  2 ) )
9289, 90, 91mp2an 670 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2 ^ ( 5  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ 5 )  x.  2 )
9387, 88, 923eqtr3i 2419 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |- ; 6 4  =  ( ( 2 ^ 5 )  x.  2 )
9493oveq1i 6206 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (; 6 4  /  2
)  =  ( ( ( 2 ^ 5 )  x.  2 )  /  2 )
95 nnexpcl 12082 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  5  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ 5 )  e.  NN )
9633, 90, 95mp2an 670 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2 ^ 5 )  e.  NN
9796nncni 10462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2 ^ 5 )  e.  CC
98 2ne0 10545 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  =/=  0
9997, 89, 98divcan4i 10208 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 2 ^ 5 )  x.  2 )  /  2 )  =  ( 2 ^ 5 )
10094, 99eqtri 2411 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (; 6 4  /  2
)  =  ( 2 ^ 5 )
10185, 100syl6eq 2439 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  = ; 6 4  ->  (
n  /  2 )  =  ( 2 ^ 5 ) )
102101fveq2d 5778 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  = ; 6 4  ->  ( G `  ( n  /  2 ) )  =  ( G `  ( 2 ^ 5 ) ) )
103 nnrp 11148 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2 ^ 5 )  e.  NN  ->  (
2 ^ 5 )  e.  RR+ )
104 fveq2 5774 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  ( 2 ^ 5 )  ->  ( log `  x )  =  ( log `  (
2 ^ 5 ) ) )
105 5nn 10613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  5  e.  NN
106105nnzi 10805 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  5  e.  ZZ
107 relogexp 23068 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  5  e.  ZZ )  ->  ( log `  ( 2 ^ 5 ) )  =  ( 5  x.  ( log `  2 ) ) )
10824, 106, 107mp2an 670 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( log `  ( 2 ^ 5 ) )  =  ( 5  x.  ( log `  2 ) )
109104, 108syl6eq 2439 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( 2 ^ 5 )  ->  ( log `  x )  =  ( 5  x.  ( log `  2 ) ) )
110 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( 2 ^ 5 )  ->  x  =  ( 2 ^ 5 ) )
111109, 110oveq12d 6214 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( 2 ^ 5 )  ->  (
( log `  x
)  /  x )  =  ( ( 5  x.  ( log `  2
) )  /  (
2 ^ 5 ) ) )
112 5cn 10532 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  5  e.  CC
11396nnne0i 10487 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2 ^ 5 )  =/=  0
114112, 37, 97, 113div23i 10219 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 5  x.  ( log `  2 ) )  /  ( 2 ^ 5 ) )  =  ( ( 5  / 
( 2 ^ 5 ) )  x.  ( log `  2 ) )
115111, 114syl6eq 2439 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( 2 ^ 5 )  ->  (
( log `  x
)  /  x )  =  ( ( 5  /  ( 2 ^ 5 ) )  x.  ( log `  2
) ) )
116 ovex 6224 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 5  /  ( 2 ^ 5 ) )  x.  ( log `  2
) )  e.  _V
117115, 41, 116fvmpt 5857 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2 ^ 5 )  e.  RR+  ->  ( G `
 ( 2 ^ 5 ) )  =  ( ( 5  / 
( 2 ^ 5 ) )  x.  ( log `  2 ) ) )
11896, 103, 117mp2b 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G `
 ( 2 ^ 5 ) )  =  ( ( 5  / 
( 2 ^ 5 ) )  x.  ( log `  2 ) )
119102, 118syl6eq 2439 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  = ; 6 4  ->  ( G `  ( n  /  2 ) )  =  ( ( 5  /  ( 2 ^ 5 ) )  x.  ( log `  2
) ) )
120119oveq2d 6212 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  = ; 6 4  ->  (
( 9  /  4
)  x.  ( G `
 ( n  / 
2 ) ) )  =  ( ( 9  /  4 )  x.  ( ( 5  / 
( 2 ^ 5 ) )  x.  ( log `  2 ) ) ) )
121 9cn 10540 . . . . . . . . . . . 12  |-  9  e.  CC
122121, 51, 75divcli 10203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 9  /  4 )  e.  CC
123112, 97, 113divcli 10203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 5  /  ( 2 ^ 5 ) )  e.  CC
124122, 123, 37mulassi 9516 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 9  /  4
)  x.  ( 5  /  ( 2 ^ 5 ) ) )  x.  ( log `  2
) )  =  ( ( 9  /  4
)  x.  ( ( 5  /  ( 2 ^ 5 ) )  x.  ( log `  2
) ) )
125120, 124syl6eqr 2441 . . . . . . . . 9  |-  ( n  = ; 6 4  ->  (
( 9  /  4
)  x.  ( G `
 ( n  / 
2 ) ) )  =  ( ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  / 
( 2 ^ 5 ) ) )  x.  ( log `  2
) ) )
12684, 125oveq12d 6214 . . . . . . . 8  |-  ( n  = ; 6 4  ->  (
( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  n
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( n  /  2 ) ) ) )  =  ( ( ( ( 3  /  4 )  / 
( sqr `  2
) )  x.  ( log `  2 ) )  +  ( ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  / 
( 2 ^ 5 ) ) )  x.  ( log `  2
) ) ) )
12732, 51, 75divcli 10203 . . . . . . . . . 10  |-  ( 3  /  4 )  e.  CC
128127, 48, 71divcli 10203 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 3  /  4 )  /  ( sqr `  2
) )  e.  CC
129122, 123mulcli 9512 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  / 
( 2 ^ 5 ) ) )  e.  CC
130128, 129, 37adddiri 9518 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( 3  / 
4 )  /  ( sqr `  2 ) )  +  ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  /  (
2 ^ 5 ) ) ) )  x.  ( log `  2
) )  =  ( ( ( ( 3  /  4 )  / 
( sqr `  2
) )  x.  ( log `  2 ) )  +  ( ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  / 
( 2 ^ 5 ) ) )  x.  ( log `  2
) ) )
131126, 130syl6eqr 2441 . . . . . . 7  |-  ( n  = ; 6 4  ->  (
( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  n
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( n  /  2 ) ) ) )  =  ( ( ( ( 3  /  4 )  / 
( sqr `  2
) )  +  ( ( 9  /  4
)  x.  ( 5  /  ( 2 ^ 5 ) ) ) )  x.  ( log `  2 ) ) )
132 oveq2 6204 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  = ; 6 4  ->  (
2  x.  n )  =  ( 2  x. ; 6
4 ) )
133132fveq2d 5778 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  = ; 6 4  ->  ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  =  ( sqr `  (
2  x. ; 6 4 ) ) )
1343nnrei 10461 . . . . . . . . . . . 12  |- ; 6 4  e.  RR
1353nngt0i 10486 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  < ; 6
4
13610, 134, 135ltleii 9618 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <_ ; 6
4
13753, 134, 54, 136sqrtmulii 13221 . . . . . . . . . . 11  |-  ( sqr `  ( 2  x. ; 6 4 ) )  =  ( ( sqr `  2 )  x.  ( sqr ` ; 6 4 ) )
13816oveq2i 6207 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( sqr `  2 )  x.  ( sqr ` ; 6 4 ) )  =  ( ( sqr `  2 )  x.  8 )
139137, 138eqtri 2411 . . . . . . . . . 10  |-  ( sqr `  ( 2  x. ; 6 4 ) )  =  ( ( sqr `  2 )  x.  8 )
140133, 139syl6eq 2439 . . . . . . . . 9  |-  ( n  = ; 6 4  ->  ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  =  ( ( sqr `  2
)  x.  8 ) )
141140oveq2d 6212 . . . . . . . 8  |-  ( n  = ; 6 4  ->  (
( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  n
) ) )  =  ( ( log `  2
)  /  ( ( sqr `  2 )  x.  8 ) ) )
14248, 5mulcli 9512 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( sqr `  2 )  x.  8 )  e.  CC
143 rpmulcl 11161 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( sqr `  2
)  e.  RR+  /\  8  e.  RR+ )  ->  (
( sqr `  2
)  x.  8 )  e.  RR+ )
14465, 20, 143sylancr 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 8  e.  NN  ->  (
( sqr `  2
)  x.  8 )  e.  RR+ )
145 rpne0 11154 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( sqr `  2
)  x.  8 )  e.  RR+  ->  ( ( sqr `  2 )  x.  8 )  =/=  0 )
14619, 144, 145mp2b 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( sqr `  2 )  x.  8 )  =/=  0
147 divrec2 10141 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( log `  2
)  e.  CC  /\  ( ( sqr `  2
)  x.  8 )  e.  CC  /\  (
( sqr `  2
)  x.  8 )  =/=  0 )  -> 
( ( log `  2
)  /  ( ( sqr `  2 )  x.  8 ) )  =  ( ( 1  /  ( ( sqr `  2 )  x.  8 ) )  x.  ( log `  2
) ) )
14837, 142, 146, 147mp3an 1322 . . . . . . . . 9  |-  ( ( log `  2 )  /  ( ( sqr `  2 )  x.  8 ) )  =  ( ( 1  / 
( ( sqr `  2
)  x.  8 ) )  x.  ( log `  2 ) )
14948, 5mulcomi 9513 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( sqr `  2 )  x.  8 )  =  ( 8  x.  ( sqr `  2 ) )
150149oveq2i 6207 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  /  ( ( sqr `  2 )  x.  8 ) )  =  ( 1  /  (
8  x.  ( sqr `  2 ) ) )
151 recdiv2 10174 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 8  e.  CC  /\  8  =/=  0 )  /\  ( ( sqr `  2 )  e.  CC  /\  ( sqr `  2 )  =/=  0 ) )  -> 
( ( 1  / 
8 )  /  ( sqr `  2 ) )  =  ( 1  / 
( 8  x.  ( sqr `  2 ) ) ) )
1525, 38, 48, 71, 151mp4an 671 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  /  8 )  /  ( sqr `  2
) )  =  ( 1  /  ( 8  x.  ( sqr `  2
) ) )
153150, 152eqtr4i 2414 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  /  ( ( sqr `  2 )  x.  8 ) )  =  ( ( 1  / 
8 )  /  ( sqr `  2 ) )
154153oveq1i 6206 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  /  ( ( sqr `  2 )  x.  8 ) )  x.  ( log `  2
) )  =  ( ( ( 1  / 
8 )  /  ( sqr `  2 ) )  x.  ( log `  2
) )
155148, 154eqtri 2411 . . . . . . . 8  |-  ( ( log `  2 )  /  ( ( sqr `  2 )  x.  8 ) )  =  ( ( ( 1  /  8 )  / 
( sqr `  2
) )  x.  ( log `  2 ) )
156141, 155syl6eq 2439 . . . . . . 7  |-  ( n  = ; 6 4  ->  (
( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  n
) ) )  =  ( ( ( 1  /  8 )  / 
( sqr `  2
) )  x.  ( log `  2 ) ) )
157131, 156oveq12d 6214 . . . . . 6  |-  ( n  = ; 6 4  ->  (
( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  n ) ) )  +  ( ( 9  /  4 )  x.  ( G `  ( n  /  2
) ) ) )  +  ( ( log `  2 )  / 
( sqr `  (
2  x.  n ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( 3  /  4
)  /  ( sqr `  2 ) )  +  ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  /  (
2 ^ 5 ) ) ) )  x.  ( log `  2
) )  +  ( ( ( 1  / 
8 )  /  ( sqr `  2 ) )  x.  ( log `  2
) ) ) )
158128, 129addcli 9511 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 3  /  4
)  /  ( sqr `  2 ) )  +  ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  /  (
2 ^ 5 ) ) ) )  e.  CC
1595, 38reccli 10191 . . . . . . . 8  |-  ( 1  /  8 )  e.  CC
160159, 48, 71divcli 10203 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  /  8 )  /  ( sqr `  2
) )  e.  CC
161158, 160, 37adddiri 9518 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( 3  /  4 )  / 
( sqr `  2
) )  +  ( ( 9  /  4
)  x.  ( 5  /  ( 2 ^ 5 ) ) ) )  +  ( ( 1  /  8 )  /  ( sqr `  2
) ) )  x.  ( log `  2
) )  =  ( ( ( ( ( 3  /  4 )  /  ( sqr `  2
) )  +  ( ( 9  /  4
)  x.  ( 5  /  ( 2 ^ 5 ) ) ) )  x.  ( log `  2 ) )  +  ( ( ( 1  /  8 )  /  ( sqr `  2
) )  x.  ( log `  2 ) ) )
162157, 161syl6eqr 2441 . . . . 5  |-  ( n  = ; 6 4  ->  (
( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  n ) ) )  +  ( ( 9  /  4 )  x.  ( G `  ( n  /  2
) ) ) )  +  ( ( log `  2 )  / 
( sqr `  (
2  x.  n ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( 3  /  4
)  /  ( sqr `  2 ) )  +  ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  /  (
2 ^ 5 ) ) ) )  +  ( ( 1  / 
8 )  /  ( sqr `  2 ) ) )  x.  ( log `  2 ) ) )
163 bposlem7.1 . . . . 5  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  n ) ) )  +  ( ( 9  /  4
)  x.  ( G `
 ( n  / 
2 ) ) ) )  +  ( ( log `  2 )  /  ( sqr `  (
2  x.  n ) ) ) ) )
164 ovex 6224 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( 3  /  4 )  / 
( sqr `  2
) )  +  ( ( 9  /  4
)  x.  ( 5  /  ( 2 ^ 5 ) ) ) )  +  ( ( 1  /  8 )  /  ( sqr `  2
) ) )  x.  ( log `  2
) )  e.  _V
165162, 163, 164fvmpt 5857 . . . 4  |-  (; 6 4  e.  NN  ->  ( F ` ; 6 4 )  =  ( ( ( ( ( 3  /  4
)  /  ( sqr `  2 ) )  +  ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  /  (
2 ^ 5 ) ) ) )  +  ( ( 1  / 
8 )  /  ( sqr `  2 ) ) )  x.  ( log `  2 ) ) )
1663, 165ax-mp 5 . . 3  |-  ( F `
; 6 4 )  =  ( ( ( ( ( 3  /  4
)  /  ( sqr `  2 ) )  +  ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  /  (
2 ^ 5 ) ) ) )  +  ( ( 1  / 
8 )  /  ( sqr `  2 ) ) )  x.  ( log `  2 ) )
167 3re 10526 . . . . . . . 8  |-  3  e.  RR
168 4re 10529 . . . . . . . 8  |-  4  e.  RR
169167, 168, 75redivcli 10228 . . . . . . 7  |-  ( 3  /  4 )  e.  RR
170169, 47, 71redivcli 10228 . . . . . 6  |-  ( ( 3  /  4 )  /  ( sqr `  2
) )  e.  RR
171 9re 10539 . . . . . . . 8  |-  9  e.  RR
172171, 168, 75redivcli 10228 . . . . . . 7  |-  ( 9  /  4 )  e.  RR
173 5re 10531 . . . . . . . 8  |-  5  e.  RR
17496nnrei 10461 . . . . . . . 8  |-  ( 2 ^ 5 )  e.  RR
175173, 174, 113redivcli 10228 . . . . . . 7  |-  ( 5  /  ( 2 ^ 5 ) )  e.  RR
176172, 175remulcli 9521 . . . . . 6  |-  ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  / 
( 2 ^ 5 ) ) )  e.  RR
177170, 176readdcli 9520 . . . . 5  |-  ( ( ( 3  /  4
)  /  ( sqr `  2 ) )  +  ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  /  (
2 ^ 5 ) ) ) )  e.  RR
17811, 38rereccli 10226 . . . . . 6  |-  ( 1  /  8 )  e.  RR
179178, 47, 71redivcli 10228 . . . . 5  |-  ( ( 1  /  8 )  /  ( sqr `  2
) )  e.  RR
180177, 179readdcli 9520 . . . 4  |-  ( ( ( ( 3  / 
4 )  /  ( sqr `  2 ) )  +  ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  /  (
2 ^ 5 ) ) ) )  +  ( ( 1  / 
8 )  /  ( sqr `  2 ) ) )  e.  RR
181180, 36remulcli 9521 . . 3  |-  ( ( ( ( ( 3  /  4 )  / 
( sqr `  2
) )  +  ( ( 9  /  4
)  x.  ( 5  /  ( 2 ^ 5 ) ) ) )  +  ( ( 1  /  8 )  /  ( sqr `  2
) ) )  x.  ( log `  2
) )  e.  RR
182166, 181eqeltri 2466 . 2  |-  ( F `
; 6 4 )  e.  RR
183128, 129, 160add32i 9710 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( 3  / 
4 )  /  ( sqr `  2 ) )  +  ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  /  (
2 ^ 5 ) ) ) )  +  ( ( 1  / 
8 )  /  ( sqr `  2 ) ) )  =  ( ( ( ( 3  / 
4 )  /  ( sqr `  2 ) )  +  ( ( 1  /  8 )  / 
( sqr `  2
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  (
5  /  ( 2 ^ 5 ) ) ) )
184 6cn 10534 . . . . . . . . . . 11  |-  6  e.  CC
185 ax-1cn 9461 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
186184, 185, 5, 38divdiri 10218 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 6  +  1 )  /  8 )  =  ( ( 6  / 
8 )  +  ( 1  /  8 ) )
187 df-7 10516 . . . . . . . . . . 11  |-  7  =  ( 6  +  1 )
188187oveq1i 6206 . . . . . . . . . 10  |-  ( 7  /  8 )  =  ( ( 6  +  1 )  /  8
)
189 divcan5 10163 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  ( 4  e.  CC  /\  4  =/=  0 )  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  -> 
( ( 2  x.  3 )  /  (
2  x.  4 ) )  =  ( 3  /  4 ) )
19032, 189mp3an1 1309 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 4  e.  CC  /\  4  =/=  0 )  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  -> 
( ( 2  x.  3 )  /  (
2  x.  4 ) )  =  ( 3  /  4 ) )
19151, 75, 89, 98, 190mp4an 671 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  x.  3 )  /  ( 2  x.  4 ) )  =  ( 3  /  4
)
192 3t2e6 10604 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 3  x.  2 )  =  6
19332, 89, 192mulcomli 9514 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  x.  3 )  =  6
19451, 89, 58mulcomli 9514 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  x.  4 )  =  8
195193, 194oveq12i 6208 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  x.  3 )  /  ( 2  x.  4 ) )  =  ( 6  /  8
)
196191, 195eqtr3i 2413 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 3  /  4 )  =  ( 6  /  8
)
197196oveq1i 6206 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 3  /  4 )  +  ( 1  / 
8 ) )  =  ( ( 6  / 
8 )  +  ( 1  /  8 ) )
198186, 188, 1973eqtr4ri 2422 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 3  /  4 )  +  ( 1  / 
8 ) )  =  ( 7  /  8
)
199198oveq1i 6206 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 3  /  4
)  +  ( 1  /  8 ) )  /  ( sqr `  2
) )  =  ( ( 7  /  8
)  /  ( sqr `  2 ) )
200127, 159, 48, 71divdiri 10218 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 3  /  4
)  +  ( 1  /  8 ) )  /  ( sqr `  2
) )  =  ( ( ( 3  / 
4 )  /  ( sqr `  2 ) )  +  ( ( 1  /  8 )  / 
( sqr `  2
) ) )
201 7cn 10536 . . . . . . . . 9  |-  7  e.  CC
202201, 5, 48, 38, 71divdiv32i 10216 . . . . . . . 8  |-  ( ( 7  /  8 )  /  ( sqr `  2
) )  =  ( ( 7  /  ( sqr `  2 ) )  /  8 )
203199, 200, 2023eqtr3i 2419 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 3  /  4
)  /  ( sqr `  2 ) )  +  ( ( 1  /  8 )  / 
( sqr `  2
) ) )  =  ( ( 7  / 
( sqr `  2
) )  /  8
)
204203oveq1i 6206 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( 3  / 
4 )  /  ( sqr `  2 ) )  +  ( ( 1  /  8 )  / 
( sqr `  2
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  (
5  /  ( 2 ^ 5 ) ) ) )  =  ( ( ( 7  / 
( sqr `  2
) )  /  8
)  +  ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  / 
( 2 ^ 5 ) ) ) )
205183, 204eqtri 2411 . . . . 5  |-  ( ( ( ( 3  / 
4 )  /  ( sqr `  2 ) )  +  ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  /  (
2 ^ 5 ) ) ) )  +  ( ( 1  / 
8 )  /  ( sqr `  2 ) ) )  =  ( ( ( 7  /  ( sqr `  2 ) )  /  8 )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  (
5  /  ( 2 ^ 5 ) ) ) )
206 4nn0 10731 . . . . . . . . . . . 12  |-  4  e.  NN0
207 9nn0 10736 . . . . . . . . . . . 12  |-  9  e.  NN0
208 0nn0 10727 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  NN0
209 9lt10 10655 . . . . . . . . . . . 12  |-  9  <  10
210 4lt5 10625 . . . . . . . . . . . 12  |-  4  <  5
211206, 90, 207, 208, 209, 210decltc 10917 . . . . . . . . . . 11  |- ; 4 9  < ; 5 0
212 7t7e49 10982 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 7  x.  7 )  = ; 4
9
21356oveq1i 6206 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( sqr `  2
)  x.  ( sqr `  2 ) )  x.  ( 5  x.  5 ) )  =  ( 2  x.  (
5  x.  5 ) )
21448, 48, 112, 112mul4i 9688 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( sqr `  2
)  x.  ( sqr `  2 ) )  x.  ( 5  x.  5 ) )  =  ( ( ( sqr `  2 )  x.  5 )  x.  (
( sqr `  2
)  x.  5 ) )
215 5t2e10 10607 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 5  x.  2 )  =  10
216112, 89, 215mulcomli 9514 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  x.  5 )  =  10
217216oveq1i 6206 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  x.  5 )  x.  5 )  =  ( 10  x.  5 )
21889, 112, 112mulassi 9516 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  x.  5 )  x.  5 )  =  ( 2  x.  (
5  x.  5 ) )
21990dec0u 10910 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 10  x.  5 )  = ; 5
0
220217, 218, 2193eqtr3i 2419 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  x.  ( 5  x.  5 ) )  = ; 5
0
221213, 214, 2203eqtr3i 2419 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( sqr `  2
)  x.  5 )  x.  ( ( sqr `  2 )  x.  5 ) )  = ; 5
0
222211, 212, 2213brtr4i 4395 . . . . . . . . . 10  |-  ( 7  x.  7 )  < 
( ( ( sqr `  2 )  x.  5 )  x.  (
( sqr `  2
)  x.  5 ) )
223 7re 10535 . . . . . . . . . . . 12  |-  7  e.  RR
224 7pos 10552 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  7
22510, 223, 224ltleii 9618 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <_  7
226 nnrp 11148 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 5  e.  NN  ->  5  e.  RR+ )
227105, 226ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  5  e.  RR+
228 rpmulcl 11161 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( sqr `  2
)  e.  RR+  /\  5  e.  RR+ )  ->  (
( sqr `  2
)  x.  5 )  e.  RR+ )
22965, 227, 228mp2an 670 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( sqr `  2 )  x.  5 )  e.  RR+
230 rpge0 11151 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( sqr `  2
)  x.  5 )  e.  RR+  ->  0  <_ 
( ( sqr `  2
)  x.  5 ) )
231229, 230ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <_  ( ( sqr `  2
)  x.  5 )
232 rpre 11145 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( sqr `  2
)  x.  5 )  e.  RR+  ->  ( ( sqr `  2 )  x.  5 )  e.  RR )
233229, 232ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( sqr `  2 )  x.  5 )  e.  RR
234223, 233lt2msqi 10374 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  <_  7  /\  0  <_  ( ( sqr `  2 )  x.  5 ) )  -> 
( 7  <  (
( sqr `  2
)  x.  5 )  <-> 
( 7  x.  7 )  <  ( ( ( sqr `  2
)  x.  5 )  x.  ( ( sqr `  2 )  x.  5 ) ) ) )
235225, 231, 234mp2an 670 . . . . . . . . . 10  |-  ( 7  <  ( ( sqr `  2 )  x.  5 )  <->  ( 7  x.  7 )  < 
( ( ( sqr `  2 )  x.  5 )  x.  (
( sqr `  2
)  x.  5 ) ) )
236222, 235mpbir 209 . . . . . . . . 9  |-  7  <  ( ( sqr `  2
)  x.  5 )
237 rpgt0 11150 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( sqr `  2 )  e.  RR+  ->  0  < 
( sqr `  2
) )
23824, 64, 237mp2b 10 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  ( sqr `  2
)
239 ltdivmul 10334 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 7  e.  RR  /\  5  e.  RR  /\  (
( sqr `  2
)  e.  RR  /\  0  <  ( sqr `  2
) ) )  -> 
( ( 7  / 
( sqr `  2
) )  <  5  <->  7  <  ( ( sqr `  2 )  x.  5 ) ) )
240223, 173, 239mp3an12 1312 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( sqr `  2
)  e.  RR  /\  0  <  ( sqr `  2
) )  ->  (
( 7  /  ( sqr `  2 ) )  <  5  <->  7  <  ( ( sqr `  2
)  x.  5 ) ) )
24147, 238, 240mp2an 670 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 7  /  ( sqr `  2 ) )  <  5  <->  7  <  ( ( sqr `  2
)  x.  5 ) )
242236, 241mpbir 209 . . . . . . . 8  |-  ( 7  /  ( sqr `  2
) )  <  5
243223, 47, 71redivcli 10228 . . . . . . . . 9  |-  ( 7  /  ( sqr `  2
) )  e.  RR
244243, 173, 11, 12ltdiv1ii 10391 . . . . . . . 8  |-  ( ( 7  /  ( sqr `  2 ) )  <  5  <->  ( (
7  /  ( sqr `  2 ) )  /  8 )  < 
( 5  /  8
) )
245242, 244mpbi 208 . . . . . . 7  |-  ( ( 7  /  ( sqr `  2 ) )  /  8 )  < 
( 5  /  8
)
246 divsubdir 10157 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 8  e.  CC  /\  3  e.  CC  /\  (
8  e.  CC  /\  8  =/=  0 ) )  ->  ( ( 8  -  3 )  / 
8 )  =  ( ( 8  /  8
)  -  ( 3  /  8 ) ) )
2475, 32, 246mp3an12 1312 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 8  e.  CC  /\  8  =/=  0 )  -> 
( ( 8  -  3 )  /  8
)  =  ( ( 8  /  8 )  -  ( 3  / 
8 ) ) )
2485, 38, 247mp2an 670 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 8  -  3 )  /  8 )  =  ( ( 8  / 
8 )  -  (
3  /  8 ) )
249 5p3e8 10591 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 5  +  3 )  =  8
250249oveq1i 6206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 5  +  3 )  -  3 )  =  ( 8  -  3 )
251112, 32pncan3oi 9749 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 5  +  3 )  -  3 )  =  5
252250, 251eqtr3i 2413 . . . . . . . . . 10  |-  ( 8  -  3 )  =  5
253252oveq1i 6206 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 8  -  3 )  /  8 )  =  ( 5  /  8
)
2545, 38dividi 10194 . . . . . . . . . 10  |-  ( 8  /  8 )  =  1
255254oveq1i 6206 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 8  /  8 )  -  ( 3  / 
8 ) )  =  ( 1  -  (
3  /  8 ) )
256248, 253, 2553eqtr3ri 2420 . . . . . . . 8  |-  ( 1  -  ( 3  / 
8 ) )  =  ( 5  /  8
)
257 5lt8 10642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  5  <  8
25811, 173remulcli 9521 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 8  x.  5 )  e.  RR
259173, 11, 258ltadd2i 9626 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 5  <  8  <->  ( (
8  x.  5 )  +  5 )  < 
( ( 8  x.  5 )  +  8 ) )
260257, 259mpbi 208 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 8  x.  5 )  +  5 )  < 
( ( 8  x.  5 )  +  8 )
261 df-9 10518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  9  =  ( 8  +  1 )
262261oveq1i 6206 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 9  x.  5 )  =  ( ( 8  +  1 )  x.  5 )
2635, 185, 112adddiri 9518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 8  +  1 )  x.  5 )  =  ( ( 8  x.  5 )  +  ( 1  x.  5 ) )
264112mulid2i 9510 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  x.  5 )  =  5
265264oveq2i 6207 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 8  x.  5 )  +  ( 1  x.  5 ) )  =  ( ( 8  x.  5 )  +  5 )
266262, 263, 2653eqtri 2415 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 9  x.  5 )  =  ( ( 8  x.  5 )  +  5 )
26786oveq2i 6207 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 8  x.  6 )  =  ( 8  x.  (
5  +  1 ) )
2685, 112, 185adddii 9517 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 8  x.  ( 5  +  1 ) )  =  ( ( 8  x.  5 )  +  ( 8  x.  1 ) )
2695mulid1i 9509 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 8  x.  1 )  =  8
270269oveq2i 6207 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 8  x.  5 )  +  ( 8  x.  1 ) )  =  ( ( 8  x.  5 )  +  8 )
271267, 268, 2703eqtri 2415 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 8  x.  6 )  =  ( ( 8  x.  5 )  +  8 )
272260, 266, 2713brtr4i 4395 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 9  x.  5 )  < 
( 8  x.  6 )
273171, 173remulcli 9521 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 9  x.  5 )  e.  RR
274 6re 10533 . . . . . . . . . . . . 13  |-  6  e.  RR
27511, 274remulcli 9521 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 8  x.  6 )  e.  RR
276168, 174remulcli 9521 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 4  x.  ( 2 ^ 5 ) )  e.  RR
2772, 96nnmulcli 10476 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 4  x.  ( 2 ^ 5 ) )  e.  NN
278277nngt0i 10486 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  ( 4  x.  (
2 ^ 5 ) )
279273, 275, 276, 278ltdiv1ii 10391 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 9  x.  5 )  <  ( 8  x.  6 )  <->  ( (
9  x.  5 )  /  ( 4  x.  ( 2 ^ 5 ) ) )  < 
( ( 8  x.  6 )  /  (
4  x.  ( 2 ^ 5 ) ) ) )
280272, 279mpbi 208 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 9  x.  5 )  /  ( 4  x.  ( 2 ^ 5 ) ) )  < 
( ( 8  x.  6 )  /  (
4  x.  ( 2 ^ 5 ) ) )
281121, 51, 112, 97, 75, 113divmuldivi 10221 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  / 
( 2 ^ 5 ) ) )  =  ( ( 9  x.  5 )  /  (
4  x.  ( 2 ^ 5 ) ) )
282 nnexpcl 12082 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  4  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ 4 )  e.  NN )
28333, 206, 282mp2an 670 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2 ^ 4 )  e.  NN
284283nncni 10462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2 ^ 4 )  e.  CC
285283nnne0i 10487 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2 ^ 4 )  =/=  0
286 divcan5 10163 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  ( 8  e.  CC  /\  8  =/=  0 )  /\  ( ( 2 ^ 4 )  e.  CC  /\  ( 2 ^ 4 )  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( 2 ^ 4 )  x.  3 )  /  (
( 2 ^ 4 )  x.  8 ) )  =  ( 3  /  8 ) )
28732, 286mp3an1 1309 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 8  e.  CC  /\  8  =/=  0 )  /\  ( ( 2 ^ 4 )  e.  CC  /\  ( 2 ^ 4 )  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( 2 ^ 4 )  x.  3 )  /  (
( 2 ^ 4 )  x.  8 ) )  =  ( 3  /  8 ) )
2885, 38, 284, 285, 287mp4an 671 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2 ^ 4 )  x.  3 )  /  ( ( 2 ^ 4 )  x.  8 ) )  =  ( 3  /  8
)
289 df-4 10513 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  4  =  ( 3  +  1 )
290289oveq2i 6207 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2 ^ 4 )  =  ( 2 ^ (
3  +  1 ) )
291 3nn0 10730 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  3  e.  NN0
292 expp1 12076 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  3  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ (
3  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ 3 )  x.  2 ) )
29389, 291, 292mp2an 670 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2 ^ ( 3  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ 3 )  x.  2 )
29422oveq1i 6206 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2 ^ 3 )  x.  2 )  =  ( 8  x.  2 )
295290, 293, 2943eqtri 2415 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2 ^ 4 )  =  ( 8  x.  2 )
296295oveq1i 6206 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2 ^ 4 )  x.  3 )  =  ( ( 8  x.  2 )  x.  3 )
2975, 89, 32mulassi 9516 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 8  x.  2 )  x.  3 )  =  ( 8  x.  (
2  x.  3 ) )
298193oveq2i 6207 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 8  x.  ( 2  x.  3 ) )  =  ( 8  x.  6 )
299296, 297, 2983eqtri 2415 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2 ^ 4 )  x.  3 )  =  ( 8  x.  6 )
300 4p3e7 10588 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 4  +  3 )  =  7
301 5p2e7 10590 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 5  +  2 )  =  7
302112, 89addcomi 9682 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 5  +  2 )  =  ( 2  +  5 )
303300, 301, 3023eqtr2i 2417 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 4  +  3 )  =  ( 2  +  5 )
304303oveq2i 6207 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2 ^ ( 4  +  3 ) )  =  ( 2 ^ (
2  +  5 ) )
305 expadd 12111 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  4  e.  NN0  /\  3  e.  NN0 )  ->  (
2 ^ ( 4  +  3 ) )  =  ( ( 2 ^ 4 )  x.  ( 2 ^ 3 ) ) )
30689, 206, 291, 305mp3an 1322 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2 ^ ( 4  +  3 ) )  =  ( ( 2 ^ 4 )  x.  (
2 ^ 3 ) )
307 2nn0 10729 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  NN0
308 expadd 12111 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  2  e.  NN0  /\  5  e.  NN0 )  ->  (
2 ^ ( 2  +  5 ) )  =  ( ( 2 ^ 2 )  x.  ( 2 ^ 5 ) ) )
30989, 307, 90, 308mp3an 1322 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2 ^ ( 2  +  5 ) )  =  ( ( 2 ^ 2 )  x.  (
2 ^ 5 ) )
310304, 306, 3093eqtr3i 2419 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2 ^ 4 )  x.  ( 2 ^ 3 ) )  =  ( ( 2 ^ 2 )  x.  (
2 ^ 5 ) )
31122oveq2i 6207 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2 ^ 4 )  x.  ( 2 ^ 3 ) )  =  ( ( 2 ^ 4 )  x.  8 )
312 sq2 12167 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2 ^ 2 )  =  4
313312oveq1i 6206 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2 ^ 2 )  x.  ( 2 ^ 5 ) )  =  ( 4  x.  (
2 ^ 5 ) )
314310, 311, 3133eqtr3i 2419 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2 ^ 4 )  x.  8 )  =  ( 4  x.  (
2 ^ 5 ) )
315299, 314oveq12i 6208 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2 ^ 4 )  x.  3 )  /  ( ( 2 ^ 4 )  x.  8 ) )  =  ( ( 8  x.  6 )  /  (
4  x.  ( 2 ^ 5 ) ) )
316288, 315eqtr3i 2413 . . . . . . . . . 10  |-  ( 3  /  8 )  =  ( ( 8  x.  6 )  /  (
4  x.  ( 2 ^ 5 ) ) )
317280, 281, 3163brtr4i 4395 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  / 
( 2 ^ 5 ) ) )  < 
( 3  /  8
)
318167, 11, 38redivcli 10228 . . . . . . . . . 10  |-  ( 3  /  8 )  e.  RR
319 1re 9506 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR
320 ltsub2 9967 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( 9  / 
4 )  x.  (
5  /  ( 2 ^ 5 ) ) )  e.  RR  /\  ( 3  /  8
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  /  (
2 ^ 5 ) ) )  <  (
3  /  8 )  <-> 
( 1  -  (
3  /  8 ) )  <  ( 1  -  ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  /  (
2 ^ 5 ) ) ) ) ) )
321176, 318, 319, 320mp3an 1322 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 9  /  4
)  x.  ( 5  /  ( 2 ^ 5 ) ) )  <  ( 3  / 
8 )  <->  ( 1  -  ( 3  / 
8 ) )  < 
( 1  -  (
( 9  /  4
)  x.  ( 5  /  ( 2 ^ 5 ) ) ) ) )
322317, 321mpbi 208 . . . . . . . 8  |-  ( 1  -  ( 3  / 
8 ) )  < 
( 1  -  (
( 9  /  4
)  x.  ( 5  /  ( 2 ^ 5 ) ) ) )
323256, 322eqbrtrri 4388 . . . . . . 7  |-  ( 5  /  8 )  < 
( 1  -  (
( 9  /  4
)  x.  ( 5  /  ( 2 ^ 5 ) ) ) )
324243, 11, 38redivcli 10228 . . . . . . . 8  |-  ( ( 7  /  ( sqr `  2 ) )  /  8 )  e.  RR
325173, 11, 38redivcli 10228 . . . . . . . 8  |-  ( 5  /  8 )  e.  RR
326319, 176resubcli 9794 . . . . . . . 8  |-  ( 1  -  ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  /  (
2 ^ 5 ) ) ) )  e.  RR
327324, 325, 326lttri 9621 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( 7  / 
( sqr `  2
) )  /  8
)  <  ( 5  /  8 )  /\  ( 5  /  8
)  <  ( 1  -  ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  /  (
2 ^ 5 ) ) ) ) )  ->  ( ( 7  /  ( sqr `  2
) )  /  8
)  <  ( 1  -  ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  /  (
2 ^ 5 ) ) ) ) )
328245, 323, 327mp2an 670 . . . . . 6  |-  ( ( 7  /  ( sqr `  2 ) )  /  8 )  < 
( 1  -  (
( 9  /  4
)  x.  ( 5  /  ( 2 ^ 5 ) ) ) )
329324, 176, 319ltaddsubi 10031 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( 7  / 
( sqr `  2
) )  /  8
)  +  ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  / 
( 2 ^ 5 ) ) ) )  <  1  <->  ( (
7  /  ( sqr `  2 ) )  /  8 )  < 
( 1  -  (
( 9  /  4
)  x.  ( 5  /  ( 2 ^ 5 ) ) ) ) )
330328, 329mpbir 209 . . . . 5  |-  ( ( ( 7  /  ( sqr `  2 ) )  /  8 )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  (
5  /  ( 2 ^ 5 ) ) ) )  <  1
331205, 330eqbrtri 4386 . . . 4  |-  ( ( ( ( 3  / 
4 )  /  ( sqr `  2 ) )  +  ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  /  (
2 ^ 5 ) ) ) )  +  ( ( 1  / 
8 )  /  ( sqr `  2 ) ) )  <  1
332 1lt2 10619 . . . . . . 7  |-  1  <  2
333 rplogcl 23076 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  1  <  2 )  -> 
( log `  2
)  e.  RR+ )
33453, 332, 333mp2an 670 . . . . . 6  |-  ( log `  2 )  e.  RR+
335 rpgt0 11150 . . . . . 6  |-  ( ( log `  2 )  e.  RR+  ->  0  < 
( log `  2
) )
336334, 335ax-mp 5 . . . . 5  |-  0  <  ( log `  2
)
337180, 319, 36, 336ltmul1ii 10390 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( 3  /  4 )  / 
( sqr `  2
) )  +  ( ( 9  /  4
)  x.  ( 5  /  ( 2 ^ 5 ) ) ) )  +  ( ( 1  /  8 )  /  ( sqr `  2
) ) )  <  1  <->  ( ( ( ( ( 3  / 
4 )  /  ( sqr `  2 ) )  +  ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  /  (
2 ^ 5 ) ) ) )  +  ( ( 1  / 
8 )  /  ( sqr `  2 ) ) )  x.  ( log `  2 ) )  <  ( 1  x.  ( log `  2
) ) )
338331, 337mpbi 208 . . 3  |-  ( ( ( ( ( 3  /  4 )  / 
( sqr `  2
) )  +  ( ( 9  /  4
)  x.  ( 5  /  ( 2 ^ 5 ) ) ) )  +  ( ( 1  /  8 )  /  ( sqr `  2
) ) )  x.  ( log `  2
) )  <  (
1  x.  ( log `  2 ) )
33937mulid2i 9510 . . . 4  |-  ( 1  x.  ( log `  2
) )  =  ( log `  2 )
340339eqcomi 2395 . . 3  |-  ( log `  2 )  =  ( 1  x.  ( log `  2 ) )
341338, 166, 3403brtr4i 4395 . 2  |-  ( F `
; 6 4 )  < 
( log `  2
)
342182, 341pm3.2i 453 1  |-  ( ( F ` ; 6 4 )  e.  RR  /\  ( F `
; 6 4 )  < 
( log `  2
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1826    =/= wne 2577   class class class wbr 4367    |-> cmpt 4425   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   CCcc 9401   RRcr 9402   0cc0 9403   1c1 9404    + caddc 9406    x. cmul 9408    < clt 9539    <_ cle 9540    - cmin 9718    / cdiv 10123   NNcn 10452   2c2 10502   3c3 10503   4c4 10504   5c5 10505   6c6 10506   7c7 10507   8c8 10508   9c9 10509   10c10 10510   NN0cn0 10712   ZZcz 10781  ;cdc 10895   RR+crp 11139   ^cexp 12069   sqrcsqrt 13068   logclog 23027
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-inf2 7972  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480  ax-pre-sup 9481  ax-addf 9482  ax-mulf 9483
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-fal 1405  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-iin 4246  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-se 4753  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-isom 5505  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-of 6439  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-supp 6818  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-2o 7049  df-oadd 7052  df-er 7229  df-map 7340  df-pm 7341  df-ixp 7389  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-fsupp 7745  df-fi 7786  df-sup 7816  df-oi 7850  df-card 8233  df-cda 8461  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-4 10513  df-5 10514  df-6 10515  df-7 10516  df-8 10517  df-9 10518  df-10 10519  df-n0 10713  df-z 10782  df-dec 10896  df-uz 11002  df-q 11102  df-rp 11140  df-xneg 11239  df-xadd 11240  df-xmul 11241  df-ioo 11454  df-ioc 11455  df-ico 11456  df-icc 11457  df-fz 11594  df-fzo 11718  df-fl 11828  df-mod 11897  df-seq 12011  df-exp 12070  df-fac 12256  df-bc 12283  df-hash 12308  df-shft 12902  df-cj 12934  df-re 12935  df-im 12936  df-sqrt 13070  df-abs 13071  df-limsup 13296  df-clim 13313  df-rlim 13314  df-sum 13511  df-ef 13805  df-sin 13807  df-cos 13808  df-pi 13810  df-struct 14636  df-ndx 14637  df-slot 14638  df-base 14639  df-sets 14640  df-ress 14641  df-plusg 14715  df-mulr 14716  df-starv 14717  df-sca 14718  df-vsca 14719  df-ip 14720  df-tset 14721  df-ple 14722  df-ds 14724  df-unif 14725  df-hom 14726  df-cco 14727  df-rest 14830  df-topn 14831  df-0g 14849  df-gsum 14850  df-topgen 14851  df-pt 14852  df-prds 14855  df-xrs 14909  df-qtop 14914  df-imas 14915  df-xps 14917  df-mre 14993  df-mrc 14994  df-acs 14996  df-mgm 15989  df-sgrp 16028  df-mnd 16038  df-submnd 16084  df-mulg 16177  df-cntz 16472  df-cmn 16917  df-psmet 18524  df-xmet 18525  df-met 18526  df-bl 18527  df-mopn 18528  df-fbas 18529  df-fg 18530  df-cnfld 18534  df-top 19484  df-bases 19486  df-topon 19487  df-topsp 19488  df-cld 19605  df-ntr 19606  df-cls 19607  df-nei 19685  df-lp 19723  df-perf 19724  df-cn 19814  df-cnp 19815  df-haus 19902  df-tx 20148  df-hmeo 20341  df-fil 20432  df-fm 20524  df-flim 20525  df-flf 20526  df-xms 20908  df-ms 20909  df-tms 20910  df-cncf 21467  df-limc 22355  df-dv 22356  df-log 23029
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