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Theorem bposlem1 23684
Description: An upper bound on the prime powers dividing a central binomial coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
bposlem1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P ^ ( P  pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) )  <_  ( 2  x.  N ) )

Proof of Theorem bposlem1
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 12085 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( 1 ... (
2  x.  N ) )  e.  Fin )
2 2nn 10714 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  NN
3 nnmulcl 10579 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( 2  x.  N
)  e.  NN )
42, 3mpan 670 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  N )  e.  NN )
54ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( 2  x.  N )  e.  NN )
6 prmnn 14231 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
76ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  P  e.  NN )
8 elfznn 11739 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N
) )  ->  k  e.  NN )
98adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  k  e.  NN )
109nnnn0d 10873 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  k  e.  NN0 )
117, 10nnexpcld 12333 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( P ^
k )  e.  NN )
12 nnrp 11254 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  x.  N )  e.  NN  ->  (
2  x.  N )  e.  RR+ )
13 nnrp 11254 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P ^ k )  e.  NN  ->  ( P ^ k )  e.  RR+ )
14 rpdivcl 11267 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  RR+  /\  ( P ^ k )  e.  RR+ )  ->  ( ( 2  x.  N )  /  ( P ^
k ) )  e.  RR+ )
1512, 13, 14syl2an 477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  NN  /\  ( P ^ k )  e.  NN )  -> 
( ( 2  x.  N )  /  ( P ^ k ) )  e.  RR+ )
165, 11, 15syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) )  e.  RR+ )
1716rpred 11281 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) )  e.  RR )
1817flcld 11937 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  /  ( P ^ k ) ) )  e.  ZZ )
19 2z 10917 . . . . . . 7  |-  2  e.  ZZ
20 simpll 753 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  N  e.  NN )
21 nnrp 11254 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR+ )
22 rpdivcl 11267 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR+  /\  ( P ^ k )  e.  RR+ )  ->  ( N  /  ( P ^
k ) )  e.  RR+ )
2321, 13, 22syl2an 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( P ^ k )  e.  NN )  -> 
( N  /  ( P ^ k ) )  e.  RR+ )
2420, 11, 23syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( N  / 
( P ^ k
) )  e.  RR+ )
2524rpred 11281 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( N  / 
( P ^ k
) )  e.  RR )
2625flcld 11937 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) )  e.  ZZ )
27 zmulcl 10933 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( |_ `  ( N  /  ( P ^
k ) ) )  e.  ZZ )  -> 
( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) )  e.  ZZ )
2819, 26, 27sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^
k ) ) ) )  e.  ZZ )
2918, 28zsubcld 10995 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( |_
`  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) )  e.  ZZ )
3029zred 10990 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( |_
`  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) )  e.  RR )
31 1re 9612 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
32 0re 9613 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
3331, 32keepel 4012 . . . . 5  |-  if ( k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) ) ,  1 ,  0 )  e.  RR
3433a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  if ( k  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) ) ,  1 ,  0 )  e.  RR )
3528zred 10990 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^
k ) ) ) )  e.  RR )
3617, 35resubcld 10008 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  /  ( P ^
k ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) )  e.  RR )
37 2re 10626 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  RR
3837a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  2  e.  RR )
3918zred 10990 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  /  ( P ^ k ) ) )  e.  RR )
40 flle 11938 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  /  ( P ^ k ) )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) ) )  <_ 
( ( 2  x.  N )  /  ( P ^ k ) ) )
4117, 40syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  /  ( P ^ k ) ) )  <_  ( (
2  x.  N )  /  ( P ^
k ) ) )
4239, 17, 35, 41lesub1dd 10189 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( |_
`  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) )  <_  ( (
( 2  x.  N
)  /  ( P ^ k ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^
k ) ) ) ) ) )
43 resubcl 9902 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  /  ( P ^ k ) )  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  (
( N  /  ( P ^ k ) )  -  1 )  e.  RR )
4425, 31, 43sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( N  /  ( P ^
k ) )  - 
1 )  e.  RR )
45 remulcl 9594 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( ( N  / 
( P ^ k
) )  -  1 )  e.  RR )  ->  ( 2  x.  ( ( N  / 
( P ^ k
) )  -  1 ) )  e.  RR )
4637, 44, 45sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( 2  x.  ( ( N  / 
( P ^ k
) )  -  1 ) )  e.  RR )
47 flltp1 11939 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  /  ( P ^ k ) )  e.  RR  ->  ( N  /  ( P ^
k ) )  < 
( ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) )  +  1 ) )
4825, 47syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( N  / 
( P ^ k
) )  <  (
( |_ `  ( N  /  ( P ^
k ) ) )  +  1 ) )
49 1red 9628 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  1  e.  RR )
5026zred 10990 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) )  e.  RR )
5125, 49, 50ltsubaddd 10169 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( ( N  /  ( P ^ k ) )  -  1 )  < 
( |_ `  ( N  /  ( P ^
k ) ) )  <-> 
( N  /  ( P ^ k ) )  <  ( ( |_
`  ( N  / 
( P ^ k
) ) )  +  1 ) ) )
5248, 51mpbird 232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( N  /  ( P ^
k ) )  - 
1 )  <  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) )
53 2pos 10648 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  <  2
5437, 53pm3.2i 455 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
55 ltmul2 10414 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  / 
( P ^ k
) )  -  1 )  e.  RR  /\  ( |_ `  ( N  /  ( P ^
k ) ) )  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( ( N  /  ( P ^ k ) )  -  1 )  < 
( |_ `  ( N  /  ( P ^
k ) ) )  <-> 
( 2  x.  (
( N  /  ( P ^ k ) )  -  1 ) )  <  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^
k ) ) ) ) ) )
5654, 55mp3an3 1313 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  / 
( P ^ k
) )  -  1 )  e.  RR  /\  ( |_ `  ( N  /  ( P ^
k ) ) )  e.  RR )  -> 
( ( ( N  /  ( P ^
k ) )  - 
1 )  <  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) )  <->  ( 2  x.  ( ( N  /  ( P ^
k ) )  - 
1 ) )  < 
( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) ) )
5744, 50, 56syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( ( N  /  ( P ^ k ) )  -  1 )  < 
( |_ `  ( N  /  ( P ^
k ) ) )  <-> 
( 2  x.  (
( N  /  ( P ^ k ) )  -  1 ) )  <  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^
k ) ) ) ) ) )
5852, 57mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( 2  x.  ( ( N  / 
( P ^ k
) )  -  1 ) )  <  (
2  x.  ( |_
`  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) )
5946, 35, 17, 58ltsub2dd 10186 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  /  ( P ^
k ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) )  <  ( ( ( 2  x.  N
)  /  ( P ^ k ) )  -  ( 2  x.  ( ( N  / 
( P ^ k
) )  -  1 ) ) ) )
60 2cnd 10629 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  2  e.  CC )
61 nncn 10564 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
6261ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  N  e.  CC )
6311nncnd 10572 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( P ^
k )  e.  CC )
6411nnne0d 10601 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( P ^
k )  =/=  0
)
6560, 62, 63, 64divassd 10376 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) )  =  ( 2  x.  ( N  /  ( P ^
k ) ) ) )
6625recnd 9639 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( N  / 
( P ^ k
) )  e.  CC )
67 1cnd 9629 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  1  e.  CC )
6860, 66, 67subdid 10033 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( 2  x.  ( ( N  / 
( P ^ k
) )  -  1 ) )  =  ( ( 2  x.  ( N  /  ( P ^
k ) ) )  -  ( 2  x.  1 ) ) )
69 2t1e2 10705 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
7069oveq2i 6307 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  x.  ( N  /  ( P ^
k ) ) )  -  ( 2  x.  1 ) )  =  ( ( 2  x.  ( N  /  ( P ^ k ) ) )  -  2 )
7168, 70syl6eq 2514 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( 2  x.  ( ( N  / 
( P ^ k
) )  -  1 ) )  =  ( ( 2  x.  ( N  /  ( P ^
k ) ) )  -  2 ) )
7265, 71oveq12d 6314 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  /  ( P ^
k ) )  -  ( 2  x.  (
( N  /  ( P ^ k ) )  -  1 ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( N  /  ( P ^
k ) ) )  -  ( ( 2  x.  ( N  / 
( P ^ k
) ) )  - 
2 ) ) )
73 remulcl 9594 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( N  /  ( P ^ k ) )  e.  RR )  -> 
( 2  x.  ( N  /  ( P ^
k ) ) )  e.  RR )
7437, 25, 73sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( 2  x.  ( N  /  ( P ^ k ) ) )  e.  RR )
7574recnd 9639 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( 2  x.  ( N  /  ( P ^ k ) ) )  e.  CC )
76 2cn 10627 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  CC
77 nncan 9867 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2  x.  ( N  /  ( P ^
k ) ) )  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  (
( 2  x.  ( N  /  ( P ^
k ) ) )  -  ( ( 2  x.  ( N  / 
( P ^ k
) ) )  - 
2 ) )  =  2 )
7875, 76, 77sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( 2  x.  ( N  / 
( P ^ k
) ) )  -  ( ( 2  x.  ( N  /  ( P ^ k ) ) )  -  2 ) )  =  2 )
7972, 78eqtrd 2498 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  /  ( P ^
k ) )  -  ( 2  x.  (
( N  /  ( P ^ k ) )  -  1 ) ) )  =  2 )
8059, 79breqtrd 4480 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  /  ( P ^
k ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) )  <  2 )
8130, 36, 38, 42, 80lelttrd 9757 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( |_
`  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) )  <  2 )
82 df-2 10615 . . . . . . . 8  |-  2  =  ( 1  +  1 )
8381, 82syl6breq 4495 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( |_
`  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) )  <  ( 1  +  1 ) )
84 1z 10915 . . . . . . . 8  |-  1  e.  ZZ
85 zleltp1 10935 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  /  ( P ^ k ) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) ) ) )  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  (
( ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  /  ( P ^ k ) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) ) ) )  <_ 
1  <->  ( ( |_
`  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) )  <  ( 1  +  1 ) ) )
8629, 84, 85sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  /  ( P ^
k ) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^
k ) ) ) ) )  <_  1  <->  ( ( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  ( P ^ k ) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) ) ) )  < 
( 1  +  1 ) ) )
8783, 86mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( |_
`  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) )  <_  1 )
88 iftrue 3950 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) )  ->  if (
k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) ) ,  1 ,  0 )  =  1 )
8988breq2d 4468 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) )  ->  ( (
( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  ( P ^ k ) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) ) ) )  <_  if ( k  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) ) ) ,  1 ,  0 )  <->  ( ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) )  <_  1 ) )
9087, 89syl5ibrcom 222 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) ) )  ->  (
( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  ( P ^ k ) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) ) ) )  <_  if ( k  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) ) ) ,  1 ,  0 ) ) )
919nnge1d 10599 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  1  <_  k
)
9291biantrurd 508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( k  <_ 
( |_ `  (
( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) )  <-> 
( 1  <_  k  /\  k  <_  ( |_
`  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) ) ) ) )
936adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  ->  P  e.  NN )
9493nnred 10571 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  ->  P  e.  RR )
95 prmuz2 14246 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
9695adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  ->  P  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
97 eluz2b1 11178 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( P  e.  ZZ  /\  1  < 
P ) )
9897simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  <  P )
9996, 98syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
1  <  P )
10094, 99jca 532 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P  e.  RR  /\  1  <  P ) )
101100adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( P  e.  RR  /\  1  < 
P ) )
102 elfzelz 11713 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N
) )  ->  k  e.  ZZ )
103102adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  k  e.  ZZ )
1044adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( 2  x.  N
)  e.  NN )
105104nnrpd 11280 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( 2  x.  N
)  e.  RR+ )
106105adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( 2  x.  N )  e.  RR+ )
107 efexple 23681 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  e.  RR  /\  1  <  P )  /\  k  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  N
)  e.  RR+ )  ->  ( ( P ^
k )  <_  (
2  x.  N )  <-> 
k  <_  ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) ) )
108101, 103, 106, 107syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( P ^ k )  <_ 
( 2  x.  N
)  <->  k  <_  ( |_ `  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) ) ) )
1099nnzd 10989 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  k  e.  ZZ )
11084a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  1  e.  ZZ )
111104nnred 10571 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( 2  x.  N
)  e.  RR )
112 1red 9628 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
1  e.  RR )
11337a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
2  e.  RR )
114 1lt2 10723 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  <  2
115114a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
1  <  2 )
116 nnre 10563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
117116adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  ->  N  e.  RR )
118 0le2 10647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  0  <_  2
11937, 118pm3.2i 455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <_  2 )
120119a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( 2  e.  RR  /\  0  <_  2 ) )
121 nnge1 10582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  NN  ->  1  <_  N )
122121adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
1  <_  N )
123 lemul2a 10418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <_  2 ) )  /\  1  <_  N )  ->  (
2  x.  1 )  <_  ( 2  x.  N ) )
124112, 117, 120, 122, 123syl31anc 1231 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( 2  x.  1 )  <_  ( 2  x.  N ) )
12569, 124syl5eqbrr 4490 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
2  <_  ( 2  x.  N ) )
126112, 113, 111, 115, 125ltletrd 9759 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
1  <  ( 2  x.  N ) )
127111, 126rplogcld 23139 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( log `  (
2  x.  N ) )  e.  RR+ )
12894, 99rplogcld 23139 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( log `  P
)  e.  RR+ )
129127, 128rpdivcld 11298 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) )  e.  RR+ )
130129rpred 11281 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) )  e.  RR )
131130flcld 11937 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( |_ `  (
( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) )  e.  ZZ )
132131adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) )  e.  ZZ )
133 elfz 11703 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ  /\  ( |_ `  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) )  e.  ZZ )  ->  ( k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) ) )  <->  ( 1  <_  k  /\  k  <_  ( |_ `  (
( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) ) ) )
134109, 110, 132, 133syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) ) )  <->  ( 1  <_  k  /\  k  <_  ( |_ `  (
( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) ) ) )
13592, 108, 1343bitr4rd 286 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) ) )  <->  ( P ^ k )  <_ 
( 2  x.  N
) ) )
136135notbid 294 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( -.  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) ) )  <->  -.  ( P ^ k )  <_ 
( 2  x.  N
) ) )
137111adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( 2  x.  N )  e.  RR )
13811nnred 10571 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( P ^
k )  e.  RR )
139137, 138ltnled 9749 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( 2  x.  N )  < 
( P ^ k
)  <->  -.  ( P ^ k )  <_ 
( 2  x.  N
) ) )
140136, 139bitr4d 256 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( -.  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) ) )  <->  ( 2  x.  N )  < 
( P ^ k
) ) )
14116rpge0d 11285 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  0  <_  (
( 2  x.  N
)  /  ( P ^ k ) ) )
142141adantrr 716 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) )  /\  ( 2  x.  N )  <  ( P ^ k ) ) )  ->  0  <_  ( ( 2  x.  N
)  /  ( P ^ k ) ) )
14311nngt0d 10600 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  0  <  ( P ^ k ) )
144 ltdivmul 10438 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
( P ^ k
)  e.  RR  /\  0  <  ( P ^
k ) ) )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  /  ( P ^
k ) )  <  1  <->  ( 2  x.  N )  <  (
( P ^ k
)  x.  1 ) ) )
145137, 49, 138, 143, 144syl112anc 1232 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  /  ( P ^
k ) )  <  1  <->  ( 2  x.  N )  <  (
( P ^ k
)  x.  1 ) ) )
14663mulid1d 9630 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( P ^ k )  x.  1 )  =  ( P ^ k ) )
147146breq2d 4468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( 2  x.  N )  < 
( ( P ^
k )  x.  1 )  <->  ( 2  x.  N )  <  ( P ^ k ) ) )
148145, 147bitrd 253 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  /  ( P ^
k ) )  <  1  <->  ( 2  x.  N )  <  ( P ^ k ) ) )
149148biimprd 223 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( 2  x.  N )  < 
( P ^ k
)  ->  ( (
2  x.  N )  /  ( P ^
k ) )  <  1 ) )
150149impr 619 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) )  /\  ( 2  x.  N )  <  ( P ^ k ) ) )  ->  ( (
2  x.  N )  /  ( P ^
k ) )  <  1 )
151 0p1e1 10668 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  +  1 )  =  1
152150, 151syl6breqr 4496 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) )  /\  ( 2  x.  N )  <  ( P ^ k ) ) )  ->  ( (
2  x.  N )  /  ( P ^
k ) )  < 
( 0  +  1 ) )
15317adantrr 716 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) )  /\  ( 2  x.  N )  <  ( P ^ k ) ) )  ->  ( (
2  x.  N )  /  ( P ^
k ) )  e.  RR )
154 0z 10896 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  ZZ
155 flbi 11954 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( 2  x.  N )  /  ( P ^ k ) )  e.  RR  /\  0  e.  ZZ )  ->  (
( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  ( P ^ k ) ) )  =  0  <->  (
0  <_  ( (
2  x.  N )  /  ( P ^
k ) )  /\  ( ( 2  x.  N )  /  ( P ^ k ) )  <  ( 0  +  1 ) ) ) )
156153, 154, 155sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) )  /\  ( 2  x.  N )  <  ( P ^ k ) ) )  ->  ( ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) ) )  =  0  <->  ( 0  <_ 
( ( 2  x.  N )  /  ( P ^ k ) )  /\  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) )  <  (
0  +  1 ) ) ) )
157142, 152, 156mpbir2and 922 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) )  /\  ( 2  x.  N )  <  ( P ^ k ) ) )  ->  ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  /  ( P ^ k ) ) )  =  0 )
15824rpge0d 11285 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  0  <_  ( N  /  ( P ^
k ) ) )
159158adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) )  /\  ( 2  x.  N )  <  ( P ^ k ) ) )  ->  0  <_  ( N  /  ( P ^ k ) ) )
160116, 21ltaddrp2d 11311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  NN  ->  N  <  ( N  +  N
) )
161612timesd 10802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  N )  =  ( N  +  N ) )
162160, 161breqtrrd 4482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( N  e.  NN  ->  N  <  ( 2  x.  N
) )
163162ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  N  <  (
2  x.  N ) )
164116ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  N  e.  RR )
165 lttr 9678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  RR  /\  ( 2  x.  N
)  e.  RR  /\  ( P ^ k )  e.  RR )  -> 
( ( N  < 
( 2  x.  N
)  /\  ( 2  x.  N )  < 
( P ^ k
) )  ->  N  <  ( P ^ k
) ) )
166164, 137, 138, 165syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( N  <  ( 2  x.  N )  /\  (
2  x.  N )  <  ( P ^
k ) )  ->  N  <  ( P ^
k ) ) )
167163, 166mpand 675 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( 2  x.  N )  < 
( P ^ k
)  ->  N  <  ( P ^ k ) ) )
168 ltdivmul 10438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
( P ^ k
)  e.  RR  /\  0  <  ( P ^
k ) ) )  ->  ( ( N  /  ( P ^
k ) )  <  1  <->  N  <  ( ( P ^ k )  x.  1 ) ) )
169164, 49, 138, 143, 168syl112anc 1232 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( N  /  ( P ^
k ) )  <  1  <->  N  <  ( ( P ^ k )  x.  1 ) ) )
170146breq2d 4468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( N  < 
( ( P ^
k )  x.  1 )  <->  N  <  ( P ^ k ) ) )
171169, 170bitrd 253 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( N  /  ( P ^
k ) )  <  1  <->  N  <  ( P ^ k ) ) )
172167, 171sylibrd 234 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( 2  x.  N )  < 
( P ^ k
)  ->  ( N  /  ( P ^
k ) )  <  1 ) )
173172impr 619 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) )  /\  ( 2  x.  N )  <  ( P ^ k ) ) )  ->  ( N  /  ( P ^
k ) )  <  1 )
174173, 151syl6breqr 4496 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) )  /\  ( 2  x.  N )  <  ( P ^ k ) ) )  ->  ( N  /  ( P ^
k ) )  < 
( 0  +  1 ) )
17525adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) )  /\  ( 2  x.  N )  <  ( P ^ k ) ) )  ->  ( N  /  ( P ^
k ) )  e.  RR )
176 flbi 11954 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  /  ( P ^ k ) )  e.  RR  /\  0  e.  ZZ )  ->  (
( |_ `  ( N  /  ( P ^
k ) ) )  =  0  <->  ( 0  <_  ( N  / 
( P ^ k
) )  /\  ( N  /  ( P ^
k ) )  < 
( 0  +  1 ) ) ) )
177175, 154, 176sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) )  /\  ( 2  x.  N )  <  ( P ^ k ) ) )  ->  ( ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) )  =  0  <->  ( 0  <_ 
( N  /  ( P ^ k ) )  /\  ( N  / 
( P ^ k
) )  <  (
0  +  1 ) ) ) )
178159, 174, 177mpbir2and 922 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) )  /\  ( 2  x.  N )  <  ( P ^ k ) ) )  ->  ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) )  =  0 )
179178oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) )  /\  ( 2  x.  N )  <  ( P ^ k ) ) )  ->  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) ) )  =  ( 2  x.  0 ) )
180 2t0e0 10712 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  x.  0 )  =  0
181179, 180syl6eq 2514 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) )  /\  ( 2  x.  N )  <  ( P ^ k ) ) )  ->  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) ) )  =  0 )
182157, 181oveq12d 6314 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) )  /\  ( 2  x.  N )  <  ( P ^ k ) ) )  ->  ( ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) )  =  ( 0  -  0 ) )
183 0m0e0 10666 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  -  0 )  =  0
184182, 183syl6eq 2514 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) )  /\  ( 2  x.  N )  <  ( P ^ k ) ) )  ->  ( ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) )  =  0 )
185 0le0 10646 . . . . . . . . 9  |-  0  <_  0
186184, 185syl6eqbr 4493 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) )  /\  ( 2  x.  N )  <  ( P ^ k ) ) )  ->  ( ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) )  <_  0 )
187186expr 615 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( 2  x.  N )  < 
( P ^ k
)  ->  ( ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) )  <_  0 ) )
188140, 187sylbid 215 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( -.  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) ) )  ->  (
( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  ( P ^ k ) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) ) ) )  <_ 
0 ) )
189 iffalse 3953 . . . . . . . 8  |-  ( -.  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) )  ->  if (
k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) ) ,  1 ,  0 )  =  0 )
190189eqcomd 2465 . . . . . . 7  |-  ( -.  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) )  ->  0  =  if ( k  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) ) ) ,  1 ,  0 ) )
191190breq2d 4468 . . . . . 6  |-  ( -.  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) )  ->  ( (
( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  ( P ^ k ) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) ) ) )  <_ 
0  <->  ( ( |_
`  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) )  <_  if (
k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) ) ,  1 ,  0 ) ) )
192188, 191mpbidi 216 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( -.  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) ) )  ->  (
( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  ( P ^ k ) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) ) ) )  <_  if ( k  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) ) ) ,  1 ,  0 ) ) )
19390, 192pm2.61d 158 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( |_
`  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) )  <_  if (
k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) ) ,  1 ,  0 ) )
1941, 30, 34, 193fsumle 13624 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) ) ( ( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  ( P ^ k ) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) ) ) )  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) ) if ( k  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) ) ) ,  1 ,  0 ) )
195 pcbcctr 23676 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... (
2  x.  N ) ) ( ( |_
`  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) ) )
196131zred 10990 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( |_ `  (
( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) )  e.  RR )
197 flle 11938 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) )  <_  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) )
198130, 197syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( |_ `  (
( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) )  <_  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) )
199104nnnn0d 10873 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( 2  x.  N
)  e.  NN0 )
20093, 199nnexpcld 12333 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P ^ (
2  x.  N ) )  e.  NN )
201200nnred 10571 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P ^ (
2  x.  N ) )  e.  RR )
202 bernneq3 12296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
2  x.  N )  e.  NN0 )  -> 
( 2  x.  N
)  <  ( P ^ ( 2  x.  N ) ) )
20396, 199, 202syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( 2  x.  N
)  <  ( P ^ ( 2  x.  N ) ) )
204111, 201, 203ltled 9750 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( 2  x.  N
)  <_  ( P ^ ( 2  x.  N ) ) )
205105reeflogd 23134 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( exp `  ( log `  ( 2  x.  N ) ) )  =  ( 2  x.  N ) )
20693nnrpd 11280 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  ->  P  e.  RR+ )
207104nnzd 10989 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( 2  x.  N
)  e.  ZZ )
208 reexplog 23104 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  e.  RR+  /\  (
2  x.  N )  e.  ZZ )  -> 
( P ^ (
2  x.  N ) )  =  ( exp `  ( ( 2  x.  N )  x.  ( log `  P ) ) ) )
209206, 207, 208syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P ^ (
2  x.  N ) )  =  ( exp `  ( ( 2  x.  N )  x.  ( log `  P ) ) ) )
210209eqcomd 2465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( exp `  (
( 2  x.  N
)  x.  ( log `  P ) ) )  =  ( P ^
( 2  x.  N
) ) )
211204, 205, 2103brtr4d 4486 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( exp `  ( log `  ( 2  x.  N ) ) )  <_  ( exp `  (
( 2  x.  N
)  x.  ( log `  P ) ) ) )
212105relogcld 23133 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( log `  (
2  x.  N ) )  e.  RR )
213128rpred 11281 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( log `  P
)  e.  RR )
214111, 213remulcld 9641 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ( 2  x.  N )  x.  ( log `  P ) )  e.  RR )
215 efle 13864 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( log `  (
2  x.  N ) )  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  N )  x.  ( log `  P ) )  e.  RR )  -> 
( ( log `  (
2  x.  N ) )  <_  ( (
2  x.  N )  x.  ( log `  P
) )  <->  ( exp `  ( log `  (
2  x.  N ) ) )  <_  ( exp `  ( ( 2  x.  N )  x.  ( log `  P
) ) ) ) )
216212, 214, 215syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ( log `  (
2  x.  N ) )  <_  ( (
2  x.  N )  x.  ( log `  P
) )  <->  ( exp `  ( log `  (
2  x.  N ) ) )  <_  ( exp `  ( ( 2  x.  N )  x.  ( log `  P
) ) ) ) )
217211, 216mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( log `  (
2  x.  N ) )  <_  ( (
2  x.  N )  x.  ( log `  P
) ) )
218212, 111, 128ledivmul2d 11331 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) )  <_  ( 2  x.  N )  <->  ( log `  ( 2  x.  N
) )  <_  (
( 2  x.  N
)  x.  ( log `  P ) ) ) )
219217, 218mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) )  <_ 
( 2  x.  N
) )
220196, 130, 111, 198, 219letrd 9756 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( |_ `  (
( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) )  <_  ( 2  x.  N ) )
221 eluz 11119 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( |_ `  (
( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) )  e.  ZZ  /\  (
2  x.  N )  e.  ZZ )  -> 
( ( 2  x.  N )  e.  (
ZZ>= `  ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) )  <->  ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) )  <_  ( 2  x.  N ) ) )
222131, 207, 221syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ( 2  x.  N )  e.  (
ZZ>= `  ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) )  <->  ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) )  <_  ( 2  x.  N ) ) )
223220, 222mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( 2  x.  N
)  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( ( log `  ( 2  x.  N ) )  /  ( log `  P
) ) ) ) )
224 fzss2 11748 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  N )  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) ) )  ->  (
1 ... ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) )  C_  ( 1 ... ( 2  x.  N ) ) )
225223, 224syl 16 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) ) )  C_  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )
226 sumhash 14426 . . . . 5  |-  ( ( ( 1 ... (
2  x.  N ) )  e.  Fin  /\  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) ) )  C_  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) ) if ( k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) ) ) ,  1 ,  0 )  =  ( # `  (
1 ... ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) ) ) )
2271, 225, 226syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) ) if ( k  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) ) ) ,  1 ,  0 )  =  ( # `  (
1 ... ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) ) ) )
228129rprege0d 11288 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) )
229 flge0nn0 11956 . . . . 5  |-  ( ( ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) )  ->  ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) )  e.  NN0 )
230 hashfz1 12421 . . . . 5  |-  ( ( |_ `  ( ( log `  ( 2  x.  N ) )  /  ( log `  P
) ) )  e. 
NN0  ->  ( # `  (
1 ... ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) ) )  =  ( |_ `  ( ( log `  ( 2  x.  N ) )  /  ( log `  P
) ) ) )
231228, 229, 2303syl 20 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( # `  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) ) )  =  ( |_ `  ( ( log `  ( 2  x.  N ) )  /  ( log `  P
) ) ) )
232227, 231eqtr2d 2499 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( |_ `  (
( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) ) if ( k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) ) ) ,  1 ,  0 ) )
233194, 195, 2323brtr4d 4486 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  <_  ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) )
234 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  ->  P  e.  Prime )
235 nnnn0 10823 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
236 fzctr 11812 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ( 0 ... (
2  x.  N ) ) )
237 bccl2 12403 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( 0 ... ( 2  x.  N
) )  ->  (
( 2  x.  N
)  _C  N )  e.  NN )
238235, 236, 2373syl 20 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  _C  N )  e.  NN )
239238adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ( 2  x.  N )  _C  N
)  e.  NN )
240234, 239pccld 14385 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  e.  NN0 )
241240nn0zd 10988 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  e.  ZZ )
242 efexple 23681 . . 3  |-  ( ( ( P  e.  RR  /\  1  <  P )  /\  ( P  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) )  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  N
)  e.  RR+ )  ->  ( ( P ^
( P  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )  <_  (
2  x.  N )  <-> 
( P  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  <_  ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) ) )
24394, 99, 241, 105, 242syl211anc 1234 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ( P ^
( P  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )  <_  (
2  x.  N )  <-> 
( P  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  <_  ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) ) )
244233, 243mpbird 232 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P ^ ( P  pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) )  <_  ( 2  x.  N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819    C_ wss 3471   ifcif 3944   class class class wbr 4456   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Fincfn 7535   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512    x. cmul 9514    < clt 9645    <_ cle 9646    - cmin 9824    / cdiv 10227   NNcn 10556   2c2 10606   NN0cn0 10816   ZZcz 10885   ZZ>=cuz 11106   RR+crp 11245   ...cfz 11697   |_cfl 11929   ^cexp 12168    _C cbc 12382   #chash 12407   sum_csu 13519   expce 13808   Primecprime 14228    pCnt cpc 14371   logclog 23067
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ioc 11559  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11821  df-fl 11931  df-mod 11999  df-seq 12110  df-exp 12169  df-fac 12356  df-bc 12383  df-hash 12408  df-shft 12911  df-cj 12943  df-re 12944  df-im 12945  df-sqrt 13079  df-abs 13080  df-limsup 13305  df-clim 13322  df-rlim 13323  df-sum 13520  df-ef 13814  df-sin 13816  df-cos 13817  df-pi 13819  df-dvds 13998  df-gcd 14156  df-prm 14229  df-pc 14372  df-struct 14645  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-ress 14650  df-plusg 14724  df-mulr 14725  df-starv 14726  df-sca 14727  df-vsca 14728  df-ip 14729  df-tset 14730  df-ple 14731  df-ds 14733  df-unif 14734  df-hom 14735  df-cco 14736  df-rest 14839  df-topn 14840  df-0g 14858  df-gsum 14859  df-topgen 14860  df-pt 14861  df-prds 14864  df-xrs 14918  df-qtop 14923  df-imas 14924  df-xps 14926  df-mre 15002  df-mrc 15003  df-acs 15005  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-submnd 16093  df-mulg 16186  df-cntz 16481  df-cmn 16926  df-psmet 18537  df-xmet 18538  df-met 18539  df-bl 18540  df-mopn 18541  df-fbas 18542  df-fg 18543  df-cnfld 18547  df-top 19525  df-bases 19527  df-topon 19528  df-topsp 19529  df-cld 19646  df-ntr 19647  df-cls 19648  df-nei 19725  df-lp 19763  df-perf 19764  df-cn 19854  df-cnp 19855  df-haus 19942  df-tx 20188  df-hmeo 20381  df-fil 20472  df-fm 20564  df-flim 20565  df-flf 20566  df-xms 20948  df-ms 20949  df-tms 20950  df-cncf 21507  df-limc 22395  df-dv 22396  df-log 23069
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