Theorem bposlem5 23427

Description: Lemma for bpos 23432. Bound the product of all small primes in the binomial coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
bpos.1	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` 5 ) )
bpos.2	|- ( ph -> -. E. p e. Prime ( N < p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) )
bpos.3	|- F = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( n ^ ( n pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) ) , 1 ) )
bpos.4	|- K = ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / 3 ) )
bpos.5	|- M = ( |_ ` ( sqr ` ( 2 x. N ) ) )

Assertion

Ref	Expression
bposlem5	|- ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) <_ ( ( 2 x. N ) ^c ( ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) / 3 ) + 2 ) ) )

Distinct variable groups:   F, p   n, p, K   M, p   n, N, p   ph, n, p

Allowed substitution hints:   F( n)   M( n)

Proof of Theorem bposlem5

Dummy variables k x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bpos.3	. . . . . 6 |- F = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( n ^ ( n pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) ) , 1 ) )
2		id 22	. . . . . . . 8 |- ( n e. Prime -> n e. Prime )
3		5nn 10708	. . . . . . . . . . 11 |- 5 e. NN
4		bpos.1	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` 5 ) )
5		eluznn 11164	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 5 e. NN /\ N e. ( ZZ>= ` 5 ) ) -> N e. NN )
6	3, 4, 5	sylancr 663	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. NN )
7	6	nnnn0d 10864	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. NN0 )
8		fzctr 11796	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> N e. ( 0 ... ( 2 x. N ) ) )
9		bccl2 12381	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( 0 ... ( 2 x. N ) ) -> ( ( 2 x. N ) _C N ) e. NN )
10	7, 8, 9	3syl 20	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) _C N ) e. NN )
11		pccl 14248	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. Prime /\ ( ( 2 x. N ) _C N ) e. NN ) -> ( n pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) e. NN0 )
12	2, 10, 11	syl2anr 478	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. Prime ) -> ( n pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) e. NN0 )
13	12	ralrimiva 2881	. . . . . 6 |- ( ph -> A. n e. Prime ( n pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) e. NN0 )
14	1, 13	pcmptcl 14285	. . . . 5 |- ( ph -> ( F : NN --> NN /\ seq 1 ( x. , F ) : NN --> NN ) )
15	14	simprd 463	. . . 4 |- ( ph -> seq 1 ( x. , F ) : NN --> NN )
16		3nn 10706	. . . . 5 |- 3 e. NN
17		bpos.5	. . . . . 6 |- M = ( |_ ` ( sqr ` ( 2 x. N ) ) )
18		2z 10908	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. ZZ
19	6	nnzd 10977	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. ZZ )
20		zmulcl 10923	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 2 x. N ) e. ZZ )
21	18, 19, 20	sylancr 663	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 x. N ) e. ZZ )
22	21	zred 10978	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 2 x. N ) e. RR )
23		2nn 10705	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. NN
24		nnmulcl 10571	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 e. NN /\ N e. NN ) -> ( 2 x. N ) e. NN )
25	23, 6, 24	sylancr 663	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 2 x. N ) e. NN )
26	25	nnrpd 11267	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 x. N ) e. RR+ )
27	26	rpge0d 11272	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 <_ ( 2 x. N ) )
28	22, 27	resqrtcld 13228	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( sqr ` ( 2 x. N ) ) e. RR )
29	28	flcld 11915	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( |_ ` ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) e. ZZ )
30		sqrt9 13086	. . . . . . . . 9 |- ( sqr ` 9 ) = 3
31		9re 10634	. . . . . . . . . . . 12 |- 9 e. RR
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 9 e. RR )
33		10re 10636	. . . . . . . . . . . 12 |- 10 e. RR
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 10 e. RR )
35		lep1 10393	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 9 e. RR -> 9 <_ ( 9 + 1 ) )
36	31, 35	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- 9 <_ ( 9 + 1 )
37		df-10 10614	. . . . . . . . . . . . 13 |- 10 = ( 9 + 1 )
38	36, 37	breqtrri 4478	. . . . . . . . . . . 12 |- 9 <_ 10
39	38	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 9 <_ 10 )
40		5cn 10627	. . . . . . . . . . . . 13 |- 5 e. CC
41		2cn 10618	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. CC
42		5t2e10 10702	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 5 x. 2 ) = 10
43	40, 41, 42	mulcomli 9615	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 x. 5 ) = 10
44		eluzle 11106	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ( ZZ>= ` 5 ) -> 5 <_ N )
45	4, 44	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 5 <_ N )
46	6	nnred 10563	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> N e. RR )
47		5re 10626	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 5 e. RR
48		2re 10617	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 2 e. RR
49		2pos 10639	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 < 2
50	48, 49	pm3.2i 455	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
51		lemul2 10407	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 5 e. RR /\ N e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( 5 <_ N <-> ( 2 x. 5 ) <_ ( 2 x. N ) ) )
52	47, 50, 51	mp3an13 1315	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. RR -> ( 5 <_ N <-> ( 2 x. 5 ) <_ ( 2 x. N ) ) )
53	46, 52	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 5 <_ N <-> ( 2 x. 5 ) <_ ( 2 x. N ) ) )
54	45, 53	mpbid 210	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 2 x. 5 ) <_ ( 2 x. N ) )
55	43, 54	syl5eqbrr 4487	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 10 <_ ( 2 x. N ) )
56	32, 34, 22, 39, 55	letrd 9750	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 9 <_ ( 2 x. N ) )
57		0re 9608	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 e. RR
58		9pos 10649	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 < 9
59	57, 31, 58	ltleii 9719	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 <_ 9
60	31, 59	pm3.2i 455	. . . . . . . . . . 11 |- ( 9 e. RR /\ 0 <_ 9 )
61	22, 27	jca 532	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) e. RR /\ 0 <_ ( 2 x. N ) ) )
62		sqrtle 13073	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 9 e. RR /\ 0 <_ 9 ) /\ ( ( 2 x. N ) e. RR /\ 0 <_ ( 2 x. N ) ) ) -> ( 9 <_ ( 2 x. N ) <-> ( sqr ` 9 ) <_ ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) )
63	60, 61, 62	sylancr 663	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 9 <_ ( 2 x. N ) <-> ( sqr ` 9 ) <_ ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) )
64	56, 63	mpbid 210	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( sqr ` 9 ) <_ ( sqr ` ( 2 x. N ) ) )
65	30, 64	syl5eqbrr 4487	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 3 <_ ( sqr ` ( 2 x. N ) ) )
66		3z 10909	. . . . . . . . 9 |- 3 e. ZZ
67		flge 11922	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) e. RR /\ 3 e. ZZ ) -> ( 3 <_ ( sqr ` ( 2 x. N ) ) <-> 3 <_ ( |_ ` ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) ) )
68	28, 66, 67	sylancl 662	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 3 <_ ( sqr ` ( 2 x. N ) ) <-> 3 <_ ( |_ ` ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) ) )
69	65, 68	mpbid 210	. . . . . . 7 |- ( ph -> 3 <_ ( |_ ` ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) )
70	66	eluz1i 11101	. . . . . . 7 |- ( ( |_ ` ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) e. ( ZZ>= ` 3 ) <-> ( ( |_ ` ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) e. ZZ /\ 3 <_ ( |_ ` ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) ) )
71	29, 69, 70	sylanbrc 664	. . . . . 6 |- ( ph -> ( |_ ` ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) e. ( ZZ>= ` 3 ) )
72	17, 71	syl5eqel 2559	. . . . 5 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` 3 ) )
73		eluznn 11164	. . . . 5 |- ( ( 3 e. NN /\ M e. ( ZZ>= ` 3 ) ) -> M e. NN )
74	16, 72, 73	sylancr 663	. . . 4 |- ( ph -> M e. NN )
75	15, 74	ffvelrnd 6033	. . 3 |- ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) e. NN )
76	75	nnred 10563	. 2 |- ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) e. RR )
77	74	nnred 10563	. . . . 5 |- ( ph -> M e. RR )
78		ppicl 23269	. . . . 5 |- ( M e. RR -> (π ` M ) e. NN0 )
79	77, 78	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> (π ` M ) e. NN0 )
80	25, 79	nnexpcld 12311	. . 3 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) ^ (π ` M ) ) e. NN )
81	80	nnred 10563	. 2 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) ^ (π ` M ) ) e. RR )
82		nndivre 10583	. . . . 5 |- ( ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) e. RR /\ 3 e. NN ) -> ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) / 3 ) e. RR )
83	28, 16, 82	sylancl 662	. . . 4 |- ( ph -> ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) / 3 ) e. RR )
84		readdcl 9587	. . . 4 |- ( ( ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) / 3 ) e. RR /\ 2 e. RR ) -> ( ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) / 3 ) + 2 ) e. RR )
85	83, 48, 84	sylancl 662	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) / 3 ) + 2 ) e. RR )
86	22, 27, 85	recxpcld 22968	. 2 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) ^c ( ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) / 3 ) + 2 ) ) e. RR )
87		fveq2 5872	. . . . . 6 |- ( x = 1 -> ( seq 1 ( x. , F ) ` x ) = ( seq 1 ( x. , F ) ` 1 ) )
88		fveq2 5872	. . . . . . . 8 |- ( x = 1 -> (π ` x ) = (π ` 1 ) )
89		ppi1 23302	. . . . . . . 8 |- (π ` 1 ) = 0
90	88, 89	syl6eq 2524	. . . . . . 7 |- ( x = 1 -> (π ` x ) = 0 )
91	90	oveq2d 6311	. . . . . 6 |- ( x = 1 -> ( ( 2 x. N ) ^ (π ` x ) ) = ( ( 2 x. N ) ^ 0 ) )
92	87, 91	breq12d 4466	. . . . 5 |- ( x = 1 -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` x ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` x ) ) <-> ( seq 1 ( x. , F ) ` 1 ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ 0 ) ) )
93	92	imbi2d 316	. . . 4 |- ( x = 1 -> ( ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` x ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` x ) ) ) <-> ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` 1 ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ 0 ) ) ) )
94		fveq2 5872	. . . . . 6 |- ( x = k -> ( seq 1 ( x. , F ) ` x ) = ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) )
95		fveq2 5872	. . . . . . 7 |- ( x = k -> (π ` x ) = (π ` k ) )
96	95	oveq2d 6311	. . . . . 6 |- ( x = k -> ( ( 2 x. N ) ^ (π ` x ) ) = ( ( 2 x. N ) ^ (π ` k ) ) )
97	94, 96	breq12d 4466	. . . . 5 |- ( x = k -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` x ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` x ) ) <-> ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` k ) ) ) )
98	97	imbi2d 316	. . . 4 |- ( x = k -> ( ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` x ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` x ) ) ) <-> ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` k ) ) ) ) )
99		fveq2 5872	. . . . . 6 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` x ) = ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) )
100		fveq2 5872	. . . . . . 7 |- ( x = ( k + 1 ) -> (π ` x ) = (π ` ( k + 1 ) ) )
101	100	oveq2d 6311	. . . . . 6 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( ( 2 x. N ) ^ (π ` x ) ) = ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) )
102	99, 101	breq12d 4466	. . . . 5 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` x ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` x ) ) <-> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) ) )
103	102	imbi2d 316	. . . 4 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` x ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` x ) ) ) <-> ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
104		fveq2 5872	. . . . . 6 |- ( x = M -> ( seq 1 ( x. , F ) ` x ) = ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) )
105		fveq2 5872	. . . . . . 7 |- ( x = M -> (π ` x ) = (π ` M ) )
106	105	oveq2d 6311	. . . . . 6 |- ( x = M -> ( ( 2 x. N ) ^ (π ` x ) ) = ( ( 2 x. N ) ^ (π ` M ) ) )
107	104, 106	breq12d 4466	. . . . 5 |- ( x = M -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` x ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` x ) ) <-> ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` M ) ) ) )
108	107	imbi2d 316	. . . 4 |- ( x = M -> ( ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` x ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` x ) ) ) <-> ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` M ) ) ) ) )
109		1z 10906	. . . . . . . 8 |- 1 e. ZZ
110		seq1 12100	. . . . . . . 8 |- ( 1 e. ZZ -> ( seq 1 ( x. , F ) ` 1 ) = ( F ` 1 ) )
111	109, 110	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( seq 1 ( x. , F ) ` 1 ) = ( F ` 1 )
112		1nn 10559	. . . . . . . 8 |- 1 e. NN
113		1nprm 14097	. . . . . . . . . . 11 |- -. 1 e. Prime
114		eleq1 2539	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = 1 -> ( n e. Prime <-> 1 e. Prime ) )
115	113, 114	mtbiri 303	. . . . . . . . . 10 |- ( n = 1 -> -. n e. Prime )
116	115	iffalsed 3956	. . . . . . . . 9 |- ( n = 1 -> if ( n e. Prime , ( n ^ ( n pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) ) , 1 ) = 1 )
117		1ex 9603	. . . . . . . . 9 |- 1 e. _V
118	116, 1, 117	fvmpt 5957	. . . . . . . 8 |- ( 1 e. NN -> ( F ` 1 ) = 1 )
119	112, 118	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( F ` 1 ) = 1
120	111, 119	eqtri 2496	. . . . . 6 |- ( seq 1 ( x. , F ) ` 1 ) = 1
121		1le1 10189	. . . . . 6 |- 1 <_ 1
122	120, 121	eqbrtri 4472	. . . . 5 |- ( seq 1 ( x. , F ) ` 1 ) <_ 1
123	21	zcnd 10979	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 2 x. N ) e. CC )
124	123	exp0d 12284	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) ^ 0 ) = 1 )
125	122, 124	syl5breqr 4489	. . . 4 |- ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` 1 ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ 0 ) )
126	15	ffvelrnda 6032	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) e. NN )
127	126	nnred 10563	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) e. RR )
128	127	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) e. RR )
129	25	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( 2 x. N ) e. NN )
130		nnre 10555	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN -> k e. RR )
131	130	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> k e. RR )
132		ppicl 23269	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. RR -> (π ` k ) e. NN0 )
133	131, 132	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> (π ` k ) e. NN0 )
134	129, 133	nnexpcld 12311	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( 2 x. N ) ^ (π ` k ) ) e. NN )
135	134	nnred 10563	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( 2 x. N ) ^ (π ` k ) ) e. RR )
136		nnre 10555	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 x. N ) e. NN -> ( 2 x. N ) e. RR )
137		nngt0 10577	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 x. N ) e. NN -> 0 < ( 2 x. N ) )
138	136, 137	jca 532	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 x. N ) e. NN -> ( ( 2 x. N ) e. RR /\ 0 < ( 2 x. N ) ) )
139	25, 138	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) e. RR /\ 0 < ( 2 x. N ) ) )
140	139	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( 2 x. N ) e. RR /\ 0 < ( 2 x. N ) ) )
141		lemul1 10406	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) e. RR /\ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` k ) ) e. RR /\ ( ( 2 x. N ) e. RR /\ 0 < ( 2 x. N ) ) ) -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` k ) ) <-> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( 2 x. N ) ) <_ ( ( ( 2 x. N ) ^ (π ` k ) ) x. ( 2 x. N ) ) ) )
142	128, 135, 140, 141	syl3anc 1228	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` k ) ) <-> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( 2 x. N ) ) <_ ( ( ( 2 x. N ) ^ (π ` k ) ) x. ( 2 x. N ) ) ) )
143		nnz 10898	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN -> k e. ZZ )
144	143	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. ZZ )
145		ppiprm 23289	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k e. ZZ /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> (π ` ( k + 1 ) ) = ( (π ` k ) + 1 ) )
146	144, 145	sylan 471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> (π ` ( k + 1 ) ) = ( (π ` k ) + 1 ) )
147	146	oveq2d 6311	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) = ( ( 2 x. N ) ^ ( (π ` k ) + 1 ) ) )
148	123	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( 2 x. N ) e. CC )
149	148, 133	expp1d 12291	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( 2 x. N ) ^ ( (π ` k ) + 1 ) ) = ( ( ( 2 x. N ) ^ (π ` k ) ) x. ( 2 x. N ) ) )
150	147, 149	eqtrd 2508	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) = ( ( ( 2 x. N ) ^ (π ` k ) ) x. ( 2 x. N ) ) )
151	150	breq2d 4465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( 2 x. N ) ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) <-> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( 2 x. N ) ) <_ ( ( ( 2 x. N ) ^ (π ` k ) ) x. ( 2 x. N ) ) ) )
152	142, 151	bitr4d 256	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` k ) ) <-> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( 2 x. N ) ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) ) )
153		simpr 461	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. NN )
154		nnuz 11129	. . . . . . . . . . . . 13 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
155	153, 154	syl6eleq 2565	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. ( ZZ>= ` 1 ) )
156		seqp1 12102	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( F ` ( k + 1 ) ) ) )
157	155, 156	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( F ` ( k + 1 ) ) ) )
158	157	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( F ` ( k + 1 ) ) ) )
159		peano2nn 10560	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. NN -> ( k + 1 ) e. NN )
160	159	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( k + 1 ) e. NN )
161		eleq1 2539	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( n e. Prime <-> ( k + 1 ) e. Prime ) )
162		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = ( k + 1 ) -> n = ( k + 1 ) )
163		oveq1 6302	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( n pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) = ( ( k + 1 ) pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) )
164	162, 163	oveq12d 6313	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( n ^ ( n pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) ) = ( ( k + 1 ) ^ ( ( k + 1 ) pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) ) )
165	161, 164	ifbieq1d 3968	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = ( k + 1 ) -> if ( n e. Prime , ( n ^ ( n pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) ) , 1 ) = if ( ( k + 1 ) e. Prime , ( ( k + 1 ) ^ ( ( k + 1 ) pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) ) , 1 ) )
166		ovex 6320	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( k + 1 ) ^ ( ( k + 1 ) pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) ) e. _V
167	166, 117	ifex 4014	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- if ( ( k + 1 ) e. Prime , ( ( k + 1 ) ^ ( ( k + 1 ) pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) ) , 1 ) e. _V
168	165, 1, 167	fvmpt 5957	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k + 1 ) e. NN -> ( F ` ( k + 1 ) ) = if ( ( k + 1 ) e. Prime , ( ( k + 1 ) ^ ( ( k + 1 ) pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) ) , 1 ) )
169	160, 168	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) = if ( ( k + 1 ) e. Prime , ( ( k + 1 ) ^ ( ( k + 1 ) pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) ) , 1 ) )
170		iftrue 3951	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k + 1 ) e. Prime -> if ( ( k + 1 ) e. Prime , ( ( k + 1 ) ^ ( ( k + 1 ) pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) ) , 1 ) = ( ( k + 1 ) ^ ( ( k + 1 ) pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) ) )
171	169, 170	sylan9eq 2528	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) = ( ( k + 1 ) ^ ( ( k + 1 ) pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) ) )
172	6	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> N e. NN )
173		bposlem1 23423	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( k + 1 ) ^ ( ( k + 1 ) pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) ) <_ ( 2 x. N ) )
174	172, 173	sylan 471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( k + 1 ) ^ ( ( k + 1 ) pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) ) <_ ( 2 x. N ) )
175	171, 174	eqbrtrd 4473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( 2 x. N ) )
176	14	simpld 459	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> F : NN --> NN )
177		ffvelrn 6030	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F : NN --> NN /\ ( k + 1 ) e. NN ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. NN )
178	176, 159, 177	syl2an 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. NN )
179	178	nnred 10563	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. RR )
180	179	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. RR )
181	22	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( 2 x. N ) e. RR )
182		nnre 10555	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) e. NN -> ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) e. RR )
183		nngt0 10577	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) e. NN -> 0 < ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) )
184	182, 183	jca 532	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) e. NN -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) e. RR /\ 0 < ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) )
185	126, 184	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) e. RR /\ 0 < ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) )
186	185	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) e. RR /\ 0 < ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) )
187		lemul2 10407	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F ` ( k + 1 ) ) e. RR /\ ( 2 x. N ) e. RR /\ ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) e. RR /\ 0 < ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) ) -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( 2 x. N ) <-> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( 2 x. N ) ) ) )
188	180, 181, 186, 187	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( 2 x. N ) <-> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( 2 x. N ) ) ) )
189	175, 188	mpbid 210	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( 2 x. N ) ) )
190	158, 189	eqbrtrd 4473	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) <_ ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( 2 x. N ) ) )
191		ffvelrn 6030	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( seq 1 ( x. , F ) : NN --> NN /\ ( k + 1 ) e. NN ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) e. NN )
192	15, 159, 191	syl2an 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) e. NN )
193	192	nnred 10563	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) e. RR )
194	25	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( 2 x. N ) e. NN )
195	126, 194	nnmulcld 10595	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( 2 x. N ) ) e. NN )
196	195	nnred 10563	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( 2 x. N ) ) e. RR )
197	160	nnred 10563	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( k + 1 ) e. RR )
198		ppicl 23269	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k + 1 ) e. RR -> (π ` ( k + 1 ) ) e. NN0 )
199	197, 198	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> (π ` ( k + 1 ) ) e. NN0 )
200	194, 199	nnexpcld 12311	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) e. NN )
201	200	nnred 10563	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) e. RR )
202		letr 9690	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) e. RR /\ ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( 2 x. N ) ) e. RR /\ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) e. RR ) -> ( ( ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) <_ ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( 2 x. N ) ) /\ ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( 2 x. N ) ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) ) )
203	193, 196, 201, 202	syl3anc 1228	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) <_ ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( 2 x. N ) ) /\ ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( 2 x. N ) ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) ) )
204	203	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) <_ ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( 2 x. N ) ) /\ ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( 2 x. N ) ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) ) )
205	190, 204	mpand 675	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( 2 x. N ) ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) ) )
206	152, 205	sylbid 215	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` k ) ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) ) )
207	157	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ -. ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( F ` ( k + 1 ) ) ) )
208		iffalse 3954	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. ( k + 1 ) e. Prime -> if ( ( k + 1 ) e. Prime , ( ( k + 1 ) ^ ( ( k + 1 ) pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) ) , 1 ) = 1 )
209	169, 208	sylan9eq 2528	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ -. ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) = 1 )
210	209	oveq2d 6311	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ -. ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( F ` ( k + 1 ) ) ) = ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. 1 ) )
211	126	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ -. ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) e. NN )
212	211	nncnd 10564	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ -. ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) e. CC )
213	212	mulid1d 9625	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ -. ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. 1 ) = ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) )
214	207, 210, 213	3eqtrd 2512	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ -. ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) = ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) )
215		ppinprm 23290	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. ZZ /\ -. ( k + 1 ) e. Prime ) -> (π ` ( k + 1 ) ) = (π ` k ) )
216	144, 215	sylan 471	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ -. ( k + 1 ) e. Prime ) -> (π ` ( k + 1 ) ) = (π ` k ) )
217	216	oveq2d 6311	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ -. ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) = ( ( 2 x. N ) ^ (π ` k ) ) )
218	214, 217	breq12d 4466	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ -. ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) <-> ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` k ) ) ) )
219	218	biimprd 223	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ -. ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` k ) ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) ) )
220	206, 219	pm2.61dan 789	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` k ) ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) ) )
221	220	expcom 435	. . . . 5 |- ( k e. NN -> ( ph -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` k ) ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
222	221	a2d 26	. . . 4 |- ( k e. NN -> ( ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` k ) ) ) -> ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
223	93, 98, 103, 108, 125, 222	nnind 10566	. . 3 |- ( M e. NN -> ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` M ) ) ) )
224	74, 223	mpcom 36	. 2 |- ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` M ) ) )
225		cxpexp 22913	. . . 4 |- ( ( ( 2 x. N ) e. CC /\ (π ` M ) e. NN0 ) -> ( ( 2 x. N ) ^c (π ` M ) ) = ( ( 2 x. N ) ^ (π ` M ) ) )
226	123, 79, 225	syl2anc 661	. . 3 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) ^c (π ` M ) ) = ( ( 2 x. N ) ^ (π ` M ) ) )
227	79	nn0red 10865	. . . . 5 |- ( ph -> (π ` M ) e. RR )
228		nndivre 10583	. . . . . . 7 |- ( ( M e. RR /\ 3 e. NN ) -> ( M / 3 ) e. RR )
229	77, 16, 228	sylancl 662	. . . . . 6 |- ( ph -> ( M / 3 ) e. RR )
230		readdcl 9587	. . . . . 6 |- ( ( ( M / 3 ) e. RR /\ 2 e. RR ) -> ( ( M / 3 ) + 2 ) e. RR )
231	229, 48, 230	sylancl 662	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( M / 3 ) + 2 ) e. RR )
232	74	nnnn0d 10864	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. NN0 )
233	232	nn0ge0d 10867	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 <_ M )
234		ppiub 23343	. . . . . 6 |- ( ( M e. RR /\ 0 <_ M ) -> (π ` M ) <_ ( ( M / 3 ) + 2 ) )
235	77, 233, 234	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ph -> (π ` M ) <_ ( ( M / 3 ) + 2 ) )
236	48	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> 2 e. RR )
237		flle 11916	. . . . . . . . 9 |- ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) e. RR -> ( |_ ` ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) <_ ( sqr ` ( 2 x. N ) ) )
238	28, 237	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( |_ ` ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) <_ ( sqr ` ( 2 x. N ) ) )
239	17, 238	syl5eqbr 4486	. . . . . . 7 |- ( ph -> M <_ ( sqr ` ( 2 x. N ) ) )
240		3re 10621	. . . . . . . . . 10 |- 3 e. RR
241		3pos 10641	. . . . . . . . . 10 |- 0 < 3
242	240, 241	pm3.2i 455	. . . . . . . . 9 |- ( 3 e. RR /\ 0 < 3 )
243	242	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 3 e. RR /\ 0 < 3 ) )
244		lediv1 10419	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. RR /\ ( sqr ` ( 2 x. N ) ) e. RR /\ ( 3 e. RR /\ 0 < 3 ) ) -> ( M <_ ( sqr ` ( 2 x. N ) ) <-> ( M / 3 ) <_ ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) / 3 ) ) )
245	77, 28, 243, 244	syl3anc 1228	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( M <_ ( sqr ` ( 2 x. N ) ) <-> ( M / 3 ) <_ ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) / 3 ) ) )
246	239, 245	mpbid 210	. . . . . 6 |- ( ph -> ( M / 3 ) <_ ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) / 3 ) )
247	229, 83, 236, 246	leadd1dd 10178	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( M / 3 ) + 2 ) <_ ( ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) / 3 ) + 2 ) )
248	227, 231, 85, 235, 247	letrd 9750	. . . 4 |- ( ph -> (π ` M ) <_ ( ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) / 3 ) + 2 ) )
249		2t1e2 10696	. . . . . . . 8 |- ( 2 x. 1 ) = 2
250	6	nnge1d 10590	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 1 <_ N )
251		1re 9607	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. RR
252		lemul2 10407	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 e. RR /\ N e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( 1 <_ N <-> ( 2 x. 1 ) <_ ( 2 x. N ) ) )
253	251, 50, 252	mp3an13 1315	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. RR -> ( 1 <_ N <-> ( 2 x. 1 ) <_ ( 2 x. N ) ) )
254	46, 253	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 <_ N <-> ( 2 x. 1 ) <_ ( 2 x. N ) ) )
255	250, 254	mpbid 210	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 2 x. 1 ) <_ ( 2 x. N ) )
256	249, 255	syl5eqbrr 4487	. . . . . . 7 |- ( ph -> 2 <_ ( 2 x. N ) )
257	18	eluz1i 11101	. . . . . . 7 |- ( ( 2 x. N ) e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( ( 2 x. N ) e. ZZ /\ 2 <_ ( 2 x. N ) ) )
258	21, 256, 257	sylanbrc 664	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 2 x. N ) e. ( ZZ>= ` 2 ) )
259		eluz2b1 11165	. . . . . . 7 |- ( ( 2 x. N ) e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( ( 2 x. N ) e. ZZ /\ 1 < ( 2 x. N ) ) )
260	259	simprbi 464	. . . . . 6 |- ( ( 2 x. N ) e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 < ( 2 x. N ) )
261	258, 260	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> 1 < ( 2 x. N ) )
262	22, 261, 227, 85	cxpled 22965	. . . 4 |- ( ph -> ( (π ` M ) <_ ( ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) / 3 ) + 2 ) <-> ( ( 2 x. N ) ^c (π ` M ) ) <_ ( ( 2 x. N ) ^c ( ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) / 3 ) + 2 ) ) ) )
263	248, 262	mpbid 210	. . 3 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) ^c (π ` M ) ) <_ ( ( 2 x. N ) ^c ( ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) / 3 ) + 2 ) ) )
264	226, 263	eqbrtrrd 4475	. 2 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) ^ (π ` M ) ) <_ ( ( 2 x. N ) ^c ( ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) / 3 ) + 2 ) ) )
265	76, 81, 86, 224, 264	letrd 9750	1 |- ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) <_ ( ( 2 x. N ) ^c ( ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) / 3 ) + 2 ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   E.wrex 2818   ifcif 3945   class class class wbr 4453   |-> cmpt 4511   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   CCcc 9502   RRcr 9503   0cc0 9504   1c1 9505   + caddc 9507   x. cmul 9509   < clt 9640   <_ cle 9641   / cdiv 10218   NNcn 10548   2c2 10597   3c3 10598   5c5 10600   9c9 10604   10c10 10605   NN0cn0 10807   ZZcz 10876   ZZ>=cuz 11094   ...cfz 11684   |_cfl 11907   seqcseq 12087   ^cexp 12146   _C cbc 12360   sqrcsqrt 13045   Primecprime 14092   pCnt cpc 14235   ^c ccxp 22807  πcppi 23231

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-addf 9583  ax-mulf 9584

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-fi 7883  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-ioo 11545  df-ioc 11546  df-ico 11547  df-icc 11548  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-fl 11909  df-mod 11977  df-seq 12088  df-exp 12147  df-fac 12334  df-bc 12361  df-hash 12386  df-shft 12879  df-cj 12911  df-re 12912  df-im 12913  df-sqrt 13047  df-abs 13048  df-limsup 13273  df-clim 13290  df-rlim 13291  df-sum 13488  df-ef 13681  df-sin 13683  df-cos 13684  df-pi 13686  df-dvds 13864  df-gcd 14020  df-prm 14093  df-pc 14236  df-struct 14508  df-ndx 14509  df-slot 14510  df-base 14511  df-sets 14512  df-ress 14513  df-plusg 14584  df-mulr 14585  df-starv 14586  df-sca 14587  df-vsca 14588  df-ip 14589  df-tset 14590  df-ple 14591  df-ds 14593  df-unif 14594  df-hom 14595  df-cco 14596  df-rest 14694  df-topn 14695  df-0g 14713  df-gsum 14714  df-topgen 14715  df-pt 14716  df-prds 14719  df-xrs 14773  df-qtop 14778  df-imas 14779  df-xps 14781  df-mre 14857  df-mrc 14858  df-acs 14860  df-mgm 15745  df-sgrp 15784  df-mnd 15794  df-submnd 15839  df-mulg 15931  df-cntz 16226  df-cmn 16671  df-psmet 18279  df-xmet 18280  df-met 18281  df-bl 18282  df-mopn 18283  df-fbas 18284  df-fg 18285  df-cnfld 18289  df-top 19266  df-bases 19268  df-topon 19269  df-topsp 19270  df-cld 19386  df-ntr 19387  df-cls 19388  df-nei 19465  df-lp 19503  df-perf 19504  df-cn 19594  df-cnp 19595  df-haus 19682  df-tx 19929  df-hmeo 20122  df-fil 20213  df-fm 20305  df-flim 20306  df-flf 20307  df-xms 20689  df-ms 20690  df-tms 20691  df-cncf 21248  df-limc 22136  df-dv 22137  df-log 22808  df-cxp 22809  df-ppi 23237

This theorem is referenced by:  bposlem6  23428