MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bposlem1 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem bposlem1 24291
Description: An upper bound on the prime powers dividing a central binomial coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
bposlem1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P ^ ( P  pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) )  <_  ( 2  x.  N ) )

Proof of Theorem bposlem1
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 12224 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( 1 ... (
2  x.  N ) )  e.  Fin )
2 2nn 10790 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  NN
3 nnmulcl 10654 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( 2  x.  N
)  e.  NN )
42, 3mpan 684 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  N )  e.  NN )
54ad2antrr 740 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( 2  x.  N )  e.  NN )
6 prmnn 14704 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
76ad2antlr 741 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  P  e.  NN )
8 elfznn 11854 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N
) )  ->  k  e.  NN )
98adantl 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  k  e.  NN )
109nnnn0d 10949 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  k  e.  NN0 )
117, 10nnexpcld 12475 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( P ^
k )  e.  NN )
12 nnrp 11334 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  x.  N )  e.  NN  ->  (
2  x.  N )  e.  RR+ )
13 nnrp 11334 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P ^ k )  e.  NN  ->  ( P ^ k )  e.  RR+ )
14 rpdivcl 11348 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  RR+  /\  ( P ^ k )  e.  RR+ )  ->  ( ( 2  x.  N )  /  ( P ^
k ) )  e.  RR+ )
1512, 13, 14syl2an 485 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  NN  /\  ( P ^ k )  e.  NN )  -> 
( ( 2  x.  N )  /  ( P ^ k ) )  e.  RR+ )
165, 11, 15syl2anc 673 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) )  e.  RR+ )
1716rpred 11364 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) )  e.  RR )
1817flcld 12067 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  /  ( P ^ k ) ) )  e.  ZZ )
19 2z 10993 . . . . . . 7  |-  2  e.  ZZ
20 simpll 768 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  N  e.  NN )
21 nnrp 11334 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR+ )
22 rpdivcl 11348 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR+  /\  ( P ^ k )  e.  RR+ )  ->  ( N  /  ( P ^
k ) )  e.  RR+ )
2321, 13, 22syl2an 485 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( P ^ k )  e.  NN )  -> 
( N  /  ( P ^ k ) )  e.  RR+ )
2420, 11, 23syl2anc 673 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( N  / 
( P ^ k
) )  e.  RR+ )
2524rpred 11364 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( N  / 
( P ^ k
) )  e.  RR )
2625flcld 12067 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) )  e.  ZZ )
27 zmulcl 11009 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( |_ `  ( N  /  ( P ^
k ) ) )  e.  ZZ )  -> 
( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) )  e.  ZZ )
2819, 26, 27sylancr 676 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^
k ) ) ) )  e.  ZZ )
2918, 28zsubcld 11068 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( |_
`  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) )  e.  ZZ )
3029zred 11063 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( |_
`  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) )  e.  RR )
31 1re 9660 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
32 0re 9661 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
3331, 32keepel 3939 . . . . 5  |-  if ( k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) ) ,  1 ,  0 )  e.  RR
3433a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  if ( k  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) ) ,  1 ,  0 )  e.  RR )
3528zred 11063 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^
k ) ) ) )  e.  RR )
3617, 35resubcld 10068 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  /  ( P ^
k ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) )  e.  RR )
37 2re 10701 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  RR
3837a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  2  e.  RR )
3918zred 11063 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  /  ( P ^ k ) ) )  e.  RR )
40 flle 12068 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  /  ( P ^ k ) )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) ) )  <_ 
( ( 2  x.  N )  /  ( P ^ k ) ) )
4117, 40syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  /  ( P ^ k ) ) )  <_  ( (
2  x.  N )  /  ( P ^
k ) ) )
4239, 17, 35, 41lesub1dd 10250 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( |_
`  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) )  <_  ( (
( 2  x.  N
)  /  ( P ^ k ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^
k ) ) ) ) ) )
43 resubcl 9958 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  /  ( P ^ k ) )  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  (
( N  /  ( P ^ k ) )  -  1 )  e.  RR )
4425, 31, 43sylancl 675 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( N  /  ( P ^
k ) )  - 
1 )  e.  RR )
45 remulcl 9642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( ( N  / 
( P ^ k
) )  -  1 )  e.  RR )  ->  ( 2  x.  ( ( N  / 
( P ^ k
) )  -  1 ) )  e.  RR )
4637, 44, 45sylancr 676 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( 2  x.  ( ( N  / 
( P ^ k
) )  -  1 ) )  e.  RR )
47 flltp1 12069 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  /  ( P ^ k ) )  e.  RR  ->  ( N  /  ( P ^
k ) )  < 
( ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) )  +  1 ) )
4825, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( N  / 
( P ^ k
) )  <  (
( |_ `  ( N  /  ( P ^
k ) ) )  +  1 ) )
49 1red 9676 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  1  e.  RR )
5026zred 11063 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) )  e.  RR )
5125, 49, 50ltsubaddd 10230 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( ( N  /  ( P ^ k ) )  -  1 )  < 
( |_ `  ( N  /  ( P ^
k ) ) )  <-> 
( N  /  ( P ^ k ) )  <  ( ( |_
`  ( N  / 
( P ^ k
) ) )  +  1 ) ) )
5248, 51mpbird 240 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( N  /  ( P ^
k ) )  - 
1 )  <  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) )
53 2pos 10723 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  <  2
5437, 53pm3.2i 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
55 ltmul2 10478 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  / 
( P ^ k
) )  -  1 )  e.  RR  /\  ( |_ `  ( N  /  ( P ^
k ) ) )  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( ( N  /  ( P ^ k ) )  -  1 )  < 
( |_ `  ( N  /  ( P ^
k ) ) )  <-> 
( 2  x.  (
( N  /  ( P ^ k ) )  -  1 ) )  <  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^
k ) ) ) ) ) )
5654, 55mp3an3 1379 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  / 
( P ^ k
) )  -  1 )  e.  RR  /\  ( |_ `  ( N  /  ( P ^
k ) ) )  e.  RR )  -> 
( ( ( N  /  ( P ^
k ) )  - 
1 )  <  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) )  <->  ( 2  x.  ( ( N  /  ( P ^
k ) )  - 
1 ) )  < 
( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) ) )
5744, 50, 56syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( ( N  /  ( P ^ k ) )  -  1 )  < 
( |_ `  ( N  /  ( P ^
k ) ) )  <-> 
( 2  x.  (
( N  /  ( P ^ k ) )  -  1 ) )  <  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^
k ) ) ) ) ) )
5852, 57mpbid 215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( 2  x.  ( ( N  / 
( P ^ k
) )  -  1 ) )  <  (
2  x.  ( |_
`  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) )
5946, 35, 17, 58ltsub2dd 10247 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  /  ( P ^
k ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) )  <  ( ( ( 2  x.  N
)  /  ( P ^ k ) )  -  ( 2  x.  ( ( N  / 
( P ^ k
) )  -  1 ) ) ) )
60 2cnd 10704 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  2  e.  CC )
61 nncn 10639 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
6261ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  N  e.  CC )
6311nncnd 10647 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( P ^
k )  e.  CC )
6411nnne0d 10676 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( P ^
k )  =/=  0
)
6560, 62, 63, 64divassd 10440 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) )  =  ( 2  x.  ( N  /  ( P ^
k ) ) ) )
6625recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( N  / 
( P ^ k
) )  e.  CC )
67 1cnd 9677 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  1  e.  CC )
6860, 66, 67subdid 10095 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( 2  x.  ( ( N  / 
( P ^ k
) )  -  1 ) )  =  ( ( 2  x.  ( N  /  ( P ^
k ) ) )  -  ( 2  x.  1 ) ) )
69 2t1e2 10781 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
7069oveq2i 6319 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  x.  ( N  /  ( P ^
k ) ) )  -  ( 2  x.  1 ) )  =  ( ( 2  x.  ( N  /  ( P ^ k ) ) )  -  2 )
7168, 70syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( 2  x.  ( ( N  / 
( P ^ k
) )  -  1 ) )  =  ( ( 2  x.  ( N  /  ( P ^
k ) ) )  -  2 ) )
7265, 71oveq12d 6326 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  /  ( P ^
k ) )  -  ( 2  x.  (
( N  /  ( P ^ k ) )  -  1 ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( N  /  ( P ^
k ) ) )  -  ( ( 2  x.  ( N  / 
( P ^ k
) ) )  - 
2 ) ) )
73 remulcl 9642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( N  /  ( P ^ k ) )  e.  RR )  -> 
( 2  x.  ( N  /  ( P ^
k ) ) )  e.  RR )
7437, 25, 73sylancr 676 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( 2  x.  ( N  /  ( P ^ k ) ) )  e.  RR )
7574recnd 9687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( 2  x.  ( N  /  ( P ^ k ) ) )  e.  CC )
76 2cn 10702 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  CC
77 nncan 9923 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2  x.  ( N  /  ( P ^
k ) ) )  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  (
( 2  x.  ( N  /  ( P ^
k ) ) )  -  ( ( 2  x.  ( N  / 
( P ^ k
) ) )  - 
2 ) )  =  2 )
7875, 76, 77sylancl 675 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( 2  x.  ( N  / 
( P ^ k
) ) )  -  ( ( 2  x.  ( N  /  ( P ^ k ) ) )  -  2 ) )  =  2 )
7972, 78eqtrd 2505 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  /  ( P ^
k ) )  -  ( 2  x.  (
( N  /  ( P ^ k ) )  -  1 ) ) )  =  2 )
8059, 79breqtrd 4420 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  /  ( P ^
k ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) )  <  2 )
8130, 36, 38, 42, 80lelttrd 9810 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( |_
`  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) )  <  2 )
82 df-2 10690 . . . . . . . 8  |-  2  =  ( 1  +  1 )
8381, 82syl6breq 4435 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( |_
`  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) )  <  ( 1  +  1 ) )
84 1z 10991 . . . . . . . 8  |-  1  e.  ZZ
85 zleltp1 11011 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  /  ( P ^ k ) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) ) ) )  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  (
( ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  /  ( P ^ k ) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) ) ) )  <_ 
1  <->  ( ( |_
`  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) )  <  ( 1  +  1 ) ) )
8629, 84, 85sylancl 675 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  /  ( P ^
k ) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^
k ) ) ) ) )  <_  1  <->  ( ( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  ( P ^ k ) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) ) ) )  < 
( 1  +  1 ) ) )
8783, 86mpbird 240 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( |_
`  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) )  <_  1 )
88 iftrue 3878 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) )  ->  if (
k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) ) ,  1 ,  0 )  =  1 )
8988breq2d 4407 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) )  ->  ( (
( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  ( P ^ k ) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) ) ) )  <_  if ( k  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) ) ) ,  1 ,  0 )  <->  ( ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) )  <_  1 ) )
9087, 89syl5ibrcom 230 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) ) )  ->  (
( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  ( P ^ k ) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) ) ) )  <_  if ( k  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) ) ) ,  1 ,  0 ) ) )
919nnge1d 10674 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  1  <_  k
)
9291biantrurd 516 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( k  <_ 
( |_ `  (
( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) )  <-> 
( 1  <_  k  /\  k  <_  ( |_
`  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) ) ) ) )
936adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  ->  P  e.  NN )
9493nnred 10646 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  ->  P  e.  RR )
95 prmuz2 14721 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
9695adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  ->  P  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
97 eluz2b1 11253 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( P  e.  ZZ  /\  1  < 
P ) )
9897simprbi 471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  <  P )
9996, 98syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
1  <  P )
10094, 99jca 541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P  e.  RR  /\  1  <  P ) )
101100adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( P  e.  RR  /\  1  < 
P ) )
102 elfzelz 11826 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N
) )  ->  k  e.  ZZ )
103102adantl 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  k  e.  ZZ )
1044adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( 2  x.  N
)  e.  NN )
105104nnrpd 11362 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( 2  x.  N
)  e.  RR+ )
106105adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( 2  x.  N )  e.  RR+ )
107 efexple 24288 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  e.  RR  /\  1  <  P )  /\  k  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  N
)  e.  RR+ )  ->  ( ( P ^
k )  <_  (
2  x.  N )  <-> 
k  <_  ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) ) )
108101, 103, 106, 107syl3anc 1292 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( P ^ k )  <_ 
( 2  x.  N
)  <->  k  <_  ( |_ `  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) ) ) )
1099nnzd 11062 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  k  e.  ZZ )
11084a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  1  e.  ZZ )
111104nnred 10646 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( 2  x.  N
)  e.  RR )
112 1red 9676 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
1  e.  RR )
11337a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
2  e.  RR )
114 1lt2 10799 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  <  2
115114a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
1  <  2 )
116 nnre 10638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
117116adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  ->  N  e.  RR )
118 0le2 10722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  0  <_  2
11937, 118pm3.2i 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <_  2 )
120119a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( 2  e.  RR  /\  0  <_  2 ) )
121 nnge1 10657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  NN  ->  1  <_  N )
122121adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
1  <_  N )
123 lemul2a 10482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <_  2 ) )  /\  1  <_  N )  ->  (
2  x.  1 )  <_  ( 2  x.  N ) )
124112, 117, 120, 122, 123syl31anc 1295 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( 2  x.  1 )  <_  ( 2  x.  N ) )
12569, 124syl5eqbrr 4430 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
2  <_  ( 2  x.  N ) )
126112, 113, 111, 115, 125ltletrd 9812 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
1  <  ( 2  x.  N ) )
127111, 126rplogcld 23657 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( log `  (
2  x.  N ) )  e.  RR+ )
12894, 99rplogcld 23657 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( log `  P
)  e.  RR+ )
129127, 128rpdivcld 11381 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) )  e.  RR+ )
130129rpred 11364 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) )  e.  RR )
131130flcld 12067 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( |_ `  (
( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) )  e.  ZZ )
132131adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) )  e.  ZZ )
133 elfz 11816 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ  /\  ( |_ `  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) )  e.  ZZ )  ->  ( k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) ) )  <->  ( 1  <_  k  /\  k  <_  ( |_ `  (
( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) ) ) )
134109, 110, 132, 133syl3anc 1292 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) ) )  <->  ( 1  <_  k  /\  k  <_  ( |_ `  (
( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) ) ) )
13592, 108, 1343bitr4rd 294 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) ) )  <->  ( P ^ k )  <_ 
( 2  x.  N
) ) )
136135notbid 301 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( -.  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) ) )  <->  -.  ( P ^ k )  <_ 
( 2  x.  N
) ) )
137111adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( 2  x.  N )  e.  RR )
13811nnred 10646 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( P ^
k )  e.  RR )
139137, 138ltnled 9799 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( 2  x.  N )  < 
( P ^ k
)  <->  -.  ( P ^ k )  <_ 
( 2  x.  N
) ) )
140136, 139bitr4d 264 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( -.  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) ) )  <->  ( 2  x.  N )  < 
( P ^ k
) ) )
14116rpge0d 11368 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  0  <_  (
( 2  x.  N
)  /  ( P ^ k ) ) )
142141adantrr 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) )  /\  ( 2  x.  N )  <  ( P ^ k ) ) )  ->  0  <_  ( ( 2  x.  N
)  /  ( P ^ k ) ) )
14311nngt0d 10675 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  0  <  ( P ^ k ) )
144 ltdivmul 10502 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
( P ^ k
)  e.  RR  /\  0  <  ( P ^
k ) ) )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  /  ( P ^
k ) )  <  1  <->  ( 2  x.  N )  <  (
( P ^ k
)  x.  1 ) ) )
145137, 49, 138, 143, 144syl112anc 1296 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  /  ( P ^
k ) )  <  1  <->  ( 2  x.  N )  <  (
( P ^ k
)  x.  1 ) ) )
14663mulid1d 9678 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( P ^ k )  x.  1 )  =  ( P ^ k ) )
147146breq2d 4407 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( 2  x.  N )  < 
( ( P ^
k )  x.  1 )  <->  ( 2  x.  N )  <  ( P ^ k ) ) )
148145, 147bitrd 261 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  /  ( P ^
k ) )  <  1  <->  ( 2  x.  N )  <  ( P ^ k ) ) )
149148biimprd 231 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( 2  x.  N )  < 
( P ^ k
)  ->  ( (
2  x.  N )  /  ( P ^
k ) )  <  1 ) )
150149impr 631 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) )  /\  ( 2  x.  N )  <  ( P ^ k ) ) )  ->  ( (
2  x.  N )  /  ( P ^
k ) )  <  1 )
151 0p1e1 10743 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  +  1 )  =  1
152150, 151syl6breqr 4436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) )  /\  ( 2  x.  N )  <  ( P ^ k ) ) )  ->  ( (
2  x.  N )  /  ( P ^
k ) )  < 
( 0  +  1 ) )
15317adantrr 731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) )  /\  ( 2  x.  N )  <  ( P ^ k ) ) )  ->  ( (
2  x.  N )  /  ( P ^
k ) )  e.  RR )
154 0z 10972 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  ZZ
155 flbi 12084 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( 2  x.  N )  /  ( P ^ k ) )  e.  RR  /\  0  e.  ZZ )  ->  (
( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  ( P ^ k ) ) )  =  0  <->  (
0  <_  ( (
2  x.  N )  /  ( P ^
k ) )  /\  ( ( 2  x.  N )  /  ( P ^ k ) )  <  ( 0  +  1 ) ) ) )
156153, 154, 155sylancl 675 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) )  /\  ( 2  x.  N )  <  ( P ^ k ) ) )  ->  ( ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) ) )  =  0  <->  ( 0  <_ 
( ( 2  x.  N )  /  ( P ^ k ) )  /\  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) )  <  (
0  +  1 ) ) ) )
157142, 152, 156mpbir2and 936 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) )  /\  ( 2  x.  N )  <  ( P ^ k ) ) )  ->  ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  /  ( P ^ k ) ) )  =  0 )
15824rpge0d 11368 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  0  <_  ( N  /  ( P ^
k ) ) )
159158adantrr 731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) )  /\  ( 2  x.  N )  <  ( P ^ k ) ) )  ->  0  <_  ( N  /  ( P ^ k ) ) )
160116, 21ltaddrp2d 11395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  NN  ->  N  <  ( N  +  N
) )
161612timesd 10878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  N )  =  ( N  +  N ) )
162160, 161breqtrrd 4422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( N  e.  NN  ->  N  <  ( 2  x.  N
) )
163162ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  N  <  (
2  x.  N ) )
164116ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  N  e.  RR )
165 lttr 9728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  RR  /\  ( 2  x.  N
)  e.  RR  /\  ( P ^ k )  e.  RR )  -> 
( ( N  < 
( 2  x.  N
)  /\  ( 2  x.  N )  < 
( P ^ k
) )  ->  N  <  ( P ^ k
) ) )
166164, 137, 138, 165syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( N  <  ( 2  x.  N )  /\  (
2  x.  N )  <  ( P ^
k ) )  ->  N  <  ( P ^
k ) ) )
167163, 166mpand 689 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( 2  x.  N )  < 
( P ^ k
)  ->  N  <  ( P ^ k ) ) )
168 ltdivmul 10502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
( P ^ k
)  e.  RR  /\  0  <  ( P ^
k ) ) )  ->  ( ( N  /  ( P ^
k ) )  <  1  <->  N  <  ( ( P ^ k )  x.  1 ) ) )
169164, 49, 138, 143, 168syl112anc 1296 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( N  /  ( P ^
k ) )  <  1  <->  N  <  ( ( P ^ k )  x.  1 ) ) )
170146breq2d 4407 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( N  < 
( ( P ^
k )  x.  1 )  <->  N  <  ( P ^ k ) ) )
171169, 170bitrd 261 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( N  /  ( P ^
k ) )  <  1  <->  N  <  ( P ^ k ) ) )
172167, 171sylibrd 242 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( 2  x.  N )  < 
( P ^ k
)  ->  ( N  /  ( P ^
k ) )  <  1 ) )
173172impr 631 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) )  /\  ( 2  x.  N )  <  ( P ^ k ) ) )  ->  ( N  /  ( P ^
k ) )  <  1 )
174173, 151syl6breqr 4436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) )  /\  ( 2  x.  N )  <  ( P ^ k ) ) )  ->  ( N  /  ( P ^
k ) )  < 
( 0  +  1 ) )
17525adantrr 731 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) )  /\  ( 2  x.  N )  <  ( P ^ k ) ) )  ->  ( N  /  ( P ^
k ) )  e.  RR )
176 flbi 12084 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  /  ( P ^ k ) )  e.  RR  /\  0  e.  ZZ )  ->  (
( |_ `  ( N  /  ( P ^
k ) ) )  =  0  <->  ( 0  <_  ( N  / 
( P ^ k
) )  /\  ( N  /  ( P ^
k ) )  < 
( 0  +  1 ) ) ) )
177175, 154, 176sylancl 675 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) )  /\  ( 2  x.  N )  <  ( P ^ k ) ) )  ->  ( ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) )  =  0  <->  ( 0  <_ 
( N  /  ( P ^ k ) )  /\  ( N  / 
( P ^ k
) )  <  (
0  +  1 ) ) ) )
178159, 174, 177mpbir2and 936 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) )  /\  ( 2  x.  N )  <  ( P ^ k ) ) )  ->  ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) )  =  0 )
179178oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) )  /\  ( 2  x.  N )  <  ( P ^ k ) ) )  ->  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) ) )  =  ( 2  x.  0 ) )
180 2t0e0 10788 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  x.  0 )  =  0
181179, 180syl6eq 2521 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) )  /\  ( 2  x.  N )  <  ( P ^ k ) ) )  ->  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) ) )  =  0 )
182157, 181oveq12d 6326 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) )  /\  ( 2  x.  N )  <  ( P ^ k ) ) )  ->  ( ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) )  =  ( 0  -  0 ) )
183 0m0e0 10741 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  -  0 )  =  0
184182, 183syl6eq 2521 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) )  /\  ( 2  x.  N )  <  ( P ^ k ) ) )  ->  ( ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) )  =  0 )
185 0le0 10721 . . . . . . . . 9  |-  0  <_  0
186184, 185syl6eqbr 4433 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) )  /\  ( 2  x.  N )  <  ( P ^ k ) ) )  ->  ( ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) )  <_  0 )
187186expr 626 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( 2  x.  N )  < 
( P ^ k
)  ->  ( ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) )  <_  0 ) )
188140, 187sylbid 223 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( -.  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) ) )  ->  (
( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  ( P ^ k ) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) ) ) )  <_ 
0 ) )
189 iffalse 3881 . . . . . . . 8  |-  ( -.  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) )  ->  if (
k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) ) ,  1 ,  0 )  =  0 )
190189eqcomd 2477 . . . . . . 7  |-  ( -.  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) )  ->  0  =  if ( k  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) ) ) ,  1 ,  0 ) )
191190breq2d 4407 . . . . . 6  |-  ( -.  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) )  ->  ( (
( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  ( P ^ k ) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) ) ) )  <_ 
0  <->  ( ( |_
`  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) )  <_  if (
k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) ) ,  1 ,  0 ) ) )
192188, 191mpbidi 224 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( -.  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) ) )  ->  (
( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  ( P ^ k ) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) ) ) )  <_  if ( k  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) ) ) ,  1 ,  0 ) ) )
19390, 192pm2.61d 163 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( |_
`  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) )  <_  if (
k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) ) ,  1 ,  0 ) )
1941, 30, 34, 193fsumle 13936 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) ) ( ( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  ( P ^ k ) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) ) ) )  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) ) if ( k  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) ) ) ,  1 ,  0 ) )
195 pcbcctr 24283 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... (
2  x.  N ) ) ( ( |_
`  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) ) )
196131zred 11063 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( |_ `  (
( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) )  e.  RR )
197 flle 12068 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) )  <_  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) )
198130, 197syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( |_ `  (
( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) )  <_  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) )
199104nnnn0d 10949 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( 2  x.  N
)  e.  NN0 )
20093, 199nnexpcld 12475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P ^ (
2  x.  N ) )  e.  NN )
201200nnred 10646 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P ^ (
2  x.  N ) )  e.  RR )
202 bernneq3 12438 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
2  x.  N )  e.  NN0 )  -> 
( 2  x.  N
)  <  ( P ^ ( 2  x.  N ) ) )
20396, 199, 202syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( 2  x.  N
)  <  ( P ^ ( 2  x.  N ) ) )
204111, 201, 203ltled 9800 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( 2  x.  N
)  <_  ( P ^ ( 2  x.  N ) ) )
205105reeflogd 23652 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( exp `  ( log `  ( 2  x.  N ) ) )  =  ( 2  x.  N ) )
20693nnrpd 11362 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  ->  P  e.  RR+ )
207104nnzd 11062 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( 2  x.  N
)  e.  ZZ )
208 reexplog 23623 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  e.  RR+  /\  (
2  x.  N )  e.  ZZ )  -> 
( P ^ (
2  x.  N ) )  =  ( exp `  ( ( 2  x.  N )  x.  ( log `  P ) ) ) )
209206, 207, 208syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P ^ (
2  x.  N ) )  =  ( exp `  ( ( 2  x.  N )  x.  ( log `  P ) ) ) )
210209eqcomd 2477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( exp `  (
( 2  x.  N
)  x.  ( log `  P ) ) )  =  ( P ^
( 2  x.  N
) ) )
211204, 205, 2103brtr4d 4426 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( exp `  ( log `  ( 2  x.  N ) ) )  <_  ( exp `  (
( 2  x.  N
)  x.  ( log `  P ) ) ) )
212105relogcld 23651 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( log `  (
2  x.  N ) )  e.  RR )
213128rpred 11364 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( log `  P
)  e.  RR )
214111, 213remulcld 9689 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ( 2  x.  N )  x.  ( log `  P ) )  e.  RR )
215 efle 14249 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( log `  (
2  x.  N ) )  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  N )  x.  ( log `  P ) )  e.  RR )  -> 
( ( log `  (
2  x.  N ) )  <_  ( (
2  x.  N )  x.  ( log `  P
) )  <->  ( exp `  ( log `  (
2  x.  N ) ) )  <_  ( exp `  ( ( 2  x.  N )  x.  ( log `  P
) ) ) ) )
216212, 214, 215syl2anc 673 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ( log `  (
2  x.  N ) )  <_  ( (
2  x.  N )  x.  ( log `  P
) )  <->  ( exp `  ( log `  (
2  x.  N ) ) )  <_  ( exp `  ( ( 2  x.  N )  x.  ( log `  P
) ) ) ) )
217211, 216mpbird 240 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( log `  (
2  x.  N ) )  <_  ( (
2  x.  N )  x.  ( log `  P
) ) )
218212, 111, 128ledivmul2d 11415 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) )  <_  ( 2  x.  N )  <->  ( log `  ( 2  x.  N
) )  <_  (
( 2  x.  N
)  x.  ( log `  P ) ) ) )
219217, 218mpbird 240 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) )  <_ 
( 2  x.  N
) )
220196, 130, 111, 198, 219letrd 9809 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( |_ `  (
( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) )  <_  ( 2  x.  N ) )
221 eluz 11196 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( |_ `  (
( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) )  e.  ZZ  /\  (
2  x.  N )  e.  ZZ )  -> 
( ( 2  x.  N )  e.  (
ZZ>= `  ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) )  <->  ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) )  <_  ( 2  x.  N ) ) )
222131, 207, 221syl2anc 673 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ( 2  x.  N )  e.  (
ZZ>= `  ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) )  <->  ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) )  <_  ( 2  x.  N ) ) )
223220, 222mpbird 240 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( 2  x.  N
)  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( ( log `  ( 2  x.  N ) )  /  ( log `  P
) ) ) ) )
224 fzss2 11864 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  N )  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) ) )  ->  (
1 ... ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) )  C_  ( 1 ... ( 2  x.  N ) ) )
225223, 224syl 17 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) ) )  C_  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )
226 sumhash 14920 . . . . 5  |-  ( ( ( 1 ... (
2  x.  N ) )  e.  Fin  /\  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) ) )  C_  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) ) if ( k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) ) ) ,  1 ,  0 )  =  ( # `  (
1 ... ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) ) ) )
2271, 225, 226syl2anc 673 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) ) if ( k  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) ) ) ,  1 ,  0 )  =  ( # `  (
1 ... ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) ) ) )
228129rprege0d 11371 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) )
229 flge0nn0 12087 . . . . 5  |-  ( ( ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) )  ->  ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) )  e.  NN0 )
230 hashfz1 12567 . . . . 5  |-  ( ( |_ `  ( ( log `  ( 2  x.  N ) )  /  ( log `  P
) ) )  e. 
NN0  ->  ( # `  (
1 ... ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) ) )  =  ( |_ `  ( ( log `  ( 2  x.  N ) )  /  ( log `  P
) ) ) )
231228, 229, 2303syl 18 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( # `  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) ) )  =  ( |_ `  ( ( log `  ( 2  x.  N ) )  /  ( log `  P
) ) ) )
232227, 231eqtr2d 2506 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( |_ `  (
( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) ) if ( k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) ) ) ,  1 ,  0 ) )
233194, 195, 2323brtr4d 4426 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  <_  ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) )
234 simpr 468 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  ->  P  e.  Prime )
235 nnnn0 10900 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
236 fzctr 11928 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ( 0 ... (
2  x.  N ) ) )
237 bccl2 12546 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( 0 ... ( 2  x.  N
) )  ->  (
( 2  x.  N
)  _C  N )  e.  NN )
238235, 236, 2373syl 18 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  _C  N )  e.  NN )
239238adantr 472 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ( 2  x.  N )  _C  N
)  e.  NN )
240234, 239pccld 14879 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  e.  NN0 )
241240nn0zd 11061 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  e.  ZZ )
242 efexple 24288 . . 3  |-  ( ( ( P  e.  RR  /\  1  <  P )  /\  ( P  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) )  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  N
)  e.  RR+ )  ->  ( ( P ^
( P  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )  <_  (
2  x.  N )  <-> 
( P  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  <_  ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) ) )
24394, 99, 241, 105, 242syl211anc 1298 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ( P ^
( P  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )  <_  (
2  x.  N )  <-> 
( P  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  <_  ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) ) )
244233, 243mpbird 240 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P ^ ( P  pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) )  <_  ( 2  x.  N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904    C_ wss 3390   ifcif 3872   class class class wbr 4395   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Fincfn 7587   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    x. cmul 9562    < clt 9693    <_ cle 9694    - cmin 9880    / cdiv 10291   NNcn 10631   2c2 10681   NN0cn0 10893   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   RR+crp 11325   ...cfz 11810   |_cfl 12059   ^cexp 12310    _C cbc 12525   #chash 12553   sum_csu 13829   expce 14191   Primecprime 14701    pCnt cpc 14865   logclog 23583
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-ef 14198  df-sin 14200  df-cos 14201  df-pi 14203  df-dvds 14383  df-gcd 14548  df-prm 14702  df-pc 14866  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901  df-log 23585
This theorem is referenced by:  bposlem5  24295  bposlem6  24296  chebbnd1lem1  24386
  Copyright terms: Public domain W3C validator