Theorem bposlem2 23316

Description: There are no odd primes in the range ( 2 N / 3 , N ] dividing the N-th central binomial coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
bposlem2.1	|- ( ph -> N e. NN )
bposlem2.2	|- ( ph -> P e. Prime )
bposlem2.3	|- ( ph -> 2 < P )
bposlem2.4	|- ( ph -> ( ( 2 x. N ) / 3 ) < P )
bposlem2.5	|- ( ph -> P <_ N )

Assertion

Ref	Expression
bposlem2	|- ( ph -> ( P pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) = 0 )

Proof of Theorem bposlem2

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bposlem2.1	. . 3 |- ( ph -> N e. NN )
2		bposlem2.2	. . 3 |- ( ph -> P e. Prime )
3		pcbcctr 23307	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ P e. Prime ) -> ( P pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) = sum_ k e. ( 1 ... ( 2 x. N ) ) ( ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) ) - ( 2 x. ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) ) ) )
4	1, 2, 3	syl2anc 661	. 2 |- ( ph -> ( P pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) = sum_ k e. ( 1 ... ( 2 x. N ) ) ( ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) ) - ( 2 x. ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) ) ) )
5		elfznn 11714	. . . . . 6 |- ( k e. ( 1 ... ( 2 x. N ) ) -> k e. NN )
6		elnn1uz2 11158	. . . . . 6 |- ( k e. NN <-> ( k = 1 \/ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
7	5, 6	sylib 196	. . . . 5 |- ( k e. ( 1 ... ( 2 x. N ) ) -> ( k = 1 \/ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
8		oveq2 6292	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = 1 -> ( P ^ k ) = ( P ^ 1 ) )
9		prmnn 14079	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
10	2, 9	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> P e. NN )
11	10	nncnd 10552	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> P e. CC )
12	11	exp1d 12273	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( P ^ 1 ) = P )
13	8, 12	sylan9eqr 2530	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k = 1 ) -> ( P ^ k ) = P )
14	13	oveq2d 6300	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k = 1 ) -> ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) = ( ( 2 x. N ) / P ) )
15	14	fveq2d 5870	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k = 1 ) -> ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) ) = ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / P ) ) )
16		2t1e2 10684	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 2 x. 1 ) = 2
17	11	mulid2d 9614	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( 1 x. P ) = P )
18		bposlem2.5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> P <_ N )
19	17, 18	eqbrtrd 4467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( 1 x. P ) <_ N )
20		1red 9611	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> 1 e. RR )
21	1	nnred 10551	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> N e. RR )
22	10	nnred 10551	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> P e. RR )
23	10	nngt0d 10579	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> 0 < P )
24		lemuldiv 10424	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 e. RR /\ N e. RR /\ ( P e. RR /\ 0 < P ) ) -> ( ( 1 x. P ) <_ N <-> 1 <_ ( N / P ) ) )
25	20, 21, 22, 23, 24	syl112anc 1232	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( 1 x. P ) <_ N <-> 1 <_ ( N / P ) ) )
26	19, 25	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 1 <_ ( N / P ) )
27	21, 10	nndivred 10584	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( N / P ) e. RR )
28		1re 9595	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. RR
29		2re 10605	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 2 e. RR
30		2pos 10627	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 0 < 2
31	29, 30	pm3.2i 455	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
32		lemul2 10395	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 e. RR /\ ( N / P ) e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( 1 <_ ( N / P ) <-> ( 2 x. 1 ) <_ ( 2 x. ( N / P ) ) ) )
33	28, 31, 32	mp3an13 1315	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N / P ) e. RR -> ( 1 <_ ( N / P ) <-> ( 2 x. 1 ) <_ ( 2 x. ( N / P ) ) ) )
34	27, 33	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 1 <_ ( N / P ) <-> ( 2 x. 1 ) <_ ( 2 x. ( N / P ) ) ) )
35	26, 34	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 2 x. 1 ) <_ ( 2 x. ( N / P ) ) )
36	16, 35	syl5eqbrr 4481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 2 <_ ( 2 x. ( N / P ) ) )
37		2cnd 10608	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 2 e. CC )
38	1	nncnd 10552	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> N e. CC )
39	10	nnne0d 10580	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> P =/= 0 )
40	37, 38, 11, 39	divassd 10355	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) / P ) = ( 2 x. ( N / P ) ) )
41	36, 40	breqtrrd 4473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 2 <_ ( ( 2 x. N ) / P ) )
42		bposlem2.4	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) / 3 ) < P )
43		2nn 10693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 2 e. NN
44		nnmulcl 10559	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 2 e. NN /\ N e. NN ) -> ( 2 x. N ) e. NN )
45	43, 1, 44	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( 2 x. N ) e. NN )
46	45	nnred 10551	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 2 x. N ) e. RR )
47		3re 10609	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 3 e. RR
48		3pos 10629	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 < 3
49	47, 48	pm3.2i 455	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 3 e. RR /\ 0 < 3 )
50		ltdiv23 10436	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( 2 x. N ) e. RR /\ ( 3 e. RR /\ 0 < 3 ) /\ ( P e. RR /\ 0 < P ) ) -> ( ( ( 2 x. N ) / 3 ) < P <-> ( ( 2 x. N ) / P ) < 3 ) )
51	49, 50	mp3an2 1312	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( 2 x. N ) e. RR /\ ( P e. RR /\ 0 < P ) ) -> ( ( ( 2 x. N ) / 3 ) < P <-> ( ( 2 x. N ) / P ) < 3 ) )
52	46, 22, 23, 51	syl12anc 1226	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. N ) / 3 ) < P <-> ( ( 2 x. N ) / P ) < 3 ) )
53	42, 52	mpbid 210	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) / P ) < 3 )
54		df-3 10595	. . . . . . . . . . . 12 |- 3 = ( 2 + 1 )
55	53, 54	syl6breq 4486	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) / P ) < ( 2 + 1 ) )
56	46, 10	nndivred 10584	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) / P ) e. RR )
57		2z 10896	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. ZZ
58		flbi 11920	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( 2 x. N ) / P ) e. RR /\ 2 e. ZZ ) -> ( ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / P ) ) = 2 <-> ( 2 <_ ( ( 2 x. N ) / P ) /\ ( ( 2 x. N ) / P ) < ( 2 + 1 ) ) ) )
59	56, 57, 58	sylancl 662	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / P ) ) = 2 <-> ( 2 <_ ( ( 2 x. N ) / P ) /\ ( ( 2 x. N ) / P ) < ( 2 + 1 ) ) ) )
60	41, 55, 59	mpbir2and 920	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / P ) ) = 2 )
61	60	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k = 1 ) -> ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / P ) ) = 2 )
62	15, 61	eqtrd 2508	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k = 1 ) -> ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) ) = 2 )
63	13	oveq2d 6300	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k = 1 ) -> ( N / ( P ^ k ) ) = ( N / P ) )
64	63	fveq2d 5870	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k = 1 ) -> ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) = ( |_ ` ( N / P ) ) )
65		remulcl 9577	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 2 e. RR /\ ( N / P ) e. RR ) -> ( 2 x. ( N / P ) ) e. RR )
66	29, 27, 65	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( 2 x. ( N / P ) ) e. RR )
67	47	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> 3 e. RR )
68		4re 10612	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 4 e. RR
69	68	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> 4 e. RR )
70	40, 53	eqbrtrrd 4469	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( 2 x. ( N / P ) ) < 3 )
71		3lt4 10705	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 3 < 4
72	71	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> 3 < 4 )
73	66, 67, 69, 70, 72	lttrd 9742	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( 2 x. ( N / P ) ) < 4 )
74		2t2e4 10685	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 2 x. 2 ) = 4
75	73, 74	syl6breqr 4487	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( 2 x. ( N / P ) ) < ( 2 x. 2 ) )
76		ltmul2 10393	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( N / P ) e. RR /\ 2 e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( N / P ) < 2 <-> ( 2 x. ( N / P ) ) < ( 2 x. 2 ) ) )
77	29, 31, 76	mp3an23 1316	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N / P ) e. RR -> ( ( N / P ) < 2 <-> ( 2 x. ( N / P ) ) < ( 2 x. 2 ) ) )
78	27, 77	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( N / P ) < 2 <-> ( 2 x. ( N / P ) ) < ( 2 x. 2 ) ) )
79	75, 78	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( N / P ) < 2 )
80		df-2 10594	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 = ( 1 + 1 )
81	79, 80	syl6breq 4486	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( N / P ) < ( 1 + 1 ) )
82		1z 10894	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. ZZ
83		flbi 11920	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N / P ) e. RR /\ 1 e. ZZ ) -> ( ( |_ ` ( N / P ) ) = 1 <-> ( 1 <_ ( N / P ) /\ ( N / P ) < ( 1 + 1 ) ) ) )
84	27, 82, 83	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( |_ ` ( N / P ) ) = 1 <-> ( 1 <_ ( N / P ) /\ ( N / P ) < ( 1 + 1 ) ) ) )
85	26, 81, 84	mpbir2and 920	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( |_ ` ( N / P ) ) = 1 )
86	85	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k = 1 ) -> ( |_ ` ( N / P ) ) = 1 )
87	64, 86	eqtrd 2508	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k = 1 ) -> ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) = 1 )
88	87	oveq2d 6300	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k = 1 ) -> ( 2 x. ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) ) = ( 2 x. 1 ) )
89	88, 16	syl6eq 2524	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k = 1 ) -> ( 2 x. ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) ) = 2 )
90	62, 89	oveq12d 6302	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k = 1 ) -> ( ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) ) - ( 2 x. ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) ) ) = ( 2 - 2 ) )
91		2cn 10606	. . . . . . . 8 |- 2 e. CC
92	91	subidi 9890	. . . . . . 7 |- ( 2 - 2 ) = 0
93	90, 92	syl6eq 2524	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k = 1 ) -> ( ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) ) - ( 2 x. ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) ) ) = 0 )
94	45	nnrpd 11255	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 2 x. N ) e. RR+ )
95	94	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( 2 x. N ) e. RR+ )
96		2nn0 10812	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. NN0
97		eluznn0 11151	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 2 e. NN0 /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> k e. NN0 )
98	96, 97	mpan 670	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( ZZ>= ` 2 ) -> k e. NN0 )
99		nnexpcl 12147	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( P e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( P ^ k ) e. NN )
100	10, 98, 99	syl2an 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( P ^ k ) e. NN )
101	100	nnrpd 11255	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( P ^ k ) e. RR+ )
102	95, 101	rpdivcld 11273	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) e. RR+ )
103	102	rpge0d 11260	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> 0 <_ ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) )
104	46	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( 2 x. N ) e. RR )
105		remulcl 9577	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 3 e. RR /\ P e. RR ) -> ( 3 x. P ) e. RR )
106	47, 22, 105	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 3 x. P ) e. RR )
107	106	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( 3 x. P ) e. RR )
108	100	nnred 10551	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( P ^ k ) e. RR )
109		ltdivmul 10417	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( 2 x. N ) e. RR /\ P e. RR /\ ( 3 e. RR /\ 0 < 3 ) ) -> ( ( ( 2 x. N ) / 3 ) < P <-> ( 2 x. N ) < ( 3 x. P ) ) )
110	49, 109	mp3an3 1313	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( 2 x. N ) e. RR /\ P e. RR ) -> ( ( ( 2 x. N ) / 3 ) < P <-> ( 2 x. N ) < ( 3 x. P ) ) )
111	46, 22, 110	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. N ) / 3 ) < P <-> ( 2 x. N ) < ( 3 x. P ) ) )
112	42, 111	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 2 x. N ) < ( 3 x. P ) )
113	112	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( 2 x. N ) < ( 3 x. P ) )
114	22, 22	remulcld 9624	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( P x. P ) e. RR )
115	114	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( P x. P ) e. RR )
116		bposlem2.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> 2 < P )
117		nnltp1le 10918	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 2 e. NN /\ P e. NN ) -> ( 2 < P <-> ( 2 + 1 ) <_ P ) )
118	43, 10, 117	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( 2 < P <-> ( 2 + 1 ) <_ P ) )
119	116, 118	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( 2 + 1 ) <_ P )
120	54, 119	syl5eqbr 4480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> 3 <_ P )
121		lemul1 10394	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 3 e. RR /\ P e. RR /\ ( P e. RR /\ 0 < P ) ) -> ( 3 <_ P <-> ( 3 x. P ) <_ ( P x. P ) ) )
122	47, 121	mp3an1 1311	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( P e. RR /\ ( P e. RR /\ 0 < P ) ) -> ( 3 <_ P <-> ( 3 x. P ) <_ ( P x. P ) ) )
123	22, 22, 23, 122	syl12anc 1226	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( 3 <_ P <-> ( 3 x. P ) <_ ( P x. P ) ) )
124	120, 123	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( 3 x. P ) <_ ( P x. P ) )
125	124	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( 3 x. P ) <_ ( P x. P ) )
126	11	sqvald 12275	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( P ^ 2 ) = ( P x. P ) )
127	126	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( P ^ 2 ) = ( P x. P ) )
128	22	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> P e. RR )
129	10	nnge1d 10578	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> 1 <_ P )
130	129	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> 1 <_ P )
131		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> k e. ( ZZ>= ` 2 ) )
132	128, 130, 131	leexp2ad 12310	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( P ^ 2 ) <_ ( P ^ k ) )
133	127, 132	eqbrtrrd 4469	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( P x. P ) <_ ( P ^ k ) )
134	107, 115, 108, 125, 133	letrd 9738	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( 3 x. P ) <_ ( P ^ k ) )
135	104, 107, 108, 113, 134	ltletrd 9741	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( 2 x. N ) < ( P ^ k ) )
136	100	nncnd 10552	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( P ^ k ) e. CC )
137	136	mulid1d 9613	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( P ^ k ) x. 1 ) = ( P ^ k ) )
138	135, 137	breqtrrd 4473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( 2 x. N ) < ( ( P ^ k ) x. 1 ) )
139		1red 9611	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> 1 e. RR )
140	104, 139, 101	ltdivmuld 11303	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) < 1 <-> ( 2 x. N ) < ( ( P ^ k ) x. 1 ) ) )
141	138, 140	mpbird 232	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) < 1 )
142		1e0p1 11004	. . . . . . . . . 10 |- 1 = ( 0 + 1 )
143	141, 142	syl6breq 4486	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) < ( 0 + 1 ) )
144	102	rpred 11256	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) e. RR )
145		0z 10875	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. ZZ
146		flbi 11920	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) e. RR /\ 0 e. ZZ ) -> ( ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) ) = 0 <-> ( 0 <_ ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) /\ ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) < ( 0 + 1 ) ) ) )
147	144, 145, 146	sylancl 662	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) ) = 0 <-> ( 0 <_ ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) /\ ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) < ( 0 + 1 ) ) ) )
148	103, 143, 147	mpbir2and 920	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) ) = 0 )
149	1	nnrpd 11255	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> N e. RR+ )
150	149	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> N e. RR+ )
151	150, 101	rpdivcld 11273	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( N / ( P ^ k ) ) e. RR+ )
152	151	rpge0d 11260	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> 0 <_ ( N / ( P ^ k ) ) )
153	21	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> N e. RR )
154	21, 149	ltaddrpd 11285	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> N < ( N + N ) )
155	38	2timesd 10781	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( 2 x. N ) = ( N + N ) )
156	154, 155	breqtrrd 4473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> N < ( 2 x. N ) )
157	156	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> N < ( 2 x. N ) )
158	153, 104, 108, 157, 135	lttrd 9742	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> N < ( P ^ k ) )
159	158, 137	breqtrrd 4473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> N < ( ( P ^ k ) x. 1 ) )
160	153, 139, 101	ltdivmuld 11303	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( N / ( P ^ k ) ) < 1 <-> N < ( ( P ^ k ) x. 1 ) ) )
161	159, 160	mpbird 232	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( N / ( P ^ k ) ) < 1 )
162	161, 142	syl6breq 4486	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( N / ( P ^ k ) ) < ( 0 + 1 ) )
163	151	rpred 11256	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( N / ( P ^ k ) ) e. RR )
164		flbi 11920	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N / ( P ^ k ) ) e. RR /\ 0 e. ZZ ) -> ( ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) = 0 <-> ( 0 <_ ( N / ( P ^ k ) ) /\ ( N / ( P ^ k ) ) < ( 0 + 1 ) ) ) )
165	163, 145, 164	sylancl 662	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) = 0 <-> ( 0 <_ ( N / ( P ^ k ) ) /\ ( N / ( P ^ k ) ) < ( 0 + 1 ) ) ) )
166	152, 162, 165	mpbir2and 920	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) = 0 )
167	166	oveq2d 6300	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( 2 x. ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) ) = ( 2 x. 0 ) )
168		2t0e0 10691	. . . . . . . . 9 |- ( 2 x. 0 ) = 0
169	167, 168	syl6eq 2524	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( 2 x. ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) ) = 0 )
170	148, 169	oveq12d 6302	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) ) - ( 2 x. ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) ) ) = ( 0 - 0 ) )
171		0m0e0 10645	. . . . . . 7 |- ( 0 - 0 ) = 0
172	170, 171	syl6eq 2524	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) ) - ( 2 x. ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) ) ) = 0 )
173	93, 172	jaodan 783	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( k = 1 \/ k e. ( ZZ>= ` 2 ) ) ) -> ( ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) ) - ( 2 x. ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) ) ) = 0 )
174	7, 173	sylan2 474	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( 2 x. N ) ) ) -> ( ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) ) - ( 2 x. ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) ) ) = 0 )
175	174	sumeq2dv 13488	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. ( 1 ... ( 2 x. N ) ) ( ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) ) - ( 2 x. ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) ) ) = sum_ k e. ( 1 ... ( 2 x. N ) ) 0 )
176		fzfid 12051	. . . 4 |- ( ph -> ( 1 ... ( 2 x. N ) ) e. Fin )
177		sumz 13507	. . . . 5 |- ( ( ( 1 ... ( 2 x. N ) ) C_ ( ZZ>= ` 1 ) \/ ( 1 ... ( 2 x. N ) ) e. Fin ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( 2 x. N ) ) 0 = 0 )
178	177	olcs 395	. . . 4 |- ( ( 1 ... ( 2 x. N ) ) e. Fin -> sum_ k e. ( 1 ... ( 2 x. N ) ) 0 = 0 )
179	176, 178	syl 16	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. ( 1 ... ( 2 x. N ) ) 0 = 0 )
180	175, 179	eqtrd 2508	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. ( 1 ... ( 2 x. N ) ) ( ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / ( P ^ k ) ) ) - ( 2 x. ( |_ ` ( N / ( P ^ k ) ) ) ) ) = 0 )
181	4, 180	eqtrd 2508	1 |- ( ph -> ( P pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) = 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   C_ wss 3476   class class class wbr 4447   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   Fincfn 7516   RRcr 9491   0cc0 9492   1c1 9493   + caddc 9495   x. cmul 9497   < clt 9628   <_ cle 9629   - cmin 9805   / cdiv 10206   NNcn 10536   2c2 10585   3c3 10586   4c4 10587   NN0cn0 10795   ZZcz 10864   ZZ>=cuz 11082   RR+crp 11220   ...cfz 11672   |_cfl 11895   ^cexp 12134   _C cbc 12348   sum_csu 13471   Primecprime 14076   pCnt cpc 14219

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-sup 7901  df-oi 7935  df-card 8320  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-q 11183  df-rp 11221  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-fl 11897  df-mod 11965  df-seq 12076  df-exp 12135  df-fac 12322  df-bc 12349  df-hash 12374  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-clim 13274  df-sum 13472  df-dvds 13848  df-gcd 14004  df-prm 14077  df-pc 14220

This theorem is referenced by:  bposlem3  23317