Theorem bposlem2 22509

Description: There are no odd primes in the range ( 2 N / 3 , N ] dividing the N-th central binomial coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
bposlem2.1	|- ( ph -> N e. NN )
bposlem2.2	|- ( ph -> P e. Prime )
bposlem2.3	|- ( ph -> 2 < P )
bposlem2.4	|- ( ph -> ( ( 2 x. N ) / 3 ) < P )
bposlem2.5	|- ( ph -> P <_ N )

Assertion

Ref	Expression
bposlem2	|- ( ph -> ( P pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) = 0 )

Proof of Theorem bposlem2

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bposlem2.1	. . 3 |- ( ph -> N e. NN )
2		bposlem2.2	. . 3 |- ( ph -> P e. Prime )
3		pcbcctr 22500	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ P e. Prime ) -> ( P pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) = sum_ k e. ( 1 ... ( 2 x. N ) ) ( ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) ) - ( 2 x. ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) ) ) )
4	1, 2, 3	syl2anc 654	. 2 |- ( ph -> ( P pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) = sum_ k e. ( 1 ... ( 2 x. N ) ) ( ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) ) - ( 2 x. ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) ) ) )
5		elfznn 11465	. . . . . 6 |- ( k e. ( 1 ... ( 2 x. N ) ) -> k e. NN )
6		elnn1uz2 10919	. . . . . 6 |- ( k e. NN <-> ( k = 1 \/ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
7	5, 6	sylib 196	. . . . 5 |- ( k e. ( 1 ... ( 2 x. N ) ) -> ( k = 1 \/ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
8		oveq2 6088	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = 1 -> ( P ^ k ) = ( P ^ 1 ) )
9		prmnn 13749	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
10	2, 9	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> P e. NN )
11	10	nncnd 10326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> P e. CC )
12	11	exp1d 11987	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( P ^ 1 ) = P )
13	8, 12	sylan9eqr 2487	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k = 1 ) -> ( P ^ k ) = P )
14	13	oveq2d 6096	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k = 1 ) -> ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) = ( ( 2 x. N ) / P ) )
15	14	fveq2d 5683	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k = 1 ) -> ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) ) = ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / P ) ) )
16		2t1e2 10458	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 2 x. 1 ) = 2
17	11	mulid2d 9392	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( 1 x. P ) = P )
18		bposlem2.5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> P <_ N )
19	17, 18	eqbrtrd 4300	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( 1 x. P ) <_ N )
20		1red 9389	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> 1 e. RR )
21	1	nnred 10325	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> N e. RR )
22	10	nnred 10325	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> P e. RR )
23	10	nngt0d 10353	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> 0 < P )
24		lemuldiv 10199	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 e. RR /\ N e. RR /\ ( P e. RR /\ 0 < P ) ) -> ( ( 1 x. P ) <_ N <-> 1 <_ ( N / P ) ) )
25	20, 21, 22, 23, 24	syl112anc 1215	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( 1 x. P ) <_ N <-> 1 <_ ( N / P ) ) )
26	19, 25	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 1 <_ ( N / P ) )
27	21, 10	nndivred 10358	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( N / P ) e. RR )
28		1re 9373	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. RR
29		2re 10379	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 2 e. RR
30		2pos 10401	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 0 < 2
31	29, 30	pm3.2i 452	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
32		lemul2 10170	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 e. RR /\ ( N / P ) e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( 1 <_ ( N / P ) <-> ( 2 x. 1 ) <_ ( 2 x. ( N / P ) ) ) )
33	28, 31, 32	mp3an13 1298	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N / P ) e. RR -> ( 1 <_ ( N / P ) <-> ( 2 x. 1 ) <_ ( 2 x. ( N / P ) ) ) )
34	27, 33	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 1 <_ ( N / P ) <-> ( 2 x. 1 ) <_ ( 2 x. ( N / P ) ) ) )
35	26, 34	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 2 x. 1 ) <_ ( 2 x. ( N / P ) ) )
36	16, 35	syl5eqbrr 4314	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 2 <_ ( 2 x. ( N / P ) ) )
37		2cnd 10382	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 2 e. CC )
38	1	nncnd 10326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> N e. CC )
39	10	nnne0d 10354	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> P =/= 0 )
40	37, 38, 11, 39	divassd 10130	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) / P ) = ( 2 x. ( N / P ) ) )
41	36, 40	breqtrrd 4306	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 2 <_ ( ( 2 x. N ) / P ) )
42		bposlem2.4	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) / 3 ) < P )
43		2nn 10467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 2 e. NN
44		nnmulcl 10333	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 2 e. NN /\ N e. NN ) -> ( 2 x. N ) e. NN )
45	43, 1, 44	sylancr 656	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( 2 x. N ) e. NN )
46	45	nnred 10325	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 2 x. N ) e. RR )
47		3re 10383	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 3 e. RR
48		3pos 10403	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 < 3
49	47, 48	pm3.2i 452	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 3 e. RR /\ 0 < 3 )
50		ltdiv23 10211	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( 2 x. N ) e. RR /\ ( 3 e. RR /\ 0 < 3 ) /\ ( P e. RR /\ 0 < P ) ) -> ( ( ( 2 x. N ) / 3 ) < P <-> ( ( 2 x. N ) / P ) < 3 ) )
51	49, 50	mp3an2 1295	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( 2 x. N ) e. RR /\ ( P e. RR /\ 0 < P ) ) -> ( ( ( 2 x. N ) / 3 ) < P <-> ( ( 2 x. N ) / P ) < 3 ) )
52	46, 22, 23, 51	syl12anc 1209	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. N ) / 3 ) < P <-> ( ( 2 x. N ) / P ) < 3 ) )
53	42, 52	mpbid 210	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) / P ) < 3 )
54		df-3 10369	. . . . . . . . . . . 12 |- 3 = ( 2 + 1 )
55	53, 54	syl6breq 4319	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) / P ) < ( 2 + 1 ) )
56	46, 10	nndivred 10358	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) / P ) e. RR )
57		2z 10666	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. ZZ
58		flbi 11648	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( 2 x. N ) / P ) e. RR /\ 2 e. ZZ ) -> ( ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / P ) ) = 2 <-> ( 2 <_ ( ( 2 x. N ) / P ) /\ ( ( 2 x. N ) / P ) < ( 2 + 1 ) ) ) )
59	56, 57, 58	sylancl 655	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / P ) ) = 2 <-> ( 2 <_ ( ( 2 x. N ) / P ) /\ ( ( 2 x. N ) / P ) < ( 2 + 1 ) ) ) )
60	41, 55, 59	mpbir2and 906	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / P ) ) = 2 )
61	60	adantr 462	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k = 1 ) -> ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / P ) ) = 2 )
62	15, 61	eqtrd 2465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k = 1 ) -> ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) ) = 2 )
63	13	oveq2d 6096	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k = 1 ) -> ( N / ( P ^ k ) ) = ( N / P ) )
64	63	fveq2d 5683	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k = 1 ) -> ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) = ( |_ ` ( N / P ) ) )
65		remulcl 9355	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 2 e. RR /\ ( N / P ) e. RR ) -> ( 2 x. ( N / P ) ) e. RR )
66	29, 27, 65	sylancr 656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( 2 x. ( N / P ) ) e. RR )
67	47	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> 3 e. RR )
68		4re 10386	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 4 e. RR
69	68	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> 4 e. RR )
70	40, 53	eqbrtrrd 4302	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( 2 x. ( N / P ) ) < 3 )
71		3lt4 10479	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 3 < 4
72	71	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> 3 < 4 )
73	66, 67, 69, 70, 72	lttrd 9520	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( 2 x. ( N / P ) ) < 4 )
74		2t2e4 10459	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 2 x. 2 ) = 4
75	73, 74	syl6breqr 4320	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( 2 x. ( N / P ) ) < ( 2 x. 2 ) )
76		ltmul2 10168	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( N / P ) e. RR /\ 2 e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( N / P ) < 2 <-> ( 2 x. ( N / P ) ) < ( 2 x. 2 ) ) )
77	29, 31, 76	mp3an23 1299	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N / P ) e. RR -> ( ( N / P ) < 2 <-> ( 2 x. ( N / P ) ) < ( 2 x. 2 ) ) )
78	27, 77	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( N / P ) < 2 <-> ( 2 x. ( N / P ) ) < ( 2 x. 2 ) ) )
79	75, 78	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( N / P ) < 2 )
80		df-2 10368	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 = ( 1 + 1 )
81	79, 80	syl6breq 4319	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( N / P ) < ( 1 + 1 ) )
82		1z 10664	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. ZZ
83		flbi 11648	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N / P ) e. RR /\ 1 e. ZZ ) -> ( ( |_ ` ( N / P ) ) = 1 <-> ( 1 <_ ( N / P ) /\ ( N / P ) < ( 1 + 1 ) ) ) )
84	27, 82, 83	sylancl 655	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( |_ ` ( N / P ) ) = 1 <-> ( 1 <_ ( N / P ) /\ ( N / P ) < ( 1 + 1 ) ) ) )
85	26, 81, 84	mpbir2and 906	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( |_ ` ( N / P ) ) = 1 )
86	85	adantr 462	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k = 1 ) -> ( |_ ` ( N / P ) ) = 1 )
87	64, 86	eqtrd 2465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k = 1 ) -> ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) = 1 )
88	87	oveq2d 6096	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k = 1 ) -> ( 2 x. ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) ) = ( 2 x. 1 ) )
89	88, 16	syl6eq 2481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k = 1 ) -> ( 2 x. ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) ) = 2 )
90	62, 89	oveq12d 6098	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k = 1 ) -> ( ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) ) - ( 2 x. ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) ) ) = ( 2 - 2 ) )
91		2cn 10380	. . . . . . . 8 |- 2 e. CC
92	91	subidi 9667	. . . . . . 7 |- ( 2 - 2 ) = 0
93	90, 92	syl6eq 2481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k = 1 ) -> ( ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) ) - ( 2 x. ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) ) ) = 0 )
94	45	nnrpd 11014	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 2 x. N ) e. RR+ )
95	94	adantr 462	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( 2 x. N ) e. RR+ )
96		2nn0 10584	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. NN0
97		eluznn0 10912	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 2 e. NN0 /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> k e. NN0 )
98	96, 97	mpan 663	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( ZZ>= ` 2 ) -> k e. NN0 )
99		nnexpcl 11862	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( P e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( P ^ k ) e. NN )
100	10, 98, 99	syl2an 474	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( P ^ k ) e. NN )
101	100	nnrpd 11014	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( P ^ k ) e. RR+ )
102	95, 101	rpdivcld 11032	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) e. RR+ )
103	102	rpge0d 11019	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> 0 <_ ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) )
104	46	adantr 462	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( 2 x. N ) e. RR )
105		remulcl 9355	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 3 e. RR /\ P e. RR ) -> ( 3 x. P ) e. RR )
106	47, 22, 105	sylancr 656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 3 x. P ) e. RR )
107	106	adantr 462	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( 3 x. P ) e. RR )
108	100	nnred 10325	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( P ^ k ) e. RR )
109		ltdivmul 10192	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( 2 x. N ) e. RR /\ P e. RR /\ ( 3 e. RR /\ 0 < 3 ) ) -> ( ( ( 2 x. N ) / 3 ) < P <-> ( 2 x. N ) < ( 3 x. P ) ) )
110	49, 109	mp3an3 1296	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( 2 x. N ) e. RR /\ P e. RR ) -> ( ( ( 2 x. N ) / 3 ) < P <-> ( 2 x. N ) < ( 3 x. P ) ) )
111	46, 22, 110	syl2anc 654	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. N ) / 3 ) < P <-> ( 2 x. N ) < ( 3 x. P ) ) )
112	42, 111	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 2 x. N ) < ( 3 x. P ) )
113	112	adantr 462	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( 2 x. N ) < ( 3 x. P ) )
114	22, 22	remulcld 9402	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( P x. P ) e. RR )
115	114	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( P x. P ) e. RR )
116		bposlem2.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> 2 < P )
117		nnltp1le 10688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 2 e. NN /\ P e. NN ) -> ( 2 < P <-> ( 2 + 1 ) <_ P ) )
118	43, 10, 117	sylancr 656	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( 2 < P <-> ( 2 + 1 ) <_ P ) )
119	116, 118	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( 2 + 1 ) <_ P )
120	54, 119	syl5eqbr 4313	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> 3 <_ P )
121		lemul1 10169	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 3 e. RR /\ P e. RR /\ ( P e. RR /\ 0 < P ) ) -> ( 3 <_ P <-> ( 3 x. P ) <_ ( P x. P ) ) )
122	47, 121	mp3an1 1294	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( P e. RR /\ ( P e. RR /\ 0 < P ) ) -> ( 3 <_ P <-> ( 3 x. P ) <_ ( P x. P ) ) )
123	22, 22, 23, 122	syl12anc 1209	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( 3 <_ P <-> ( 3 x. P ) <_ ( P x. P ) ) )
124	120, 123	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( 3 x. P ) <_ ( P x. P ) )
125	124	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( 3 x. P ) <_ ( P x. P ) )
126	11	sqvald 11989	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( P ^ 2 ) = ( P x. P ) )
127	126	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( P ^ 2 ) = ( P x. P ) )
128	22	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> P e. RR )
129	10	nnge1d 10352	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> 1 <_ P )
130	129	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> 1 <_ P )
131		simpr 458	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> k e. ( ZZ>= ` 2 ) )
132	128, 130, 131	leexp2ad 12024	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( P ^ 2 ) <_ ( P ^ k ) )
133	127, 132	eqbrtrrd 4302	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( P x. P ) <_ ( P ^ k ) )
134	107, 115, 108, 125, 133	letrd 9516	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( 3 x. P ) <_ ( P ^ k ) )
135	104, 107, 108, 113, 134	ltletrd 9519	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( 2 x. N ) < ( P ^ k ) )
136	100	nncnd 10326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( P ^ k ) e. CC )
137	136	mulid1d 9391	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( P ^ k ) x. 1 ) = ( P ^ k ) )
138	135, 137	breqtrrd 4306	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( 2 x. N ) < ( ( P ^ k ) x. 1 ) )
139		1red 9389	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> 1 e. RR )
140	104, 139, 101	ltdivmuld 11062	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) < 1 <-> ( 2 x. N ) < ( ( P ^ k ) x. 1 ) ) )
141	138, 140	mpbird 232	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) < 1 )
142		1e0p1 10771	. . . . . . . . . 10 |- 1 = ( 0 + 1 )
143	141, 142	syl6breq 4319	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) < ( 0 + 1 ) )
144	102	rpred 11015	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) e. RR )
145		0z 10645	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. ZZ
146		flbi 11648	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) e. RR /\ 0 e. ZZ ) -> ( ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) ) = 0 <-> ( 0 <_ ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) /\ ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) < ( 0 + 1 ) ) ) )
147	144, 145, 146	sylancl 655	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) ) = 0 <-> ( 0 <_ ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) /\ ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) < ( 0 + 1 ) ) ) )
148	103, 143, 147	mpbir2and 906	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) ) = 0 )
149	1	nnrpd 11014	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> N e. RR+ )
150	149	adantr 462	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> N e. RR+ )
151	150, 101	rpdivcld 11032	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( N / ( P ^ k ) ) e. RR+ )
152	151	rpge0d 11019	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> 0 <_ ( N / ( P ^ k ) ) )
153	21	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> N e. RR )
154	21, 149	ltaddrpd 11044	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> N < ( N + N ) )
155	38	2timesd 10555	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( 2 x. N ) = ( N + N ) )
156	154, 155	breqtrrd 4306	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> N < ( 2 x. N ) )
157	156	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> N < ( 2 x. N ) )
158	153, 104, 108, 157, 135	lttrd 9520	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> N < ( P ^ k ) )
159	158, 137	breqtrrd 4306	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> N < ( ( P ^ k ) x. 1 ) )
160	153, 139, 101	ltdivmuld 11062	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( N / ( P ^ k ) ) < 1 <-> N < ( ( P ^ k ) x. 1 ) ) )
161	159, 160	mpbird 232	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( N / ( P ^ k ) ) < 1 )
162	161, 142	syl6breq 4319	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( N / ( P ^ k ) ) < ( 0 + 1 ) )
163	151	rpred 11015	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( N / ( P ^ k ) ) e. RR )
164		flbi 11648	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N / ( P ^ k ) ) e. RR /\ 0 e. ZZ ) -> ( ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) = 0 <-> ( 0 <_ ( N / ( P ^ k ) ) /\ ( N / ( P ^ k ) ) < ( 0 + 1 ) ) ) )
165	163, 145, 164	sylancl 655	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) = 0 <-> ( 0 <_ ( N / ( P ^ k ) ) /\ ( N / ( P ^ k ) ) < ( 0 + 1 ) ) ) )
166	152, 162, 165	mpbir2and 906	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) = 0 )
167	166	oveq2d 6096	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( 2 x. ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) ) = ( 2 x. 0 ) )
168		2t0e0 10465	. . . . . . . . 9 |- ( 2 x. 0 ) = 0
169	167, 168	syl6eq 2481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( 2 x. ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) ) = 0 )
170	148, 169	oveq12d 6098	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) ) - ( 2 x. ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) ) ) = ( 0 - 0 ) )
171		0m0e0 10419	. . . . . . 7 |- ( 0 - 0 ) = 0
172	170, 171	syl6eq 2481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) ) - ( 2 x. ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) ) ) = 0 )
173	93, 172	jaodan 776	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( k = 1 \/ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) ) -> ( ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) ) - ( 2 x. ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) ) ) = 0 )
174	7, 173	sylan2 471	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( 2 x. N ) ) ) -> ( ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) ) - ( 2 x. ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) ) ) = 0 )
175	174	sumeq2dv 13164	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. ( 1 ... ( 2 x. N ) ) ( ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) ) - ( 2 x. ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) ) ) = sum_ k e. ( 1 ... ( 2 x. N ) ) 0 )
176		fzfid 11779	. . . 4 |- ( ph -> ( 1 ... ( 2 x. N ) ) e. Fin )
177		sumz 13183	. . . . 5 |- ( ( ( 1 ... ( 2 x. N ) ) C_ ( ZZ>= ` 1 ) \/ ( 1 ... ( 2 x. N ) ) e. Fin ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( 2 x. N ) ) 0 = 0 )
178	177	olcs 395	. . . 4 |- ( ( 1 ... ( 2 x. N ) ) e. Fin -> sum_ k e. ( 1 ... ( 2 x. N ) ) 0 = 0 )
179	176, 178	syl 16	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. ( 1 ... ( 2 x. N ) ) 0 = 0 )
180	175, 179	eqtrd 2465	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. ( 1 ... ( 2 x. N ) ) ( ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) ) - ( 2 x. ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) ) ) = 0 )
181	4, 180	eqtrd 2465	1 |- ( ph -> ( P pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) = 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   = wceq 1362   e. wcel 1755   C_ wss 3316   class class class wbr 4280   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   Fincfn 7298   RRcr 9269   0cc0 9270   1c1 9271   + caddc 9273   x. cmul 9275   < clt 9406   <_ cle 9407   - cmin 9583   / cdiv 9981   NNcn 10310   2c2 10359   3c3 10360   4c4 10361   NN0cn0 10567   ZZcz 10634   ZZ>=cuz 10849   RR+crp 10979   ...cfz 11424   |_cfl 11624   ^cexp 11849   _C cbc 12062   sum_csu 13147   Primecprime 13746   pCnt cpc 13886

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-inf2 7835  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347  ax-pre-sup 9348

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-fal 1368  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-se 4667  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-isom 5415  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-2o 6909  df-oadd 6912  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-sup 7679  df-oi 7712  df-card 8097  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-div 9982  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-4 10370  df-n0 10568  df-z 10635  df-uz 10850  df-q 10942  df-rp 10980  df-fz 11425  df-fzo 11533  df-fl 11626  df-mod 11693  df-seq 11791  df-exp 11850  df-fac 12036  df-bc 12063  df-hash 12088  df-cj 12572  df-re 12573  df-im 12574  df-sqr 12708  df-abs 12709  df-clim 12950  df-sum 13148  df-dvds 13519  df-gcd 13674  df-prm 13747  df-pc 13887

This theorem is referenced by:  bposlem3  22510