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Theorem bposlem5 21025
Description: Lemma for bpos 21030. Bound the product of all small primes in the binomial coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bpos.1  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
5 ) )
bpos.2  |-  ( ph  ->  -.  E. p  e. 
Prime  ( N  <  p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) )
bpos.3  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ (
n  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) ) ,  1 ) )
bpos.4  |-  K  =  ( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  3 ) )
bpos.5  |-  M  =  ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) )
Assertion
Ref Expression
bposlem5  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 M )  <_ 
( ( 2  x.  N )  ^ c 
( ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  /  3
)  +  2 ) ) )
Distinct variable groups:    F, p    n, p, K    M, p    n, N, p    ph, n, p
Allowed substitution hints:    F( n)    M( n)

Proof of Theorem bposlem5
Dummy variables  k  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bpos.3 . . . . . 6  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ (
n  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) ) ,  1 ) )
2 id 20 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  Prime  ->  n  e. 
Prime )
3 5nn 10092 . . . . . . . . . . 11  |-  5  e.  NN
4 bpos.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
5 ) )
5 nnuz 10477 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
65uztrn2 10459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 5  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= ` 
5 ) )  ->  N  e.  NN )
73, 4, 6sylancr 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
87nnnn0d 10230 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
9 fzctr 11072 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ( 0 ... (
2  x.  N ) ) )
10 bccl2 11569 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( 0 ... ( 2  x.  N
) )  ->  (
( 2  x.  N
)  _C  N )  e.  NN )
118, 9, 103syl 19 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  _C  N
)  e.  NN )
12 pccl 13178 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  Prime  /\  (
( 2  x.  N
)  _C  N )  e.  NN )  -> 
( n  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  e.  NN0 )
132, 11, 12syl2anr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Prime )  ->  ( n  pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  e.  NN0 )
1413ralrimiva 2749 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. n  e.  Prime  ( n  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN0 )
151, 14pcmptcl 13215 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F : NN --> NN  /\  seq  1 (  x.  ,  F ) : NN --> NN ) )
1615simprd 450 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq  1 (  x.  ,  F ) : NN --> NN )
17 3nn 10090 . . . . 5  |-  3  e.  NN
18 bpos.5 . . . . . 6  |-  M  =  ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) )
19 2z 10268 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  ZZ
207nnzd 10330 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
21 zmulcl 10280 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  N
)  e.  ZZ )
2219, 20, 21sylancr 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  e.  ZZ )
2322zred 10331 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  e.  RR )
24 2nn 10089 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  NN
25 nnmulcl 9979 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( 2  x.  N
)  e.  NN )
2624, 7, 25sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  e.  NN )
2726nnrpd 10603 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  e.  RR+ )
2827rpge0d 10608 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <_  ( 2  x.  N ) )
2923, 28resqrcld 12175 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( sqr `  (
2  x.  N ) )  e.  RR )
3029flcld 11162 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) )  e.  ZZ )
31 sqr9 12034 . . . . . . . . 9  |-  ( sqr `  9 )  =  3
32 9re 10035 . . . . . . . . . . . 12  |-  9  e.  RR
3332a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  9  e.  RR )
34 10re 10036 . . . . . . . . . . . 12  |-  10  e.  RR
3534a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  10  e.  RR )
36 lep1 9805 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 9  e.  RR  ->  9  <_  ( 9  +  1 ) )
3732, 36ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  9  <_  ( 9  +  1 )
38 df-10 10022 . . . . . . . . . . . . 13  |-  10  =  ( 9  +  1 )
3937, 38breqtrri 4197 . . . . . . . . . . . 12  |-  9  <_  10
4039a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  9  <_  10 )
413nncni 9966 . . . . . . . . . . . . 13  |-  5  e.  CC
42 2cn 10026 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  CC
43 5t2e10 10087 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 5  x.  2 )  =  10
4441, 42, 43mulcomli 9053 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  x.  5 )  =  10
45 eluzle 10454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  5
)  ->  5  <_  N )
464, 45syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  5  <_  N )
477nnred 9971 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
48 5re 10031 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  5  e.  RR
49 2re 10025 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  e.  RR
50 2pos 10038 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  <  2
5149, 50pm3.2i 442 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
52 lemul2 9819 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 5  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( 5  <_  N 
<->  ( 2  x.  5 )  <_  ( 2  x.  N ) ) )
5348, 51, 52mp3an13 1270 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  RR  ->  (
5  <_  N  <->  ( 2  x.  5 )  <_ 
( 2  x.  N
) ) )
5447, 53syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 5  <_  N  <->  ( 2  x.  5 )  <_  ( 2  x.  N ) ) )
5546, 54mpbid 202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  5 )  <_  ( 2  x.  N ) )
5644, 55syl5eqbrr 4206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  10  <_  ( 2  x.  N ) )
5733, 35, 23, 40, 56letrd 9183 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  9  <_  ( 2  x.  N ) )
58 0re 9047 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  RR
59 9pos 10047 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <  9
6058, 32, 59ltleii 9152 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <_  9
6132, 60pm3.2i 442 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 9  e.  RR  /\  0  <_  9 )
6223, 28jca 519 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  e.  RR  /\  0  <_  ( 2  x.  N ) ) )
63 sqrle 12021 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 9  e.  RR  /\  0  <_  9 )  /\  ( ( 2  x.  N )  e.  RR  /\  0  <_ 
( 2  x.  N
) ) )  -> 
( 9  <_  (
2  x.  N )  <-> 
( sqr `  9
)  <_  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) ) )
6461, 62, 63sylancr 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 9  <_  (
2  x.  N )  <-> 
( sqr `  9
)  <_  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) ) )
6557, 64mpbid 202 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( sqr `  9
)  <_  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) )
6631, 65syl5eqbrr 4206 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  3  <_  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) )
6717nnzi 10261 . . . . . . . . 9  |-  3  e.  ZZ
68 flge 11169 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  e.  RR  /\  3  e.  ZZ )  ->  ( 3  <_  ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  <->  3  <_  ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) ) ) )
6929, 67, 68sylancl 644 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 3  <_  ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  <->  3  <_  ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) ) ) )
7066, 69mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  3  <_  ( |_ `  ( sqr `  (
2  x.  N ) ) ) )
7167eluz1i 10451 . . . . . . 7  |-  ( ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) )  e.  ( ZZ>= `  3 )  <->  ( ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) )  e.  ZZ  /\  3  <_  ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) ) ) )
7230, 70, 71sylanbrc 646 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) )  e.  ( ZZ>= `  3
) )
7318, 72syl5eqel 2488 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
3 ) )
745uztrn2 10459 . . . . 5  |-  ( ( 3  e.  NN  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
3 ) )  ->  M  e.  NN )
7517, 73, 74sylancr 645 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
7616, 75ffvelrnd 5830 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 M )  e.  NN )
7776nnred 9971 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 M )  e.  RR )
7875nnred 9971 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
79 ppicl 20867 . . . . 5  |-  ( M  e.  RR  ->  (π `  M )  e.  NN0 )
8078, 79syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  (π `  M )  e. 
NN0 )
8126, 80nnexpcld 11499 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N ) ^ (π `  M ) )  e.  NN )
8281nnred 9971 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N ) ^ (π `  M ) )  e.  RR )
83 nndivre 9991 . . . . 5  |-  ( ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  e.  RR  /\  3  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 )  e.  RR )
8429, 17, 83sylancl 644 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 )  e.  RR )
85 readdcl 9029 . . . 4  |-  ( ( ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 )  e.  RR  /\  2  e.  RR )  ->  (
( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 )  e.  RR )
8684, 49, 85sylancl 644 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  /  3
)  +  2 )  e.  RR )
8723, 28, 86recxpcld 20567 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  ^ c 
( ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  /  3
)  +  2 ) )  e.  RR )
88 fveq2 5687 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  x
)  =  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  1
) )
89 fveq2 5687 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  1  ->  (π `  x )  =  (π `  1 ) )
90 ppi1 20900 . . . . . . . 8  |-  (π `  1
)  =  0
9189, 90syl6eq 2452 . . . . . . 7  |-  ( x  =  1  ->  (π `  x )  =  0 )
9291oveq2d 6056 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  (
( 2  x.  N
) ^ (π `  x
) )  =  ( ( 2  x.  N
) ^ 0 ) )
9388, 92breq12d 4185 . . . . 5  |-  ( x  =  1  ->  (
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 x )  <_ 
( ( 2  x.  N ) ^ (π `  x ) )  <->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  1
)  <_  ( (
2  x.  N ) ^ 0 ) ) )
9493imbi2d 308 . . . 4  |-  ( x  =  1  ->  (
( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  x
)  <_  ( (
2  x.  N ) ^ (π `  x ) ) )  <->  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) ` 
1 )  <_  (
( 2  x.  N
) ^ 0 ) ) ) )
95 fveq2 5687 . . . . . 6  |-  ( x  =  k  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  x
)  =  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
) )
96 fveq2 5687 . . . . . . 7  |-  ( x  =  k  ->  (π `  x )  =  (π `  k ) )
9796oveq2d 6056 . . . . . 6  |-  ( x  =  k  ->  (
( 2  x.  N
) ^ (π `  x
) )  =  ( ( 2  x.  N
) ^ (π `  k
) ) )
9895, 97breq12d 4185 . . . . 5  |-  ( x  =  k  ->  (
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 x )  <_ 
( ( 2  x.  N ) ^ (π `  x ) )  <->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
)  <_  ( (
2  x.  N ) ^ (π `  k ) ) ) )
9998imbi2d 308 . . . 4  |-  ( x  =  k  ->  (
( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  x
)  <_  ( (
2  x.  N ) ^ (π `  x ) ) )  <->  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k )  <_  (
( 2  x.  N
) ^ (π `  k
) ) ) ) )
100 fveq2 5687 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  x
)  =  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  (
k  +  1 ) ) )
101 fveq2 5687 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (π `  x )  =  (π `  ( k  +  1 ) ) )
102101oveq2d 6056 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
( 2  x.  N
) ^ (π `  x
) )  =  ( ( 2  x.  N
) ^ (π `  (
k  +  1 ) ) ) )
103100, 102breq12d 4185 . . . . 5  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 x )  <_ 
( ( 2  x.  N ) ^ (π `  x ) )  <->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  (
k  +  1 ) )  <_  ( (
2  x.  N ) ^ (π `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
104103imbi2d 308 . . . 4  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  x
)  <_  ( (
2  x.  N ) ^ (π `  x ) ) )  <->  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  ( k  +  1 ) )  <_  (
( 2  x.  N
) ^ (π `  (
k  +  1 ) ) ) ) ) )
105 fveq2 5687 . . . . . 6  |-  ( x  =  M  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  x
)  =  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M
) )
106 fveq2 5687 . . . . . . 7  |-  ( x  =  M  ->  (π `  x )  =  (π `  M ) )
107106oveq2d 6056 . . . . . 6  |-  ( x  =  M  ->  (
( 2  x.  N
) ^ (π `  x
) )  =  ( ( 2  x.  N
) ^ (π `  M
) ) )
108105, 107breq12d 4185 . . . . 5  |-  ( x  =  M  ->  (
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 x )  <_ 
( ( 2  x.  N ) ^ (π `  x ) )  <->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M
)  <_  ( (
2  x.  N ) ^ (π `  M ) ) ) )
109108imbi2d 308 . . . 4  |-  ( x  =  M  ->  (
( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  x
)  <_  ( (
2  x.  N ) ^ (π `  x ) ) )  <->  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M )  <_  (
( 2  x.  N
) ^ (π `  M
) ) ) ) )
110 1z 10267 . . . . . . . 8  |-  1  e.  ZZ
111 seq1 11291 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  1
)  =  ( F `
 1 ) )
112110, 111ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  1
)  =  ( F `
 1 )
113 1nn 9967 . . . . . . . 8  |-  1  e.  NN
114 1nprm 13039 . . . . . . . . . . 11  |-  -.  1  e.  Prime
115 eleq1 2464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  1  ->  (
n  e.  Prime  <->  1  e.  Prime ) )
116114, 115mtbiri 295 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  1  ->  -.  n  e.  Prime )
117 iffalse 3706 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  n  e.  Prime  ->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ (
n  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) ) ,  1 )  =  1 )
118116, 117syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  1  ->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ (
n  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) ) ,  1 )  =  1 )
119 1ex 9042 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  _V
120118, 1, 119fvmpt 5765 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  NN  ->  ( F `  1 )  =  1 )
121113, 120ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( F `
 1 )  =  1
122112, 121eqtri 2424 . . . . . 6  |-  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  1
)  =  1
123 1le1 9606 . . . . . 6  |-  1  <_  1
124122, 123eqbrtri 4191 . . . . 5  |-  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  1
)  <_  1
12522zcnd 10332 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  e.  CC )
126125exp0d 11472 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N ) ^ 0 )  =  1 )
127124, 126syl5breqr 4208 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 1 )  <_ 
( ( 2  x.  N ) ^ 0 ) )
12816ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
)  e.  NN )
129128nnred 9971 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
)  e.  RR )
130129adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
)  e.  RR )
13126ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
2  x.  N )  e.  NN )
132 nnre 9963 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR )
133132ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  k  e.  RR )
134 ppicl 20867 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  RR  ->  (π `  k )  e.  NN0 )
135133, 134syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (π `  k )  e.  NN0 )
136131, 135nnexpcld 11499 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
( 2  x.  N
) ^ (π `  k
) )  e.  NN )
137136nnred 9971 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
( 2  x.  N
) ^ (π `  k
) )  e.  RR )
138 nnre 9963 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  x.  N )  e.  NN  ->  (
2  x.  N )  e.  RR )
139 nngt0 9985 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  x.  N )  e.  NN  ->  0  <  ( 2  x.  N
) )
140138, 139jca 519 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  x.  N )  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  e.  RR  /\  0  <  ( 2  x.  N ) ) )
14126, 140syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  e.  RR  /\  0  <  ( 2  x.  N ) ) )
142141ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
( 2  x.  N
)  e.  RR  /\  0  <  ( 2  x.  N ) ) )
143 lemul1 9818 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 k )  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  N ) ^ (π `  k ) )  e.  RR  /\  (
( 2  x.  N
)  e.  RR  /\  0  <  ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
)  <_  ( (
2  x.  N ) ^ (π `  k ) )  <-> 
( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  k )  x.  ( 2  x.  N
) )  <_  (
( ( 2  x.  N ) ^ (π `  k ) )  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )
144130, 137, 142, 143syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 k )  <_ 
( ( 2  x.  N ) ^ (π `  k ) )  <->  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
)  x.  ( 2  x.  N ) )  <_  ( ( ( 2  x.  N ) ^ (π `  k ) )  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )
145 nnz 10259 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  ZZ )
146145adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  ZZ )
147 ppiprm 20887 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (π `  ( k  +  1 ) )  =  ( (π `  k )  +  1 ) )
148146, 147sylan 458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (π `  ( k  +  1 ) )  =  ( (π `  k )  +  1 ) )
149148oveq2d 6056 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
( 2  x.  N
) ^ (π `  (
k  +  1 ) ) )  =  ( ( 2  x.  N
) ^ ( (π `  k )  +  1 ) ) )
150125ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
2  x.  N )  e.  CC )
151150, 135expp1d 11479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
( 2  x.  N
) ^ ( (π `  k )  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  N ) ^ (π `  k ) )  x.  ( 2  x.  N
) ) )
152149, 151eqtrd 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
( 2  x.  N
) ^ (π `  (
k  +  1 ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  N ) ^ (π `  k ) )  x.  ( 2  x.  N
) ) )
153152breq2d 4184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  k )  x.  ( 2  x.  N
) )  <_  (
( 2  x.  N
) ^ (π `  (
k  +  1 ) ) )  <->  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
)  x.  ( 2  x.  N ) )  <_  ( ( ( 2  x.  N ) ^ (π `  k ) )  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )
154144, 153bitr4d 248 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 k )  <_ 
( ( 2  x.  N ) ^ (π `  k ) )  <->  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
)  x.  ( 2  x.  N ) )  <_  ( ( 2  x.  N ) ^
(π `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
155 simpr 448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN )
156155, 5syl6eleq 2494 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
157 seqp1 11293 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k )  x.  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )
158156, 157syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k )  x.  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )
159158adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k )  x.  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )
160 peano2nn 9968 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
161160adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  +  1 )  e.  NN )
162 eleq1 2464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
n  e.  Prime  <->  ( k  +  1 )  e. 
Prime ) )
163 id 20 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  n  =  ( k  +  1 ) )
164 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
n  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  =  ( ( k  +  1 )  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )
165163, 164oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
n ^ ( n 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) )  =  ( ( k  +  1 ) ^
( ( k  +  1 )  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) ) ) )
166 eqidd 2405 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  1  =  1 )
167162, 165, 166ifbieq12d 3721 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ (
n  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) ) ,  1 )  =  if ( ( k  +  1 )  e.  Prime ,  ( ( k  +  1 ) ^ ( ( k  +  1 )  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) ) ,  1 ) )
168 ovex 6065 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  +  1 ) ^ ( ( k  +  1 )  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )  e.  _V
169168, 119ifex 3757 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  if ( ( k  +  1 )  e.  Prime ,  ( ( k  +  1 ) ^ ( ( k  +  1 ) 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) ) ,  1 )  e. 
_V
170167, 1, 169fvmpt 5765 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  +  1 )  e.  NN  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  =  if ( ( k  +  1 )  e.  Prime ,  ( ( k  +  1 ) ^ ( ( k  +  1 )  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) ) ,  1 ) )
171161, 170syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 ( k  +  1 ) )  =  if ( ( k  +  1 )  e. 
Prime ,  ( (
k  +  1 ) ^ ( ( k  +  1 )  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) ) ,  1 ) )
172 iftrue 3705 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  +  1 )  e.  Prime  ->  if ( ( k  +  1 )  e.  Prime ,  ( ( k  +  1 ) ^ ( ( k  +  1 ) 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) ) ,  1 )  =  ( ( k  +  1 ) ^ (
( k  +  1 )  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) ) )
173171, 172sylan9eq 2456 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( k  +  1 ) ^
( ( k  +  1 )  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) ) ) )
1747adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  N  e.  NN )
175 bposlem1 21021 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  e.  Prime )  ->  ( ( k  +  1 ) ^ (
( k  +  1 )  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) )  <_  ( 2  x.  N ) )
176174, 175sylan 458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
( k  +  1 ) ^ ( ( k  +  1 ) 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) )  <_  ( 2  x.  N ) )
177173, 176eqbrtrd 4192 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( 2  x.  N ) )
17815simpld 446 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F : NN --> NN )
179 ffvelrn 5827 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  ( k  +  1 )  e.  NN )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  NN )
180178, 160, 179syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 ( k  +  1 ) )  e.  NN )
181180nnred 9971 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 ( k  +  1 ) )  e.  RR )
182181adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
18323ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
2  x.  N )  e.  RR )
184 nnre 9963 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k )  e.  NN  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 k )  e.  RR )
185 nngt0 9985 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k )  e.  NN  ->  0  <  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
) )
186184, 185jca 519 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k )  e.  NN  ->  ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  k )  e.  RR  /\  0  < 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 k ) ) )
187128, 186syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k )  e.  RR  /\  0  <  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
) ) )
188187adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 k )  e.  RR  /\  0  < 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 k ) ) )
189 lemul2 9819 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  (
k  +  1 ) )  e.  RR  /\  ( 2  x.  N
)  e.  RR  /\  ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  k )  e.  RR  /\  0  < 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 k ) ) )  ->  ( ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( 2  x.  N )  <->  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
)  x.  ( F `
 ( k  +  1 ) ) )  <_  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
)  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )
190182, 183, 188, 189syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
( F `  (
k  +  1 ) )  <_  ( 2  x.  N )  <->  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
)  x.  ( F `
 ( k  +  1 ) ) )  <_  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
)  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )
191177, 190mpbid 202 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 k )  x.  ( F `  (
k  +  1 ) ) )  <_  (
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 k )  x.  ( 2  x.  N
) ) )
192159, 191eqbrtrd 4192 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  (
k  +  1 ) )  <_  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
)  x.  ( 2  x.  N ) ) )
193 ffvelrn 5827 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) : NN --> NN  /\  (
k  +  1 )  e.  NN )  -> 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 ( k  +  1 ) )  e.  NN )
19416, 160, 193syl2an 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  (
k  +  1 ) )  e.  NN )
195194nnred 9971 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  (
k  +  1 ) )  e.  RR )
19626adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 2  x.  N )  e.  NN )
197128, 196nnmulcld 10003 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k )  x.  (
2  x.  N ) )  e.  NN )
198197nnred 9971 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k )  x.  (
2  x.  N ) )  e.  RR )
199161nnred 9971 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  +  1 )  e.  RR )
200 ppicl 20867 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  +  1 )  e.  RR  ->  (π `  ( k  +  1 ) )  e.  NN0 )
201199, 200syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  (π `  (
k  +  1 ) )  e.  NN0 )
202196, 201nnexpcld 11499 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  N ) ^ (π `  ( k  +  1 ) ) )  e.  NN )
203202nnred 9971 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  N ) ^ (π `  ( k  +  1 ) ) )  e.  RR )
204 letr 9123 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 ( k  +  1 ) )  e.  RR  /\  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k )  x.  (
2  x.  N ) )  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  N ) ^ (π `  ( k  +  1 ) ) )  e.  RR )  ->  (
( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  ( k  +  1 ) )  <_  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
)  x.  ( 2  x.  N ) )  /\  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
)  x.  ( 2  x.  N ) )  <_  ( ( 2  x.  N ) ^
(π `  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  (
k  +  1 ) )  <_  ( (
2  x.  N ) ^ (π `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
205195, 198, 203, 204syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 ( k  +  1 ) )  <_ 
( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  k )  x.  ( 2  x.  N
) )  /\  (
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 k )  x.  ( 2  x.  N
) )  <_  (
( 2  x.  N
) ^ (π `  (
k  +  1 ) ) ) )  -> 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 ( k  +  1 ) )  <_ 
( ( 2  x.  N ) ^ (π `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
206205adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  ( k  +  1 ) )  <_  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
)  x.  ( 2  x.  N ) )  /\  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
)  x.  ( 2  x.  N ) )  <_  ( ( 2  x.  N ) ^
(π `  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  (
k  +  1 ) )  <_  ( (
2  x.  N ) ^ (π `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
207192, 206mpand 657 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  k )  x.  ( 2  x.  N
) )  <_  (
( 2  x.  N
) ^ (π `  (
k  +  1 ) ) )  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  (
k  +  1 ) )  <_  ( (
2  x.  N ) ^ (π `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
208154, 207sylbid 207 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 k )  <_ 
( ( 2  x.  N ) ^ (π `  k ) )  -> 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 ( k  +  1 ) )  <_ 
( ( 2  x.  N ) ^ (π `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
209158adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 ( k  +  1 ) )  =  ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  k )  x.  ( F `  (
k  +  1 ) ) ) )
210 iffalse 3706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( k  +  1 )  e.  Prime  ->  if ( ( k  +  1 )  e.  Prime ,  ( ( k  +  1 ) ^ (
( k  +  1 )  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) ) ,  1 )  =  1 )
211171, 210sylan9eq 2456 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  Prime )  ->  ( F `  (
k  +  1 ) )  =  1 )
212211oveq2d 6056 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  Prime )  ->  ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  k )  x.  ( F `  (
k  +  1 ) ) )  =  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 k )  x.  1 ) )
213128adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 k )  e.  NN )
214213nncnd 9972 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 k )  e.  CC )
215214mulid1d 9061 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  Prime )  ->  ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  k )  x.  1 )  =  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k ) )
216209, 212, 2153eqtrd 2440 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 ( k  +  1 ) )  =  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 k ) )
217 ppinprm 20888 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (π `  ( k  +  1 ) )  =  (π `  k ) )
218146, 217sylan 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (π `  ( k  +  1 ) )  =  (π `  k ) )
219218oveq2d 6056 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  Prime )  ->  ( ( 2  x.  N ) ^ (π `  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( 2  x.  N ) ^ (π `  k ) ) )
220216, 219breq12d 4185 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  Prime )  ->  ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  ( k  +  1 ) )  <_  ( ( 2  x.  N ) ^
(π `  ( k  +  1 ) ) )  <-> 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 k )  <_ 
( ( 2  x.  N ) ^ (π `  k ) ) ) )
221220biimprd 215 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  Prime )  ->  ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  k )  <_  ( ( 2  x.  N ) ^ (π `  k ) )  -> 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 ( k  +  1 ) )  <_ 
( ( 2  x.  N ) ^ (π `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
222208, 221pm2.61dan 767 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k )  <_  (
( 2  x.  N
) ^ (π `  k
) )  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  (
k  +  1 ) )  <_  ( (
2  x.  N ) ^ (π `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
223222expcom 425 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  ( ph  ->  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
)  <_  ( (
2  x.  N ) ^ (π `  k ) )  ->  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  ( k  +  1 ) )  <_  ( ( 2  x.  N ) ^
(π `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
224223a2d 24 . . . 4  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
)  <_  ( (
2  x.  N ) ^ (π `  k ) ) )  ->  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 ( k  +  1 ) )  <_ 
( ( 2  x.  N ) ^ (π `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
22594, 99, 104, 109, 127, 224nnind 9974 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  ( ph  ->  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  M )  <_  ( ( 2  x.  N ) ^ (π `  M ) ) ) )
22675, 225mpcom 34 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 M )  <_ 
( ( 2  x.  N ) ^ (π `  M ) ) )
227 cxpexp 20512 . . . 4  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  CC  /\  (π `
 M )  e. 
NN0 )  ->  (
( 2  x.  N
)  ^ c  (π `  M ) )  =  ( ( 2  x.  N ) ^ (π `  M ) ) )
228125, 80, 227syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  ^ c 
(π `  M ) )  =  ( ( 2  x.  N ) ^
(π `  M ) ) )
22980nn0red 10231 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (π `  M )  e.  RR )
230 nndivre 9991 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  RR  /\  3  e.  NN )  ->  ( M  /  3
)  e.  RR )
23178, 17, 230sylancl 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M  /  3
)  e.  RR )
232 readdcl 9029 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  /  3
)  e.  RR  /\  2  e.  RR )  ->  ( ( M  / 
3 )  +  2 )  e.  RR )
233231, 49, 232sylancl 644 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( M  / 
3 )  +  2 )  e.  RR )
23475nnnn0d 10230 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
235234nn0ge0d 10233 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  M )
236 ppiub 20941 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  -> 
(π `  M )  <_ 
( ( M  / 
3 )  +  2 ) )
23778, 235, 236syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (π `  M )  <_ 
( ( M  / 
3 )  +  2 ) )
23849a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  2  e.  RR )
239 flle 11163 . . . . . . . . 9  |-  ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( sqr `  (
2  x.  N ) ) )  <_  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) )
24029, 239syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) )  <_  ( sqr `  (
2  x.  N ) ) )
24118, 240syl5eqbr 4205 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  <_  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) )
242 3re 10027 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  RR
243 3pos 10040 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  3
244242, 243pm3.2i 442 . . . . . . . . 9  |-  ( 3  e.  RR  /\  0  <  3 )
245244a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 3  e.  RR  /\  0  <  3 ) )
246 lediv1 9831 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  RR  /\  ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  e.  RR  /\  (
3  e.  RR  /\  0  <  3 ) )  ->  ( M  <_ 
( sqr `  (
2  x.  N ) )  <->  ( M  / 
3 )  <_  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 ) ) )
24778, 29, 245, 246syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( M  <_  ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  <->  ( M  /  3 )  <_ 
( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 ) ) )
248241, 247mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M  /  3
)  <_  ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  / 
3 ) )
249231, 84, 238, 248leadd1dd 9596 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( M  / 
3 )  +  2 )  <_  ( (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 ) )
250229, 233, 86, 237, 249letrd 9183 . . . 4  |-  ( ph  ->  (π `  M )  <_ 
( ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  /  3
)  +  2 ) )
25142mulid1i 9048 . . . . . . . 8  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
2527nnge1d 9998 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  <_  N )
253 1re 9046 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR
254 lemul2 9819 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( 1  <_  N 
<->  ( 2  x.  1 )  <_  ( 2  x.  N ) ) )
255253, 51, 254mp3an13 1270 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  RR  ->  (
1  <_  N  <->  ( 2  x.  1 )  <_ 
( 2  x.  N
) ) )
25647, 255syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  <_  N  <->  ( 2  x.  1 )  <_  ( 2  x.  N ) ) )
257252, 256mpbid 202 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  1 )  <_  ( 2  x.  N ) )
258251, 257syl5eqbrr 4206 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  2  <_  ( 2  x.  N ) )
25919eluz1i 10451 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  N )  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( ( 2  x.  N )  e.  ZZ  /\  2  <_ 
( 2  x.  N
) ) )
26022, 258, 259sylanbrc 646 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
261 eluz2b1 10503 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  N )  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( ( 2  x.  N )  e.  ZZ  /\  1  < 
( 2  x.  N
) ) )
262261simprbi 451 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  N )  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  <  ( 2  x.  N ) )
263260, 262syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  <  ( 2  x.  N ) )
26423, 263, 229, 86cxpled 20564 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (π `  M )  <_ 
( ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  /  3
)  +  2 )  <-> 
( ( 2  x.  N )  ^ c 
(π `  M ) )  <_  ( ( 2  x.  N )  ^ c  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 ) ) ) )
265250, 264mpbid 202 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  ^ c 
(π `  M ) )  <_  ( ( 2  x.  N )  ^ c  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 ) ) )
266228, 265eqbrtrrd 4194 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N ) ^ (π `  M ) )  <_ 
( ( 2  x.  N )  ^ c 
( ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  /  3
)  +  2 ) ) )
26777, 82, 87, 226, 266letrd 9183 1  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 M )  <_ 
( ( 2  x.  N )  ^ c 
( ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  /  3
)  +  2 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   E.wrex 2667   ifcif 3699   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    < clt 9076    <_ cle 9077    / cdiv 9633   NNcn 9956   2c2 10005   3c3 10006   5c5 10008   9c9 10012   10c10 10013   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   ...cfz 10999   |_cfl 11156    seq cseq 11278   ^cexp 11337    _C cbc 11548   sqrcsqr 11993   Primecprime 13034    pCnt cpc 13165    ^ c ccxp 20406  πcppi 20829
This theorem is referenced by:  bposlem6  21026
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-ef 12625  df-sin 12627  df-cos 12628  df-pi 12630  df-dvds 12808  df-gcd 12962  df-prm 13035  df-pc 13166  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707  df-log 20407  df-cxp 20408  df-ppi 20835
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