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Theorem bposlem2 21022
Description: There are no odd primes in the range  ( 2 N  /  3 ,  N ] dividing the  N-th central binomial coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bposlem2.1  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
bposlem2.2  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
bposlem2.3  |-  ( ph  ->  2  <  P )
bposlem2.4  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  /  3
)  <  P )
bposlem2.5  |-  ( ph  ->  P  <_  N )
Assertion
Ref Expression
bposlem2  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  =  0 )

Proof of Theorem bposlem2
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bposlem2.1 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
2 bposlem2.2 . . 3  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
3 pcbcctr 21013 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... (
2  x.  N ) ) ( ( |_
`  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) ) )
41, 2, 3syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... (
2  x.  N ) ) ( ( |_
`  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) ) )
5 elfznn 11036 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N
) )  ->  k  e.  NN )
6 elnn1uz2 10508 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  <->  ( k  =  1  \/  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )
75, 6sylib 189 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N
) )  ->  (
k  =  1  \/  k  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) ) )
8 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  1  ->  ( P ^ k )  =  ( P ^ 1 ) )
9 prmnn 13037 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
102, 9syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
1110nncnd 9972 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  P  e.  CC )
1211exp1d 11473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( P ^ 1 )  =  P )
138, 12sylan9eqr 2458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  = 
1 )  ->  ( P ^ k )  =  P )
1413oveq2d 6056 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  = 
1 )  ->  (
( 2  x.  N
)  /  ( P ^ k ) )  =  ( ( 2  x.  N )  /  P ) )
1514fveq2d 5691 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  = 
1 )  ->  ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) ) )  =  ( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  P ) ) )
16 2cn 10026 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  CC
1716mulid1i 9048 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
1811mulid2d 9062 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  P
)  =  P )
19 bposlem2.5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  P  <_  N )
2018, 19eqbrtrd 4192 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  P
)  <_  N )
21 1re 9046 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  RR
2221a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
231nnred 9971 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
2410nnred 9971 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  P  e.  RR )
2510nngt0d 9999 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  0  <  P )
26 lemuldiv 9845 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  ( P  e.  RR  /\  0  <  P ) )  -> 
( ( 1  x.  P )  <_  N  <->  1  <_  ( N  /  P ) ) )
2722, 23, 24, 25, 26syl112anc 1188 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( 1  x.  P )  <_  N  <->  1  <_  ( N  /  P ) ) )
2820, 27mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  1  <_  ( N  /  P ) )
2923, 10nndivred 10004 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( N  /  P
)  e.  RR )
30 2re 10025 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  e.  RR
31 2pos 10038 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  <  2
3230, 31pm3.2i 442 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
33 lemul2 9819 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( N  /  P
)  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( 1  <_  ( N  /  P )  <->  ( 2  x.  1 )  <_ 
( 2  x.  ( N  /  P ) ) ) )
3421, 32, 33mp3an13 1270 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  /  P )  e.  RR  ->  (
1  <_  ( N  /  P )  <->  ( 2  x.  1 )  <_ 
( 2  x.  ( N  /  P ) ) ) )
3529, 34syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 1  <_  ( N  /  P )  <->  ( 2  x.  1 )  <_ 
( 2  x.  ( N  /  P ) ) ) )
3628, 35mpbid 202 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  1 )  <_  ( 2  x.  ( N  /  P ) ) )
3717, 36syl5eqbrr 4206 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  2  <_  ( 2  x.  ( N  /  P ) ) )
3816a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
391nncnd 9972 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
4010nnne0d 10000 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  P  =/=  0 )
4138, 39, 11, 40divassd 9781 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  /  P
)  =  ( 2  x.  ( N  /  P ) ) )
4237, 41breqtrrd 4198 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  2  <_  ( (
2  x.  N )  /  P ) )
43 bposlem2.4 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  /  3
)  <  P )
44 2nn 10089 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  e.  NN
45 nnmulcl 9979 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( 2  x.  N
)  e.  NN )
4644, 1, 45sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  e.  NN )
4746nnred 9971 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  e.  RR )
48 3re 10027 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  3  e.  RR
49 3pos 10040 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  <  3
5048, 49pm3.2i 442 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 3  e.  RR  /\  0  <  3 )
51 ltdiv23 9857 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  RR  /\  ( 3  e.  RR  /\  0  <  3 )  /\  ( P  e.  RR  /\  0  < 
P ) )  -> 
( ( ( 2  x.  N )  / 
3 )  <  P  <->  ( ( 2  x.  N
)  /  P )  <  3 ) )
5250, 51mp3an2 1267 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  RR  /\  ( P  e.  RR  /\  0  <  P ) )  ->  ( (
( 2  x.  N
)  /  3 )  <  P  <->  ( (
2  x.  N )  /  P )  <  3 ) )
5347, 24, 25, 52syl12anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  N )  / 
3 )  <  P  <->  ( ( 2  x.  N
)  /  P )  <  3 ) )
5443, 53mpbid 202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  /  P
)  <  3 )
55 df-3 10015 . . . . . . . . . . . 12  |-  3  =  ( 2  +  1 )
5654, 55syl6breq 4211 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  /  P
)  <  ( 2  +  1 ) )
5747, 10nndivred 10004 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  /  P
)  e.  RR )
58 2z 10268 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  ZZ
59 flbi 11178 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( 2  x.  N )  /  P
)  e.  RR  /\  2  e.  ZZ )  ->  ( ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  /  P
) )  =  2  <-> 
( 2  <_  (
( 2  x.  N
)  /  P )  /\  ( ( 2  x.  N )  /  P )  <  (
2  +  1 ) ) ) )
6057, 58, 59sylancl 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  /  P
) )  =  2  <-> 
( 2  <_  (
( 2  x.  N
)  /  P )  /\  ( ( 2  x.  N )  /  P )  <  (
2  +  1 ) ) ) )
6142, 56, 60mpbir2and 889 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  P ) )  =  2 )
6261adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  = 
1 )  ->  ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  /  P ) )  =  2 )
6315, 62eqtrd 2436 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  = 
1 )  ->  ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) ) )  =  2 )
6413oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  = 
1 )  ->  ( N  /  ( P ^
k ) )  =  ( N  /  P
) )
6564fveq2d 5691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  = 
1 )  ->  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) )  =  ( |_ `  ( N  /  P ) ) )
66 remulcl 9031 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( N  /  P
)  e.  RR )  ->  ( 2  x.  ( N  /  P
) )  e.  RR )
6730, 29, 66sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( N  /  P ) )  e.  RR )
6848a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  3  e.  RR )
69 4re 10029 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  4  e.  RR
7069a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  4  e.  RR )
7141, 54eqbrtrrd 4194 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( N  /  P ) )  <  3 )
72 3lt4 10101 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  3  <  4
7372a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  3  <  4 )
7467, 68, 70, 71, 73lttrd 9187 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( N  /  P ) )  <  4 )
75 2t2e4 10083 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
7674, 75syl6breqr 4212 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( N  /  P ) )  <  ( 2  x.  2 ) )
77 ltmul2 9817 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  /  P
)  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( N  /  P )  <  2  <->  ( 2  x.  ( N  /  P
) )  <  (
2  x.  2 ) ) )
7830, 32, 77mp3an23 1271 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  /  P )  e.  RR  ->  (
( N  /  P
)  <  2  <->  ( 2  x.  ( N  /  P ) )  < 
( 2  x.  2 ) ) )
7929, 78syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( N  /  P )  <  2  <->  ( 2  x.  ( N  /  P ) )  <  ( 2  x.  2 ) ) )
8076, 79mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( N  /  P
)  <  2 )
81 df-2 10014 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  =  ( 1  +  1 )
8280, 81syl6breq 4211 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( N  /  P
)  <  ( 1  +  1 ) )
83 1z 10267 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  ZZ
84 flbi 11178 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  /  P
)  e.  RR  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( ( |_ `  ( N  /  P
) )  =  1  <-> 
( 1  <_  ( N  /  P )  /\  ( N  /  P
)  <  ( 1  +  1 ) ) ) )
8529, 83, 84sylancl 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  ( N  /  P
) )  =  1  <-> 
( 1  <_  ( N  /  P )  /\  ( N  /  P
)  <  ( 1  +  1 ) ) ) )
8628, 82, 85mpbir2and 889 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( N  /  P ) )  =  1 )
8786adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  = 
1 )  ->  ( |_ `  ( N  /  P ) )  =  1 )
8865, 87eqtrd 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  = 
1 )  ->  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) )  =  1 )
8988oveq2d 6056 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  = 
1 )  ->  (
2  x.  ( |_
`  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) )  =  ( 2  x.  1 ) )
9089, 17syl6eq 2452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  = 
1 )  ->  (
2  x.  ( |_
`  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) )  =  2 )
9163, 90oveq12d 6058 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  = 
1 )  ->  (
( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  ( P ^ k ) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) ) ) )  =  ( 2  -  2 ) )
9216subidi 9327 . . . . . . 7  |-  ( 2  -  2 )  =  0
9391, 92syl6eq 2452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  = 
1 )  ->  (
( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  ( P ^ k ) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) ) ) )  =  0 )
9446nnrpd 10603 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  e.  RR+ )
9594adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( 2  x.  N )  e.  RR+ )
96 2nn0 10194 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  NN0
97 eluznn0 10502 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  NN0  /\  k  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
k  e.  NN0 )
9896, 97mpan 652 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  k  e.  NN0 )
99 nnexpcl 11349 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( P ^ k
)  e.  NN )
10010, 98, 99syl2an 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( P ^ k )  e.  NN )
101100nnrpd 10603 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( P ^ k )  e.  RR+ )
10295, 101rpdivcld 10621 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( (
2  x.  N )  /  ( P ^
k ) )  e.  RR+ )
103102rpge0d 10608 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  0  <_  ( ( 2  x.  N
)  /  ( P ^ k ) ) )
10447adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( 2  x.  N )  e.  RR )
105 remulcl 9031 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 3  e.  RR  /\  P  e.  RR )  ->  ( 3  x.  P
)  e.  RR )
10648, 24, 105sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 3  x.  P
)  e.  RR )
107106adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( 3  x.  P )  e.  RR )
108100nnred 9971 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( P ^ k )  e.  RR )
109 ltdivmul 9838 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  RR  /\  P  e.  RR  /\  (
3  e.  RR  /\  0  <  3 ) )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  /  3 )  < 
P  <->  ( 2  x.  N )  <  (
3  x.  P ) ) )
11050, 109mp3an3 1268 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  RR  /\  P  e.  RR )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  / 
3 )  <  P  <->  ( 2  x.  N )  <  ( 3  x.  P ) ) )
11147, 24, 110syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  N )  / 
3 )  <  P  <->  ( 2  x.  N )  <  ( 3  x.  P ) ) )
11243, 111mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  <  ( 3  x.  P ) )
113112adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( 2  x.  N )  < 
( 3  x.  P
) )
11424, 24remulcld 9072 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( P  x.  P
)  e.  RR )
115114adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( P  x.  P )  e.  RR )
116 bposlem2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  2  <  P )
117 nnltp1le 10286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  P  e.  NN )  ->  ( 2  <  P  <->  ( 2  +  1 )  <_  P ) )
11844, 10, 117sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( 2  <  P  <->  ( 2  +  1 )  <_  P ) )
119116, 118mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 2  +  1 )  <_  P )
12055, 119syl5eqbr 4205 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  3  <_  P )
121 lemul1 9818 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 3  e.  RR  /\  P  e.  RR  /\  ( P  e.  RR  /\  0  <  P ) )  -> 
( 3  <_  P  <->  ( 3  x.  P )  <_  ( P  x.  P ) ) )
12248, 121mp3an1 1266 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( P  e.  RR  /\  ( P  e.  RR  /\  0  <  P ) )  ->  ( 3  <_  P  <->  ( 3  x.  P )  <_ 
( P  x.  P
) ) )
12324, 24, 25, 122syl12anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 3  <_  P  <->  ( 3  x.  P )  <_  ( P  x.  P ) ) )
124120, 123mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 3  x.  P
)  <_  ( P  x.  P ) )
125124adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( 3  x.  P )  <_ 
( P  x.  P
) )
12611sqvald 11475 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( P ^ 2 )  =  ( P  x.  P ) )
127126adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( P ^ 2 )  =  ( P  x.  P
) )
12824adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  P  e.  RR )
12910nnge1d 9998 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  1  <_  P )
130129adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  1  <_  P )
131 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
132128, 130, 131leexp2ad 11510 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( P ^ 2 )  <_ 
( P ^ k
) )
133127, 132eqbrtrrd 4194 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( P  x.  P )  <_  ( P ^ k ) )
134107, 115, 108, 125, 133letrd 9183 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( 3  x.  P )  <_ 
( P ^ k
) )
135104, 107, 108, 113, 134ltletrd 9186 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( 2  x.  N )  < 
( P ^ k
) )
136100nncnd 9972 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( P ^ k )  e.  CC )
137136mulid1d 9061 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( ( P ^ k )  x.  1 )  =  ( P ^ k ) )
138135, 137breqtrrd 4198 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( 2  x.  N )  < 
( ( P ^
k )  x.  1 ) )
13921a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  1  e.  RR )
140104, 139, 101ltdivmuld 10651 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( (
( 2  x.  N
)  /  ( P ^ k ) )  <  1  <->  ( 2  x.  N )  < 
( ( P ^
k )  x.  1 ) ) )
141138, 140mpbird 224 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( (
2  x.  N )  /  ( P ^
k ) )  <  1 )
142 1e0p1 10366 . . . . . . . . . 10  |-  1  =  ( 0  +  1 )
143141, 142syl6breq 4211 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( (
2  x.  N )  /  ( P ^
k ) )  < 
( 0  +  1 ) )
144102rpred 10604 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( (
2  x.  N )  /  ( P ^
k ) )  e.  RR )
145 0z 10249 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  ZZ
146 flbi 11178 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( 2  x.  N )  /  ( P ^ k ) )  e.  RR  /\  0  e.  ZZ )  ->  (
( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  ( P ^ k ) ) )  =  0  <->  (
0  <_  ( (
2  x.  N )  /  ( P ^
k ) )  /\  ( ( 2  x.  N )  /  ( P ^ k ) )  <  ( 0  +  1 ) ) ) )
147144, 145, 146sylancl 644 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) ) )  =  0  <->  ( 0  <_ 
( ( 2  x.  N )  /  ( P ^ k ) )  /\  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) )  <  (
0  +  1 ) ) ) )
148103, 143, 147mpbir2and 889 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  /  ( P ^ k ) ) )  =  0 )
1491nnrpd 10603 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  N  e.  RR+ )
150149adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  N  e.  RR+ )
151150, 101rpdivcld 10621 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( N  /  ( P ^
k ) )  e.  RR+ )
152151rpge0d 10608 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  0  <_  ( N  /  ( P ^ k ) ) )
15323adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  N  e.  RR )
15423, 149ltaddrpd 10633 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  N  <  ( N  +  N ) )
155392timesd 10166 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  =  ( N  +  N ) )
156154, 155breqtrrd 4198 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  N  <  ( 2  x.  N ) )
157156adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  N  <  ( 2  x.  N ) )
158153, 104, 108, 157, 135lttrd 9187 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  N  <  ( P ^ k ) )
159158, 137breqtrrd 4198 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  N  <  ( ( P ^ k
)  x.  1 ) )
160153, 139, 101ltdivmuld 10651 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( ( N  /  ( P ^
k ) )  <  1  <->  N  <  ( ( P ^ k )  x.  1 ) ) )
161159, 160mpbird 224 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( N  /  ( P ^
k ) )  <  1 )
162161, 142syl6breq 4211 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( N  /  ( P ^
k ) )  < 
( 0  +  1 ) )
163151rpred 10604 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( N  /  ( P ^
k ) )  e.  RR )
164 flbi 11178 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  /  ( P ^ k ) )  e.  RR  /\  0  e.  ZZ )  ->  (
( |_ `  ( N  /  ( P ^
k ) ) )  =  0  <->  ( 0  <_  ( N  / 
( P ^ k
) )  /\  ( N  /  ( P ^
k ) )  < 
( 0  +  1 ) ) ) )
165163, 145, 164sylancl 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) )  =  0  <->  ( 0  <_ 
( N  /  ( P ^ k ) )  /\  ( N  / 
( P ^ k
) )  <  (
0  +  1 ) ) ) )
166152, 162, 165mpbir2and 889 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) )  =  0 )
167166oveq2d 6056 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) ) )  =  ( 2  x.  0 ) )
16816mul01i 9212 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  x.  0 )  =  0
169167, 168syl6eq 2452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) ) )  =  0 )
170148, 169oveq12d 6058 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) )  =  ( 0  -  0 ) )
171 0cn 9040 . . . . . . . 8  |-  0  e.  CC
172171subidi 9327 . . . . . . 7  |-  ( 0  -  0 )  =  0
173170, 172syl6eq 2452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) )  =  0 )
17493, 173jaodan 761 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( k  =  1  \/  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )  ->  (
( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  ( P ^ k ) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) ) ) )  =  0 )
1757, 174sylan2 461 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... (
2  x.  N ) ) )  ->  (
( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  ( P ^ k ) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) ) ) )  =  0 )
176175sumeq2dv 12452 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) ) ( ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  /  ( P ^ k ) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) ) ) )  = 
sum_ k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) ) 0 )
177 fzfid 11267 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1 ... (
2  x.  N ) )  e.  Fin )
178 sumz 12471 . . . . 5  |-  ( ( ( 1 ... (
2  x.  N ) )  C_  ( ZZ>= ` 
1 )  \/  (
1 ... ( 2  x.  N ) )  e. 
Fin )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... (
2  x.  N ) ) 0  =  0 )
179178olcs 385 . . . 4  |-  ( ( 1 ... ( 2  x.  N ) )  e.  Fin  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... (
2  x.  N ) ) 0  =  0 )
180177, 179syl 16 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) ) 0  =  0 )
181176, 180eqtrd 2436 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) ) ( ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  /  ( P ^ k ) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) ) ) )  =  0 )
1824, 181eqtrd 2436 1  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  =  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    C_ wss 3280   class class class wbr 4172   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Fincfn 7068   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247    / cdiv 9633   NNcn 9956   2c2 10005   3c3 10006   4c4 10007   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   RR+crp 10568   ...cfz 10999   |_cfl 11156   ^cexp 11337    _C cbc 11548   sum_csu 12434   Primecprime 13034    pCnt cpc 13165
This theorem is referenced by:  bposlem3  21023
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-sum 12435  df-dvds 12808  df-gcd 12962  df-prm 13035  df-pc 13166
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