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Theorem bposlem2 23432
Description: There are no odd primes in the range  ( 2 N  /  3 ,  N ] dividing the  N-th central binomial coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bposlem2.1  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
bposlem2.2  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
bposlem2.3  |-  ( ph  ->  2  <  P )
bposlem2.4  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  /  3
)  <  P )
bposlem2.5  |-  ( ph  ->  P  <_  N )
Assertion
Ref Expression
bposlem2  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  =  0 )

Proof of Theorem bposlem2
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bposlem2.1 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
2 bposlem2.2 . . 3  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
3 pcbcctr 23423 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... (
2  x.  N ) ) ( ( |_
`  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) ) )
41, 2, 3syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... (
2  x.  N ) ) ( ( |_
`  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) ) )
5 elfznn 11723 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N
) )  ->  k  e.  NN )
6 elnn1uz2 11167 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  <->  ( k  =  1  \/  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )
75, 6sylib 196 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N
) )  ->  (
k  =  1  \/  k  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) ) )
8 oveq2 6289 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  1  ->  ( P ^ k )  =  ( P ^ 1 ) )
9 prmnn 14097 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
102, 9syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
1110nncnd 10558 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  P  e.  CC )
1211exp1d 12284 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( P ^ 1 )  =  P )
138, 12sylan9eqr 2506 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  = 
1 )  ->  ( P ^ k )  =  P )
1413oveq2d 6297 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  = 
1 )  ->  (
( 2  x.  N
)  /  ( P ^ k ) )  =  ( ( 2  x.  N )  /  P ) )
1514fveq2d 5860 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  = 
1 )  ->  ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) ) )  =  ( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  P ) ) )
16 2t1e2 10690 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
1711mulid2d 9617 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  P
)  =  P )
18 bposlem2.5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  P  <_  N )
1917, 18eqbrtrd 4457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  P
)  <_  N )
20 1red 9614 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
211nnred 10557 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
2210nnred 10557 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  P  e.  RR )
2310nngt0d 10585 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  0  <  P )
24 lemuldiv 10430 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  ( P  e.  RR  /\  0  <  P ) )  -> 
( ( 1  x.  P )  <_  N  <->  1  <_  ( N  /  P ) ) )
2520, 21, 22, 23, 24syl112anc 1233 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( 1  x.  P )  <_  N  <->  1  <_  ( N  /  P ) ) )
2619, 25mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  1  <_  ( N  /  P ) )
2721, 10nndivred 10590 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( N  /  P
)  e.  RR )
28 1re 9598 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  RR
29 2re 10611 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  e.  RR
30 2pos 10633 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  <  2
3129, 30pm3.2i 455 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
32 lemul2 10401 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( N  /  P
)  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( 1  <_  ( N  /  P )  <->  ( 2  x.  1 )  <_ 
( 2  x.  ( N  /  P ) ) ) )
3328, 31, 32mp3an13 1316 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  /  P )  e.  RR  ->  (
1  <_  ( N  /  P )  <->  ( 2  x.  1 )  <_ 
( 2  x.  ( N  /  P ) ) ) )
3427, 33syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 1  <_  ( N  /  P )  <->  ( 2  x.  1 )  <_ 
( 2  x.  ( N  /  P ) ) ) )
3526, 34mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  1 )  <_  ( 2  x.  ( N  /  P ) ) )
3616, 35syl5eqbrr 4471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  2  <_  ( 2  x.  ( N  /  P ) ) )
37 2cnd 10614 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
381nncnd 10558 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
3910nnne0d 10586 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  P  =/=  0 )
4037, 38, 11, 39divassd 10361 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  /  P
)  =  ( 2  x.  ( N  /  P ) ) )
4136, 40breqtrrd 4463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  2  <_  ( (
2  x.  N )  /  P ) )
42 bposlem2.4 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  /  3
)  <  P )
43 2nn 10699 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  e.  NN
44 nnmulcl 10565 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( 2  x.  N
)  e.  NN )
4543, 1, 44sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  e.  NN )
4645nnred 10557 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  e.  RR )
47 3re 10615 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  3  e.  RR
48 3pos 10635 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  <  3
4947, 48pm3.2i 455 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 3  e.  RR  /\  0  <  3 )
50 ltdiv23 10442 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  RR  /\  ( 3  e.  RR  /\  0  <  3 )  /\  ( P  e.  RR  /\  0  < 
P ) )  -> 
( ( ( 2  x.  N )  / 
3 )  <  P  <->  ( ( 2  x.  N
)  /  P )  <  3 ) )
5149, 50mp3an2 1313 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  RR  /\  ( P  e.  RR  /\  0  <  P ) )  ->  ( (
( 2  x.  N
)  /  3 )  <  P  <->  ( (
2  x.  N )  /  P )  <  3 ) )
5246, 22, 23, 51syl12anc 1227 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  N )  / 
3 )  <  P  <->  ( ( 2  x.  N
)  /  P )  <  3 ) )
5342, 52mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  /  P
)  <  3 )
54 df-3 10601 . . . . . . . . . . . 12  |-  3  =  ( 2  +  1 )
5553, 54syl6breq 4476 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  /  P
)  <  ( 2  +  1 ) )
5646, 10nndivred 10590 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  /  P
)  e.  RR )
57 2z 10902 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  ZZ
58 flbi 11931 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( 2  x.  N )  /  P
)  e.  RR  /\  2  e.  ZZ )  ->  ( ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  /  P
) )  =  2  <-> 
( 2  <_  (
( 2  x.  N
)  /  P )  /\  ( ( 2  x.  N )  /  P )  <  (
2  +  1 ) ) ) )
5956, 57, 58sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  /  P
) )  =  2  <-> 
( 2  <_  (
( 2  x.  N
)  /  P )  /\  ( ( 2  x.  N )  /  P )  <  (
2  +  1 ) ) ) )
6041, 55, 59mpbir2and 922 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  P ) )  =  2 )
6160adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  = 
1 )  ->  ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  /  P ) )  =  2 )
6215, 61eqtrd 2484 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  = 
1 )  ->  ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) ) )  =  2 )
6313oveq2d 6297 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  = 
1 )  ->  ( N  /  ( P ^
k ) )  =  ( N  /  P
) )
6463fveq2d 5860 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  = 
1 )  ->  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) )  =  ( |_ `  ( N  /  P ) ) )
65 remulcl 9580 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( N  /  P
)  e.  RR )  ->  ( 2  x.  ( N  /  P
) )  e.  RR )
6629, 27, 65sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( N  /  P ) )  e.  RR )
6747a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  3  e.  RR )
68 4re 10618 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  4  e.  RR
6968a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  4  e.  RR )
7040, 53eqbrtrrd 4459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( N  /  P ) )  <  3 )
71 3lt4 10711 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  3  <  4
7271a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  3  <  4 )
7366, 67, 69, 70, 72lttrd 9746 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( N  /  P ) )  <  4 )
74 2t2e4 10691 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
7573, 74syl6breqr 4477 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( N  /  P ) )  <  ( 2  x.  2 ) )
76 ltmul2 10399 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  /  P
)  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( N  /  P )  <  2  <->  ( 2  x.  ( N  /  P
) )  <  (
2  x.  2 ) ) )
7729, 31, 76mp3an23 1317 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  /  P )  e.  RR  ->  (
( N  /  P
)  <  2  <->  ( 2  x.  ( N  /  P ) )  < 
( 2  x.  2 ) ) )
7827, 77syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( N  /  P )  <  2  <->  ( 2  x.  ( N  /  P ) )  <  ( 2  x.  2 ) ) )
7975, 78mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( N  /  P
)  <  2 )
80 df-2 10600 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  =  ( 1  +  1 )
8179, 80syl6breq 4476 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( N  /  P
)  <  ( 1  +  1 ) )
82 1z 10900 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  ZZ
83 flbi 11931 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  /  P
)  e.  RR  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( ( |_ `  ( N  /  P
) )  =  1  <-> 
( 1  <_  ( N  /  P )  /\  ( N  /  P
)  <  ( 1  +  1 ) ) ) )
8427, 82, 83sylancl 662 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  ( N  /  P
) )  =  1  <-> 
( 1  <_  ( N  /  P )  /\  ( N  /  P
)  <  ( 1  +  1 ) ) ) )
8526, 81, 84mpbir2and 922 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( N  /  P ) )  =  1 )
8685adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  = 
1 )  ->  ( |_ `  ( N  /  P ) )  =  1 )
8764, 86eqtrd 2484 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  = 
1 )  ->  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) )  =  1 )
8887oveq2d 6297 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  = 
1 )  ->  (
2  x.  ( |_
`  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) )  =  ( 2  x.  1 ) )
8988, 16syl6eq 2500 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  = 
1 )  ->  (
2  x.  ( |_
`  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) )  =  2 )
9062, 89oveq12d 6299 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  = 
1 )  ->  (
( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  ( P ^ k ) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) ) ) )  =  ( 2  -  2 ) )
91 2cn 10612 . . . . . . . 8  |-  2  e.  CC
9291subidi 9895 . . . . . . 7  |-  ( 2  -  2 )  =  0
9390, 92syl6eq 2500 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  = 
1 )  ->  (
( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  ( P ^ k ) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) ) ) )  =  0 )
9445nnrpd 11264 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  e.  RR+ )
9594adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( 2  x.  N )  e.  RR+ )
96 eluzge2nn0 11129 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  k  e.  NN0 )
97 nnexpcl 12158 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( P ^ k
)  e.  NN )
9810, 96, 97syl2an 477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( P ^ k )  e.  NN )
9998nnrpd 11264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( P ^ k )  e.  RR+ )
10095, 99rpdivcld 11282 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( (
2  x.  N )  /  ( P ^
k ) )  e.  RR+ )
101100rpge0d 11269 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  0  <_  ( ( 2  x.  N
)  /  ( P ^ k ) ) )
10246adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( 2  x.  N )  e.  RR )
103 remulcl 9580 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 3  e.  RR  /\  P  e.  RR )  ->  ( 3  x.  P
)  e.  RR )
10447, 22, 103sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 3  x.  P
)  e.  RR )
105104adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( 3  x.  P )  e.  RR )
10698nnred 10557 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( P ^ k )  e.  RR )
107 ltdivmul 10423 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  RR  /\  P  e.  RR  /\  (
3  e.  RR  /\  0  <  3 ) )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  /  3 )  < 
P  <->  ( 2  x.  N )  <  (
3  x.  P ) ) )
10849, 107mp3an3 1314 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  RR  /\  P  e.  RR )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  / 
3 )  <  P  <->  ( 2  x.  N )  <  ( 3  x.  P ) ) )
10946, 22, 108syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  N )  / 
3 )  <  P  <->  ( 2  x.  N )  <  ( 3  x.  P ) ) )
11042, 109mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  <  ( 3  x.  P ) )
111110adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( 2  x.  N )  < 
( 3  x.  P
) )
11222, 22remulcld 9627 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( P  x.  P
)  e.  RR )
113112adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( P  x.  P )  e.  RR )
114 bposlem2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  2  <  P )
115 nnltp1le 10925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  P  e.  NN )  ->  ( 2  <  P  <->  ( 2  +  1 )  <_  P ) )
11643, 10, 115sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( 2  <  P  <->  ( 2  +  1 )  <_  P ) )
117114, 116mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 2  +  1 )  <_  P )
11854, 117syl5eqbr 4470 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  3  <_  P )
119 lemul1 10400 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 3  e.  RR  /\  P  e.  RR  /\  ( P  e.  RR  /\  0  <  P ) )  -> 
( 3  <_  P  <->  ( 3  x.  P )  <_  ( P  x.  P ) ) )
12047, 119mp3an1 1312 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( P  e.  RR  /\  ( P  e.  RR  /\  0  <  P ) )  ->  ( 3  <_  P  <->  ( 3  x.  P )  <_ 
( P  x.  P
) ) )
12122, 22, 23, 120syl12anc 1227 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 3  <_  P  <->  ( 3  x.  P )  <_  ( P  x.  P ) ) )
122118, 121mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 3  x.  P
)  <_  ( P  x.  P ) )
123122adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( 3  x.  P )  <_ 
( P  x.  P
) )
12411sqvald 12286 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( P ^ 2 )  =  ( P  x.  P ) )
125124adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( P ^ 2 )  =  ( P  x.  P
) )
12622adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  P  e.  RR )
12710nnge1d 10584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  1  <_  P )
128127adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  1  <_  P )
129 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
130126, 128, 129leexp2ad 12321 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( P ^ 2 )  <_ 
( P ^ k
) )
131125, 130eqbrtrrd 4459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( P  x.  P )  <_  ( P ^ k ) )
132105, 113, 106, 123, 131letrd 9742 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( 3  x.  P )  <_ 
( P ^ k
) )
133102, 105, 106, 111, 132ltletrd 9745 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( 2  x.  N )  < 
( P ^ k
) )
13498nncnd 10558 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( P ^ k )  e.  CC )
135134mulid1d 9616 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( ( P ^ k )  x.  1 )  =  ( P ^ k ) )
136133, 135breqtrrd 4463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( 2  x.  N )  < 
( ( P ^
k )  x.  1 ) )
137 1red 9614 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  1  e.  RR )
138102, 137, 99ltdivmuld 11312 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( (
( 2  x.  N
)  /  ( P ^ k ) )  <  1  <->  ( 2  x.  N )  < 
( ( P ^
k )  x.  1 ) ) )
139136, 138mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( (
2  x.  N )  /  ( P ^
k ) )  <  1 )
140 1e0p1 11012 . . . . . . . . . 10  |-  1  =  ( 0  +  1 )
141139, 140syl6breq 4476 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( (
2  x.  N )  /  ( P ^
k ) )  < 
( 0  +  1 ) )
142100rpred 11265 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( (
2  x.  N )  /  ( P ^
k ) )  e.  RR )
143 0z 10881 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  ZZ
144 flbi 11931 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( 2  x.  N )  /  ( P ^ k ) )  e.  RR  /\  0  e.  ZZ )  ->  (
( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  ( P ^ k ) ) )  =  0  <->  (
0  <_  ( (
2  x.  N )  /  ( P ^
k ) )  /\  ( ( 2  x.  N )  /  ( P ^ k ) )  <  ( 0  +  1 ) ) ) )
145142, 143, 144sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) ) )  =  0  <->  ( 0  <_ 
( ( 2  x.  N )  /  ( P ^ k ) )  /\  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) )  <  (
0  +  1 ) ) ) )
146101, 141, 145mpbir2and 922 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  /  ( P ^ k ) ) )  =  0 )
1471nnrpd 11264 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  N  e.  RR+ )
148147adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  N  e.  RR+ )
149148, 99rpdivcld 11282 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( N  /  ( P ^
k ) )  e.  RR+ )
150149rpge0d 11269 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  0  <_  ( N  /  ( P ^ k ) ) )
15121adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  N  e.  RR )
15221, 147ltaddrpd 11294 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  N  <  ( N  +  N ) )
153382timesd 10787 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  =  ( N  +  N ) )
154152, 153breqtrrd 4463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  N  <  ( 2  x.  N ) )
155154adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  N  <  ( 2  x.  N ) )
156151, 102, 106, 155, 133lttrd 9746 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  N  <  ( P ^ k ) )
157156, 135breqtrrd 4463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  N  <  ( ( P ^ k
)  x.  1 ) )
158151, 137, 99ltdivmuld 11312 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( ( N  /  ( P ^
k ) )  <  1  <->  N  <  ( ( P ^ k )  x.  1 ) ) )
159157, 158mpbird 232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( N  /  ( P ^
k ) )  <  1 )
160159, 140syl6breq 4476 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( N  /  ( P ^
k ) )  < 
( 0  +  1 ) )
161149rpred 11265 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( N  /  ( P ^
k ) )  e.  RR )
162 flbi 11931 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  /  ( P ^ k ) )  e.  RR  /\  0  e.  ZZ )  ->  (
( |_ `  ( N  /  ( P ^
k ) ) )  =  0  <->  ( 0  <_  ( N  / 
( P ^ k
) )  /\  ( N  /  ( P ^
k ) )  < 
( 0  +  1 ) ) ) )
163161, 143, 162sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) )  =  0  <->  ( 0  <_ 
( N  /  ( P ^ k ) )  /\  ( N  / 
( P ^ k
) )  <  (
0  +  1 ) ) ) )
164150, 160, 163mpbir2and 922 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) )  =  0 )
165164oveq2d 6297 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) ) )  =  ( 2  x.  0 ) )
166 2t0e0 10697 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  x.  0 )  =  0
167165, 166syl6eq 2500 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) ) )  =  0 )
168146, 167oveq12d 6299 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) )  =  ( 0  -  0 ) )
169 0m0e0 10651 . . . . . . 7  |-  ( 0  -  0 )  =  0
170168, 169syl6eq 2500 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) )  =  0 )
17193, 170jaodan 785 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( k  =  1  \/  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )  ->  (
( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  ( P ^ k ) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) ) ) )  =  0 )
1727, 171sylan2 474 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... (
2  x.  N ) ) )  ->  (
( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  ( P ^ k ) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) ) ) )  =  0 )
173172sumeq2dv 13504 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) ) ( ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  /  ( P ^ k ) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) ) ) )  = 
sum_ k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) ) 0 )
174 fzfid 12062 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1 ... (
2  x.  N ) )  e.  Fin )
175 sumz 13523 . . . . 5  |-  ( ( ( 1 ... (
2  x.  N ) )  C_  ( ZZ>= ` 
1 )  \/  (
1 ... ( 2  x.  N ) )  e. 
Fin )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... (
2  x.  N ) ) 0  =  0 )
176175olcs 395 . . . 4  |-  ( ( 1 ... ( 2  x.  N ) )  e.  Fin  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... (
2  x.  N ) ) 0  =  0 )
177174, 176syl 16 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) ) 0  =  0 )
178173, 177eqtrd 2484 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) ) ( ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  /  ( P ^ k ) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) ) ) )  =  0 )
1794, 178eqtrd 2484 1  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  =  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804    C_ wss 3461   class class class wbr 4437   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   Fincfn 7518   RRcr 9494   0cc0 9495   1c1 9496    + caddc 9498    x. cmul 9500    < clt 9631    <_ cle 9632    - cmin 9810    / cdiv 10212   NNcn 10542   2c2 10591   3c3 10592   4c4 10593   NN0cn0 10801   ZZcz 10870   ZZ>=cuz 11090   RR+crp 11229   ...cfz 11681   |_cfl 11906   ^cexp 12145    _C cbc 12359   sum_csu 13487   Primecprime 14094    pCnt cpc 14237
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10213  df-nn 10543  df-2 10600  df-3 10601  df-4 10602  df-n0 10802  df-z 10871  df-uz 11091  df-q 11192  df-rp 11230  df-fz 11682  df-fzo 11804  df-fl 11908  df-mod 11976  df-seq 12087  df-exp 12146  df-fac 12333  df-bc 12360  df-hash 12385  df-cj 12911  df-re 12912  df-im 12913  df-sqrt 13047  df-abs 13048  df-clim 13290  df-sum 13488  df-dvds 13864  df-gcd 14022  df-prm 14095  df-pc 14238
This theorem is referenced by:  bposlem3  23433
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