MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bposlem7 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem bposlem7 24211
Description: Lemma for bpos 24214. The function  F is decreasing. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bposlem7.1  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  n ) ) )  +  ( ( 9  /  4
)  x.  ( G `
 ( n  / 
2 ) ) ) )  +  ( ( log `  2 )  /  ( sqr `  (
2  x.  n ) ) ) ) )
bposlem7.2  |-  G  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log `  x
)  /  x ) )
bposlem7.3  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
bposlem7.4  |-  ( ph  ->  B  e.  NN )
bposlem7.5  |-  ( ph  ->  ( _e ^ 2 )  <_  A )
bposlem7.6  |-  ( ph  ->  ( _e ^ 2 )  <_  B )
Assertion
Ref Expression
bposlem7  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  ->  ( F `  B
)  <  ( F `  A ) ) )
Distinct variable groups:    A, n    B, n    n, G    x, A    x, B
Allowed substitution hints:    ph( x, n)    F( x, n)    G( x)

Proof of Theorem bposlem7
StepHypRef Expression
1 bposlem7.4 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B  e.  NN )
21nnrpd 11336 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
32rpsqrtcld 13466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( sqr `  B
)  e.  RR+ )
4 fveq2 5863 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( sqr `  B
)  ->  ( log `  x )  =  ( log `  ( sqr `  B ) ) )
5 id 22 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( sqr `  B
)  ->  x  =  ( sqr `  B ) )
64, 5oveq12d 6306 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( sqr `  B
)  ->  ( ( log `  x )  /  x )  =  ( ( log `  ( sqr `  B ) )  /  ( sqr `  B
) ) )
7 bposlem7.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  G  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log `  x
)  /  x ) )
8 ovex 6316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( log `  ( sqr `  B ) )  / 
( sqr `  B
) )  e.  _V
96, 7, 8fvmpt 5946 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( sqr `  B )  e.  RR+  ->  ( G `
 ( sqr `  B
) )  =  ( ( log `  ( sqr `  B ) )  /  ( sqr `  B
) ) )
103, 9syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( G `  ( sqr `  B ) )  =  ( ( log `  ( sqr `  B
) )  /  ( sqr `  B ) ) )
11 bposlem7.3 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
1211nnrpd 11336 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
1312rpsqrtcld 13466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( sqr `  A
)  e.  RR+ )
14 fveq2 5863 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( sqr `  A
)  ->  ( log `  x )  =  ( log `  ( sqr `  A ) ) )
15 id 22 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( sqr `  A
)  ->  x  =  ( sqr `  A ) )
1614, 15oveq12d 6306 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( sqr `  A
)  ->  ( ( log `  x )  /  x )  =  ( ( log `  ( sqr `  A ) )  /  ( sqr `  A
) ) )
17 ovex 6316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( log `  ( sqr `  A ) )  / 
( sqr `  A
) )  e.  _V
1816, 7, 17fvmpt 5946 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( sqr `  A )  e.  RR+  ->  ( G `
 ( sqr `  A
) )  =  ( ( log `  ( sqr `  A ) )  /  ( sqr `  A
) ) )
1913, 18syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( G `  ( sqr `  A ) )  =  ( ( log `  ( sqr `  A
) )  /  ( sqr `  A ) ) )
2010, 19breq12d 4414 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( G `  ( sqr `  B ) )  <  ( G `
 ( sqr `  A
) )  <->  ( ( log `  ( sqr `  B
) )  /  ( sqr `  B ) )  <  ( ( log `  ( sqr `  A
) )  /  ( sqr `  A ) ) ) )
2113rpred 11338 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( sqr `  A
)  e.  RR )
22 bposlem7.5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( _e ^ 2 )  <_  A )
2312rprege0d 11345 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )
)
24 resqrtth 13312 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( ( sqr `  A
) ^ 2 )  =  A )
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  A
) ^ 2 )  =  A )
2622, 25breqtrrd 4428 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( _e ^ 2 )  <_  ( ( sqr `  A ) ^
2 ) )
2713rpge0d 11342 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <_  ( sqr `  A ) )
28 ere 14136 . . . . . . . . . . . . 13  |-  _e  e.  RR
29 0re 9640 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  RR
30 epos 14252 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <  _e
3129, 28, 30ltleii 9754 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <_  _e
32 le2sq 12346 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( _e  e.  RR  /\  0  <_  _e )  /\  ( ( sqr `  A
)  e.  RR  /\  0  <_  ( sqr `  A
) ) )  -> 
( _e  <_  ( sqr `  A )  <->  ( _e ^ 2 )  <_ 
( ( sqr `  A
) ^ 2 ) ) )
3328, 31, 32mpanl12 687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( sqr `  A
)  e.  RR  /\  0  <_  ( sqr `  A
) )  ->  (
_e  <_  ( sqr `  A
)  <->  ( _e ^
2 )  <_  (
( sqr `  A
) ^ 2 ) ) )
3421, 27, 33syl2anc 666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( _e  <_  ( sqr `  A )  <->  ( _e ^ 2 )  <_ 
( ( sqr `  A
) ^ 2 ) ) )
3526, 34mpbird 236 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  _e  <_  ( sqr `  A ) )
363rpred 11338 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( sqr `  B
)  e.  RR )
37 bposlem7.6 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( _e ^ 2 )  <_  B )
382rprege0d 11345 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)
39 resqrtth 13312 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  -> 
( ( sqr `  B
) ^ 2 )  =  B )
4038, 39syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  B
) ^ 2 )  =  B )
4137, 40breqtrrd 4428 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( _e ^ 2 )  <_  ( ( sqr `  B ) ^
2 ) )
423rpge0d 11342 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <_  ( sqr `  B ) )
43 le2sq 12346 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( _e  e.  RR  /\  0  <_  _e )  /\  ( ( sqr `  B
)  e.  RR  /\  0  <_  ( sqr `  B
) ) )  -> 
( _e  <_  ( sqr `  B )  <->  ( _e ^ 2 )  <_ 
( ( sqr `  B
) ^ 2 ) ) )
4428, 31, 43mpanl12 687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( sqr `  B
)  e.  RR  /\  0  <_  ( sqr `  B
) )  ->  (
_e  <_  ( sqr `  B
)  <->  ( _e ^
2 )  <_  (
( sqr `  B
) ^ 2 ) ) )
4536, 42, 44syl2anc 666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( _e  <_  ( sqr `  B )  <->  ( _e ^ 2 )  <_ 
( ( sqr `  B
) ^ 2 ) ) )
4641, 45mpbird 236 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  _e  <_  ( sqr `  B ) )
47 logdivlt 23563 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( sqr `  A
)  e.  RR  /\  _e  <_  ( sqr `  A
) )  /\  (
( sqr `  B
)  e.  RR  /\  _e  <_  ( sqr `  B
) ) )  -> 
( ( sqr `  A
)  <  ( sqr `  B )  <->  ( ( log `  ( sqr `  B
) )  /  ( sqr `  B ) )  <  ( ( log `  ( sqr `  A
) )  /  ( sqr `  A ) ) ) )
4821, 35, 36, 46, 47syl22anc 1268 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  A
)  <  ( sqr `  B )  <->  ( ( log `  ( sqr `  B
) )  /  ( sqr `  B ) )  <  ( ( log `  ( sqr `  A
) )  /  ( sqr `  A ) ) ) )
4921, 36, 27, 42lt2sqd 12447 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  A
)  <  ( sqr `  B )  <->  ( ( sqr `  A ) ^
2 )  <  (
( sqr `  B
) ^ 2 ) ) )
5020, 48, 493bitr2rd 286 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( sqr `  A ) ^ 2 )  <  ( ( sqr `  B ) ^ 2 )  <->  ( G `  ( sqr `  B
) )  <  ( G `  ( sqr `  A ) ) ) )
5125, 40breq12d 4414 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( sqr `  A ) ^ 2 )  <  ( ( sqr `  B ) ^ 2 )  <->  A  <  B ) )
52 relogcl 23518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( log `  x )  e.  RR )
53 rerpdivcl 11327 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( log `  x
)  e.  RR  /\  x  e.  RR+ )  -> 
( ( log `  x
)  /  x )  e.  RR )
5452, 53mpancom 674 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( ( log `  x )  /  x )  e.  RR )
557, 54fmpti 6043 . . . . . . . . . . 11  |-  G : RR+
--> RR
5655ffvelrni 6019 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( sqr `  B )  e.  RR+  ->  ( G `
 ( sqr `  B
) )  e.  RR )
573, 56syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G `  ( sqr `  B ) )  e.  RR )
5855ffvelrni 6019 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( sqr `  A )  e.  RR+  ->  ( G `
 ( sqr `  A
) )  e.  RR )
5913, 58syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G `  ( sqr `  A ) )  e.  RR )
60 2rp 11304 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  RR+
61 rpsqrtcl 13321 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  e.  RR+  ->  ( sqr `  2 )  e.  RR+ )
6260, 61mp1i 13 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( sqr `  2
)  e.  RR+ )
6357, 59, 62ltmul2d 11377 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( G `  ( sqr `  B ) )  <  ( G `
 ( sqr `  A
) )  <->  ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  B ) ) )  <  ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  A ) ) ) ) )
6450, 51, 633bitr3d 287 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  <->  ( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  B
) ) )  < 
( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  A
) ) ) ) )
6564biimpd 211 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  ->  ( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  B
) ) )  < 
( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  A
) ) ) ) )
6611nnred 10621 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
671nnred 10621 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
68 2re 10676 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  RR
69 2pos 10698 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  2
7068, 69pm3.2i 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
7170a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )
72 ltdiv1 10466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( A  < 
B  <->  ( A  / 
2 )  <  ( B  /  2 ) ) )
7366, 67, 71, 72syl3anc 1267 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  <->  ( A  /  2 )  <  ( B  / 
2 ) ) )
7412rphalfcld 11350 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A  /  2
)  e.  RR+ )
7574rpred 11338 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  /  2
)  e.  RR )
7628, 68remulcli 9654 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( _e  x.  2 )  e.  RR
7776a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( _e  x.  2 )  e.  RR )
7828resqcli 12357 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( _e
^ 2 )  e.  RR
7978a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( _e ^ 2 )  e.  RR )
80 egt2lt3 14251 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2  <  _e  /\  _e  <  3 )
8180simpli 460 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  <  _e
8268, 28, 81ltleii 9754 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  <_  _e
8368, 28, 28lemul2i 10527 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0  <  _e  ->  (
2  <_  _e  <->  ( _e  x.  2 )  <_  (
_e  x.  _e )
) )
8430, 83ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2  <_  _e  <->  ( _e  x.  2 )  <_  (
_e  x.  _e )
)
8582, 84mpbi 212 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( _e  x.  2 )  <_ 
( _e  x.  _e )
8628recni 9652 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  _e  e.  CC
8786sqvali 12351 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( _e
^ 2 )  =  ( _e  x.  _e )
8885, 87breqtrri 4427 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( _e  x.  2 )  <_ 
( _e ^ 2 )
8988a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( _e  x.  2 )  <_  ( _e ^ 2 ) )
9077, 79, 66, 89, 22letrd 9789 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( _e  x.  2 )  <_  A )
91 lemuldiv 10483 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( _e  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( _e  x.  2 )  <_  A 
<->  _e  <_  ( A  /  2 ) ) )
9228, 70, 91mp3an13 1354 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( _e  x.  2 )  <_  A  <->  _e  <_  ( A  /  2 ) ) )
9366, 92syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( _e  x.  2 )  <_  A  <->  _e 
<_  ( A  /  2
) ) )
9490, 93mpbid 214 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  _e  <_  ( A  /  2 ) )
952rphalfcld 11350 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( B  /  2
)  e.  RR+ )
9695rpred 11338 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( B  /  2
)  e.  RR )
9777, 79, 67, 89, 37letrd 9789 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( _e  x.  2 )  <_  B )
98 lemuldiv 10483 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( _e  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( _e  x.  2 )  <_  B 
<->  _e  <_  ( B  /  2 ) ) )
9928, 70, 98mp3an13 1354 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  RR  ->  (
( _e  x.  2 )  <_  B  <->  _e  <_  ( B  /  2 ) ) )
10067, 99syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( _e  x.  2 )  <_  B  <->  _e 
<_  ( B  /  2
) ) )
10197, 100mpbid 214 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  _e  <_  ( B  /  2 ) )
102 logdivlt 23563 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  / 
2 )  e.  RR  /\  _e  <_  ( A  /  2 ) )  /\  ( ( B  /  2 )  e.  RR  /\  _e  <_  ( B  /  2 ) ) )  ->  (
( A  /  2
)  <  ( B  /  2 )  <->  ( ( log `  ( B  / 
2 ) )  / 
( B  /  2
) )  <  (
( log `  ( A  /  2 ) )  /  ( A  / 
2 ) ) ) )
10375, 94, 96, 101, 102syl22anc 1268 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( A  / 
2 )  <  ( B  /  2 )  <->  ( ( log `  ( B  / 
2 ) )  / 
( B  /  2
) )  <  (
( log `  ( A  /  2 ) )  /  ( A  / 
2 ) ) ) )
10473, 103bitrd 257 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  <->  ( ( log `  ( B  /  2 ) )  /  ( B  / 
2 ) )  < 
( ( log `  ( A  /  2 ) )  /  ( A  / 
2 ) ) ) )
105 fveq2 5863 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( B  / 
2 )  ->  ( log `  x )  =  ( log `  ( B  /  2 ) ) )
106 id 22 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( B  / 
2 )  ->  x  =  ( B  / 
2 ) )
107105, 106oveq12d 6306 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( B  / 
2 )  ->  (
( log `  x
)  /  x )  =  ( ( log `  ( B  /  2
) )  /  ( B  /  2 ) ) )
108 ovex 6316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( log `  ( B  /  2 ) )  /  ( B  / 
2 ) )  e. 
_V
109107, 7, 108fvmpt 5946 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  /  2 )  e.  RR+  ->  ( G `
 ( B  / 
2 ) )  =  ( ( log `  ( B  /  2 ) )  /  ( B  / 
2 ) ) )
11095, 109syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G `  ( B  /  2 ) )  =  ( ( log `  ( B  /  2
) )  /  ( B  /  2 ) ) )
111 fveq2 5863 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( A  / 
2 )  ->  ( log `  x )  =  ( log `  ( A  /  2 ) ) )
112 id 22 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( A  / 
2 )  ->  x  =  ( A  / 
2 ) )
113111, 112oveq12d 6306 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( A  / 
2 )  ->  (
( log `  x
)  /  x )  =  ( ( log `  ( A  /  2
) )  /  ( A  /  2 ) ) )
114 ovex 6316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( log `  ( A  /  2 ) )  /  ( A  / 
2 ) )  e. 
_V
115113, 7, 114fvmpt 5946 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  /  2 )  e.  RR+  ->  ( G `
 ( A  / 
2 ) )  =  ( ( log `  ( A  /  2 ) )  /  ( A  / 
2 ) ) )
11674, 115syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G `  ( A  /  2 ) )  =  ( ( log `  ( A  /  2
) )  /  ( A  /  2 ) ) )
117110, 116breq12d 4414 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( G `  ( B  /  2
) )  <  ( G `  ( A  /  2 ) )  <-> 
( ( log `  ( B  /  2 ) )  /  ( B  / 
2 ) )  < 
( ( log `  ( A  /  2 ) )  /  ( A  / 
2 ) ) ) )
11855ffvelrni 6019 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  /  2 )  e.  RR+  ->  ( G `
 ( B  / 
2 ) )  e.  RR )
11995, 118syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G `  ( B  /  2 ) )  e.  RR )
12055ffvelrni 6019 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  /  2 )  e.  RR+  ->  ( G `
 ( A  / 
2 ) )  e.  RR )
12174, 120syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G `  ( A  /  2 ) )  e.  RR )
122 9nn 10771 . . . . . . . . . . 11  |-  9  e.  NN
123 4nn 10766 . . . . . . . . . . 11  |-  4  e.  NN
124 nnrp 11308 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 9  e.  NN  ->  9  e.  RR+ )
125 nnrp 11308 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 4  e.  NN  ->  4  e.  RR+ )
126 rpdivcl 11322 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 9  e.  RR+  /\  4  e.  RR+ )  ->  (
9  /  4 )  e.  RR+ )
127124, 125, 126syl2an 480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 9  e.  NN  /\  4  e.  NN )  ->  ( 9  /  4
)  e.  RR+ )
128122, 123, 127mp2an 677 . . . . . . . . . 10  |-  ( 9  /  4 )  e.  RR+
129128a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 9  /  4
)  e.  RR+ )
130119, 121, 129ltmul2d 11377 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( G `  ( B  /  2
) )  <  ( G `  ( A  /  2 ) )  <-> 
( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( B  /  2 ) ) )  <  ( ( 9  /  4 )  x.  ( G `  ( A  /  2
) ) ) ) )
131104, 117, 1303bitr2d 285 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  <->  ( ( 9  /  4
)  x.  ( G `
 ( B  / 
2 ) ) )  <  ( ( 9  /  4 )  x.  ( G `  ( A  /  2 ) ) ) ) )
132131biimpd 211 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  ->  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( B  /  2 ) ) )  <  ( ( 9  /  4 )  x.  ( G `  ( A  /  2
) ) ) ) )
13365, 132jcad 536 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  ->  ( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  B ) ) )  <  ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  A ) ) )  /\  (
( 9  /  4
)  x.  ( G `
 ( B  / 
2 ) ) )  <  ( ( 9  /  4 )  x.  ( G `  ( A  /  2 ) ) ) ) ) )
134 sqrt2re 14295 . . . . . . 7  |-  ( sqr `  2 )  e.  RR
135 remulcl 9621 . . . . . . 7  |-  ( ( ( sqr `  2
)  e.  RR  /\  ( G `  ( sqr `  B ) )  e.  RR )  ->  (
( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  B
) ) )  e.  RR )
136134, 57, 135sylancr 668 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  B
) ) )  e.  RR )
137 9re 10693 . . . . . . . 8  |-  9  e.  RR
138 4re 10683 . . . . . . . 8  |-  4  e.  RR
139 4ne0 10703 . . . . . . . 8  |-  4  =/=  0
140137, 138, 139redivcli 10371 . . . . . . 7  |-  ( 9  /  4 )  e.  RR
141 remulcl 9621 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 9  /  4
)  e.  RR  /\  ( G `  ( B  /  2 ) )  e.  RR )  -> 
( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( B  /  2 ) ) )  e.  RR )
142140, 119, 141sylancr 668 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( B  /  2 ) ) )  e.  RR )
143 remulcl 9621 . . . . . . 7  |-  ( ( ( sqr `  2
)  e.  RR  /\  ( G `  ( sqr `  A ) )  e.  RR )  ->  (
( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  A
) ) )  e.  RR )
144134, 59, 143sylancr 668 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  A
) ) )  e.  RR )
145 remulcl 9621 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 9  /  4
)  e.  RR  /\  ( G `  ( A  /  2 ) )  e.  RR )  -> 
( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( A  /  2 ) ) )  e.  RR )
146140, 121, 145sylancr 668 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( A  /  2 ) ) )  e.  RR )
147 lt2add 10096 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  B ) ) )  e.  RR  /\  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( B  /  2 ) ) )  e.  RR )  /\  ( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  A ) ) )  e.  RR  /\  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( A  /  2 ) ) )  e.  RR ) )  ->  ( (
( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  B
) ) )  < 
( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  A
) ) )  /\  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( B  /  2 ) ) )  <  ( ( 9  /  4 )  x.  ( G `  ( A  /  2
) ) ) )  ->  ( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  B ) ) )  +  ( ( 9  /  4
)  x.  ( G `
 ( B  / 
2 ) ) ) )  <  ( ( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  A
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( A  /  2 ) ) ) ) ) )
148136, 142, 144, 146, 147syl22anc 1268 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  B ) ) )  <  (
( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  A
) ) )  /\  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( B  /  2 ) ) )  <  ( ( 9  /  4 )  x.  ( G `  ( A  /  2
) ) ) )  ->  ( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  B ) ) )  +  ( ( 9  /  4
)  x.  ( G `
 ( B  / 
2 ) ) ) )  <  ( ( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  A
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( A  /  2 ) ) ) ) ) )
149133, 148syld 45 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  ->  ( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  B ) ) )  +  ( ( 9  /  4 )  x.  ( G `  ( B  /  2
) ) ) )  <  ( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  A ) ) )  +  ( ( 9  /  4
)  x.  ( G `
 ( A  / 
2 ) ) ) ) ) )
150 ltmul2 10453 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( A  < 
B  <->  ( 2  x.  A )  <  (
2  x.  B ) ) )
15166, 67, 71, 150syl3anc 1267 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  <->  ( 2  x.  A )  <  ( 2  x.  B ) ) )
152 rpmulcl 11321 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  A  e.  RR+ )  ->  (
2  x.  A )  e.  RR+ )
15360, 12, 152sylancr 668 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  A
)  e.  RR+ )
154153rpsqrtcld 13466 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( sqr `  (
2  x.  A ) )  e.  RR+ )
155 rpmulcl 11321 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  (
2  x.  B )  e.  RR+ )
15660, 2, 155sylancr 668 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  B
)  e.  RR+ )
157156rpsqrtcld 13466 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( sqr `  (
2  x.  B ) )  e.  RR+ )
158 rprege0 11313 . . . . . . . . 9  |-  ( ( sqr `  ( 2  x.  A ) )  e.  RR+  ->  ( ( sqr `  ( 2  x.  A ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( sqr `  (
2  x.  A ) ) ) )
159 rprege0 11313 . . . . . . . . 9  |-  ( ( sqr `  ( 2  x.  B ) )  e.  RR+  ->  ( ( sqr `  ( 2  x.  B ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( sqr `  (
2  x.  B ) ) ) )
160 lt2sq 12345 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( sqr `  (
2  x.  A ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( sqr `  (
2  x.  A ) ) )  /\  (
( sqr `  (
2  x.  B ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( sqr `  (
2  x.  B ) ) ) )  -> 
( ( sqr `  (
2  x.  A ) )  <  ( sqr `  ( 2  x.  B
) )  <->  ( ( sqr `  ( 2  x.  A ) ) ^
2 )  <  (
( sqr `  (
2  x.  B ) ) ^ 2 ) ) )
161158, 159, 160syl2an 480 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( sqr `  (
2  x.  A ) )  e.  RR+  /\  ( sqr `  ( 2  x.  B ) )  e.  RR+ )  ->  ( ( sqr `  ( 2  x.  A ) )  <  ( sqr `  (
2  x.  B ) )  <->  ( ( sqr `  ( 2  x.  A
) ) ^ 2 )  <  ( ( sqr `  ( 2  x.  B ) ) ^ 2 ) ) )
162154, 157, 161syl2anc 666 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  (
2  x.  A ) )  <  ( sqr `  ( 2  x.  B
) )  <->  ( ( sqr `  ( 2  x.  A ) ) ^
2 )  <  (
( sqr `  (
2  x.  B ) ) ^ 2 ) ) )
163153rprege0d 11345 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  A )  e.  RR  /\  0  <_  ( 2  x.  A ) ) )
164 resqrtth 13312 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2  x.  A
)  e.  RR  /\  0  <_  ( 2  x.  A ) )  -> 
( ( sqr `  (
2  x.  A ) ) ^ 2 )  =  ( 2  x.  A ) )
165163, 164syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  (
2  x.  A ) ) ^ 2 )  =  ( 2  x.  A ) )
166156rprege0d 11345 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  B )  e.  RR  /\  0  <_  ( 2  x.  B ) ) )
167 resqrtth 13312 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2  x.  B
)  e.  RR  /\  0  <_  ( 2  x.  B ) )  -> 
( ( sqr `  (
2  x.  B ) ) ^ 2 )  =  ( 2  x.  B ) )
168166, 167syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  (
2  x.  B ) ) ^ 2 )  =  ( 2  x.  B ) )
169165, 168breq12d 4414 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  A
) ) ^ 2 )  <  ( ( sqr `  ( 2  x.  B ) ) ^ 2 )  <->  ( 2  x.  A )  < 
( 2  x.  B
) ) )
170162, 169bitr2d 258 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  A )  <  (
2  x.  B )  <-> 
( sqr `  (
2  x.  A ) )  <  ( sqr `  ( 2  x.  B
) ) ) )
171 1lt2 10773 . . . . . . . . 9  |-  1  <  2
172 rplogcl 23546 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  1  <  2 )  -> 
( log `  2
)  e.  RR+ )
17368, 171, 172mp2an 677 . . . . . . . 8  |-  ( log `  2 )  e.  RR+
174173a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( log `  2
)  e.  RR+ )
175154, 157, 174ltdiv2d 11361 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  (
2  x.  A ) )  <  ( sqr `  ( 2  x.  B
) )  <->  ( ( log `  2 )  / 
( sqr `  (
2  x.  B ) ) )  <  (
( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  A
) ) ) ) )
176151, 170, 1753bitrd 283 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  <->  ( ( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  B
) ) )  < 
( ( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  A
) ) ) ) )
177176biimpd 211 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  ->  ( ( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  B
) ) )  < 
( ( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  A
) ) ) ) )
178149, 177jcad 536 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  ->  ( ( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  B ) ) )  +  ( ( 9  /  4
)  x.  ( G `
 ( B  / 
2 ) ) ) )  <  ( ( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  A
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( A  /  2 ) ) ) )  /\  (
( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  B
) ) )  < 
( ( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  A
) ) ) ) ) )
179136, 142readdcld 9667 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  B ) ) )  +  ( ( 9  /  4 )  x.  ( G `  ( B  /  2
) ) ) )  e.  RR )
180 rpre 11305 . . . . . 6  |-  ( ( log `  2 )  e.  RR+  ->  ( log `  2 )  e.  RR )
181173, 180ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( log `  2 )  e.  RR
182 rerpdivcl 11327 . . . . 5  |-  ( ( ( log `  2
)  e.  RR  /\  ( sqr `  ( 2  x.  B ) )  e.  RR+ )  ->  (
( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  B
) ) )  e.  RR )
183181, 157, 182sylancr 668 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  B
) ) )  e.  RR )
184144, 146readdcld 9667 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  A ) ) )  +  ( ( 9  /  4 )  x.  ( G `  ( A  /  2
) ) ) )  e.  RR )
185 rerpdivcl 11327 . . . . 5  |-  ( ( ( log `  2
)  e.  RR  /\  ( sqr `  ( 2  x.  A ) )  e.  RR+ )  ->  (
( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  A
) ) )  e.  RR )
186181, 154, 185sylancr 668 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  A
) ) )  e.  RR )
187 lt2add 10096 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  B ) ) )  +  ( ( 9  /  4
)  x.  ( G `
 ( B  / 
2 ) ) ) )  e.  RR  /\  ( ( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  B
) ) )  e.  RR )  /\  (
( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  A ) ) )  +  ( ( 9  /  4 )  x.  ( G `  ( A  /  2
) ) ) )  e.  RR  /\  (
( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  A
) ) )  e.  RR ) )  -> 
( ( ( ( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  B
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( B  /  2 ) ) ) )  <  (
( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  A
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( A  /  2 ) ) ) )  /\  (
( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  B
) ) )  < 
( ( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  A
) ) ) )  ->  ( ( ( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  B
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( B  /  2 ) ) ) )  +  ( ( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  B
) ) ) )  <  ( ( ( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  A
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( A  /  2 ) ) ) )  +  ( ( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  A
) ) ) ) ) )
188179, 183, 184, 186, 187syl22anc 1268 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  B
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( B  /  2 ) ) ) )  <  (
( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  A
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( A  /  2 ) ) ) )  /\  (
( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  B
) ) )  < 
( ( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  A
) ) ) )  ->  ( ( ( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  B
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( B  /  2 ) ) ) )  +  ( ( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  B
) ) ) )  <  ( ( ( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  A
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( A  /  2 ) ) ) )  +  ( ( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  A
) ) ) ) ) )
189178, 188syld 45 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  ->  ( ( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  B ) ) )  +  ( ( 9  /  4
)  x.  ( G `
 ( B  / 
2 ) ) ) )  +  ( ( log `  2 )  /  ( sqr `  (
2  x.  B ) ) ) )  < 
( ( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  A ) ) )  +  ( ( 9  /  4
)  x.  ( G `
 ( A  / 
2 ) ) ) )  +  ( ( log `  2 )  /  ( sqr `  (
2  x.  A ) ) ) ) ) )
190 fveq2 5863 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  B  ->  ( sqr `  n )  =  ( sqr `  B
) )
191190fveq2d 5867 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  B  ->  ( G `  ( sqr `  n ) )  =  ( G `  ( sqr `  B ) ) )
192191oveq2d 6304 . . . . . . 7  |-  ( n  =  B  ->  (
( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  n
) ) )  =  ( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  B
) ) ) )
193 oveq1 6295 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  B  ->  (
n  /  2 )  =  ( B  / 
2 ) )
194193fveq2d 5867 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  B  ->  ( G `  ( n  /  2 ) )  =  ( G `  ( B  /  2
) ) )
195194oveq2d 6304 . . . . . . 7  |-  ( n  =  B  ->  (
( 9  /  4
)  x.  ( G `
 ( n  / 
2 ) ) )  =  ( ( 9  /  4 )  x.  ( G `  ( B  /  2 ) ) ) )
196192, 195oveq12d 6306 . . . . . 6  |-  ( n  =  B  ->  (
( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  n
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( n  /  2 ) ) ) )  =  ( ( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  B
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( B  /  2 ) ) ) ) )
197 oveq2 6296 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  B  ->  (
2  x.  n )  =  ( 2  x.  B ) )
198197fveq2d 5867 . . . . . . 7  |-  ( n  =  B  ->  ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  =  ( sqr `  (
2  x.  B ) ) )
199198oveq2d 6304 . . . . . 6  |-  ( n  =  B  ->  (
( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  n
) ) )  =  ( ( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  B
) ) ) )
200196, 199oveq12d 6306 . . . . 5  |-  ( n  =  B  ->  (
( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  n ) ) )  +  ( ( 9  /  4 )  x.  ( G `  ( n  /  2
) ) ) )  +  ( ( log `  2 )  / 
( sqr `  (
2  x.  n ) ) ) )  =  ( ( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  B ) ) )  +  ( ( 9  /  4
)  x.  ( G `
 ( B  / 
2 ) ) ) )  +  ( ( log `  2 )  /  ( sqr `  (
2  x.  B ) ) ) ) )
201 bposlem7.1 . . . . 5  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  n ) ) )  +  ( ( 9  /  4
)  x.  ( G `
 ( n  / 
2 ) ) ) )  +  ( ( log `  2 )  /  ( sqr `  (
2  x.  n ) ) ) ) )
202 ovex 6316 . . . . 5  |-  ( ( ( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  B
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( B  /  2 ) ) ) )  +  ( ( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  B
) ) ) )  e.  _V
203200, 201, 202fvmpt 5946 . . . 4  |-  ( B  e.  NN  ->  ( F `  B )  =  ( ( ( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  B
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( B  /  2 ) ) ) )  +  ( ( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  B
) ) ) ) )
2041, 203syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  B
)  =  ( ( ( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  B
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( B  /  2 ) ) ) )  +  ( ( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  B
) ) ) ) )
205 fveq2 5863 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  A  ->  ( sqr `  n )  =  ( sqr `  A
) )
206205fveq2d 5867 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  A  ->  ( G `  ( sqr `  n ) )  =  ( G `  ( sqr `  A ) ) )
207206oveq2d 6304 . . . . . . 7  |-  ( n  =  A  ->  (
( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  n
) ) )  =  ( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  A
) ) ) )
208 oveq1 6295 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  A  ->  (
n  /  2 )  =  ( A  / 
2 ) )
209208fveq2d 5867 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  A  ->  ( G `  ( n  /  2 ) )  =  ( G `  ( A  /  2
) ) )
210209oveq2d 6304 . . . . . . 7  |-  ( n  =  A  ->  (
( 9  /  4
)  x.  ( G `
 ( n  / 
2 ) ) )  =  ( ( 9  /  4 )  x.  ( G `  ( A  /  2 ) ) ) )
211207, 210oveq12d 6306 . . . . . 6  |-  ( n  =  A  ->  (
( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  n
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( n  /  2 ) ) ) )  =  ( ( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  A
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( A  /  2 ) ) ) ) )
212 oveq2 6296 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  A  ->  (
2  x.  n )  =  ( 2  x.  A ) )
213212fveq2d 5867 . . . . . . 7  |-  ( n  =  A  ->  ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  =  ( sqr `  (
2  x.  A ) ) )
214213oveq2d 6304 . . . . . 6  |-  ( n  =  A  ->  (
( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  n
) ) )  =  ( ( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  A
) ) ) )
215211, 214oveq12d 6306 . . . . 5  |-  ( n  =  A  ->  (
( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  n ) ) )  +  ( ( 9  /  4 )  x.  ( G `  ( n  /  2
) ) ) )  +  ( ( log `  2 )  / 
( sqr `  (
2  x.  n ) ) ) )  =  ( ( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  A ) ) )  +  ( ( 9  /  4
)  x.  ( G `
 ( A  / 
2 ) ) ) )  +  ( ( log `  2 )  /  ( sqr `  (
2  x.  A ) ) ) ) )
216 ovex 6316 . . . . 5  |-  ( ( ( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  A
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( A  /  2 ) ) ) )  +  ( ( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  A
) ) ) )  e.  _V
217215, 201, 216fvmpt 5946 . . . 4  |-  ( A  e.  NN  ->  ( F `  A )  =  ( ( ( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  A
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( A  /  2 ) ) ) )  +  ( ( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  A
) ) ) ) )
21811, 217syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  A
)  =  ( ( ( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  A
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( A  /  2 ) ) ) )  +  ( ( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  A
) ) ) ) )
219204, 218breq12d 4414 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F `  B )  <  ( F `  A )  <->  ( ( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  B ) ) )  +  ( ( 9  /  4 )  x.  ( G `  ( B  /  2
) ) ) )  +  ( ( log `  2 )  / 
( sqr `  (
2  x.  B ) ) ) )  < 
( ( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  A ) ) )  +  ( ( 9  /  4
)  x.  ( G `
 ( A  / 
2 ) ) ) )  +  ( ( log `  2 )  /  ( sqr `  (
2  x.  A ) ) ) ) ) )
220189, 219sylibrd 238 1  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  ->  ( F `  B
)  <  ( F `  A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1443    e. wcel 1886   class class class wbr 4401    |-> cmpt 4460   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   RRcr 9535   0cc0 9536   1c1 9537    + caddc 9539    x. cmul 9541    < clt 9672    <_ cle 9673    / cdiv 10266   NNcn 10606   2c2 10656   3c3 10657   4c4 10658   9c9 10663   RR+crp 11299   ^cexp 12269   sqrcsqrt 13289   _eceu 14108   logclog 23497
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614  ax-addf 9615  ax-mulf 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-fal 1449  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-iin 4280  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-of 6528  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-supp 6912  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-2o 7180  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-pm 7472  df-ixp 7520  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-fsupp 7881  df-fi 7922  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8022  df-card 8370  df-cda 8595  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-4 10667  df-5 10668  df-6 10669  df-7 10670  df-8 10671  df-9 10672  df-10 10673  df-n0 10867  df-z 10935  df-dec 11049  df-uz 11157  df-q 11262  df-rp 11300  df-xneg 11406  df-xadd 11407  df-xmul 11408  df-ioo 11636  df-ioc 11637  df-ico 11638  df-icc 11639  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-fl 12025  df-mod 12094  df-seq 12211  df-exp 12270  df-fac 12457  df-bc 12485  df-hash 12513  df-shft 13123  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-limsup 13519  df-clim 13545  df-rlim 13546  df-sum 13746  df-ef 14114  df-e 14115  df-sin 14116  df-cos 14117  df-pi 14119  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-starv 15198  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-ip 15201  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-unif 15206  df-hom 15207  df-cco 15208  df-rest 15314  df-topn 15315  df-0g 15333  df-gsum 15334  df-topgen 15335  df-pt 15336  df-prds 15339  df-xrs 15393  df-qtop 15399  df-imas 15400  df-xps 15403  df-mre 15485  df-mrc 15486  df-acs 15488  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-submnd 16576  df-mulg 16669  df-cntz 16964  df-cmn 17425  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-fbas 18960  df-fg 18961  df-cnfld 18964  df-top 19914  df-bases 19915  df-topon 19916  df-topsp 19917  df-cld 20027  df-ntr 20028  df-cls 20029  df-nei 20107  df-lp 20145  df-perf 20146  df-cn 20236  df-cnp 20237  df-haus 20324  df-tx 20570  df-hmeo 20763  df-fil 20854  df-fm 20946  df-flim 20947  df-flf 20948  df-xms 21328  df-ms 21329  df-tms 21330  df-cncf 21903  df-limc 22814  df-dv 22815  df-log 23499
This theorem is referenced by:  bposlem9  24213
  Copyright terms: Public domain W3C validator