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Theorem bpos1 22507
Description: Bertrand's postulate, checked numerically for  N  <_  6 4, using the prime sequence  2 ,  3 ,  5 ,  7 ,  1 3 ,  2 3 ,  4 3 ,  8 3. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
bpos1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  N  <_ ; 6 4 )  ->  E. p  e.  Prime  ( N  <  p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) )
Distinct variable group:    N, p

Proof of Theorem bpos1
StepHypRef Expression
1 elnnuz 10885 . . 3  |-  ( N  e.  NN  <->  N  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
2 ax-1 6 . . . 4  |-  ( E. p  e.  Prime  ( N  <  p  /\  p  <_  ( 2  x.  N
) )  ->  ( N  <_ ; 6 4  ->  E. p  e.  Prime  ( N  < 
p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) ) )
3 6nn0 10588 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  6  e.  NN0
4 4nn0 10586 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  4  e.  NN0
53, 4deccl 10757 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |- ; 6 4  e.  NN0
65nn0rei 10578 . . . . . . . . . . . . . . 15  |- ; 6 4  e.  RR
76a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 8 3 )  -> ; 6 4  e.  RR )
8 8nn0 10590 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  8  e.  NN0
9 3nn0 10585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  3  e.  NN0
108, 9deccl 10757 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |- ; 8 3  e.  NN0
1110nn0rei 10578 . . . . . . . . . . . . . . 15  |- ; 8 3  e.  RR
1211a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 8 3 )  -> ; 8 3  e.  RR )
13 eluzelre 10859 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 8 3 )  ->  N  e.  RR )
14 4lt10 10517 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  4  <  10
15 6lt8 10498 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  6  <  8
163, 8, 4, 9, 14, 15decltc 10765 . . . . . . . . . . . . . . 15  |- ; 6 4  < ; 8 3
1716a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 8 3 )  -> ; 6 4  < ; 8 3 )
18 eluzle 10861 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 8 3 )  -> ; 8 3  <_  N )
197, 12, 13, 17, 18ltletrd 9519 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 8 3 )  -> ; 6 4  <  N )
20 ltnle 9442 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (; 6
4  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (; 6 4  <  N  <->  -.  N  <_ ; 6 4 ) )
216, 13, 20sylancr 656 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 8 3 )  -> 
(; 6 4  <  N  <->  -.  N  <_ ; 6 4 ) )
2219, 21mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 8 3 )  ->  -.  N  <_ ; 6 4 )
2322pm2.21d 106 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 8 3 )  -> 
( N  <_ ; 6 4  ->  E. p  e.  Prime  ( N  < 
p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) ) )
24 83prm 14133 . . . . . . . . . . 11  |- ; 8 3  e.  Prime
254, 9deccl 10757 . . . . . . . . . . 11  |- ; 4 3  e.  NN0
26 2nn0 10584 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  NN0
27 eqid 2433 . . . . . . . . . . . 12  |- ; 4 3  = ; 4 3
28 0nn0 10582 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  NN0
29 4t2e8 10463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 4  x.  2 )  =  8
3029oveq1i 6090 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 4  x.  2 )  +  0 )  =  ( 8  +  0 )
31 8cn 10395 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  8  e.  CC
3231addid1i 9544 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 8  +  0 )  =  8
3330, 32eqtri 2453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 4  x.  2 )  +  0 )  =  8
34 3t2e6 10461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 3  x.  2 )  =  6
353dec0h 10759 . . . . . . . . . . . . 13  |-  6  = ; 0 6
3634, 35eqtri 2453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 3  x.  2 )  = ; 0
6
3726, 4, 9, 27, 3, 28, 33, 36decmul1c 10790 . . . . . . . . . . 11  |-  (; 4 3  x.  2 )  = ; 8 6
38 3lt10 10518 . . . . . . . . . . . 12  |-  3  <  10
39 4lt8 10500 . . . . . . . . . . . 12  |-  4  <  8
404, 8, 9, 9, 38, 39decltc 10765 . . . . . . . . . . 11  |- ; 4 3  < ; 8 3
41 6nn 10471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  6  e.  NN
42 3lt6 10488 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  <  6
438, 9, 41, 42declt 10764 . . . . . . . . . . . 12  |- ; 8 3  < ; 8 6
4443orci 390 . . . . . . . . . . 11  |-  (; 8 3  < ; 8 6  \/ ; 8 3  = ; 8 6 )
452, 23, 24, 25, 37, 40, 44bpos1lem 22506 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 4 3 )  -> 
( N  <_ ; 6 4  ->  E. p  e.  Prime  ( N  < 
p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) ) )
46 43prm 14132 . . . . . . . . . 10  |- ; 4 3  e.  Prime
4726, 9deccl 10757 . . . . . . . . . 10  |- ; 2 3  e.  NN0
48 eqid 2433 . . . . . . . . . . 11  |- ; 2 3  = ; 2 3
49 2t2e4 10459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
5049oveq1i 6090 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  x.  2 )  +  0 )  =  ( 4  +  0 )
51 4nn 10469 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  4  e.  NN
5251nncni 10320 . . . . . . . . . . . . 13  |-  4  e.  CC
5352addid1i 9544 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 4  +  0 )  =  4
5450, 53eqtri 2453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  x.  2 )  +  0 )  =  4
5526, 26, 9, 48, 3, 28, 54, 36decmul1c 10790 . . . . . . . . . 10  |-  (; 2 3  x.  2 )  = ; 4 6
56 2lt4 10480 . . . . . . . . . . 11  |-  2  <  4
5726, 4, 9, 9, 38, 56decltc 10765 . . . . . . . . . 10  |- ; 2 3  < ; 4 3
584, 9, 41, 42declt 10764 . . . . . . . . . . 11  |- ; 4 3  < ; 4 6
5958orci 390 . . . . . . . . . 10  |-  (; 4 3  < ; 4 6  \/ ; 4 3  = ; 4 6 )
602, 45, 46, 47, 55, 57, 59bpos1lem 22506 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 2 3 )  -> 
( N  <_ ; 6 4  ->  E. p  e.  Prime  ( N  < 
p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) ) )
61 23prm 14129 . . . . . . . . 9  |- ; 2 3  e.  Prime
62 1nn0 10583 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  NN0
6362, 9deccl 10757 . . . . . . . . 9  |- ; 1 3  e.  NN0
64 eqid 2433 . . . . . . . . . 10  |- ; 1 3  = ; 1 3
65 2cn 10380 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  CC
6665mulid2i 9377 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  x.  2 )  =  2
6766oveq1i 6090 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  x.  2 )  +  0 )  =  ( 2  +  0 )
6865addid1i 9544 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  +  0 )  =  2
6967, 68eqtri 2453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  x.  2 )  +  0 )  =  2
7026, 62, 9, 64, 3, 28, 69, 36decmul1c 10790 . . . . . . . . 9  |-  (; 1 3  x.  2 )  = ; 2 6
71 1lt2 10476 . . . . . . . . . 10  |-  1  <  2
7262, 26, 9, 9, 38, 71decltc 10765 . . . . . . . . 9  |- ; 1 3  < ; 2 3
7326, 9, 41, 42declt 10764 . . . . . . . . . 10  |- ; 2 3  < ; 2 6
7473orci 390 . . . . . . . . 9  |-  (; 2 3  < ; 2 6  \/ ; 2 3  = ; 2 6 )
752, 60, 61, 63, 70, 72, 74bpos1lem 22506 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 1 3 )  -> 
( N  <_ ; 6 4  ->  E. p  e.  Prime  ( N  < 
p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) ) )
76 13prm 14126 . . . . . . . 8  |- ; 1 3  e.  Prime
77 7nn0 10589 . . . . . . . 8  |-  7  e.  NN0
78 7t2e14 10825 . . . . . . . 8  |-  ( 7  x.  2 )  = ; 1
4
79 1nn 10321 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN
80 7lt10 10514 . . . . . . . . 9  |-  7  <  10
8179, 9, 77, 80declti 10768 . . . . . . . 8  |-  7  < ; 1
3
82 3lt4 10479 . . . . . . . . . 10  |-  3  <  4
8362, 9, 51, 82declt 10764 . . . . . . . . 9  |- ; 1 3  < ; 1 4
8483orci 390 . . . . . . . 8  |-  (; 1 3  < ; 1 4  \/ ; 1 3  = ; 1 4 )
852, 75, 76, 77, 78, 81, 84bpos1lem 22506 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  7
)  ->  ( N  <_ ; 6
4  ->  E. p  e.  Prime  ( N  < 
p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) ) )
86 7prm 14121 . . . . . . 7  |-  7  e.  Prime
87 5nn0 10587 . . . . . . 7  |-  5  e.  NN0
88 5t2e10 10464 . . . . . . 7  |-  ( 5  x.  2 )  =  10
89 5lt7 10492 . . . . . . 7  |-  5  <  7
9080orci 390 . . . . . . 7  |-  ( 7  <  10  \/  7  =  10 )
912, 85, 86, 87, 88, 89, 90bpos1lem 22506 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  5
)  ->  ( N  <_ ; 6
4  ->  E. p  e.  Prime  ( N  < 
p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) ) )
92 5prm 14119 . . . . . 6  |-  5  e.  Prime
93 3lt5 10483 . . . . . 6  |-  3  <  5
94 5lt6 10486 . . . . . . 7  |-  5  <  6
9594orci 390 . . . . . 6  |-  ( 5  <  6  \/  5  =  6 )
962, 91, 92, 9, 34, 93, 95bpos1lem 22506 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( N  <_ ; 6
4  ->  E. p  e.  Prime  ( N  < 
p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) ) )
97 3prm 13763 . . . . 5  |-  3  e.  Prime
98 2lt3 10477 . . . . 5  |-  2  <  3
9982orci 390 . . . . 5  |-  ( 3  <  4  \/  3  =  4 )
1002, 96, 97, 26, 49, 98, 99bpos1lem 22506 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  <_ ; 6
4  ->  E. p  e.  Prime  ( N  < 
p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) ) )
101 2prm 13762 . . . 4  |-  2  e.  Prime
102 eqid 2433 . . . . 5  |-  2  =  2
103102olci 391 . . . 4  |-  ( 2  <  2  \/  2  =  2 )
1042, 100, 101, 62, 66, 71, 103bpos1lem 22506 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( N  <_ ; 6
4  ->  E. p  e.  Prime  ( N  < 
p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) ) )
1051, 104sylbi 195 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  <_ ; 6 4  ->  E. p  e.  Prime  ( N  < 
p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) ) )
106105imp 429 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  N  <_ ; 6 4 )  ->  E. p  e.  Prime  ( N  <  p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1362    e. wcel 1755   E.wrex 2706   class class class wbr 4280   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   RRcr 9269   0cc0 9270   1c1 9271    + caddc 9273    x. cmul 9275    < clt 9406    <_ cle 9407   NNcn 10310   2c2 10359   3c3 10360   4c4 10361   5c5 10362   6c6 10363   7c7 10364   8c8 10365   10c10 10367  ;cdc 10743   ZZ>=cuz 10849   Primecprime 13746
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347  ax-pre-sup 9348
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-2o 6909  df-oadd 6912  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-sup 7679  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-div 9982  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-4 10370  df-5 10371  df-6 10372  df-7 10373  df-8 10374  df-9 10375  df-10 10376  df-n0 10568  df-z 10635  df-dec 10744  df-uz 10850  df-rp 10980  df-fz 11425  df-seq 11791  df-exp 11850  df-cj 12572  df-re 12573  df-im 12574  df-sqr 12708  df-abs 12709  df-dvds 13519  df-prm 13747
This theorem is referenced by:  bpos  22517
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