Theorem bposlem5 24295

Description: Lemma for bpos 24300. Bound the product of all small primes in the binomial coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
bpos.1	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` 5 ) )
bpos.2	|- ( ph -> -. E. p e. Prime ( N < p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) )
bpos.3	|- F = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( n ^ ( n pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) ) , 1 ) )
bpos.4	|- K = ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / 3 ) )
bpos.5	|- M = ( |_ ` ( sqr ` ( 2 x. N ) ) )

Assertion

Ref	Expression
bposlem5	|- ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) <_ ( ( 2 x. N ) ^c ( ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) / 3 ) + 2 ) ) )

Distinct variable groups:   F, p   n, p, K   M, p   n, N, p   ph, n, p

Allowed substitution hints:   F( n)   M( n)

Proof of Theorem bposlem5

Dummy variables k x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bpos.3	. . . . . 6 |- F = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( n ^ ( n pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) ) , 1 ) )
2		id 22	. . . . . . . 8 |- ( n e. Prime -> n e. Prime )
3		5nn 10793	. . . . . . . . . . 11 |- 5 e. NN
4		bpos.1	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` 5 ) )
5		eluznn 11252	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 5 e. NN /\ N e. ( ZZ>= ` 5 ) ) -> N e. NN )
6	3, 4, 5	sylancr 676	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. NN )
7	6	nnnn0d 10949	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. NN0 )
8		fzctr 11928	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> N e. ( 0 ... ( 2 x. N ) ) )
9		bccl2 12546	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( 0 ... ( 2 x. N ) ) -> ( ( 2 x. N ) _C N ) e. NN )
10	7, 8, 9	3syl 18	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) _C N ) e. NN )
11		pccl 14878	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. Prime /\ ( ( 2 x. N ) _C N ) e. NN ) -> ( n pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) e. NN0 )
12	2, 10, 11	syl2anr 486	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. Prime ) -> ( n pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) e. NN0 )
13	12	ralrimiva 2809	. . . . . 6 |- ( ph -> A. n e. Prime ( n pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) e. NN0 )
14	1, 13	pcmptcl 14915	. . . . 5 |- ( ph -> ( F : NN --> NN /\ seq 1 ( x. , F ) : NN --> NN ) )
15	14	simprd 470	. . . 4 |- ( ph -> seq 1 ( x. , F ) : NN --> NN )
16		3nn 10791	. . . . 5 |- 3 e. NN
17		bpos.5	. . . . . 6 |- M = ( |_ ` ( sqr ` ( 2 x. N ) ) )
18		2z 10993	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. ZZ
19	6	nnzd 11062	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. ZZ )
20		zmulcl 11009	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 2 x. N ) e. ZZ )
21	18, 19, 20	sylancr 676	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 x. N ) e. ZZ )
22	21	zred 11063	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 2 x. N ) e. RR )
23		2nn 10790	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. NN
24		nnmulcl 10654	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 e. NN /\ N e. NN ) -> ( 2 x. N ) e. NN )
25	23, 6, 24	sylancr 676	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 2 x. N ) e. NN )
26	25	nnrpd 11362	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 x. N ) e. RR+ )
27	26	rpge0d 11368	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 <_ ( 2 x. N ) )
28	22, 27	resqrtcld 13556	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( sqr ` ( 2 x. N ) ) e. RR )
29	28	flcld 12067	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( |_ ` ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) e. ZZ )
30		sqrt9 13414	. . . . . . . . 9 |- ( sqr ` 9 ) = 3
31		9re 10718	. . . . . . . . . . . 12 |- 9 e. RR
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 9 e. RR )
33		10re 10720	. . . . . . . . . . . 12 |- 10 e. RR
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 10 e. RR )
35		lep1 10466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 9 e. RR -> 9 <_ ( 9 + 1 ) )
36	31, 35	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- 9 <_ ( 9 + 1 )
37		df-10 10698	. . . . . . . . . . . . 13 |- 10 = ( 9 + 1 )
38	36, 37	breqtrri 4421	. . . . . . . . . . . 12 |- 9 <_ 10
39	38	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 9 <_ 10 )
40		5cn 10711	. . . . . . . . . . . . 13 |- 5 e. CC
41		2cn 10702	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. CC
42		5t2e10 10787	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 5 x. 2 ) = 10
43	40, 41, 42	mulcomli 9668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 x. 5 ) = 10
44		eluzle 11195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ( ZZ>= ` 5 ) -> 5 <_ N )
45	4, 44	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 5 <_ N )
46	6	nnred 10646	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> N e. RR )
47		5re 10710	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 5 e. RR
48		2re 10701	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 2 e. RR
49		2pos 10723	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 < 2
50	48, 49	pm3.2i 462	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
51		lemul2 10480	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 5 e. RR /\ N e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( 5 <_ N <-> ( 2 x. 5 ) <_ ( 2 x. N ) ) )
52	47, 50, 51	mp3an13 1381	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. RR -> ( 5 <_ N <-> ( 2 x. 5 ) <_ ( 2 x. N ) ) )
53	46, 52	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 5 <_ N <-> ( 2 x. 5 ) <_ ( 2 x. N ) ) )
54	45, 53	mpbid 215	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 2 x. 5 ) <_ ( 2 x. N ) )
55	43, 54	syl5eqbrr 4430	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 10 <_ ( 2 x. N ) )
56	32, 34, 22, 39, 55	letrd 9809	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 9 <_ ( 2 x. N ) )
57		0re 9661	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 e. RR
58		9pos 10733	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 < 9
59	57, 31, 58	ltleii 9775	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 <_ 9
60	31, 59	pm3.2i 462	. . . . . . . . . . 11 |- ( 9 e. RR /\ 0 <_ 9 )
61	22, 27	jca 541	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) e. RR /\ 0 <_ ( 2 x. N ) ) )
62		sqrtle 13401	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 9 e. RR /\ 0 <_ 9 ) /\ ( ( 2 x. N ) e. RR /\ 0 <_ ( 2 x. N ) ) ) -> ( 9 <_ ( 2 x. N ) <-> ( sqr ` 9 ) <_ ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) )
63	60, 61, 62	sylancr 676	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 9 <_ ( 2 x. N ) <-> ( sqr ` 9 ) <_ ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) )
64	56, 63	mpbid 215	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( sqr ` 9 ) <_ ( sqr ` ( 2 x. N ) ) )
65	30, 64	syl5eqbrr 4430	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 3 <_ ( sqr ` ( 2 x. N ) ) )
66		3z 10994	. . . . . . . . 9 |- 3 e. ZZ
67		flge 12074	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) e. RR /\ 3 e. ZZ ) -> ( 3 <_ ( sqr ` ( 2 x. N ) ) <-> 3 <_ ( |_ ` ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) ) )
68	28, 66, 67	sylancl 675	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 3 <_ ( sqr ` ( 2 x. N ) ) <-> 3 <_ ( |_ ` ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) ) )
69	65, 68	mpbid 215	. . . . . . 7 |- ( ph -> 3 <_ ( |_ ` ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) )
70	66	eluz1i 11190	. . . . . . 7 |- ( ( |_ ` ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) e. ( ZZ>= ` 3 ) <-> ( ( |_ ` ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) e. ZZ /\ 3 <_ ( |_ ` ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) ) )
71	29, 69, 70	sylanbrc 677	. . . . . 6 |- ( ph -> ( |_ ` ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) e. ( ZZ>= ` 3 ) )
72	17, 71	syl5eqel 2553	. . . . 5 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` 3 ) )
73		eluznn 11252	. . . . 5 |- ( ( 3 e. NN /\ M e. ( ZZ>= ` 3 ) ) -> M e. NN )
74	16, 72, 73	sylancr 676	. . . 4 |- ( ph -> M e. NN )
75	15, 74	ffvelrnd 6038	. . 3 |- ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) e. NN )
76	75	nnred 10646	. 2 |- ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) e. RR )
77	74	nnred 10646	. . . . 5 |- ( ph -> M e. RR )
78		ppicl 24137	. . . . 5 |- ( M e. RR -> (π ` M ) e. NN0 )
79	77, 78	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> (π ` M ) e. NN0 )
80	25, 79	nnexpcld 12475	. . 3 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) ^ (π ` M ) ) e. NN )
81	80	nnred 10646	. 2 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) ^ (π ` M ) ) e. RR )
82		nndivre 10667	. . . . 5 |- ( ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) e. RR /\ 3 e. NN ) -> ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) / 3 ) e. RR )
83	28, 16, 82	sylancl 675	. . . 4 |- ( ph -> ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) / 3 ) e. RR )
84		readdcl 9640	. . . 4 |- ( ( ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) / 3 ) e. RR /\ 2 e. RR ) -> ( ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) / 3 ) + 2 ) e. RR )
85	83, 48, 84	sylancl 675	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) / 3 ) + 2 ) e. RR )
86	22, 27, 85	recxpcld 23747	. 2 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) ^c ( ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) / 3 ) + 2 ) ) e. RR )
87		fveq2 5879	. . . . . 6 |- ( x = 1 -> ( seq 1 ( x. , F ) ` x ) = ( seq 1 ( x. , F ) ` 1 ) )
88		fveq2 5879	. . . . . . . 8 |- ( x = 1 -> (π ` x ) = (π ` 1 ) )
89		ppi1 24170	. . . . . . . 8 |- (π ` 1 ) = 0
90	88, 89	syl6eq 2521	. . . . . . 7 |- ( x = 1 -> (π ` x ) = 0 )
91	90	oveq2d 6324	. . . . . 6 |- ( x = 1 -> ( ( 2 x. N ) ^ (π ` x ) ) = ( ( 2 x. N ) ^ 0 ) )
92	87, 91	breq12d 4408	. . . . 5 |- ( x = 1 -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` x ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` x ) ) <-> ( seq 1 ( x. , F ) ` 1 ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ 0 ) ) )
93	92	imbi2d 323	. . . 4 |- ( x = 1 -> ( ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` x ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` x ) ) ) <-> ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` 1 ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ 0 ) ) ) )
94		fveq2 5879	. . . . . 6 |- ( x = k -> ( seq 1 ( x. , F ) ` x ) = ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) )
95		fveq2 5879	. . . . . . 7 |- ( x = k -> (π ` x ) = (π ` k ) )
96	95	oveq2d 6324	. . . . . 6 |- ( x = k -> ( ( 2 x. N ) ^ (π ` x ) ) = ( ( 2 x. N ) ^ (π ` k ) ) )
97	94, 96	breq12d 4408	. . . . 5 |- ( x = k -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` x ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` x ) ) <-> ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` k ) ) ) )
98	97	imbi2d 323	. . . 4 |- ( x = k -> ( ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` x ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` x ) ) ) <-> ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` k ) ) ) ) )
99		fveq2 5879	. . . . . 6 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` x ) = ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) )
100		fveq2 5879	. . . . . . 7 |- ( x = ( k + 1 ) -> (π ` x ) = (π ` ( k + 1 ) ) )
101	100	oveq2d 6324	. . . . . 6 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( ( 2 x. N ) ^ (π ` x ) ) = ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) )
102	99, 101	breq12d 4408	. . . . 5 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` x ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` x ) ) <-> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) ) )
103	102	imbi2d 323	. . . 4 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` x ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` x ) ) ) <-> ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
104		fveq2 5879	. . . . . 6 |- ( x = M -> ( seq 1 ( x. , F ) ` x ) = ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) )
105		fveq2 5879	. . . . . . 7 |- ( x = M -> (π ` x ) = (π ` M ) )
106	105	oveq2d 6324	. . . . . 6 |- ( x = M -> ( ( 2 x. N ) ^ (π ` x ) ) = ( ( 2 x. N ) ^ (π ` M ) ) )
107	104, 106	breq12d 4408	. . . . 5 |- ( x = M -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` x ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` x ) ) <-> ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` M ) ) ) )
108	107	imbi2d 323	. . . 4 |- ( x = M -> ( ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` x ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` x ) ) ) <-> ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` M ) ) ) ) )
109		1z 10991	. . . . . . . 8 |- 1 e. ZZ
110		seq1 12264	. . . . . . . 8 |- ( 1 e. ZZ -> ( seq 1 ( x. , F ) ` 1 ) = ( F ` 1 ) )
111	109, 110	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( seq 1 ( x. , F ) ` 1 ) = ( F ` 1 )
112		1nn 10642	. . . . . . . 8 |- 1 e. NN
113		1nprm 14708	. . . . . . . . . . 11 |- -. 1 e. Prime
114		eleq1 2537	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = 1 -> ( n e. Prime <-> 1 e. Prime ) )
115	113, 114	mtbiri 310	. . . . . . . . . 10 |- ( n = 1 -> -. n e. Prime )
116	115	iffalsed 3883	. . . . . . . . 9 |- ( n = 1 -> if ( n e. Prime , ( n ^ ( n pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) ) , 1 ) = 1 )
117		1ex 9656	. . . . . . . . 9 |- 1 e. _V
118	116, 1, 117	fvmpt 5963	. . . . . . . 8 |- ( 1 e. NN -> ( F ` 1 ) = 1 )
119	112, 118	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( F ` 1 ) = 1
120	111, 119	eqtri 2493	. . . . . 6 |- ( seq 1 ( x. , F ) ` 1 ) = 1
121		1le1 10262	. . . . . 6 |- 1 <_ 1
122	120, 121	eqbrtri 4415	. . . . 5 |- ( seq 1 ( x. , F ) ` 1 ) <_ 1
123	21	zcnd 11064	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 2 x. N ) e. CC )
124	123	exp0d 12448	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) ^ 0 ) = 1 )
125	122, 124	syl5breqr 4432	. . . 4 |- ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` 1 ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ 0 ) )
126	15	ffvelrnda 6037	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) e. NN )
127	126	nnred 10646	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) e. RR )
128	127	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) e. RR )
129	25	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( 2 x. N ) e. NN )
130		nnre 10638	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN -> k e. RR )
131	130	ad2antlr 741	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> k e. RR )
132		ppicl 24137	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. RR -> (π ` k ) e. NN0 )
133	131, 132	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> (π ` k ) e. NN0 )
134	129, 133	nnexpcld 12475	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( 2 x. N ) ^ (π ` k ) ) e. NN )
135	134	nnred 10646	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( 2 x. N ) ^ (π ` k ) ) e. RR )
136		nnre 10638	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 x. N ) e. NN -> ( 2 x. N ) e. RR )
137		nngt0 10660	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 x. N ) e. NN -> 0 < ( 2 x. N ) )
138	136, 137	jca 541	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 x. N ) e. NN -> ( ( 2 x. N ) e. RR /\ 0 < ( 2 x. N ) ) )
139	25, 138	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) e. RR /\ 0 < ( 2 x. N ) ) )
140	139	ad2antrr 740	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( 2 x. N ) e. RR /\ 0 < ( 2 x. N ) ) )
141		lemul1 10479	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) e. RR /\ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` k ) ) e. RR /\ ( ( 2 x. N ) e. RR /\ 0 < ( 2 x. N ) ) ) -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` k ) ) <-> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( 2 x. N ) ) <_ ( ( ( 2 x. N ) ^ (π ` k ) ) x. ( 2 x. N ) ) ) )
142	128, 135, 140, 141	syl3anc 1292	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` k ) ) <-> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( 2 x. N ) ) <_ ( ( ( 2 x. N ) ^ (π ` k ) ) x. ( 2 x. N ) ) ) )
143		nnz 10983	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN -> k e. ZZ )
144	143	adantl 473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. ZZ )
145		ppiprm 24157	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k e. ZZ /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> (π ` ( k + 1 ) ) = ( (π ` k ) + 1 ) )
146	144, 145	sylan 479	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> (π ` ( k + 1 ) ) = ( (π ` k ) + 1 ) )
147	146	oveq2d 6324	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) = ( ( 2 x. N ) ^ ( (π ` k ) + 1 ) ) )
148	123	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( 2 x. N ) e. CC )
149	148, 133	expp1d 12455	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( 2 x. N ) ^ ( (π ` k ) + 1 ) ) = ( ( ( 2 x. N ) ^ (π ` k ) ) x. ( 2 x. N ) ) )
150	147, 149	eqtrd 2505	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) = ( ( ( 2 x. N ) ^ (π ` k ) ) x. ( 2 x. N ) ) )
151	150	breq2d 4407	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( 2 x. N ) ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) <-> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( 2 x. N ) ) <_ ( ( ( 2 x. N ) ^ (π ` k ) ) x. ( 2 x. N ) ) ) )
152	142, 151	bitr4d 264	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` k ) ) <-> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( 2 x. N ) ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) ) )
153		simpr 468	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. NN )
154		nnuz 11218	. . . . . . . . . . . . 13 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
155	153, 154	syl6eleq 2559	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. ( ZZ>= ` 1 ) )
156		seqp1 12266	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( F ` ( k + 1 ) ) ) )
157	155, 156	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( F ` ( k + 1 ) ) ) )
158	157	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( F ` ( k + 1 ) ) ) )
159		peano2nn 10643	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. NN -> ( k + 1 ) e. NN )
160	159	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( k + 1 ) e. NN )
161		eleq1 2537	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( n e. Prime <-> ( k + 1 ) e. Prime ) )
162		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = ( k + 1 ) -> n = ( k + 1 ) )
163		oveq1 6315	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( n pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) = ( ( k + 1 ) pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) )
164	162, 163	oveq12d 6326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( n ^ ( n pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) ) = ( ( k + 1 ) ^ ( ( k + 1 ) pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) ) )
165	161, 164	ifbieq1d 3895	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = ( k + 1 ) -> if ( n e. Prime , ( n ^ ( n pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) ) , 1 ) = if ( ( k + 1 ) e. Prime , ( ( k + 1 ) ^ ( ( k + 1 ) pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) ) , 1 ) )
166		ovex 6336	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( k + 1 ) ^ ( ( k + 1 ) pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) ) e. _V
167	166, 117	ifex 3940	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- if ( ( k + 1 ) e. Prime , ( ( k + 1 ) ^ ( ( k + 1 ) pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) ) , 1 ) e. _V
168	165, 1, 167	fvmpt 5963	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k + 1 ) e. NN -> ( F ` ( k + 1 ) ) = if ( ( k + 1 ) e. Prime , ( ( k + 1 ) ^ ( ( k + 1 ) pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) ) , 1 ) )
169	160, 168	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) = if ( ( k + 1 ) e. Prime , ( ( k + 1 ) ^ ( ( k + 1 ) pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) ) , 1 ) )
170		iftrue 3878	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k + 1 ) e. Prime -> if ( ( k + 1 ) e. Prime , ( ( k + 1 ) ^ ( ( k + 1 ) pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) ) , 1 ) = ( ( k + 1 ) ^ ( ( k + 1 ) pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) ) )
171	169, 170	sylan9eq 2525	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) = ( ( k + 1 ) ^ ( ( k + 1 ) pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) ) )
172	6	adantr 472	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> N e. NN )
173		bposlem1 24291	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( k + 1 ) ^ ( ( k + 1 ) pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) ) <_ ( 2 x. N ) )
174	172, 173	sylan 479	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( k + 1 ) ^ ( ( k + 1 ) pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) ) <_ ( 2 x. N ) )
175	171, 174	eqbrtrd 4416	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( 2 x. N ) )
176	14	simpld 466	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> F : NN --> NN )
177		ffvelrn 6035	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F : NN --> NN /\ ( k + 1 ) e. NN ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. NN )
178	176, 159, 177	syl2an 485	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. NN )
179	178	nnred 10646	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. RR )
180	179	adantr 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. RR )
181	22	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( 2 x. N ) e. RR )
182		nnre 10638	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) e. NN -> ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) e. RR )
183		nngt0 10660	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) e. NN -> 0 < ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) )
184	182, 183	jca 541	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) e. NN -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) e. RR /\ 0 < ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) )
185	126, 184	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) e. RR /\ 0 < ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) )
186	185	adantr 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) e. RR /\ 0 < ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) )
187		lemul2 10480	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F ` ( k + 1 ) ) e. RR /\ ( 2 x. N ) e. RR /\ ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) e. RR /\ 0 < ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) ) -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( 2 x. N ) <-> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( 2 x. N ) ) ) )
188	180, 181, 186, 187	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( 2 x. N ) <-> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( 2 x. N ) ) ) )
189	175, 188	mpbid 215	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( 2 x. N ) ) )
190	158, 189	eqbrtrd 4416	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) <_ ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( 2 x. N ) ) )
191		ffvelrn 6035	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( seq 1 ( x. , F ) : NN --> NN /\ ( k + 1 ) e. NN ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) e. NN )
192	15, 159, 191	syl2an 485	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) e. NN )
193	192	nnred 10646	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) e. RR )
194	25	adantr 472	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( 2 x. N ) e. NN )
195	126, 194	nnmulcld 10679	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( 2 x. N ) ) e. NN )
196	195	nnred 10646	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( 2 x. N ) ) e. RR )
197	160	nnred 10646	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( k + 1 ) e. RR )
198		ppicl 24137	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k + 1 ) e. RR -> (π ` ( k + 1 ) ) e. NN0 )
199	197, 198	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> (π ` ( k + 1 ) ) e. NN0 )
200	194, 199	nnexpcld 12475	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) e. NN )
201	200	nnred 10646	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) e. RR )
202		letr 9745	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) e. RR /\ ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( 2 x. N ) ) e. RR /\ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) e. RR ) -> ( ( ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) <_ ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( 2 x. N ) ) /\ ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( 2 x. N ) ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) ) )
203	193, 196, 201, 202	syl3anc 1292	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) <_ ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( 2 x. N ) ) /\ ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( 2 x. N ) ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) ) )
204	203	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) <_ ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( 2 x. N ) ) /\ ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( 2 x. N ) ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) ) )
205	190, 204	mpand 689	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( 2 x. N ) ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) ) )
206	152, 205	sylbid 223	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` k ) ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) ) )
207	157	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ -. ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( F ` ( k + 1 ) ) ) )
208		iffalse 3881	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. ( k + 1 ) e. Prime -> if ( ( k + 1 ) e. Prime , ( ( k + 1 ) ^ ( ( k + 1 ) pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) ) , 1 ) = 1 )
209	169, 208	sylan9eq 2525	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ -. ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) = 1 )
210	209	oveq2d 6324	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ -. ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( F ` ( k + 1 ) ) ) = ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. 1 ) )
211	126	adantr 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ -. ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) e. NN )
212	211	nncnd 10647	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ -. ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) e. CC )
213	212	mulid1d 9678	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ -. ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. 1 ) = ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) )
214	207, 210, 213	3eqtrd 2509	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ -. ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) = ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) )
215		ppinprm 24158	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. ZZ /\ -. ( k + 1 ) e. Prime ) -> (π ` ( k + 1 ) ) = (π ` k ) )
216	144, 215	sylan 479	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ -. ( k + 1 ) e. Prime ) -> (π ` ( k + 1 ) ) = (π ` k ) )
217	216	oveq2d 6324	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ -. ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) = ( ( 2 x. N ) ^ (π ` k ) ) )
218	214, 217	breq12d 4408	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ -. ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) <-> ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` k ) ) ) )
219	218	biimprd 231	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ -. ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` k ) ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) ) )
220	206, 219	pm2.61dan 808	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` k ) ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) ) )
221	220	expcom 442	. . . . 5 |- ( k e. NN -> ( ph -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` k ) ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
222	221	a2d 28	. . . 4 |- ( k e. NN -> ( ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` k ) ) ) -> ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
223	93, 98, 103, 108, 125, 222	nnind 10649	. . 3 |- ( M e. NN -> ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` M ) ) ) )
224	74, 223	mpcom 36	. 2 |- ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` M ) ) )
225		cxpexp 23692	. . . 4 |- ( ( ( 2 x. N ) e. CC /\ (π ` M ) e. NN0 ) -> ( ( 2 x. N ) ^c (π ` M ) ) = ( ( 2 x. N ) ^ (π ` M ) ) )
226	123, 79, 225	syl2anc 673	. . 3 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) ^c (π ` M ) ) = ( ( 2 x. N ) ^ (π ` M ) ) )
227	79	nn0red 10950	. . . . 5 |- ( ph -> (π ` M ) e. RR )
228		nndivre 10667	. . . . . . 7 |- ( ( M e. RR /\ 3 e. NN ) -> ( M / 3 ) e. RR )
229	77, 16, 228	sylancl 675	. . . . . 6 |- ( ph -> ( M / 3 ) e. RR )
230		readdcl 9640	. . . . . 6 |- ( ( ( M / 3 ) e. RR /\ 2 e. RR ) -> ( ( M / 3 ) + 2 ) e. RR )
231	229, 48, 230	sylancl 675	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( M / 3 ) + 2 ) e. RR )
232	74	nnnn0d 10949	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. NN0 )
233	232	nn0ge0d 10952	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 <_ M )
234		ppiub 24211	. . . . . 6 |- ( ( M e. RR /\ 0 <_ M ) -> (π ` M ) <_ ( ( M / 3 ) + 2 ) )
235	77, 233, 234	syl2anc 673	. . . . 5 |- ( ph -> (π ` M ) <_ ( ( M / 3 ) + 2 ) )
236	48	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> 2 e. RR )
237		flle 12068	. . . . . . . . 9 |- ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) e. RR -> ( |_ ` ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) <_ ( sqr ` ( 2 x. N ) ) )
238	28, 237	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( |_ ` ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) <_ ( sqr ` ( 2 x. N ) ) )
239	17, 238	syl5eqbr 4429	. . . . . . 7 |- ( ph -> M <_ ( sqr ` ( 2 x. N ) ) )
240		3re 10705	. . . . . . . . . 10 |- 3 e. RR
241		3pos 10725	. . . . . . . . . 10 |- 0 < 3
242	240, 241	pm3.2i 462	. . . . . . . . 9 |- ( 3 e. RR /\ 0 < 3 )
243	242	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 3 e. RR /\ 0 < 3 ) )
244		lediv1 10492	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. RR /\ ( sqr ` ( 2 x. N ) ) e. RR /\ ( 3 e. RR /\ 0 < 3 ) ) -> ( M <_ ( sqr ` ( 2 x. N ) ) <-> ( M / 3 ) <_ ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) / 3 ) ) )
245	77, 28, 243, 244	syl3anc 1292	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( M <_ ( sqr ` ( 2 x. N ) ) <-> ( M / 3 ) <_ ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) / 3 ) ) )
246	239, 245	mpbid 215	. . . . . 6 |- ( ph -> ( M / 3 ) <_ ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) / 3 ) )
247	229, 83, 236, 246	leadd1dd 10248	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( M / 3 ) + 2 ) <_ ( ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) / 3 ) + 2 ) )
248	227, 231, 85, 235, 247	letrd 9809	. . . 4 |- ( ph -> (π ` M ) <_ ( ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) / 3 ) + 2 ) )
249		2t1e2 10781	. . . . . . . 8 |- ( 2 x. 1 ) = 2
250	6	nnge1d 10674	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 1 <_ N )
251		1re 9660	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. RR
252		lemul2 10480	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 e. RR /\ N e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( 1 <_ N <-> ( 2 x. 1 ) <_ ( 2 x. N ) ) )
253	251, 50, 252	mp3an13 1381	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. RR -> ( 1 <_ N <-> ( 2 x. 1 ) <_ ( 2 x. N ) ) )
254	46, 253	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 <_ N <-> ( 2 x. 1 ) <_ ( 2 x. N ) ) )
255	250, 254	mpbid 215	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 2 x. 1 ) <_ ( 2 x. N ) )
256	249, 255	syl5eqbrr 4430	. . . . . . 7 |- ( ph -> 2 <_ ( 2 x. N ) )
257	18	eluz1i 11190	. . . . . . 7 |- ( ( 2 x. N ) e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( ( 2 x. N ) e. ZZ /\ 2 <_ ( 2 x. N ) ) )
258	21, 256, 257	sylanbrc 677	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 2 x. N ) e. ( ZZ>= ` 2 ) )
259		eluz2b1 11253	. . . . . . 7 |- ( ( 2 x. N ) e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( ( 2 x. N ) e. ZZ /\ 1 < ( 2 x. N ) ) )
260	259	simprbi 471	. . . . . 6 |- ( ( 2 x. N ) e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 < ( 2 x. N ) )
261	258, 260	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> 1 < ( 2 x. N ) )
262	22, 261, 227, 85	cxpled 23744	. . . 4 |- ( ph -> ( (π ` M ) <_ ( ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) / 3 ) + 2 ) <-> ( ( 2 x. N ) ^c (π ` M ) ) <_ ( ( 2 x. N ) ^c ( ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) / 3 ) + 2 ) ) ) )
263	248, 262	mpbid 215	. . 3 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) ^c (π ` M ) ) <_ ( ( 2 x. N ) ^c ( ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) / 3 ) + 2 ) ) )
264	226, 263	eqbrtrrd 4418	. 2 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) ^ (π ` M ) ) <_ ( ( 2 x. N ) ^c ( ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) / 3 ) + 2 ) ) )
265	76, 81, 86, 224, 264	letrd 9809	1 |- ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) <_ ( ( 2 x. N ) ^c ( ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) / 3 ) + 2 ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   = wceq 1452   e. wcel 1904   E.wrex 2757   ifcif 3872   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4454   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558   + caddc 9560   x. cmul 9562   < clt 9693   <_ cle 9694   / cdiv 10291   NNcn 10631   2c2 10681   3c3 10682   5c5 10684   9c9 10688   10c10 10689   NN0cn0 10893   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   ...cfz 11810   |_cfl 12059   seqcseq 12251   ^cexp 12310   _C cbc 12525   sqrcsqrt 13373   Primecprime 14701   pCnt cpc 14865   ^c ccxp 23584  πcppi 24099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-ef 14198  df-sin 14200  df-cos 14201  df-pi 14203  df-dvds 14383  df-gcd 14548  df-prm 14702  df-pc 14866  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901  df-log 23585  df-cxp 23586  df-ppi 24105

This theorem is referenced by:  bposlem6  24296