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Theorem bposlem1 24204
Description: An upper bound on the prime powers dividing a central binomial coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
bposlem1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P ^ ( P  pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) )  <_  ( 2  x.  N ) )

Proof of Theorem bposlem1
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 12187 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( 1 ... (
2  x.  N ) )  e.  Fin )
2 2nn 10769 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  NN
3 nnmulcl 10634 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( 2  x.  N
)  e.  NN )
42, 3mpan 675 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  N )  e.  NN )
54ad2antrr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( 2  x.  N )  e.  NN )
6 prmnn 14618 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
76ad2antlr 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  P  e.  NN )
8 elfznn 11830 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N
) )  ->  k  e.  NN )
98adantl 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  k  e.  NN )
109nnnn0d 10927 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  k  e.  NN0 )
117, 10nnexpcld 12438 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( P ^
k )  e.  NN )
12 nnrp 11313 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  x.  N )  e.  NN  ->  (
2  x.  N )  e.  RR+ )
13 nnrp 11313 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P ^ k )  e.  NN  ->  ( P ^ k )  e.  RR+ )
14 rpdivcl 11327 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  RR+  /\  ( P ^ k )  e.  RR+ )  ->  ( ( 2  x.  N )  /  ( P ^
k ) )  e.  RR+ )
1512, 13, 14syl2an 480 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  NN  /\  ( P ^ k )  e.  NN )  -> 
( ( 2  x.  N )  /  ( P ^ k ) )  e.  RR+ )
165, 11, 15syl2anc 666 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) )  e.  RR+ )
1716rpred 11343 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) )  e.  RR )
1817flcld 12035 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  /  ( P ^ k ) ) )  e.  ZZ )
19 2z 10971 . . . . . . 7  |-  2  e.  ZZ
20 simpll 759 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  N  e.  NN )
21 nnrp 11313 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR+ )
22 rpdivcl 11327 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR+  /\  ( P ^ k )  e.  RR+ )  ->  ( N  /  ( P ^
k ) )  e.  RR+ )
2321, 13, 22syl2an 480 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( P ^ k )  e.  NN )  -> 
( N  /  ( P ^ k ) )  e.  RR+ )
2420, 11, 23syl2anc 666 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( N  / 
( P ^ k
) )  e.  RR+ )
2524rpred 11343 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( N  / 
( P ^ k
) )  e.  RR )
2625flcld 12035 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) )  e.  ZZ )
27 zmulcl 10987 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( |_ `  ( N  /  ( P ^
k ) ) )  e.  ZZ )  -> 
( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) )  e.  ZZ )
2819, 26, 27sylancr 668 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^
k ) ) ) )  e.  ZZ )
2918, 28zsubcld 11047 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( |_
`  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) )  e.  ZZ )
3029zred 11042 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( |_
`  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) )  e.  RR )
31 1re 9644 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
32 0re 9645 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
3331, 32keepel 3977 . . . . 5  |-  if ( k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) ) ,  1 ,  0 )  e.  RR
3433a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  if ( k  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) ) ,  1 ,  0 )  e.  RR )
3528zred 11042 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^
k ) ) ) )  e.  RR )
3617, 35resubcld 10049 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  /  ( P ^
k ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) )  e.  RR )
37 2re 10681 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  RR
3837a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  2  e.  RR )
3918zred 11042 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  /  ( P ^ k ) ) )  e.  RR )
40 flle 12036 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  /  ( P ^ k ) )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) ) )  <_ 
( ( 2  x.  N )  /  ( P ^ k ) ) )
4117, 40syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  /  ( P ^ k ) ) )  <_  ( (
2  x.  N )  /  ( P ^
k ) ) )
4239, 17, 35, 41lesub1dd 10231 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( |_
`  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) )  <_  ( (
( 2  x.  N
)  /  ( P ^ k ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^
k ) ) ) ) ) )
43 resubcl 9940 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  /  ( P ^ k ) )  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  (
( N  /  ( P ^ k ) )  -  1 )  e.  RR )
4425, 31, 43sylancl 667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( N  /  ( P ^
k ) )  - 
1 )  e.  RR )
45 remulcl 9626 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( ( N  / 
( P ^ k
) )  -  1 )  e.  RR )  ->  ( 2  x.  ( ( N  / 
( P ^ k
) )  -  1 ) )  e.  RR )
4637, 44, 45sylancr 668 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( 2  x.  ( ( N  / 
( P ^ k
) )  -  1 ) )  e.  RR )
47 flltp1 12037 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  /  ( P ^ k ) )  e.  RR  ->  ( N  /  ( P ^
k ) )  < 
( ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) )  +  1 ) )
4825, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( N  / 
( P ^ k
) )  <  (
( |_ `  ( N  /  ( P ^
k ) ) )  +  1 ) )
49 1red 9660 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  1  e.  RR )
5026zred 11042 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) )  e.  RR )
5125, 49, 50ltsubaddd 10211 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( ( N  /  ( P ^ k ) )  -  1 )  < 
( |_ `  ( N  /  ( P ^
k ) ) )  <-> 
( N  /  ( P ^ k ) )  <  ( ( |_
`  ( N  / 
( P ^ k
) ) )  +  1 ) ) )
5248, 51mpbird 236 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( N  /  ( P ^
k ) )  - 
1 )  <  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) )
53 2pos 10703 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  <  2
5437, 53pm3.2i 457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
55 ltmul2 10458 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  / 
( P ^ k
) )  -  1 )  e.  RR  /\  ( |_ `  ( N  /  ( P ^
k ) ) )  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( ( N  /  ( P ^ k ) )  -  1 )  < 
( |_ `  ( N  /  ( P ^
k ) ) )  <-> 
( 2  x.  (
( N  /  ( P ^ k ) )  -  1 ) )  <  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^
k ) ) ) ) ) )
5654, 55mp3an3 1350 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  / 
( P ^ k
) )  -  1 )  e.  RR  /\  ( |_ `  ( N  /  ( P ^
k ) ) )  e.  RR )  -> 
( ( ( N  /  ( P ^
k ) )  - 
1 )  <  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) )  <->  ( 2  x.  ( ( N  /  ( P ^
k ) )  - 
1 ) )  < 
( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) ) )
5744, 50, 56syl2anc 666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( ( N  /  ( P ^ k ) )  -  1 )  < 
( |_ `  ( N  /  ( P ^
k ) ) )  <-> 
( 2  x.  (
( N  /  ( P ^ k ) )  -  1 ) )  <  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^
k ) ) ) ) ) )
5852, 57mpbid 214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( 2  x.  ( ( N  / 
( P ^ k
) )  -  1 ) )  <  (
2  x.  ( |_
`  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) )
5946, 35, 17, 58ltsub2dd 10228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  /  ( P ^
k ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) )  <  ( ( ( 2  x.  N
)  /  ( P ^ k ) )  -  ( 2  x.  ( ( N  / 
( P ^ k
) )  -  1 ) ) ) )
60 2cnd 10684 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  2  e.  CC )
61 nncn 10619 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
6261ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  N  e.  CC )
6311nncnd 10627 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( P ^
k )  e.  CC )
6411nnne0d 10656 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( P ^
k )  =/=  0
)
6560, 62, 63, 64divassd 10420 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) )  =  ( 2  x.  ( N  /  ( P ^
k ) ) ) )
6625recnd 9671 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( N  / 
( P ^ k
) )  e.  CC )
67 1cnd 9661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  1  e.  CC )
6860, 66, 67subdid 10076 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( 2  x.  ( ( N  / 
( P ^ k
) )  -  1 ) )  =  ( ( 2  x.  ( N  /  ( P ^
k ) ) )  -  ( 2  x.  1 ) ) )
69 2t1e2 10760 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
7069oveq2i 6314 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  x.  ( N  /  ( P ^
k ) ) )  -  ( 2  x.  1 ) )  =  ( ( 2  x.  ( N  /  ( P ^ k ) ) )  -  2 )
7168, 70syl6eq 2480 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( 2  x.  ( ( N  / 
( P ^ k
) )  -  1 ) )  =  ( ( 2  x.  ( N  /  ( P ^
k ) ) )  -  2 ) )
7265, 71oveq12d 6321 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  /  ( P ^
k ) )  -  ( 2  x.  (
( N  /  ( P ^ k ) )  -  1 ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( N  /  ( P ^
k ) ) )  -  ( ( 2  x.  ( N  / 
( P ^ k
) ) )  - 
2 ) ) )
73 remulcl 9626 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( N  /  ( P ^ k ) )  e.  RR )  -> 
( 2  x.  ( N  /  ( P ^
k ) ) )  e.  RR )
7437, 25, 73sylancr 668 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( 2  x.  ( N  /  ( P ^ k ) ) )  e.  RR )
7574recnd 9671 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( 2  x.  ( N  /  ( P ^ k ) ) )  e.  CC )
76 2cn 10682 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  CC
77 nncan 9905 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2  x.  ( N  /  ( P ^
k ) ) )  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  (
( 2  x.  ( N  /  ( P ^
k ) ) )  -  ( ( 2  x.  ( N  / 
( P ^ k
) ) )  - 
2 ) )  =  2 )
7875, 76, 77sylancl 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( 2  x.  ( N  / 
( P ^ k
) ) )  -  ( ( 2  x.  ( N  /  ( P ^ k ) ) )  -  2 ) )  =  2 )
7972, 78eqtrd 2464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  /  ( P ^
k ) )  -  ( 2  x.  (
( N  /  ( P ^ k ) )  -  1 ) ) )  =  2 )
8059, 79breqtrd 4446 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  /  ( P ^
k ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) )  <  2 )
8130, 36, 38, 42, 80lelttrd 9795 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( |_
`  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) )  <  2 )
82 df-2 10670 . . . . . . . 8  |-  2  =  ( 1  +  1 )
8381, 82syl6breq 4461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( |_
`  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) )  <  ( 1  +  1 ) )
84 1z 10969 . . . . . . . 8  |-  1  e.  ZZ
85 zleltp1 10989 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  /  ( P ^ k ) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) ) ) )  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  (
( ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  /  ( P ^ k ) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) ) ) )  <_ 
1  <->  ( ( |_
`  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) )  <  ( 1  +  1 ) ) )
8629, 84, 85sylancl 667 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  /  ( P ^
k ) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^
k ) ) ) ) )  <_  1  <->  ( ( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  ( P ^ k ) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) ) ) )  < 
( 1  +  1 ) ) )
8783, 86mpbird 236 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( |_
`  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) )  <_  1 )
88 iftrue 3916 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) )  ->  if (
k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) ) ,  1 ,  0 )  =  1 )
8988breq2d 4433 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) )  ->  ( (
( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  ( P ^ k ) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) ) ) )  <_  if ( k  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) ) ) ,  1 ,  0 )  <->  ( ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) )  <_  1 ) )
9087, 89syl5ibrcom 226 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) ) )  ->  (
( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  ( P ^ k ) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) ) ) )  <_  if ( k  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) ) ) ,  1 ,  0 ) ) )
919nnge1d 10654 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  1  <_  k
)
9291biantrurd 511 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( k  <_ 
( |_ `  (
( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) )  <-> 
( 1  <_  k  /\  k  <_  ( |_
`  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) ) ) ) )
936adantl 468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  ->  P  e.  NN )
9493nnred 10626 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  ->  P  e.  RR )
95 prmuz2 14635 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
9695adantl 468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  ->  P  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
97 eluz2b1 11232 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( P  e.  ZZ  /\  1  < 
P ) )
9897simprbi 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  <  P )
9996, 98syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
1  <  P )
10094, 99jca 535 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P  e.  RR  /\  1  <  P ) )
101100adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( P  e.  RR  /\  1  < 
P ) )
102 elfzelz 11802 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N
) )  ->  k  e.  ZZ )
103102adantl 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  k  e.  ZZ )
1044adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( 2  x.  N
)  e.  NN )
105104nnrpd 11341 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( 2  x.  N
)  e.  RR+ )
106105adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( 2  x.  N )  e.  RR+ )
107 efexple 24201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  e.  RR  /\  1  <  P )  /\  k  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  N
)  e.  RR+ )  ->  ( ( P ^
k )  <_  (
2  x.  N )  <-> 
k  <_  ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) ) )
108101, 103, 106, 107syl3anc 1265 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( P ^ k )  <_ 
( 2  x.  N
)  <->  k  <_  ( |_ `  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) ) ) )
1099nnzd 11041 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  k  e.  ZZ )
11084a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  1  e.  ZZ )
111104nnred 10626 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( 2  x.  N
)  e.  RR )
112 1red 9660 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
1  e.  RR )
11337a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
2  e.  RR )
114 1lt2 10778 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  <  2
115114a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
1  <  2 )
116 nnre 10618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
117116adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  ->  N  e.  RR )
118 0le2 10702 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  0  <_  2
11937, 118pm3.2i 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <_  2 )
120119a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( 2  e.  RR  /\  0  <_  2 ) )
121 nnge1 10637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  NN  ->  1  <_  N )
122121adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
1  <_  N )
123 lemul2a 10462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <_  2 ) )  /\  1  <_  N )  ->  (
2  x.  1 )  <_  ( 2  x.  N ) )
124112, 117, 120, 122, 123syl31anc 1268 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( 2  x.  1 )  <_  ( 2  x.  N ) )
12569, 124syl5eqbrr 4456 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
2  <_  ( 2  x.  N ) )
126112, 113, 111, 115, 125ltletrd 9797 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
1  <  ( 2  x.  N ) )
127111, 126rplogcld 23570 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( log `  (
2  x.  N ) )  e.  RR+ )
12894, 99rplogcld 23570 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( log `  P
)  e.  RR+ )
129127, 128rpdivcld 11360 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) )  e.  RR+ )
130129rpred 11343 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) )  e.  RR )
131130flcld 12035 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( |_ `  (
( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) )  e.  ZZ )
132131adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) )  e.  ZZ )
133 elfz 11792 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ  /\  ( |_ `  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) )  e.  ZZ )  ->  ( k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) ) )  <->  ( 1  <_  k  /\  k  <_  ( |_ `  (
( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) ) ) )
134109, 110, 132, 133syl3anc 1265 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) ) )  <->  ( 1  <_  k  /\  k  <_  ( |_ `  (
( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) ) ) )
13592, 108, 1343bitr4rd 290 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) ) )  <->  ( P ^ k )  <_ 
( 2  x.  N
) ) )
136135notbid 296 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( -.  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) ) )  <->  -.  ( P ^ k )  <_ 
( 2  x.  N
) ) )
137111adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( 2  x.  N )  e.  RR )
13811nnred 10626 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( P ^
k )  e.  RR )
139137, 138ltnled 9784 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( 2  x.  N )  < 
( P ^ k
)  <->  -.  ( P ^ k )  <_ 
( 2  x.  N
) ) )
140136, 139bitr4d 260 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( -.  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) ) )  <->  ( 2  x.  N )  < 
( P ^ k
) ) )
14116rpge0d 11347 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  0  <_  (
( 2  x.  N
)  /  ( P ^ k ) ) )
142141adantrr 722 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) )  /\  ( 2  x.  N )  <  ( P ^ k ) ) )  ->  0  <_  ( ( 2  x.  N
)  /  ( P ^ k ) ) )
14311nngt0d 10655 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  0  <  ( P ^ k ) )
144 ltdivmul 10482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
( P ^ k
)  e.  RR  /\  0  <  ( P ^
k ) ) )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  /  ( P ^
k ) )  <  1  <->  ( 2  x.  N )  <  (
( P ^ k
)  x.  1 ) ) )
145137, 49, 138, 143, 144syl112anc 1269 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  /  ( P ^
k ) )  <  1  <->  ( 2  x.  N )  <  (
( P ^ k
)  x.  1 ) ) )
14663mulid1d 9662 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( P ^ k )  x.  1 )  =  ( P ^ k ) )
147146breq2d 4433 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( 2  x.  N )  < 
( ( P ^
k )  x.  1 )  <->  ( 2  x.  N )  <  ( P ^ k ) ) )
148145, 147bitrd 257 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  /  ( P ^
k ) )  <  1  <->  ( 2  x.  N )  <  ( P ^ k ) ) )
149148biimprd 227 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( 2  x.  N )  < 
( P ^ k
)  ->  ( (
2  x.  N )  /  ( P ^
k ) )  <  1 ) )
150149impr 624 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) )  /\  ( 2  x.  N )  <  ( P ^ k ) ) )  ->  ( (
2  x.  N )  /  ( P ^
k ) )  <  1 )
151 0p1e1 10723 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  +  1 )  =  1
152150, 151syl6breqr 4462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) )  /\  ( 2  x.  N )  <  ( P ^ k ) ) )  ->  ( (
2  x.  N )  /  ( P ^
k ) )  < 
( 0  +  1 ) )
15317adantrr 722 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) )  /\  ( 2  x.  N )  <  ( P ^ k ) ) )  ->  ( (
2  x.  N )  /  ( P ^
k ) )  e.  RR )
154 0z 10950 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  ZZ
155 flbi 12052 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( 2  x.  N )  /  ( P ^ k ) )  e.  RR  /\  0  e.  ZZ )  ->  (
( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  ( P ^ k ) ) )  =  0  <->  (
0  <_  ( (
2  x.  N )  /  ( P ^
k ) )  /\  ( ( 2  x.  N )  /  ( P ^ k ) )  <  ( 0  +  1 ) ) ) )
156153, 154, 155sylancl 667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) )  /\  ( 2  x.  N )  <  ( P ^ k ) ) )  ->  ( ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) ) )  =  0  <->  ( 0  <_ 
( ( 2  x.  N )  /  ( P ^ k ) )  /\  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) )  <  (
0  +  1 ) ) ) )
157142, 152, 156mpbir2and 931 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) )  /\  ( 2  x.  N )  <  ( P ^ k ) ) )  ->  ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  /  ( P ^ k ) ) )  =  0 )
15824rpge0d 11347 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  0  <_  ( N  /  ( P ^
k ) ) )
159158adantrr 722 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) )  /\  ( 2  x.  N )  <  ( P ^ k ) ) )  ->  0  <_  ( N  /  ( P ^ k ) ) )
160116, 21ltaddrp2d 11374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  NN  ->  N  <  ( N  +  N
) )
161612timesd 10857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  N )  =  ( N  +  N ) )
162160, 161breqtrrd 4448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( N  e.  NN  ->  N  <  ( 2  x.  N
) )
163162ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  N  <  (
2  x.  N ) )
164116ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  N  e.  RR )
165 lttr 9712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  RR  /\  ( 2  x.  N
)  e.  RR  /\  ( P ^ k )  e.  RR )  -> 
( ( N  < 
( 2  x.  N
)  /\  ( 2  x.  N )  < 
( P ^ k
) )  ->  N  <  ( P ^ k
) ) )
166164, 137, 138, 165syl3anc 1265 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( N  <  ( 2  x.  N )  /\  (
2  x.  N )  <  ( P ^
k ) )  ->  N  <  ( P ^
k ) ) )
167163, 166mpand 680 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( 2  x.  N )  < 
( P ^ k
)  ->  N  <  ( P ^ k ) ) )
168 ltdivmul 10482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
( P ^ k
)  e.  RR  /\  0  <  ( P ^
k ) ) )  ->  ( ( N  /  ( P ^
k ) )  <  1  <->  N  <  ( ( P ^ k )  x.  1 ) ) )
169164, 49, 138, 143, 168syl112anc 1269 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( N  /  ( P ^
k ) )  <  1  <->  N  <  ( ( P ^ k )  x.  1 ) ) )
170146breq2d 4433 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( N  < 
( ( P ^
k )  x.  1 )  <->  N  <  ( P ^ k ) ) )
171169, 170bitrd 257 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( N  /  ( P ^
k ) )  <  1  <->  N  <  ( P ^ k ) ) )
172167, 171sylibrd 238 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( 2  x.  N )  < 
( P ^ k
)  ->  ( N  /  ( P ^
k ) )  <  1 ) )
173172impr 624 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) )  /\  ( 2  x.  N )  <  ( P ^ k ) ) )  ->  ( N  /  ( P ^
k ) )  <  1 )
174173, 151syl6breqr 4462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) )  /\  ( 2  x.  N )  <  ( P ^ k ) ) )  ->  ( N  /  ( P ^
k ) )  < 
( 0  +  1 ) )
17525adantrr 722 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) )  /\  ( 2  x.  N )  <  ( P ^ k ) ) )  ->  ( N  /  ( P ^
k ) )  e.  RR )
176 flbi 12052 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  /  ( P ^ k ) )  e.  RR  /\  0  e.  ZZ )  ->  (
( |_ `  ( N  /  ( P ^
k ) ) )  =  0  <->  ( 0  <_  ( N  / 
( P ^ k
) )  /\  ( N  /  ( P ^
k ) )  < 
( 0  +  1 ) ) ) )
177175, 154, 176sylancl 667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) )  /\  ( 2  x.  N )  <  ( P ^ k ) ) )  ->  ( ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) )  =  0  <->  ( 0  <_ 
( N  /  ( P ^ k ) )  /\  ( N  / 
( P ^ k
) )  <  (
0  +  1 ) ) ) )
178159, 174, 177mpbir2and 931 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) )  /\  ( 2  x.  N )  <  ( P ^ k ) ) )  ->  ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) )  =  0 )
179178oveq2d 6319 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) )  /\  ( 2  x.  N )  <  ( P ^ k ) ) )  ->  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) ) )  =  ( 2  x.  0 ) )
180 2t0e0 10767 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  x.  0 )  =  0
181179, 180syl6eq 2480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) )  /\  ( 2  x.  N )  <  ( P ^ k ) ) )  ->  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) ) )  =  0 )
182157, 181oveq12d 6321 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) )  /\  ( 2  x.  N )  <  ( P ^ k ) ) )  ->  ( ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) )  =  ( 0  -  0 ) )
183 0m0e0 10721 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  -  0 )  =  0
184182, 183syl6eq 2480 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) )  /\  ( 2  x.  N )  <  ( P ^ k ) ) )  ->  ( ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) )  =  0 )
185 0le0 10701 . . . . . . . . 9  |-  0  <_  0
186184, 185syl6eqbr 4459 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) )  /\  ( 2  x.  N )  <  ( P ^ k ) ) )  ->  ( ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) )  <_  0 )
187186expr 619 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( 2  x.  N )  < 
( P ^ k
)  ->  ( ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) )  <_  0 ) )
188140, 187sylbid 219 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( -.  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) ) )  ->  (
( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  ( P ^ k ) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) ) ) )  <_ 
0 ) )
189 iffalse 3919 . . . . . . . 8  |-  ( -.  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) )  ->  if (
k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) ) ,  1 ,  0 )  =  0 )
190189eqcomd 2431 . . . . . . 7  |-  ( -.  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) )  ->  0  =  if ( k  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) ) ) ,  1 ,  0 ) )
191190breq2d 4433 . . . . . 6  |-  ( -.  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) )  ->  ( (
( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  ( P ^ k ) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) ) ) )  <_ 
0  <->  ( ( |_
`  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) )  <_  if (
k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) ) ,  1 ,  0 ) ) )
192188, 191mpbidi 220 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( -.  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) ) )  ->  (
( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  ( P ^ k ) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) ) ) )  <_  if ( k  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) ) ) ,  1 ,  0 ) ) )
19390, 192pm2.61d 162 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( ( |_
`  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) )  <_  if (
k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) ) ,  1 ,  0 ) )
1941, 30, 34, 193fsumle 13852 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) ) ( ( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  ( P ^ k ) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) ) ) )  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) ) if ( k  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) ) ) ,  1 ,  0 ) )
195 pcbcctr 24196 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... (
2  x.  N ) ) ( ( |_
`  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) ) )
196131zred 11042 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( |_ `  (
( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) )  e.  RR )
197 flle 12036 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) )  <_  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) )
198130, 197syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( |_ `  (
( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) )  <_  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) )
199104nnnn0d 10927 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( 2  x.  N
)  e.  NN0 )
20093, 199nnexpcld 12438 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P ^ (
2  x.  N ) )  e.  NN )
201200nnred 10626 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P ^ (
2  x.  N ) )  e.  RR )
202 bernneq3 12401 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
2  x.  N )  e.  NN0 )  -> 
( 2  x.  N
)  <  ( P ^ ( 2  x.  N ) ) )
20396, 199, 202syl2anc 666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( 2  x.  N
)  <  ( P ^ ( 2  x.  N ) ) )
204111, 201, 203ltled 9785 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( 2  x.  N
)  <_  ( P ^ ( 2  x.  N ) ) )
205105reeflogd 23565 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( exp `  ( log `  ( 2  x.  N ) ) )  =  ( 2  x.  N ) )
20693nnrpd 11341 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  ->  P  e.  RR+ )
207104nnzd 11041 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( 2  x.  N
)  e.  ZZ )
208 reexplog 23536 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  e.  RR+  /\  (
2  x.  N )  e.  ZZ )  -> 
( P ^ (
2  x.  N ) )  =  ( exp `  ( ( 2  x.  N )  x.  ( log `  P ) ) ) )
209206, 207, 208syl2anc 666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P ^ (
2  x.  N ) )  =  ( exp `  ( ( 2  x.  N )  x.  ( log `  P ) ) ) )
210209eqcomd 2431 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( exp `  (
( 2  x.  N
)  x.  ( log `  P ) ) )  =  ( P ^
( 2  x.  N
) ) )
211204, 205, 2103brtr4d 4452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( exp `  ( log `  ( 2  x.  N ) ) )  <_  ( exp `  (
( 2  x.  N
)  x.  ( log `  P ) ) ) )
212105relogcld 23564 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( log `  (
2  x.  N ) )  e.  RR )
213128rpred 11343 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( log `  P
)  e.  RR )
214111, 213remulcld 9673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ( 2  x.  N )  x.  ( log `  P ) )  e.  RR )
215 efle 14165 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( log `  (
2  x.  N ) )  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  N )  x.  ( log `  P ) )  e.  RR )  -> 
( ( log `  (
2  x.  N ) )  <_  ( (
2  x.  N )  x.  ( log `  P
) )  <->  ( exp `  ( log `  (
2  x.  N ) ) )  <_  ( exp `  ( ( 2  x.  N )  x.  ( log `  P
) ) ) ) )
216212, 214, 215syl2anc 666 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ( log `  (
2  x.  N ) )  <_  ( (
2  x.  N )  x.  ( log `  P
) )  <->  ( exp `  ( log `  (
2  x.  N ) ) )  <_  ( exp `  ( ( 2  x.  N )  x.  ( log `  P
) ) ) ) )
217211, 216mpbird 236 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( log `  (
2  x.  N ) )  <_  ( (
2  x.  N )  x.  ( log `  P
) ) )
218212, 111, 128ledivmul2d 11394 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) )  <_  ( 2  x.  N )  <->  ( log `  ( 2  x.  N
) )  <_  (
( 2  x.  N
)  x.  ( log `  P ) ) ) )
219217, 218mpbird 236 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) )  <_ 
( 2  x.  N
) )
220196, 130, 111, 198, 219letrd 9794 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( |_ `  (
( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) )  <_  ( 2  x.  N ) )
221 eluz 11174 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( |_ `  (
( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) )  e.  ZZ  /\  (
2  x.  N )  e.  ZZ )  -> 
( ( 2  x.  N )  e.  (
ZZ>= `  ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) )  <->  ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) )  <_  ( 2  x.  N ) ) )
222131, 207, 221syl2anc 666 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ( 2  x.  N )  e.  (
ZZ>= `  ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) )  <->  ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) )  <_  ( 2  x.  N ) ) )
223220, 222mpbird 236 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( 2  x.  N
)  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( ( log `  ( 2  x.  N ) )  /  ( log `  P
) ) ) ) )
224 fzss2 11840 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  N )  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) ) )  ->  (
1 ... ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) )  C_  ( 1 ... ( 2  x.  N ) ) )
225223, 224syl 17 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) ) )  C_  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )
226 sumhash 14834 . . . . 5  |-  ( ( ( 1 ... (
2  x.  N ) )  e.  Fin  /\  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) ) )  C_  (
1 ... ( 2  x.  N ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) ) if ( k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) ) ) ,  1 ,  0 )  =  ( # `  (
1 ... ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) ) ) )
2271, 225, 226syl2anc 666 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) ) if ( k  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) ) ) ,  1 ,  0 )  =  ( # `  (
1 ... ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) ) ) )
228129rprege0d 11350 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) )
229 flge0nn0 12055 . . . . 5  |-  ( ( ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) )  ->  ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) )  e.  NN0 )
230 hashfz1 12530 . . . . 5  |-  ( ( |_ `  ( ( log `  ( 2  x.  N ) )  /  ( log `  P
) ) )  e. 
NN0  ->  ( # `  (
1 ... ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) ) )  =  ( |_ `  ( ( log `  ( 2  x.  N ) )  /  ( log `  P
) ) ) )
231228, 229, 2303syl 18 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( # `  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) ) )  =  ( |_ `  ( ( log `  ( 2  x.  N ) )  /  ( log `  P
) ) ) )
232227, 231eqtr2d 2465 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( |_ `  (
( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) ) if ( k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( log `  ( 2  x.  N
) )  /  ( log `  P ) ) ) ) ,  1 ,  0 ) )
233194, 195, 2323brtr4d 4452 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  <_  ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) )
234 simpr 463 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  ->  P  e.  Prime )
235 nnnn0 10878 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
236 fzctr 11905 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ( 0 ... (
2  x.  N ) ) )
237 bccl2 12509 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( 0 ... ( 2  x.  N
) )  ->  (
( 2  x.  N
)  _C  N )  e.  NN )
238235, 236, 2373syl 18 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  _C  N )  e.  NN )
239238adantr 467 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ( 2  x.  N )  _C  N
)  e.  NN )
240234, 239pccld 14793 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  e.  NN0 )
241240nn0zd 11040 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  e.  ZZ )
242 efexple 24201 . . 3  |-  ( ( ( P  e.  RR  /\  1  <  P )  /\  ( P  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) )  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  N
)  e.  RR+ )  ->  ( ( P ^
( P  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )  <_  (
2  x.  N )  <-> 
( P  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  <_  ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) ) )
24394, 99, 241, 105, 242syl211anc 1271 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ( P ^
( P  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )  <_  (
2  x.  N )  <-> 
( P  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  <_  ( |_ `  ( ( log `  (
2  x.  N ) )  /  ( log `  P ) ) ) ) )
244233, 243mpbird 236 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P ^ ( P  pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) )  <_  ( 2  x.  N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1438    e. wcel 1869    C_ wss 3437   ifcif 3910   class class class wbr 4421   ` cfv 5599  (class class class)co 6303   Fincfn 7575   CCcc 9539   RRcr 9540   0cc0 9541   1c1 9542    + caddc 9544    x. cmul 9546    < clt 9677    <_ cle 9678    - cmin 9862    / cdiv 10271   NNcn 10611   2c2 10661   NN0cn0 10871   ZZcz 10939   ZZ>=cuz 11161   RR+crp 11304   ...cfz 11786   |_cfl 12027   ^cexp 12273    _C cbc 12488   #chash 12516   sum_csu 13745   expce 14107   Primecprime 14615    pCnt cpc 14779   logclog 23496
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-inf2 8150  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618  ax-pre-sup 9619  ax-addf 9620  ax-mulf 9621
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-fal 1444  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-iin 4300  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-se 4811  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-isom 5608  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-of 6543  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-supp 6924  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-1o 7188  df-2o 7189  df-oadd 7192  df-er 7369  df-map 7480  df-pm 7481  df-ixp 7529  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-fin 7579  df-fsupp 7888  df-fi 7929  df-sup 7960  df-inf 7961  df-oi 8029  df-card 8376  df-cda 8600  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-div 10272  df-nn 10612  df-2 10670  df-3 10671  df-4 10672  df-5 10673  df-6 10674  df-7 10675  df-8 10676  df-9 10677  df-10 10678  df-n0 10872  df-z 10940  df-dec 11054  df-uz 11162  df-q 11267  df-rp 11305  df-xneg 11411  df-xadd 11412  df-xmul 11413  df-ioo 11641  df-ioc 11642  df-ico 11643  df-icc 11644  df-fz 11787  df-fzo 11918  df-fl 12029  df-mod 12098  df-seq 12215  df-exp 12274  df-fac 12461  df-bc 12489  df-hash 12517  df-shft 13124  df-cj 13156  df-re 13157  df-im 13158  df-sqrt 13292  df-abs 13293  df-limsup 13519  df-clim 13545  df-rlim 13546  df-sum 13746  df-ef 14114  df-sin 14116  df-cos 14117  df-pi 14119  df-dvds 14299  df-gcd 14462  df-prm 14616  df-pc 14780  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-starv 15198  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-ip 15201  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-unif 15206  df-hom 15207  df-cco 15208  df-rest 15314  df-topn 15315  df-0g 15333  df-gsum 15334  df-topgen 15335  df-pt 15336  df-prds 15339  df-xrs 15393  df-qtop 15399  df-imas 15400  df-xps 15403  df-mre 15485  df-mrc 15486  df-acs 15488  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-submnd 16576  df-mulg 16669  df-cntz 16964  df-cmn 17425  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-fbas 18960  df-fg 18961  df-cnfld 18964  df-top 19913  df-bases 19914  df-topon 19915  df-topsp 19916  df-cld 20026  df-ntr 20027  df-cls 20028  df-nei 20106  df-lp 20144  df-perf 20145  df-cn 20235  df-cnp 20236  df-haus 20323  df-tx 20569  df-hmeo 20762  df-fil 20853  df-fm 20945  df-flim 20946  df-flf 20947  df-xms 21327  df-ms 21328  df-tms 21329  df-cncf 21902  df-limc 22813  df-dv 22814  df-log 23498
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