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Theorem bposlem7 24081
Description: Lemma for bpos 24084. The function  F is decreasing. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bposlem7.1  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  n ) ) )  +  ( ( 9  /  4
)  x.  ( G `
 ( n  / 
2 ) ) ) )  +  ( ( log `  2 )  /  ( sqr `  (
2  x.  n ) ) ) ) )
bposlem7.2  |-  G  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log `  x
)  /  x ) )
bposlem7.3  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
bposlem7.4  |-  ( ph  ->  B  e.  NN )
bposlem7.5  |-  ( ph  ->  ( _e ^ 2 )  <_  A )
bposlem7.6  |-  ( ph  ->  ( _e ^ 2 )  <_  B )
Assertion
Ref Expression
bposlem7  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  ->  ( F `  B
)  <  ( F `  A ) ) )
Distinct variable groups:    A, n    B, n    n, G    x, A    x, B
Allowed substitution hints:    ph( x, n)    F( x, n)    G( x)

Proof of Theorem bposlem7
StepHypRef Expression
1 bposlem7.4 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B  e.  NN )
21nnrpd 11339 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
32rpsqrtcld 13452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( sqr `  B
)  e.  RR+ )
4 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( sqr `  B
)  ->  ( log `  x )  =  ( log `  ( sqr `  B ) ) )
5 id 23 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( sqr `  B
)  ->  x  =  ( sqr `  B ) )
64, 5oveq12d 6323 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( sqr `  B
)  ->  ( ( log `  x )  /  x )  =  ( ( log `  ( sqr `  B ) )  /  ( sqr `  B
) ) )
7 bposlem7.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  G  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log `  x
)  /  x ) )
8 ovex 6333 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( log `  ( sqr `  B ) )  / 
( sqr `  B
) )  e.  _V
96, 7, 8fvmpt 5964 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( sqr `  B )  e.  RR+  ->  ( G `
 ( sqr `  B
) )  =  ( ( log `  ( sqr `  B ) )  /  ( sqr `  B
) ) )
103, 9syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( G `  ( sqr `  B ) )  =  ( ( log `  ( sqr `  B
) )  /  ( sqr `  B ) ) )
11 bposlem7.3 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
1211nnrpd 11339 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
1312rpsqrtcld 13452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( sqr `  A
)  e.  RR+ )
14 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( sqr `  A
)  ->  ( log `  x )  =  ( log `  ( sqr `  A ) ) )
15 id 23 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( sqr `  A
)  ->  x  =  ( sqr `  A ) )
1614, 15oveq12d 6323 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( sqr `  A
)  ->  ( ( log `  x )  /  x )  =  ( ( log `  ( sqr `  A ) )  /  ( sqr `  A
) ) )
17 ovex 6333 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( log `  ( sqr `  A ) )  / 
( sqr `  A
) )  e.  _V
1816, 7, 17fvmpt 5964 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( sqr `  A )  e.  RR+  ->  ( G `
 ( sqr `  A
) )  =  ( ( log `  ( sqr `  A ) )  /  ( sqr `  A
) ) )
1913, 18syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( G `  ( sqr `  A ) )  =  ( ( log `  ( sqr `  A
) )  /  ( sqr `  A ) ) )
2010, 19breq12d 4439 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( G `  ( sqr `  B ) )  <  ( G `
 ( sqr `  A
) )  <->  ( ( log `  ( sqr `  B
) )  /  ( sqr `  B ) )  <  ( ( log `  ( sqr `  A
) )  /  ( sqr `  A ) ) ) )
2113rpred 11341 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( sqr `  A
)  e.  RR )
22 bposlem7.5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( _e ^ 2 )  <_  A )
2312rprege0d 11348 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )
)
24 resqrtth 13298 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( ( sqr `  A
) ^ 2 )  =  A )
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  A
) ^ 2 )  =  A )
2622, 25breqtrrd 4452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( _e ^ 2 )  <_  ( ( sqr `  A ) ^
2 ) )
2713rpge0d 11345 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <_  ( sqr `  A ) )
28 ere 14121 . . . . . . . . . . . . 13  |-  _e  e.  RR
29 0re 9642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  RR
30 epos 14237 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <  _e
3129, 28, 30ltleii 9756 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <_  _e
32 le2sq 12346 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( _e  e.  RR  /\  0  <_  _e )  /\  ( ( sqr `  A
)  e.  RR  /\  0  <_  ( sqr `  A
) ) )  -> 
( _e  <_  ( sqr `  A )  <->  ( _e ^ 2 )  <_ 
( ( sqr `  A
) ^ 2 ) ) )
3328, 31, 32mpanl12 686 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( sqr `  A
)  e.  RR  /\  0  <_  ( sqr `  A
) )  ->  (
_e  <_  ( sqr `  A
)  <->  ( _e ^
2 )  <_  (
( sqr `  A
) ^ 2 ) ) )
3421, 27, 33syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( _e  <_  ( sqr `  A )  <->  ( _e ^ 2 )  <_ 
( ( sqr `  A
) ^ 2 ) ) )
3526, 34mpbird 235 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  _e  <_  ( sqr `  A ) )
363rpred 11341 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( sqr `  B
)  e.  RR )
37 bposlem7.6 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( _e ^ 2 )  <_  B )
382rprege0d 11348 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)
39 resqrtth 13298 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  -> 
( ( sqr `  B
) ^ 2 )  =  B )
4038, 39syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  B
) ^ 2 )  =  B )
4137, 40breqtrrd 4452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( _e ^ 2 )  <_  ( ( sqr `  B ) ^
2 ) )
423rpge0d 11345 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <_  ( sqr `  B ) )
43 le2sq 12346 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( _e  e.  RR  /\  0  <_  _e )  /\  ( ( sqr `  B
)  e.  RR  /\  0  <_  ( sqr `  B
) ) )  -> 
( _e  <_  ( sqr `  B )  <->  ( _e ^ 2 )  <_ 
( ( sqr `  B
) ^ 2 ) ) )
4428, 31, 43mpanl12 686 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( sqr `  B
)  e.  RR  /\  0  <_  ( sqr `  B
) )  ->  (
_e  <_  ( sqr `  B
)  <->  ( _e ^
2 )  <_  (
( sqr `  B
) ^ 2 ) ) )
4536, 42, 44syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( _e  <_  ( sqr `  B )  <->  ( _e ^ 2 )  <_ 
( ( sqr `  B
) ^ 2 ) ) )
4641, 45mpbird 235 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  _e  <_  ( sqr `  B ) )
47 logdivlt 23435 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( sqr `  A
)  e.  RR  /\  _e  <_  ( sqr `  A
) )  /\  (
( sqr `  B
)  e.  RR  /\  _e  <_  ( sqr `  B
) ) )  -> 
( ( sqr `  A
)  <  ( sqr `  B )  <->  ( ( log `  ( sqr `  B
) )  /  ( sqr `  B ) )  <  ( ( log `  ( sqr `  A
) )  /  ( sqr `  A ) ) ) )
4821, 35, 36, 46, 47syl22anc 1265 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  A
)  <  ( sqr `  B )  <->  ( ( log `  ( sqr `  B
) )  /  ( sqr `  B ) )  <  ( ( log `  ( sqr `  A
) )  /  ( sqr `  A ) ) ) )
4921, 36, 27, 42lt2sqd 12447 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  A
)  <  ( sqr `  B )  <->  ( ( sqr `  A ) ^
2 )  <  (
( sqr `  B
) ^ 2 ) ) )
5020, 48, 493bitr2rd 285 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( sqr `  A ) ^ 2 )  <  ( ( sqr `  B ) ^ 2 )  <->  ( G `  ( sqr `  B
) )  <  ( G `  ( sqr `  A ) ) ) )
5125, 40breq12d 4439 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( sqr `  A ) ^ 2 )  <  ( ( sqr `  B ) ^ 2 )  <->  A  <  B ) )
52 relogcl 23390 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( log `  x )  e.  RR )
53 rerpdivcl 11330 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( log `  x
)  e.  RR  /\  x  e.  RR+ )  -> 
( ( log `  x
)  /  x )  e.  RR )
5452, 53mpancom 673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( ( log `  x )  /  x )  e.  RR )
557, 54fmpti 6060 . . . . . . . . . . 11  |-  G : RR+
--> RR
5655ffvelrni 6036 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( sqr `  B )  e.  RR+  ->  ( G `
 ( sqr `  B
) )  e.  RR )
573, 56syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G `  ( sqr `  B ) )  e.  RR )
5855ffvelrni 6036 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( sqr `  A )  e.  RR+  ->  ( G `
 ( sqr `  A
) )  e.  RR )
5913, 58syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G `  ( sqr `  A ) )  e.  RR )
60 2rp 11307 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  RR+
61 rpsqrtcl 13307 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  e.  RR+  ->  ( sqr `  2 )  e.  RR+ )
6260, 61mp1i 13 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( sqr `  2
)  e.  RR+ )
6357, 59, 62ltmul2d 11380 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( G `  ( sqr `  B ) )  <  ( G `
 ( sqr `  A
) )  <->  ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  B ) ) )  <  ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  A ) ) ) ) )
6450, 51, 633bitr3d 286 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  <->  ( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  B
) ) )  < 
( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  A
) ) ) ) )
6564biimpd 210 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  ->  ( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  B
) ) )  < 
( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  A
) ) ) ) )
6611nnred 10624 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
671nnred 10624 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
68 2re 10679 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  RR
69 2pos 10701 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  2
7068, 69pm3.2i 456 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
7170a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )
72 ltdiv1 10468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( A  < 
B  <->  ( A  / 
2 )  <  ( B  /  2 ) ) )
7366, 67, 71, 72syl3anc 1264 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  <->  ( A  /  2 )  <  ( B  / 
2 ) ) )
7412rphalfcld 11353 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A  /  2
)  e.  RR+ )
7574rpred 11341 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  /  2
)  e.  RR )
7628, 68remulcli 9656 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( _e  x.  2 )  e.  RR
7776a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( _e  x.  2 )  e.  RR )
7828resqcli 12357 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( _e
^ 2 )  e.  RR
7978a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( _e ^ 2 )  e.  RR )
80 egt2lt3 14236 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2  <  _e  /\  _e  <  3 )
8180simpli 459 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  <  _e
8268, 28, 81ltleii 9756 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  <_  _e
8368, 28, 28lemul2i 10530 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0  <  _e  ->  (
2  <_  _e  <->  ( _e  x.  2 )  <_  (
_e  x.  _e )
) )
8430, 83ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2  <_  _e  <->  ( _e  x.  2 )  <_  (
_e  x.  _e )
)
8582, 84mpbi 211 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( _e  x.  2 )  <_ 
( _e  x.  _e )
8628recni 9654 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  _e  e.  CC
8786sqvali 12351 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( _e
^ 2 )  =  ( _e  x.  _e )
8885, 87breqtrri 4451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( _e  x.  2 )  <_ 
( _e ^ 2 )
8988a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( _e  x.  2 )  <_  ( _e ^ 2 ) )
9077, 79, 66, 89, 22letrd 9791 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( _e  x.  2 )  <_  A )
91 lemuldiv 10485 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( _e  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( _e  x.  2 )  <_  A 
<->  _e  <_  ( A  /  2 ) ) )
9228, 70, 91mp3an13 1351 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( _e  x.  2 )  <_  A  <->  _e  <_  ( A  /  2 ) ) )
9366, 92syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( _e  x.  2 )  <_  A  <->  _e 
<_  ( A  /  2
) ) )
9490, 93mpbid 213 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  _e  <_  ( A  /  2 ) )
952rphalfcld 11353 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( B  /  2
)  e.  RR+ )
9695rpred 11341 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( B  /  2
)  e.  RR )
9777, 79, 67, 89, 37letrd 9791 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( _e  x.  2 )  <_  B )
98 lemuldiv 10485 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( _e  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( _e  x.  2 )  <_  B 
<->  _e  <_  ( B  /  2 ) ) )
9928, 70, 98mp3an13 1351 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  RR  ->  (
( _e  x.  2 )  <_  B  <->  _e  <_  ( B  /  2 ) ) )
10067, 99syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( _e  x.  2 )  <_  B  <->  _e 
<_  ( B  /  2
) ) )
10197, 100mpbid 213 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  _e  <_  ( B  /  2 ) )
102 logdivlt 23435 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  / 
2 )  e.  RR  /\  _e  <_  ( A  /  2 ) )  /\  ( ( B  /  2 )  e.  RR  /\  _e  <_  ( B  /  2 ) ) )  ->  (
( A  /  2
)  <  ( B  /  2 )  <->  ( ( log `  ( B  / 
2 ) )  / 
( B  /  2
) )  <  (
( log `  ( A  /  2 ) )  /  ( A  / 
2 ) ) ) )
10375, 94, 96, 101, 102syl22anc 1265 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( A  / 
2 )  <  ( B  /  2 )  <->  ( ( log `  ( B  / 
2 ) )  / 
( B  /  2
) )  <  (
( log `  ( A  /  2 ) )  /  ( A  / 
2 ) ) ) )
10473, 103bitrd 256 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  <->  ( ( log `  ( B  /  2 ) )  /  ( B  / 
2 ) )  < 
( ( log `  ( A  /  2 ) )  /  ( A  / 
2 ) ) ) )
105 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( B  / 
2 )  ->  ( log `  x )  =  ( log `  ( B  /  2 ) ) )
106 id 23 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( B  / 
2 )  ->  x  =  ( B  / 
2 ) )
107105, 106oveq12d 6323 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( B  / 
2 )  ->  (
( log `  x
)  /  x )  =  ( ( log `  ( B  /  2
) )  /  ( B  /  2 ) ) )
108 ovex 6333 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( log `  ( B  /  2 ) )  /  ( B  / 
2 ) )  e. 
_V
109107, 7, 108fvmpt 5964 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  /  2 )  e.  RR+  ->  ( G `
 ( B  / 
2 ) )  =  ( ( log `  ( B  /  2 ) )  /  ( B  / 
2 ) ) )
11095, 109syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G `  ( B  /  2 ) )  =  ( ( log `  ( B  /  2
) )  /  ( B  /  2 ) ) )
111 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( A  / 
2 )  ->  ( log `  x )  =  ( log `  ( A  /  2 ) ) )
112 id 23 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( A  / 
2 )  ->  x  =  ( A  / 
2 ) )
113111, 112oveq12d 6323 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( A  / 
2 )  ->  (
( log `  x
)  /  x )  =  ( ( log `  ( A  /  2
) )  /  ( A  /  2 ) ) )
114 ovex 6333 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( log `  ( A  /  2 ) )  /  ( A  / 
2 ) )  e. 
_V
115113, 7, 114fvmpt 5964 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  /  2 )  e.  RR+  ->  ( G `
 ( A  / 
2 ) )  =  ( ( log `  ( A  /  2 ) )  /  ( A  / 
2 ) ) )
11674, 115syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G `  ( A  /  2 ) )  =  ( ( log `  ( A  /  2
) )  /  ( A  /  2 ) ) )
117110, 116breq12d 4439 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( G `  ( B  /  2
) )  <  ( G `  ( A  /  2 ) )  <-> 
( ( log `  ( B  /  2 ) )  /  ( B  / 
2 ) )  < 
( ( log `  ( A  /  2 ) )  /  ( A  / 
2 ) ) ) )
11855ffvelrni 6036 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  /  2 )  e.  RR+  ->  ( G `
 ( B  / 
2 ) )  e.  RR )
11995, 118syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G `  ( B  /  2 ) )  e.  RR )
12055ffvelrni 6036 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  /  2 )  e.  RR+  ->  ( G `
 ( A  / 
2 ) )  e.  RR )
12174, 120syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G `  ( A  /  2 ) )  e.  RR )
122 9nn 10774 . . . . . . . . . . 11  |-  9  e.  NN
123 4nn 10769 . . . . . . . . . . 11  |-  4  e.  NN
124 nnrp 11311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 9  e.  NN  ->  9  e.  RR+ )
125 nnrp 11311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 4  e.  NN  ->  4  e.  RR+ )
126 rpdivcl 11325 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 9  e.  RR+  /\  4  e.  RR+ )  ->  (
9  /  4 )  e.  RR+ )
127124, 125, 126syl2an 479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 9  e.  NN  /\  4  e.  NN )  ->  ( 9  /  4
)  e.  RR+ )
128122, 123, 127mp2an 676 . . . . . . . . . 10  |-  ( 9  /  4 )  e.  RR+
129128a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 9  /  4
)  e.  RR+ )
130119, 121, 129ltmul2d 11380 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( G `  ( B  /  2
) )  <  ( G `  ( A  /  2 ) )  <-> 
( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( B  /  2 ) ) )  <  ( ( 9  /  4 )  x.  ( G `  ( A  /  2
) ) ) ) )
131104, 117, 1303bitr2d 284 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  <->  ( ( 9  /  4
)  x.  ( G `
 ( B  / 
2 ) ) )  <  ( ( 9  /  4 )  x.  ( G `  ( A  /  2 ) ) ) ) )
132131biimpd 210 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  ->  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( B  /  2 ) ) )  <  ( ( 9  /  4 )  x.  ( G `  ( A  /  2
) ) ) ) )
13365, 132jcad 535 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  ->  ( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  B ) ) )  <  ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  A ) ) )  /\  (
( 9  /  4
)  x.  ( G `
 ( B  / 
2 ) ) )  <  ( ( 9  /  4 )  x.  ( G `  ( A  /  2 ) ) ) ) ) )
134 sqrt2re 14280 . . . . . . 7  |-  ( sqr `  2 )  e.  RR
135 remulcl 9623 . . . . . . 7  |-  ( ( ( sqr `  2
)  e.  RR  /\  ( G `  ( sqr `  B ) )  e.  RR )  ->  (
( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  B
) ) )  e.  RR )
136134, 57, 135sylancr 667 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  B
) ) )  e.  RR )
137 9re 10696 . . . . . . . 8  |-  9  e.  RR
138 4re 10686 . . . . . . . 8  |-  4  e.  RR
139 4ne0 10706 . . . . . . . 8  |-  4  =/=  0
140137, 138, 139redivcli 10373 . . . . . . 7  |-  ( 9  /  4 )  e.  RR
141 remulcl 9623 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 9  /  4
)  e.  RR  /\  ( G `  ( B  /  2 ) )  e.  RR )  -> 
( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( B  /  2 ) ) )  e.  RR )
142140, 119, 141sylancr 667 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( B  /  2 ) ) )  e.  RR )
143 remulcl 9623 . . . . . . 7  |-  ( ( ( sqr `  2
)  e.  RR  /\  ( G `  ( sqr `  A ) )  e.  RR )  ->  (
( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  A
) ) )  e.  RR )
144134, 59, 143sylancr 667 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  A
) ) )  e.  RR )
145 remulcl 9623 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 9  /  4
)  e.  RR  /\  ( G `  ( A  /  2 ) )  e.  RR )  -> 
( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( A  /  2 ) ) )  e.  RR )
146140, 121, 145sylancr 667 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( A  /  2 ) ) )  e.  RR )
147 lt2add 10098 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  B ) ) )  e.  RR  /\  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( B  /  2 ) ) )  e.  RR )  /\  ( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  A ) ) )  e.  RR  /\  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( A  /  2 ) ) )  e.  RR ) )  ->  ( (
( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  B
) ) )  < 
( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  A
) ) )  /\  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( B  /  2 ) ) )  <  ( ( 9  /  4 )  x.  ( G `  ( A  /  2
) ) ) )  ->  ( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  B ) ) )  +  ( ( 9  /  4
)  x.  ( G `
 ( B  / 
2 ) ) ) )  <  ( ( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  A
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( A  /  2 ) ) ) ) ) )
148136, 142, 144, 146, 147syl22anc 1265 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  B ) ) )  <  (
( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  A
) ) )  /\  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( B  /  2 ) ) )  <  ( ( 9  /  4 )  x.  ( G `  ( A  /  2
) ) ) )  ->  ( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  B ) ) )  +  ( ( 9  /  4
)  x.  ( G `
 ( B  / 
2 ) ) ) )  <  ( ( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  A
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( A  /  2 ) ) ) ) ) )
149133, 148syld 45 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  ->  ( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  B ) ) )  +  ( ( 9  /  4 )  x.  ( G `  ( B  /  2
) ) ) )  <  ( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  A ) ) )  +  ( ( 9  /  4
)  x.  ( G `
 ( A  / 
2 ) ) ) ) ) )
150 ltmul2 10455 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( A  < 
B  <->  ( 2  x.  A )  <  (
2  x.  B ) ) )
15166, 67, 71, 150syl3anc 1264 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  <->  ( 2  x.  A )  <  ( 2  x.  B ) ) )
152 rpmulcl 11324 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  A  e.  RR+ )  ->  (
2  x.  A )  e.  RR+ )
15360, 12, 152sylancr 667 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  A
)  e.  RR+ )
154153rpsqrtcld 13452 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( sqr `  (
2  x.  A ) )  e.  RR+ )
155 rpmulcl 11324 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  (
2  x.  B )  e.  RR+ )
15660, 2, 155sylancr 667 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  B
)  e.  RR+ )
157156rpsqrtcld 13452 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( sqr `  (
2  x.  B ) )  e.  RR+ )
158 rprege0 11316 . . . . . . . . 9  |-  ( ( sqr `  ( 2  x.  A ) )  e.  RR+  ->  ( ( sqr `  ( 2  x.  A ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( sqr `  (
2  x.  A ) ) ) )
159 rprege0 11316 . . . . . . . . 9  |-  ( ( sqr `  ( 2  x.  B ) )  e.  RR+  ->  ( ( sqr `  ( 2  x.  B ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( sqr `  (
2  x.  B ) ) ) )
160 lt2sq 12345 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( sqr `  (
2  x.  A ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( sqr `  (
2  x.  A ) ) )  /\  (
( sqr `  (
2  x.  B ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( sqr `  (
2  x.  B ) ) ) )  -> 
( ( sqr `  (
2  x.  A ) )  <  ( sqr `  ( 2  x.  B
) )  <->  ( ( sqr `  ( 2  x.  A ) ) ^
2 )  <  (
( sqr `  (
2  x.  B ) ) ^ 2 ) ) )
161158, 159, 160syl2an 479 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( sqr `  (
2  x.  A ) )  e.  RR+  /\  ( sqr `  ( 2  x.  B ) )  e.  RR+ )  ->  ( ( sqr `  ( 2  x.  A ) )  <  ( sqr `  (
2  x.  B ) )  <->  ( ( sqr `  ( 2  x.  A
) ) ^ 2 )  <  ( ( sqr `  ( 2  x.  B ) ) ^ 2 ) ) )
162154, 157, 161syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  (
2  x.  A ) )  <  ( sqr `  ( 2  x.  B
) )  <->  ( ( sqr `  ( 2  x.  A ) ) ^
2 )  <  (
( sqr `  (
2  x.  B ) ) ^ 2 ) ) )
163153rprege0d 11348 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  A )  e.  RR  /\  0  <_  ( 2  x.  A ) ) )
164 resqrtth 13298 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2  x.  A
)  e.  RR  /\  0  <_  ( 2  x.  A ) )  -> 
( ( sqr `  (
2  x.  A ) ) ^ 2 )  =  ( 2  x.  A ) )
165163, 164syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  (
2  x.  A ) ) ^ 2 )  =  ( 2  x.  A ) )
166156rprege0d 11348 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  B )  e.  RR  /\  0  <_  ( 2  x.  B ) ) )
167 resqrtth 13298 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2  x.  B
)  e.  RR  /\  0  <_  ( 2  x.  B ) )  -> 
( ( sqr `  (
2  x.  B ) ) ^ 2 )  =  ( 2  x.  B ) )
168166, 167syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  (
2  x.  B ) ) ^ 2 )  =  ( 2  x.  B ) )
169165, 168breq12d 4439 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  A
) ) ^ 2 )  <  ( ( sqr `  ( 2  x.  B ) ) ^ 2 )  <->  ( 2  x.  A )  < 
( 2  x.  B
) ) )
170162, 169bitr2d 257 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  A )  <  (
2  x.  B )  <-> 
( sqr `  (
2  x.  A ) )  <  ( sqr `  ( 2  x.  B
) ) ) )
171 1lt2 10776 . . . . . . . . 9  |-  1  <  2
172 rplogcl 23418 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  1  <  2 )  -> 
( log `  2
)  e.  RR+ )
17368, 171, 172mp2an 676 . . . . . . . 8  |-  ( log `  2 )  e.  RR+
174173a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( log `  2
)  e.  RR+ )
175154, 157, 174ltdiv2d 11364 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  (
2  x.  A ) )  <  ( sqr `  ( 2  x.  B
) )  <->  ( ( log `  2 )  / 
( sqr `  (
2  x.  B ) ) )  <  (
( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  A
) ) ) ) )
176151, 170, 1753bitrd 282 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  <->  ( ( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  B
) ) )  < 
( ( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  A
) ) ) ) )
177176biimpd 210 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  ->  ( ( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  B
) ) )  < 
( ( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  A
) ) ) ) )
178149, 177jcad 535 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  ->  ( ( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  B ) ) )  +  ( ( 9  /  4
)  x.  ( G `
 ( B  / 
2 ) ) ) )  <  ( ( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  A
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( A  /  2 ) ) ) )  /\  (
( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  B
) ) )  < 
( ( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  A
) ) ) ) ) )
179136, 142readdcld 9669 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  B ) ) )  +  ( ( 9  /  4 )  x.  ( G `  ( B  /  2
) ) ) )  e.  RR )
180 rpre 11308 . . . . . 6  |-  ( ( log `  2 )  e.  RR+  ->  ( log `  2 )  e.  RR )
181173, 180ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( log `  2 )  e.  RR
182 rerpdivcl 11330 . . . . 5  |-  ( ( ( log `  2
)  e.  RR  /\  ( sqr `  ( 2  x.  B ) )  e.  RR+ )  ->  (
( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  B
) ) )  e.  RR )
183181, 157, 182sylancr 667 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  B
) ) )  e.  RR )
184144, 146readdcld 9669 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  A ) ) )  +  ( ( 9  /  4 )  x.  ( G `  ( A  /  2
) ) ) )  e.  RR )
185 rerpdivcl 11330 . . . . 5  |-  ( ( ( log `  2
)  e.  RR  /\  ( sqr `  ( 2  x.  A ) )  e.  RR+ )  ->  (
( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  A
) ) )  e.  RR )
186181, 154, 185sylancr 667 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  A
) ) )  e.  RR )
187 lt2add 10098 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  B ) ) )  +  ( ( 9  /  4
)  x.  ( G `
 ( B  / 
2 ) ) ) )  e.  RR  /\  ( ( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  B
) ) )  e.  RR )  /\  (
( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  A ) ) )  +  ( ( 9  /  4 )  x.  ( G `  ( A  /  2
) ) ) )  e.  RR  /\  (
( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  A
) ) )  e.  RR ) )  -> 
( ( ( ( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  B
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( B  /  2 ) ) ) )  <  (
( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  A
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( A  /  2 ) ) ) )  /\  (
( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  B
) ) )  < 
( ( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  A
) ) ) )  ->  ( ( ( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  B
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( B  /  2 ) ) ) )  +  ( ( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  B
) ) ) )  <  ( ( ( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  A
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( A  /  2 ) ) ) )  +  ( ( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  A
) ) ) ) ) )
188179, 183, 184, 186, 187syl22anc 1265 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  B
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( B  /  2 ) ) ) )  <  (
( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  A
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( A  /  2 ) ) ) )  /\  (
( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  B
) ) )  < 
( ( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  A
) ) ) )  ->  ( ( ( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  B
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( B  /  2 ) ) ) )  +  ( ( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  B
) ) ) )  <  ( ( ( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  A
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( A  /  2 ) ) ) )  +  ( ( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  A
) ) ) ) ) )
189178, 188syld 45 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  ->  ( ( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  B ) ) )  +  ( ( 9  /  4
)  x.  ( G `
 ( B  / 
2 ) ) ) )  +  ( ( log `  2 )  /  ( sqr `  (
2  x.  B ) ) ) )  < 
( ( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  A ) ) )  +  ( ( 9  /  4
)  x.  ( G `
 ( A  / 
2 ) ) ) )  +  ( ( log `  2 )  /  ( sqr `  (
2  x.  A ) ) ) ) ) )
190 fveq2 5881 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  B  ->  ( sqr `  n )  =  ( sqr `  B
) )
191190fveq2d 5885 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  B  ->  ( G `  ( sqr `  n ) )  =  ( G `  ( sqr `  B ) ) )
192191oveq2d 6321 . . . . . . 7  |-  ( n  =  B  ->  (
( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  n
) ) )  =  ( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  B
) ) ) )
193 oveq1 6312 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  B  ->  (
n  /  2 )  =  ( B  / 
2 ) )
194193fveq2d 5885 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  B  ->  ( G `  ( n  /  2 ) )  =  ( G `  ( B  /  2
) ) )
195194oveq2d 6321 . . . . . . 7  |-  ( n  =  B  ->  (
( 9  /  4
)  x.  ( G `
 ( n  / 
2 ) ) )  =  ( ( 9  /  4 )  x.  ( G `  ( B  /  2 ) ) ) )
196192, 195oveq12d 6323 . . . . . 6  |-  ( n  =  B  ->  (
( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  n
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( n  /  2 ) ) ) )  =  ( ( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  B
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( B  /  2 ) ) ) ) )
197 oveq2 6313 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  B  ->  (
2  x.  n )  =  ( 2  x.  B ) )
198197fveq2d 5885 . . . . . . 7  |-  ( n  =  B  ->  ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  =  ( sqr `  (
2  x.  B ) ) )
199198oveq2d 6321 . . . . . 6  |-  ( n  =  B  ->  (
( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  n
) ) )  =  ( ( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  B
) ) ) )
200196, 199oveq12d 6323 . . . . 5  |-  ( n  =  B  ->  (
( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  n ) ) )  +  ( ( 9  /  4 )  x.  ( G `  ( n  /  2
) ) ) )  +  ( ( log `  2 )  / 
( sqr `  (
2  x.  n ) ) ) )  =  ( ( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  B ) ) )  +  ( ( 9  /  4
)  x.  ( G `
 ( B  / 
2 ) ) ) )  +  ( ( log `  2 )  /  ( sqr `  (
2  x.  B ) ) ) ) )
201 bposlem7.1 . . . . 5  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  n ) ) )  +  ( ( 9  /  4
)  x.  ( G `
 ( n  / 
2 ) ) ) )  +  ( ( log `  2 )  /  ( sqr `  (
2  x.  n ) ) ) ) )
202 ovex 6333 . . . . 5  |-  ( ( ( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  B
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( B  /  2 ) ) ) )  +  ( ( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  B
) ) ) )  e.  _V
203200, 201, 202fvmpt 5964 . . . 4  |-  ( B  e.  NN  ->  ( F `  B )  =  ( ( ( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  B
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( B  /  2 ) ) ) )  +  ( ( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  B
) ) ) ) )
2041, 203syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  B
)  =  ( ( ( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  B
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( B  /  2 ) ) ) )  +  ( ( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  B
) ) ) ) )
205 fveq2 5881 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  A  ->  ( sqr `  n )  =  ( sqr `  A
) )
206205fveq2d 5885 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  A  ->  ( G `  ( sqr `  n ) )  =  ( G `  ( sqr `  A ) ) )
207206oveq2d 6321 . . . . . . 7  |-  ( n  =  A  ->  (
( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  n
) ) )  =  ( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  A
) ) ) )
208 oveq1 6312 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  A  ->  (
n  /  2 )  =  ( A  / 
2 ) )
209208fveq2d 5885 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  A  ->  ( G `  ( n  /  2 ) )  =  ( G `  ( A  /  2
) ) )
210209oveq2d 6321 . . . . . . 7  |-  ( n  =  A  ->  (
( 9  /  4
)  x.  ( G `
 ( n  / 
2 ) ) )  =  ( ( 9  /  4 )  x.  ( G `  ( A  /  2 ) ) ) )
211207, 210oveq12d 6323 . . . . . 6  |-  ( n  =  A  ->  (
( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  n
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( n  /  2 ) ) ) )  =  ( ( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  A
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( A  /  2 ) ) ) ) )
212 oveq2 6313 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  A  ->  (
2  x.  n )  =  ( 2  x.  A ) )
213212fveq2d 5885 . . . . . . 7  |-  ( n  =  A  ->  ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  =  ( sqr `  (
2  x.  A ) ) )
214213oveq2d 6321 . . . . . 6  |-  ( n  =  A  ->  (
( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  n
) ) )  =  ( ( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  A
) ) ) )
215211, 214oveq12d 6323 . . . . 5  |-  ( n  =  A  ->  (
( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  n ) ) )  +  ( ( 9  /  4 )  x.  ( G `  ( n  /  2
) ) ) )  +  ( ( log `  2 )  / 
( sqr `  (
2  x.  n ) ) ) )  =  ( ( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  A ) ) )  +  ( ( 9  /  4
)  x.  ( G `
 ( A  / 
2 ) ) ) )  +  ( ( log `  2 )  /  ( sqr `  (
2  x.  A ) ) ) ) )
216 ovex 6333 . . . . 5  |-  ( ( ( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  A
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( A  /  2 ) ) ) )  +  ( ( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  A
) ) ) )  e.  _V
217215, 201, 216fvmpt 5964 . . . 4  |-  ( A  e.  NN  ->  ( F `  A )  =  ( ( ( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  A
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( A  /  2 ) ) ) )  +  ( ( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  A
) ) ) ) )
21811, 217syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  A
)  =  ( ( ( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  A
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( A  /  2 ) ) ) )  +  ( ( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  A
) ) ) ) )
219204, 218breq12d 4439 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F `  B )  <  ( F `  A )  <->  ( ( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  B ) ) )  +  ( ( 9  /  4 )  x.  ( G `  ( B  /  2
) ) ) )  +  ( ( log `  2 )  / 
( sqr `  (
2  x.  B ) ) ) )  < 
( ( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  A ) ) )  +  ( ( 9  /  4
)  x.  ( G `
 ( A  / 
2 ) ) ) )  +  ( ( log `  2 )  /  ( sqr `  (
2  x.  A ) ) ) ) ) )
220189, 219sylibrd 237 1  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  ->  ( F `  B
)  <  ( F `  A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870   class class class wbr 4426    |-> cmpt 4484   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   RRcr 9537   0cc0 9538   1c1 9539    + caddc 9541    x. cmul 9543    < clt 9674    <_ cle 9675    / cdiv 10268   NNcn 10609   2c2 10659   3c3 10660   4c4 10661   9c9 10666   RR+crp 11302   ^cexp 12269   sqrcsqrt 13275   _eceu 14093   logclog 23369
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616  ax-addf 9617  ax-mulf 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-fi 7931  df-sup 7962  df-inf 7963  df-oi 8025  df-card 8372  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-fl 12025  df-mod 12094  df-seq 12211  df-exp 12270  df-fac 12457  df-bc 12485  df-hash 12513  df-shft 13109  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-limsup 13504  df-clim 13530  df-rlim 13531  df-sum 13731  df-ef 14099  df-e 14100  df-sin 14101  df-cos 14102  df-pi 14104  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-starv 15167  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-ip 15170  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-unif 15175  df-hom 15176  df-cco 15177  df-rest 15280  df-topn 15281  df-0g 15299  df-gsum 15300  df-topgen 15301  df-pt 15302  df-prds 15305  df-xrs 15359  df-qtop 15364  df-imas 15365  df-xps 15367  df-mre 15443  df-mrc 15444  df-acs 15446  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-submnd 16534  df-mulg 16627  df-cntz 16922  df-cmn 17367  df-psmet 18897  df-xmet 18898  df-met 18899  df-bl 18900  df-mopn 18901  df-fbas 18902  df-fg 18903  df-cnfld 18906  df-top 19852  df-bases 19853  df-topon 19854  df-topsp 19855  df-cld 19965  df-ntr 19966  df-cls 19967  df-nei 20045  df-lp 20083  df-perf 20084  df-cn 20174  df-cnp 20175  df-haus 20262  df-tx 20508  df-hmeo 20701  df-fil 20792  df-fm 20884  df-flim 20885  df-flf 20886  df-xms 21266  df-ms 21267  df-tms 21268  df-cncf 21806  df-limc 22698  df-dv 22699  df-log 23371
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