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Theorem bposlem1 21021
Description: An upper bound on the prime powers dividing a central binomial coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
bposlem1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P ^ ( P  pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) )  <_  ( 2  x.  N ) )

Proof of Theorem bposlem1
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 11267 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( 1 ... (
2  x.  N ) )  e.  Fin )
2 2nn 10089 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  NN
3 nnmulcl 9979 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( 2  x.  N
)  e.  NN )
42, 3mpan 652 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  N )  e.  NN )
54ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( 2  x.  N )  e.  NN )
6 prmnn 13037 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
76ad2antlr 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  P  e.  NN )
8 elfznn 11036 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N
) )  ->  k  e.  NN )
98adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  k  e.  NN )
109nnnn0d 10230 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  k  e.  NN0 )
117, 10nnexpcld 11499 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( P ^
k )  e.  NN )
12 nnrp 10577 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  x.  N )  e.  NN  ->  (
2  x.  N )  e.  RR+ )
13 nnrp 10577 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P ^ k )  e.  NN  ->  ( P ^ k )  e.  RR+ )
14 rpdivcl 10590 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  RR+  /\  ( P ^ k )  e.  RR+ )  ->  ( ( 2  x.  N )  /  ( P ^
k ) )  e.  RR+ )
1512, 13, 14syl2an 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  NN  /\  ( P ^ k )  e.  NN )  -> 
( ( 2  x.  N )  /  ( P ^ k ) )  e.  RR+ )
165, 11, 15syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) )  e.  RR+ )
1716rpred 10604 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) )  e.  RR )
1817flcld 11162 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  /  ( P ^ k ) ) )  e.  ZZ )
19 2z 10268 . . . . . . 7  |-  2  e.  ZZ
20 simpll 731 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  N  e.  NN )
21 nnrp 10577 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR+ )
22 rpdivcl 10590 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR+  /\  ( P ^ k )  e.  RR+ )  ->  ( N  /  ( P ^
k ) )  e.  RR+ )
2321, 13, 22syl2an 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( P ^ k )  e.  NN )  -> 
( N  /  ( P ^ k ) )  e.  RR+ )
2420, 11, 23syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( N  / 
( P ^ k
) )  e.  RR+ )
2524rpred 10604 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( N  / 
( P ^ k
) )  e.  RR )
2625flcld 11162 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) )  e.  ZZ )
27 zmulcl 10280 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( |_ `  ( N  /  ( P ^
k ) ) )  e.  ZZ )  -> 
( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) )  e.  ZZ )
2819, 26, 27sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^
k ) ) ) )  e.  ZZ )
2918, 28zsubcld 10336 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( |_
`  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) )  e.  ZZ )
3029zred 10331 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( |_
`  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) )  e.  RR )
31 1re 9046 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
32 0re 9047 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
3331, 32keepel 3756 . . . . 5  |-  if ( k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) ) ,  1 ,  0 )  e.  RR
3433a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  if ( k  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) ) ,  1 ,  0 )  e.  RR )
3528zred 10331 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^
k ) ) ) )  e.  RR )
3617, 35resubcld 9421 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  /  ( P ^
k ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) )  e.  RR )
37 2re 10025 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  RR
3837a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  2  e.  RR )
3918zred 10331 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  /  ( P ^ k ) ) )  e.  RR )
40 flle 11163 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  /  ( P ^ k ) )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) ) )  <_ 
( ( 2  x.  N )  /  ( P ^ k ) ) )
4117, 40syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  /  ( P ^ k ) ) )  <_  ( (
2  x.  N )  /  ( P ^
k ) ) )
4239, 17, 35, 41lesub1dd 9598 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( |_
`  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) )  <_  ( (
( 2  x.  N
)  /  ( P ^ k ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^
k ) ) ) ) ) )
43 resubcl 9321 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  /  ( P ^ k ) )  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  (
( N  /  ( P ^ k ) )  -  1 )  e.  RR )
4425, 31, 43sylancl 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( N  /  ( P ^
k ) )  - 
1 )  e.  RR )
45 remulcl 9031 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( ( N  / 
( P ^ k
) )  -  1 )  e.  RR )  ->  ( 2  x.  ( ( N  / 
( P ^ k
) )  -  1 ) )  e.  RR )
4637, 44, 45sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( 2  x.  ( ( N  / 
( P ^ k
) )  -  1 ) )  e.  RR )
47 flltp1 11164 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  /  ( P ^ k ) )  e.  RR  ->  ( N  /  ( P ^
k ) )  < 
( ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) )  +  1 ) )
4825, 47syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( N  / 
( P ^ k
) )  <  (
( |_ `  ( N  /  ( P ^
k ) ) )  +  1 ) )
4931a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  1  e.  RR )
5026zred 10331 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) )  e.  RR )
5125, 49, 50ltsubaddd 9578 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( ( N  /  ( P ^ k ) )  -  1 )  < 
( |_ `  ( N  /  ( P ^
k ) ) )  <-> 
( N  /  ( P ^ k ) )  <  ( ( |_
`  ( N  / 
( P ^ k
) ) )  +  1 ) ) )
5248, 51mpbird 224 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( N  /  ( P ^
k ) )  - 
1 )  <  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) )
53 2pos 10038 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  <  2
5437, 53pm3.2i 442 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
55 ltmul2 9817 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  / 
( P ^ k
) )  -  1 )  e.  RR  /\  ( |_ `  ( N  /  ( P ^
k ) ) )  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( ( N  /  ( P ^ k ) )  -  1 )  < 
( |_ `  ( N  /  ( P ^
k ) ) )  <-> 
( 2  x.  (
( N  /  ( P ^ k ) )  -  1 ) )  <  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^
k ) ) ) ) ) )
5654, 55mp3an3 1268 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  / 
( P ^ k
) )  -  1 )  e.  RR  /\  ( |_ `  ( N  /  ( P ^
k ) ) )  e.  RR )  -> 
( ( ( N  /  ( P ^
k ) )  - 
1 )  <  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) )  <->  ( 2  x.  ( ( N  /  ( P ^
k ) )  - 
1 ) )  < 
( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) ) )
5744, 50, 56syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( ( N  /  ( P ^ k ) )  -  1 )  < 
( |_ `  ( N  /  ( P ^
k ) ) )  <-> 
( 2  x.  (
( N  /  ( P ^ k ) )  -  1 ) )  <  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^
k ) ) ) ) ) )
5852, 57mpbid 202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( 2  x.  ( ( N  / 
( P ^ k
) )  -  1 ) )  <  (
2  x.  ( |_
`  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) )
5946, 35, 17, 58ltsub2dd 9595 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  /  ( P ^
k ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) )  <  ( ( ( 2  x.  N
)  /  ( P ^ k ) )  -  ( 2  x.  ( ( N  / 
( P ^ k
) )  -  1 ) ) ) )
60 2cn 10026 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  CC
6160a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  2  e.  CC )
62 nncn 9964 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
6362ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  N  e.  CC )
6411nncnd 9972 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( P ^
k )  e.  CC )
6511nnne0d 10000 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( P ^
k )  =/=  0
)
6661, 63, 64, 65divassd 9781 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) )  =  ( 2  x.  ( N  /  ( P ^
k ) ) ) )
6725recnd 9070 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( N  / 
( P ^ k
) )  e.  CC )
68 ax-1cn 9004 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  CC
6968a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  1  e.  CC )
7061, 67, 69subdid 9445 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( 2  x.  ( ( N  / 
( P ^ k
) )  -  1 ) )  =  ( ( 2  x.  ( N  /  ( P ^
k ) ) )  -  ( 2  x.  1 ) ) )
7160mulid1i 9048 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
7271oveq2i 6051 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  x.  ( N  /  ( P ^
k ) ) )  -  ( 2  x.  1 ) )  =  ( ( 2  x.  ( N  /  ( P ^ k ) ) )  -  2 )
7370, 72syl6eq 2452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( 2  x.  ( ( N  / 
( P ^ k
) )  -  1 ) )  =  ( ( 2  x.  ( N  /  ( P ^
k ) ) )  -  2 ) )
7466, 73oveq12d 6058 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  /  ( P ^
k ) )  -  ( 2  x.  (
( N  /  ( P ^ k ) )  -  1 ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( N  /  ( P ^
k ) ) )  -  ( ( 2  x.  ( N  / 
( P ^ k
) ) )  - 
2 ) ) )
75 remulcl 9031 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( N  /  ( P ^ k ) )  e.  RR )  -> 
( 2  x.  ( N  /  ( P ^
k ) ) )  e.  RR )
7637, 25, 75sylancr 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( 2  x.  ( N  /  ( P ^ k ) ) )  e.  RR )
7776recnd 9070 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( 2  x.  ( N  /  ( P ^ k ) ) )  e.  CC )
78 nncan 9286 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2  x.  ( N  /  ( P ^
k ) ) )  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  (
( 2  x.  ( N  /  ( P ^
k ) ) )  -  ( ( 2  x.  ( N  / 
( P ^ k
) ) )  - 
2 ) )  =  2 )
7977, 60, 78sylancl 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( 2  x.  ( N  / 
( P ^ k
) ) )  -  ( ( 2  x.  ( N  /  ( P ^ k ) ) )  -  2 ) )  =  2 )
8074, 79eqtrd 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  /  ( P ^
k ) )  -  ( 2  x.  (
( N  /  ( P ^ k ) )  -  1 ) ) )  =  2 )
8159, 80breqtrd 4196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  /  ( P ^
k ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) )  <  2 )
8230, 36, 38, 42, 81lelttrd 9184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( |_
`  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) )  <  2 )
83 df-2 10014 . . . . . . . 8  |-  2  =  ( 1  +  1 )
8482, 83syl6breq 4211 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( |_
`  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) )  <  ( 1  +  1 ) )
85 1z 10267 . . . . . . . 8  |-  1  e.  ZZ
86 zleltp1 10282 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  /  ( P ^ k ) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) ) ) )  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  (
( ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  /  ( P ^ k ) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) ) ) )  <_ 
1  <->  ( ( |_
`  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) )  <  ( 1  +  1 ) ) )
8729, 85, 86sylancl 644 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  /  ( P ^
k ) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^
k ) ) ) ) )  <_  1  <->  ( ( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  ( P ^ k ) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) ) ) )  < 
( 1  +  1 ) ) )
8884, 87mpbird 224 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( |_
`  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) )  <_  1 )
89 iftrue 3705 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) )  ->  if (
k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) ) ,  1 ,  0 )  =  1 )
9089breq2d 4184 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) )  ->  ( (
( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  ( P ^ k ) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) ) ) )  <_  if ( k  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) ) ) ,  1 ,  0 )  <->  ( ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) )  <_  1 ) )
9188, 90syl5ibrcom 214 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) ) )  ->  (
( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  ( P ^ k ) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) ) ) )  <_  if ( k  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) ) ) ,  1 ,  0 ) ) )
929nnge1d 9998 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  1  <_  k
)
9392biantrurd 495 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( k  <_ 
( |_ `  (
( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) )  <-> 
( 1  <_  k  /\  k  <_  ( |_
`  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) ) ) ) )
946adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  ->  P  e.  NN )
9594nnred 9971 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  ->  P  e.  RR )
96 prmuz2 13052 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
9796adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  ->  P  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
98 eluz2b1 10503 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( P  e.  ZZ  /\  1  < 
P ) )
9998simprbi 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  <  P )
10097, 99syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
1  <  P )
10195, 100jca 519 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P  e.  RR  /\  1  <  P ) )
102101adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( P  e.  RR  /\  1  < 
P ) )
103 elfzelz 11015 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N
) )  ->  k  e.  ZZ )
104103adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  k  e.  ZZ )
1054adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( 2  x.  N
)  e.  NN )
106105nnrpd 10603 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( 2  x.  N
)  e.  RR+ )
107106adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( 2  x.  N )  e.  RR+ )
108 efexple 21018 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  e.  RR  /\  1  <  P )  /\  k  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  N
)  e.  RR+ )  ->  ( ( P ^
k )  <_  (
2  x.  N )  <-> 
k  <_  ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) ) )
109102, 104, 107, 108syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( P ^ k )  <_ 
( 2  x.  N
)  <->  k  <_  ( |_ `  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) ) ) )
1109nnzd 10330 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  k  e.  ZZ )
11185a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  1  e.  ZZ )
112105nnred 9971 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( 2  x.  N
)  e.  RR )
11331a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
1  e.  RR )
11437a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
2  e.  RR )
115 1lt2 10098 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  <  2
116115a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
1  <  2 )
117 nnre 9963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
118117adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  ->  N  e.  RR )
11932, 37, 53ltleii 9152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  0  <_  2
12037, 119pm3.2i 442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <_  2 )
121120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( 2  e.  RR  /\  0  <_  2 ) )
122 nnge1 9982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  NN  ->  1  <_  N )
123122adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
1  <_  N )
124 lemul2a 9821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <_  2 ) )  /\  1  <_  N )  ->  (
2  x.  1 )  <_  ( 2  x.  N ) )
125113, 118, 121, 123, 124syl31anc 1187 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( 2  x.  1 )  <_  ( 2  x.  N ) )
12671, 125syl5eqbrr 4206 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
2  <_  ( 2  x.  N ) )
127113, 114, 112, 116, 126ltletrd 9186 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
1  <  ( 2  x.  N ) )
128112, 127rplogcld 20477 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( log `  (
2  x.  N ) )  e.  RR+ )
12995, 100rplogcld 20477 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( log `  P
)  e.  RR+ )
130128, 129rpdivcld 10621 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) )  e.  RR+ )
131130rpred 10604 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) )  e.  RR )
132131flcld 11162 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( |_ `  (
( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) )  e.  ZZ )
133132adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) )  e.  ZZ )
134 elfz 11005 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ  /\  ( |_ `  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) )  e.  ZZ )  ->  ( k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) ) )  <->  ( 1  <_  k  /\  k  <_  ( |_ `  (
( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) ) ) )
135110, 111, 133, 134syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) ) )  <->  ( 1  <_  k  /\  k  <_  ( |_ `  (
( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) ) ) )
13693, 109, 1353bitr4rd 278 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) ) )  <->  ( P ^ k )  <_ 
( 2  x.  N
) ) )
137136notbid 286 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( -.  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) ) )  <->  -.  ( P ^ k )  <_ 
( 2  x.  N
) ) )
138112adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( 2  x.  N )  e.  RR )
13911nnred 9971 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( P ^
k )  e.  RR )
140138, 139ltnled 9176 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( 2  x.  N )  < 
( P ^ k
)  <->  -.  ( P ^ k )  <_ 
( 2  x.  N
) ) )
141137, 140bitr4d 248 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( -.  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) ) )  <->  ( 2  x.  N )  < 
( P ^ k
) ) )
14216rpge0d 10608 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  0  <_  (
( 2  x.  N
)  /  ( P ^ k ) ) )
143142adantrr 698 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) )  /\  ( 2  x.  N )  <  ( P ^ k ) ) )  ->  0  <_  ( ( 2  x.  N
)  /  ( P ^ k ) ) )
14411nngt0d 9999 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  0  <  ( P ^ k ) )
145 ltdivmul 9838 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
( P ^ k
)  e.  RR  /\  0  <  ( P ^
k ) ) )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  /  ( P ^
k ) )  <  1  <->  ( 2  x.  N )  <  (
( P ^ k
)  x.  1 ) ) )
146138, 49, 139, 144, 145syl112anc 1188 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  /  ( P ^
k ) )  <  1  <->  ( 2  x.  N )  <  (
( P ^ k
)  x.  1 ) ) )
14764mulid1d 9061 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( P ^ k )  x.  1 )  =  ( P ^ k ) )
148147breq2d 4184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( 2  x.  N )  < 
( ( P ^
k )  x.  1 )  <->  ( 2  x.  N )  <  ( P ^ k ) ) )
149146, 148bitrd 245 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  /  ( P ^
k ) )  <  1  <->  ( 2  x.  N )  <  ( P ^ k ) ) )
150149biimprd 215 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( 2  x.  N )  < 
( P ^ k
)  ->  ( (
2  x.  N )  /  ( P ^
k ) )  <  1 ) )
151150impr 603 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) )  /\  ( 2  x.  N )  <  ( P ^ k ) ) )  ->  ( (
2  x.  N )  /  ( P ^
k ) )  <  1 )
152 0p1e1 10049 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  +  1 )  =  1
153151, 152syl6breqr 4212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) )  /\  ( 2  x.  N )  <  ( P ^ k ) ) )  ->  ( (
2  x.  N )  /  ( P ^
k ) )  < 
( 0  +  1 ) )
15417adantrr 698 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) )  /\  ( 2  x.  N )  <  ( P ^ k ) ) )  ->  ( (
2  x.  N )  /  ( P ^
k ) )  e.  RR )
155 0z 10249 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  ZZ
156 flbi 11178 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( 2  x.  N )  /  ( P ^ k ) )  e.  RR  /\  0  e.  ZZ )  ->  (
( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  ( P ^ k ) ) )  =  0  <->  (
0  <_  ( (
2  x.  N )  /  ( P ^
k ) )  /\  ( ( 2  x.  N )  /  ( P ^ k ) )  <  ( 0  +  1 ) ) ) )
157154, 155, 156sylancl 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) )  /\  ( 2  x.  N )  <  ( P ^ k ) ) )  ->  ( ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) ) )  =  0  <->  ( 0  <_ 
( ( 2  x.  N )  /  ( P ^ k ) )  /\  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) )  <  (
0  +  1 ) ) ) )
158143, 153, 157mpbir2and 889 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) )  /\  ( 2  x.  N )  <  ( P ^ k ) ) )  ->  ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  /  ( P ^ k ) ) )  =  0 )
15924rpge0d 10608 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  0  <_  ( N  /  ( P ^
k ) ) )
160159adantrr 698 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) )  /\  ( 2  x.  N )  <  ( P ^ k ) ) )  ->  0  <_  ( N  /  ( P ^ k ) ) )
161117, 21ltaddrp2d 10634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  NN  ->  N  <  ( N  +  N
) )
162622timesd 10166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  N )  =  ( N  +  N ) )
163161, 162breqtrrd 4198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( N  e.  NN  ->  N  <  ( 2  x.  N
) )
164163ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  N  <  (
2  x.  N ) )
165117ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  N  e.  RR )
166 lttr 9108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  RR  /\  ( 2  x.  N
)  e.  RR  /\  ( P ^ k )  e.  RR )  -> 
( ( N  < 
( 2  x.  N
)  /\  ( 2  x.  N )  < 
( P ^ k
) )  ->  N  <  ( P ^ k
) ) )
167165, 138, 139, 166syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( N  <  ( 2  x.  N )  /\  (
2  x.  N )  <  ( P ^
k ) )  ->  N  <  ( P ^
k ) ) )
168164, 167mpand 657 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( 2  x.  N )  < 
( P ^ k
)  ->  N  <  ( P ^ k ) ) )
169 ltdivmul 9838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
( P ^ k
)  e.  RR  /\  0  <  ( P ^
k ) ) )  ->  ( ( N  /  ( P ^
k ) )  <  1  <->  N  <  ( ( P ^ k )  x.  1 ) ) )
170165, 49, 139, 144, 169syl112anc 1188 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( N  /  ( P ^
k ) )  <  1  <->  N  <  ( ( P ^ k )  x.  1 ) ) )
171147breq2d 4184 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( N  < 
( ( P ^
k )  x.  1 )  <->  N  <  ( P ^ k ) ) )
172170, 171bitrd 245 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( N  /  ( P ^
k ) )  <  1  <->  N  <  ( P ^ k ) ) )
173168, 172sylibrd 226 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( 2  x.  N )  < 
( P ^ k
)  ->  ( N  /  ( P ^
k ) )  <  1 ) )
174173impr 603 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) )  /\  ( 2  x.  N )  <  ( P ^ k ) ) )  ->  ( N  /  ( P ^
k ) )  <  1 )
175174, 152syl6breqr 4212 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) )  /\  ( 2  x.  N )  <  ( P ^ k ) ) )  ->  ( N  /  ( P ^
k ) )  < 
( 0  +  1 ) )
17625adantrr 698 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) )  /\  ( 2  x.  N )  <  ( P ^ k ) ) )  ->  ( N  /  ( P ^
k ) )  e.  RR )
177 flbi 11178 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  /  ( P ^ k ) )  e.  RR  /\  0  e.  ZZ )  ->  (
( |_ `  ( N  /  ( P ^
k ) ) )  =  0  <->  ( 0  <_  ( N  / 
( P ^ k
) )  /\  ( N  /  ( P ^
k ) )  < 
( 0  +  1 ) ) ) )
178176, 155, 177sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) )  /\  ( 2  x.  N )  <  ( P ^ k ) ) )  ->  ( ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) )  =  0  <->  ( 0  <_ 
( N  /  ( P ^ k ) )  /\  ( N  / 
( P ^ k
) )  <  (
0  +  1 ) ) ) )
179160, 175, 178mpbir2and 889 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) )  /\  ( 2  x.  N )  <  ( P ^ k ) ) )  ->  ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) )  =  0 )
180179oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) )  /\  ( 2  x.  N )  <  ( P ^ k ) ) )  ->  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) ) )  =  ( 2  x.  0 ) )
18160mul01i 9212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  x.  0 )  =  0
182180, 181syl6eq 2452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) )  /\  ( 2  x.  N )  <  ( P ^ k ) ) )  ->  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) ) )  =  0 )
183158, 182oveq12d 6058 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) )  /\  ( 2  x.  N )  <  ( P ^ k ) ) )  ->  ( ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) )  =  ( 0  -  0 ) )
184 0cn 9040 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  CC
185184subidi 9327 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  -  0 )  =  0
186183, 185syl6eq 2452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) )  /\  ( 2  x.  N )  <  ( P ^ k ) ) )  ->  ( ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) )  =  0 )
187 0le0 10037 . . . . . . . . 9  |-  0  <_  0
188186, 187syl6eqbr 4209 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) )  /\  ( 2  x.  N )  <  ( P ^ k ) ) )  ->  ( ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) )  <_  0 )
189188expr 599 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( 2  x.  N )  < 
( P ^ k
)  ->  ( ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) )  <_  0 ) )
190141, 189sylbid 207 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( -.  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) ) )  ->  (
( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  ( P ^ k ) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) ) ) )  <_ 
0 ) )
191 iffalse 3706 . . . . . . . 8  |-  ( -.  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) )  ->  if (
k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) ) ,  1 ,  0 )  =  0 )
192191eqcomd 2409 . . . . . . 7  |-  ( -.  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) )  ->  0  =  if ( k  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) ) ) ,  1 ,  0 ) )
193192breq2d 4184 . . . . . 6  |-  ( -.  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) )  ->  ( (
( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  ( P ^ k ) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) ) ) )  <_ 
0  <->  ( ( |_
`  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) )  <_  if (
k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) ) ,  1 ,  0 ) ) )
194190, 193mpbidi 208 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( -.  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) ) )  ->  (
( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  ( P ^ k ) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) ) ) )  <_  if ( k  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) ) ) ,  1 ,  0 ) ) )
19591, 194pm2.61d 152 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( |_
`  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) )  <_  if (
k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) ) ,  1 ,  0 ) )
1961, 30, 34, 195fsumle 12533 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) ) ( ( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  ( P ^ k ) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) ) ) )  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) ) if ( k  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) ) ) ,  1 ,  0 ) )
197 pcbcctr 21013 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... (
2  x.  N ) ) ( ( |_
`  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) ) )
198132zred 10331 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( |_ `  (
( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) )  e.  RR )
199 flle 11163 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) )  <_  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) )
200131, 199syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( |_ `  (
( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) )  <_  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) )
201105nnnn0d 10230 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( 2  x.  N
)  e.  NN0 )
20294, 201nnexpcld 11499 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P ^ (
2  x.  N ) )  e.  NN )
203202nnred 9971 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P ^ (
2  x.  N ) )  e.  RR )
204 bernneq3 11462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
2  x.  N )  e.  NN0 )  -> 
( 2  x.  N
)  <  ( P ^ ( 2  x.  N ) ) )
20597, 201, 204syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( 2  x.  N
)  <  ( P ^ ( 2  x.  N ) ) )
206112, 203, 205ltled 9177 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( 2  x.  N
)  <_  ( P ^ ( 2  x.  N ) ) )
207106reeflogd 20472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( exp `  ( log `  ( 2  x.  N ) ) )  =  ( 2  x.  N ) )
20894nnrpd 10603 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  ->  P  e.  RR+ )
209105nnzd 10330 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( 2  x.  N
)  e.  ZZ )
210 reexplog 20442 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  e.  RR+  /\  (
2  x.  N )  e.  ZZ )  -> 
( P ^ (
2  x.  N ) )  =  ( exp `  ( ( 2  x.  N )  x.  ( log `  P ) ) ) )
211208, 209, 210syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P ^ (
2  x.  N ) )  =  ( exp `  ( ( 2  x.  N )  x.  ( log `  P ) ) ) )
212211eqcomd 2409 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( exp `  (
( 2  x.  N
)  x.  ( log `  P ) ) )  =  ( P ^
( 2  x.  N
) ) )
213206, 207, 2123brtr4d 4202 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( exp `  ( log `  ( 2  x.  N ) ) )  <_  ( exp `  (
( 2  x.  N
)  x.  ( log `  P ) ) ) )
214106relogcld 20471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( log `  (
2  x.  N ) )  e.  RR )
215129rpred 10604 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( log `  P
)  e.  RR )
216112, 215remulcld 9072 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ( 2  x.  N )  x.  ( log `  P ) )  e.  RR )
217 efle 12674 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( log `  (
2  x.  N ) )  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  N )  x.  ( log `  P ) )  e.  RR )  -> 
( ( log `  (
2  x.  N ) )  <_  ( (
2  x.  N )  x.  ( log `  P
) )  <->  ( exp `  ( log `  (
2  x.  N ) ) )  <_  ( exp `  ( ( 2  x.  N )  x.  ( log `  P
) ) ) ) )
218214, 216, 217syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ( log `  (
2  x.  N ) )  <_  ( (
2  x.  N )  x.  ( log `  P
) )  <->  ( exp `  ( log `  (
2  x.  N ) ) )  <_  ( exp `  ( ( 2  x.  N )  x.  ( log `  P
) ) ) ) )
219213, 218mpbird 224 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( log `  (
2  x.  N ) )  <_  ( (
2  x.  N )  x.  ( log `  P
) ) )
220214, 112, 129ledivmul2d 10654 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) )  <_  ( 2  x.  N )  <->  ( log `  ( 2  x.  N
) )  <_  (
( 2  x.  N
)  x.  ( log `  P ) ) ) )
221219, 220mpbird 224 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) )  <_ 
( 2  x.  N
) )
222198, 131, 112, 200, 221letrd 9183 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( |_ `  (
( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) )  <_  ( 2  x.  N ) )
223 eluz 10455 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( |_ `  (
( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) )  e.  ZZ  /\  (
2  x.  N )  e.  ZZ )  -> 
( ( 2  x.  N )  e.  (
ZZ>= `  ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) )  <->  ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) )  <_  ( 2  x.  N ) ) )
224132, 209, 223syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ( 2  x.  N )  e.  (
ZZ>= `  ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) )  <->  ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) )  <_  ( 2  x.  N ) ) )
225222, 224mpbird 224 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( 2  x.  N
)  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( ( log `  ( 2  x.  N ) )  /  ( log `  P
) ) ) ) )
226 fzss2 11048 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  N )  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) ) )  ->  (
1 ... ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) )  C_  ( 1 ... ( 2  x.  N ) ) )
227225, 226syl 16 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) ) )  C_  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )
228 sumhash 13220 . . . . 5  |-  ( ( ( 1 ... (
2  x.  N ) )  e.  Fin  /\  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) ) )  C_  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) ) if ( k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) ) ) ,  1 ,  0 )  =  ( # `  (
1 ... ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) ) ) )
2291, 227, 228syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) ) if ( k  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) ) ) ,  1 ,  0 )  =  ( # `  (
1 ... ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) ) ) )
230130rprege0d 10611 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) )
231 flge0nn0 11180 . . . . 5  |-  ( ( ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) )  ->  ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) )  e.  NN0 )
232 hashfz1 11585 . . . . 5  |-  ( ( |_ `  ( ( log `  ( 2  x.  N ) )  /  ( log `  P
) ) )  e. 
NN0  ->  ( # `  (
1 ... ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) ) )  =  ( |_ `  ( ( log `  ( 2  x.  N ) )  /  ( log `  P
) ) ) )
233230, 231, 2323syl 19 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( # `  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) ) )  =  ( |_ `  ( ( log `  ( 2  x.  N ) )  /  ( log `  P
) ) ) )
234229, 233eqtr2d 2437 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( |_ `  (
( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) ) if ( k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) ) ) ,  1 ,  0 ) )
235196, 197, 2343brtr4d 4202 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  <_  ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) )
236 simpr 448 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  ->  P  e.  Prime )
237 nnnn0 10184 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
238 fzctr 11072 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ( 0 ... (
2  x.  N ) ) )
239 bccl2 11569 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( 0 ... ( 2  x.  N
) )  ->  (
( 2  x.  N
)  _C  N )  e.  NN )
240237, 238, 2393syl 19 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  _C  N )  e.  NN )
241240adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ( 2  x.  N )  _C  N
)  e.  NN )
242236, 241pccld 13179 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  e.  NN0 )
243242nn0zd 10329 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  e.  ZZ )
244 efexple 21018 . . 3  |-  ( ( ( P  e.  RR  /\  1  <  P )  /\  ( P  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) )  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  N
)  e.  RR+ )  ->  ( ( P ^
( P  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )  <_  (
2  x.  N )  <-> 
( P  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  <_  ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) ) )
24595, 100, 243, 106, 244syl211anc 1190 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ( P ^
( P  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )  <_  (
2  x.  N )  <-> 
( P  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  <_  ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) ) )
246235, 245mpbird 224 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P ^ ( P  pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) )  <_  ( 2  x.  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    C_ wss 3280   ifcif 3699   class class class wbr 4172   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Fincfn 7068   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247    / cdiv 9633   NNcn 9956   2c2 10005   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   RR+crp 10568   ...cfz 10999   |_cfl 11156   ^cexp 11337    _C cbc 11548   #chash 11573   sum_csu 12434   expce 12619   Primecprime 13034    pCnt cpc 13165   logclog 20405
This theorem is referenced by:  bposlem5  21025  bposlem6  21026  chebbnd1lem1  21116
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-ef 12625  df-sin 12627  df-cos 12628  df-pi 12630  df-dvds 12808  df-gcd 12962  df-prm 13035  df-pc 13166  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707  df-log 20407
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