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Theorem bposlem5 24295
Description: Lemma for bpos 24300. Bound the product of all small primes in the binomial coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bpos.1  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
5 ) )
bpos.2  |-  ( ph  ->  -.  E. p  e. 
Prime  ( N  <  p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) )
bpos.3  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ (
n  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) ) ,  1 ) )
bpos.4  |-  K  =  ( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  3 ) )
bpos.5  |-  M  =  ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) )
Assertion
Ref Expression
bposlem5  |-  ( ph  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `
 M )  <_ 
( ( 2  x.  N )  ^c 
( ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  /  3
)  +  2 ) ) )
Distinct variable groups:    F, p    n, p, K    M, p    n, N, p    ph, n, p
Allowed substitution hints:    F( n)    M( n)

Proof of Theorem bposlem5
Dummy variables  k  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bpos.3 . . . . . 6  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ (
n  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) ) ,  1 ) )
2 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  Prime  ->  n  e. 
Prime )
3 5nn 10793 . . . . . . . . . . 11  |-  5  e.  NN
4 bpos.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
5 ) )
5 eluznn 11252 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 5  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= ` 
5 ) )  ->  N  e.  NN )
63, 4, 5sylancr 676 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
76nnnn0d 10949 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
8 fzctr 11928 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ( 0 ... (
2  x.  N ) ) )
9 bccl2 12546 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( 0 ... ( 2  x.  N
) )  ->  (
( 2  x.  N
)  _C  N )  e.  NN )
107, 8, 93syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  _C  N
)  e.  NN )
11 pccl 14878 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  Prime  /\  (
( 2  x.  N
)  _C  N )  e.  NN )  -> 
( n  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  e.  NN0 )
122, 10, 11syl2anr 486 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Prime )  ->  ( n  pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  e.  NN0 )
1312ralrimiva 2809 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. n  e.  Prime  ( n  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN0 )
141, 13pcmptcl 14915 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F : NN --> NN  /\  seq 1 (  x.  ,  F ) : NN --> NN ) )
1514simprd 470 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq 1 (  x.  ,  F ) : NN --> NN )
16 3nn 10791 . . . . 5  |-  3  e.  NN
17 bpos.5 . . . . . 6  |-  M  =  ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) )
18 2z 10993 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  ZZ
196nnzd 11062 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
20 zmulcl 11009 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  N
)  e.  ZZ )
2118, 19, 20sylancr 676 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  e.  ZZ )
2221zred 11063 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  e.  RR )
23 2nn 10790 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  NN
24 nnmulcl 10654 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( 2  x.  N
)  e.  NN )
2523, 6, 24sylancr 676 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  e.  NN )
2625nnrpd 11362 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  e.  RR+ )
2726rpge0d 11368 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <_  ( 2  x.  N ) )
2822, 27resqrtcld 13556 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( sqr `  (
2  x.  N ) )  e.  RR )
2928flcld 12067 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) )  e.  ZZ )
30 sqrt9 13414 . . . . . . . . 9  |-  ( sqr `  9 )  =  3
31 9re 10718 . . . . . . . . . . . 12  |-  9  e.  RR
3231a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  9  e.  RR )
33 10re 10720 . . . . . . . . . . . 12  |-  10  e.  RR
3433a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  10  e.  RR )
35 lep1 10466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 9  e.  RR  ->  9  <_  ( 9  +  1 ) )
3631, 35ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  9  <_  ( 9  +  1 )
37 df-10 10698 . . . . . . . . . . . . 13  |-  10  =  ( 9  +  1 )
3836, 37breqtrri 4421 . . . . . . . . . . . 12  |-  9  <_  10
3938a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  9  <_  10 )
40 5cn 10711 . . . . . . . . . . . . 13  |-  5  e.  CC
41 2cn 10702 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  CC
42 5t2e10 10787 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 5  x.  2 )  =  10
4340, 41, 42mulcomli 9668 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  x.  5 )  =  10
44 eluzle 11195 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  5
)  ->  5  <_  N )
454, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  5  <_  N )
466nnred 10646 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
47 5re 10710 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  5  e.  RR
48 2re 10701 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  e.  RR
49 2pos 10723 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  <  2
5048, 49pm3.2i 462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
51 lemul2 10480 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 5  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( 5  <_  N 
<->  ( 2  x.  5 )  <_  ( 2  x.  N ) ) )
5247, 50, 51mp3an13 1381 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  RR  ->  (
5  <_  N  <->  ( 2  x.  5 )  <_ 
( 2  x.  N
) ) )
5346, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 5  <_  N  <->  ( 2  x.  5 )  <_  ( 2  x.  N ) ) )
5445, 53mpbid 215 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  5 )  <_  ( 2  x.  N ) )
5543, 54syl5eqbrr 4430 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  10  <_  ( 2  x.  N ) )
5632, 34, 22, 39, 55letrd 9809 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  9  <_  ( 2  x.  N ) )
57 0re 9661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  RR
58 9pos 10733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <  9
5957, 31, 58ltleii 9775 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <_  9
6031, 59pm3.2i 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 9  e.  RR  /\  0  <_  9 )
6122, 27jca 541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  e.  RR  /\  0  <_  ( 2  x.  N ) ) )
62 sqrtle 13401 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 9  e.  RR  /\  0  <_  9 )  /\  ( ( 2  x.  N )  e.  RR  /\  0  <_ 
( 2  x.  N
) ) )  -> 
( 9  <_  (
2  x.  N )  <-> 
( sqr `  9
)  <_  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) ) )
6360, 61, 62sylancr 676 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 9  <_  (
2  x.  N )  <-> 
( sqr `  9
)  <_  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) ) )
6456, 63mpbid 215 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( sqr `  9
)  <_  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) )
6530, 64syl5eqbrr 4430 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  3  <_  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) )
66 3z 10994 . . . . . . . . 9  |-  3  e.  ZZ
67 flge 12074 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  e.  RR  /\  3  e.  ZZ )  ->  ( 3  <_  ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  <->  3  <_  ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) ) ) )
6828, 66, 67sylancl 675 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 3  <_  ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  <->  3  <_  ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) ) ) )
6965, 68mpbid 215 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  3  <_  ( |_ `  ( sqr `  (
2  x.  N ) ) ) )
7066eluz1i 11190 . . . . . . 7  |-  ( ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) )  e.  ( ZZ>= `  3 )  <->  ( ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) )  e.  ZZ  /\  3  <_  ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) ) ) )
7129, 69, 70sylanbrc 677 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) )  e.  ( ZZ>= `  3
) )
7217, 71syl5eqel 2553 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
3 ) )
73 eluznn 11252 . . . . 5  |-  ( ( 3  e.  NN  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
3 ) )  ->  M  e.  NN )
7416, 72, 73sylancr 676 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
7515, 74ffvelrnd 6038 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `
 M )  e.  NN )
7675nnred 10646 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `
 M )  e.  RR )
7774nnred 10646 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
78 ppicl 24137 . . . . 5  |-  ( M  e.  RR  ->  (π `  M )  e.  NN0 )
7977, 78syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  (π `  M )  e. 
NN0 )
8025, 79nnexpcld 12475 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N ) ^ (π `  M ) )  e.  NN )
8180nnred 10646 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N ) ^ (π `  M ) )  e.  RR )
82 nndivre 10667 . . . . 5  |-  ( ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  e.  RR  /\  3  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 )  e.  RR )
8328, 16, 82sylancl 675 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 )  e.  RR )
84 readdcl 9640 . . . 4  |-  ( ( ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 )  e.  RR  /\  2  e.  RR )  ->  (
( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 )  e.  RR )
8583, 48, 84sylancl 675 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  /  3
)  +  2 )  e.  RR )
8622, 27, 85recxpcld 23747 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  ^c 
( ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  /  3
)  +  2 ) )  e.  RR )
87 fveq2 5879 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  x
)  =  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  1
) )
88 fveq2 5879 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  1  ->  (π `  x )  =  (π `  1 ) )
89 ppi1 24170 . . . . . . . 8  |-  (π `  1
)  =  0
9088, 89syl6eq 2521 . . . . . . 7  |-  ( x  =  1  ->  (π `  x )  =  0 )
9190oveq2d 6324 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  (
( 2  x.  N
) ^ (π `  x
) )  =  ( ( 2  x.  N
) ^ 0 ) )
9287, 91breq12d 4408 . . . . 5  |-  ( x  =  1  ->  (
(  seq 1 (  x.  ,  F ) `  x )  <_  (
( 2  x.  N
) ^ (π `  x
) )  <->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  1
)  <_  ( (
2  x.  N ) ^ 0 ) ) )
9392imbi2d 323 . . . 4  |-  ( x  =  1  ->  (
( ph  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  x
)  <_  ( (
2  x.  N ) ^ (π `  x ) ) )  <->  ( ph  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) ` 
1 )  <_  (
( 2  x.  N
) ^ 0 ) ) ) )
94 fveq2 5879 . . . . . 6  |-  ( x  =  k  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  x
)  =  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k
) )
95 fveq2 5879 . . . . . . 7  |-  ( x  =  k  ->  (π `  x )  =  (π `  k ) )
9695oveq2d 6324 . . . . . 6  |-  ( x  =  k  ->  (
( 2  x.  N
) ^ (π `  x
) )  =  ( ( 2  x.  N
) ^ (π `  k
) ) )
9794, 96breq12d 4408 . . . . 5  |-  ( x  =  k  ->  (
(  seq 1 (  x.  ,  F ) `  x )  <_  (
( 2  x.  N
) ^ (π `  x
) )  <->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k
)  <_  ( (
2  x.  N ) ^ (π `  k ) ) ) )
9897imbi2d 323 . . . 4  |-  ( x  =  k  ->  (
( ph  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  x
)  <_  ( (
2  x.  N ) ^ (π `  x ) ) )  <->  ( ph  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k )  <_  (
( 2  x.  N
) ^ (π `  k
) ) ) ) )
99 fveq2 5879 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  x
)  =  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  (
k  +  1 ) ) )
100 fveq2 5879 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (π `  x )  =  (π `  ( k  +  1 ) ) )
101100oveq2d 6324 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
( 2  x.  N
) ^ (π `  x
) )  =  ( ( 2  x.  N
) ^ (π `  (
k  +  1 ) ) ) )
10299, 101breq12d 4408 . . . . 5  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
(  seq 1 (  x.  ,  F ) `  x )  <_  (
( 2  x.  N
) ^ (π `  x
) )  <->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  (
k  +  1 ) )  <_  ( (
2  x.  N ) ^ (π `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
103102imbi2d 323 . . . 4  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ph  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  x
)  <_  ( (
2  x.  N ) ^ (π `  x ) ) )  <->  ( ph  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  ( k  +  1 ) )  <_  (
( 2  x.  N
) ^ (π `  (
k  +  1 ) ) ) ) ) )
104 fveq2 5879 . . . . . 6  |-  ( x  =  M  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  x
)  =  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  M
) )
105 fveq2 5879 . . . . . . 7  |-  ( x  =  M  ->  (π `  x )  =  (π `  M ) )
106105oveq2d 6324 . . . . . 6  |-  ( x  =  M  ->  (
( 2  x.  N
) ^ (π `  x
) )  =  ( ( 2  x.  N
) ^ (π `  M
) ) )
107104, 106breq12d 4408 . . . . 5  |-  ( x  =  M  ->  (
(  seq 1 (  x.  ,  F ) `  x )  <_  (
( 2  x.  N
) ^ (π `  x
) )  <->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  M
)  <_  ( (
2  x.  N ) ^ (π `  M ) ) ) )
108107imbi2d 323 . . . 4  |-  ( x  =  M  ->  (
( ph  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  x
)  <_  ( (
2  x.  N ) ^ (π `  x ) ) )  <->  ( ph  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  M )  <_  (
( 2  x.  N
) ^ (π `  M
) ) ) ) )
109 1z 10991 . . . . . . . 8  |-  1  e.  ZZ
110 seq1 12264 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  1
)  =  ( F `
 1 ) )
111109, 110ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  1
)  =  ( F `
 1 )
112 1nn 10642 . . . . . . . 8  |-  1  e.  NN
113 1nprm 14708 . . . . . . . . . . 11  |-  -.  1  e.  Prime
114 eleq1 2537 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  1  ->  (
n  e.  Prime  <->  1  e.  Prime ) )
115113, 114mtbiri 310 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  1  ->  -.  n  e.  Prime )
116115iffalsed 3883 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  1  ->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ (
n  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) ) ,  1 )  =  1 )
117 1ex 9656 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  _V
118116, 1, 117fvmpt 5963 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  NN  ->  ( F `  1 )  =  1 )
119112, 118ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( F `
 1 )  =  1
120111, 119eqtri 2493 . . . . . 6  |-  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  1
)  =  1
121 1le1 10262 . . . . . 6  |-  1  <_  1
122120, 121eqbrtri 4415 . . . . 5  |-  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  1
)  <_  1
12321zcnd 11064 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  e.  CC )
124123exp0d 12448 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N ) ^ 0 )  =  1 )
125122, 124syl5breqr 4432 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `
 1 )  <_ 
( ( 2  x.  N ) ^ 0 ) )
12615ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k
)  e.  NN )
127126nnred 10646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k
)  e.  RR )
128127adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k
)  e.  RR )
12925ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
2  x.  N )  e.  NN )
130 nnre 10638 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR )
131130ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  k  e.  RR )
132 ppicl 24137 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  RR  ->  (π `  k )  e.  NN0 )
133131, 132syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (π `  k )  e.  NN0 )
134129, 133nnexpcld 12475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
( 2  x.  N
) ^ (π `  k
) )  e.  NN )
135134nnred 10646 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
( 2  x.  N
) ^ (π `  k
) )  e.  RR )
136 nnre 10638 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  x.  N )  e.  NN  ->  (
2  x.  N )  e.  RR )
137 nngt0 10660 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  x.  N )  e.  NN  ->  0  <  ( 2  x.  N
) )
138136, 137jca 541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  x.  N )  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  e.  RR  /\  0  <  ( 2  x.  N ) ) )
13925, 138syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  e.  RR  /\  0  <  ( 2  x.  N ) ) )
140139ad2antrr 740 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
( 2  x.  N
)  e.  RR  /\  0  <  ( 2  x.  N ) ) )
141 lemul1 10479 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  seq 1 (  x.  ,  F ) `
 k )  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  N ) ^ (π `  k ) )  e.  RR  /\  (
( 2  x.  N
)  e.  RR  /\  0  <  ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k
)  <_  ( (
2  x.  N ) ^ (π `  k ) )  <-> 
( (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  k )  x.  ( 2  x.  N
) )  <_  (
( ( 2  x.  N ) ^ (π `  k ) )  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )
142128, 135, 140, 141syl3anc 1292 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
(  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k )  <_  (
( 2  x.  N
) ^ (π `  k
) )  <->  ( (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k
)  x.  ( 2  x.  N ) )  <_  ( ( ( 2  x.  N ) ^ (π `  k ) )  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )
143 nnz 10983 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  ZZ )
144143adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  ZZ )
145 ppiprm 24157 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (π `  ( k  +  1 ) )  =  ( (π `  k )  +  1 ) )
146144, 145sylan 479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (π `  ( k  +  1 ) )  =  ( (π `  k )  +  1 ) )
147146oveq2d 6324 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
( 2  x.  N
) ^ (π `  (
k  +  1 ) ) )  =  ( ( 2  x.  N
) ^ ( (π `  k )  +  1 ) ) )
148123ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
2  x.  N )  e.  CC )
149148, 133expp1d 12455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
( 2  x.  N
) ^ ( (π `  k )  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  N ) ^ (π `  k ) )  x.  ( 2  x.  N
) ) )
150147, 149eqtrd 2505 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
( 2  x.  N
) ^ (π `  (
k  +  1 ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  N ) ^ (π `  k ) )  x.  ( 2  x.  N
) ) )
151150breq2d 4407 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
( (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  k )  x.  ( 2  x.  N
) )  <_  (
( 2  x.  N
) ^ (π `  (
k  +  1 ) ) )  <->  ( (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k
)  x.  ( 2  x.  N ) )  <_  ( ( ( 2  x.  N ) ^ (π `  k ) )  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )
152142, 151bitr4d 264 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
(  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k )  <_  (
( 2  x.  N
) ^ (π `  k
) )  <->  ( (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k
)  x.  ( 2  x.  N ) )  <_  ( ( 2  x.  N ) ^
(π `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
153 simpr 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN )
154 nnuz 11218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
155153, 154syl6eleq 2559 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
156 seqp1 12266 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k )  x.  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )
157155, 156syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k )  x.  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )
158157adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k )  x.  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )
159 peano2nn 10643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
160159adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  +  1 )  e.  NN )
161 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
n  e.  Prime  <->  ( k  +  1 )  e. 
Prime ) )
162 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  n  =  ( k  +  1 ) )
163 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
n  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  =  ( ( k  +  1 )  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )
164162, 163oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
n ^ ( n 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) )  =  ( ( k  +  1 ) ^
( ( k  +  1 )  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) ) ) )
165161, 164ifbieq1d 3895 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ (
n  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) ) ,  1 )  =  if ( ( k  +  1 )  e.  Prime ,  ( ( k  +  1 ) ^ ( ( k  +  1 )  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) ) ,  1 ) )
166 ovex 6336 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  +  1 ) ^ ( ( k  +  1 )  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )  e.  _V
167166, 117ifex 3940 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  if ( ( k  +  1 )  e.  Prime ,  ( ( k  +  1 ) ^ ( ( k  +  1 ) 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) ) ,  1 )  e. 
_V
168165, 1, 167fvmpt 5963 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  +  1 )  e.  NN  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  =  if ( ( k  +  1 )  e.  Prime ,  ( ( k  +  1 ) ^ ( ( k  +  1 )  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) ) ,  1 ) )
169160, 168syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 ( k  +  1 ) )  =  if ( ( k  +  1 )  e. 
Prime ,  ( (
k  +  1 ) ^ ( ( k  +  1 )  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) ) ,  1 ) )
170 iftrue 3878 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  +  1 )  e.  Prime  ->  if ( ( k  +  1 )  e.  Prime ,  ( ( k  +  1 ) ^ ( ( k  +  1 ) 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) ) ,  1 )  =  ( ( k  +  1 ) ^ (
( k  +  1 )  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) ) )
171169, 170sylan9eq 2525 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( k  +  1 ) ^
( ( k  +  1 )  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) ) ) )
1726adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  N  e.  NN )
173 bposlem1 24291 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  e.  Prime )  ->  ( ( k  +  1 ) ^ (
( k  +  1 )  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) )  <_  ( 2  x.  N ) )
174172, 173sylan 479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
( k  +  1 ) ^ ( ( k  +  1 ) 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) )  <_  ( 2  x.  N ) )
175171, 174eqbrtrd 4416 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( 2  x.  N ) )
17614simpld 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F : NN --> NN )
177 ffvelrn 6035 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  ( k  +  1 )  e.  NN )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  NN )
178176, 159, 177syl2an 485 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 ( k  +  1 ) )  e.  NN )
179178nnred 10646 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 ( k  +  1 ) )  e.  RR )
180179adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
18122ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
2  x.  N )  e.  RR )
182 nnre 10638 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k )  e.  NN  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `
 k )  e.  RR )
183 nngt0 10660 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k )  e.  NN  ->  0  <  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k
) )
184182, 183jca 541 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k )  e.  NN  ->  ( (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  k )  e.  RR  /\  0  < 
(  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k ) ) )
185126, 184syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k )  e.  RR  /\  0  <  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k
) ) )
186185adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
(  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k )  e.  RR  /\  0  <  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k
) ) )
187 lemul2 10480 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  (
k  +  1 ) )  e.  RR  /\  ( 2  x.  N
)  e.  RR  /\  ( (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  k )  e.  RR  /\  0  < 
(  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k ) ) )  ->  ( ( F `
 ( k  +  1 ) )  <_ 
( 2  x.  N
)  <->  ( (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k
)  x.  ( F `
 ( k  +  1 ) ) )  <_  ( (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k
)  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )
188180, 181, 186, 187syl3anc 1292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
( F `  (
k  +  1 ) )  <_  ( 2  x.  N )  <->  ( (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k
)  x.  ( F `
 ( k  +  1 ) ) )  <_  ( (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k
)  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )
189175, 188mpbid 215 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
(  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k )  x.  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  <_  ( (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k
)  x.  ( 2  x.  N ) ) )
190158, 189eqbrtrd 4416 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  (
k  +  1 ) )  <_  ( (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k
)  x.  ( 2  x.  N ) ) )
191 ffvelrn 6035 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  seq 1 (  x.  ,  F ) : NN --> NN  /\  (
k  +  1 )  e.  NN )  -> 
(  seq 1 (  x.  ,  F ) `  ( k  +  1 ) )  e.  NN )
19215, 159, 191syl2an 485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  (
k  +  1 ) )  e.  NN )
193192nnred 10646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  (
k  +  1 ) )  e.  RR )
19425adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 2  x.  N )  e.  NN )
195126, 194nnmulcld 10679 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k )  x.  (
2  x.  N ) )  e.  NN )
196195nnred 10646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k )  x.  (
2  x.  N ) )  e.  RR )
197160nnred 10646 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  +  1 )  e.  RR )
198 ppicl 24137 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  +  1 )  e.  RR  ->  (π `  ( k  +  1 ) )  e.  NN0 )
199197, 198syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  (π `  (
k  +  1 ) )  e.  NN0 )
200194, 199nnexpcld 12475 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  N ) ^ (π `  ( k  +  1 ) ) )  e.  NN )
201200nnred 10646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  N ) ^ (π `  ( k  +  1 ) ) )  e.  RR )
202 letr 9745 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (  seq 1 (  x.  ,  F ) `
 ( k  +  1 ) )  e.  RR  /\  ( (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k )  x.  (
2  x.  N ) )  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  N ) ^ (π `  ( k  +  1 ) ) )  e.  RR )  ->  (
( (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  ( k  +  1 ) )  <_  ( (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k
)  x.  ( 2  x.  N ) )  /\  ( (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k
)  x.  ( 2  x.  N ) )  <_  ( ( 2  x.  N ) ^
(π `  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  (
k  +  1 ) )  <_  ( (
2  x.  N ) ^ (π `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
203193, 196, 201, 202syl3anc 1292 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( (  seq 1 (  x.  ,  F ) `
 ( k  +  1 ) )  <_ 
( (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  k )  x.  ( 2  x.  N
) )  /\  (
(  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k )  x.  (
2  x.  N ) )  <_  ( (
2  x.  N ) ^ (π `  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  (
k  +  1 ) )  <_  ( (
2  x.  N ) ^ (π `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
204203adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
( (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  ( k  +  1 ) )  <_  ( (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k
)  x.  ( 2  x.  N ) )  /\  ( (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k
)  x.  ( 2  x.  N ) )  <_  ( ( 2  x.  N ) ^
(π `  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  (
k  +  1 ) )  <_  ( (
2  x.  N ) ^ (π `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
205190, 204mpand 689 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
( (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  k )  x.  ( 2  x.  N
) )  <_  (
( 2  x.  N
) ^ (π `  (
k  +  1 ) ) )  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  (
k  +  1 ) )  <_  ( (
2  x.  N ) ^ (π `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
206152, 205sylbid 223 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
(  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k )  <_  (
( 2  x.  N
) ^ (π `  k
) )  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  (
k  +  1 ) )  <_  ( (
2  x.  N ) ^ (π `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
207157adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `
 ( k  +  1 ) )  =  ( (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  k )  x.  ( F `  (
k  +  1 ) ) ) )
208 iffalse 3881 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( k  +  1 )  e.  Prime  ->  if ( ( k  +  1 )  e.  Prime ,  ( ( k  +  1 ) ^ (
( k  +  1 )  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) ) ,  1 )  =  1 )
209169, 208sylan9eq 2525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  Prime )  ->  ( F `  (
k  +  1 ) )  =  1 )
210209oveq2d 6324 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  Prime )  ->  ( (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  k )  x.  ( F `  (
k  +  1 ) ) )  =  ( (  seq 1 (  x.  ,  F ) `
 k )  x.  1 ) )
211126adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `
 k )  e.  NN )
212211nncnd 10647 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `
 k )  e.  CC )
213212mulid1d 9678 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  Prime )  ->  ( (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  k )  x.  1 )  =  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k ) )
214207, 210, 2133eqtrd 2509 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `
 ( k  +  1 ) )  =  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `
 k ) )
215 ppinprm 24158 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (π `  ( k  +  1 ) )  =  (π `  k ) )
216144, 215sylan 479 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (π `  ( k  +  1 ) )  =  (π `  k ) )
217216oveq2d 6324 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  Prime )  ->  ( ( 2  x.  N ) ^ (π `  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( 2  x.  N ) ^ (π `  k ) ) )
218214, 217breq12d 4408 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  Prime )  ->  ( (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  ( k  +  1 ) )  <_  ( ( 2  x.  N ) ^
(π `  ( k  +  1 ) ) )  <-> 
(  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k )  <_  (
( 2  x.  N
) ^ (π `  k
) ) ) )
219218biimprd 231 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  Prime )  ->  ( (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  k )  <_  ( ( 2  x.  N ) ^ (π `  k ) )  -> 
(  seq 1 (  x.  ,  F ) `  ( k  +  1 ) )  <_  (
( 2  x.  N
) ^ (π `  (
k  +  1 ) ) ) ) )
220206, 219pm2.61dan 808 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k )  <_  (
( 2  x.  N
) ^ (π `  k
) )  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  (
k  +  1 ) )  <_  ( (
2  x.  N ) ^ (π `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
221220expcom 442 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  ( ph  ->  ( (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k
)  <_  ( (
2  x.  N ) ^ (π `  k ) )  ->  (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  ( k  +  1 ) )  <_  ( ( 2  x.  N ) ^
(π `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
222221a2d 28 . . . 4  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ph  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k
)  <_  ( (
2  x.  N ) ^ (π `  k ) ) )  ->  ( ph  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `
 ( k  +  1 ) )  <_ 
( ( 2  x.  N ) ^ (π `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
22393, 98, 103, 108, 125, 222nnind 10649 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  ( ph  ->  (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  M )  <_  ( ( 2  x.  N ) ^ (π `  M ) ) ) )
22474, 223mpcom 36 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `
 M )  <_ 
( ( 2  x.  N ) ^ (π `  M ) ) )
225 cxpexp 23692 . . . 4  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  CC  /\  (π `
 M )  e. 
NN0 )  ->  (
( 2  x.  N
)  ^c  (π `  M ) )  =  ( ( 2  x.  N ) ^ (π `  M ) ) )
226123, 79, 225syl2anc 673 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  ^c 
(π `  M ) )  =  ( ( 2  x.  N ) ^
(π `  M ) ) )
22779nn0red 10950 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (π `  M )  e.  RR )
228 nndivre 10667 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  RR  /\  3  e.  NN )  ->  ( M  /  3
)  e.  RR )
22977, 16, 228sylancl 675 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M  /  3
)  e.  RR )
230 readdcl 9640 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  /  3
)  e.  RR  /\  2  e.  RR )  ->  ( ( M  / 
3 )  +  2 )  e.  RR )
231229, 48, 230sylancl 675 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( M  / 
3 )  +  2 )  e.  RR )
23274nnnn0d 10949 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
233232nn0ge0d 10952 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  M )
234 ppiub 24211 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  -> 
(π `  M )  <_ 
( ( M  / 
3 )  +  2 ) )
23577, 233, 234syl2anc 673 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (π `  M )  <_ 
( ( M  / 
3 )  +  2 ) )
23648a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  2  e.  RR )
237 flle 12068 . . . . . . . . 9  |-  ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( sqr `  (
2  x.  N ) ) )  <_  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) )
23828, 237syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) )  <_  ( sqr `  (
2  x.  N ) ) )
23917, 238syl5eqbr 4429 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  <_  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) )
240 3re 10705 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  RR
241 3pos 10725 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  3
242240, 241pm3.2i 462 . . . . . . . . 9  |-  ( 3  e.  RR  /\  0  <  3 )
243242a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 3  e.  RR  /\  0  <  3 ) )
244 lediv1 10492 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  RR  /\  ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  e.  RR  /\  (
3  e.  RR  /\  0  <  3 ) )  ->  ( M  <_ 
( sqr `  (
2  x.  N ) )  <->  ( M  / 
3 )  <_  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 ) ) )
24577, 28, 243, 244syl3anc 1292 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( M  <_  ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  <->  ( M  /  3 )  <_ 
( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 ) ) )
246239, 245mpbid 215 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M  /  3
)  <_  ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  / 
3 ) )
247229, 83, 236, 246leadd1dd 10248 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( M  / 
3 )  +  2 )  <_  ( (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 ) )
248227, 231, 85, 235, 247letrd 9809 . . . 4  |-  ( ph  ->  (π `  M )  <_ 
( ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  /  3
)  +  2 ) )
249 2t1e2 10781 . . . . . . . 8  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
2506nnge1d 10674 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  <_  N )
251 1re 9660 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR
252 lemul2 10480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( 1  <_  N 
<->  ( 2  x.  1 )  <_  ( 2  x.  N ) ) )
253251, 50, 252mp3an13 1381 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  RR  ->  (
1  <_  N  <->  ( 2  x.  1 )  <_ 
( 2  x.  N
) ) )
25446, 253syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  <_  N  <->  ( 2  x.  1 )  <_  ( 2  x.  N ) ) )
255250, 254mpbid 215 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  1 )  <_  ( 2  x.  N ) )
256249, 255syl5eqbrr 4430 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  2  <_  ( 2  x.  N ) )
25718eluz1i 11190 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  N )  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( ( 2  x.  N )  e.  ZZ  /\  2  <_ 
( 2  x.  N
) ) )
25821, 256, 257sylanbrc 677 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
259 eluz2b1 11253 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  N )  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( ( 2  x.  N )  e.  ZZ  /\  1  < 
( 2  x.  N
) ) )
260259simprbi 471 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  N )  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  <  ( 2  x.  N ) )
261258, 260syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  <  ( 2  x.  N ) )
26222, 261, 227, 85cxpled 23744 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (π `  M )  <_ 
( ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  /  3
)  +  2 )  <-> 
( ( 2  x.  N )  ^c 
(π `  M ) )  <_  ( ( 2  x.  N )  ^c  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 ) ) ) )
263248, 262mpbid 215 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  ^c 
(π `  M ) )  <_  ( ( 2  x.  N )  ^c  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 ) ) )
264226, 263eqbrtrrd 4418 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N ) ^ (π `  M ) )  <_ 
( ( 2  x.  N )  ^c 
( ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  /  3
)  +  2 ) ) )
26576, 81, 86, 224, 264letrd 9809 1  |-  ( ph  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `
 M )  <_ 
( ( 2  x.  N )  ^c 
( ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  /  3
)  +  2 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904   E.wrex 2757   ifcif 3872   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    x. cmul 9562    < clt 9693    <_ cle 9694    / cdiv 10291   NNcn 10631   2c2 10681   3c3 10682   5c5 10684   9c9 10688   10c10 10689   NN0cn0 10893   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   ...cfz 11810   |_cfl 12059    seqcseq 12251   ^cexp 12310    _C cbc 12525   sqrcsqrt 13373   Primecprime 14701    pCnt cpc 14865    ^c ccxp 23584  πcppi 24099
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-ef 14198  df-sin 14200  df-cos 14201  df-pi 14203  df-dvds 14383  df-gcd 14548  df-prm 14702  df-pc 14866  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901  df-log 23585  df-cxp 23586  df-ppi 24105
This theorem is referenced by:  bposlem6  24296
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