Theorem bposlem5 24216

Description: Lemma for bpos 24221. Bound the product of all small primes in the binomial coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
bpos.1	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` 5 ) )
bpos.2	|- ( ph -> -. E. p e. Prime ( N < p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) )
bpos.3	|- F = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( n ^ ( n pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) ) , 1 ) )
bpos.4	|- K = ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / 3 ) )
bpos.5	|- M = ( |_ ` ( sqr ` ( 2 x. N ) ) )

Assertion

Ref	Expression
bposlem5	|- ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) <_ ( ( 2 x. N ) ^c ( ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) / 3 ) + 2 ) ) )

Distinct variable groups:   F, p   n, p, K   M, p   n, N, p   ph, n, p

Allowed substitution hints:   F( n)   M( n)

Proof of Theorem bposlem5

Dummy variables k x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bpos.3	. . . . . 6 |- F = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( n ^ ( n pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) ) , 1 ) )
2		id 22	. . . . . . . 8 |- ( n e. Prime -> n e. Prime )
3		5nn 10770	. . . . . . . . . . 11 |- 5 e. NN
4		bpos.1	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` 5 ) )
5		eluznn 11229	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 5 e. NN /\ N e. ( ZZ>= ` 5 ) ) -> N e. NN )
6	3, 4, 5	sylancr 669	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. NN )
7	6	nnnn0d 10925	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. NN0 )
8		fzctr 11903	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> N e. ( 0 ... ( 2 x. N ) ) )
9		bccl2 12508	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( 0 ... ( 2 x. N ) ) -> ( ( 2 x. N ) _C N ) e. NN )
10	7, 8, 9	3syl 18	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) _C N ) e. NN )
11		pccl 14799	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. Prime /\ ( ( 2 x. N ) _C N ) e. NN ) -> ( n pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) e. NN0 )
12	2, 10, 11	syl2anr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. Prime ) -> ( n pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) e. NN0 )
13	12	ralrimiva 2802	. . . . . 6 |- ( ph -> A. n e. Prime ( n pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) e. NN0 )
14	1, 13	pcmptcl 14836	. . . . 5 |- ( ph -> ( F : NN --> NN /\ seq 1 ( x. , F ) : NN --> NN ) )
15	14	simprd 465	. . . 4 |- ( ph -> seq 1 ( x. , F ) : NN --> NN )
16		3nn 10768	. . . . 5 |- 3 e. NN
17		bpos.5	. . . . . 6 |- M = ( |_ ` ( sqr ` ( 2 x. N ) ) )
18		2z 10969	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. ZZ
19	6	nnzd 11039	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. ZZ )
20		zmulcl 10985	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 2 x. N ) e. ZZ )
21	18, 19, 20	sylancr 669	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 x. N ) e. ZZ )
22	21	zred 11040	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 2 x. N ) e. RR )
23		2nn 10767	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. NN
24		nnmulcl 10632	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 e. NN /\ N e. NN ) -> ( 2 x. N ) e. NN )
25	23, 6, 24	sylancr 669	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 2 x. N ) e. NN )
26	25	nnrpd 11339	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 x. N ) e. RR+ )
27	26	rpge0d 11345	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 <_ ( 2 x. N ) )
28	22, 27	resqrtcld 13479	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( sqr ` ( 2 x. N ) ) e. RR )
29	28	flcld 12034	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( |_ ` ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) e. ZZ )
30		sqrt9 13337	. . . . . . . . 9 |- ( sqr ` 9 ) = 3
31		9re 10696	. . . . . . . . . . . 12 |- 9 e. RR
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 9 e. RR )
33		10re 10698	. . . . . . . . . . . 12 |- 10 e. RR
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 10 e. RR )
35		lep1 10444	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 9 e. RR -> 9 <_ ( 9 + 1 ) )
36	31, 35	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- 9 <_ ( 9 + 1 )
37		df-10 10676	. . . . . . . . . . . . 13 |- 10 = ( 9 + 1 )
38	36, 37	breqtrri 4428	. . . . . . . . . . . 12 |- 9 <_ 10
39	38	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 9 <_ 10 )
40		5cn 10689	. . . . . . . . . . . . 13 |- 5 e. CC
41		2cn 10680	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. CC
42		5t2e10 10764	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 5 x. 2 ) = 10
43	40, 41, 42	mulcomli 9650	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 x. 5 ) = 10
44		eluzle 11171	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ( ZZ>= ` 5 ) -> 5 <_ N )
45	4, 44	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 5 <_ N )
46	6	nnred 10624	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> N e. RR )
47		5re 10688	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 5 e. RR
48		2re 10679	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 2 e. RR
49		2pos 10701	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 < 2
50	48, 49	pm3.2i 457	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
51		lemul2 10458	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 5 e. RR /\ N e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( 5 <_ N <-> ( 2 x. 5 ) <_ ( 2 x. N ) ) )
52	47, 50, 51	mp3an13 1355	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. RR -> ( 5 <_ N <-> ( 2 x. 5 ) <_ ( 2 x. N ) ) )
53	46, 52	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 5 <_ N <-> ( 2 x. 5 ) <_ ( 2 x. N ) ) )
54	45, 53	mpbid 214	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 2 x. 5 ) <_ ( 2 x. N ) )
55	43, 54	syl5eqbrr 4437	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 10 <_ ( 2 x. N ) )
56	32, 34, 22, 39, 55	letrd 9792	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 9 <_ ( 2 x. N ) )
57		0re 9643	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 e. RR
58		9pos 10711	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 < 9
59	57, 31, 58	ltleii 9757	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 <_ 9
60	31, 59	pm3.2i 457	. . . . . . . . . . 11 |- ( 9 e. RR /\ 0 <_ 9 )
61	22, 27	jca 535	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) e. RR /\ 0 <_ ( 2 x. N ) ) )
62		sqrtle 13324	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 9 e. RR /\ 0 <_ 9 ) /\ ( ( 2 x. N ) e. RR /\ 0 <_ ( 2 x. N ) ) ) -> ( 9 <_ ( 2 x. N ) <-> ( sqr ` 9 ) <_ ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) )
63	60, 61, 62	sylancr 669	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 9 <_ ( 2 x. N ) <-> ( sqr ` 9 ) <_ ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) )
64	56, 63	mpbid 214	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( sqr ` 9 ) <_ ( sqr ` ( 2 x. N ) ) )
65	30, 64	syl5eqbrr 4437	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 3 <_ ( sqr ` ( 2 x. N ) ) )
66		3z 10970	. . . . . . . . 9 |- 3 e. ZZ
67		flge 12041	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) e. RR /\ 3 e. ZZ ) -> ( 3 <_ ( sqr ` ( 2 x. N ) ) <-> 3 <_ ( |_ ` ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) ) )
68	28, 66, 67	sylancl 668	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 3 <_ ( sqr ` ( 2 x. N ) ) <-> 3 <_ ( |_ ` ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) ) )
69	65, 68	mpbid 214	. . . . . . 7 |- ( ph -> 3 <_ ( |_ ` ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) )
70	66	eluz1i 11166	. . . . . . 7 |- ( ( |_ ` ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) e. ( ZZ>= ` 3 ) <-> ( ( |_ ` ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) e. ZZ /\ 3 <_ ( |_ ` ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) ) )
71	29, 69, 70	sylanbrc 670	. . . . . 6 |- ( ph -> ( |_ ` ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) e. ( ZZ>= ` 3 ) )
72	17, 71	syl5eqel 2533	. . . . 5 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` 3 ) )
73		eluznn 11229	. . . . 5 |- ( ( 3 e. NN /\ M e. ( ZZ>= ` 3 ) ) -> M e. NN )
74	16, 72, 73	sylancr 669	. . . 4 |- ( ph -> M e. NN )
75	15, 74	ffvelrnd 6023	. . 3 |- ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) e. NN )
76	75	nnred 10624	. 2 |- ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) e. RR )
77	74	nnred 10624	. . . . 5 |- ( ph -> M e. RR )
78		ppicl 24058	. . . . 5 |- ( M e. RR -> (π ` M ) e. NN0 )
79	77, 78	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> (π ` M ) e. NN0 )
80	25, 79	nnexpcld 12437	. . 3 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) ^ (π ` M ) ) e. NN )
81	80	nnred 10624	. 2 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) ^ (π ` M ) ) e. RR )
82		nndivre 10645	. . . . 5 |- ( ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) e. RR /\ 3 e. NN ) -> ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) / 3 ) e. RR )
83	28, 16, 82	sylancl 668	. . . 4 |- ( ph -> ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) / 3 ) e. RR )
84		readdcl 9622	. . . 4 |- ( ( ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) / 3 ) e. RR /\ 2 e. RR ) -> ( ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) / 3 ) + 2 ) e. RR )
85	83, 48, 84	sylancl 668	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) / 3 ) + 2 ) e. RR )
86	22, 27, 85	recxpcld 23668	. 2 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) ^c ( ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) / 3 ) + 2 ) ) e. RR )
87		fveq2 5865	. . . . . 6 |- ( x = 1 -> ( seq 1 ( x. , F ) ` x ) = ( seq 1 ( x. , F ) ` 1 ) )
88		fveq2 5865	. . . . . . . 8 |- ( x = 1 -> (π ` x ) = (π ` 1 ) )
89		ppi1 24091	. . . . . . . 8 |- (π ` 1 ) = 0
90	88, 89	syl6eq 2501	. . . . . . 7 |- ( x = 1 -> (π ` x ) = 0 )
91	90	oveq2d 6306	. . . . . 6 |- ( x = 1 -> ( ( 2 x. N ) ^ (π ` x ) ) = ( ( 2 x. N ) ^ 0 ) )
92	87, 91	breq12d 4415	. . . . 5 |- ( x = 1 -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` x ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` x ) ) <-> ( seq 1 ( x. , F ) ` 1 ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ 0 ) ) )
93	92	imbi2d 318	. . . 4 |- ( x = 1 -> ( ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` x ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` x ) ) ) <-> ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` 1 ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ 0 ) ) ) )
94		fveq2 5865	. . . . . 6 |- ( x = k -> ( seq 1 ( x. , F ) ` x ) = ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) )
95		fveq2 5865	. . . . . . 7 |- ( x = k -> (π ` x ) = (π ` k ) )
96	95	oveq2d 6306	. . . . . 6 |- ( x = k -> ( ( 2 x. N ) ^ (π ` x ) ) = ( ( 2 x. N ) ^ (π ` k ) ) )
97	94, 96	breq12d 4415	. . . . 5 |- ( x = k -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` x ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` x ) ) <-> ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` k ) ) ) )
98	97	imbi2d 318	. . . 4 |- ( x = k -> ( ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` x ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` x ) ) ) <-> ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` k ) ) ) ) )
99		fveq2 5865	. . . . . 6 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` x ) = ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) )
100		fveq2 5865	. . . . . . 7 |- ( x = ( k + 1 ) -> (π ` x ) = (π ` ( k + 1 ) ) )
101	100	oveq2d 6306	. . . . . 6 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( ( 2 x. N ) ^ (π ` x ) ) = ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) )
102	99, 101	breq12d 4415	. . . . 5 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` x ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` x ) ) <-> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) ) )
103	102	imbi2d 318	. . . 4 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` x ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` x ) ) ) <-> ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
104		fveq2 5865	. . . . . 6 |- ( x = M -> ( seq 1 ( x. , F ) ` x ) = ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) )
105		fveq2 5865	. . . . . . 7 |- ( x = M -> (π ` x ) = (π ` M ) )
106	105	oveq2d 6306	. . . . . 6 |- ( x = M -> ( ( 2 x. N ) ^ (π ` x ) ) = ( ( 2 x. N ) ^ (π ` M ) ) )
107	104, 106	breq12d 4415	. . . . 5 |- ( x = M -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` x ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` x ) ) <-> ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` M ) ) ) )
108	107	imbi2d 318	. . . 4 |- ( x = M -> ( ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` x ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` x ) ) ) <-> ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` M ) ) ) ) )
109		1z 10967	. . . . . . . 8 |- 1 e. ZZ
110		seq1 12226	. . . . . . . 8 |- ( 1 e. ZZ -> ( seq 1 ( x. , F ) ` 1 ) = ( F ` 1 ) )
111	109, 110	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( seq 1 ( x. , F ) ` 1 ) = ( F ` 1 )
112		1nn 10620	. . . . . . . 8 |- 1 e. NN
113		1nprm 14629	. . . . . . . . . . 11 |- -. 1 e. Prime
114		eleq1 2517	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = 1 -> ( n e. Prime <-> 1 e. Prime ) )
115	113, 114	mtbiri 305	. . . . . . . . . 10 |- ( n = 1 -> -. n e. Prime )
116	115	iffalsed 3892	. . . . . . . . 9 |- ( n = 1 -> if ( n e. Prime , ( n ^ ( n pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) ) , 1 ) = 1 )
117		1ex 9638	. . . . . . . . 9 |- 1 e. _V
118	116, 1, 117	fvmpt 5948	. . . . . . . 8 |- ( 1 e. NN -> ( F ` 1 ) = 1 )
119	112, 118	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( F ` 1 ) = 1
120	111, 119	eqtri 2473	. . . . . 6 |- ( seq 1 ( x. , F ) ` 1 ) = 1
121		1le1 10240	. . . . . 6 |- 1 <_ 1
122	120, 121	eqbrtri 4422	. . . . 5 |- ( seq 1 ( x. , F ) ` 1 ) <_ 1
123	21	zcnd 11041	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 2 x. N ) e. CC )
124	123	exp0d 12410	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) ^ 0 ) = 1 )
125	122, 124	syl5breqr 4439	. . . 4 |- ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` 1 ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ 0 ) )
126	15	ffvelrnda 6022	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) e. NN )
127	126	nnred 10624	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) e. RR )
128	127	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) e. RR )
129	25	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( 2 x. N ) e. NN )
130		nnre 10616	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN -> k e. RR )
131	130	ad2antlr 733	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> k e. RR )
132		ppicl 24058	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. RR -> (π ` k ) e. NN0 )
133	131, 132	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> (π ` k ) e. NN0 )
134	129, 133	nnexpcld 12437	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( 2 x. N ) ^ (π ` k ) ) e. NN )
135	134	nnred 10624	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( 2 x. N ) ^ (π ` k ) ) e. RR )
136		nnre 10616	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 x. N ) e. NN -> ( 2 x. N ) e. RR )
137		nngt0 10638	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 x. N ) e. NN -> 0 < ( 2 x. N ) )
138	136, 137	jca 535	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 x. N ) e. NN -> ( ( 2 x. N ) e. RR /\ 0 < ( 2 x. N ) ) )
139	25, 138	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) e. RR /\ 0 < ( 2 x. N ) ) )
140	139	ad2antrr 732	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( 2 x. N ) e. RR /\ 0 < ( 2 x. N ) ) )
141		lemul1 10457	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) e. RR /\ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` k ) ) e. RR /\ ( ( 2 x. N ) e. RR /\ 0 < ( 2 x. N ) ) ) -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` k ) ) <-> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( 2 x. N ) ) <_ ( ( ( 2 x. N ) ^ (π ` k ) ) x. ( 2 x. N ) ) ) )
142	128, 135, 140, 141	syl3anc 1268	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` k ) ) <-> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( 2 x. N ) ) <_ ( ( ( 2 x. N ) ^ (π ` k ) ) x. ( 2 x. N ) ) ) )
143		nnz 10959	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN -> k e. ZZ )
144	143	adantl 468	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. ZZ )
145		ppiprm 24078	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k e. ZZ /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> (π ` ( k + 1 ) ) = ( (π ` k ) + 1 ) )
146	144, 145	sylan 474	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> (π ` ( k + 1 ) ) = ( (π ` k ) + 1 ) )
147	146	oveq2d 6306	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) = ( ( 2 x. N ) ^ ( (π ` k ) + 1 ) ) )
148	123	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( 2 x. N ) e. CC )
149	148, 133	expp1d 12417	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( 2 x. N ) ^ ( (π ` k ) + 1 ) ) = ( ( ( 2 x. N ) ^ (π ` k ) ) x. ( 2 x. N ) ) )
150	147, 149	eqtrd 2485	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) = ( ( ( 2 x. N ) ^ (π ` k ) ) x. ( 2 x. N ) ) )
151	150	breq2d 4414	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( 2 x. N ) ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) <-> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( 2 x. N ) ) <_ ( ( ( 2 x. N ) ^ (π ` k ) ) x. ( 2 x. N ) ) ) )
152	142, 151	bitr4d 260	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` k ) ) <-> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( 2 x. N ) ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) ) )
153		simpr 463	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. NN )
154		nnuz 11194	. . . . . . . . . . . . 13 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
155	153, 154	syl6eleq 2539	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. ( ZZ>= ` 1 ) )
156		seqp1 12228	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( F ` ( k + 1 ) ) ) )
157	155, 156	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( F ` ( k + 1 ) ) ) )
158	157	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( F ` ( k + 1 ) ) ) )
159		peano2nn 10621	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. NN -> ( k + 1 ) e. NN )
160	159	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( k + 1 ) e. NN )
161		eleq1 2517	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( n e. Prime <-> ( k + 1 ) e. Prime ) )
162		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = ( k + 1 ) -> n = ( k + 1 ) )
163		oveq1 6297	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( n pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) = ( ( k + 1 ) pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) )
164	162, 163	oveq12d 6308	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( n ^ ( n pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) ) = ( ( k + 1 ) ^ ( ( k + 1 ) pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) ) )
165	161, 164	ifbieq1d 3904	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = ( k + 1 ) -> if ( n e. Prime , ( n ^ ( n pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) ) , 1 ) = if ( ( k + 1 ) e. Prime , ( ( k + 1 ) ^ ( ( k + 1 ) pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) ) , 1 ) )
166		ovex 6318	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( k + 1 ) ^ ( ( k + 1 ) pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) ) e. _V
167	166, 117	ifex 3949	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- if ( ( k + 1 ) e. Prime , ( ( k + 1 ) ^ ( ( k + 1 ) pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) ) , 1 ) e. _V
168	165, 1, 167	fvmpt 5948	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k + 1 ) e. NN -> ( F ` ( k + 1 ) ) = if ( ( k + 1 ) e. Prime , ( ( k + 1 ) ^ ( ( k + 1 ) pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) ) , 1 ) )
169	160, 168	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) = if ( ( k + 1 ) e. Prime , ( ( k + 1 ) ^ ( ( k + 1 ) pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) ) , 1 ) )
170		iftrue 3887	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k + 1 ) e. Prime -> if ( ( k + 1 ) e. Prime , ( ( k + 1 ) ^ ( ( k + 1 ) pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) ) , 1 ) = ( ( k + 1 ) ^ ( ( k + 1 ) pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) ) )
171	169, 170	sylan9eq 2505	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) = ( ( k + 1 ) ^ ( ( k + 1 ) pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) ) )
172	6	adantr 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> N e. NN )
173		bposlem1 24212	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( k + 1 ) ^ ( ( k + 1 ) pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) ) <_ ( 2 x. N ) )
174	172, 173	sylan 474	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( k + 1 ) ^ ( ( k + 1 ) pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) ) <_ ( 2 x. N ) )
175	171, 174	eqbrtrd 4423	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( 2 x. N ) )
176	14	simpld 461	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> F : NN --> NN )
177		ffvelrn 6020	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F : NN --> NN /\ ( k + 1 ) e. NN ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. NN )
178	176, 159, 177	syl2an 480	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. NN )
179	178	nnred 10624	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. RR )
180	179	adantr 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. RR )
181	22	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( 2 x. N ) e. RR )
182		nnre 10616	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) e. NN -> ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) e. RR )
183		nngt0 10638	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) e. NN -> 0 < ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) )
184	182, 183	jca 535	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) e. NN -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) e. RR /\ 0 < ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) )
185	126, 184	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) e. RR /\ 0 < ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) )
186	185	adantr 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) e. RR /\ 0 < ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) )
187		lemul2 10458	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F ` ( k + 1 ) ) e. RR /\ ( 2 x. N ) e. RR /\ ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) e. RR /\ 0 < ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) ) -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( 2 x. N ) <-> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( 2 x. N ) ) ) )
188	180, 181, 186, 187	syl3anc 1268	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( 2 x. N ) <-> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( 2 x. N ) ) ) )
189	175, 188	mpbid 214	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( 2 x. N ) ) )
190	158, 189	eqbrtrd 4423	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) <_ ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( 2 x. N ) ) )
191		ffvelrn 6020	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( seq 1 ( x. , F ) : NN --> NN /\ ( k + 1 ) e. NN ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) e. NN )
192	15, 159, 191	syl2an 480	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) e. NN )
193	192	nnred 10624	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) e. RR )
194	25	adantr 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( 2 x. N ) e. NN )
195	126, 194	nnmulcld 10657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( 2 x. N ) ) e. NN )
196	195	nnred 10624	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( 2 x. N ) ) e. RR )
197	160	nnred 10624	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( k + 1 ) e. RR )
198		ppicl 24058	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k + 1 ) e. RR -> (π ` ( k + 1 ) ) e. NN0 )
199	197, 198	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> (π ` ( k + 1 ) ) e. NN0 )
200	194, 199	nnexpcld 12437	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) e. NN )
201	200	nnred 10624	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) e. RR )
202		letr 9727	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) e. RR /\ ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( 2 x. N ) ) e. RR /\ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) e. RR ) -> ( ( ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) <_ ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( 2 x. N ) ) /\ ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( 2 x. N ) ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) ) )
203	193, 196, 201, 202	syl3anc 1268	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) <_ ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( 2 x. N ) ) /\ ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( 2 x. N ) ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) ) )
204	203	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) <_ ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( 2 x. N ) ) /\ ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( 2 x. N ) ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) ) )
205	190, 204	mpand 681	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( 2 x. N ) ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) ) )
206	152, 205	sylbid 219	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` k ) ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) ) )
207	157	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ -. ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( F ` ( k + 1 ) ) ) )
208		iffalse 3890	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. ( k + 1 ) e. Prime -> if ( ( k + 1 ) e. Prime , ( ( k + 1 ) ^ ( ( k + 1 ) pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) ) , 1 ) = 1 )
209	169, 208	sylan9eq 2505	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ -. ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) = 1 )
210	209	oveq2d 6306	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ -. ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( F ` ( k + 1 ) ) ) = ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. 1 ) )
211	126	adantr 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ -. ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) e. NN )
212	211	nncnd 10625	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ -. ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) e. CC )
213	212	mulid1d 9660	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ -. ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. 1 ) = ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) )
214	207, 210, 213	3eqtrd 2489	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ -. ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) = ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) )
215		ppinprm 24079	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. ZZ /\ -. ( k + 1 ) e. Prime ) -> (π ` ( k + 1 ) ) = (π ` k ) )
216	144, 215	sylan 474	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ -. ( k + 1 ) e. Prime ) -> (π ` ( k + 1 ) ) = (π ` k ) )
217	216	oveq2d 6306	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ -. ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) = ( ( 2 x. N ) ^ (π ` k ) ) )
218	214, 217	breq12d 4415	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ -. ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) <-> ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` k ) ) ) )
219	218	biimprd 227	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ -. ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` k ) ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) ) )
220	206, 219	pm2.61dan 800	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` k ) ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) ) )
221	220	expcom 437	. . . . 5 |- ( k e. NN -> ( ph -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` k ) ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
222	221	a2d 29	. . . 4 |- ( k e. NN -> ( ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` k ) ) ) -> ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
223	93, 98, 103, 108, 125, 222	nnind 10627	. . 3 |- ( M e. NN -> ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` M ) ) ) )
224	74, 223	mpcom 37	. 2 |- ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` M ) ) )
225		cxpexp 23613	. . . 4 |- ( ( ( 2 x. N ) e. CC /\ (π ` M ) e. NN0 ) -> ( ( 2 x. N ) ^c (π ` M ) ) = ( ( 2 x. N ) ^ (π ` M ) ) )
226	123, 79, 225	syl2anc 667	. . 3 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) ^c (π ` M ) ) = ( ( 2 x. N ) ^ (π ` M ) ) )
227	79	nn0red 10926	. . . . 5 |- ( ph -> (π ` M ) e. RR )
228		nndivre 10645	. . . . . . 7 |- ( ( M e. RR /\ 3 e. NN ) -> ( M / 3 ) e. RR )
229	77, 16, 228	sylancl 668	. . . . . 6 |- ( ph -> ( M / 3 ) e. RR )
230		readdcl 9622	. . . . . 6 |- ( ( ( M / 3 ) e. RR /\ 2 e. RR ) -> ( ( M / 3 ) + 2 ) e. RR )
231	229, 48, 230	sylancl 668	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( M / 3 ) + 2 ) e. RR )
232	74	nnnn0d 10925	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. NN0 )
233	232	nn0ge0d 10928	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 <_ M )
234		ppiub 24132	. . . . . 6 |- ( ( M e. RR /\ 0 <_ M ) -> (π ` M ) <_ ( ( M / 3 ) + 2 ) )
235	77, 233, 234	syl2anc 667	. . . . 5 |- ( ph -> (π ` M ) <_ ( ( M / 3 ) + 2 ) )
236	48	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> 2 e. RR )
237		flle 12035	. . . . . . . . 9 |- ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) e. RR -> ( |_ ` ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) <_ ( sqr ` ( 2 x. N ) ) )
238	28, 237	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( |_ ` ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) <_ ( sqr ` ( 2 x. N ) ) )
239	17, 238	syl5eqbr 4436	. . . . . . 7 |- ( ph -> M <_ ( sqr ` ( 2 x. N ) ) )
240		3re 10683	. . . . . . . . . 10 |- 3 e. RR
241		3pos 10703	. . . . . . . . . 10 |- 0 < 3
242	240, 241	pm3.2i 457	. . . . . . . . 9 |- ( 3 e. RR /\ 0 < 3 )
243	242	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 3 e. RR /\ 0 < 3 ) )
244		lediv1 10470	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. RR /\ ( sqr ` ( 2 x. N ) ) e. RR /\ ( 3 e. RR /\ 0 < 3 ) ) -> ( M <_ ( sqr ` ( 2 x. N ) ) <-> ( M / 3 ) <_ ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) / 3 ) ) )
245	77, 28, 243, 244	syl3anc 1268	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( M <_ ( sqr ` ( 2 x. N ) ) <-> ( M / 3 ) <_ ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) / 3 ) ) )
246	239, 245	mpbid 214	. . . . . 6 |- ( ph -> ( M / 3 ) <_ ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) / 3 ) )
247	229, 83, 236, 246	leadd1dd 10227	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( M / 3 ) + 2 ) <_ ( ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) / 3 ) + 2 ) )
248	227, 231, 85, 235, 247	letrd 9792	. . . 4 |- ( ph -> (π ` M ) <_ ( ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) / 3 ) + 2 ) )
249		2t1e2 10758	. . . . . . . 8 |- ( 2 x. 1 ) = 2
250	6	nnge1d 10652	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 1 <_ N )
251		1re 9642	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. RR
252		lemul2 10458	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 e. RR /\ N e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( 1 <_ N <-> ( 2 x. 1 ) <_ ( 2 x. N ) ) )
253	251, 50, 252	mp3an13 1355	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. RR -> ( 1 <_ N <-> ( 2 x. 1 ) <_ ( 2 x. N ) ) )
254	46, 253	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 <_ N <-> ( 2 x. 1 ) <_ ( 2 x. N ) ) )
255	250, 254	mpbid 214	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 2 x. 1 ) <_ ( 2 x. N ) )
256	249, 255	syl5eqbrr 4437	. . . . . . 7 |- ( ph -> 2 <_ ( 2 x. N ) )
257	18	eluz1i 11166	. . . . . . 7 |- ( ( 2 x. N ) e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( ( 2 x. N ) e. ZZ /\ 2 <_ ( 2 x. N ) ) )
258	21, 256, 257	sylanbrc 670	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 2 x. N ) e. ( ZZ>= ` 2 ) )
259		eluz2b1 11230	. . . . . . 7 |- ( ( 2 x. N ) e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( ( 2 x. N ) e. ZZ /\ 1 < ( 2 x. N ) ) )
260	259	simprbi 466	. . . . . 6 |- ( ( 2 x. N ) e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 < ( 2 x. N ) )
261	258, 260	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> 1 < ( 2 x. N ) )
262	22, 261, 227, 85	cxpled 23665	. . . 4 |- ( ph -> ( (π ` M ) <_ ( ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) / 3 ) + 2 ) <-> ( ( 2 x. N ) ^c (π ` M ) ) <_ ( ( 2 x. N ) ^c ( ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) / 3 ) + 2 ) ) ) )
263	248, 262	mpbid 214	. . 3 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) ^c (π ` M ) ) <_ ( ( 2 x. N ) ^c ( ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) / 3 ) + 2 ) ) )
264	226, 263	eqbrtrrd 4425	. 2 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) ^ (π ` M ) ) <_ ( ( 2 x. N ) ^c ( ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) / 3 ) + 2 ) ) )
265	76, 81, 86, 224, 264	letrd 9792	1 |- ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) <_ ( ( 2 x. N ) ^c ( ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) / 3 ) + 2 ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1444   e. wcel 1887   E.wrex 2738   ifcif 3881   class class class wbr 4402   |-> cmpt 4461   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540   + caddc 9542   x. cmul 9544   < clt 9675   <_ cle 9676   / cdiv 10269   NNcn 10609   2c2 10659   3c3 10660   5c5 10662   9c9 10666   10c10 10667   NN0cn0 10869   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159   ...cfz 11784   |_cfl 12026   seqcseq 12213   ^cexp 12272   _C cbc 12487   sqrcsqrt 13296   Primecprime 14622   pCnt cpc 14786   ^c ccxp 23505  πcppi 24020

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-mod 12097  df-seq 12214  df-exp 12273  df-fac 12460  df-bc 12488  df-hash 12516  df-shft 13130  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-limsup 13526  df-clim 13552  df-rlim 13553  df-sum 13753  df-ef 14121  df-sin 14123  df-cos 14124  df-pi 14126  df-dvds 14306  df-gcd 14469  df-prm 14623  df-pc 14787  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-hom 15214  df-cco 15215  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-topgen 15342  df-pt 15343  df-prds 15346  df-xrs 15400  df-qtop 15406  df-imas 15407  df-xps 15410  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-mulg 16676  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-fbas 18967  df-fg 18968  df-cnfld 18971  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-cld 20034  df-ntr 20035  df-cls 20036  df-nei 20114  df-lp 20152  df-perf 20153  df-cn 20243  df-cnp 20244  df-haus 20331  df-tx 20577  df-hmeo 20770  df-fil 20861  df-fm 20953  df-flim 20954  df-flf 20955  df-xms 21335  df-ms 21336  df-tms 21337  df-cncf 21910  df-limc 22821  df-dv 22822  df-log 23506  df-cxp 23507  df-ppi 24026

This theorem is referenced by:  bposlem6  24217