Theorem bposlem5 21025

Description: Lemma for bpos 21030. Bound the product of all small primes in the binomial coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
bpos.1	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` 5 ) )
bpos.2	|- ( ph -> -. E. p e. Prime ( N < p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) )
bpos.3	|- F = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( n ^ ( n pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) ) , 1 ) )
bpos.4	|- K = ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / 3 ) )
bpos.5	|- M = ( |_ ` ( sqr ` ( 2 x. N ) ) )

Assertion

Ref	Expression
bposlem5	|- ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ c ( ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) / 3 ) + 2 ) ) )

Distinct variable groups:   F, p   n, p, K   M, p   n, N, p   ph, n, p

Allowed substitution hints:   F( n)   M( n)

Proof of Theorem bposlem5

Dummy variables k x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bpos.3	. . . . . 6 |- F = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( n ^ ( n pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) ) , 1 ) )
2		id 20	. . . . . . . 8 |- ( n e. Prime -> n e. Prime )
3		5nn 10092	. . . . . . . . . . 11 |- 5 e. NN
4		bpos.1	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` 5 ) )
5		nnuz 10477	. . . . . . . . . . . 12 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
6	5	uztrn2 10459	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 5 e. NN /\ N e. ( ZZ>= ` 5 ) ) -> N e. NN )
7	3, 4, 6	sylancr 645	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. NN )
8	7	nnnn0d 10230	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. NN0 )
9		fzctr 11072	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> N e. ( 0 ... ( 2 x. N ) ) )
10		bccl2 11569	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( 0 ... ( 2 x. N ) ) -> ( ( 2 x. N ) _C N ) e. NN )
11	8, 9, 10	3syl 19	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) _C N ) e. NN )
12		pccl 13178	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. Prime /\ ( ( 2 x. N ) _C N ) e. NN ) -> ( n pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) e. NN0 )
13	2, 11, 12	syl2anr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. Prime ) -> ( n pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) e. NN0 )
14	13	ralrimiva 2749	. . . . . 6 |- ( ph -> A. n e. Prime ( n pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) e. NN0 )
15	1, 14	pcmptcl 13215	. . . . 5 |- ( ph -> ( F : NN --> NN /\ seq 1 ( x. , F ) : NN --> NN ) )
16	15	simprd 450	. . . 4 |- ( ph -> seq 1 ( x. , F ) : NN --> NN )
17		3nn 10090	. . . . 5 |- 3 e. NN
18		bpos.5	. . . . . 6 |- M = ( |_ ` ( sqr ` ( 2 x. N ) ) )
19		2z 10268	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. ZZ
20	7	nnzd 10330	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. ZZ )
21		zmulcl 10280	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 2 x. N ) e. ZZ )
22	19, 20, 21	sylancr 645	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 x. N ) e. ZZ )
23	22	zred 10331	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 2 x. N ) e. RR )
24		2nn 10089	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. NN
25		nnmulcl 9979	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 e. NN /\ N e. NN ) -> ( 2 x. N ) e. NN )
26	24, 7, 25	sylancr 645	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 2 x. N ) e. NN )
27	26	nnrpd 10603	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 x. N ) e. RR+ )
28	27	rpge0d 10608	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 <_ ( 2 x. N ) )
29	23, 28	resqrcld 12175	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( sqr ` ( 2 x. N ) ) e. RR )
30	29	flcld 11162	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( |_ ` ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) e. ZZ )
31		sqr9 12034	. . . . . . . . 9 |- ( sqr ` 9 ) = 3
32		9re 10035	. . . . . . . . . . . 12 |- 9 e. RR
33	32	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 9 e. RR )
34		10re 10036	. . . . . . . . . . . 12 |- 10 e. RR
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 10 e. RR )
36		lep1 9805	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 9 e. RR -> 9 <_ ( 9 + 1 ) )
37	32, 36	ax-mp 8	. . . . . . . . . . . . 13 |- 9 <_ ( 9 + 1 )
38		df-10 10022	. . . . . . . . . . . . 13 |- 10 = ( 9 + 1 )
39	37, 38	breqtrri 4197	. . . . . . . . . . . 12 |- 9 <_ 10
40	39	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 9 <_ 10 )
41	3	nncni 9966	. . . . . . . . . . . . 13 |- 5 e. CC
42		2cn 10026	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. CC
43		5t2e10 10087	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 5 x. 2 ) = 10
44	41, 42, 43	mulcomli 9053	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 x. 5 ) = 10
45		eluzle 10454	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ( ZZ>= ` 5 ) -> 5 <_ N )
46	4, 45	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 5 <_ N )
47	7	nnred 9971	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> N e. RR )
48		5re 10031	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 5 e. RR
49		2re 10025	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 2 e. RR
50		2pos 10038	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 < 2
51	49, 50	pm3.2i 442	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
52		lemul2 9819	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 5 e. RR /\ N e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( 5 <_ N <-> ( 2 x. 5 ) <_ ( 2 x. N ) ) )
53	48, 51, 52	mp3an13 1270	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. RR -> ( 5 <_ N <-> ( 2 x. 5 ) <_ ( 2 x. N ) ) )
54	47, 53	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 5 <_ N <-> ( 2 x. 5 ) <_ ( 2 x. N ) ) )
55	46, 54	mpbid 202	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 2 x. 5 ) <_ ( 2 x. N ) )
56	44, 55	syl5eqbrr 4206	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 10 <_ ( 2 x. N ) )
57	33, 35, 23, 40, 56	letrd 9183	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 9 <_ ( 2 x. N ) )
58		0re 9047	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 e. RR
59		9pos 10047	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 < 9
60	58, 32, 59	ltleii 9152	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 <_ 9
61	32, 60	pm3.2i 442	. . . . . . . . . . 11 |- ( 9 e. RR /\ 0 <_ 9 )
62	23, 28	jca 519	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) e. RR /\ 0 <_ ( 2 x. N ) ) )
63		sqrle 12021	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 9 e. RR /\ 0 <_ 9 ) /\ ( ( 2 x. N ) e. RR /\ 0 <_ ( 2 x. N ) ) ) -> ( 9 <_ ( 2 x. N ) <-> ( sqr ` 9 ) <_ ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) )
64	61, 62, 63	sylancr 645	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 9 <_ ( 2 x. N ) <-> ( sqr ` 9 ) <_ ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) )
65	57, 64	mpbid 202	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( sqr ` 9 ) <_ ( sqr ` ( 2 x. N ) ) )
66	31, 65	syl5eqbrr 4206	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 3 <_ ( sqr ` ( 2 x. N ) ) )
67	17	nnzi 10261	. . . . . . . . 9 |- 3 e. ZZ
68		flge 11169	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) e. RR /\ 3 e. ZZ ) -> ( 3 <_ ( sqr ` ( 2 x. N ) ) <-> 3 <_ ( |_ ` ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) ) )
69	29, 67, 68	sylancl 644	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 3 <_ ( sqr ` ( 2 x. N ) ) <-> 3 <_ ( |_ ` ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) ) )
70	66, 69	mpbid 202	. . . . . . 7 |- ( ph -> 3 <_ ( |_ ` ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) )
71	67	eluz1i 10451	. . . . . . 7 |- ( ( |_ ` ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) e. ( ZZ>= ` 3 ) <-> ( ( |_ ` ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) e. ZZ /\ 3 <_ ( |_ ` ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) ) )
72	30, 70, 71	sylanbrc 646	. . . . . 6 |- ( ph -> ( |_ ` ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) e. ( ZZ>= ` 3 ) )
73	18, 72	syl5eqel 2488	. . . . 5 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` 3 ) )
74	5	uztrn2 10459	. . . . 5 |- ( ( 3 e. NN /\ M e. ( ZZ>= ` 3 ) ) -> M e. NN )
75	17, 73, 74	sylancr 645	. . . 4 |- ( ph -> M e. NN )
76	16, 75	ffvelrnd 5830	. . 3 |- ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) e. NN )
77	76	nnred 9971	. 2 |- ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) e. RR )
78	75	nnred 9971	. . . . 5 |- ( ph -> M e. RR )
79		ppicl 20867	. . . . 5 |- ( M e. RR -> (π ` M ) e. NN0 )
80	78, 79	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> (π ` M ) e. NN0 )
81	26, 80	nnexpcld 11499	. . 3 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) ^ (π ` M ) ) e. NN )
82	81	nnred 9971	. 2 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) ^ (π ` M ) ) e. RR )
83		nndivre 9991	. . . . 5 |- ( ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) e. RR /\ 3 e. NN ) -> ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) / 3 ) e. RR )
84	29, 17, 83	sylancl 644	. . . 4 |- ( ph -> ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) / 3 ) e. RR )
85		readdcl 9029	. . . 4 |- ( ( ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) / 3 ) e. RR /\ 2 e. RR ) -> ( ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) / 3 ) + 2 ) e. RR )
86	84, 49, 85	sylancl 644	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) / 3 ) + 2 ) e. RR )
87	23, 28, 86	recxpcld 20567	. 2 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) ^ c ( ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) / 3 ) + 2 ) ) e. RR )
88		fveq2 5687	. . . . . 6 |- ( x = 1 -> ( seq 1 ( x. , F ) ` x ) = ( seq 1 ( x. , F ) ` 1 ) )
89		fveq2 5687	. . . . . . . 8 |- ( x = 1 -> (π ` x ) = (π ` 1 ) )
90		ppi1 20900	. . . . . . . 8 |- (π ` 1 ) = 0
91	89, 90	syl6eq 2452	. . . . . . 7 |- ( x = 1 -> (π ` x ) = 0 )
92	91	oveq2d 6056	. . . . . 6 |- ( x = 1 -> ( ( 2 x. N ) ^ (π ` x ) ) = ( ( 2 x. N ) ^ 0 ) )
93	88, 92	breq12d 4185	. . . . 5 |- ( x = 1 -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` x ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` x ) ) <-> ( seq 1 ( x. , F ) ` 1 ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ 0 ) ) )
94	93	imbi2d 308	. . . 4 |- ( x = 1 -> ( ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` x ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` x ) ) ) <-> ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` 1 ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ 0 ) ) ) )
95		fveq2 5687	. . . . . 6 |- ( x = k -> ( seq 1 ( x. , F ) ` x ) = ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) )
96		fveq2 5687	. . . . . . 7 |- ( x = k -> (π ` x ) = (π ` k ) )
97	96	oveq2d 6056	. . . . . 6 |- ( x = k -> ( ( 2 x. N ) ^ (π ` x ) ) = ( ( 2 x. N ) ^ (π ` k ) ) )
98	95, 97	breq12d 4185	. . . . 5 |- ( x = k -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` x ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` x ) ) <-> ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` k ) ) ) )
99	98	imbi2d 308	. . . 4 |- ( x = k -> ( ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` x ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` x ) ) ) <-> ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` k ) ) ) ) )
100		fveq2 5687	. . . . . 6 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` x ) = ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) )
101		fveq2 5687	. . . . . . 7 |- ( x = ( k + 1 ) -> (π ` x ) = (π ` ( k + 1 ) ) )
102	101	oveq2d 6056	. . . . . 6 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( ( 2 x. N ) ^ (π ` x ) ) = ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) )
103	100, 102	breq12d 4185	. . . . 5 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` x ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` x ) ) <-> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) ) )
104	103	imbi2d 308	. . . 4 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` x ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` x ) ) ) <-> ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
105		fveq2 5687	. . . . . 6 |- ( x = M -> ( seq 1 ( x. , F ) ` x ) = ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) )
106		fveq2 5687	. . . . . . 7 |- ( x = M -> (π ` x ) = (π ` M ) )
107	106	oveq2d 6056	. . . . . 6 |- ( x = M -> ( ( 2 x. N ) ^ (π ` x ) ) = ( ( 2 x. N ) ^ (π ` M ) ) )
108	105, 107	breq12d 4185	. . . . 5 |- ( x = M -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` x ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` x ) ) <-> ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` M ) ) ) )
109	108	imbi2d 308	. . . 4 |- ( x = M -> ( ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` x ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` x ) ) ) <-> ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` M ) ) ) ) )
110		1z 10267	. . . . . . . 8 |- 1 e. ZZ
111		seq1 11291	. . . . . . . 8 |- ( 1 e. ZZ -> ( seq 1 ( x. , F ) ` 1 ) = ( F ` 1 ) )
112	110, 111	ax-mp 8	. . . . . . 7 |- ( seq 1 ( x. , F ) ` 1 ) = ( F ` 1 )
113		1nn 9967	. . . . . . . 8 |- 1 e. NN
114		1nprm 13039	. . . . . . . . . . 11 |- -. 1 e. Prime
115		eleq1 2464	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = 1 -> ( n e. Prime <-> 1 e. Prime ) )
116	114, 115	mtbiri 295	. . . . . . . . . 10 |- ( n = 1 -> -. n e. Prime )
117		iffalse 3706	. . . . . . . . . 10 |- ( -. n e. Prime -> if ( n e. Prime , ( n ^ ( n pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) ) , 1 ) = 1 )
118	116, 117	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( n = 1 -> if ( n e. Prime , ( n ^ ( n pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) ) , 1 ) = 1 )
119		1ex 9042	. . . . . . . . 9 |- 1 e. _V
120	118, 1, 119	fvmpt 5765	. . . . . . . 8 |- ( 1 e. NN -> ( F ` 1 ) = 1 )
121	113, 120	ax-mp 8	. . . . . . 7 |- ( F ` 1 ) = 1
122	112, 121	eqtri 2424	. . . . . 6 |- ( seq 1 ( x. , F ) ` 1 ) = 1
123		1le1 9606	. . . . . 6 |- 1 <_ 1
124	122, 123	eqbrtri 4191	. . . . 5 |- ( seq 1 ( x. , F ) ` 1 ) <_ 1
125	22	zcnd 10332	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 2 x. N ) e. CC )
126	125	exp0d 11472	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) ^ 0 ) = 1 )
127	124, 126	syl5breqr 4208	. . . 4 |- ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` 1 ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ 0 ) )
128	16	ffvelrnda 5829	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) e. NN )
129	128	nnred 9971	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) e. RR )
130	129	adantr 452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) e. RR )
131	26	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( 2 x. N ) e. NN )
132		nnre 9963	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN -> k e. RR )
133	132	ad2antlr 708	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> k e. RR )
134		ppicl 20867	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. RR -> (π ` k ) e. NN0 )
135	133, 134	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> (π ` k ) e. NN0 )
136	131, 135	nnexpcld 11499	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( 2 x. N ) ^ (π ` k ) ) e. NN )
137	136	nnred 9971	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( 2 x. N ) ^ (π ` k ) ) e. RR )
138		nnre 9963	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 x. N ) e. NN -> ( 2 x. N ) e. RR )
139		nngt0 9985	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 x. N ) e. NN -> 0 < ( 2 x. N ) )
140	138, 139	jca 519	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 x. N ) e. NN -> ( ( 2 x. N ) e. RR /\ 0 < ( 2 x. N ) ) )
141	26, 140	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) e. RR /\ 0 < ( 2 x. N ) ) )
142	141	ad2antrr 707	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( 2 x. N ) e. RR /\ 0 < ( 2 x. N ) ) )
143		lemul1 9818	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) e. RR /\ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` k ) ) e. RR /\ ( ( 2 x. N ) e. RR /\ 0 < ( 2 x. N ) ) ) -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` k ) ) <-> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( 2 x. N ) ) <_ ( ( ( 2 x. N ) ^ (π ` k ) ) x. ( 2 x. N ) ) ) )
144	130, 137, 142, 143	syl3anc 1184	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` k ) ) <-> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( 2 x. N ) ) <_ ( ( ( 2 x. N ) ^ (π ` k ) ) x. ( 2 x. N ) ) ) )
145		nnz 10259	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN -> k e. ZZ )
146	145	adantl 453	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. ZZ )
147		ppiprm 20887	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k e. ZZ /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> (π ` ( k + 1 ) ) = ( (π ` k ) + 1 ) )
148	146, 147	sylan 458	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> (π ` ( k + 1 ) ) = ( (π ` k ) + 1 ) )
149	148	oveq2d 6056	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) = ( ( 2 x. N ) ^ ( (π ` k ) + 1 ) ) )
150	125	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( 2 x. N ) e. CC )
151	150, 135	expp1d 11479	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( 2 x. N ) ^ ( (π ` k ) + 1 ) ) = ( ( ( 2 x. N ) ^ (π ` k ) ) x. ( 2 x. N ) ) )
152	149, 151	eqtrd 2436	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) = ( ( ( 2 x. N ) ^ (π ` k ) ) x. ( 2 x. N ) ) )
153	152	breq2d 4184	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( 2 x. N ) ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) <-> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( 2 x. N ) ) <_ ( ( ( 2 x. N ) ^ (π ` k ) ) x. ( 2 x. N ) ) ) )
154	144, 153	bitr4d 248	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` k ) ) <-> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( 2 x. N ) ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) ) )
155		simpr 448	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. NN )
156	155, 5	syl6eleq 2494	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. ( ZZ>= ` 1 ) )
157		seqp1 11293	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( F ` ( k + 1 ) ) ) )
158	156, 157	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( F ` ( k + 1 ) ) ) )
159	158	adantr 452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( F ` ( k + 1 ) ) ) )
160		peano2nn 9968	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. NN -> ( k + 1 ) e. NN )
161	160	adantl 453	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( k + 1 ) e. NN )
162		eleq1 2464	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( n e. Prime <-> ( k + 1 ) e. Prime ) )
163		id 20	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = ( k + 1 ) -> n = ( k + 1 ) )
164		oveq1 6047	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( n pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) = ( ( k + 1 ) pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) )
165	163, 164	oveq12d 6058	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( n ^ ( n pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) ) = ( ( k + 1 ) ^ ( ( k + 1 ) pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) ) )
166		eqidd 2405	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = ( k + 1 ) -> 1 = 1 )
167	162, 165, 166	ifbieq12d 3721	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = ( k + 1 ) -> if ( n e. Prime , ( n ^ ( n pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) ) , 1 ) = if ( ( k + 1 ) e. Prime , ( ( k + 1 ) ^ ( ( k + 1 ) pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) ) , 1 ) )
168		ovex 6065	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( k + 1 ) ^ ( ( k + 1 ) pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) ) e. _V
169	168, 119	ifex 3757	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- if ( ( k + 1 ) e. Prime , ( ( k + 1 ) ^ ( ( k + 1 ) pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) ) , 1 ) e. _V
170	167, 1, 169	fvmpt 5765	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k + 1 ) e. NN -> ( F ` ( k + 1 ) ) = if ( ( k + 1 ) e. Prime , ( ( k + 1 ) ^ ( ( k + 1 ) pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) ) , 1 ) )
171	161, 170	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) = if ( ( k + 1 ) e. Prime , ( ( k + 1 ) ^ ( ( k + 1 ) pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) ) , 1 ) )
172		iftrue 3705	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k + 1 ) e. Prime -> if ( ( k + 1 ) e. Prime , ( ( k + 1 ) ^ ( ( k + 1 ) pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) ) , 1 ) = ( ( k + 1 ) ^ ( ( k + 1 ) pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) ) )
173	171, 172	sylan9eq 2456	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) = ( ( k + 1 ) ^ ( ( k + 1 ) pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) ) )
174	7	adantr 452	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> N e. NN )
175		bposlem1 21021	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( k + 1 ) ^ ( ( k + 1 ) pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) ) <_ ( 2 x. N ) )
176	174, 175	sylan 458	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( k + 1 ) ^ ( ( k + 1 ) pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) ) <_ ( 2 x. N ) )
177	173, 176	eqbrtrd 4192	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( 2 x. N ) )
178	15	simpld 446	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> F : NN --> NN )
179		ffvelrn 5827	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F : NN --> NN /\ ( k + 1 ) e. NN ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. NN )
180	178, 160, 179	syl2an 464	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. NN )
181	180	nnred 9971	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. RR )
182	181	adantr 452	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. RR )
183	23	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( 2 x. N ) e. RR )
184		nnre 9963	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) e. NN -> ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) e. RR )
185		nngt0 9985	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) e. NN -> 0 < ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) )
186	184, 185	jca 519	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) e. NN -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) e. RR /\ 0 < ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) )
187	128, 186	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) e. RR /\ 0 < ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) )
188	187	adantr 452	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) e. RR /\ 0 < ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) )
189		lemul2 9819	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F ` ( k + 1 ) ) e. RR /\ ( 2 x. N ) e. RR /\ ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) e. RR /\ 0 < ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) ) -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( 2 x. N ) <-> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( 2 x. N ) ) ) )
190	182, 183, 188, 189	syl3anc 1184	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( 2 x. N ) <-> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( 2 x. N ) ) ) )
191	177, 190	mpbid 202	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( 2 x. N ) ) )
192	159, 191	eqbrtrd 4192	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) <_ ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( 2 x. N ) ) )
193		ffvelrn 5827	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( seq 1 ( x. , F ) : NN --> NN /\ ( k + 1 ) e. NN ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) e. NN )
194	16, 160, 193	syl2an 464	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) e. NN )
195	194	nnred 9971	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) e. RR )
196	26	adantr 452	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( 2 x. N ) e. NN )
197	128, 196	nnmulcld 10003	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( 2 x. N ) ) e. NN )
198	197	nnred 9971	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( 2 x. N ) ) e. RR )
199	161	nnred 9971	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( k + 1 ) e. RR )
200		ppicl 20867	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k + 1 ) e. RR -> (π ` ( k + 1 ) ) e. NN0 )
201	199, 200	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> (π ` ( k + 1 ) ) e. NN0 )
202	196, 201	nnexpcld 11499	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) e. NN )
203	202	nnred 9971	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) e. RR )
204		letr 9123	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) e. RR /\ ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( 2 x. N ) ) e. RR /\ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) e. RR ) -> ( ( ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) <_ ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( 2 x. N ) ) /\ ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( 2 x. N ) ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) ) )
205	195, 198, 203, 204	syl3anc 1184	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) <_ ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( 2 x. N ) ) /\ ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( 2 x. N ) ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) ) )
206	205	adantr 452	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) <_ ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( 2 x. N ) ) /\ ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( 2 x. N ) ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) ) )
207	192, 206	mpand 657	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( 2 x. N ) ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) ) )
208	154, 207	sylbid 207	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` k ) ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) ) )
209	158	adantr 452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ -. ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( F ` ( k + 1 ) ) ) )
210		iffalse 3706	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. ( k + 1 ) e. Prime -> if ( ( k + 1 ) e. Prime , ( ( k + 1 ) ^ ( ( k + 1 ) pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) ) , 1 ) = 1 )
211	171, 210	sylan9eq 2456	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ -. ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) = 1 )
212	211	oveq2d 6056	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ -. ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( F ` ( k + 1 ) ) ) = ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. 1 ) )
213	128	adantr 452	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ -. ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) e. NN )
214	213	nncnd 9972	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ -. ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) e. CC )
215	214	mulid1d 9061	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ -. ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. 1 ) = ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) )
216	209, 212, 215	3eqtrd 2440	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ -. ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) = ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) )
217		ppinprm 20888	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. ZZ /\ -. ( k + 1 ) e. Prime ) -> (π ` ( k + 1 ) ) = (π ` k ) )
218	146, 217	sylan 458	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ -. ( k + 1 ) e. Prime ) -> (π ` ( k + 1 ) ) = (π ` k ) )
219	218	oveq2d 6056	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ -. ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) = ( ( 2 x. N ) ^ (π ` k ) ) )
220	216, 219	breq12d 4185	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ -. ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) <-> ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` k ) ) ) )
221	220	biimprd 215	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ -. ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` k ) ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) ) )
222	208, 221	pm2.61dan 767	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` k ) ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) ) )
223	222	expcom 425	. . . . 5 |- ( k e. NN -> ( ph -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` k ) ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
224	223	a2d 24	. . . 4 |- ( k e. NN -> ( ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` k ) ) ) -> ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
225	94, 99, 104, 109, 127, 224	nnind 9974	. . 3 |- ( M e. NN -> ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` M ) ) ) )
226	75, 225	mpcom 34	. 2 |- ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` M ) ) )
227		cxpexp 20512	. . . 4 |- ( ( ( 2 x. N ) e. CC /\ (π ` M ) e. NN0 ) -> ( ( 2 x. N ) ^ c (π ` M ) ) = ( ( 2 x. N ) ^ (π ` M ) ) )
228	125, 80, 227	syl2anc 643	. . 3 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) ^ c (π ` M ) ) = ( ( 2 x. N ) ^ (π ` M ) ) )
229	80	nn0red 10231	. . . . 5 |- ( ph -> (π ` M ) e. RR )
230		nndivre 9991	. . . . . . 7 |- ( ( M e. RR /\ 3 e. NN ) -> ( M / 3 ) e. RR )
231	78, 17, 230	sylancl 644	. . . . . 6 |- ( ph -> ( M / 3 ) e. RR )
232		readdcl 9029	. . . . . 6 |- ( ( ( M / 3 ) e. RR /\ 2 e. RR ) -> ( ( M / 3 ) + 2 ) e. RR )
233	231, 49, 232	sylancl 644	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( M / 3 ) + 2 ) e. RR )
234	75	nnnn0d 10230	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. NN0 )
235	234	nn0ge0d 10233	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 <_ M )
236		ppiub 20941	. . . . . 6 |- ( ( M e. RR /\ 0 <_ M ) -> (π ` M ) <_ ( ( M / 3 ) + 2 ) )
237	78, 235, 236	syl2anc 643	. . . . 5 |- ( ph -> (π ` M ) <_ ( ( M / 3 ) + 2 ) )
238	49	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> 2 e. RR )
239		flle 11163	. . . . . . . . 9 |- ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) e. RR -> ( |_ ` ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) <_ ( sqr ` ( 2 x. N ) ) )
240	29, 239	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( |_ ` ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) <_ ( sqr ` ( 2 x. N ) ) )
241	18, 240	syl5eqbr 4205	. . . . . . 7 |- ( ph -> M <_ ( sqr ` ( 2 x. N ) ) )
242		3re 10027	. . . . . . . . . 10 |- 3 e. RR
243		3pos 10040	. . . . . . . . . 10 |- 0 < 3
244	242, 243	pm3.2i 442	. . . . . . . . 9 |- ( 3 e. RR /\ 0 < 3 )
245	244	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 3 e. RR /\ 0 < 3 ) )
246		lediv1 9831	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. RR /\ ( sqr ` ( 2 x. N ) ) e. RR /\ ( 3 e. RR /\ 0 < 3 ) ) -> ( M <_ ( sqr ` ( 2 x. N ) ) <-> ( M / 3 ) <_ ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) / 3 ) ) )
247	78, 29, 245, 246	syl3anc 1184	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( M <_ ( sqr ` ( 2 x. N ) ) <-> ( M / 3 ) <_ ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) / 3 ) ) )
248	241, 247	mpbid 202	. . . . . 6 |- ( ph -> ( M / 3 ) <_ ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) / 3 ) )
249	231, 84, 238, 248	leadd1dd 9596	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( M / 3 ) + 2 ) <_ ( ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) / 3 ) + 2 ) )
250	229, 233, 86, 237, 249	letrd 9183	. . . 4 |- ( ph -> (π ` M ) <_ ( ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) / 3 ) + 2 ) )
251	42	mulid1i 9048	. . . . . . . 8 |- ( 2 x. 1 ) = 2
252	7	nnge1d 9998	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 1 <_ N )
253		1re 9046	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. RR
254		lemul2 9819	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 e. RR /\ N e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( 1 <_ N <-> ( 2 x. 1 ) <_ ( 2 x. N ) ) )
255	253, 51, 254	mp3an13 1270	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. RR -> ( 1 <_ N <-> ( 2 x. 1 ) <_ ( 2 x. N ) ) )
256	47, 255	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 <_ N <-> ( 2 x. 1 ) <_ ( 2 x. N ) ) )
257	252, 256	mpbid 202	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 2 x. 1 ) <_ ( 2 x. N ) )
258	251, 257	syl5eqbrr 4206	. . . . . . 7 |- ( ph -> 2 <_ ( 2 x. N ) )
259	19	eluz1i 10451	. . . . . . 7 |- ( ( 2 x. N ) e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( ( 2 x. N ) e. ZZ /\ 2 <_ ( 2 x. N ) ) )
260	22, 258, 259	sylanbrc 646	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 2 x. N ) e. ( ZZ>= ` 2 ) )
261		eluz2b1 10503	. . . . . . 7 |- ( ( 2 x. N ) e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( ( 2 x. N ) e. ZZ /\ 1 < ( 2 x. N ) ) )
262	261	simprbi 451	. . . . . 6 |- ( ( 2 x. N ) e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 < ( 2 x. N ) )
263	260, 262	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> 1 < ( 2 x. N ) )
264	23, 263, 229, 86	cxpled 20564	. . . 4 |- ( ph -> ( (π ` M ) <_ ( ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) / 3 ) + 2 ) <-> ( ( 2 x. N ) ^ c (π ` M ) ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ c ( ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) / 3 ) + 2 ) ) ) )
265	250, 264	mpbid 202	. . 3 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) ^ c (π ` M ) ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ c ( ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) / 3 ) + 2 ) ) )
266	228, 265	eqbrtrrd 4194	. 2 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) ^ (π ` M ) ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ c ( ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) / 3 ) + 2 ) ) )
267	77, 82, 87, 226, 266	letrd 9183	1 |- ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ c ( ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) / 3 ) + 2 ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   = wceq 1649   e. wcel 1721   E.wrex 2667   ifcif 3699   class class class wbr 4172   e. cmpt 4226   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947   + caddc 8949   x. cmul 8951   < clt 9076   <_ cle 9077   / cdiv 9633   NNcn 9956   2c2 10005   3c3 10006   5c5 10008   9c9 10012   10c10 10013   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   ...cfz 10999   |_cfl 11156   seq cseq 11278   ^cexp 11337   _C cbc 11548   sqrcsqr 11993   Primecprime 13034   pCnt cpc 13165   ^ c ccxp 20406  πcppi 20829

This theorem is referenced by:  bposlem6  21026

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-ef 12625  df-sin 12627  df-cos 12628  df-pi 12630  df-dvds 12808  df-gcd 12962  df-prm 13035  df-pc 13166  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707  df-log 20407  df-cxp 20408  df-ppi 20835