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Theorem bposlem7 23691
Description: Lemma for bpos 23694. The function  F is decreasing. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bposlem7.1  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  n ) ) )  +  ( ( 9  /  4
)  x.  ( G `
 ( n  / 
2 ) ) ) )  +  ( ( log `  2 )  /  ( sqr `  (
2  x.  n ) ) ) ) )
bposlem7.2  |-  G  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log `  x
)  /  x ) )
bposlem7.3  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
bposlem7.4  |-  ( ph  ->  B  e.  NN )
bposlem7.5  |-  ( ph  ->  ( _e ^ 2 )  <_  A )
bposlem7.6  |-  ( ph  ->  ( _e ^ 2 )  <_  B )
Assertion
Ref Expression
bposlem7  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  ->  ( F `  B
)  <  ( F `  A ) ) )
Distinct variable groups:    A, n    B, n    n, G    x, A    x, B
Allowed substitution hints:    ph( x, n)    F( x, n)    G( x)

Proof of Theorem bposlem7
StepHypRef Expression
1 bposlem7.4 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B  e.  NN )
21nnrpd 11280 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
32rpsqrtcld 13255 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( sqr `  B
)  e.  RR+ )
4 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( sqr `  B
)  ->  ( log `  x )  =  ( log `  ( sqr `  B ) ) )
5 id 22 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( sqr `  B
)  ->  x  =  ( sqr `  B ) )
64, 5oveq12d 6314 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( sqr `  B
)  ->  ( ( log `  x )  /  x )  =  ( ( log `  ( sqr `  B ) )  /  ( sqr `  B
) ) )
7 bposlem7.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  G  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log `  x
)  /  x ) )
8 ovex 6324 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( log `  ( sqr `  B ) )  / 
( sqr `  B
) )  e.  _V
96, 7, 8fvmpt 5956 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( sqr `  B )  e.  RR+  ->  ( G `
 ( sqr `  B
) )  =  ( ( log `  ( sqr `  B ) )  /  ( sqr `  B
) ) )
103, 9syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( G `  ( sqr `  B ) )  =  ( ( log `  ( sqr `  B
) )  /  ( sqr `  B ) ) )
11 bposlem7.3 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
1211nnrpd 11280 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
1312rpsqrtcld 13255 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( sqr `  A
)  e.  RR+ )
14 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( sqr `  A
)  ->  ( log `  x )  =  ( log `  ( sqr `  A ) ) )
15 id 22 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( sqr `  A
)  ->  x  =  ( sqr `  A ) )
1614, 15oveq12d 6314 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( sqr `  A
)  ->  ( ( log `  x )  /  x )  =  ( ( log `  ( sqr `  A ) )  /  ( sqr `  A
) ) )
17 ovex 6324 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( log `  ( sqr `  A ) )  / 
( sqr `  A
) )  e.  _V
1816, 7, 17fvmpt 5956 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( sqr `  A )  e.  RR+  ->  ( G `
 ( sqr `  A
) )  =  ( ( log `  ( sqr `  A ) )  /  ( sqr `  A
) ) )
1913, 18syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( G `  ( sqr `  A ) )  =  ( ( log `  ( sqr `  A
) )  /  ( sqr `  A ) ) )
2010, 19breq12d 4469 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( G `  ( sqr `  B ) )  <  ( G `
 ( sqr `  A
) )  <->  ( ( log `  ( sqr `  B
) )  /  ( sqr `  B ) )  <  ( ( log `  ( sqr `  A
) )  /  ( sqr `  A ) ) ) )
2113rpred 11281 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( sqr `  A
)  e.  RR )
22 bposlem7.5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( _e ^ 2 )  <_  A )
2312rprege0d 11288 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )
)
24 resqrtth 13101 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( ( sqr `  A
) ^ 2 )  =  A )
2523, 24syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  A
) ^ 2 )  =  A )
2622, 25breqtrrd 4482 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( _e ^ 2 )  <_  ( ( sqr `  A ) ^
2 ) )
2713rpge0d 11285 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <_  ( sqr `  A ) )
28 ere 13836 . . . . . . . . . . . . 13  |-  _e  e.  RR
29 0re 9613 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  RR
30 epos 13952 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <  _e
3129, 28, 30ltleii 9724 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <_  _e
32 le2sq 12245 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( _e  e.  RR  /\  0  <_  _e )  /\  ( ( sqr `  A
)  e.  RR  /\  0  <_  ( sqr `  A
) ) )  -> 
( _e  <_  ( sqr `  A )  <->  ( _e ^ 2 )  <_ 
( ( sqr `  A
) ^ 2 ) ) )
3328, 31, 32mpanl12 682 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( sqr `  A
)  e.  RR  /\  0  <_  ( sqr `  A
) )  ->  (
_e  <_  ( sqr `  A
)  <->  ( _e ^
2 )  <_  (
( sqr `  A
) ^ 2 ) ) )
3421, 27, 33syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( _e  <_  ( sqr `  A )  <->  ( _e ^ 2 )  <_ 
( ( sqr `  A
) ^ 2 ) ) )
3526, 34mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  _e  <_  ( sqr `  A ) )
363rpred 11281 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( sqr `  B
)  e.  RR )
37 bposlem7.6 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( _e ^ 2 )  <_  B )
382rprege0d 11288 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)
39 resqrtth 13101 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  -> 
( ( sqr `  B
) ^ 2 )  =  B )
4038, 39syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  B
) ^ 2 )  =  B )
4137, 40breqtrrd 4482 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( _e ^ 2 )  <_  ( ( sqr `  B ) ^
2 ) )
423rpge0d 11285 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <_  ( sqr `  B ) )
43 le2sq 12245 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( _e  e.  RR  /\  0  <_  _e )  /\  ( ( sqr `  B
)  e.  RR  /\  0  <_  ( sqr `  B
) ) )  -> 
( _e  <_  ( sqr `  B )  <->  ( _e ^ 2 )  <_ 
( ( sqr `  B
) ^ 2 ) ) )
4428, 31, 43mpanl12 682 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( sqr `  B
)  e.  RR  /\  0  <_  ( sqr `  B
) )  ->  (
_e  <_  ( sqr `  B
)  <->  ( _e ^
2 )  <_  (
( sqr `  B
) ^ 2 ) ) )
4536, 42, 44syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( _e  <_  ( sqr `  B )  <->  ( _e ^ 2 )  <_ 
( ( sqr `  B
) ^ 2 ) ) )
4641, 45mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  _e  <_  ( sqr `  B ) )
47 logdivlt 23132 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( sqr `  A
)  e.  RR  /\  _e  <_  ( sqr `  A
) )  /\  (
( sqr `  B
)  e.  RR  /\  _e  <_  ( sqr `  B
) ) )  -> 
( ( sqr `  A
)  <  ( sqr `  B )  <->  ( ( log `  ( sqr `  B
) )  /  ( sqr `  B ) )  <  ( ( log `  ( sqr `  A
) )  /  ( sqr `  A ) ) ) )
4821, 35, 36, 46, 47syl22anc 1229 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  A
)  <  ( sqr `  B )  <->  ( ( log `  ( sqr `  B
) )  /  ( sqr `  B ) )  <  ( ( log `  ( sqr `  A
) )  /  ( sqr `  A ) ) ) )
4921, 36, 27, 42lt2sqd 12347 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  A
)  <  ( sqr `  B )  <->  ( ( sqr `  A ) ^
2 )  <  (
( sqr `  B
) ^ 2 ) ) )
5020, 48, 493bitr2rd 282 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( sqr `  A ) ^ 2 )  <  ( ( sqr `  B ) ^ 2 )  <->  ( G `  ( sqr `  B
) )  <  ( G `  ( sqr `  A ) ) ) )
5125, 40breq12d 4469 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( sqr `  A ) ^ 2 )  <  ( ( sqr `  B ) ^ 2 )  <->  A  <  B ) )
52 relogcl 23089 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( log `  x )  e.  RR )
53 rerpdivcl 11272 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( log `  x
)  e.  RR  /\  x  e.  RR+ )  -> 
( ( log `  x
)  /  x )  e.  RR )
5452, 53mpancom 669 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( ( log `  x )  /  x )  e.  RR )
557, 54fmpti 6055 . . . . . . . . . . 11  |-  G : RR+
--> RR
5655ffvelrni 6031 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( sqr `  B )  e.  RR+  ->  ( G `
 ( sqr `  B
) )  e.  RR )
573, 56syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G `  ( sqr `  B ) )  e.  RR )
5855ffvelrni 6031 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( sqr `  A )  e.  RR+  ->  ( G `
 ( sqr `  A
) )  e.  RR )
5913, 58syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G `  ( sqr `  A ) )  e.  RR )
60 2rp 11250 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  RR+
61 rpsqrtcl 13110 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  e.  RR+  ->  ( sqr `  2 )  e.  RR+ )
6260, 61mp1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( sqr `  2
)  e.  RR+ )
6357, 59, 62ltmul2d 11319 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( G `  ( sqr `  B ) )  <  ( G `
 ( sqr `  A
) )  <->  ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  B ) ) )  <  ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  A ) ) ) ) )
6450, 51, 633bitr3d 283 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  <->  ( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  B
) ) )  < 
( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  A
) ) ) ) )
6564biimpd 207 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  ->  ( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  B
) ) )  < 
( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  A
) ) ) ) )
6611nnred 10571 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
671nnred 10571 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
68 2re 10626 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  RR
69 2pos 10648 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  2
7068, 69pm3.2i 455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
7170a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )
72 ltdiv1 10427 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( A  < 
B  <->  ( A  / 
2 )  <  ( B  /  2 ) ) )
7366, 67, 71, 72syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  <->  ( A  /  2 )  <  ( B  / 
2 ) ) )
7412rphalfcld 11293 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A  /  2
)  e.  RR+ )
7574rpred 11281 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  /  2
)  e.  RR )
7628, 68remulcli 9627 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( _e  x.  2 )  e.  RR
7776a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( _e  x.  2 )  e.  RR )
7828resqcli 12256 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( _e
^ 2 )  e.  RR
7978a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( _e ^ 2 )  e.  RR )
80 egt2lt3 13951 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2  <  _e  /\  _e  <  3 )
8180simpli 458 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  <  _e
8268, 28, 81ltleii 9724 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  <_  _e
8368, 28, 28lemul2i 10489 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0  <  _e  ->  (
2  <_  _e  <->  ( _e  x.  2 )  <_  (
_e  x.  _e )
) )
8430, 83ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2  <_  _e  <->  ( _e  x.  2 )  <_  (
_e  x.  _e )
)
8582, 84mpbi 208 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( _e  x.  2 )  <_ 
( _e  x.  _e )
8628recni 9625 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  _e  e.  CC
8786sqvali 12250 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( _e
^ 2 )  =  ( _e  x.  _e )
8885, 87breqtrri 4481 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( _e  x.  2 )  <_ 
( _e ^ 2 )
8988a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( _e  x.  2 )  <_  ( _e ^ 2 ) )
9077, 79, 66, 89, 22letrd 9756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( _e  x.  2 )  <_  A )
91 lemuldiv 10444 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( _e  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( _e  x.  2 )  <_  A 
<->  _e  <_  ( A  /  2 ) ) )
9228, 70, 91mp3an13 1315 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( _e  x.  2 )  <_  A  <->  _e  <_  ( A  /  2 ) ) )
9366, 92syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( _e  x.  2 )  <_  A  <->  _e 
<_  ( A  /  2
) ) )
9490, 93mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  _e  <_  ( A  /  2 ) )
952rphalfcld 11293 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( B  /  2
)  e.  RR+ )
9695rpred 11281 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( B  /  2
)  e.  RR )
9777, 79, 67, 89, 37letrd 9756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( _e  x.  2 )  <_  B )
98 lemuldiv 10444 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( _e  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( _e  x.  2 )  <_  B 
<->  _e  <_  ( B  /  2 ) ) )
9928, 70, 98mp3an13 1315 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  RR  ->  (
( _e  x.  2 )  <_  B  <->  _e  <_  ( B  /  2 ) ) )
10067, 99syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( _e  x.  2 )  <_  B  <->  _e 
<_  ( B  /  2
) ) )
10197, 100mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  _e  <_  ( B  /  2 ) )
102 logdivlt 23132 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  / 
2 )  e.  RR  /\  _e  <_  ( A  /  2 ) )  /\  ( ( B  /  2 )  e.  RR  /\  _e  <_  ( B  /  2 ) ) )  ->  (
( A  /  2
)  <  ( B  /  2 )  <->  ( ( log `  ( B  / 
2 ) )  / 
( B  /  2
) )  <  (
( log `  ( A  /  2 ) )  /  ( A  / 
2 ) ) ) )
10375, 94, 96, 101, 102syl22anc 1229 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( A  / 
2 )  <  ( B  /  2 )  <->  ( ( log `  ( B  / 
2 ) )  / 
( B  /  2
) )  <  (
( log `  ( A  /  2 ) )  /  ( A  / 
2 ) ) ) )
10473, 103bitrd 253 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  <->  ( ( log `  ( B  /  2 ) )  /  ( B  / 
2 ) )  < 
( ( log `  ( A  /  2 ) )  /  ( A  / 
2 ) ) ) )
105 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( B  / 
2 )  ->  ( log `  x )  =  ( log `  ( B  /  2 ) ) )
106 id 22 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( B  / 
2 )  ->  x  =  ( B  / 
2 ) )
107105, 106oveq12d 6314 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( B  / 
2 )  ->  (
( log `  x
)  /  x )  =  ( ( log `  ( B  /  2
) )  /  ( B  /  2 ) ) )
108 ovex 6324 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( log `  ( B  /  2 ) )  /  ( B  / 
2 ) )  e. 
_V
109107, 7, 108fvmpt 5956 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  /  2 )  e.  RR+  ->  ( G `
 ( B  / 
2 ) )  =  ( ( log `  ( B  /  2 ) )  /  ( B  / 
2 ) ) )
11095, 109syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G `  ( B  /  2 ) )  =  ( ( log `  ( B  /  2
) )  /  ( B  /  2 ) ) )
111 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( A  / 
2 )  ->  ( log `  x )  =  ( log `  ( A  /  2 ) ) )
112 id 22 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( A  / 
2 )  ->  x  =  ( A  / 
2 ) )
113111, 112oveq12d 6314 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( A  / 
2 )  ->  (
( log `  x
)  /  x )  =  ( ( log `  ( A  /  2
) )  /  ( A  /  2 ) ) )
114 ovex 6324 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( log `  ( A  /  2 ) )  /  ( A  / 
2 ) )  e. 
_V
115113, 7, 114fvmpt 5956 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  /  2 )  e.  RR+  ->  ( G `
 ( A  / 
2 ) )  =  ( ( log `  ( A  /  2 ) )  /  ( A  / 
2 ) ) )
11674, 115syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G `  ( A  /  2 ) )  =  ( ( log `  ( A  /  2
) )  /  ( A  /  2 ) ) )
117110, 116breq12d 4469 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( G `  ( B  /  2
) )  <  ( G `  ( A  /  2 ) )  <-> 
( ( log `  ( B  /  2 ) )  /  ( B  / 
2 ) )  < 
( ( log `  ( A  /  2 ) )  /  ( A  / 
2 ) ) ) )
11855ffvelrni 6031 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  /  2 )  e.  RR+  ->  ( G `
 ( B  / 
2 ) )  e.  RR )
11995, 118syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G `  ( B  /  2 ) )  e.  RR )
12055ffvelrni 6031 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  /  2 )  e.  RR+  ->  ( G `
 ( A  / 
2 ) )  e.  RR )
12174, 120syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G `  ( A  /  2 ) )  e.  RR )
122 9nn 10721 . . . . . . . . . . 11  |-  9  e.  NN
123 4nn 10716 . . . . . . . . . . 11  |-  4  e.  NN
124 nnrp 11254 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 9  e.  NN  ->  9  e.  RR+ )
125 nnrp 11254 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 4  e.  NN  ->  4  e.  RR+ )
126 rpdivcl 11267 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 9  e.  RR+  /\  4  e.  RR+ )  ->  (
9  /  4 )  e.  RR+ )
127124, 125, 126syl2an 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 9  e.  NN  /\  4  e.  NN )  ->  ( 9  /  4
)  e.  RR+ )
128122, 123, 127mp2an 672 . . . . . . . . . 10  |-  ( 9  /  4 )  e.  RR+
129128a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 9  /  4
)  e.  RR+ )
130119, 121, 129ltmul2d 11319 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( G `  ( B  /  2
) )  <  ( G `  ( A  /  2 ) )  <-> 
( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( B  /  2 ) ) )  <  ( ( 9  /  4 )  x.  ( G `  ( A  /  2
) ) ) ) )
131104, 117, 1303bitr2d 281 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  <->  ( ( 9  /  4
)  x.  ( G `
 ( B  / 
2 ) ) )  <  ( ( 9  /  4 )  x.  ( G `  ( A  /  2 ) ) ) ) )
132131biimpd 207 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  ->  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( B  /  2 ) ) )  <  ( ( 9  /  4 )  x.  ( G `  ( A  /  2
) ) ) ) )
13365, 132jcad 533 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  ->  ( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  B ) ) )  <  ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  A ) ) )  /\  (
( 9  /  4
)  x.  ( G `
 ( B  / 
2 ) ) )  <  ( ( 9  /  4 )  x.  ( G `  ( A  /  2 ) ) ) ) ) )
134 sqrt2re 13995 . . . . . . 7  |-  ( sqr `  2 )  e.  RR
135 remulcl 9594 . . . . . . 7  |-  ( ( ( sqr `  2
)  e.  RR  /\  ( G `  ( sqr `  B ) )  e.  RR )  ->  (
( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  B
) ) )  e.  RR )
136134, 57, 135sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  B
) ) )  e.  RR )
137 9re 10643 . . . . . . . 8  |-  9  e.  RR
138 4re 10633 . . . . . . . 8  |-  4  e.  RR
139 4ne0 10653 . . . . . . . 8  |-  4  =/=  0
140137, 138, 139redivcli 10332 . . . . . . 7  |-  ( 9  /  4 )  e.  RR
141 remulcl 9594 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 9  /  4
)  e.  RR  /\  ( G `  ( B  /  2 ) )  e.  RR )  -> 
( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( B  /  2 ) ) )  e.  RR )
142140, 119, 141sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( B  /  2 ) ) )  e.  RR )
143 remulcl 9594 . . . . . . 7  |-  ( ( ( sqr `  2
)  e.  RR  /\  ( G `  ( sqr `  A ) )  e.  RR )  ->  (
( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  A
) ) )  e.  RR )
144134, 59, 143sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  A
) ) )  e.  RR )
145 remulcl 9594 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 9  /  4
)  e.  RR  /\  ( G `  ( A  /  2 ) )  e.  RR )  -> 
( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( A  /  2 ) ) )  e.  RR )
146140, 121, 145sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( A  /  2 ) ) )  e.  RR )
147 lt2add 10058 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  B ) ) )  e.  RR  /\  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( B  /  2 ) ) )  e.  RR )  /\  ( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  A ) ) )  e.  RR  /\  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( A  /  2 ) ) )  e.  RR ) )  ->  ( (
( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  B
) ) )  < 
( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  A
) ) )  /\  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( B  /  2 ) ) )  <  ( ( 9  /  4 )  x.  ( G `  ( A  /  2
) ) ) )  ->  ( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  B ) ) )  +  ( ( 9  /  4
)  x.  ( G `
 ( B  / 
2 ) ) ) )  <  ( ( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  A
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( A  /  2 ) ) ) ) ) )
148136, 142, 144, 146, 147syl22anc 1229 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  B ) ) )  <  (
( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  A
) ) )  /\  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( B  /  2 ) ) )  <  ( ( 9  /  4 )  x.  ( G `  ( A  /  2
) ) ) )  ->  ( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  B ) ) )  +  ( ( 9  /  4
)  x.  ( G `
 ( B  / 
2 ) ) ) )  <  ( ( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  A
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( A  /  2 ) ) ) ) ) )
149133, 148syld 44 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  ->  ( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  B ) ) )  +  ( ( 9  /  4 )  x.  ( G `  ( B  /  2
) ) ) )  <  ( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  A ) ) )  +  ( ( 9  /  4
)  x.  ( G `
 ( A  / 
2 ) ) ) ) ) )
150 ltmul2 10414 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( A  < 
B  <->  ( 2  x.  A )  <  (
2  x.  B ) ) )
15166, 67, 71, 150syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  <->  ( 2  x.  A )  <  ( 2  x.  B ) ) )
152 rpmulcl 11266 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  A  e.  RR+ )  ->  (
2  x.  A )  e.  RR+ )
15360, 12, 152sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  A
)  e.  RR+ )
154153rpsqrtcld 13255 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( sqr `  (
2  x.  A ) )  e.  RR+ )
155 rpmulcl 11266 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  (
2  x.  B )  e.  RR+ )
15660, 2, 155sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  B
)  e.  RR+ )
157156rpsqrtcld 13255 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( sqr `  (
2  x.  B ) )  e.  RR+ )
158 rprege0 11259 . . . . . . . . 9  |-  ( ( sqr `  ( 2  x.  A ) )  e.  RR+  ->  ( ( sqr `  ( 2  x.  A ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( sqr `  (
2  x.  A ) ) ) )
159 rprege0 11259 . . . . . . . . 9  |-  ( ( sqr `  ( 2  x.  B ) )  e.  RR+  ->  ( ( sqr `  ( 2  x.  B ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( sqr `  (
2  x.  B ) ) ) )
160 lt2sq 12244 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( sqr `  (
2  x.  A ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( sqr `  (
2  x.  A ) ) )  /\  (
( sqr `  (
2  x.  B ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( sqr `  (
2  x.  B ) ) ) )  -> 
( ( sqr `  (
2  x.  A ) )  <  ( sqr `  ( 2  x.  B
) )  <->  ( ( sqr `  ( 2  x.  A ) ) ^
2 )  <  (
( sqr `  (
2  x.  B ) ) ^ 2 ) ) )
161158, 159, 160syl2an 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( sqr `  (
2  x.  A ) )  e.  RR+  /\  ( sqr `  ( 2  x.  B ) )  e.  RR+ )  ->  ( ( sqr `  ( 2  x.  A ) )  <  ( sqr `  (
2  x.  B ) )  <->  ( ( sqr `  ( 2  x.  A
) ) ^ 2 )  <  ( ( sqr `  ( 2  x.  B ) ) ^ 2 ) ) )
162154, 157, 161syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  (
2  x.  A ) )  <  ( sqr `  ( 2  x.  B
) )  <->  ( ( sqr `  ( 2  x.  A ) ) ^
2 )  <  (
( sqr `  (
2  x.  B ) ) ^ 2 ) ) )
163153rprege0d 11288 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  A )  e.  RR  /\  0  <_  ( 2  x.  A ) ) )
164 resqrtth 13101 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2  x.  A
)  e.  RR  /\  0  <_  ( 2  x.  A ) )  -> 
( ( sqr `  (
2  x.  A ) ) ^ 2 )  =  ( 2  x.  A ) )
165163, 164syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  (
2  x.  A ) ) ^ 2 )  =  ( 2  x.  A ) )
166156rprege0d 11288 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  B )  e.  RR  /\  0  <_  ( 2  x.  B ) ) )
167 resqrtth 13101 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2  x.  B
)  e.  RR  /\  0  <_  ( 2  x.  B ) )  -> 
( ( sqr `  (
2  x.  B ) ) ^ 2 )  =  ( 2  x.  B ) )
168166, 167syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  (
2  x.  B ) ) ^ 2 )  =  ( 2  x.  B ) )
169165, 168breq12d 4469 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  A
) ) ^ 2 )  <  ( ( sqr `  ( 2  x.  B ) ) ^ 2 )  <->  ( 2  x.  A )  < 
( 2  x.  B
) ) )
170162, 169bitr2d 254 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  A )  <  (
2  x.  B )  <-> 
( sqr `  (
2  x.  A ) )  <  ( sqr `  ( 2  x.  B
) ) ) )
171 1lt2 10723 . . . . . . . . 9  |-  1  <  2
172 rplogcl 23115 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  1  <  2 )  -> 
( log `  2
)  e.  RR+ )
17368, 171, 172mp2an 672 . . . . . . . 8  |-  ( log `  2 )  e.  RR+
174173a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( log `  2
)  e.  RR+ )
175154, 157, 174ltdiv2d 11304 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  (
2  x.  A ) )  <  ( sqr `  ( 2  x.  B
) )  <->  ( ( log `  2 )  / 
( sqr `  (
2  x.  B ) ) )  <  (
( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  A
) ) ) ) )
176151, 170, 1753bitrd 279 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  <->  ( ( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  B
) ) )  < 
( ( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  A
) ) ) ) )
177176biimpd 207 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  ->  ( ( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  B
) ) )  < 
( ( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  A
) ) ) ) )
178149, 177jcad 533 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  ->  ( ( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  B ) ) )  +  ( ( 9  /  4
)  x.  ( G `
 ( B  / 
2 ) ) ) )  <  ( ( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  A
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( A  /  2 ) ) ) )  /\  (
( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  B
) ) )  < 
( ( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  A
) ) ) ) ) )
179136, 142readdcld 9640 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  B ) ) )  +  ( ( 9  /  4 )  x.  ( G `  ( B  /  2
) ) ) )  e.  RR )
180 rpre 11251 . . . . . 6  |-  ( ( log `  2 )  e.  RR+  ->  ( log `  2 )  e.  RR )
181173, 180ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( log `  2 )  e.  RR
182 rerpdivcl 11272 . . . . 5  |-  ( ( ( log `  2
)  e.  RR  /\  ( sqr `  ( 2  x.  B ) )  e.  RR+ )  ->  (
( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  B
) ) )  e.  RR )
183181, 157, 182sylancr 663 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  B
) ) )  e.  RR )
184144, 146readdcld 9640 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  A ) ) )  +  ( ( 9  /  4 )  x.  ( G `  ( A  /  2
) ) ) )  e.  RR )
185 rerpdivcl 11272 . . . . 5  |-  ( ( ( log `  2
)  e.  RR  /\  ( sqr `  ( 2  x.  A ) )  e.  RR+ )  ->  (
( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  A
) ) )  e.  RR )
186181, 154, 185sylancr 663 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  A
) ) )  e.  RR )
187 lt2add 10058 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  B ) ) )  +  ( ( 9  /  4
)  x.  ( G `
 ( B  / 
2 ) ) ) )  e.  RR  /\  ( ( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  B
) ) )  e.  RR )  /\  (
( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  A ) ) )  +  ( ( 9  /  4 )  x.  ( G `  ( A  /  2
) ) ) )  e.  RR  /\  (
( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  A
) ) )  e.  RR ) )  -> 
( ( ( ( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  B
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( B  /  2 ) ) ) )  <  (
( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  A
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( A  /  2 ) ) ) )  /\  (
( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  B
) ) )  < 
( ( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  A
) ) ) )  ->  ( ( ( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  B
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( B  /  2 ) ) ) )  +  ( ( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  B
) ) ) )  <  ( ( ( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  A
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( A  /  2 ) ) ) )  +  ( ( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  A
) ) ) ) ) )
188179, 183, 184, 186, 187syl22anc 1229 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  B
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( B  /  2 ) ) ) )  <  (
( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  A
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( A  /  2 ) ) ) )  /\  (
( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  B
) ) )  < 
( ( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  A
) ) ) )  ->  ( ( ( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  B
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( B  /  2 ) ) ) )  +  ( ( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  B
) ) ) )  <  ( ( ( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  A
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( A  /  2 ) ) ) )  +  ( ( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  A
) ) ) ) ) )
189178, 188syld 44 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  ->  ( ( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  B ) ) )  +  ( ( 9  /  4
)  x.  ( G `
 ( B  / 
2 ) ) ) )  +  ( ( log `  2 )  /  ( sqr `  (
2  x.  B ) ) ) )  < 
( ( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  A ) ) )  +  ( ( 9  /  4
)  x.  ( G `
 ( A  / 
2 ) ) ) )  +  ( ( log `  2 )  /  ( sqr `  (
2  x.  A ) ) ) ) ) )
190 fveq2 5872 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  B  ->  ( sqr `  n )  =  ( sqr `  B
) )
191190fveq2d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  B  ->  ( G `  ( sqr `  n ) )  =  ( G `  ( sqr `  B ) ) )
192191oveq2d 6312 . . . . . . 7  |-  ( n  =  B  ->  (
( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  n
) ) )  =  ( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  B
) ) ) )
193 oveq1 6303 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  B  ->  (
n  /  2 )  =  ( B  / 
2 ) )
194193fveq2d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  B  ->  ( G `  ( n  /  2 ) )  =  ( G `  ( B  /  2
) ) )
195194oveq2d 6312 . . . . . . 7  |-  ( n  =  B  ->  (
( 9  /  4
)  x.  ( G `
 ( n  / 
2 ) ) )  =  ( ( 9  /  4 )  x.  ( G `  ( B  /  2 ) ) ) )
196192, 195oveq12d 6314 . . . . . 6  |-  ( n  =  B  ->  (
( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  n
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( n  /  2 ) ) ) )  =  ( ( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  B
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( B  /  2 ) ) ) ) )
197 oveq2 6304 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  B  ->  (
2  x.  n )  =  ( 2  x.  B ) )
198197fveq2d 5876 . . . . . . 7  |-  ( n  =  B  ->  ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  =  ( sqr `  (
2  x.  B ) ) )
199198oveq2d 6312 . . . . . 6  |-  ( n  =  B  ->  (
( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  n
) ) )  =  ( ( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  B
) ) ) )
200196, 199oveq12d 6314 . . . . 5  |-  ( n  =  B  ->  (
( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  n ) ) )  +  ( ( 9  /  4 )  x.  ( G `  ( n  /  2
) ) ) )  +  ( ( log `  2 )  / 
( sqr `  (
2  x.  n ) ) ) )  =  ( ( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  B ) ) )  +  ( ( 9  /  4
)  x.  ( G `
 ( B  / 
2 ) ) ) )  +  ( ( log `  2 )  /  ( sqr `  (
2  x.  B ) ) ) ) )
201 bposlem7.1 . . . . 5  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  n ) ) )  +  ( ( 9  /  4
)  x.  ( G `
 ( n  / 
2 ) ) ) )  +  ( ( log `  2 )  /  ( sqr `  (
2  x.  n ) ) ) ) )
202 ovex 6324 . . . . 5  |-  ( ( ( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  B
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( B  /  2 ) ) ) )  +  ( ( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  B
) ) ) )  e.  _V
203200, 201, 202fvmpt 5956 . . . 4  |-  ( B  e.  NN  ->  ( F `  B )  =  ( ( ( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  B
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( B  /  2 ) ) ) )  +  ( ( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  B
) ) ) ) )
2041, 203syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  B
)  =  ( ( ( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  B
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( B  /  2 ) ) ) )  +  ( ( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  B
) ) ) ) )
205 fveq2 5872 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  A  ->  ( sqr `  n )  =  ( sqr `  A
) )
206205fveq2d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  A  ->  ( G `  ( sqr `  n ) )  =  ( G `  ( sqr `  A ) ) )
207206oveq2d 6312 . . . . . . 7  |-  ( n  =  A  ->  (
( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  n
) ) )  =  ( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  A
) ) ) )
208 oveq1 6303 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  A  ->  (
n  /  2 )  =  ( A  / 
2 ) )
209208fveq2d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  A  ->  ( G `  ( n  /  2 ) )  =  ( G `  ( A  /  2
) ) )
210209oveq2d 6312 . . . . . . 7  |-  ( n  =  A  ->  (
( 9  /  4
)  x.  ( G `
 ( n  / 
2 ) ) )  =  ( ( 9  /  4 )  x.  ( G `  ( A  /  2 ) ) ) )
211207, 210oveq12d 6314 . . . . . 6  |-  ( n  =  A  ->  (
( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  n
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( n  /  2 ) ) ) )  =  ( ( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  A
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( A  /  2 ) ) ) ) )
212 oveq2 6304 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  A  ->  (
2  x.  n )  =  ( 2  x.  A ) )
213212fveq2d 5876 . . . . . . 7  |-  ( n  =  A  ->  ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  =  ( sqr `  (
2  x.  A ) ) )
214213oveq2d 6312 . . . . . 6  |-  ( n  =  A  ->  (
( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  n
) ) )  =  ( ( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  A
) ) ) )
215211, 214oveq12d 6314 . . . . 5  |-  ( n  =  A  ->  (
( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  n ) ) )  +  ( ( 9  /  4 )  x.  ( G `  ( n  /  2
) ) ) )  +  ( ( log `  2 )  / 
( sqr `  (
2  x.  n ) ) ) )  =  ( ( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  A ) ) )  +  ( ( 9  /  4
)  x.  ( G `
 ( A  / 
2 ) ) ) )  +  ( ( log `  2 )  /  ( sqr `  (
2  x.  A ) ) ) ) )
216 ovex 6324 . . . . 5  |-  ( ( ( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  A
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( A  /  2 ) ) ) )  +  ( ( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  A
) ) ) )  e.  _V
217215, 201, 216fvmpt 5956 . . . 4  |-  ( A  e.  NN  ->  ( F `  A )  =  ( ( ( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  A
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( A  /  2 ) ) ) )  +  ( ( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  A
) ) ) ) )
21811, 217syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  A
)  =  ( ( ( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  A
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( A  /  2 ) ) ) )  +  ( ( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  A
) ) ) ) )
219204, 218breq12d 4469 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F `  B )  <  ( F `  A )  <->  ( ( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  B ) ) )  +  ( ( 9  /  4 )  x.  ( G `  ( B  /  2
) ) ) )  +  ( ( log `  2 )  / 
( sqr `  (
2  x.  B ) ) ) )  < 
( ( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  A ) ) )  +  ( ( 9  /  4
)  x.  ( G `
 ( A  / 
2 ) ) ) )  +  ( ( log `  2 )  /  ( sqr `  (
2  x.  A ) ) ) ) ) )
220189, 219sylibrd 234 1  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  ->  ( F `  B
)  <  ( F `  A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512    x. cmul 9514    < clt 9645    <_ cle 9646    / cdiv 10227   NNcn 10556   2c2 10606   3c3 10607   4c4 10608   9c9 10613   RR+crp 11245   ^cexp 12169   sqrcsqrt 13078   _eceu 13810   logclog 23068
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ioc 11559  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-mod 12000  df-seq 12111  df-exp 12170  df-fac 12357  df-bc 12384  df-hash 12409  df-shft 12912  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-limsup 13306  df-clim 13323  df-rlim 13324  df-sum 13521  df-ef 13815  df-e 13816  df-sin 13817  df-cos 13818  df-pi 13820  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-hom 14736  df-cco 14737  df-rest 14840  df-topn 14841  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-topgen 14861  df-pt 14862  df-prds 14865  df-xrs 14919  df-qtop 14924  df-imas 14925  df-xps 14927  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-mulg 16187  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-fbas 18543  df-fg 18544  df-cnfld 18548  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-topsp 19530  df-cld 19647  df-ntr 19648  df-cls 19649  df-nei 19726  df-lp 19764  df-perf 19765  df-cn 19855  df-cnp 19856  df-haus 19943  df-tx 20189  df-hmeo 20382  df-fil 20473  df-fm 20565  df-flim 20566  df-flf 20567  df-xms 20949  df-ms 20950  df-tms 20951  df-cncf 21508  df-limc 22396  df-dv 22397  df-log 23070
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