Theorem bposlem2 22604

Description: There are no odd primes in the range ( 2 N / 3 , N ] dividing the N-th central binomial coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
bposlem2.1	|- ( ph -> N e. NN )
bposlem2.2	|- ( ph -> P e. Prime )
bposlem2.3	|- ( ph -> 2 < P )
bposlem2.4	|- ( ph -> ( ( 2 x. N ) / 3 ) < P )
bposlem2.5	|- ( ph -> P <_ N )

Assertion

Ref	Expression
bposlem2	|- ( ph -> ( P pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) = 0 )

Proof of Theorem bposlem2

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bposlem2.1	. . 3 |- ( ph -> N e. NN )
2		bposlem2.2	. . 3 |- ( ph -> P e. Prime )
3		pcbcctr 22595	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ P e. Prime ) -> ( P pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) = sum_ k e. ( 1 ... ( 2 x. N ) ) ( ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) ) - ( 2 x. ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) ) ) )
4	1, 2, 3	syl2anc 661	. 2 |- ( ph -> ( P pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) = sum_ k e. ( 1 ... ( 2 x. N ) ) ( ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) ) - ( 2 x. ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) ) ) )
5		elfznn 11470	. . . . . 6 |- ( k e. ( 1 ... ( 2 x. N ) ) -> k e. NN )
6		elnn1uz2 10923	. . . . . 6 |- ( k e. NN <-> ( k = 1 \/ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
7	5, 6	sylib 196	. . . . 5 |- ( k e. ( 1 ... ( 2 x. N ) ) -> ( k = 1 \/ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
8		oveq2 6094	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = 1 -> ( P ^ k ) = ( P ^ 1 ) )
9		prmnn 13758	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
10	2, 9	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> P e. NN )
11	10	nncnd 10330	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> P e. CC )
12	11	exp1d 11995	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( P ^ 1 ) = P )
13	8, 12	sylan9eqr 2492	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k = 1 ) -> ( P ^ k ) = P )
14	13	oveq2d 6102	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k = 1 ) -> ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) = ( ( 2 x. N ) / P ) )
15	14	fveq2d 5690	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k = 1 ) -> ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) ) = ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / P ) ) )
16		2t1e2 10462	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 2 x. 1 ) = 2
17	11	mulid2d 9396	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( 1 x. P ) = P )
18		bposlem2.5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> P <_ N )
19	17, 18	eqbrtrd 4307	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( 1 x. P ) <_ N )
20		1red 9393	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> 1 e. RR )
21	1	nnred 10329	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> N e. RR )
22	10	nnred 10329	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> P e. RR )
23	10	nngt0d 10357	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> 0 < P )
24		lemuldiv 10203	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 e. RR /\ N e. RR /\ ( P e. RR /\ 0 < P ) ) -> ( ( 1 x. P ) <_ N <-> 1 <_ ( N / P ) ) )
25	20, 21, 22, 23, 24	syl112anc 1222	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( 1 x. P ) <_ N <-> 1 <_ ( N / P ) ) )
26	19, 25	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 1 <_ ( N / P ) )
27	21, 10	nndivred 10362	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( N / P ) e. RR )
28		1re 9377	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. RR
29		2re 10383	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 2 e. RR
30		2pos 10405	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 0 < 2
31	29, 30	pm3.2i 455	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
32		lemul2 10174	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 e. RR /\ ( N / P ) e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( 1 <_ ( N / P ) <-> ( 2 x. 1 ) <_ ( 2 x. ( N / P ) ) ) )
33	28, 31, 32	mp3an13 1305	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N / P ) e. RR -> ( 1 <_ ( N / P ) <-> ( 2 x. 1 ) <_ ( 2 x. ( N / P ) ) ) )
34	27, 33	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 1 <_ ( N / P ) <-> ( 2 x. 1 ) <_ ( 2 x. ( N / P ) ) ) )
35	26, 34	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 2 x. 1 ) <_ ( 2 x. ( N / P ) ) )
36	16, 35	syl5eqbrr 4321	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 2 <_ ( 2 x. ( N / P ) ) )
37		2cnd 10386	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 2 e. CC )
38	1	nncnd 10330	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> N e. CC )
39	10	nnne0d 10358	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> P =/= 0 )
40	37, 38, 11, 39	divassd 10134	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) / P ) = ( 2 x. ( N / P ) ) )
41	36, 40	breqtrrd 4313	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 2 <_ ( ( 2 x. N ) / P ) )
42		bposlem2.4	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) / 3 ) < P )
43		2nn 10471	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 2 e. NN
44		nnmulcl 10337	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 2 e. NN /\ N e. NN ) -> ( 2 x. N ) e. NN )
45	43, 1, 44	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( 2 x. N ) e. NN )
46	45	nnred 10329	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 2 x. N ) e. RR )
47		3re 10387	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 3 e. RR
48		3pos 10407	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 < 3
49	47, 48	pm3.2i 455	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 3 e. RR /\ 0 < 3 )
50		ltdiv23 10215	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( 2 x. N ) e. RR /\ ( 3 e. RR /\ 0 < 3 ) /\ ( P e. RR /\ 0 < P ) ) -> ( ( ( 2 x. N ) / 3 ) < P <-> ( ( 2 x. N ) / P ) < 3 ) )
51	49, 50	mp3an2 1302	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( 2 x. N ) e. RR /\ ( P e. RR /\ 0 < P ) ) -> ( ( ( 2 x. N ) / 3 ) < P <-> ( ( 2 x. N ) / P ) < 3 ) )
52	46, 22, 23, 51	syl12anc 1216	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. N ) / 3 ) < P <-> ( ( 2 x. N ) / P ) < 3 ) )
53	42, 52	mpbid 210	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) / P ) < 3 )
54		df-3 10373	. . . . . . . . . . . 12 |- 3 = ( 2 + 1 )
55	53, 54	syl6breq 4326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) / P ) < ( 2 + 1 ) )
56	46, 10	nndivred 10362	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) / P ) e. RR )
57		2z 10670	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. ZZ
58		flbi 11656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( 2 x. N ) / P ) e. RR /\ 2 e. ZZ ) -> ( ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / P ) ) = 2 <-> ( 2 <_ ( ( 2 x. N ) / P ) /\ ( ( 2 x. N ) / P ) < ( 2 + 1 ) ) ) )
59	56, 57, 58	sylancl 662	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / P ) ) = 2 <-> ( 2 <_ ( ( 2 x. N ) / P ) /\ ( ( 2 x. N ) / P ) < ( 2 + 1 ) ) ) )
60	41, 55, 59	mpbir2and 913	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / P ) ) = 2 )
61	60	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k = 1 ) -> ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / P ) ) = 2 )
62	15, 61	eqtrd 2470	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k = 1 ) -> ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) ) = 2 )
63	13	oveq2d 6102	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k = 1 ) -> ( N / ( P ^ k ) ) = ( N / P ) )
64	63	fveq2d 5690	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k = 1 ) -> ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) = ( |_ ` ( N / P ) ) )
65		remulcl 9359	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 2 e. RR /\ ( N / P ) e. RR ) -> ( 2 x. ( N / P ) ) e. RR )
66	29, 27, 65	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( 2 x. ( N / P ) ) e. RR )
67	47	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> 3 e. RR )
68		4re 10390	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 4 e. RR
69	68	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> 4 e. RR )
70	40, 53	eqbrtrrd 4309	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( 2 x. ( N / P ) ) < 3 )
71		3lt4 10483	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 3 < 4
72	71	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> 3 < 4 )
73	66, 67, 69, 70, 72	lttrd 9524	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( 2 x. ( N / P ) ) < 4 )
74		2t2e4 10463	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 2 x. 2 ) = 4
75	73, 74	syl6breqr 4327	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( 2 x. ( N / P ) ) < ( 2 x. 2 ) )
76		ltmul2 10172	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( N / P ) e. RR /\ 2 e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( N / P ) < 2 <-> ( 2 x. ( N / P ) ) < ( 2 x. 2 ) ) )
77	29, 31, 76	mp3an23 1306	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N / P ) e. RR -> ( ( N / P ) < 2 <-> ( 2 x. ( N / P ) ) < ( 2 x. 2 ) ) )
78	27, 77	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( N / P ) < 2 <-> ( 2 x. ( N / P ) ) < ( 2 x. 2 ) ) )
79	75, 78	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( N / P ) < 2 )
80		df-2 10372	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 = ( 1 + 1 )
81	79, 80	syl6breq 4326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( N / P ) < ( 1 + 1 ) )
82		1z 10668	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. ZZ
83		flbi 11656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N / P ) e. RR /\ 1 e. ZZ ) -> ( ( |_ ` ( N / P ) ) = 1 <-> ( 1 <_ ( N / P ) /\ ( N / P ) < ( 1 + 1 ) ) ) )
84	27, 82, 83	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( |_ ` ( N / P ) ) = 1 <-> ( 1 <_ ( N / P ) /\ ( N / P ) < ( 1 + 1 ) ) ) )
85	26, 81, 84	mpbir2and 913	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( |_ ` ( N / P ) ) = 1 )
86	85	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k = 1 ) -> ( |_ ` ( N / P ) ) = 1 )
87	64, 86	eqtrd 2470	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k = 1 ) -> ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) = 1 )
88	87	oveq2d 6102	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k = 1 ) -> ( 2 x. ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) ) = ( 2 x. 1 ) )
89	88, 16	syl6eq 2486	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k = 1 ) -> ( 2 x. ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) ) = 2 )
90	62, 89	oveq12d 6104	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k = 1 ) -> ( ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) ) - ( 2 x. ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) ) ) = ( 2 - 2 ) )
91		2cn 10384	. . . . . . . 8 |- 2 e. CC
92	91	subidi 9671	. . . . . . 7 |- ( 2 - 2 ) = 0
93	90, 92	syl6eq 2486	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k = 1 ) -> ( ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) ) - ( 2 x. ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) ) ) = 0 )
94	45	nnrpd 11018	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 2 x. N ) e. RR+ )
95	94	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( 2 x. N ) e. RR+ )
96		2nn0 10588	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. NN0
97		eluznn0 10916	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 2 e. NN0 /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> k e. NN0 )
98	96, 97	mpan 670	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( ZZ>= ` 2 ) -> k e. NN0 )
99		nnexpcl 11870	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( P e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( P ^ k ) e. NN )
100	10, 98, 99	syl2an 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( P ^ k ) e. NN )
101	100	nnrpd 11018	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( P ^ k ) e. RR+ )
102	95, 101	rpdivcld 11036	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) e. RR+ )
103	102	rpge0d 11023	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> 0 <_ ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) )
104	46	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( 2 x. N ) e. RR )
105		remulcl 9359	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 3 e. RR /\ P e. RR ) -> ( 3 x. P ) e. RR )
106	47, 22, 105	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 3 x. P ) e. RR )
107	106	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( 3 x. P ) e. RR )
108	100	nnred 10329	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( P ^ k ) e. RR )
109		ltdivmul 10196	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( 2 x. N ) e. RR /\ P e. RR /\ ( 3 e. RR /\ 0 < 3 ) ) -> ( ( ( 2 x. N ) / 3 ) < P <-> ( 2 x. N ) < ( 3 x. P ) ) )
110	49, 109	mp3an3 1303	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( 2 x. N ) e. RR /\ P e. RR ) -> ( ( ( 2 x. N ) / 3 ) < P <-> ( 2 x. N ) < ( 3 x. P ) ) )
111	46, 22, 110	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. N ) / 3 ) < P <-> ( 2 x. N ) < ( 3 x. P ) ) )
112	42, 111	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 2 x. N ) < ( 3 x. P ) )
113	112	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( 2 x. N ) < ( 3 x. P ) )
114	22, 22	remulcld 9406	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( P x. P ) e. RR )
115	114	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( P x. P ) e. RR )
116		bposlem2.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> 2 < P )
117		nnltp1le 10692	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 2 e. NN /\ P e. NN ) -> ( 2 < P <-> ( 2 + 1 ) <_ P ) )
118	43, 10, 117	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( 2 < P <-> ( 2 + 1 ) <_ P ) )
119	116, 118	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( 2 + 1 ) <_ P )
120	54, 119	syl5eqbr 4320	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> 3 <_ P )
121		lemul1 10173	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 3 e. RR /\ P e. RR /\ ( P e. RR /\ 0 < P ) ) -> ( 3 <_ P <-> ( 3 x. P ) <_ ( P x. P ) ) )
122	47, 121	mp3an1 1301	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( P e. RR /\ ( P e. RR /\ 0 < P ) ) -> ( 3 <_ P <-> ( 3 x. P ) <_ ( P x. P ) ) )
123	22, 22, 23, 122	syl12anc 1216	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( 3 <_ P <-> ( 3 x. P ) <_ ( P x. P ) ) )
124	120, 123	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( 3 x. P ) <_ ( P x. P ) )
125	124	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( 3 x. P ) <_ ( P x. P ) )
126	11	sqvald 11997	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( P ^ 2 ) = ( P x. P ) )
127	126	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( P ^ 2 ) = ( P x. P ) )
128	22	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> P e. RR )
129	10	nnge1d 10356	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> 1 <_ P )
130	129	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> 1 <_ P )
131		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> k e. ( ZZ>= ` 2 ) )
132	128, 130, 131	leexp2ad 12032	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( P ^ 2 ) <_ ( P ^ k ) )
133	127, 132	eqbrtrrd 4309	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( P x. P ) <_ ( P ^ k ) )
134	107, 115, 108, 125, 133	letrd 9520	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( 3 x. P ) <_ ( P ^ k ) )
135	104, 107, 108, 113, 134	ltletrd 9523	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( 2 x. N ) < ( P ^ k ) )
136	100	nncnd 10330	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( P ^ k ) e. CC )
137	136	mulid1d 9395	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( P ^ k ) x. 1 ) = ( P ^ k ) )
138	135, 137	breqtrrd 4313	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( 2 x. N ) < ( ( P ^ k ) x. 1 ) )
139		1red 9393	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> 1 e. RR )
140	104, 139, 101	ltdivmuld 11066	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) < 1 <-> ( 2 x. N ) < ( ( P ^ k ) x. 1 ) ) )
141	138, 140	mpbird 232	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) < 1 )
142		1e0p1 10775	. . . . . . . . . 10 |- 1 = ( 0 + 1 )
143	141, 142	syl6breq 4326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) < ( 0 + 1 ) )
144	102	rpred 11019	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) e. RR )
145		0z 10649	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. ZZ
146		flbi 11656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) e. RR /\ 0 e. ZZ ) -> ( ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) ) = 0 <-> ( 0 <_ ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) /\ ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) < ( 0 + 1 ) ) ) )
147	144, 145, 146	sylancl 662	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) ) = 0 <-> ( 0 <_ ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) /\ ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) < ( 0 + 1 ) ) ) )
148	103, 143, 147	mpbir2and 913	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) ) = 0 )
149	1	nnrpd 11018	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> N e. RR+ )
150	149	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> N e. RR+ )
151	150, 101	rpdivcld 11036	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( N / ( P ^ k ) ) e. RR+ )
152	151	rpge0d 11023	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> 0 <_ ( N / ( P ^ k ) ) )
153	21	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> N e. RR )
154	21, 149	ltaddrpd 11048	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> N < ( N + N ) )
155	38	2timesd 10559	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( 2 x. N ) = ( N + N ) )
156	154, 155	breqtrrd 4313	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> N < ( 2 x. N ) )
157	156	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> N < ( 2 x. N ) )
158	153, 104, 108, 157, 135	lttrd 9524	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> N < ( P ^ k ) )
159	158, 137	breqtrrd 4313	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> N < ( ( P ^ k ) x. 1 ) )
160	153, 139, 101	ltdivmuld 11066	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( N / ( P ^ k ) ) < 1 <-> N < ( ( P ^ k ) x. 1 ) ) )
161	159, 160	mpbird 232	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( N / ( P ^ k ) ) < 1 )
162	161, 142	syl6breq 4326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( N / ( P ^ k ) ) < ( 0 + 1 ) )
163	151	rpred 11019	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( N / ( P ^ k ) ) e. RR )
164		flbi 11656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N / ( P ^ k ) ) e. RR /\ 0 e. ZZ ) -> ( ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) = 0 <-> ( 0 <_ ( N / ( P ^ k ) ) /\ ( N / ( P ^ k ) ) < ( 0 + 1 ) ) ) )
165	163, 145, 164	sylancl 662	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) = 0 <-> ( 0 <_ ( N / ( P ^ k ) ) /\ ( N / ( P ^ k ) ) < ( 0 + 1 ) ) ) )
166	152, 162, 165	mpbir2and 913	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) = 0 )
167	166	oveq2d 6102	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( 2 x. ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) ) = ( 2 x. 0 ) )
168		2t0e0 10469	. . . . . . . . 9 |- ( 2 x. 0 ) = 0
169	167, 168	syl6eq 2486	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( 2 x. ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) ) = 0 )
170	148, 169	oveq12d 6104	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) ) - ( 2 x. ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) ) ) = ( 0 - 0 ) )
171		0m0e0 10423	. . . . . . 7 |- ( 0 - 0 ) = 0
172	170, 171	syl6eq 2486	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) ) - ( 2 x. ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) ) ) = 0 )
173	93, 172	jaodan 783	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( k = 1 \/ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) ) -> ( ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) ) - ( 2 x. ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) ) ) = 0 )
174	7, 173	sylan2 474	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( 2 x. N ) ) ) -> ( ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) ) - ( 2 x. ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) ) ) = 0 )
175	174	sumeq2dv 13172	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. ( 1 ... ( 2 x. N ) ) ( ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) ) - ( 2 x. ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) ) ) = sum_ k e. ( 1 ... ( 2 x. N ) ) 0 )
176		fzfid 11787	. . . 4 |- ( ph -> ( 1 ... ( 2 x. N ) ) e. Fin )
177		sumz 13191	. . . . 5 |- ( ( ( 1 ... ( 2 x. N ) ) C_ ( ZZ>= ` 1 ) \/ ( 1 ... ( 2 x. N ) ) e. Fin ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( 2 x. N ) ) 0 = 0 )
178	177	olcs 395	. . . 4 |- ( ( 1 ... ( 2 x. N ) ) e. Fin -> sum_ k e. ( 1 ... ( 2 x. N ) ) 0 = 0 )
179	176, 178	syl 16	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. ( 1 ... ( 2 x. N ) ) 0 = 0 )
180	175, 179	eqtrd 2470	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. ( 1 ... ( 2 x. N ) ) ( ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) ) - ( 2 x. ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) ) ) = 0 )
181	4, 180	eqtrd 2470	1 |- ( ph -> ( P pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) = 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   C_ wss 3323   class class class wbr 4287   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   Fincfn 7302   RRcr 9273   0cc0 9274   1c1 9275   + caddc 9277   x. cmul 9279   < clt 9410   <_ cle 9411   - cmin 9587   / cdiv 9985   NNcn 10314   2c2 10363   3c3 10364   4c4 10365   NN0cn0 10571   ZZcz 10638   ZZ>=cuz 10853   RR+crp 10983   ...cfz 11429   |_cfl 11632   ^cexp 11857   _C cbc 12070   sum_csu 13155   Primecprime 13755   pCnt cpc 13895

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-fl 11634  df-mod 11701  df-seq 11799  df-exp 11858  df-fac 12044  df-bc 12071  df-hash 12096  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-clim 12958  df-sum 13156  df-dvds 13528  df-gcd 13683  df-prm 13756  df-pc 13896

This theorem is referenced by:  bposlem3  22605