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Theorem bposlem1 22628
Description: An upper bound on the prime powers dividing a central binomial coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
bposlem1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P ^ ( P  pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) )  <_  ( 2  x.  N ) )

Proof of Theorem bposlem1
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 11800 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( 1 ... (
2  x.  N ) )  e.  Fin )
2 2nn 10484 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  NN
3 nnmulcl 10350 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( 2  x.  N
)  e.  NN )
42, 3mpan 670 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  N )  e.  NN )
54ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( 2  x.  N )  e.  NN )
6 prmnn 13771 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
76ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  P  e.  NN )
8 elfznn 11483 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N
) )  ->  k  e.  NN )
98adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  k  e.  NN )
109nnnn0d 10641 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  k  e.  NN0 )
117, 10nnexpcld 12034 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( P ^
k )  e.  NN )
12 nnrp 11005 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  x.  N )  e.  NN  ->  (
2  x.  N )  e.  RR+ )
13 nnrp 11005 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P ^ k )  e.  NN  ->  ( P ^ k )  e.  RR+ )
14 rpdivcl 11018 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  RR+  /\  ( P ^ k )  e.  RR+ )  ->  ( ( 2  x.  N )  /  ( P ^
k ) )  e.  RR+ )
1512, 13, 14syl2an 477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  NN  /\  ( P ^ k )  e.  NN )  -> 
( ( 2  x.  N )  /  ( P ^ k ) )  e.  RR+ )
165, 11, 15syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) )  e.  RR+ )
1716rpred 11032 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) )  e.  RR )
1817flcld 11653 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  /  ( P ^ k ) ) )  e.  ZZ )
19 2z 10683 . . . . . . 7  |-  2  e.  ZZ
20 simpll 753 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  N  e.  NN )
21 nnrp 11005 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR+ )
22 rpdivcl 11018 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR+  /\  ( P ^ k )  e.  RR+ )  ->  ( N  /  ( P ^
k ) )  e.  RR+ )
2321, 13, 22syl2an 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( P ^ k )  e.  NN )  -> 
( N  /  ( P ^ k ) )  e.  RR+ )
2420, 11, 23syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( N  / 
( P ^ k
) )  e.  RR+ )
2524rpred 11032 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( N  / 
( P ^ k
) )  e.  RR )
2625flcld 11653 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) )  e.  ZZ )
27 zmulcl 10698 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( |_ `  ( N  /  ( P ^
k ) ) )  e.  ZZ )  -> 
( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) )  e.  ZZ )
2819, 26, 27sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^
k ) ) ) )  e.  ZZ )
2918, 28zsubcld 10757 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( |_
`  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) )  e.  ZZ )
3029zred 10752 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( |_
`  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) )  e.  RR )
31 1re 9390 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
32 0re 9391 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
3331, 32keepel 3862 . . . . 5  |-  if ( k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) ) ,  1 ,  0 )  e.  RR
3433a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  if ( k  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) ) ,  1 ,  0 )  e.  RR )
3528zred 10752 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^
k ) ) ) )  e.  RR )
3617, 35resubcld 9781 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  /  ( P ^
k ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) )  e.  RR )
37 2re 10396 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  RR
3837a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  2  e.  RR )
3918zred 10752 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  /  ( P ^ k ) ) )  e.  RR )
40 flle 11654 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  /  ( P ^ k ) )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) ) )  <_ 
( ( 2  x.  N )  /  ( P ^ k ) ) )
4117, 40syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  /  ( P ^ k ) ) )  <_  ( (
2  x.  N )  /  ( P ^
k ) ) )
4239, 17, 35, 41lesub1dd 9960 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( |_
`  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) )  <_  ( (
( 2  x.  N
)  /  ( P ^ k ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^
k ) ) ) ) ) )
43 resubcl 9678 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  /  ( P ^ k ) )  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  (
( N  /  ( P ^ k ) )  -  1 )  e.  RR )
4425, 31, 43sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( N  /  ( P ^
k ) )  - 
1 )  e.  RR )
45 remulcl 9372 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( ( N  / 
( P ^ k
) )  -  1 )  e.  RR )  ->  ( 2  x.  ( ( N  / 
( P ^ k
) )  -  1 ) )  e.  RR )
4637, 44, 45sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( 2  x.  ( ( N  / 
( P ^ k
) )  -  1 ) )  e.  RR )
47 flltp1 11655 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  /  ( P ^ k ) )  e.  RR  ->  ( N  /  ( P ^
k ) )  < 
( ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) )  +  1 ) )
4825, 47syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( N  / 
( P ^ k
) )  <  (
( |_ `  ( N  /  ( P ^
k ) ) )  +  1 ) )
49 1red 9406 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  1  e.  RR )
5026zred 10752 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) )  e.  RR )
5125, 49, 50ltsubaddd 9940 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( ( N  /  ( P ^ k ) )  -  1 )  < 
( |_ `  ( N  /  ( P ^
k ) ) )  <-> 
( N  /  ( P ^ k ) )  <  ( ( |_
`  ( N  / 
( P ^ k
) ) )  +  1 ) ) )
5248, 51mpbird 232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( N  /  ( P ^
k ) )  - 
1 )  <  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) )
53 2pos 10418 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  <  2
5437, 53pm3.2i 455 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
55 ltmul2 10185 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  / 
( P ^ k
) )  -  1 )  e.  RR  /\  ( |_ `  ( N  /  ( P ^
k ) ) )  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( ( N  /  ( P ^ k ) )  -  1 )  < 
( |_ `  ( N  /  ( P ^
k ) ) )  <-> 
( 2  x.  (
( N  /  ( P ^ k ) )  -  1 ) )  <  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^
k ) ) ) ) ) )
5654, 55mp3an3 1303 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  / 
( P ^ k
) )  -  1 )  e.  RR  /\  ( |_ `  ( N  /  ( P ^
k ) ) )  e.  RR )  -> 
( ( ( N  /  ( P ^
k ) )  - 
1 )  <  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) )  <->  ( 2  x.  ( ( N  /  ( P ^
k ) )  - 
1 ) )  < 
( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) ) )
5744, 50, 56syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( ( N  /  ( P ^ k ) )  -  1 )  < 
( |_ `  ( N  /  ( P ^
k ) ) )  <-> 
( 2  x.  (
( N  /  ( P ^ k ) )  -  1 ) )  <  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^
k ) ) ) ) ) )
5852, 57mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( 2  x.  ( ( N  / 
( P ^ k
) )  -  1 ) )  <  (
2  x.  ( |_
`  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) )
5946, 35, 17, 58ltsub2dd 9957 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  /  ( P ^
k ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) )  <  ( ( ( 2  x.  N
)  /  ( P ^ k ) )  -  ( 2  x.  ( ( N  / 
( P ^ k
) )  -  1 ) ) ) )
60 2cnd 10399 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  2  e.  CC )
61 nncn 10335 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
6261ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  N  e.  CC )
6311nncnd 10343 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( P ^
k )  e.  CC )
6411nnne0d 10371 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( P ^
k )  =/=  0
)
6560, 62, 63, 64divassd 10147 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) )  =  ( 2  x.  ( N  /  ( P ^
k ) ) ) )
6625recnd 9417 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( N  / 
( P ^ k
) )  e.  CC )
67 1cnd 9407 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  1  e.  CC )
6860, 66, 67subdid 9805 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( 2  x.  ( ( N  / 
( P ^ k
) )  -  1 ) )  =  ( ( 2  x.  ( N  /  ( P ^
k ) ) )  -  ( 2  x.  1 ) ) )
69 2t1e2 10475 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
7069oveq2i 6107 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  x.  ( N  /  ( P ^
k ) ) )  -  ( 2  x.  1 ) )  =  ( ( 2  x.  ( N  /  ( P ^ k ) ) )  -  2 )
7168, 70syl6eq 2491 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( 2  x.  ( ( N  / 
( P ^ k
) )  -  1 ) )  =  ( ( 2  x.  ( N  /  ( P ^
k ) ) )  -  2 ) )
7265, 71oveq12d 6114 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  /  ( P ^
k ) )  -  ( 2  x.  (
( N  /  ( P ^ k ) )  -  1 ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( N  /  ( P ^
k ) ) )  -  ( ( 2  x.  ( N  / 
( P ^ k
) ) )  - 
2 ) ) )
73 remulcl 9372 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( N  /  ( P ^ k ) )  e.  RR )  -> 
( 2  x.  ( N  /  ( P ^
k ) ) )  e.  RR )
7437, 25, 73sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( 2  x.  ( N  /  ( P ^ k ) ) )  e.  RR )
7574recnd 9417 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( 2  x.  ( N  /  ( P ^ k ) ) )  e.  CC )
76 2cn 10397 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  CC
77 nncan 9643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2  x.  ( N  /  ( P ^
k ) ) )  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  (
( 2  x.  ( N  /  ( P ^
k ) ) )  -  ( ( 2  x.  ( N  / 
( P ^ k
) ) )  - 
2 ) )  =  2 )
7875, 76, 77sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( 2  x.  ( N  / 
( P ^ k
) ) )  -  ( ( 2  x.  ( N  /  ( P ^ k ) ) )  -  2 ) )  =  2 )
7972, 78eqtrd 2475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  /  ( P ^
k ) )  -  ( 2  x.  (
( N  /  ( P ^ k ) )  -  1 ) ) )  =  2 )
8059, 79breqtrd 4321 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  /  ( P ^
k ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) )  <  2 )
8130, 36, 38, 42, 80lelttrd 9534 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( |_
`  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) )  <  2 )
82 df-2 10385 . . . . . . . 8  |-  2  =  ( 1  +  1 )
8381, 82syl6breq 4336 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( |_
`  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) )  <  ( 1  +  1 ) )
84 1z 10681 . . . . . . . 8  |-  1  e.  ZZ
85 zleltp1 10700 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  /  ( P ^ k ) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) ) ) )  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  (
( ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  /  ( P ^ k ) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) ) ) )  <_ 
1  <->  ( ( |_
`  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) )  <  ( 1  +  1 ) ) )
8629, 84, 85sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  /  ( P ^
k ) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^
k ) ) ) ) )  <_  1  <->  ( ( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  ( P ^ k ) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) ) ) )  < 
( 1  +  1 ) ) )
8783, 86mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( |_
`  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) )  <_  1 )
88 iftrue 3802 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) )  ->  if (
k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) ) ,  1 ,  0 )  =  1 )
8988breq2d 4309 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) )  ->  ( (
( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  ( P ^ k ) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) ) ) )  <_  if ( k  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) ) ) ,  1 ,  0 )  <->  ( ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) )  <_  1 ) )
9087, 89syl5ibrcom 222 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) ) )  ->  (
( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  ( P ^ k ) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) ) ) )  <_  if ( k  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) ) ) ,  1 ,  0 ) ) )
919nnge1d 10369 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  1  <_  k
)
9291biantrurd 508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( k  <_ 
( |_ `  (
( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) )  <-> 
( 1  <_  k  /\  k  <_  ( |_
`  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) ) ) ) )
936adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  ->  P  e.  NN )
9493nnred 10342 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  ->  P  e.  RR )
95 prmuz2 13786 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
9695adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  ->  P  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
97 eluz2b1 10931 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( P  e.  ZZ  /\  1  < 
P ) )
9897simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  <  P )
9996, 98syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
1  <  P )
10094, 99jca 532 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P  e.  RR  /\  1  <  P ) )
101100adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( P  e.  RR  /\  1  < 
P ) )
102 elfzelz 11458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N
) )  ->  k  e.  ZZ )
103102adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  k  e.  ZZ )
1044adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( 2  x.  N
)  e.  NN )
105104nnrpd 11031 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( 2  x.  N
)  e.  RR+ )
106105adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( 2  x.  N )  e.  RR+ )
107 efexple 22625 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  e.  RR  /\  1  <  P )  /\  k  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  N
)  e.  RR+ )  ->  ( ( P ^
k )  <_  (
2  x.  N )  <-> 
k  <_  ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) ) )
108101, 103, 106, 107syl3anc 1218 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( P ^ k )  <_ 
( 2  x.  N
)  <->  k  <_  ( |_ `  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) ) ) )
1099nnzd 10751 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  k  e.  ZZ )
11084a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  1  e.  ZZ )
111104nnred 10342 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( 2  x.  N
)  e.  RR )
112 1red 9406 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
1  e.  RR )
11337a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
2  e.  RR )
114 1lt2 10493 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  <  2
115114a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
1  <  2 )
116 nnre 10334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
117116adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  ->  N  e.  RR )
118 0le2 10417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  0  <_  2
11937, 118pm3.2i 455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <_  2 )
120119a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( 2  e.  RR  /\  0  <_  2 ) )
121 nnge1 10353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  NN  ->  1  <_  N )
122121adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
1  <_  N )
123 lemul2a 10189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <_  2 ) )  /\  1  <_  N )  ->  (
2  x.  1 )  <_  ( 2  x.  N ) )
124112, 117, 120, 122, 123syl31anc 1221 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( 2  x.  1 )  <_  ( 2  x.  N ) )
12569, 124syl5eqbrr 4331 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
2  <_  ( 2  x.  N ) )
126112, 113, 111, 115, 125ltletrd 9536 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
1  <  ( 2  x.  N ) )
127111, 126rplogcld 22083 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( log `  (
2  x.  N ) )  e.  RR+ )
12894, 99rplogcld 22083 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( log `  P
)  e.  RR+ )
129127, 128rpdivcld 11049 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) )  e.  RR+ )
130129rpred 11032 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) )  e.  RR )
131130flcld 11653 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( |_ `  (
( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) )  e.  ZZ )
132131adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) )  e.  ZZ )
133 elfz 11448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ  /\  ( |_ `  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) )  e.  ZZ )  ->  ( k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) ) )  <->  ( 1  <_  k  /\  k  <_  ( |_ `  (
( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) ) ) )
134109, 110, 132, 133syl3anc 1218 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) ) )  <->  ( 1  <_  k  /\  k  <_  ( |_ `  (
( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) ) ) )
13592, 108, 1343bitr4rd 286 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) ) )  <->  ( P ^ k )  <_ 
( 2  x.  N
) ) )
136135notbid 294 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( -.  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) ) )  <->  -.  ( P ^ k )  <_ 
( 2  x.  N
) ) )
137111adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( 2  x.  N )  e.  RR )
13811nnred 10342 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( P ^
k )  e.  RR )
139137, 138ltnled 9526 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( 2  x.  N )  < 
( P ^ k
)  <->  -.  ( P ^ k )  <_ 
( 2  x.  N
) ) )
140136, 139bitr4d 256 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( -.  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) ) )  <->  ( 2  x.  N )  < 
( P ^ k
) ) )
14116rpge0d 11036 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  0  <_  (
( 2  x.  N
)  /  ( P ^ k ) ) )
142141adantrr 716 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) )  /\  ( 2  x.  N )  <  ( P ^ k ) ) )  ->  0  <_  ( ( 2  x.  N
)  /  ( P ^ k ) ) )
14311nngt0d 10370 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  0  <  ( P ^ k ) )
144 ltdivmul 10209 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
( P ^ k
)  e.  RR  /\  0  <  ( P ^
k ) ) )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  /  ( P ^
k ) )  <  1  <->  ( 2  x.  N )  <  (
( P ^ k
)  x.  1 ) ) )
145137, 49, 138, 143, 144syl112anc 1222 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  /  ( P ^
k ) )  <  1  <->  ( 2  x.  N )  <  (
( P ^ k
)  x.  1 ) ) )
14663mulid1d 9408 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( P ^ k )  x.  1 )  =  ( P ^ k ) )
147146breq2d 4309 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( 2  x.  N )  < 
( ( P ^
k )  x.  1 )  <->  ( 2  x.  N )  <  ( P ^ k ) ) )
148145, 147bitrd 253 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  /  ( P ^
k ) )  <  1  <->  ( 2  x.  N )  <  ( P ^ k ) ) )
149148biimprd 223 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( 2  x.  N )  < 
( P ^ k
)  ->  ( (
2  x.  N )  /  ( P ^
k ) )  <  1 ) )
150149impr 619 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) )  /\  ( 2  x.  N )  <  ( P ^ k ) ) )  ->  ( (
2  x.  N )  /  ( P ^
k ) )  <  1 )
151 0p1e1 10438 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  +  1 )  =  1
152150, 151syl6breqr 4337 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) )  /\  ( 2  x.  N )  <  ( P ^ k ) ) )  ->  ( (
2  x.  N )  /  ( P ^
k ) )  < 
( 0  +  1 ) )
15317adantrr 716 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) )  /\  ( 2  x.  N )  <  ( P ^ k ) ) )  ->  ( (
2  x.  N )  /  ( P ^
k ) )  e.  RR )
154 0z 10662 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  ZZ
155 flbi 11669 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( 2  x.  N )  /  ( P ^ k ) )  e.  RR  /\  0  e.  ZZ )  ->  (
( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  ( P ^ k ) ) )  =  0  <->  (
0  <_  ( (
2  x.  N )  /  ( P ^
k ) )  /\  ( ( 2  x.  N )  /  ( P ^ k ) )  <  ( 0  +  1 ) ) ) )
156153, 154, 155sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) )  /\  ( 2  x.  N )  <  ( P ^ k ) ) )  ->  ( ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) ) )  =  0  <->  ( 0  <_ 
( ( 2  x.  N )  /  ( P ^ k ) )  /\  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) )  <  (
0  +  1 ) ) ) )
157142, 152, 156mpbir2and 913 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) )  /\  ( 2  x.  N )  <  ( P ^ k ) ) )  ->  ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  /  ( P ^ k ) ) )  =  0 )
15824rpge0d 11036 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  0  <_  ( N  /  ( P ^
k ) ) )
159158adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) )  /\  ( 2  x.  N )  <  ( P ^ k ) ) )  ->  0  <_  ( N  /  ( P ^ k ) ) )
160116, 21ltaddrp2d 11062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  NN  ->  N  <  ( N  +  N
) )
161612timesd 10572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  N )  =  ( N  +  N ) )
162160, 161breqtrrd 4323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( N  e.  NN  ->  N  <  ( 2  x.  N
) )
163162ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  N  <  (
2  x.  N ) )
164116ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  N  e.  RR )
165 lttr 9456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  RR  /\  ( 2  x.  N
)  e.  RR  /\  ( P ^ k )  e.  RR )  -> 
( ( N  < 
( 2  x.  N
)  /\  ( 2  x.  N )  < 
( P ^ k
) )  ->  N  <  ( P ^ k
) ) )
166164, 137, 138, 165syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( N  <  ( 2  x.  N )  /\  (
2  x.  N )  <  ( P ^
k ) )  ->  N  <  ( P ^
k ) ) )
167163, 166mpand 675 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( 2  x.  N )  < 
( P ^ k
)  ->  N  <  ( P ^ k ) ) )
168 ltdivmul 10209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
( P ^ k
)  e.  RR  /\  0  <  ( P ^
k ) ) )  ->  ( ( N  /  ( P ^
k ) )  <  1  <->  N  <  ( ( P ^ k )  x.  1 ) ) )
169164, 49, 138, 143, 168syl112anc 1222 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( N  /  ( P ^
k ) )  <  1  <->  N  <  ( ( P ^ k )  x.  1 ) ) )
170146breq2d 4309 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( N  < 
( ( P ^
k )  x.  1 )  <->  N  <  ( P ^ k ) ) )
171169, 170bitrd 253 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( N  /  ( P ^
k ) )  <  1  <->  N  <  ( P ^ k ) ) )
172167, 171sylibrd 234 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( 2  x.  N )  < 
( P ^ k
)  ->  ( N  /  ( P ^
k ) )  <  1 ) )
173172impr 619 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) )  /\  ( 2  x.  N )  <  ( P ^ k ) ) )  ->  ( N  /  ( P ^
k ) )  <  1 )
174173, 151syl6breqr 4337 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) )  /\  ( 2  x.  N )  <  ( P ^ k ) ) )  ->  ( N  /  ( P ^
k ) )  < 
( 0  +  1 ) )
17525adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) )  /\  ( 2  x.  N )  <  ( P ^ k ) ) )  ->  ( N  /  ( P ^
k ) )  e.  RR )
176 flbi 11669 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  /  ( P ^ k ) )  e.  RR  /\  0  e.  ZZ )  ->  (
( |_ `  ( N  /  ( P ^
k ) ) )  =  0  <->  ( 0  <_  ( N  / 
( P ^ k
) )  /\  ( N  /  ( P ^
k ) )  < 
( 0  +  1 ) ) ) )
177175, 154, 176sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) )  /\  ( 2  x.  N )  <  ( P ^ k ) ) )  ->  ( ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) )  =  0  <->  ( 0  <_ 
( N  /  ( P ^ k ) )  /\  ( N  / 
( P ^ k
) )  <  (
0  +  1 ) ) ) )
178159, 174, 177mpbir2and 913 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) )  /\  ( 2  x.  N )  <  ( P ^ k ) ) )  ->  ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) )  =  0 )
179178oveq2d 6112 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) )  /\  ( 2  x.  N )  <  ( P ^ k ) ) )  ->  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) ) )  =  ( 2  x.  0 ) )
180 2t0e0 10482 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  x.  0 )  =  0
181179, 180syl6eq 2491 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) )  /\  ( 2  x.  N )  <  ( P ^ k ) ) )  ->  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) ) )  =  0 )
182157, 181oveq12d 6114 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) )  /\  ( 2  x.  N )  <  ( P ^ k ) ) )  ->  ( ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) )  =  ( 0  -  0 ) )
183 0m0e0 10436 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  -  0 )  =  0
184182, 183syl6eq 2491 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) )  /\  ( 2  x.  N )  <  ( P ^ k ) ) )  ->  ( ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) )  =  0 )
185 0le0 10416 . . . . . . . . 9  |-  0  <_  0
186184, 185syl6eqbr 4334 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) )  /\  ( 2  x.  N )  <  ( P ^ k ) ) )  ->  ( ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) )  <_  0 )
187186expr 615 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( 2  x.  N )  < 
( P ^ k
)  ->  ( ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) )  <_  0 ) )
188140, 187sylbid 215 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( -.  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) ) )  ->  (
( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  ( P ^ k ) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) ) ) )  <_ 
0 ) )
189 iffalse 3804 . . . . . . . 8  |-  ( -.  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) )  ->  if (
k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) ) ,  1 ,  0 )  =  0 )
190189eqcomd 2448 . . . . . . 7  |-  ( -.  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) )  ->  0  =  if ( k  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) ) ) ,  1 ,  0 ) )
191190breq2d 4309 . . . . . 6  |-  ( -.  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) )  ->  ( (
( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  ( P ^ k ) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) ) ) )  <_ 
0  <->  ( ( |_
`  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) )  <_  if (
k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) ) ,  1 ,  0 ) ) )
192188, 191mpbidi 216 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( -.  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) ) )  ->  (
( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  ( P ^ k ) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) ) ) )  <_  if ( k  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) ) ) ,  1 ,  0 ) ) )
19390, 192pm2.61d 158 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( |_
`  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) )  <_  if (
k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) ) ,  1 ,  0 ) )
1941, 30, 34, 193fsumle 13267 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) ) ( ( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  ( P ^ k ) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) ) ) )  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) ) if ( k  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) ) ) ,  1 ,  0 ) )
195 pcbcctr 22620 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... (
2  x.  N ) ) ( ( |_
`  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) ) )
196131zred 10752 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( |_ `  (
( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) )  e.  RR )
197 flle 11654 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) )  <_  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) )
198130, 197syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( |_ `  (
( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) )  <_  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) )
199104nnnn0d 10641 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( 2  x.  N
)  e.  NN0 )
20093, 199nnexpcld 12034 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P ^ (
2  x.  N ) )  e.  NN )
201200nnred 10342 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P ^ (
2  x.  N ) )  e.  RR )
202 bernneq3 11997 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
2  x.  N )  e.  NN0 )  -> 
( 2  x.  N
)  <  ( P ^ ( 2  x.  N ) ) )
20396, 199, 202syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( 2  x.  N
)  <  ( P ^ ( 2  x.  N ) ) )
204111, 201, 203ltled 9527 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( 2  x.  N
)  <_  ( P ^ ( 2  x.  N ) ) )
205105reeflogd 22078 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( exp `  ( log `  ( 2  x.  N ) ) )  =  ( 2  x.  N ) )
20693nnrpd 11031 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  ->  P  e.  RR+ )
207104nnzd 10751 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( 2  x.  N
)  e.  ZZ )
208 reexplog 22048 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  e.  RR+  /\  (
2  x.  N )  e.  ZZ )  -> 
( P ^ (
2  x.  N ) )  =  ( exp `  ( ( 2  x.  N )  x.  ( log `  P ) ) ) )
209206, 207, 208syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P ^ (
2  x.  N ) )  =  ( exp `  ( ( 2  x.  N )  x.  ( log `  P ) ) ) )
210209eqcomd 2448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( exp `  (
( 2  x.  N
)  x.  ( log `  P ) ) )  =  ( P ^
( 2  x.  N
) ) )
211204, 205, 2103brtr4d 4327 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( exp `  ( log `  ( 2  x.  N ) ) )  <_  ( exp `  (
( 2  x.  N
)  x.  ( log `  P ) ) ) )
212105relogcld 22077 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( log `  (
2  x.  N ) )  e.  RR )
213128rpred 11032 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( log `  P
)  e.  RR )
214111, 213remulcld 9419 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ( 2  x.  N )  x.  ( log `  P ) )  e.  RR )
215 efle 13407 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( log `  (
2  x.  N ) )  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  N )  x.  ( log `  P ) )  e.  RR )  -> 
( ( log `  (
2  x.  N ) )  <_  ( (
2  x.  N )  x.  ( log `  P
) )  <->  ( exp `  ( log `  (
2  x.  N ) ) )  <_  ( exp `  ( ( 2  x.  N )  x.  ( log `  P
) ) ) ) )
216212, 214, 215syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ( log `  (
2  x.  N ) )  <_  ( (
2  x.  N )  x.  ( log `  P
) )  <->  ( exp `  ( log `  (
2  x.  N ) ) )  <_  ( exp `  ( ( 2  x.  N )  x.  ( log `  P
) ) ) ) )
217211, 216mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( log `  (
2  x.  N ) )  <_  ( (
2  x.  N )  x.  ( log `  P
) ) )
218212, 111, 128ledivmul2d 11082 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) )  <_  ( 2  x.  N )  <->  ( log `  ( 2  x.  N
) )  <_  (
( 2  x.  N
)  x.  ( log `  P ) ) ) )
219217, 218mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) )  <_ 
( 2  x.  N
) )
220196, 130, 111, 198, 219letrd 9533 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( |_ `  (
( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) )  <_  ( 2  x.  N ) )
221 eluz 10879 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( |_ `  (
( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) )  e.  ZZ  /\  (
2  x.  N )  e.  ZZ )  -> 
( ( 2  x.  N )  e.  (
ZZ>= `  ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) )  <->  ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) )  <_  ( 2  x.  N ) ) )
222131, 207, 221syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ( 2  x.  N )  e.  (
ZZ>= `  ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) )  <->  ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) )  <_  ( 2  x.  N ) ) )
223220, 222mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( 2  x.  N
)  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( ( log `  ( 2  x.  N ) )  /  ( log `  P
) ) ) ) )
224 fzss2 11503 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  N )  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) ) )  ->  (
1 ... ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) )  C_  ( 1 ... ( 2  x.  N ) ) )
225223, 224syl 16 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) ) )  C_  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )
226 sumhash 13963 . . . . 5  |-  ( ( ( 1 ... (
2  x.  N ) )  e.  Fin  /\  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) ) )  C_  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) ) if ( k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) ) ) ,  1 ,  0 )  =  ( # `  (
1 ... ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) ) ) )
2271, 225, 226syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) ) if ( k  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) ) ) ,  1 ,  0 )  =  ( # `  (
1 ... ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) ) ) )
228129rprege0d 11039 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) )
229 flge0nn0 11671 . . . . 5  |-  ( ( ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) )  ->  ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) )  e.  NN0 )
230 hashfz1 12122 . . . . 5  |-  ( ( |_ `  ( ( log `  ( 2  x.  N ) )  /  ( log `  P
) ) )  e. 
NN0  ->  ( # `  (
1 ... ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) ) )  =  ( |_ `  ( ( log `  ( 2  x.  N ) )  /  ( log `  P
) ) ) )
231228, 229, 2303syl 20 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( # `  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) ) )  =  ( |_ `  ( ( log `  ( 2  x.  N ) )  /  ( log `  P
) ) ) )
232227, 231eqtr2d 2476 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( |_ `  (
( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) ) if ( k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) ) ) ,  1 ,  0 ) )
233194, 195, 2323brtr4d 4327 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  <_  ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) )
234 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  ->  P  e.  Prime )
235 nnnn0 10591 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
236 fzctr 11534 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ( 0 ... (
2  x.  N ) ) )
237 bccl2 12104 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( 0 ... ( 2  x.  N
) )  ->  (
( 2  x.  N
)  _C  N )  e.  NN )
238235, 236, 2373syl 20 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  _C  N )  e.  NN )
239238adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ( 2  x.  N )  _C  N
)  e.  NN )
240234, 239pccld 13922 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  e.  NN0 )
241240nn0zd 10750 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  e.  ZZ )
242 efexple 22625 . . 3  |-  ( ( ( P  e.  RR  /\  1  <  P )  /\  ( P  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) )  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  N
)  e.  RR+ )  ->  ( ( P ^
( P  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )  <_  (
2  x.  N )  <-> 
( P  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  <_  ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) ) )
24394, 99, 241, 105, 242syl211anc 1224 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ( P ^
( P  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )  <_  (
2  x.  N )  <-> 
( P  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  <_  ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) ) )
244233, 243mpbird 232 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P ^ ( P  pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) )  <_  ( 2  x.  N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    C_ wss 3333   ifcif 3796   class class class wbr 4297   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   Fincfn 7315   CCcc 9285   RRcr 9286   0cc0 9287   1c1 9288    + caddc 9290    x. cmul 9292    < clt 9423    <_ cle 9424    - cmin 9600    / cdiv 9998   NNcn 10327   2c2 10376   NN0cn0 10584   ZZcz 10651   ZZ>=cuz 10866   RR+crp 10996   ...cfz 11442   |_cfl 11645   ^cexp 11870    _C cbc 12083   #chash 12108   sum_csu 13168   expce 13352   Primecprime 13768    pCnt cpc 13908   logclog 22011
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-inf2 7852  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365  ax-addf 9366  ax-mulf 9367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-iin 4179  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-se 4685  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-isom 5432  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-of 6325  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-supp 6696  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-2o 6926  df-oadd 6929  df-er 7106  df-map 7221  df-pm 7222  df-ixp 7269  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-fsupp 7626  df-fi 7666  df-sup 7696  df-oi 7729  df-card 8114  df-cda 8342  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-4 10387  df-5 10388  df-6 10389  df-7 10390  df-8 10391  df-9 10392  df-10 10393  df-n0 10585  df-z 10652  df-dec 10761  df-uz 10867  df-q 10959  df-rp 10997  df-xneg 11094  df-xadd 11095  df-xmul 11096  df-ioo 11309  df-ioc 11310  df-ico 11311  df-icc 11312  df-fz 11443  df-fzo 11554  df-fl 11647  df-mod 11714  df-seq 11812  df-exp 11871  df-fac 12057  df-bc 12084  df-hash 12109  df-shft 12561  df-cj 12593  df-re 12594  df-im 12595  df-sqr 12729  df-abs 12730  df-limsup 12954  df-clim 12971  df-rlim 12972  df-sum 13169  df-ef 13358  df-sin 13360  df-cos 13361  df-pi 13363  df-dvds 13541  df-gcd 13696  df-prm 13769  df-pc 13909  df-struct 14181  df-ndx 14182  df-slot 14183  df-base 14184  df-sets 14185  df-ress 14186  df-plusg 14256  df-mulr 14257  df-starv 14258  df-sca 14259  df-vsca 14260  df-ip 14261  df-tset 14262  df-ple 14263  df-ds 14265  df-unif 14266  df-hom 14267  df-cco 14268  df-rest 14366  df-topn 14367  df-0g 14385  df-gsum 14386  df-topgen 14387  df-pt 14388  df-prds 14391  df-xrs 14445  df-qtop 14450  df-imas 14451  df-xps 14453  df-mre 14529  df-mrc 14530  df-acs 14532  df-mnd 15420  df-submnd 15470  df-mulg 15553  df-cntz 15840  df-cmn 16284  df-psmet 17814  df-xmet 17815  df-met 17816  df-bl 17817  df-mopn 17818  df-fbas 17819  df-fg 17820  df-cnfld 17824  df-top 18508  df-bases 18510  df-topon 18511  df-topsp 18512  df-cld 18628  df-ntr 18629  df-cls 18630  df-nei 18707  df-lp 18745  df-perf 18746  df-cn 18836  df-cnp 18837  df-haus 18924  df-tx 19140  df-hmeo 19333  df-fil 19424  df-fm 19516  df-flim 19517  df-flf 19518  df-xms 19900  df-ms 19901  df-tms 19902  df-cncf 20459  df-limc 21346  df-dv 21347  df-log 22013
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