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Theorem bposlem6 21026
Description: Lemma for bpos 21030. By using the various bounds at our disposal, arrive at an inequality that is false for  N large enough. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bpos.1  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
5 ) )
bpos.2  |-  ( ph  ->  -.  E. p  e. 
Prime  ( N  <  p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) )
bpos.3  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ (
n  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) ) ,  1 ) )
bpos.4  |-  K  =  ( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  3 ) )
bpos.5  |-  M  =  ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) )
Assertion
Ref Expression
bposlem6  |-  ( ph  ->  ( ( 4 ^ N )  /  N
)  <  ( (
( 2  x.  N
)  ^ c  ( ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 ) )  x.  ( 2  ^ c  ( ( ( 4  x.  N )  /  3 )  - 
5 ) ) ) )
Distinct variable groups:    F, p    n, p, K    M, p    n, N, p    ph, n, p
Allowed substitution hints:    F( n)    M( n)

Proof of Theorem bposlem6
StepHypRef Expression
1 4nn 10091 . . . . 5  |-  4  e.  NN
2 5nn 10092 . . . . . . 7  |-  5  e.  NN
3 bpos.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
5 ) )
4 nnuz 10477 . . . . . . . 8  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
54uztrn2 10459 . . . . . . 7  |-  ( ( 5  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= ` 
5 ) )  ->  N  e.  NN )
62, 3, 5sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
76nnnn0d 10230 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
8 nnexpcl 11349 . . . . 5  |-  ( ( 4  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 4 ^ N
)  e.  NN )
91, 7, 8sylancr 645 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 4 ^ N
)  e.  NN )
109nnred 9971 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 4 ^ N
)  e.  RR )
1110, 6nndivred 10004 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 4 ^ N )  /  N
)  e.  RR )
12 fzctr 11072 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ( 0 ... (
2  x.  N ) ) )
137, 12syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  ( 0 ... ( 2  x.  N ) ) )
14 bccl2 11569 . . . 4  |-  ( N  e.  ( 0 ... ( 2  x.  N
) )  ->  (
( 2  x.  N
)  _C  N )  e.  NN )
1513, 14syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  _C  N
)  e.  NN )
1615nnred 9971 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  _C  N
)  e.  RR )
17 2nn 10089 . . . . . . 7  |-  2  e.  NN
18 nnmulcl 9979 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( 2  x.  N
)  e.  NN )
1917, 6, 18sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  e.  NN )
2019nnrpd 10603 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  e.  RR+ )
2119nnred 9971 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  e.  RR )
2220rpge0d 10608 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  ( 2  x.  N ) )
2321, 22resqrcld 12175 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( sqr `  (
2  x.  N ) )  e.  RR )
24 3nn 10090 . . . . . . 7  |-  3  e.  NN
25 nndivre 9991 . . . . . . 7  |-  ( ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  e.  RR  /\  3  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 )  e.  RR )
2623, 24, 25sylancl 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 )  e.  RR )
27 2re 10025 . . . . . 6  |-  2  e.  RR
28 readdcl 9029 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 )  e.  RR  /\  2  e.  RR )  ->  (
( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 )  e.  RR )
2926, 27, 28sylancl 644 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  /  3
)  +  2 )  e.  RR )
3020, 29rpcxpcld 20574 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  ^ c 
( ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  /  3
)  +  2 ) )  e.  RR+ )
3130rpred 10604 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  ^ c 
( ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  /  3
)  +  2 ) )  e.  RR )
32 2rp 10573 . . . . 5  |-  2  e.  RR+
33 nnmulcl 9979 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 4  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( 4  x.  N
)  e.  NN )
341, 6, 33sylancr 645 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  N
)  e.  NN )
3534nnred 9971 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  N
)  e.  RR )
36 nndivre 9991 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 4  x.  N
)  e.  RR  /\  3  e.  NN )  ->  ( ( 4  x.  N )  /  3
)  e.  RR )
3735, 24, 36sylancl 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 4  x.  N )  /  3
)  e.  RR )
38 5re 10031 . . . . . 6  |-  5  e.  RR
39 resubcl 9321 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( 4  x.  N )  /  3
)  e.  RR  /\  5  e.  RR )  ->  ( ( ( 4  x.  N )  / 
3 )  -  5 )  e.  RR )
4037, 38, 39sylancl 644 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( 4  x.  N )  / 
3 )  -  5 )  e.  RR )
41 rpcxpcl 20520 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  (
( ( 4  x.  N )  /  3
)  -  5 )  e.  RR )  -> 
( 2  ^ c 
( ( ( 4  x.  N )  / 
3 )  -  5 ) )  e.  RR+ )
4232, 40, 41sylancr 645 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 2  ^ c 
( ( ( 4  x.  N )  / 
3 )  -  5 ) )  e.  RR+ )
4342rpred 10604 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 2  ^ c 
( ( ( 4  x.  N )  / 
3 )  -  5 ) )  e.  RR )
4431, 43remulcld 9072 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  N )  ^ c  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 ) )  x.  ( 2  ^ c 
( ( ( 4  x.  N )  / 
3 )  -  5 ) ) )  e.  RR )
45 df-5 10017 . . . . 5  |-  5  =  ( 4  +  1 )
461nnzi 10261 . . . . . 6  |-  4  e.  ZZ
47 uzid 10456 . . . . . 6  |-  ( 4  e.  ZZ  ->  4  e.  ( ZZ>= `  4 )
)
48 peano2uz 10486 . . . . . 6  |-  ( 4  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( 4  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  4 )
)
4946, 47, 48mp2b 10 . . . . 5  |-  ( 4  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  4 )
5045, 49eqeltri 2474 . . . 4  |-  5  e.  ( ZZ>= `  4 )
51 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( ZZ>= ` 
4 )  =  (
ZZ>= `  4 )
5251uztrn2 10459 . . . 4  |-  ( ( 5  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  5 )
)  ->  N  e.  ( ZZ>= `  4 )
)
5350, 3, 52sylancr 645 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
4 ) )
54 bclbnd 21017 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( (
4 ^ N )  /  N )  < 
( ( 2  x.  N )  _C  N
) )
5553, 54syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 4 ^ N )  /  N
)  <  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )
56 bpos.3 . . . . . . . 8  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ (
n  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) ) ,  1 ) )
57 id 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  Prime  ->  n  e. 
Prime )
58 pccl 13178 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  Prime  /\  (
( 2  x.  N
)  _C  N )  e.  NN )  -> 
( n  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  e.  NN0 )
5957, 15, 58syl2anr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Prime )  ->  ( n  pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  e.  NN0 )
6059ralrimiva 2749 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. n  e.  Prime  ( n  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN0 )
6156, 60pcmptcl 13215 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F : NN --> NN  /\  seq  1 (  x.  ,  F ) : NN --> NN ) )
6261simprd 450 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  seq  1 (  x.  ,  F ) : NN --> NN )
63 bpos.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  -.  E. p  e. 
Prime  ( N  <  p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) )
64 bpos.4 . . . . . . . . 9  |-  K  =  ( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  3 ) )
65 bpos.5 . . . . . . . . 9  |-  M  =  ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) )
663, 63, 56, 64, 65bposlem4 21024 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  ( 3 ... K ) )
67 elfzuz 11011 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ( 3 ... K )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  3 )
)
6866, 67syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
3 ) )
694uztrn2 10459 . . . . . . 7  |-  ( ( 3  e.  NN  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
3 ) )  ->  M  e.  NN )
7024, 68, 69sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
7162, 70ffvelrnd 5830 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 M )  e.  NN )
7271nnred 9971 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 M )  e.  RR )
73 2z 10268 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  ZZ
74 nndivre 9991 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  RR  /\  3  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  N )  /  3
)  e.  RR )
7521, 24, 74sylancl 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  /  3
)  e.  RR )
7675flcld 11162 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  3 ) )  e.  ZZ )
7764, 76syl5eqel 2488 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  e.  ZZ )
78 zmulcl 10280 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  K
)  e.  ZZ )
7973, 77, 78sylancr 645 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  K
)  e.  ZZ )
802nnzi 10261 . . . . . . . 8  |-  5  e.  ZZ
81 zsubcl 10275 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 2  x.  K
)  e.  ZZ  /\  5  e.  ZZ )  ->  ( ( 2  x.  K )  -  5 )  e.  ZZ )
8279, 80, 81sylancl 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  K )  -  5 )  e.  ZZ )
8382zred 10331 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  K )  -  5 )  e.  RR )
84 rpcxpcl 20520 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  (
( 2  x.  K
)  -  5 )  e.  RR )  -> 
( 2  ^ c 
( ( 2  x.  K )  -  5 ) )  e.  RR+ )
8532, 83, 84sylancr 645 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 2  ^ c 
( ( 2  x.  K )  -  5 ) )  e.  RR+ )
8685rpred 10604 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 2  ^ c 
( ( 2  x.  K )  -  5 ) )  e.  RR )
8772, 86remulcld 9072 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  M )  x.  ( 2  ^ c 
( ( 2  x.  K )  -  5 ) ) )  e.  RR )
883, 63, 56, 64bposlem3 21023 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 K )  =  ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )
89 elfzuz3 11012 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ( 3 ... K )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M )
)
9066, 89syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M ) )
9156, 60, 70, 90pcmptdvds 13218 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 M )  ||  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  K ) )
9271nnzd 10330 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 M )  e.  ZZ )
9371nnne0d 10000 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 M )  =/=  0 )
94 uztrn 10458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  M  e.  ( ZZ>= `  3 )
)  ->  K  e.  ( ZZ>= `  3 )
)
9590, 68, 94syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  K  e.  ( ZZ>= ` 
3 ) )
964uztrn2 10459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 3  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
3 ) )  ->  K  e.  NN )
9724, 95, 96sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  K  e.  NN )
9862, 97ffvelrnd 5830 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 K )  e.  NN )
9998nnzd 10330 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 K )  e.  ZZ )
100 dvdsval2 12810 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 M )  e.  ZZ  /\  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M
)  =/=  0  /\  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 K )  e.  ZZ )  ->  (
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 M )  ||  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  K )  <->  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  K
)  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M
) )  e.  ZZ ) )
10192, 93, 99, 100syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  M )  ||  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  K )  <->  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 K )  / 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 M ) )  e.  ZZ ) )
10291, 101mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  K )  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  M )
)  e.  ZZ )
103102zred 10331 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  K )  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  M )
)  e.  RR )
10470nnred 9971 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
105 eluzelre 10453 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  K  e.  RR )
10690, 105syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  e.  RR )
107 eluzle 10454 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  <_  K )
10890, 107syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  <_  K )
109 efchtdvds 20895 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  RR  /\  K  e.  RR  /\  M  <_  K )  ->  ( exp `  ( theta `  M
) )  ||  ( exp `  ( theta `  K
) ) )
110104, 106, 108, 109syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( theta `  M ) ) 
||  ( exp `  ( theta `  K ) ) )
111 efchtcl 20847 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  RR  ->  ( exp `  ( theta `  M
) )  e.  NN )
112104, 111syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( theta `  M ) )  e.  NN )
113112nnzd 10330 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( theta `  M ) )  e.  ZZ )
114112nnne0d 10000 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( theta `  M ) )  =/=  0 )
115 efchtcl 20847 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  RR  ->  ( exp `  ( theta `  K
) )  e.  NN )
116106, 115syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( theta `  K ) )  e.  NN )
117116nnzd 10330 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( theta `  K ) )  e.  ZZ )
118 dvdsval2 12810 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( exp `  ( theta `  M ) )  e.  ZZ  /\  ( exp `  ( theta `  M
) )  =/=  0  /\  ( exp `  ( theta `  K ) )  e.  ZZ )  -> 
( ( exp `  ( theta `  M ) ) 
||  ( exp `  ( theta `  K ) )  <-> 
( ( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) )  e.  ZZ ) )
119113, 114, 117, 118syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( exp `  ( theta `  M ) ) 
||  ( exp `  ( theta `  K ) )  <-> 
( ( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) )  e.  ZZ ) )
120110, 119mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) )  e.  ZZ )
121120zred 10331 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) )  e.  RR )
122 prmz 13038 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  ZZ )
123 fllt 11170 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  e.  RR  /\  p  e.  ZZ )  ->  ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  <  p  <->  ( |_ `  ( sqr `  (
2  x.  N ) ) )  <  p
) )
12423, 122, 123syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  < 
p  <->  ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) )  <  p ) )
12565breq1i 4179 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  <  p  <->  ( |_ `  ( sqr `  (
2  x.  N ) ) )  <  p
)
126124, 125syl6bbr 255 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  < 
p  <->  M  <  p ) )
127122zred 10331 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  RR )
128 ltnle 9111 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  e.  RR  /\  p  e.  RR )  ->  ( M  <  p  <->  -.  p  <_  M )
)
129104, 127, 128syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( M  <  p  <->  -.  p  <_  M ) )
130126, 129bitrd 245 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  < 
p  <->  -.  p  <_  M ) )
131 bposlem1 21021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p ^ (
p  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) )  <_  ( 2  x.  N ) )
1326, 131sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( p ^ ( p  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )  <_  (
2  x.  N ) )
133127adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  p  e.  RR )
134 id 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e. 
Prime )
135 pccl 13178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  (
( 2  x.  N
)  _C  N )  e.  NN )  -> 
( p  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  e.  NN0 )
136134, 15, 135syl2anr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( p  pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  e.  NN0 )
137133, 136reexpcld 11495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( p ^ ( p  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )  e.  RR )
13821adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( 2  x.  N )  e.  RR )
139133resqcld 11504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( p ^ 2 )  e.  RR )
140 lelttr 9121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( p ^ (
p  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) )  e.  RR  /\  ( 2  x.  N
)  e.  RR  /\  ( p ^ 2 )  e.  RR )  ->  ( ( ( p ^ ( p 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) )  <_  ( 2  x.  N )  /\  (
2  x.  N )  <  ( p ^
2 ) )  -> 
( p ^ (
p  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) )  <  ( p ^ 2 ) ) )
141137, 138, 139, 140syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( (
( p ^ (
p  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) )  <_  ( 2  x.  N )  /\  ( 2  x.  N
)  <  ( p ^ 2 ) )  ->  ( p ^
( p  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )  <  (
p ^ 2 ) ) )
142132, 141mpand 657 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( (
2  x.  N )  <  ( p ^
2 )  ->  (
p ^ ( p 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) )  <  ( p ^
2 ) ) )
143 resqrth 12016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  RR  /\  0  <_  ( 2  x.  N ) )  -> 
( ( sqr `  (
2  x.  N ) ) ^ 2 )  =  ( 2  x.  N ) )
14421, 22, 143syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  (
2  x.  N ) ) ^ 2 )  =  ( 2  x.  N ) )
145144breq1d 4182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) ^ 2 )  <  ( p ^ 2 )  <->  ( 2  x.  N )  < 
( p ^ 2 ) ) )
146145adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( (
( sqr `  (
2  x.  N ) ) ^ 2 )  <  ( p ^
2 )  <->  ( 2  x.  N )  < 
( p ^ 2 ) ) )
147136nn0zd 10329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( p  pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  e.  ZZ )
14873a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  2  e.  ZZ )
149 prmuz2 13052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
150 eluz2b1 10503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( p  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( p  e.  ZZ  /\  1  < 
p ) )
151150simprbi 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( p  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  <  p )
152149, 151syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( p  e.  Prime  ->  1  < 
p )
153152adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  1  <  p )
154133, 147, 148, 153ltexp2d 11507 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( (
p  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  <  2  <->  ( p ^ ( p  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )  <  (
p ^ 2 ) ) )
155142, 146, 1543imtr4d 260 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( (
( sqr `  (
2  x.  N ) ) ^ 2 )  <  ( p ^
2 )  ->  (
p  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  <  2 ) )
156 df-2 10014 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  =  ( 1  +  1 )
157156breq2i 4180 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( p  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  <  2  <->  ( p  pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  <  (
1  +  1 ) )
158155, 157syl6ib 218 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( (
( sqr `  (
2  x.  N ) ) ^ 2 )  <  ( p ^
2 )  ->  (
p  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  <  ( 1  +  1 ) ) )
15923adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  e.  RR )
16021, 22sqrge0d 12178 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  0  <_  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) )
161160adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  0  <_  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) )
162 prmnn 13037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  NN )
163162nnrpd 10603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  RR+ )
164163rpge0d 10608 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( p  e.  Prime  ->  0  <_  p )
165164adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  0  <_  p )
166159, 133, 161, 165lt2sqd 11512 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  < 
p  <->  ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) ^ 2 )  <  ( p ^ 2 ) ) )
167 1z 10267 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  ZZ
168 zleltp1 10282 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( p  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( ( p  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) )  <_  1  <->  ( p  pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  <  (
1  +  1 ) ) )
169147, 167, 168sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( (
p  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  <_  1  <->  ( p  pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  <  (
1  +  1 ) ) )
170158, 166, 1693imtr4d 260 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  < 
p  ->  ( p  pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  <_  1
) )
171130, 170sylbird 227 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( -.  p  <_  M  ->  (
p  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  <_  1 ) )
172171imp 419 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  -.  p  <_  M )  -> 
( p  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  <_  1 )
173172adantrl 697 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  (
p  <_  K  /\  -.  p  <_  M ) )  ->  ( p  pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  <_  1
)
174 iftrue 3705 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M )  ->  if ( ( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M ) ,  ( p  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) ,  0 )  =  ( p  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )
175174adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  (
p  <_  K  /\  -.  p  <_  M ) )  ->  if (
( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M
) ,  ( p 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) ,  0 )  =  ( p  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) )
176 iftrue 3705 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M )  ->  if ( ( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M ) ,  1 ,  0 )  =  1 )
177176adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  (
p  <_  K  /\  -.  p  <_  M ) )  ->  if (
( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M
) ,  1 ,  0 )  =  1 )
178173, 175, 1773brtr4d 4202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  (
p  <_  K  /\  -.  p  <_  M ) )  ->  if (
( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M
) ,  ( p 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) ,  0 )  <_  if ( ( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M ) ,  1 ,  0 ) )
179 0le0 10037 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <_  0
180 iffalse 3706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  ( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M
)  ->  if (
( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M
) ,  ( p 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) ,  0 )  =  0 )
181 iffalse 3706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  ( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M
)  ->  if (
( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M
) ,  1 ,  0 )  =  0 )
182180, 181breq12d 4185 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  ( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M
)  ->  ( if ( ( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M ) ,  ( p  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) ,  0 )  <_  if ( ( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M ) ,  1 ,  0 )  <->  0  <_  0 ) )
183179, 182mpbiri 225 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M
)  ->  if (
( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M
) ,  ( p 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) ,  0 )  <_  if ( ( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M ) ,  1 ,  0 ) )
184183adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  -.  ( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M ) )  ->  if (
( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M
) ,  ( p 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) ,  0 )  <_  if ( ( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M ) ,  1 ,  0 ) )
185178, 184pm2.61dan 767 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  if (
( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M
) ,  ( p 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) ,  0 )  <_  if ( ( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M ) ,  1 ,  0 ) )
18660adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  A. n  e.  Prime  ( n  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) )  e.  NN0 )
18770adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  M  e.  NN )
188 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  p  e.  Prime )
189 oveq1 6047 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  p  ->  (
n  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  =  ( p  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )
19090adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M )
)
19156, 186, 187, 188, 189, 190pcmpt2 13217 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( p  pCnt  ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  K )  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  M )
) )  =  if ( ( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M ) ,  ( p  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) ,  0 ) )
192 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) )
193192prmorcht 20914 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  NN  ->  ( exp `  ( theta `  K
) )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) ) ) `
 K ) )
19497, 193syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( theta `  K ) )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) ) ) `  K
) )
195192prmorcht 20914 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  NN  ->  ( exp `  ( theta `  M
) )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) ) ) `
 M ) )
19670, 195syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( theta `  M ) )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) ) ) `  M
) )
197194, 196oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) )  =  ( (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) ) ) `
 K )  / 
(  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) ) ) `  M ) ) )
198197adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( ( exp `  ( theta `  K
) )  /  ( exp `  ( theta `  M
) ) )  =  ( (  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) ) ) `  K
)  /  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) ) ) `  M
) ) )
199198oveq2d 6056 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( p  pCnt  ( ( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) ) )  =  ( p  pCnt  ( (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) ) ) `  K
)  /  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) ) ) `  M
) ) ) )
200 nncn 9964 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  CC )
201200exp1d 11473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n ^ 1 )  =  n )
202201ifeq1d 3713 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ 1 ) ,  1 )  =  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) )
203202mpteq2ia 4251 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ 1 ) ,  1 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) )
204203eqcomi 2408 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ 1 ) ,  1 ) )
205 1nn0 10193 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  NN0
206205a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Prime )  ->  1  e.  NN0 )
207206ralrimiva 2749 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. n  e.  Prime  1  e.  NN0 )
208207adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  A. n  e.  Prime  1  e.  NN0 )
209 eqidd 2405 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  p  ->  1  =  1 )
210204, 208, 187, 188, 209, 190pcmpt2 13217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( p  pCnt  ( (  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) ) ) `  K
)  /  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) ) ) `  M
) ) )  =  if ( ( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M ) ,  1 ,  0 ) )
211199, 210eqtrd 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( p  pCnt  ( ( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) ) )  =  if ( ( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M ) ,  1 ,  0 ) )
212185, 191, 2113brtr4d 4202 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( p  pCnt  ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  K )  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  M )
) )  <_  (
p  pCnt  ( ( exp `  ( theta `  K
) )  /  ( exp `  ( theta `  M
) ) ) ) )
213212ralrimiva 2749 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  K
)  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M
) ) )  <_ 
( p  pCnt  (
( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) ) ) )
214 pc2dvds 13207 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  K )  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  M )
)  e.  ZZ  /\  ( ( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) )  e.  ZZ )  ->  ( ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  K )  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M
) )  ||  (
( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) )  <->  A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  K
)  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M
) ) )  <_ 
( p  pCnt  (
( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) ) ) ) )
215102, 120, 214syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  K
)  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M
) )  ||  (
( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) )  <->  A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  K
)  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M
) ) )  <_ 
( p  pCnt  (
( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) ) ) ) )
216213, 215mpbird 224 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  K )  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  M )
)  ||  ( ( exp `  ( theta `  K
) )  /  ( exp `  ( theta `  M
) ) ) )
217116nnred 9971 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( theta `  K ) )  e.  RR )
218112nnred 9971 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( theta `  M ) )  e.  RR )
219116nngt0d 9999 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <  ( exp `  ( theta `  K )
) )
220112nngt0d 9999 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <  ( exp `  ( theta `  M )
) )
221217, 218, 219, 220divgt0d 9902 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( exp `  ( theta `  K ) )  / 
( exp `  ( theta `  M ) ) ) )
222 elnnz 10248 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) )  e.  NN  <->  ( (
( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) )  e.  ZZ  /\  0  <  ( ( exp `  ( theta `  K )
)  /  ( exp `  ( theta `  M )
) ) ) )
223120, 221, 222sylanbrc 646 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) )  e.  NN )
224 dvdsle 12850 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  K )  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  M )
)  e.  ZZ  /\  ( ( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) )  e.  NN )  ->  ( ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  K )  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M
) )  ||  (
( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) )  ->  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  K
)  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M
) )  <_  (
( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) ) ) )
225102, 223, 224syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  K
)  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M
) )  ||  (
( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) )  ->  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  K
)  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M
) )  <_  (
( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) ) ) )
226216, 225mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  K )  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  M )
)  <_  ( ( exp `  ( theta `  K
) )  /  ( exp `  ( theta `  M
) ) ) )
227 nndivre 9991 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( exp `  ( theta `  K ) )  e.  RR  /\  4  e.  NN )  ->  (
( exp `  ( theta `  K ) )  /  4 )  e.  RR )
228217, 1, 227sylancl 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( exp `  ( theta `  K ) )  /  4 )  e.  RR )
229 4re 10029 . . . . . . . . . 10  |-  4  e.  RR
230229a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  4  e.  RR )
231 6re 10032 . . . . . . . . . 10  |-  6  e.  RR
232231a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  6  e.  RR )
233 4lt6 10109 . . . . . . . . . 10  |-  4  <  6
234233a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  4  <  6 )
235 cht3 20909 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( theta `  3 )  =  ( log `  6
)
236235fveq2i 5690 . . . . . . . . . . 11  |-  ( exp `  ( theta `  3 )
)  =  ( exp `  ( log `  6
) )
237 6pos 10044 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <  6
238231, 237elrpii 10571 . . . . . . . . . . . 12  |-  6  e.  RR+
239 reeflog 20428 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 6  e.  RR+  ->  ( exp `  ( log `  6
) )  =  6 )
240238, 239ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( exp `  ( log `  6
) )  =  6
241236, 240eqtri 2424 . . . . . . . . . 10  |-  ( exp `  ( theta `  3 )
)  =  6
242 3re 10027 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  e.  RR
243242a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  3  e.  RR )
244 eluzle 10454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  3  <_  M )
24568, 244syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  3  <_  M )
246 chtwordi 20892 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 3  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  3  <_  M )  ->  ( theta `  3 )  <_ 
( theta `  M )
)
247243, 104, 245, 246syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( theta `  3 )  <_  ( theta `  M )
)
248 chtcl 20845 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 3  e.  RR  ->  ( theta `  3 )  e.  RR )
249242, 248ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( theta `  3 )  e.  RR
250 chtcl 20845 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  RR  ->  ( theta `  M )  e.  RR )
251104, 250syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( theta `  M )  e.  RR )
252 efle 12674 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( theta `  3 )  e.  RR  /\  ( theta `  M )  e.  RR )  ->  ( ( theta `  3 )  <_ 
( theta `  M )  <->  ( exp `  ( theta `  3 ) )  <_  ( exp `  ( theta `  M ) ) ) )
253249, 251, 252sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( theta `  3
)  <_  ( theta `  M )  <->  ( exp `  ( theta `  3 )
)  <_  ( exp `  ( theta `  M )
) ) )
254247, 253mpbid 202 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( theta `  3 ) )  <_  ( exp `  ( theta `  M ) ) )
255241, 254syl5eqbrr 4206 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  6  <_  ( exp `  ( theta `  M )
) )
256230, 232, 218, 234, 255ltletrd 9186 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  4  <  ( exp `  ( theta `  M )
) )
257 4pos 10042 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  4
258257a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <  4 )
259 ltdiv2OLD 9852 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 4  e.  RR  /\  ( exp `  ( theta `  M ) )  e.  RR  /\  ( exp `  ( theta `  K
) )  e.  RR )  /\  ( 0  <  4  /\  0  < 
( exp `  ( theta `  M ) )  /\  0  <  ( exp `  ( theta `  K
) ) ) )  ->  ( 4  < 
( exp `  ( theta `  M ) )  <-> 
( ( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) )  <  ( ( exp `  ( theta `  K ) )  / 
4 ) ) )
260230, 218, 217, 258, 220, 219, 259syl33anc 1199 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 4  <  ( exp `  ( theta `  M
) )  <->  ( ( exp `  ( theta `  K
) )  /  ( exp `  ( theta `  M
) ) )  < 
( ( exp `  ( theta `  K ) )  /  4 ) ) )
261256, 260mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) )  <  ( ( exp `  ( theta `  K ) )  / 
4 ) )
26227a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  2  e.  RR )
263 2lt3 10099 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  <  3
264263a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  2  <  3 )
265243, 104, 106, 245, 108letrd 9183 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  3  <_  K )
266262, 243, 106, 264, 265ltletrd 9186 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  2  <  K )
267 chtub 20949 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  RR  /\  2  <  K )  -> 
( theta `  K )  <  ( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  K )  -  3 ) ) )
268106, 266, 267syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( theta `  K )  <  ( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  K )  -  3 ) ) )
269 chtcl 20845 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  RR  ->  ( theta `  K )  e.  RR )
270106, 269syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( theta `  K )  e.  RR )
271 relogcl 20426 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  e.  RR+  ->  ( log `  2 )  e.  RR )
27232, 271ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( log `  2 )  e.  RR
27324nnzi 10261 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  3  e.  ZZ
274 zsubcl 10275 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 2  x.  K
)  e.  ZZ  /\  3  e.  ZZ )  ->  ( ( 2  x.  K )  -  3 )  e.  ZZ )
27579, 273, 274sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  K )  -  3 )  e.  ZZ )
276275zred 10331 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  K )  -  3 )  e.  RR )
277 remulcl 9031 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( log `  2
)  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  K )  -  3 )  e.  RR )  ->  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  K )  -  3 ) )  e.  RR )
278272, 276, 277sylancr 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  K )  -  3 ) )  e.  RR )
279 eflt 12673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( theta `  K )  e.  RR  /\  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  K )  - 
3 ) )  e.  RR )  ->  (
( theta `  K )  <  ( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  K )  -  3 ) )  <-> 
( exp `  ( theta `  K ) )  <  ( exp `  (
( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  K )  -  3 ) ) ) ) )
280270, 278, 279syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( theta `  K
)  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  K )  -  3 ) )  <->  ( exp `  ( theta `  K )
)  <  ( exp `  ( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  K )  -  3 ) ) ) ) )
281268, 280mpbid 202 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( theta `  K ) )  <  ( exp `  (
( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  K )  -  3 ) ) ) )
282 reexplog 20442 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  (
( 2  x.  K
)  -  3 )  e.  ZZ )  -> 
( 2 ^ (
( 2  x.  K
)  -  3 ) )  =  ( exp `  ( ( ( 2  x.  K )  - 
3 )  x.  ( log `  2 ) ) ) )
28332, 275, 282sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ (
( 2  x.  K
)  -  3 ) )  =  ( exp `  ( ( ( 2  x.  K )  - 
3 )  x.  ( log `  2 ) ) ) )
284275zcnd 10332 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  K )  -  3 )  e.  CC )
285272recni 9058 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( log `  2 )  e.  CC
286 mulcom 9032 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( 2  x.  K )  -  3 )  e.  CC  /\  ( log `  2 )  e.  CC )  -> 
( ( ( 2  x.  K )  - 
3 )  x.  ( log `  2 ) )  =  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  K )  -  3 ) ) )
287284, 285, 286sylancl 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  K )  - 
3 )  x.  ( log `  2 ) )  =  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  K )  -  3 ) ) )
288287fveq2d 5691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( exp `  (
( ( 2  x.  K )  -  3 )  x.  ( log `  2 ) ) )  =  ( exp `  ( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  K )  -  3 ) ) ) )
289283, 288eqtrd 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ (
( 2  x.  K
)  -  3 ) )  =  ( exp `  ( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  K )  -  3 ) ) ) )
290281, 289breqtrrd 4198 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( theta `  K ) )  <  ( 2 ^ ( ( 2  x.  K )  -  3 ) ) )
291 3p2e5 10067 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 3  +  2 )  =  5
292291oveq1i 6050 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 3  +  2 )  -  2 )  =  ( 5  -  2 )
293 3cn 10028 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  3  e.  CC
294 2cn 10026 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  e.  CC
295 pncan 9267 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  ( ( 3  +  2 )  -  2 )  =  3 )
296293, 294, 295mp2an 654 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 3  +  2 )  -  2 )  =  3
297292, 296eqtr3i 2426 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 5  -  2 )  =  3
298297oveq2i 6051 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  x.  K )  -  ( 5  -  2 ) )  =  ( ( 2  x.  K )  -  3 )
29979zcnd 10332 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  K
)  e.  CC )
3002nncni 9966 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  5  e.  CC
301 subsub 9287 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 2  x.  K
)  e.  CC  /\  5  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  (
( 2  x.  K
)  -  ( 5  -  2 ) )  =  ( ( ( 2  x.  K )  -  5 )  +  2 ) )
302300, 294, 301mp3an23 1271 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  x.  K )  e.  CC  ->  (
( 2  x.  K
)  -  ( 5  -  2 ) )  =  ( ( ( 2  x.  K )  -  5 )  +  2 ) )
303299, 302syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  K )  -  (
5  -  2 ) )  =  ( ( ( 2  x.  K
)  -  5 )  +  2 ) )
304298, 303syl5eqr 2450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  K )  -  3 )  =  ( ( ( 2  x.  K
)  -  5 )  +  2 ) )
305304oveq2d 6056 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 2  ^ c 
( ( 2  x.  K )  -  3 ) )  =  ( 2  ^ c  ( ( ( 2  x.  K )  -  5 )  +  2 ) ) )
306 2ne0 10039 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  =/=  0
307 cxpexpz 20511 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0  /\  (
( 2  x.  K
)  -  3 )  e.  ZZ )  -> 
( 2  ^ c 
( ( 2  x.  K )  -  3 ) )  =  ( 2 ^ ( ( 2  x.  K )  -  3 ) ) )
308294, 306, 307mp3an12 1269 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2  x.  K
)  -  3 )  e.  ZZ  ->  (
2  ^ c  ( ( 2  x.  K
)  -  3 ) )  =  ( 2 ^ ( ( 2  x.  K )  - 
3 ) ) )
309275, 308syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 2  ^ c 
( ( 2  x.  K )  -  3 ) )  =  ( 2 ^ ( ( 2  x.  K )  -  3 ) ) )
31082zcnd 10332 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  K )  -  5 )  e.  CC )
311294, 306pm3.2i 442 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
312 cxpadd 20523 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  /\  ( ( 2  x.  K )  - 
5 )  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  ( 2  ^ c  ( ( ( 2  x.  K )  -  5 )  +  2 ) )  =  ( ( 2  ^ c  ( ( 2  x.  K )  - 
5 ) )  x.  ( 2  ^ c 
2 ) ) )
313311, 294, 312mp3an13 1270 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2  x.  K
)  -  5 )  e.  CC  ->  (
2  ^ c  ( ( ( 2  x.  K )  -  5 )  +  2 ) )  =  ( ( 2  ^ c  ( ( 2  x.  K
)  -  5 ) )  x.  ( 2  ^ c  2 ) ) )
314310, 313syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 2  ^ c 
( ( ( 2  x.  K )  - 
5 )  +  2 ) )  =  ( ( 2  ^ c 
( ( 2  x.  K )  -  5 ) )  x.  (
2  ^ c  2 ) ) )
315305, 309, 3143eqtr3d 2444 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ (
( 2  x.  K
)  -  3 ) )  =  ( ( 2  ^ c  ( ( 2  x.  K
)  -  5 ) )  x.  ( 2  ^ c  2 ) ) )
316 2nn0 10194 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  NN0
317 cxpexp 20512 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  2  e.  NN0 )  -> 
( 2  ^ c 
2 )  =  ( 2 ^ 2 ) )
318294, 316, 317mp2an 654 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  ^ c  2 )  =  ( 2 ^ 2 )
319 sq2 11432 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2 ^ 2 )  =  4
320318, 319eqtri 2424 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  ^ c  2 )  =  4
321320oveq2i 6051 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  ^ c  ( ( 2  x.  K
)  -  5 ) )  x.  ( 2  ^ c  2 ) )  =  ( ( 2  ^ c  ( ( 2  x.  K
)  -  5 ) )  x.  4 )
322315, 321syl6eq 2452 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ (
( 2  x.  K
)  -  3 ) )  =  ( ( 2  ^ c  ( ( 2  x.  K
)  -  5 ) )  x.  4 ) )
323290, 322breqtrd 4196 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( theta `  K ) )  <  ( ( 2  ^ c  ( ( 2  x.  K )  -  5 ) )  x.  4 ) )
324229, 257pm3.2i 442 . . . . . . . . . 10  |-  ( 4  e.  RR  /\  0  <  4 )
325324a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 4  e.  RR  /\  0  <  4 ) )
326 ltdivmul2 9841 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( exp `  ( theta `  K ) )  e.  RR  /\  (
2  ^ c  ( ( 2  x.  K
)  -  5 ) )  e.  RR  /\  ( 4  e.  RR  /\  0  <  4 ) )  ->  ( (
( exp `  ( theta `  K ) )  /  4 )  < 
( 2  ^ c 
( ( 2  x.  K )  -  5 ) )  <->  ( exp `  ( theta `  K )
)  <  ( (
2  ^ c  ( ( 2  x.  K
)  -  5 ) )  x.  4 ) ) )
327217, 86, 325, 326syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( exp `  ( theta `  K )
)  /  4 )  <  ( 2  ^ c  ( ( 2  x.  K )  - 
5 ) )  <->  ( exp `  ( theta `  K )
)  <  ( (
2  ^ c  ( ( 2  x.  K
)  -  5 ) )  x.  4 ) ) )
328323, 327mpbird 224 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( exp `  ( theta `  K ) )  /  4 )  < 
( 2  ^ c 
( ( 2  x.  K )  -  5 ) ) )
329121, 228, 86, 261, 328lttrd 9187 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) )  <  ( 2  ^ c  ( ( 2  x.  K )  -  5 ) ) )
330103, 121, 86, 226, 329lelttrd 9184 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  K )  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  M )
)  <  ( 2  ^ c  ( ( 2  x.  K )  -  5 ) ) )
33198nnred 9971 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 K )  e.  RR )
332 nnre 9963 . . . . . . . 8  |-  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M )  e.  NN  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 M )  e.  RR )
333 nngt0 9985 . . . . . . . 8  |-  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M )  e.  NN  ->  0  <  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M
) )
334332, 333jca 519 . . . . . . 7  |-  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M )  e.  NN  ->  ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  M )  e.  RR  /\  0  < 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 M ) ) )
33571, 334syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  M )  e.  RR  /\  0  < 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 M ) ) )
336 ltdivmul 9838 . . . . . 6  |-  ( ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 K )  e.  RR  /\  ( 2  ^ c  ( ( 2  x.  K )  -  5 ) )  e.  RR  /\  (
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 M )  e.  RR  /\  0  < 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 M ) ) )  ->  ( (
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 K )  / 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 M ) )  <  ( 2  ^ c  ( ( 2  x.  K )  - 
5 ) )  <->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  K
)  <  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M
)  x.  ( 2  ^ c  ( ( 2  x.  K )  -  5 ) ) ) ) )
337331, 86, 335, 336syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  K
)  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M
) )  <  (
2  ^ c  ( ( 2  x.  K
)  -  5 ) )  <->  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  K )  <  ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  M )  x.  ( 2  ^ c 
( ( 2  x.  K )  -  5 ) ) ) ) )
338330, 337mpbid 202 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 K )  < 
( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  M )  x.  ( 2  ^ c 
( ( 2  x.  K )  -  5 ) ) ) )
33988, 338eqbrtrrd 4194 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  _C  N
)  <  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M
)  x.  ( 2  ^ c  ( ( 2  x.  K )  -  5 ) ) ) )
34031, 86remulcld 9072 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  N )  ^ c  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 ) )  x.  ( 2  ^ c 
( ( 2  x.  K )  -  5 ) ) )  e.  RR )
3413, 63, 56, 64, 65bposlem5 21025 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 M )  <_ 
( ( 2  x.  N )  ^ c 
( ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  /  3
)  +  2 ) ) )
34272, 31, 85lemul1d 10643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  M )  <_  ( ( 2  x.  N )  ^ c 
( ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  /  3
)  +  2 ) )  <->  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M
)  x.  ( 2  ^ c  ( ( 2  x.  K )  -  5 ) ) )  <_  ( (
( 2  x.  N
)  ^ c  ( ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 ) )  x.  ( 2  ^ c  ( ( 2  x.  K )  - 
5 ) ) ) ) )
343341, 342mpbid 202 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  M )  x.  ( 2  ^ c 
( ( 2  x.  K )  -  5 ) ) )  <_ 
( ( ( 2  x.  N )  ^ c  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 ) )  x.  ( 2  ^ c 
( ( 2  x.  K )  -  5 ) ) ) )
34479zred 10331 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  K
)  e.  RR )
34538a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  5  e.  RR )
346 flle 11163 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  /  3 )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  / 
3 ) )  <_ 
( ( 2  x.  N )  /  3
) )
34775, 346syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  3 ) )  <_  ( (
2  x.  N )  /  3 ) )
34864, 347syl5eqbr 4205 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  <_  ( (
2  x.  N )  /  3 ) )
34977zred 10331 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  K  e.  RR )
350 2pos 10038 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  2
35127, 350pm3.2i 442 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
352351a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )
353 lemul2 9819 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  N )  /  3
)  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( K  <_  ( ( 2  x.  N )  /  3
)  <->  ( 2  x.  K )  <_  (
2  x.  ( ( 2  x.  N )  /  3 ) ) ) )
354349, 75, 352, 353syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( K  <_  (
( 2  x.  N
)  /  3 )  <-> 
( 2  x.  K
)  <_  ( 2  x.  ( ( 2  x.  N )  / 
3 ) ) ) )
355348, 354mpbid 202 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  K
)  <_  ( 2  x.  ( ( 2  x.  N )  / 
3 ) ) )
35619nncnd 9972 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  e.  CC )
357 3ne0 10041 . . . . . . . . . . . 12  |-  3  =/=  0
358293, 357pm3.2i 442 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 3  e.  CC  /\  3  =/=  0 )
359 divass 9652 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( 2  x.  N
)  e.  CC  /\  ( 3  e.  CC  /\  3  =/=  0 ) )  ->  ( (
2  x.  ( 2  x.  N ) )  /  3 )  =  ( 2  x.  (
( 2  x.  N
)  /  3 ) ) )
360294, 358, 359mp3an13 1270 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  x.  N )  e.  CC  ->  (
( 2  x.  (
2  x.  N ) )  /  3 )  =  ( 2  x.  ( ( 2  x.  N )  /  3
) ) )
361356, 360syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( 2  x.  N
) )  /  3
)  =  ( 2  x.  ( ( 2  x.  N )  / 
3 ) ) )
362 2t2e4 10083 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
363362oveq1i 6050 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  x.  2 )  x.  N )  =  ( 4  x.  N
)
3646nncnd 9972 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
365 mulass 9034 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  (
( 2  x.  2 )  x.  N )  =  ( 2  x.  ( 2  x.  N
) ) )
366294, 294, 365mp3an12 1269 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  CC  ->  (
( 2  x.  2 )  x.  N )  =  ( 2  x.  ( 2  x.  N
) ) )
367364, 366syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  2 )  x.  N
)  =  ( 2  x.  ( 2  x.  N ) ) )
368363, 367syl5reqr 2451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
2  x.  N ) )  =  ( 4  x.  N ) )
369368oveq1d 6055 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( 2  x.  N
) )  /  3
)  =  ( ( 4  x.  N )  /  3 ) )
370361, 369eqtr3d 2438 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( 2  x.  N
)  /  3 ) )  =  ( ( 4  x.  N )  /  3 ) )
371355, 370breqtrd 4196 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  K
)  <_  ( (
4  x.  N )  /  3 ) )
372344, 37, 345, 371lesub1dd 9598 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  K )  -  5 )  <_  ( (
( 4  x.  N
)  /  3 )  -  5 ) )
373 1lt2 10098 . . . . . . . 8  |-  1  <  2
374373a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  <  2 )
375262, 374, 83, 40cxpled 20564 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  K )  - 
5 )  <_  (
( ( 4  x.  N )  /  3
)  -  5 )  <-> 
( 2  ^ c 
( ( 2  x.  K )  -  5 ) )  <_  (
2  ^ c  ( ( ( 4  x.  N )  /  3
)  -  5 ) ) ) )
376372, 375mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 2  ^ c 
( ( 2  x.  K )  -  5 ) )  <_  (
2  ^ c  ( ( ( 4  x.  N )  /  3
)  -  5 ) ) )
37786, 43, 30lemul2d 10644 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 2  ^ c  ( ( 2  x.  K )  - 
5 ) )  <_ 
( 2  ^ c 
( ( ( 4  x.  N )  / 
3 )  -  5 ) )  <->  ( (
( 2  x.  N
)  ^ c  ( ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 ) )  x.  ( 2  ^ c  ( ( 2  x.  K )  - 
5 ) ) )  <_  ( ( ( 2  x.  N )  ^ c  ( ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 ) )  x.  ( 2  ^ c  ( ( ( 4  x.  N )  /  3 )  - 
5 ) ) ) ) )
378376, 377mpbid 202 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  N )  ^ c  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 ) )  x.  ( 2  ^ c 
( ( 2  x.  K )  -  5 ) ) )  <_ 
( ( ( 2  x.  N )  ^ c  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 ) )  x.  ( 2  ^ c 
( ( ( 4  x.  N )  / 
3 )  -  5 ) ) ) )
37987, 340, 44, 343, 378letrd 9183 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  M )  x.  ( 2  ^ c 
( ( 2  x.  K )  -  5 ) ) )  <_ 
( ( ( 2  x.  N )  ^ c  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 ) )  x.  ( 2  ^ c 
( ( ( 4  x.  N )  / 
3 )  -  5 ) ) ) )
38016, 87, 44, 339, 379ltletrd 9186 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  _C  N
)  <  ( (
( 2  x.  N
)  ^ c  ( ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 ) )  x.  ( 2  ^ c  ( ( ( 4  x.  N )  /  3 )  - 
5 ) ) ) )
38111, 16, 44, 55, 380lttrd 9187 1  |-  ( ph  ->  ( ( 4 ^ N )  /  N
)  <  ( (
( 2  x.  N
)  ^ c  ( ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 ) )  x.  ( 2  ^ c  ( ( ( 4  x.  N )  /  3 )  - 
5 ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667   ifcif 3699   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247    / cdiv 9633   NNcn 9956   2c2 10005   3c3 10006   4c4 10007   5c5 10008   6c6 10009   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   RR+crp 10568   ...cfz 10999   |_cfl 11156    seq cseq 11278   ^cexp 11337    _C cbc 11548   sqrcsqr 11993   expce 12619    || cdivides 12807   Primecprime 13034    pCnt cpc 13165   logclog 20405    ^ c ccxp 20406   thetaccht 20826
This theorem is referenced by:  bposlem9  21029
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-ef 12625  df-sin 12627  df-cos 12628  df-pi 12630  df-dvds 12808  df-gcd 12962  df-prm 13035  df-pc 13166  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707  df-log 20407  df-cxp 20408  df-cht 20832  df-ppi 20835
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