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Theorem bposlem5 24200
Description: Lemma for bpos 24205. Bound the product of all small primes in the binomial coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bpos.1  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
5 ) )
bpos.2  |-  ( ph  ->  -.  E. p  e. 
Prime  ( N  <  p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) )
bpos.3  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ (
n  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) ) ,  1 ) )
bpos.4  |-  K  =  ( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  3 ) )
bpos.5  |-  M  =  ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) )
Assertion
Ref Expression
bposlem5  |-  ( ph  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `
 M )  <_ 
( ( 2  x.  N )  ^c 
( ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  /  3
)  +  2 ) ) )
Distinct variable groups:    F, p    n, p, K    M, p    n, N, p    ph, n, p
Allowed substitution hints:    F( n)    M( n)

Proof of Theorem bposlem5
Dummy variables  k  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bpos.3 . . . . . 6  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ (
n  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) ) ,  1 ) )
2 id 23 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  Prime  ->  n  e. 
Prime )
3 5nn 10770 . . . . . . . . . . 11  |-  5  e.  NN
4 bpos.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
5 ) )
5 eluznn 11229 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 5  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= ` 
5 ) )  ->  N  e.  NN )
63, 4, 5sylancr 667 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
76nnnn0d 10925 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
8 fzctr 11903 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ( 0 ... (
2  x.  N ) ) )
9 bccl2 12507 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( 0 ... ( 2  x.  N
) )  ->  (
( 2  x.  N
)  _C  N )  e.  NN )
107, 8, 93syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  _C  N
)  e.  NN )
11 pccl 14784 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  Prime  /\  (
( 2  x.  N
)  _C  N )  e.  NN )  -> 
( n  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  e.  NN0 )
122, 10, 11syl2anr 480 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Prime )  ->  ( n  pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  e.  NN0 )
1312ralrimiva 2839 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. n  e.  Prime  ( n  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN0 )
141, 13pcmptcl 14821 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F : NN --> NN  /\  seq 1 (  x.  ,  F ) : NN --> NN ) )
1514simprd 464 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq 1 (  x.  ,  F ) : NN --> NN )
16 3nn 10768 . . . . 5  |-  3  e.  NN
17 bpos.5 . . . . . 6  |-  M  =  ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) )
18 2z 10969 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  ZZ
196nnzd 11039 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
20 zmulcl 10985 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  N
)  e.  ZZ )
2118, 19, 20sylancr 667 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  e.  ZZ )
2221zred 11040 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  e.  RR )
23 2nn 10767 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  NN
24 nnmulcl 10632 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( 2  x.  N
)  e.  NN )
2523, 6, 24sylancr 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  e.  NN )
2625nnrpd 11339 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  e.  RR+ )
2726rpge0d 11345 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <_  ( 2  x.  N ) )
2822, 27resqrtcld 13465 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( sqr `  (
2  x.  N ) )  e.  RR )
2928flcld 12033 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) )  e.  ZZ )
30 sqrt9 13323 . . . . . . . . 9  |-  ( sqr `  9 )  =  3
31 9re 10696 . . . . . . . . . . . 12  |-  9  e.  RR
3231a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  9  e.  RR )
33 10re 10698 . . . . . . . . . . . 12  |-  10  e.  RR
3433a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  10  e.  RR )
35 lep1 10444 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 9  e.  RR  ->  9  <_  ( 9  +  1 ) )
3631, 35ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  9  <_  ( 9  +  1 )
37 df-10 10676 . . . . . . . . . . . . 13  |-  10  =  ( 9  +  1 )
3836, 37breqtrri 4446 . . . . . . . . . . . 12  |-  9  <_  10
3938a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  9  <_  10 )
40 5cn 10689 . . . . . . . . . . . . 13  |-  5  e.  CC
41 2cn 10680 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  CC
42 5t2e10 10764 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 5  x.  2 )  =  10
4340, 41, 42mulcomli 9650 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  x.  5 )  =  10
44 eluzle 11171 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  5
)  ->  5  <_  N )
454, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  5  <_  N )
466nnred 10624 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
47 5re 10688 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  5  e.  RR
48 2re 10679 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  e.  RR
49 2pos 10701 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  <  2
5048, 49pm3.2i 456 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
51 lemul2 10458 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 5  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( 5  <_  N 
<->  ( 2  x.  5 )  <_  ( 2  x.  N ) ) )
5247, 50, 51mp3an13 1351 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  RR  ->  (
5  <_  N  <->  ( 2  x.  5 )  <_ 
( 2  x.  N
) ) )
5346, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 5  <_  N  <->  ( 2  x.  5 )  <_  ( 2  x.  N ) ) )
5445, 53mpbid 213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  5 )  <_  ( 2  x.  N ) )
5543, 54syl5eqbrr 4455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  10  <_  ( 2  x.  N ) )
5632, 34, 22, 39, 55letrd 9792 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  9  <_  ( 2  x.  N ) )
57 0re 9643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  RR
58 9pos 10711 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <  9
5957, 31, 58ltleii 9757 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <_  9
6031, 59pm3.2i 456 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 9  e.  RR  /\  0  <_  9 )
6122, 27jca 534 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  e.  RR  /\  0  <_  ( 2  x.  N ) ) )
62 sqrtle 13310 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 9  e.  RR  /\  0  <_  9 )  /\  ( ( 2  x.  N )  e.  RR  /\  0  <_ 
( 2  x.  N
) ) )  -> 
( 9  <_  (
2  x.  N )  <-> 
( sqr `  9
)  <_  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) ) )
6360, 61, 62sylancr 667 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 9  <_  (
2  x.  N )  <-> 
( sqr `  9
)  <_  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) ) )
6456, 63mpbid 213 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( sqr `  9
)  <_  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) )
6530, 64syl5eqbrr 4455 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  3  <_  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) )
66 3z 10970 . . . . . . . . 9  |-  3  e.  ZZ
67 flge 12040 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  e.  RR  /\  3  e.  ZZ )  ->  ( 3  <_  ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  <->  3  <_  ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) ) ) )
6828, 66, 67sylancl 666 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 3  <_  ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  <->  3  <_  ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) ) ) )
6965, 68mpbid 213 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  3  <_  ( |_ `  ( sqr `  (
2  x.  N ) ) ) )
7066eluz1i 11166 . . . . . . 7  |-  ( ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) )  e.  ( ZZ>= `  3 )  <->  ( ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) )  e.  ZZ  /\  3  <_  ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) ) ) )
7129, 69, 70sylanbrc 668 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) )  e.  ( ZZ>= `  3
) )
7217, 71syl5eqel 2514 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
3 ) )
73 eluznn 11229 . . . . 5  |-  ( ( 3  e.  NN  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
3 ) )  ->  M  e.  NN )
7416, 72, 73sylancr 667 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
7515, 74ffvelrnd 6034 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `
 M )  e.  NN )
7675nnred 10624 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `
 M )  e.  RR )
7774nnred 10624 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
78 ppicl 24042 . . . . 5  |-  ( M  e.  RR  ->  (π `  M )  e.  NN0 )
7977, 78syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  (π `  M )  e. 
NN0 )
8025, 79nnexpcld 12436 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N ) ^ (π `  M ) )  e.  NN )
8180nnred 10624 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N ) ^ (π `  M ) )  e.  RR )
82 nndivre 10645 . . . . 5  |-  ( ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  e.  RR  /\  3  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 )  e.  RR )
8328, 16, 82sylancl 666 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 )  e.  RR )
84 readdcl 9622 . . . 4  |-  ( ( ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 )  e.  RR  /\  2  e.  RR )  ->  (
( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 )  e.  RR )
8583, 48, 84sylancl 666 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  /  3
)  +  2 )  e.  RR )
8622, 27, 85recxpcld 23652 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  ^c 
( ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  /  3
)  +  2 ) )  e.  RR )
87 fveq2 5877 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  x
)  =  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  1
) )
88 fveq2 5877 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  1  ->  (π `  x )  =  (π `  1 ) )
89 ppi1 24075 . . . . . . . 8  |-  (π `  1
)  =  0
9088, 89syl6eq 2479 . . . . . . 7  |-  ( x  =  1  ->  (π `  x )  =  0 )
9190oveq2d 6317 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  (
( 2  x.  N
) ^ (π `  x
) )  =  ( ( 2  x.  N
) ^ 0 ) )
9287, 91breq12d 4433 . . . . 5  |-  ( x  =  1  ->  (
(  seq 1 (  x.  ,  F ) `  x )  <_  (
( 2  x.  N
) ^ (π `  x
) )  <->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  1
)  <_  ( (
2  x.  N ) ^ 0 ) ) )
9392imbi2d 317 . . . 4  |-  ( x  =  1  ->  (
( ph  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  x
)  <_  ( (
2  x.  N ) ^ (π `  x ) ) )  <->  ( ph  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) ` 
1 )  <_  (
( 2  x.  N
) ^ 0 ) ) ) )
94 fveq2 5877 . . . . . 6  |-  ( x  =  k  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  x
)  =  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k
) )
95 fveq2 5877 . . . . . . 7  |-  ( x  =  k  ->  (π `  x )  =  (π `  k ) )
9695oveq2d 6317 . . . . . 6  |-  ( x  =  k  ->  (
( 2  x.  N
) ^ (π `  x
) )  =  ( ( 2  x.  N
) ^ (π `  k
) ) )
9794, 96breq12d 4433 . . . . 5  |-  ( x  =  k  ->  (
(  seq 1 (  x.  ,  F ) `  x )  <_  (
( 2  x.  N
) ^ (π `  x
) )  <->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k
)  <_  ( (
2  x.  N ) ^ (π `  k ) ) ) )
9897imbi2d 317 . . . 4  |-  ( x  =  k  ->  (
( ph  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  x
)  <_  ( (
2  x.  N ) ^ (π `  x ) ) )  <->  ( ph  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k )  <_  (
( 2  x.  N
) ^ (π `  k
) ) ) ) )
99 fveq2 5877 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  x
)  =  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  (
k  +  1 ) ) )
100 fveq2 5877 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (π `  x )  =  (π `  ( k  +  1 ) ) )
101100oveq2d 6317 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
( 2  x.  N
) ^ (π `  x
) )  =  ( ( 2  x.  N
) ^ (π `  (
k  +  1 ) ) ) )
10299, 101breq12d 4433 . . . . 5  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
(  seq 1 (  x.  ,  F ) `  x )  <_  (
( 2  x.  N
) ^ (π `  x
) )  <->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  (
k  +  1 ) )  <_  ( (
2  x.  N ) ^ (π `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
103102imbi2d 317 . . . 4  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ph  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  x
)  <_  ( (
2  x.  N ) ^ (π `  x ) ) )  <->  ( ph  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  ( k  +  1 ) )  <_  (
( 2  x.  N
) ^ (π `  (
k  +  1 ) ) ) ) ) )
104 fveq2 5877 . . . . . 6  |-  ( x  =  M  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  x
)  =  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  M
) )
105 fveq2 5877 . . . . . . 7  |-  ( x  =  M  ->  (π `  x )  =  (π `  M ) )
106105oveq2d 6317 . . . . . 6  |-  ( x  =  M  ->  (
( 2  x.  N
) ^ (π `  x
) )  =  ( ( 2  x.  N
) ^ (π `  M
) ) )
107104, 106breq12d 4433 . . . . 5  |-  ( x  =  M  ->  (
(  seq 1 (  x.  ,  F ) `  x )  <_  (
( 2  x.  N
) ^ (π `  x
) )  <->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  M
)  <_  ( (
2  x.  N ) ^ (π `  M ) ) ) )
108107imbi2d 317 . . . 4  |-  ( x  =  M  ->  (
( ph  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  x
)  <_  ( (
2  x.  N ) ^ (π `  x ) ) )  <->  ( ph  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  M )  <_  (
( 2  x.  N
) ^ (π `  M
) ) ) ) )
109 1z 10967 . . . . . . . 8  |-  1  e.  ZZ
110 seq1 12225 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  1
)  =  ( F `
 1 ) )
111109, 110ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  1
)  =  ( F `
 1 )
112 1nn 10620 . . . . . . . 8  |-  1  e.  NN
113 1nprm 14614 . . . . . . . . . . 11  |-  -.  1  e.  Prime
114 eleq1 2494 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  1  ->  (
n  e.  Prime  <->  1  e.  Prime ) )
115113, 114mtbiri 304 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  1  ->  -.  n  e.  Prime )
116115iffalsed 3920 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  1  ->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ (
n  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) ) ,  1 )  =  1 )
117 1ex 9638 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  _V
118116, 1, 117fvmpt 5960 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  NN  ->  ( F `  1 )  =  1 )
119112, 118ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( F `
 1 )  =  1
120111, 119eqtri 2451 . . . . . 6  |-  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  1
)  =  1
121 1le1 10240 . . . . . 6  |-  1  <_  1
122120, 121eqbrtri 4440 . . . . 5  |-  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  1
)  <_  1
12321zcnd 11041 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  e.  CC )
124123exp0d 12409 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N ) ^ 0 )  =  1 )
125122, 124syl5breqr 4457 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `
 1 )  <_ 
( ( 2  x.  N ) ^ 0 ) )
12615ffvelrnda 6033 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k
)  e.  NN )
127126nnred 10624 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k
)  e.  RR )
128127adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k
)  e.  RR )
12925ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
2  x.  N )  e.  NN )
130 nnre 10616 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR )
131130ad2antlr 731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  k  e.  RR )
132 ppicl 24042 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  RR  ->  (π `  k )  e.  NN0 )
133131, 132syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (π `  k )  e.  NN0 )
134129, 133nnexpcld 12436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
( 2  x.  N
) ^ (π `  k
) )  e.  NN )
135134nnred 10624 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
( 2  x.  N
) ^ (π `  k
) )  e.  RR )
136 nnre 10616 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  x.  N )  e.  NN  ->  (
2  x.  N )  e.  RR )
137 nngt0 10638 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  x.  N )  e.  NN  ->  0  <  ( 2  x.  N
) )
138136, 137jca 534 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  x.  N )  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  e.  RR  /\  0  <  ( 2  x.  N ) ) )
13925, 138syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  e.  RR  /\  0  <  ( 2  x.  N ) ) )
140139ad2antrr 730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
( 2  x.  N
)  e.  RR  /\  0  <  ( 2  x.  N ) ) )
141 lemul1 10457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  seq 1 (  x.  ,  F ) `
 k )  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  N ) ^ (π `  k ) )  e.  RR  /\  (
( 2  x.  N
)  e.  RR  /\  0  <  ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k
)  <_  ( (
2  x.  N ) ^ (π `  k ) )  <-> 
( (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  k )  x.  ( 2  x.  N
) )  <_  (
( ( 2  x.  N ) ^ (π `  k ) )  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )
142128, 135, 140, 141syl3anc 1264 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
(  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k )  <_  (
( 2  x.  N
) ^ (π `  k
) )  <->  ( (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k
)  x.  ( 2  x.  N ) )  <_  ( ( ( 2  x.  N ) ^ (π `  k ) )  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )
143 nnz 10959 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  ZZ )
144143adantl 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  ZZ )
145 ppiprm 24062 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (π `  ( k  +  1 ) )  =  ( (π `  k )  +  1 ) )
146144, 145sylan 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (π `  ( k  +  1 ) )  =  ( (π `  k )  +  1 ) )
147146oveq2d 6317 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
( 2  x.  N
) ^ (π `  (
k  +  1 ) ) )  =  ( ( 2  x.  N
) ^ ( (π `  k )  +  1 ) ) )
148123ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
2  x.  N )  e.  CC )
149148, 133expp1d 12416 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
( 2  x.  N
) ^ ( (π `  k )  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  N ) ^ (π `  k ) )  x.  ( 2  x.  N
) ) )
150147, 149eqtrd 2463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
( 2  x.  N
) ^ (π `  (
k  +  1 ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  N ) ^ (π `  k ) )  x.  ( 2  x.  N
) ) )
151150breq2d 4432 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
( (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  k )  x.  ( 2  x.  N
) )  <_  (
( 2  x.  N
) ^ (π `  (
k  +  1 ) ) )  <->  ( (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k
)  x.  ( 2  x.  N ) )  <_  ( ( ( 2  x.  N ) ^ (π `  k ) )  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )
152142, 151bitr4d 259 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
(  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k )  <_  (
( 2  x.  N
) ^ (π `  k
) )  <->  ( (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k
)  x.  ( 2  x.  N ) )  <_  ( ( 2  x.  N ) ^
(π `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
153 simpr 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN )
154 nnuz 11194 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
155153, 154syl6eleq 2520 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
156 seqp1 12227 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k )  x.  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )
157155, 156syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k )  x.  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )
158157adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k )  x.  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )
159 peano2nn 10621 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
160159adantl 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  +  1 )  e.  NN )
161 eleq1 2494 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
n  e.  Prime  <->  ( k  +  1 )  e. 
Prime ) )
162 id 23 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  n  =  ( k  +  1 ) )
163 oveq1 6308 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
n  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  =  ( ( k  +  1 )  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )
164162, 163oveq12d 6319 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
n ^ ( n 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) )  =  ( ( k  +  1 ) ^
( ( k  +  1 )  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) ) ) )
165161, 164ifbieq1d 3932 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ (
n  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) ) ,  1 )  =  if ( ( k  +  1 )  e.  Prime ,  ( ( k  +  1 ) ^ ( ( k  +  1 )  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) ) ,  1 ) )
166 ovex 6329 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  +  1 ) ^ ( ( k  +  1 )  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )  e.  _V
167166, 117ifex 3977 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  if ( ( k  +  1 )  e.  Prime ,  ( ( k  +  1 ) ^ ( ( k  +  1 ) 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) ) ,  1 )  e. 
_V
168165, 1, 167fvmpt 5960 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  +  1 )  e.  NN  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  =  if ( ( k  +  1 )  e.  Prime ,  ( ( k  +  1 ) ^ ( ( k  +  1 )  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) ) ,  1 ) )
169160, 168syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 ( k  +  1 ) )  =  if ( ( k  +  1 )  e. 
Prime ,  ( (
k  +  1 ) ^ ( ( k  +  1 )  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) ) ,  1 ) )
170 iftrue 3915 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  +  1 )  e.  Prime  ->  if ( ( k  +  1 )  e.  Prime ,  ( ( k  +  1 ) ^ ( ( k  +  1 ) 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) ) ,  1 )  =  ( ( k  +  1 ) ^ (
( k  +  1 )  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) ) )
171169, 170sylan9eq 2483 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( k  +  1 ) ^
( ( k  +  1 )  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) ) ) )
1726adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  N  e.  NN )
173 bposlem1 24196 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  e.  Prime )  ->  ( ( k  +  1 ) ^ (
( k  +  1 )  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) )  <_  ( 2  x.  N ) )
174172, 173sylan 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
( k  +  1 ) ^ ( ( k  +  1 ) 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) )  <_  ( 2  x.  N ) )
175171, 174eqbrtrd 4441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( 2  x.  N ) )
17614simpld 460 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F : NN --> NN )
177 ffvelrn 6031 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  ( k  +  1 )  e.  NN )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  NN )
178176, 159, 177syl2an 479 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 ( k  +  1 ) )  e.  NN )
179178nnred 10624 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 ( k  +  1 ) )  e.  RR )
180179adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
18122ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
2  x.  N )  e.  RR )
182 nnre 10616 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k )  e.  NN  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `
 k )  e.  RR )
183 nngt0 10638 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k )  e.  NN  ->  0  <  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k
) )
184182, 183jca 534 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k )  e.  NN  ->  ( (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  k )  e.  RR  /\  0  < 
(  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k ) ) )
185126, 184syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k )  e.  RR  /\  0  <  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k
) ) )
186185adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
(  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k )  e.  RR  /\  0  <  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k
) ) )
187 lemul2 10458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  (
k  +  1 ) )  e.  RR  /\  ( 2  x.  N
)  e.  RR  /\  ( (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  k )  e.  RR  /\  0  < 
(  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k ) ) )  ->  ( ( F `
 ( k  +  1 ) )  <_ 
( 2  x.  N
)  <->  ( (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k
)  x.  ( F `
 ( k  +  1 ) ) )  <_  ( (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k
)  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )
188180, 181, 186, 187syl3anc 1264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
( F `  (
k  +  1 ) )  <_  ( 2  x.  N )  <->  ( (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k
)  x.  ( F `
 ( k  +  1 ) ) )  <_  ( (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k
)  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )
189175, 188mpbid 213 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
(  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k )  x.  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  <_  ( (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k
)  x.  ( 2  x.  N ) ) )
190158, 189eqbrtrd 4441 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  (
k  +  1 ) )  <_  ( (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k
)  x.  ( 2  x.  N ) ) )
191 ffvelrn 6031 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  seq 1 (  x.  ,  F ) : NN --> NN  /\  (
k  +  1 )  e.  NN )  -> 
(  seq 1 (  x.  ,  F ) `  ( k  +  1 ) )  e.  NN )
19215, 159, 191syl2an 479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  (
k  +  1 ) )  e.  NN )
193192nnred 10624 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  (
k  +  1 ) )  e.  RR )
19425adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 2  x.  N )  e.  NN )
195126, 194nnmulcld 10657 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k )  x.  (
2  x.  N ) )  e.  NN )
196195nnred 10624 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k )  x.  (
2  x.  N ) )  e.  RR )
197160nnred 10624 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  +  1 )  e.  RR )
198 ppicl 24042 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  +  1 )  e.  RR  ->  (π `  ( k  +  1 ) )  e.  NN0 )
199197, 198syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  (π `  (
k  +  1 ) )  e.  NN0 )
200194, 199nnexpcld 12436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  N ) ^ (π `  ( k  +  1 ) ) )  e.  NN )
201200nnred 10624 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  N ) ^ (π `  ( k  +  1 ) ) )  e.  RR )
202 letr 9727 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (  seq 1 (  x.  ,  F ) `
 ( k  +  1 ) )  e.  RR  /\  ( (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k )  x.  (
2  x.  N ) )  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  N ) ^ (π `  ( k  +  1 ) ) )  e.  RR )  ->  (
( (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  ( k  +  1 ) )  <_  ( (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k
)  x.  ( 2  x.  N ) )  /\  ( (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k
)  x.  ( 2  x.  N ) )  <_  ( ( 2  x.  N ) ^
(π `  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  (
k  +  1 ) )  <_  ( (
2  x.  N ) ^ (π `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
203193, 196, 201, 202syl3anc 1264 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( (  seq 1 (  x.  ,  F ) `
 ( k  +  1 ) )  <_ 
( (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  k )  x.  ( 2  x.  N
) )  /\  (
(  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k )  x.  (
2  x.  N ) )  <_  ( (
2  x.  N ) ^ (π `  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  (
k  +  1 ) )  <_  ( (
2  x.  N ) ^ (π `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
204203adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
( (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  ( k  +  1 ) )  <_  ( (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k
)  x.  ( 2  x.  N ) )  /\  ( (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k
)  x.  ( 2  x.  N ) )  <_  ( ( 2  x.  N ) ^
(π `  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  (
k  +  1 ) )  <_  ( (
2  x.  N ) ^ (π `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
205190, 204mpand 679 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
( (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  k )  x.  ( 2  x.  N
) )  <_  (
( 2  x.  N
) ^ (π `  (
k  +  1 ) ) )  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  (
k  +  1 ) )  <_  ( (
2  x.  N ) ^ (π `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
206152, 205sylbid 218 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
(  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k )  <_  (
( 2  x.  N
) ^ (π `  k
) )  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  (
k  +  1 ) )  <_  ( (
2  x.  N ) ^ (π `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
207157adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `
 ( k  +  1 ) )  =  ( (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  k )  x.  ( F `  (
k  +  1 ) ) ) )
208 iffalse 3918 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( k  +  1 )  e.  Prime  ->  if ( ( k  +  1 )  e.  Prime ,  ( ( k  +  1 ) ^ (
( k  +  1 )  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) ) ,  1 )  =  1 )
209169, 208sylan9eq 2483 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  Prime )  ->  ( F `  (
k  +  1 ) )  =  1 )
210209oveq2d 6317 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  Prime )  ->  ( (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  k )  x.  ( F `  (
k  +  1 ) ) )  =  ( (  seq 1 (  x.  ,  F ) `
 k )  x.  1 ) )
211126adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `
 k )  e.  NN )
212211nncnd 10625 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `
 k )  e.  CC )
213212mulid1d 9660 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  Prime )  ->  ( (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  k )  x.  1 )  =  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k ) )
214207, 210, 2133eqtrd 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `
 ( k  +  1 ) )  =  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `
 k ) )
215 ppinprm 24063 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (π `  ( k  +  1 ) )  =  (π `  k ) )
216144, 215sylan 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (π `  ( k  +  1 ) )  =  (π `  k ) )
217216oveq2d 6317 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  Prime )  ->  ( ( 2  x.  N ) ^ (π `  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( 2  x.  N ) ^ (π `  k ) ) )
218214, 217breq12d 4433 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  Prime )  ->  ( (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  ( k  +  1 ) )  <_  ( ( 2  x.  N ) ^
(π `  ( k  +  1 ) ) )  <-> 
(  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k )  <_  (
( 2  x.  N
) ^ (π `  k
) ) ) )
219218biimprd 226 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  Prime )  ->  ( (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  k )  <_  ( ( 2  x.  N ) ^ (π `  k ) )  -> 
(  seq 1 (  x.  ,  F ) `  ( k  +  1 ) )  <_  (
( 2  x.  N
) ^ (π `  (
k  +  1 ) ) ) ) )
220206, 219pm2.61dan 798 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k )  <_  (
( 2  x.  N
) ^ (π `  k
) )  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  (
k  +  1 ) )  <_  ( (
2  x.  N ) ^ (π `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
221220expcom 436 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  ( ph  ->  ( (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k
)  <_  ( (
2  x.  N ) ^ (π `  k ) )  ->  (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  ( k  +  1 ) )  <_  ( ( 2  x.  N ) ^
(π `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
222221a2d 29 . . . 4  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ph  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k
)  <_  ( (
2  x.  N ) ^ (π `  k ) ) )  ->  ( ph  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `
 ( k  +  1 ) )  <_ 
( ( 2  x.  N ) ^ (π `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
22393, 98, 103, 108, 125, 222nnind 10627 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  ( ph  ->  (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  M )  <_  ( ( 2  x.  N ) ^ (π `  M ) ) ) )
22474, 223mpcom 37 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `
 M )  <_ 
( ( 2  x.  N ) ^ (π `  M ) ) )
225 cxpexp 23597 . . . 4  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  CC  /\  (π `
 M )  e. 
NN0 )  ->  (
( 2  x.  N
)  ^c  (π `  M ) )  =  ( ( 2  x.  N ) ^ (π `  M ) ) )
226123, 79, 225syl2anc 665 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  ^c 
(π `  M ) )  =  ( ( 2  x.  N ) ^
(π `  M ) ) )
22779nn0red 10926 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (π `  M )  e.  RR )
228 nndivre 10645 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  RR  /\  3  e.  NN )  ->  ( M  /  3
)  e.  RR )
22977, 16, 228sylancl 666 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M  /  3
)  e.  RR )
230 readdcl 9622 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  /  3
)  e.  RR  /\  2  e.  RR )  ->  ( ( M  / 
3 )  +  2 )  e.  RR )
231229, 48, 230sylancl 666 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( M  / 
3 )  +  2 )  e.  RR )
23274nnnn0d 10925 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
233232nn0ge0d 10928 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  M )
234 ppiub 24116 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  -> 
(π `  M )  <_ 
( ( M  / 
3 )  +  2 ) )
23577, 233, 234syl2anc 665 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (π `  M )  <_ 
( ( M  / 
3 )  +  2 ) )
23648a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  2  e.  RR )
237 flle 12034 . . . . . . . . 9  |-  ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( sqr `  (
2  x.  N ) ) )  <_  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) )
23828, 237syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) )  <_  ( sqr `  (
2  x.  N ) ) )
23917, 238syl5eqbr 4454 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  <_  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) )
240 3re 10683 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  RR
241 3pos 10703 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  3
242240, 241pm3.2i 456 . . . . . . . . 9  |-  ( 3  e.  RR  /\  0  <  3 )
243242a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 3  e.  RR  /\  0  <  3 ) )
244 lediv1 10470 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  RR  /\  ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  e.  RR  /\  (
3  e.  RR  /\  0  <  3 ) )  ->  ( M  <_ 
( sqr `  (
2  x.  N ) )  <->  ( M  / 
3 )  <_  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 ) ) )
24577, 28, 243, 244syl3anc 1264 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( M  <_  ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  <->  ( M  /  3 )  <_ 
( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 ) ) )
246239, 245mpbid 213 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M  /  3
)  <_  ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  / 
3 ) )
247229, 83, 236, 246leadd1dd 10227 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( M  / 
3 )  +  2 )  <_  ( (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 ) )
248227, 231, 85, 235, 247letrd 9792 . . . 4  |-  ( ph  ->  (π `  M )  <_ 
( ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  /  3
)  +  2 ) )
249 2t1e2 10758 . . . . . . . 8  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
2506nnge1d 10652 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  <_  N )
251 1re 9642 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR
252 lemul2 10458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( 1  <_  N 
<->  ( 2  x.  1 )  <_  ( 2  x.  N ) ) )
253251, 50, 252mp3an13 1351 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  RR  ->  (
1  <_  N  <->  ( 2  x.  1 )  <_ 
( 2  x.  N
) ) )
25446, 253syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  <_  N  <->  ( 2  x.  1 )  <_  ( 2  x.  N ) ) )
255250, 254mpbid 213 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  1 )  <_  ( 2  x.  N ) )
256249, 255syl5eqbrr 4455 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  2  <_  ( 2  x.  N ) )
25718eluz1i 11166 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  N )  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( ( 2  x.  N )  e.  ZZ  /\  2  <_ 
( 2  x.  N
) ) )
25821, 256, 257sylanbrc 668 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
259 eluz2b1 11230 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  N )  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( ( 2  x.  N )  e.  ZZ  /\  1  < 
( 2  x.  N
) ) )
260259simprbi 465 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  N )  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  <  ( 2  x.  N ) )
261258, 260syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  <  ( 2  x.  N ) )
26222, 261, 227, 85cxpled 23649 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (π `  M )  <_ 
( ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  /  3
)  +  2 )  <-> 
( ( 2  x.  N )  ^c 
(π `  M ) )  <_  ( ( 2  x.  N )  ^c  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 ) ) ) )
263248, 262mpbid 213 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  ^c 
(π `  M ) )  <_  ( ( 2  x.  N )  ^c  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 ) ) )
264226, 263eqbrtrrd 4443 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N ) ^ (π `  M ) )  <_ 
( ( 2  x.  N )  ^c 
( ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  /  3
)  +  2 ) ) )
26576, 81, 86, 224, 264letrd 9792 1  |-  ( ph  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `
 M )  <_ 
( ( 2  x.  N )  ^c 
( ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  /  3
)  +  2 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1868   E.wrex 2776   ifcif 3909   class class class wbr 4420    |-> cmpt 4479   -->wf 5593   ` cfv 5597  (class class class)co 6301   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540    + caddc 9542    x. cmul 9544    < clt 9675    <_ cle 9676    / cdiv 10269   NNcn 10609   2c2 10659   3c3 10660   5c5 10662   9c9 10666   10c10 10667   NN0cn0 10869   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159   ...cfz 11784   |_cfl 12025    seqcseq 12212   ^cexp 12271    _C cbc 12486   sqrcsqrt 13282   Primecprime 14607    pCnt cpc 14771    ^c ccxp 23489  πcppi 24004
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-inf2 8148  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-iin 4299  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-se 4809  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-isom 5606  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-of 6541  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-supp 6922  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-1o 7186  df-2o 7187  df-oadd 7190  df-er 7367  df-map 7478  df-pm 7479  df-ixp 7527  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-fin 7577  df-fsupp 7886  df-fi 7927  df-sup 7958  df-inf 7959  df-oi 8027  df-card 8374  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12027  df-mod 12096  df-seq 12213  df-exp 12272  df-fac 12459  df-bc 12487  df-hash 12515  df-shft 13116  df-cj 13148  df-re 13149  df-im 13150  df-sqrt 13284  df-abs 13285  df-limsup 13511  df-clim 13537  df-rlim 13538  df-sum 13738  df-ef 14106  df-sin 14108  df-cos 14109  df-pi 14111  df-dvds 14291  df-gcd 14454  df-prm 14608  df-pc 14772  df-struct 15108  df-ndx 15109  df-slot 15110  df-base 15111  df-sets 15112  df-ress 15113  df-plusg 15188  df-mulr 15189  df-starv 15190  df-sca 15191  df-vsca 15192  df-ip 15193  df-tset 15194  df-ple 15195  df-ds 15197  df-unif 15198  df-hom 15199  df-cco 15200  df-rest 15306  df-topn 15307  df-0g 15325  df-gsum 15326  df-topgen 15327  df-pt 15328  df-prds 15331  df-xrs 15385  df-qtop 15391  df-imas 15392  df-xps 15395  df-mre 15477  df-mrc 15478  df-acs 15480  df-mgm 16473  df-sgrp 16512  df-mnd 16522  df-submnd 16568  df-mulg 16661  df-cntz 16956  df-cmn 17417  df-psmet 18947  df-xmet 18948  df-met 18949  df-bl 18950  df-mopn 18951  df-fbas 18952  df-fg 18953  df-cnfld 18956  df-top 19905  df-bases 19906  df-topon 19907  df-topsp 19908  df-cld 20018  df-ntr 20019  df-cls 20020  df-nei 20098  df-lp 20136  df-perf 20137  df-cn 20227  df-cnp 20228  df-haus 20315  df-tx 20561  df-hmeo 20754  df-fil 20845  df-fm 20937  df-flim 20938  df-flf 20939  df-xms 21319  df-ms 21320  df-tms 21321  df-cncf 21894  df-limc 22805  df-dv 22806  df-log 23490  df-cxp 23491  df-ppi 24010
This theorem is referenced by:  bposlem6  24201
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