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Theorem bposlem2 22509
Description: There are no odd primes in the range  ( 2 N  /  3 ,  N ] dividing the  N-th central binomial coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bposlem2.1  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
bposlem2.2  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
bposlem2.3  |-  ( ph  ->  2  <  P )
bposlem2.4  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  /  3
)  <  P )
bposlem2.5  |-  ( ph  ->  P  <_  N )
Assertion
Ref Expression
bposlem2  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  =  0 )

Proof of Theorem bposlem2
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bposlem2.1 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
2 bposlem2.2 . . 3  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
3 pcbcctr 22500 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... (
2  x.  N ) ) ( ( |_
`  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) ) )
41, 2, 3syl2anc 654 . 2  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... (
2  x.  N ) ) ( ( |_
`  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) ) )
5 elfznn 11465 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N
) )  ->  k  e.  NN )
6 elnn1uz2 10919 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  <->  ( k  =  1  \/  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )
75, 6sylib 196 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N
) )  ->  (
k  =  1  \/  k  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) ) )
8 oveq2 6088 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  1  ->  ( P ^ k )  =  ( P ^ 1 ) )
9 prmnn 13749 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
102, 9syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
1110nncnd 10326 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  P  e.  CC )
1211exp1d 11987 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( P ^ 1 )  =  P )
138, 12sylan9eqr 2487 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  = 
1 )  ->  ( P ^ k )  =  P )
1413oveq2d 6096 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  = 
1 )  ->  (
( 2  x.  N
)  /  ( P ^ k ) )  =  ( ( 2  x.  N )  /  P ) )
1514fveq2d 5683 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  = 
1 )  ->  ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) ) )  =  ( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  P ) ) )
16 2t1e2 10458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
1711mulid2d 9392 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  P
)  =  P )
18 bposlem2.5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  P  <_  N )
1917, 18eqbrtrd 4300 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  P
)  <_  N )
20 1red 9389 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
211nnred 10325 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
2210nnred 10325 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  P  e.  RR )
2310nngt0d 10353 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  0  <  P )
24 lemuldiv 10199 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  ( P  e.  RR  /\  0  <  P ) )  -> 
( ( 1  x.  P )  <_  N  <->  1  <_  ( N  /  P ) ) )
2520, 21, 22, 23, 24syl112anc 1215 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( 1  x.  P )  <_  N  <->  1  <_  ( N  /  P ) ) )
2619, 25mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  1  <_  ( N  /  P ) )
2721, 10nndivred 10358 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( N  /  P
)  e.  RR )
28 1re 9373 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  RR
29 2re 10379 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  e.  RR
30 2pos 10401 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  <  2
3129, 30pm3.2i 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
32 lemul2 10170 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( N  /  P
)  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( 1  <_  ( N  /  P )  <->  ( 2  x.  1 )  <_ 
( 2  x.  ( N  /  P ) ) ) )
3328, 31, 32mp3an13 1298 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  /  P )  e.  RR  ->  (
1  <_  ( N  /  P )  <->  ( 2  x.  1 )  <_ 
( 2  x.  ( N  /  P ) ) ) )
3427, 33syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 1  <_  ( N  /  P )  <->  ( 2  x.  1 )  <_ 
( 2  x.  ( N  /  P ) ) ) )
3526, 34mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  1 )  <_  ( 2  x.  ( N  /  P ) ) )
3616, 35syl5eqbrr 4314 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  2  <_  ( 2  x.  ( N  /  P ) ) )
37 2cnd 10382 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
381nncnd 10326 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
3910nnne0d 10354 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  P  =/=  0 )
4037, 38, 11, 39divassd 10130 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  /  P
)  =  ( 2  x.  ( N  /  P ) ) )
4136, 40breqtrrd 4306 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  2  <_  ( (
2  x.  N )  /  P ) )
42 bposlem2.4 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  /  3
)  <  P )
43 2nn 10467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  e.  NN
44 nnmulcl 10333 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( 2  x.  N
)  e.  NN )
4543, 1, 44sylancr 656 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  e.  NN )
4645nnred 10325 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  e.  RR )
47 3re 10383 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  3  e.  RR
48 3pos 10403 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  <  3
4947, 48pm3.2i 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 3  e.  RR  /\  0  <  3 )
50 ltdiv23 10211 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  RR  /\  ( 3  e.  RR  /\  0  <  3 )  /\  ( P  e.  RR  /\  0  < 
P ) )  -> 
( ( ( 2  x.  N )  / 
3 )  <  P  <->  ( ( 2  x.  N
)  /  P )  <  3 ) )
5149, 50mp3an2 1295 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  RR  /\  ( P  e.  RR  /\  0  <  P ) )  ->  ( (
( 2  x.  N
)  /  3 )  <  P  <->  ( (
2  x.  N )  /  P )  <  3 ) )
5246, 22, 23, 51syl12anc 1209 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  N )  / 
3 )  <  P  <->  ( ( 2  x.  N
)  /  P )  <  3 ) )
5342, 52mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  /  P
)  <  3 )
54 df-3 10369 . . . . . . . . . . . 12  |-  3  =  ( 2  +  1 )
5553, 54syl6breq 4319 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  /  P
)  <  ( 2  +  1 ) )
5646, 10nndivred 10358 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  /  P
)  e.  RR )
57 2z 10666 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  ZZ
58 flbi 11648 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( 2  x.  N )  /  P
)  e.  RR  /\  2  e.  ZZ )  ->  ( ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  /  P
) )  =  2  <-> 
( 2  <_  (
( 2  x.  N
)  /  P )  /\  ( ( 2  x.  N )  /  P )  <  (
2  +  1 ) ) ) )
5956, 57, 58sylancl 655 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  /  P
) )  =  2  <-> 
( 2  <_  (
( 2  x.  N
)  /  P )  /\  ( ( 2  x.  N )  /  P )  <  (
2  +  1 ) ) ) )
6041, 55, 59mpbir2and 906 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  P ) )  =  2 )
6160adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  = 
1 )  ->  ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  /  P ) )  =  2 )
6215, 61eqtrd 2465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  = 
1 )  ->  ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) ) )  =  2 )
6313oveq2d 6096 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  = 
1 )  ->  ( N  /  ( P ^
k ) )  =  ( N  /  P
) )
6463fveq2d 5683 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  = 
1 )  ->  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) )  =  ( |_ `  ( N  /  P ) ) )
65 remulcl 9355 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( N  /  P
)  e.  RR )  ->  ( 2  x.  ( N  /  P
) )  e.  RR )
6629, 27, 65sylancr 656 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( N  /  P ) )  e.  RR )
6747a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  3  e.  RR )
68 4re 10386 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  4  e.  RR
6968a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  4  e.  RR )
7040, 53eqbrtrrd 4302 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( N  /  P ) )  <  3 )
71 3lt4 10479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  3  <  4
7271a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  3  <  4 )
7366, 67, 69, 70, 72lttrd 9520 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( N  /  P ) )  <  4 )
74 2t2e4 10459 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
7573, 74syl6breqr 4320 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( N  /  P ) )  <  ( 2  x.  2 ) )
76 ltmul2 10168 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  /  P
)  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( N  /  P )  <  2  <->  ( 2  x.  ( N  /  P
) )  <  (
2  x.  2 ) ) )
7729, 31, 76mp3an23 1299 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  /  P )  e.  RR  ->  (
( N  /  P
)  <  2  <->  ( 2  x.  ( N  /  P ) )  < 
( 2  x.  2 ) ) )
7827, 77syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( N  /  P )  <  2  <->  ( 2  x.  ( N  /  P ) )  <  ( 2  x.  2 ) ) )
7975, 78mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( N  /  P
)  <  2 )
80 df-2 10368 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  =  ( 1  +  1 )
8179, 80syl6breq 4319 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( N  /  P
)  <  ( 1  +  1 ) )
82 1z 10664 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  ZZ
83 flbi 11648 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  /  P
)  e.  RR  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( ( |_ `  ( N  /  P
) )  =  1  <-> 
( 1  <_  ( N  /  P )  /\  ( N  /  P
)  <  ( 1  +  1 ) ) ) )
8427, 82, 83sylancl 655 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  ( N  /  P
) )  =  1  <-> 
( 1  <_  ( N  /  P )  /\  ( N  /  P
)  <  ( 1  +  1 ) ) ) )
8526, 81, 84mpbir2and 906 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( N  /  P ) )  =  1 )
8685adantr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  = 
1 )  ->  ( |_ `  ( N  /  P ) )  =  1 )
8764, 86eqtrd 2465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  = 
1 )  ->  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) )  =  1 )
8887oveq2d 6096 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  = 
1 )  ->  (
2  x.  ( |_
`  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) )  =  ( 2  x.  1 ) )
8988, 16syl6eq 2481 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  = 
1 )  ->  (
2  x.  ( |_
`  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) )  =  2 )
9062, 89oveq12d 6098 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  = 
1 )  ->  (
( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  ( P ^ k ) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) ) ) )  =  ( 2  -  2 ) )
91 2cn 10380 . . . . . . . 8  |-  2  e.  CC
9291subidi 9667 . . . . . . 7  |-  ( 2  -  2 )  =  0
9390, 92syl6eq 2481 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  = 
1 )  ->  (
( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  ( P ^ k ) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) ) ) )  =  0 )
9445nnrpd 11014 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  e.  RR+ )
9594adantr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( 2  x.  N )  e.  RR+ )
96 2nn0 10584 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  NN0
97 eluznn0 10912 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  NN0  /\  k  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
k  e.  NN0 )
9896, 97mpan 663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  k  e.  NN0 )
99 nnexpcl 11862 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( P ^ k
)  e.  NN )
10010, 98, 99syl2an 474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( P ^ k )  e.  NN )
101100nnrpd 11014 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( P ^ k )  e.  RR+ )
10295, 101rpdivcld 11032 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( (
2  x.  N )  /  ( P ^
k ) )  e.  RR+ )
103102rpge0d 11019 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  0  <_  ( ( 2  x.  N
)  /  ( P ^ k ) ) )
10446adantr 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( 2  x.  N )  e.  RR )
105 remulcl 9355 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 3  e.  RR  /\  P  e.  RR )  ->  ( 3  x.  P
)  e.  RR )
10647, 22, 105sylancr 656 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 3  x.  P
)  e.  RR )
107106adantr 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( 3  x.  P )  e.  RR )
108100nnred 10325 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( P ^ k )  e.  RR )
109 ltdivmul 10192 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  RR  /\  P  e.  RR  /\  (
3  e.  RR  /\  0  <  3 ) )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  /  3 )  < 
P  <->  ( 2  x.  N )  <  (
3  x.  P ) ) )
11049, 109mp3an3 1296 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  RR  /\  P  e.  RR )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  / 
3 )  <  P  <->  ( 2  x.  N )  <  ( 3  x.  P ) ) )
11146, 22, 110syl2anc 654 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  N )  / 
3 )  <  P  <->  ( 2  x.  N )  <  ( 3  x.  P ) ) )
11242, 111mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  <  ( 3  x.  P ) )
113112adantr 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( 2  x.  N )  < 
( 3  x.  P
) )
11422, 22remulcld 9402 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( P  x.  P
)  e.  RR )
115114adantr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( P  x.  P )  e.  RR )
116 bposlem2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  2  <  P )
117 nnltp1le 10688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  P  e.  NN )  ->  ( 2  <  P  <->  ( 2  +  1 )  <_  P ) )
11843, 10, 117sylancr 656 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( 2  <  P  <->  ( 2  +  1 )  <_  P ) )
119116, 118mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 2  +  1 )  <_  P )
12054, 119syl5eqbr 4313 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  3  <_  P )
121 lemul1 10169 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 3  e.  RR  /\  P  e.  RR  /\  ( P  e.  RR  /\  0  <  P ) )  -> 
( 3  <_  P  <->  ( 3  x.  P )  <_  ( P  x.  P ) ) )
12247, 121mp3an1 1294 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( P  e.  RR  /\  ( P  e.  RR  /\  0  <  P ) )  ->  ( 3  <_  P  <->  ( 3  x.  P )  <_ 
( P  x.  P
) ) )
12322, 22, 23, 122syl12anc 1209 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 3  <_  P  <->  ( 3  x.  P )  <_  ( P  x.  P ) ) )
124120, 123mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 3  x.  P
)  <_  ( P  x.  P ) )
125124adantr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( 3  x.  P )  <_ 
( P  x.  P
) )
12611sqvald 11989 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( P ^ 2 )  =  ( P  x.  P ) )
127126adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( P ^ 2 )  =  ( P  x.  P
) )
12822adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  P  e.  RR )
12910nnge1d 10352 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  1  <_  P )
130129adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  1  <_  P )
131 simpr 458 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
132128, 130, 131leexp2ad 12024 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( P ^ 2 )  <_ 
( P ^ k
) )
133127, 132eqbrtrrd 4302 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( P  x.  P )  <_  ( P ^ k ) )
134107, 115, 108, 125, 133letrd 9516 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( 3  x.  P )  <_ 
( P ^ k
) )
135104, 107, 108, 113, 134ltletrd 9519 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( 2  x.  N )  < 
( P ^ k
) )
136100nncnd 10326 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( P ^ k )  e.  CC )
137136mulid1d 9391 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( ( P ^ k )  x.  1 )  =  ( P ^ k ) )
138135, 137breqtrrd 4306 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( 2  x.  N )  < 
( ( P ^
k )  x.  1 ) )
139 1red 9389 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  1  e.  RR )
140104, 139, 101ltdivmuld 11062 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( (
( 2  x.  N
)  /  ( P ^ k ) )  <  1  <->  ( 2  x.  N )  < 
( ( P ^
k )  x.  1 ) ) )
141138, 140mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( (
2  x.  N )  /  ( P ^
k ) )  <  1 )
142 1e0p1 10771 . . . . . . . . . 10  |-  1  =  ( 0  +  1 )
143141, 142syl6breq 4319 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( (
2  x.  N )  /  ( P ^
k ) )  < 
( 0  +  1 ) )
144102rpred 11015 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( (
2  x.  N )  /  ( P ^
k ) )  e.  RR )
145 0z 10645 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  ZZ
146 flbi 11648 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( 2  x.  N )  /  ( P ^ k ) )  e.  RR  /\  0  e.  ZZ )  ->  (
( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  ( P ^ k ) ) )  =  0  <->  (
0  <_  ( (
2  x.  N )  /  ( P ^
k ) )  /\  ( ( 2  x.  N )  /  ( P ^ k ) )  <  ( 0  +  1 ) ) ) )
147144, 145, 146sylancl 655 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) ) )  =  0  <->  ( 0  <_ 
( ( 2  x.  N )  /  ( P ^ k ) )  /\  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) )  <  (
0  +  1 ) ) ) )
148103, 143, 147mpbir2and 906 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  /  ( P ^ k ) ) )  =  0 )
1491nnrpd 11014 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  N  e.  RR+ )
150149adantr 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  N  e.  RR+ )
151150, 101rpdivcld 11032 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( N  /  ( P ^
k ) )  e.  RR+ )
152151rpge0d 11019 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  0  <_  ( N  /  ( P ^ k ) ) )
15321adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  N  e.  RR )
15421, 149ltaddrpd 11044 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  N  <  ( N  +  N ) )
155382timesd 10555 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  =  ( N  +  N ) )
156154, 155breqtrrd 4306 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  N  <  ( 2  x.  N ) )
157156adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  N  <  ( 2  x.  N ) )
158153, 104, 108, 157, 135lttrd 9520 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  N  <  ( P ^ k ) )
159158, 137breqtrrd 4306 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  N  <  ( ( P ^ k
)  x.  1 ) )
160153, 139, 101ltdivmuld 11062 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( ( N  /  ( P ^
k ) )  <  1  <->  N  <  ( ( P ^ k )  x.  1 ) ) )
161159, 160mpbird 232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( N  /  ( P ^
k ) )  <  1 )
162161, 142syl6breq 4319 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( N  /  ( P ^
k ) )  < 
( 0  +  1 ) )
163151rpred 11015 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( N  /  ( P ^
k ) )  e.  RR )
164 flbi 11648 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  /  ( P ^ k ) )  e.  RR  /\  0  e.  ZZ )  ->  (
( |_ `  ( N  /  ( P ^
k ) ) )  =  0  <->  ( 0  <_  ( N  / 
( P ^ k
) )  /\  ( N  /  ( P ^
k ) )  < 
( 0  +  1 ) ) ) )
165163, 145, 164sylancl 655 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) )  =  0  <->  ( 0  <_ 
( N  /  ( P ^ k ) )  /\  ( N  / 
( P ^ k
) )  <  (
0  +  1 ) ) ) )
166152, 162, 165mpbir2and 906 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) )  =  0 )
167166oveq2d 6096 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) ) )  =  ( 2  x.  0 ) )
168 2t0e0 10465 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  x.  0 )  =  0
169167, 168syl6eq 2481 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) ) )  =  0 )
170148, 169oveq12d 6098 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) )  =  ( 0  -  0 ) )
171 0m0e0 10419 . . . . . . 7  |-  ( 0  -  0 )  =  0
172170, 171syl6eq 2481 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) )  =  0 )
17393, 172jaodan 776 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( k  =  1  \/  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )  ->  (
( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  ( P ^ k ) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) ) ) )  =  0 )
1747, 173sylan2 471 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... (
2  x.  N ) ) )  ->  (
( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  ( P ^ k ) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) ) ) )  =  0 )
175174sumeq2dv 13164 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) ) ( ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  /  ( P ^ k ) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) ) ) )  = 
sum_ k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) ) 0 )
176 fzfid 11779 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1 ... (
2  x.  N ) )  e.  Fin )
177 sumz 13183 . . . . 5  |-  ( ( ( 1 ... (
2  x.  N ) )  C_  ( ZZ>= ` 
1 )  \/  (
1 ... ( 2  x.  N ) )  e. 
Fin )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... (
2  x.  N ) ) 0  =  0 )
178177olcs 395 . . . 4  |-  ( ( 1 ... ( 2  x.  N ) )  e.  Fin  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... (
2  x.  N ) ) 0  =  0 )
179176, 178syl 16 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) ) 0  =  0 )
180175, 179eqtrd 2465 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) ) ( ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  /  ( P ^ k ) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) ) ) )  =  0 )
1814, 180eqtrd 2465 1  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  =  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1362    e. wcel 1755    C_ wss 3316   class class class wbr 4280   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   Fincfn 7298   RRcr 9269   0cc0 9270   1c1 9271    + caddc 9273    x. cmul 9275    < clt 9406    <_ cle 9407    - cmin 9583    / cdiv 9981   NNcn 10310   2c2 10359   3c3 10360   4c4 10361   NN0cn0 10567   ZZcz 10634   ZZ>=cuz 10849   RR+crp 10979   ...cfz 11424   |_cfl 11624   ^cexp 11849    _C cbc 12062   sum_csu 13147   Primecprime 13746    pCnt cpc 13886
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-inf2 7835  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347  ax-pre-sup 9348
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-fal 1368  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-se 4667  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-isom 5415  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-2o 6909  df-oadd 6912  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-sup 7679  df-oi 7712  df-card 8097  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-div 9982  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-4 10370  df-n0 10568  df-z 10635  df-uz 10850  df-q 10942  df-rp 10980  df-fz 11425  df-fzo 11533  df-fl 11626  df-mod 11693  df-seq 11791  df-exp 11850  df-fac 12036  df-bc 12063  df-hash 12088  df-cj 12572  df-re 12573  df-im 12574  df-sqr 12708  df-abs 12709  df-clim 12950  df-sum 13148  df-dvds 13519  df-gcd 13674  df-prm 13747  df-pc 13887
This theorem is referenced by:  bposlem3  22510
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