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Theorem bposlem5 23427
Description: Lemma for bpos 23432. Bound the product of all small primes in the binomial coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bpos.1  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
5 ) )
bpos.2  |-  ( ph  ->  -.  E. p  e. 
Prime  ( N  <  p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) )
bpos.3  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ (
n  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) ) ,  1 ) )
bpos.4  |-  K  =  ( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  3 ) )
bpos.5  |-  M  =  ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) )
Assertion
Ref Expression
bposlem5  |-  ( ph  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `
 M )  <_ 
( ( 2  x.  N )  ^c 
( ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  /  3
)  +  2 ) ) )
Distinct variable groups:    F, p    n, p, K    M, p    n, N, p    ph, n, p
Allowed substitution hints:    F( n)    M( n)

Proof of Theorem bposlem5
Dummy variables  k  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bpos.3 . . . . . 6  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ (
n  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) ) ,  1 ) )
2 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  Prime  ->  n  e. 
Prime )
3 5nn 10708 . . . . . . . . . . 11  |-  5  e.  NN
4 bpos.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
5 ) )
5 eluznn 11164 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 5  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= ` 
5 ) )  ->  N  e.  NN )
63, 4, 5sylancr 663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
76nnnn0d 10864 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
8 fzctr 11796 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ( 0 ... (
2  x.  N ) ) )
9 bccl2 12381 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( 0 ... ( 2  x.  N
) )  ->  (
( 2  x.  N
)  _C  N )  e.  NN )
107, 8, 93syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  _C  N
)  e.  NN )
11 pccl 14248 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  Prime  /\  (
( 2  x.  N
)  _C  N )  e.  NN )  -> 
( n  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  e.  NN0 )
122, 10, 11syl2anr 478 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Prime )  ->  ( n  pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  e.  NN0 )
1312ralrimiva 2881 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. n  e.  Prime  ( n  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN0 )
141, 13pcmptcl 14285 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F : NN --> NN  /\  seq 1 (  x.  ,  F ) : NN --> NN ) )
1514simprd 463 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq 1 (  x.  ,  F ) : NN --> NN )
16 3nn 10706 . . . . 5  |-  3  e.  NN
17 bpos.5 . . . . . 6  |-  M  =  ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) )
18 2z 10908 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  ZZ
196nnzd 10977 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
20 zmulcl 10923 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  N
)  e.  ZZ )
2118, 19, 20sylancr 663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  e.  ZZ )
2221zred 10978 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  e.  RR )
23 2nn 10705 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  NN
24 nnmulcl 10571 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( 2  x.  N
)  e.  NN )
2523, 6, 24sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  e.  NN )
2625nnrpd 11267 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  e.  RR+ )
2726rpge0d 11272 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <_  ( 2  x.  N ) )
2822, 27resqrtcld 13228 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( sqr `  (
2  x.  N ) )  e.  RR )
2928flcld 11915 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) )  e.  ZZ )
30 sqrt9 13086 . . . . . . . . 9  |-  ( sqr `  9 )  =  3
31 9re 10634 . . . . . . . . . . . 12  |-  9  e.  RR
3231a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  9  e.  RR )
33 10re 10636 . . . . . . . . . . . 12  |-  10  e.  RR
3433a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  10  e.  RR )
35 lep1 10393 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 9  e.  RR  ->  9  <_  ( 9  +  1 ) )
3631, 35ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  9  <_  ( 9  +  1 )
37 df-10 10614 . . . . . . . . . . . . 13  |-  10  =  ( 9  +  1 )
3836, 37breqtrri 4478 . . . . . . . . . . . 12  |-  9  <_  10
3938a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  9  <_  10 )
40 5cn 10627 . . . . . . . . . . . . 13  |-  5  e.  CC
41 2cn 10618 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  CC
42 5t2e10 10702 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 5  x.  2 )  =  10
4340, 41, 42mulcomli 9615 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  x.  5 )  =  10
44 eluzle 11106 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  5
)  ->  5  <_  N )
454, 44syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  5  <_  N )
466nnred 10563 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
47 5re 10626 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  5  e.  RR
48 2re 10617 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  e.  RR
49 2pos 10639 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  <  2
5048, 49pm3.2i 455 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
51 lemul2 10407 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 5  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( 5  <_  N 
<->  ( 2  x.  5 )  <_  ( 2  x.  N ) ) )
5247, 50, 51mp3an13 1315 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  RR  ->  (
5  <_  N  <->  ( 2  x.  5 )  <_ 
( 2  x.  N
) ) )
5346, 52syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 5  <_  N  <->  ( 2  x.  5 )  <_  ( 2  x.  N ) ) )
5445, 53mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  5 )  <_  ( 2  x.  N ) )
5543, 54syl5eqbrr 4487 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  10  <_  ( 2  x.  N ) )
5632, 34, 22, 39, 55letrd 9750 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  9  <_  ( 2  x.  N ) )
57 0re 9608 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  RR
58 9pos 10649 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <  9
5957, 31, 58ltleii 9719 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <_  9
6031, 59pm3.2i 455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 9  e.  RR  /\  0  <_  9 )
6122, 27jca 532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  e.  RR  /\  0  <_  ( 2  x.  N ) ) )
62 sqrtle 13073 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 9  e.  RR  /\  0  <_  9 )  /\  ( ( 2  x.  N )  e.  RR  /\  0  <_ 
( 2  x.  N
) ) )  -> 
( 9  <_  (
2  x.  N )  <-> 
( sqr `  9
)  <_  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) ) )
6360, 61, 62sylancr 663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 9  <_  (
2  x.  N )  <-> 
( sqr `  9
)  <_  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) ) )
6456, 63mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( sqr `  9
)  <_  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) )
6530, 64syl5eqbrr 4487 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  3  <_  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) )
66 3z 10909 . . . . . . . . 9  |-  3  e.  ZZ
67 flge 11922 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  e.  RR  /\  3  e.  ZZ )  ->  ( 3  <_  ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  <->  3  <_  ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) ) ) )
6828, 66, 67sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 3  <_  ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  <->  3  <_  ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) ) ) )
6965, 68mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  3  <_  ( |_ `  ( sqr `  (
2  x.  N ) ) ) )
7066eluz1i 11101 . . . . . . 7  |-  ( ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) )  e.  ( ZZ>= `  3 )  <->  ( ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) )  e.  ZZ  /\  3  <_  ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) ) ) )
7129, 69, 70sylanbrc 664 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) )  e.  ( ZZ>= `  3
) )
7217, 71syl5eqel 2559 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
3 ) )
73 eluznn 11164 . . . . 5  |-  ( ( 3  e.  NN  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
3 ) )  ->  M  e.  NN )
7416, 72, 73sylancr 663 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
7515, 74ffvelrnd 6033 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `
 M )  e.  NN )
7675nnred 10563 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `
 M )  e.  RR )
7774nnred 10563 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
78 ppicl 23269 . . . . 5  |-  ( M  e.  RR  ->  (π `  M )  e.  NN0 )
7977, 78syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  (π `  M )  e. 
NN0 )
8025, 79nnexpcld 12311 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N ) ^ (π `  M ) )  e.  NN )
8180nnred 10563 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N ) ^ (π `  M ) )  e.  RR )
82 nndivre 10583 . . . . 5  |-  ( ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  e.  RR  /\  3  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 )  e.  RR )
8328, 16, 82sylancl 662 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 )  e.  RR )
84 readdcl 9587 . . . 4  |-  ( ( ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 )  e.  RR  /\  2  e.  RR )  ->  (
( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 )  e.  RR )
8583, 48, 84sylancl 662 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  /  3
)  +  2 )  e.  RR )
8622, 27, 85recxpcld 22968 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  ^c 
( ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  /  3
)  +  2 ) )  e.  RR )
87 fveq2 5872 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  x
)  =  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  1
) )
88 fveq2 5872 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  1  ->  (π `  x )  =  (π `  1 ) )
89 ppi1 23302 . . . . . . . 8  |-  (π `  1
)  =  0
9088, 89syl6eq 2524 . . . . . . 7  |-  ( x  =  1  ->  (π `  x )  =  0 )
9190oveq2d 6311 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  (
( 2  x.  N
) ^ (π `  x
) )  =  ( ( 2  x.  N
) ^ 0 ) )
9287, 91breq12d 4466 . . . . 5  |-  ( x  =  1  ->  (
(  seq 1 (  x.  ,  F ) `  x )  <_  (
( 2  x.  N
) ^ (π `  x
) )  <->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  1
)  <_  ( (
2  x.  N ) ^ 0 ) ) )
9392imbi2d 316 . . . 4  |-  ( x  =  1  ->  (
( ph  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  x
)  <_  ( (
2  x.  N ) ^ (π `  x ) ) )  <->  ( ph  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) ` 
1 )  <_  (
( 2  x.  N
) ^ 0 ) ) ) )
94 fveq2 5872 . . . . . 6  |-  ( x  =  k  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  x
)  =  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k
) )
95 fveq2 5872 . . . . . . 7  |-  ( x  =  k  ->  (π `  x )  =  (π `  k ) )
9695oveq2d 6311 . . . . . 6  |-  ( x  =  k  ->  (
( 2  x.  N
) ^ (π `  x
) )  =  ( ( 2  x.  N
) ^ (π `  k
) ) )
9794, 96breq12d 4466 . . . . 5  |-  ( x  =  k  ->  (
(  seq 1 (  x.  ,  F ) `  x )  <_  (
( 2  x.  N
) ^ (π `  x
) )  <->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k
)  <_  ( (
2  x.  N ) ^ (π `  k ) ) ) )
9897imbi2d 316 . . . 4  |-  ( x  =  k  ->  (
( ph  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  x
)  <_  ( (
2  x.  N ) ^ (π `  x ) ) )  <->  ( ph  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k )  <_  (
( 2  x.  N
) ^ (π `  k
) ) ) ) )
99 fveq2 5872 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  x
)  =  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  (
k  +  1 ) ) )
100 fveq2 5872 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (π `  x )  =  (π `  ( k  +  1 ) ) )
101100oveq2d 6311 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
( 2  x.  N
) ^ (π `  x
) )  =  ( ( 2  x.  N
) ^ (π `  (
k  +  1 ) ) ) )
10299, 101breq12d 4466 . . . . 5  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
(  seq 1 (  x.  ,  F ) `  x )  <_  (
( 2  x.  N
) ^ (π `  x
) )  <->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  (
k  +  1 ) )  <_  ( (
2  x.  N ) ^ (π `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
103102imbi2d 316 . . . 4  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ph  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  x
)  <_  ( (
2  x.  N ) ^ (π `  x ) ) )  <->  ( ph  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  ( k  +  1 ) )  <_  (
( 2  x.  N
) ^ (π `  (
k  +  1 ) ) ) ) ) )
104 fveq2 5872 . . . . . 6  |-  ( x  =  M  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  x
)  =  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  M
) )
105 fveq2 5872 . . . . . . 7  |-  ( x  =  M  ->  (π `  x )  =  (π `  M ) )
106105oveq2d 6311 . . . . . 6  |-  ( x  =  M  ->  (
( 2  x.  N
) ^ (π `  x
) )  =  ( ( 2  x.  N
) ^ (π `  M
) ) )
107104, 106breq12d 4466 . . . . 5  |-  ( x  =  M  ->  (
(  seq 1 (  x.  ,  F ) `  x )  <_  (
( 2  x.  N
) ^ (π `  x
) )  <->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  M
)  <_  ( (
2  x.  N ) ^ (π `  M ) ) ) )
108107imbi2d 316 . . . 4  |-  ( x  =  M  ->  (
( ph  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  x
)  <_  ( (
2  x.  N ) ^ (π `  x ) ) )  <->  ( ph  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  M )  <_  (
( 2  x.  N
) ^ (π `  M
) ) ) ) )
109 1z 10906 . . . . . . . 8  |-  1  e.  ZZ
110 seq1 12100 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  1
)  =  ( F `
 1 ) )
111109, 110ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  1
)  =  ( F `
 1 )
112 1nn 10559 . . . . . . . 8  |-  1  e.  NN
113 1nprm 14097 . . . . . . . . . . 11  |-  -.  1  e.  Prime
114 eleq1 2539 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  1  ->  (
n  e.  Prime  <->  1  e.  Prime ) )
115113, 114mtbiri 303 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  1  ->  -.  n  e.  Prime )
116115iffalsed 3956 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  1  ->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ (
n  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) ) ,  1 )  =  1 )
117 1ex 9603 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  _V
118116, 1, 117fvmpt 5957 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  NN  ->  ( F `  1 )  =  1 )
119112, 118ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( F `
 1 )  =  1
120111, 119eqtri 2496 . . . . . 6  |-  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  1
)  =  1
121 1le1 10189 . . . . . 6  |-  1  <_  1
122120, 121eqbrtri 4472 . . . . 5  |-  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  1
)  <_  1
12321zcnd 10979 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  e.  CC )
124123exp0d 12284 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N ) ^ 0 )  =  1 )
125122, 124syl5breqr 4489 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `
 1 )  <_ 
( ( 2  x.  N ) ^ 0 ) )
12615ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k
)  e.  NN )
127126nnred 10563 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k
)  e.  RR )
128127adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k
)  e.  RR )
12925ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
2  x.  N )  e.  NN )
130 nnre 10555 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR )
131130ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  k  e.  RR )
132 ppicl 23269 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  RR  ->  (π `  k )  e.  NN0 )
133131, 132syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (π `  k )  e.  NN0 )
134129, 133nnexpcld 12311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
( 2  x.  N
) ^ (π `  k
) )  e.  NN )
135134nnred 10563 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
( 2  x.  N
) ^ (π `  k
) )  e.  RR )
136 nnre 10555 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  x.  N )  e.  NN  ->  (
2  x.  N )  e.  RR )
137 nngt0 10577 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  x.  N )  e.  NN  ->  0  <  ( 2  x.  N
) )
138136, 137jca 532 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  x.  N )  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  e.  RR  /\  0  <  ( 2  x.  N ) ) )
13925, 138syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  e.  RR  /\  0  <  ( 2  x.  N ) ) )
140139ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
( 2  x.  N
)  e.  RR  /\  0  <  ( 2  x.  N ) ) )
141 lemul1 10406 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  seq 1 (  x.  ,  F ) `
 k )  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  N ) ^ (π `  k ) )  e.  RR  /\  (
( 2  x.  N
)  e.  RR  /\  0  <  ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k
)  <_  ( (
2  x.  N ) ^ (π `  k ) )  <-> 
( (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  k )  x.  ( 2  x.  N
) )  <_  (
( ( 2  x.  N ) ^ (π `  k ) )  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )
142128, 135, 140, 141syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
(  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k )  <_  (
( 2  x.  N
) ^ (π `  k
) )  <->  ( (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k
)  x.  ( 2  x.  N ) )  <_  ( ( ( 2  x.  N ) ^ (π `  k ) )  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )
143 nnz 10898 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  ZZ )
144143adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  ZZ )
145 ppiprm 23289 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (π `  ( k  +  1 ) )  =  ( (π `  k )  +  1 ) )
146144, 145sylan 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (π `  ( k  +  1 ) )  =  ( (π `  k )  +  1 ) )
147146oveq2d 6311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
( 2  x.  N
) ^ (π `  (
k  +  1 ) ) )  =  ( ( 2  x.  N
) ^ ( (π `  k )  +  1 ) ) )
148123ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
2  x.  N )  e.  CC )
149148, 133expp1d 12291 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
( 2  x.  N
) ^ ( (π `  k )  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  N ) ^ (π `  k ) )  x.  ( 2  x.  N
) ) )
150147, 149eqtrd 2508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
( 2  x.  N
) ^ (π `  (
k  +  1 ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  N ) ^ (π `  k ) )  x.  ( 2  x.  N
) ) )
151150breq2d 4465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
( (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  k )  x.  ( 2  x.  N
) )  <_  (
( 2  x.  N
) ^ (π `  (
k  +  1 ) ) )  <->  ( (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k
)  x.  ( 2  x.  N ) )  <_  ( ( ( 2  x.  N ) ^ (π `  k ) )  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )
152142, 151bitr4d 256 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
(  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k )  <_  (
( 2  x.  N
) ^ (π `  k
) )  <->  ( (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k
)  x.  ( 2  x.  N ) )  <_  ( ( 2  x.  N ) ^
(π `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
153 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN )
154 nnuz 11129 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
155153, 154syl6eleq 2565 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
156 seqp1 12102 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k )  x.  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )
157155, 156syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k )  x.  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )
158157adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k )  x.  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )
159 peano2nn 10560 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
160159adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  +  1 )  e.  NN )
161 eleq1 2539 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
n  e.  Prime  <->  ( k  +  1 )  e. 
Prime ) )
162 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  n  =  ( k  +  1 ) )
163 oveq1 6302 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
n  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  =  ( ( k  +  1 )  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )
164162, 163oveq12d 6313 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
n ^ ( n 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) )  =  ( ( k  +  1 ) ^
( ( k  +  1 )  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) ) ) )
165161, 164ifbieq1d 3968 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ (
n  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) ) ,  1 )  =  if ( ( k  +  1 )  e.  Prime ,  ( ( k  +  1 ) ^ ( ( k  +  1 )  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) ) ,  1 ) )
166 ovex 6320 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  +  1 ) ^ ( ( k  +  1 )  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )  e.  _V
167166, 117ifex 4014 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  if ( ( k  +  1 )  e.  Prime ,  ( ( k  +  1 ) ^ ( ( k  +  1 ) 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) ) ,  1 )  e. 
_V
168165, 1, 167fvmpt 5957 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  +  1 )  e.  NN  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  =  if ( ( k  +  1 )  e.  Prime ,  ( ( k  +  1 ) ^ ( ( k  +  1 )  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) ) ,  1 ) )
169160, 168syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 ( k  +  1 ) )  =  if ( ( k  +  1 )  e. 
Prime ,  ( (
k  +  1 ) ^ ( ( k  +  1 )  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) ) ,  1 ) )
170 iftrue 3951 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  +  1 )  e.  Prime  ->  if ( ( k  +  1 )  e.  Prime ,  ( ( k  +  1 ) ^ ( ( k  +  1 ) 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) ) ,  1 )  =  ( ( k  +  1 ) ^ (
( k  +  1 )  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) ) )
171169, 170sylan9eq 2528 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( k  +  1 ) ^
( ( k  +  1 )  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) ) ) )
1726adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  N  e.  NN )
173 bposlem1 23423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  e.  Prime )  ->  ( ( k  +  1 ) ^ (
( k  +  1 )  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) )  <_  ( 2  x.  N ) )
174172, 173sylan 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
( k  +  1 ) ^ ( ( k  +  1 ) 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) )  <_  ( 2  x.  N ) )
175171, 174eqbrtrd 4473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( 2  x.  N ) )
17614simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F : NN --> NN )
177 ffvelrn 6030 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  ( k  +  1 )  e.  NN )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  NN )
178176, 159, 177syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 ( k  +  1 ) )  e.  NN )
179178nnred 10563 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 ( k  +  1 ) )  e.  RR )
180179adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
18122ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
2  x.  N )  e.  RR )
182 nnre 10555 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k )  e.  NN  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `
 k )  e.  RR )
183 nngt0 10577 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k )  e.  NN  ->  0  <  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k
) )
184182, 183jca 532 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k )  e.  NN  ->  ( (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  k )  e.  RR  /\  0  < 
(  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k ) ) )
185126, 184syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k )  e.  RR  /\  0  <  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k
) ) )
186185adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
(  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k )  e.  RR  /\  0  <  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k
) ) )
187 lemul2 10407 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  (
k  +  1 ) )  e.  RR  /\  ( 2  x.  N
)  e.  RR  /\  ( (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  k )  e.  RR  /\  0  < 
(  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k ) ) )  ->  ( ( F `
 ( k  +  1 ) )  <_ 
( 2  x.  N
)  <->  ( (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k
)  x.  ( F `
 ( k  +  1 ) ) )  <_  ( (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k
)  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )
188180, 181, 186, 187syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
( F `  (
k  +  1 ) )  <_  ( 2  x.  N )  <->  ( (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k
)  x.  ( F `
 ( k  +  1 ) ) )  <_  ( (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k
)  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )
189175, 188mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
(  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k )  x.  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  <_  ( (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k
)  x.  ( 2  x.  N ) ) )
190158, 189eqbrtrd 4473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  (
k  +  1 ) )  <_  ( (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k
)  x.  ( 2  x.  N ) ) )
191 ffvelrn 6030 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  seq 1 (  x.  ,  F ) : NN --> NN  /\  (
k  +  1 )  e.  NN )  -> 
(  seq 1 (  x.  ,  F ) `  ( k  +  1 ) )  e.  NN )
19215, 159, 191syl2an 477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  (
k  +  1 ) )  e.  NN )
193192nnred 10563 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  (
k  +  1 ) )  e.  RR )
19425adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 2  x.  N )  e.  NN )
195126, 194nnmulcld 10595 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k )  x.  (
2  x.  N ) )  e.  NN )
196195nnred 10563 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k )  x.  (
2  x.  N ) )  e.  RR )
197160nnred 10563 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  +  1 )  e.  RR )
198 ppicl 23269 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  +  1 )  e.  RR  ->  (π `  ( k  +  1 ) )  e.  NN0 )
199197, 198syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  (π `  (
k  +  1 ) )  e.  NN0 )
200194, 199nnexpcld 12311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  N ) ^ (π `  ( k  +  1 ) ) )  e.  NN )
201200nnred 10563 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  N ) ^ (π `  ( k  +  1 ) ) )  e.  RR )
202 letr 9690 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (  seq 1 (  x.  ,  F ) `
 ( k  +  1 ) )  e.  RR  /\  ( (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k )  x.  (
2  x.  N ) )  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  N ) ^ (π `  ( k  +  1 ) ) )  e.  RR )  ->  (
( (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  ( k  +  1 ) )  <_  ( (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k
)  x.  ( 2  x.  N ) )  /\  ( (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k
)  x.  ( 2  x.  N ) )  <_  ( ( 2  x.  N ) ^
(π `  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  (
k  +  1 ) )  <_  ( (
2  x.  N ) ^ (π `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
203193, 196, 201, 202syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( (  seq 1 (  x.  ,  F ) `
 ( k  +  1 ) )  <_ 
( (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  k )  x.  ( 2  x.  N
) )  /\  (
(  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k )  x.  (
2  x.  N ) )  <_  ( (
2  x.  N ) ^ (π `  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  (
k  +  1 ) )  <_  ( (
2  x.  N ) ^ (π `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
204203adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
( (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  ( k  +  1 ) )  <_  ( (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k
)  x.  ( 2  x.  N ) )  /\  ( (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k
)  x.  ( 2  x.  N ) )  <_  ( ( 2  x.  N ) ^
(π `  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  (
k  +  1 ) )  <_  ( (
2  x.  N ) ^ (π `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
205190, 204mpand 675 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
( (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  k )  x.  ( 2  x.  N
) )  <_  (
( 2  x.  N
) ^ (π `  (
k  +  1 ) ) )  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  (
k  +  1 ) )  <_  ( (
2  x.  N ) ^ (π `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
206152, 205sylbid 215 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
(  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k )  <_  (
( 2  x.  N
) ^ (π `  k
) )  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  (
k  +  1 ) )  <_  ( (
2  x.  N ) ^ (π `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
207157adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `
 ( k  +  1 ) )  =  ( (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  k )  x.  ( F `  (
k  +  1 ) ) ) )
208 iffalse 3954 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( k  +  1 )  e.  Prime  ->  if ( ( k  +  1 )  e.  Prime ,  ( ( k  +  1 ) ^ (
( k  +  1 )  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) ) ,  1 )  =  1 )
209169, 208sylan9eq 2528 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  Prime )  ->  ( F `  (
k  +  1 ) )  =  1 )
210209oveq2d 6311 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  Prime )  ->  ( (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  k )  x.  ( F `  (
k  +  1 ) ) )  =  ( (  seq 1 (  x.  ,  F ) `
 k )  x.  1 ) )
211126adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `
 k )  e.  NN )
212211nncnd 10564 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `
 k )  e.  CC )
213212mulid1d 9625 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  Prime )  ->  ( (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  k )  x.  1 )  =  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k ) )
214207, 210, 2133eqtrd 2512 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `
 ( k  +  1 ) )  =  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `
 k ) )
215 ppinprm 23290 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (π `  ( k  +  1 ) )  =  (π `  k ) )
216144, 215sylan 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (π `  ( k  +  1 ) )  =  (π `  k ) )
217216oveq2d 6311 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  Prime )  ->  ( ( 2  x.  N ) ^ (π `  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( 2  x.  N ) ^ (π `  k ) ) )
218214, 217breq12d 4466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  Prime )  ->  ( (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  ( k  +  1 ) )  <_  ( ( 2  x.  N ) ^
(π `  ( k  +  1 ) ) )  <-> 
(  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k )  <_  (
( 2  x.  N
) ^ (π `  k
) ) ) )
219218biimprd 223 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  Prime )  ->  ( (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  k )  <_  ( ( 2  x.  N ) ^ (π `  k ) )  -> 
(  seq 1 (  x.  ,  F ) `  ( k  +  1 ) )  <_  (
( 2  x.  N
) ^ (π `  (
k  +  1 ) ) ) ) )
220206, 219pm2.61dan 789 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k )  <_  (
( 2  x.  N
) ^ (π `  k
) )  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  (
k  +  1 ) )  <_  ( (
2  x.  N ) ^ (π `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
221220expcom 435 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  ( ph  ->  ( (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k
)  <_  ( (
2  x.  N ) ^ (π `  k ) )  ->  (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  ( k  +  1 ) )  <_  ( ( 2  x.  N ) ^
(π `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
222221a2d 26 . . . 4  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ph  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  k
)  <_  ( (
2  x.  N ) ^ (π `  k ) ) )  ->  ( ph  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `
 ( k  +  1 ) )  <_ 
( ( 2  x.  N ) ^ (π `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
22393, 98, 103, 108, 125, 222nnind 10566 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  ( ph  ->  (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  M )  <_  ( ( 2  x.  N ) ^ (π `  M ) ) ) )
22474, 223mpcom 36 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `
 M )  <_ 
( ( 2  x.  N ) ^ (π `  M ) ) )
225 cxpexp 22913 . . . 4  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  CC  /\  (π `
 M )  e. 
NN0 )  ->  (
( 2  x.  N
)  ^c  (π `  M ) )  =  ( ( 2  x.  N ) ^ (π `  M ) ) )
226123, 79, 225syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  ^c 
(π `  M ) )  =  ( ( 2  x.  N ) ^
(π `  M ) ) )
22779nn0red 10865 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (π `  M )  e.  RR )
228 nndivre 10583 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  RR  /\  3  e.  NN )  ->  ( M  /  3
)  e.  RR )
22977, 16, 228sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M  /  3
)  e.  RR )
230 readdcl 9587 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  /  3
)  e.  RR  /\  2  e.  RR )  ->  ( ( M  / 
3 )  +  2 )  e.  RR )
231229, 48, 230sylancl 662 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( M  / 
3 )  +  2 )  e.  RR )
23274nnnn0d 10864 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
233232nn0ge0d 10867 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  M )
234 ppiub 23343 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  -> 
(π `  M )  <_ 
( ( M  / 
3 )  +  2 ) )
23577, 233, 234syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (π `  M )  <_ 
( ( M  / 
3 )  +  2 ) )
23648a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  2  e.  RR )
237 flle 11916 . . . . . . . . 9  |-  ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( sqr `  (
2  x.  N ) ) )  <_  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) )
23828, 237syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) )  <_  ( sqr `  (
2  x.  N ) ) )
23917, 238syl5eqbr 4486 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  <_  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) )
240 3re 10621 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  RR
241 3pos 10641 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  3
242240, 241pm3.2i 455 . . . . . . . . 9  |-  ( 3  e.  RR  /\  0  <  3 )
243242a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 3  e.  RR  /\  0  <  3 ) )
244 lediv1 10419 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  RR  /\  ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  e.  RR  /\  (
3  e.  RR  /\  0  <  3 ) )  ->  ( M  <_ 
( sqr `  (
2  x.  N ) )  <->  ( M  / 
3 )  <_  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 ) ) )
24577, 28, 243, 244syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( M  <_  ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  <->  ( M  /  3 )  <_ 
( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 ) ) )
246239, 245mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M  /  3
)  <_  ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  / 
3 ) )
247229, 83, 236, 246leadd1dd 10178 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( M  / 
3 )  +  2 )  <_  ( (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 ) )
248227, 231, 85, 235, 247letrd 9750 . . . 4  |-  ( ph  ->  (π `  M )  <_ 
( ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  /  3
)  +  2 ) )
249 2t1e2 10696 . . . . . . . 8  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
2506nnge1d 10590 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  <_  N )
251 1re 9607 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR
252 lemul2 10407 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( 1  <_  N 
<->  ( 2  x.  1 )  <_  ( 2  x.  N ) ) )
253251, 50, 252mp3an13 1315 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  RR  ->  (
1  <_  N  <->  ( 2  x.  1 )  <_ 
( 2  x.  N
) ) )
25446, 253syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  <_  N  <->  ( 2  x.  1 )  <_  ( 2  x.  N ) ) )
255250, 254mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  1 )  <_  ( 2  x.  N ) )
256249, 255syl5eqbrr 4487 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  2  <_  ( 2  x.  N ) )
25718eluz1i 11101 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  N )  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( ( 2  x.  N )  e.  ZZ  /\  2  <_ 
( 2  x.  N
) ) )
25821, 256, 257sylanbrc 664 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
259 eluz2b1 11165 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  N )  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( ( 2  x.  N )  e.  ZZ  /\  1  < 
( 2  x.  N
) ) )
260259simprbi 464 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  N )  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  <  ( 2  x.  N ) )
261258, 260syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  <  ( 2  x.  N ) )
26222, 261, 227, 85cxpled 22965 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (π `  M )  <_ 
( ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  /  3
)  +  2 )  <-> 
( ( 2  x.  N )  ^c 
(π `  M ) )  <_  ( ( 2  x.  N )  ^c  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 ) ) ) )
263248, 262mpbid 210 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  ^c 
(π `  M ) )  <_  ( ( 2  x.  N )  ^c  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 ) ) )
264226, 263eqbrtrrd 4475 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N ) ^ (π `  M ) )  <_ 
( ( 2  x.  N )  ^c 
( ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  /  3
)  +  2 ) ) )
26576, 81, 86, 224, 264letrd 9750 1  |-  ( ph  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `
 M )  <_ 
( ( 2  x.  N )  ^c 
( ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  /  3
)  +  2 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   E.wrex 2818   ifcif 3945   class class class wbr 4453    |-> cmpt 4511   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   CCcc 9502   RRcr 9503   0cc0 9504   1c1 9505    + caddc 9507    x. cmul 9509    < clt 9640    <_ cle 9641    / cdiv 10218   NNcn 10548   2c2 10597   3c3 10598   5c5 10600   9c9 10604   10c10 10605   NN0cn0 10807   ZZcz 10876   ZZ>=cuz 11094   ...cfz 11684   |_cfl 11907    seqcseq 12087   ^cexp 12146    _C cbc 12360   sqrcsqrt 13045   Primecprime 14092    pCnt cpc 14235    ^c ccxp 22807  πcppi 23231
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-addf 9583  ax-mulf 9584
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-fi 7883  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-ioo 11545  df-ioc 11546  df-ico 11547  df-icc 11548  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-fl 11909  df-mod 11977  df-seq 12088  df-exp 12147  df-fac 12334  df-bc 12361  df-hash 12386  df-shft 12879  df-cj 12911  df-re 12912  df-im 12913  df-sqrt 13047  df-abs 13048  df-limsup 13273  df-clim 13290  df-rlim 13291  df-sum 13488  df-ef 13681  df-sin 13683  df-cos 13684  df-pi 13686  df-dvds 13864  df-gcd 14020  df-prm 14093  df-pc 14236  df-struct 14508  df-ndx 14509  df-slot 14510  df-base 14511  df-sets 14512  df-ress 14513  df-plusg 14584  df-mulr 14585  df-starv 14586  df-sca 14587  df-vsca 14588  df-ip 14589  df-tset 14590  df-ple 14591  df-ds 14593  df-unif 14594  df-hom 14595  df-cco 14596  df-rest 14694  df-topn 14695  df-0g 14713  df-gsum 14714  df-topgen 14715  df-pt 14716  df-prds 14719  df-xrs 14773  df-qtop 14778  df-imas 14779  df-xps 14781  df-mre 14857  df-mrc 14858  df-acs 14860  df-mgm 15745  df-sgrp 15784  df-mnd 15794  df-submnd 15839  df-mulg 15931  df-cntz 16226  df-cmn 16671  df-psmet 18279  df-xmet 18280  df-met 18281  df-bl 18282  df-mopn 18283  df-fbas 18284  df-fg 18285  df-cnfld 18289  df-top 19266  df-bases 19268  df-topon 19269  df-topsp 19270  df-cld 19386  df-ntr 19387  df-cls 19388  df-nei 19465  df-lp 19503  df-perf 19504  df-cn 19594  df-cnp 19595  df-haus 19682  df-tx 19929  df-hmeo 20122  df-fil 20213  df-fm 20305  df-flim 20306  df-flf 20307  df-xms 20689  df-ms 20690  df-tms 20691  df-cncf 21248  df-limc 22136  df-dv 22137  df-log 22808  df-cxp 22809  df-ppi 23237
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