Theorem bposlem2 24206

Description: There are no odd primes in the range ( 2 N / 3 , N ] dividing the N-th central binomial coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
bposlem2.1	|- ( ph -> N e. NN )
bposlem2.2	|- ( ph -> P e. Prime )
bposlem2.3	|- ( ph -> 2 < P )
bposlem2.4	|- ( ph -> ( ( 2 x. N ) / 3 ) < P )
bposlem2.5	|- ( ph -> P <_ N )

Assertion

Ref	Expression
bposlem2	|- ( ph -> ( P pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) = 0 )

Proof of Theorem bposlem2

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bposlem2.1	. . 3 |- ( ph -> N e. NN )
2		bposlem2.2	. . 3 |- ( ph -> P e. Prime )
3		pcbcctr 24197	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ P e. Prime ) -> ( P pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) = sum_ k e. ( 1 ... ( 2 x. N ) ) ( ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) ) - ( 2 x. ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) ) ) )
4	1, 2, 3	syl2anc 666	. 2 |- ( ph -> ( P pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) = sum_ k e. ( 1 ... ( 2 x. N ) ) ( ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) ) - ( 2 x. ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) ) ) )
5		elfznn 11825	. . . . . 6 |- ( k e. ( 1 ... ( 2 x. N ) ) -> k e. NN )
6		elnn1uz2 11232	. . . . . 6 |- ( k e. NN <-> ( k = 1 \/ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
7	5, 6	sylib 200	. . . . 5 |- ( k e. ( 1 ... ( 2 x. N ) ) -> ( k = 1 \/ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
8		oveq2 6296	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = 1 -> ( P ^ k ) = ( P ^ 1 ) )
9		prmnn 14618	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
10	2, 9	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> P e. NN )
11	10	nncnd 10622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> P e. CC )
12	11	exp1d 12408	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( P ^ 1 ) = P )
13	8, 12	sylan9eqr 2506	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k = 1 ) -> ( P ^ k ) = P )
14	13	oveq2d 6304	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k = 1 ) -> ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) = ( ( 2 x. N ) / P ) )
15	14	fveq2d 5867	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k = 1 ) -> ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) ) = ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / P ) ) )
16		2t1e2 10755	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 2 x. 1 ) = 2
17	11	mulid2d 9658	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( 1 x. P ) = P )
18		bposlem2.5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> P <_ N )
19	17, 18	eqbrtrd 4422	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( 1 x. P ) <_ N )
20		1red 9655	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> 1 e. RR )
21	1	nnred 10621	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> N e. RR )
22	10	nnred 10621	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> P e. RR )
23	10	nngt0d 10650	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> 0 < P )
24		lemuldiv 10483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 e. RR /\ N e. RR /\ ( P e. RR /\ 0 < P ) ) -> ( ( 1 x. P ) <_ N <-> 1 <_ ( N / P ) ) )
25	20, 21, 22, 23, 24	syl112anc 1271	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( 1 x. P ) <_ N <-> 1 <_ ( N / P ) ) )
26	19, 25	mpbid 214	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 1 <_ ( N / P ) )
27	21, 10	nndivred 10655	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( N / P ) e. RR )
28		1re 9639	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. RR
29		2re 10676	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 2 e. RR
30		2pos 10698	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 0 < 2
31	29, 30	pm3.2i 457	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
32		lemul2 10455	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 e. RR /\ ( N / P ) e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( 1 <_ ( N / P ) <-> ( 2 x. 1 ) <_ ( 2 x. ( N / P ) ) ) )
33	28, 31, 32	mp3an13 1354	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N / P ) e. RR -> ( 1 <_ ( N / P ) <-> ( 2 x. 1 ) <_ ( 2 x. ( N / P ) ) ) )
34	27, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 1 <_ ( N / P ) <-> ( 2 x. 1 ) <_ ( 2 x. ( N / P ) ) ) )
35	26, 34	mpbid 214	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 2 x. 1 ) <_ ( 2 x. ( N / P ) ) )
36	16, 35	syl5eqbrr 4436	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 2 <_ ( 2 x. ( N / P ) ) )
37		2cnd 10679	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 2 e. CC )
38	1	nncnd 10622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> N e. CC )
39	10	nnne0d 10651	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> P =/= 0 )
40	37, 38, 11, 39	divassd 10415	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) / P ) = ( 2 x. ( N / P ) ) )
41	36, 40	breqtrrd 4428	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 2 <_ ( ( 2 x. N ) / P ) )
42		bposlem2.4	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) / 3 ) < P )
43		2nn 10764	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 2 e. NN
44		nnmulcl 10629	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 2 e. NN /\ N e. NN ) -> ( 2 x. N ) e. NN )
45	43, 1, 44	sylancr 668	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( 2 x. N ) e. NN )
46	45	nnred 10621	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 2 x. N ) e. RR )
47		3re 10680	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 3 e. RR
48		3pos 10700	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 < 3
49	47, 48	pm3.2i 457	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 3 e. RR /\ 0 < 3 )
50		ltdiv23 10494	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( 2 x. N ) e. RR /\ ( 3 e. RR /\ 0 < 3 ) /\ ( P e. RR /\ 0 < P ) ) -> ( ( ( 2 x. N ) / 3 ) < P <-> ( ( 2 x. N ) / P ) < 3 ) )
51	49, 50	mp3an2 1351	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( 2 x. N ) e. RR /\ ( P e. RR /\ 0 < P ) ) -> ( ( ( 2 x. N ) / 3 ) < P <-> ( ( 2 x. N ) / P ) < 3 ) )
52	46, 22, 23, 51	syl12anc 1265	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. N ) / 3 ) < P <-> ( ( 2 x. N ) / P ) < 3 ) )
53	42, 52	mpbid 214	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) / P ) < 3 )
54		df-3 10666	. . . . . . . . . . . 12 |- 3 = ( 2 + 1 )
55	53, 54	syl6breq 4441	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) / P ) < ( 2 + 1 ) )
56	46, 10	nndivred 10655	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) / P ) e. RR )
57		2z 10966	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. ZZ
58		flbi 12048	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( 2 x. N ) / P ) e. RR /\ 2 e. ZZ ) -> ( ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / P ) ) = 2 <-> ( 2 <_ ( ( 2 x. N ) / P ) /\ ( ( 2 x. N ) / P ) < ( 2 + 1 ) ) ) )
59	56, 57, 58	sylancl 667	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / P ) ) = 2 <-> ( 2 <_ ( ( 2 x. N ) / P ) /\ ( ( 2 x. N ) / P ) < ( 2 + 1 ) ) ) )
60	41, 55, 59	mpbir2and 932	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / P ) ) = 2 )
61	60	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k = 1 ) -> ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / P ) ) = 2 )
62	15, 61	eqtrd 2484	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k = 1 ) -> ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) ) = 2 )
63	13	oveq2d 6304	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k = 1 ) -> ( N / ( P ^ k ) ) = ( N / P ) )
64	63	fveq2d 5867	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k = 1 ) -> ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) = ( |_ ` ( N / P ) ) )
65		remulcl 9621	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 2 e. RR /\ ( N / P ) e. RR ) -> ( 2 x. ( N / P ) ) e. RR )
66	29, 27, 65	sylancr 668	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( 2 x. ( N / P ) ) e. RR )
67	47	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> 3 e. RR )
68		4re 10683	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 4 e. RR
69	68	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> 4 e. RR )
70	40, 53	eqbrtrrd 4424	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( 2 x. ( N / P ) ) < 3 )
71		3lt4 10776	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 3 < 4
72	71	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> 3 < 4 )
73	66, 67, 69, 70, 72	lttrd 9793	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( 2 x. ( N / P ) ) < 4 )
74		2t2e4 10756	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 2 x. 2 ) = 4
75	73, 74	syl6breqr 4442	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( 2 x. ( N / P ) ) < ( 2 x. 2 ) )
76		ltmul2 10453	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( N / P ) e. RR /\ 2 e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( N / P ) < 2 <-> ( 2 x. ( N / P ) ) < ( 2 x. 2 ) ) )
77	29, 31, 76	mp3an23 1355	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N / P ) e. RR -> ( ( N / P ) < 2 <-> ( 2 x. ( N / P ) ) < ( 2 x. 2 ) ) )
78	27, 77	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( N / P ) < 2 <-> ( 2 x. ( N / P ) ) < ( 2 x. 2 ) ) )
79	75, 78	mpbird 236	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( N / P ) < 2 )
80		df-2 10665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 = ( 1 + 1 )
81	79, 80	syl6breq 4441	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( N / P ) < ( 1 + 1 ) )
82		1z 10964	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. ZZ
83		flbi 12048	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N / P ) e. RR /\ 1 e. ZZ ) -> ( ( |_ ` ( N / P ) ) = 1 <-> ( 1 <_ ( N / P ) /\ ( N / P ) < ( 1 + 1 ) ) ) )
84	27, 82, 83	sylancl 667	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( |_ ` ( N / P ) ) = 1 <-> ( 1 <_ ( N / P ) /\ ( N / P ) < ( 1 + 1 ) ) ) )
85	26, 81, 84	mpbir2and 932	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( |_ ` ( N / P ) ) = 1 )
86	85	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k = 1 ) -> ( |_ ` ( N / P ) ) = 1 )
87	64, 86	eqtrd 2484	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k = 1 ) -> ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) = 1 )
88	87	oveq2d 6304	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k = 1 ) -> ( 2 x. ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) ) = ( 2 x. 1 ) )
89	88, 16	syl6eq 2500	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k = 1 ) -> ( 2 x. ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) ) = 2 )
90	62, 89	oveq12d 6306	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k = 1 ) -> ( ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) ) - ( 2 x. ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) ) ) = ( 2 - 2 ) )
91		2cn 10677	. . . . . . . 8 |- 2 e. CC
92	91	subidi 9942	. . . . . . 7 |- ( 2 - 2 ) = 0
93	90, 92	syl6eq 2500	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k = 1 ) -> ( ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) ) - ( 2 x. ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) ) ) = 0 )
94	45	nnrpd 11336	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 2 x. N ) e. RR+ )
95	94	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( 2 x. N ) e. RR+ )
96		eluzge2nn0 11195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( ZZ>= ` 2 ) -> k e. NN0 )
97		nnexpcl 12282	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( P e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( P ^ k ) e. NN )
98	10, 96, 97	syl2an 480	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( P ^ k ) e. NN )
99	98	nnrpd 11336	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( P ^ k ) e. RR+ )
100	95, 99	rpdivcld 11355	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) e. RR+ )
101	100	rpge0d 11342	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> 0 <_ ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) )
102	46	adantr 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( 2 x. N ) e. RR )
103		remulcl 9621	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 3 e. RR /\ P e. RR ) -> ( 3 x. P ) e. RR )
104	47, 22, 103	sylancr 668	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 3 x. P ) e. RR )
105	104	adantr 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( 3 x. P ) e. RR )
106	98	nnred 10621	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( P ^ k ) e. RR )
107		ltdivmul 10477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( 2 x. N ) e. RR /\ P e. RR /\ ( 3 e. RR /\ 0 < 3 ) ) -> ( ( ( 2 x. N ) / 3 ) < P <-> ( 2 x. N ) < ( 3 x. P ) ) )
108	49, 107	mp3an3 1352	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( 2 x. N ) e. RR /\ P e. RR ) -> ( ( ( 2 x. N ) / 3 ) < P <-> ( 2 x. N ) < ( 3 x. P ) ) )
109	46, 22, 108	syl2anc 666	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. N ) / 3 ) < P <-> ( 2 x. N ) < ( 3 x. P ) ) )
110	42, 109	mpbid 214	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 2 x. N ) < ( 3 x. P ) )
111	110	adantr 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( 2 x. N ) < ( 3 x. P ) )
112	22, 22	remulcld 9668	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( P x. P ) e. RR )
113	112	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( P x. P ) e. RR )
114		bposlem2.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> 2 < P )
115		nnltp1le 10989	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 2 e. NN /\ P e. NN ) -> ( 2 < P <-> ( 2 + 1 ) <_ P ) )
116	43, 10, 115	sylancr 668	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( 2 < P <-> ( 2 + 1 ) <_ P ) )
117	114, 116	mpbid 214	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( 2 + 1 ) <_ P )
118	54, 117	syl5eqbr 4435	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> 3 <_ P )
119		lemul1 10454	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 3 e. RR /\ P e. RR /\ ( P e. RR /\ 0 < P ) ) -> ( 3 <_ P <-> ( 3 x. P ) <_ ( P x. P ) ) )
120	47, 119	mp3an1 1350	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( P e. RR /\ ( P e. RR /\ 0 < P ) ) -> ( 3 <_ P <-> ( 3 x. P ) <_ ( P x. P ) ) )
121	22, 22, 23, 120	syl12anc 1265	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( 3 <_ P <-> ( 3 x. P ) <_ ( P x. P ) ) )
122	118, 121	mpbid 214	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( 3 x. P ) <_ ( P x. P ) )
123	122	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( 3 x. P ) <_ ( P x. P ) )
124	11	sqvald 12410	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( P ^ 2 ) = ( P x. P ) )
125	124	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( P ^ 2 ) = ( P x. P ) )
126	22	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> P e. RR )
127	10	nnge1d 10649	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> 1 <_ P )
128	127	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> 1 <_ P )
129		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> k e. ( ZZ>= ` 2 ) )
130	126, 128, 129	leexp2ad 12445	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( P ^ 2 ) <_ ( P ^ k ) )
131	125, 130	eqbrtrrd 4424	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( P x. P ) <_ ( P ^ k ) )
132	105, 113, 106, 123, 131	letrd 9789	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( 3 x. P ) <_ ( P ^ k ) )
133	102, 105, 106, 111, 132	ltletrd 9792	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( 2 x. N ) < ( P ^ k ) )
134	98	nncnd 10622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( P ^ k ) e. CC )
135	134	mulid1d 9657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( P ^ k ) x. 1 ) = ( P ^ k ) )
136	133, 135	breqtrrd 4428	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( 2 x. N ) < ( ( P ^ k ) x. 1 ) )
137		1red 9655	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> 1 e. RR )
138	102, 137, 99	ltdivmuld 11386	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) < 1 <-> ( 2 x. N ) < ( ( P ^ k ) x. 1 ) ) )
139	136, 138	mpbird 236	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) < 1 )
140		1e0p1 11076	. . . . . . . . . 10 |- 1 = ( 0 + 1 )
141	139, 140	syl6breq 4441	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) < ( 0 + 1 ) )
142	100	rpred 11338	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) e. RR )
143		0z 10945	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. ZZ
144		flbi 12048	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) e. RR /\ 0 e. ZZ ) -> ( ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) ) = 0 <-> ( 0 <_ ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) /\ ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) < ( 0 + 1 ) ) ) )
145	142, 143, 144	sylancl 667	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) ) = 0 <-> ( 0 <_ ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) /\ ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) < ( 0 + 1 ) ) ) )
146	101, 141, 145	mpbir2and 932	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) ) = 0 )
147	1	nnrpd 11336	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> N e. RR+ )
148	147	adantr 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> N e. RR+ )
149	148, 99	rpdivcld 11355	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( N / ( P ^ k ) ) e. RR+ )
150	149	rpge0d 11342	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> 0 <_ ( N / ( P ^ k ) ) )
151	21	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> N e. RR )
152	21, 147	ltaddrpd 11368	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> N < ( N + N ) )
153	38	2timesd 10852	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( 2 x. N ) = ( N + N ) )
154	152, 153	breqtrrd 4428	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> N < ( 2 x. N ) )
155	154	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> N < ( 2 x. N ) )
156	151, 102, 106, 155, 133	lttrd 9793	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> N < ( P ^ k ) )
157	156, 135	breqtrrd 4428	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> N < ( ( P ^ k ) x. 1 ) )
158	151, 137, 99	ltdivmuld 11386	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( N / ( P ^ k ) ) < 1 <-> N < ( ( P ^ k ) x. 1 ) ) )
159	157, 158	mpbird 236	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( N / ( P ^ k ) ) < 1 )
160	159, 140	syl6breq 4441	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( N / ( P ^ k ) ) < ( 0 + 1 ) )
161	149	rpred 11338	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( N / ( P ^ k ) ) e. RR )
162		flbi 12048	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N / ( P ^ k ) ) e. RR /\ 0 e. ZZ ) -> ( ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) = 0 <-> ( 0 <_ ( N / ( P ^ k ) ) /\ ( N / ( P ^ k ) ) < ( 0 + 1 ) ) ) )
163	161, 143, 162	sylancl 667	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) = 0 <-> ( 0 <_ ( N / ( P ^ k ) ) /\ ( N / ( P ^ k ) ) < ( 0 + 1 ) ) ) )
164	150, 160, 163	mpbir2and 932	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) = 0 )
165	164	oveq2d 6304	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( 2 x. ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) ) = ( 2 x. 0 ) )
166		2t0e0 10762	. . . . . . . . 9 |- ( 2 x. 0 ) = 0
167	165, 166	syl6eq 2500	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( 2 x. ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) ) = 0 )
168	146, 167	oveq12d 6306	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) ) - ( 2 x. ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) ) ) = ( 0 - 0 ) )
169		0m0e0 10716	. . . . . . 7 |- ( 0 - 0 ) = 0
170	168, 169	syl6eq 2500	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) ) - ( 2 x. ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) ) ) = 0 )
171	93, 170	jaodan 793	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( k = 1 \/ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) ) -> ( ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) ) - ( 2 x. ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) ) ) = 0 )
172	7, 171	sylan2 477	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( 2 x. N ) ) ) -> ( ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) ) - ( 2 x. ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) ) ) = 0 )
173	172	sumeq2dv 13762	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. ( 1 ... ( 2 x. N ) ) ( ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) ) - ( 2 x. ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) ) ) = sum_ k e. ( 1 ... ( 2 x. N ) ) 0 )
174		fzfid 12183	. . . 4 |- ( ph -> ( 1 ... ( 2 x. N ) ) e. Fin )
175		sumz 13781	. . . . 5 |- ( ( ( 1 ... ( 2 x. N ) ) C_ ( ZZ>= ` 1 ) \/ ( 1 ... ( 2 x. N ) ) e. Fin ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( 2 x. N ) ) 0 = 0 )
176	175	olcs 397	. . . 4 |- ( ( 1 ... ( 2 x. N ) ) e. Fin -> sum_ k e. ( 1 ... ( 2 x. N ) ) 0 = 0 )
177	174, 176	syl 17	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. ( 1 ... ( 2 x. N ) ) 0 = 0 )
178	173, 177	eqtrd 2484	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. ( 1 ... ( 2 x. N ) ) ( ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) ) - ( 2 x. ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) ) ) = 0 )
179	4, 178	eqtrd 2484	1 |- ( ph -> ( P pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) = 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   \/ wo 370   /\ wa 371   = wceq 1443   e. wcel 1886   C_ wss 3403   class class class wbr 4401   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   Fincfn 7566   RRcr 9535   0cc0 9536   1c1 9537   + caddc 9539   x. cmul 9541   < clt 9672   <_ cle 9673   - cmin 9857   / cdiv 10266   NNcn 10606   2c2 10656   3c3 10657   4c4 10658   NN0cn0 10866   ZZcz 10934   ZZ>=cuz 11156   RR+crp 11299   ...cfz 11781   |_cfl 12023   ^cexp 12269   _C cbc 12484   sum_csu 13745   Primecprime 14615   pCnt cpc 14779

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-fal 1449  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-2o 7180  df-oadd 7183  df-er 7360  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8022  df-card 8370  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-4 10667  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-q 11262  df-rp 11300  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-fl 12025  df-mod 12094  df-seq 12211  df-exp 12270  df-fac 12457  df-bc 12485  df-hash 12513  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-clim 13545  df-sum 13746  df-dvds 14299  df-gcd 14462  df-prm 14616  df-pc 14780

This theorem is referenced by:  bposlem3  24207