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Theorem bpos1 23684
Description: Bertrand's postulate, checked numerically for  N  <_  6 4, using the prime sequence  2 ,  3 ,  5 ,  7 ,  1 3 ,  2 3 ,  4 3 ,  8 3. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
bpos1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  N  <_ ; 6 4 )  ->  E. p  e.  Prime  ( N  <  p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) )
Distinct variable group:    N, p

Proof of Theorem bpos1
StepHypRef Expression
1 elnnuz 11142 . . 3  |-  ( N  e.  NN  <->  N  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
2 ax-1 6 . . . 4  |-  ( E. p  e.  Prime  ( N  <  p  /\  p  <_  ( 2  x.  N
) )  ->  ( N  <_ ; 6 4  ->  E. p  e.  Prime  ( N  < 
p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) ) )
3 6nn0 10837 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  6  e.  NN0
4 4nn0 10835 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  4  e.  NN0
53, 4deccl 11014 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |- ; 6 4  e.  NN0
65nn0rei 10827 . . . . . . . . . . . . . . 15  |- ; 6 4  e.  RR
76a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 8 3 )  -> ; 6 4  e.  RR )
8 8nn0 10839 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  8  e.  NN0
9 3nn0 10834 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  3  e.  NN0
108, 9deccl 11014 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |- ; 8 3  e.  NN0
1110nn0rei 10827 . . . . . . . . . . . . . . 15  |- ; 8 3  e.  RR
1211a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 8 3 )  -> ; 8 3  e.  RR )
13 eluzelre 11116 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 8 3 )  ->  N  e.  RR )
14 4lt10 10764 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  4  <  10
15 6lt8 10745 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  6  <  8
163, 8, 4, 9, 14, 15decltc 11022 . . . . . . . . . . . . . . 15  |- ; 6 4  < ; 8 3
1716a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 8 3 )  -> ; 6 4  < ; 8 3 )
18 eluzle 11118 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 8 3 )  -> ; 8 3  <_  N )
197, 12, 13, 17, 18ltletrd 9759 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 8 3 )  -> ; 6 4  <  N )
20 ltnle 9681 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (; 6
4  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (; 6 4  <  N  <->  -.  N  <_ ; 6 4 ) )
216, 13, 20sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 8 3 )  -> 
(; 6 4  <  N  <->  -.  N  <_ ; 6 4 ) )
2219, 21mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 8 3 )  ->  -.  N  <_ ; 6 4 )
2322pm2.21d 106 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 8 3 )  -> 
( N  <_ ; 6 4  ->  E. p  e.  Prime  ( N  < 
p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) ) )
24 83prm 14620 . . . . . . . . . . 11  |- ; 8 3  e.  Prime
254, 9deccl 11014 . . . . . . . . . . 11  |- ; 4 3  e.  NN0
26 2nn0 10833 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  NN0
27 eqid 2457 . . . . . . . . . . . 12  |- ; 4 3  = ; 4 3
28 0nn0 10831 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  NN0
29 4t2e8 10710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 4  x.  2 )  =  8
3029oveq1i 6306 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 4  x.  2 )  +  0 )  =  ( 8  +  0 )
31 8cn 10642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  8  e.  CC
3231addid1i 9784 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 8  +  0 )  =  8
3330, 32eqtri 2486 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 4  x.  2 )  +  0 )  =  8
34 3t2e6 10708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 3  x.  2 )  =  6
353dec0h 11016 . . . . . . . . . . . . 13  |-  6  = ; 0 6
3634, 35eqtri 2486 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 3  x.  2 )  = ; 0
6
3726, 4, 9, 27, 3, 28, 33, 36decmul1c 11047 . . . . . . . . . . 11  |-  (; 4 3  x.  2 )  = ; 8 6
38 3lt10 10765 . . . . . . . . . . . 12  |-  3  <  10
39 4lt8 10747 . . . . . . . . . . . 12  |-  4  <  8
404, 8, 9, 9, 38, 39decltc 11022 . . . . . . . . . . 11  |- ; 4 3  < ; 8 3
41 6nn 10718 . . . . . . . . . . . . 13  |-  6  e.  NN
42 3lt6 10735 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  <  6
438, 9, 41, 42declt 11021 . . . . . . . . . . . 12  |- ; 8 3  < ; 8 6
4443orci 390 . . . . . . . . . . 11  |-  (; 8 3  < ; 8 6  \/ ; 8 3  = ; 8 6 )
452, 23, 24, 25, 37, 40, 44bpos1lem 23683 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 4 3 )  -> 
( N  <_ ; 6 4  ->  E. p  e.  Prime  ( N  < 
p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) ) )
46 43prm 14619 . . . . . . . . . 10  |- ; 4 3  e.  Prime
4726, 9deccl 11014 . . . . . . . . . 10  |- ; 2 3  e.  NN0
48 eqid 2457 . . . . . . . . . . 11  |- ; 2 3  = ; 2 3
49 2t2e4 10706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
5049oveq1i 6306 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  x.  2 )  +  0 )  =  ( 4  +  0 )
51 4cn 10634 . . . . . . . . . . . . 13  |-  4  e.  CC
5251addid1i 9784 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 4  +  0 )  =  4
5350, 52eqtri 2486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  x.  2 )  +  0 )  =  4
5426, 26, 9, 48, 3, 28, 53, 36decmul1c 11047 . . . . . . . . . 10  |-  (; 2 3  x.  2 )  = ; 4 6
55 2lt4 10727 . . . . . . . . . . 11  |-  2  <  4
5626, 4, 9, 9, 38, 55decltc 11022 . . . . . . . . . 10  |- ; 2 3  < ; 4 3
574, 9, 41, 42declt 11021 . . . . . . . . . . 11  |- ; 4 3  < ; 4 6
5857orci 390 . . . . . . . . . 10  |-  (; 4 3  < ; 4 6  \/ ; 4 3  = ; 4 6 )
592, 45, 46, 47, 54, 56, 58bpos1lem 23683 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 2 3 )  -> 
( N  <_ ; 6 4  ->  E. p  e.  Prime  ( N  < 
p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) ) )
60 23prm 14616 . . . . . . . . 9  |- ; 2 3  e.  Prime
61 1nn0 10832 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  NN0
6261, 9deccl 11014 . . . . . . . . 9  |- ; 1 3  e.  NN0
63 eqid 2457 . . . . . . . . . 10  |- ; 1 3  = ; 1 3
64 2cn 10627 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  CC
6564mulid2i 9616 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  x.  2 )  =  2
6665oveq1i 6306 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  x.  2 )  +  0 )  =  ( 2  +  0 )
6764addid1i 9784 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  +  0 )  =  2
6866, 67eqtri 2486 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  x.  2 )  +  0 )  =  2
6926, 61, 9, 63, 3, 28, 68, 36decmul1c 11047 . . . . . . . . 9  |-  (; 1 3  x.  2 )  = ; 2 6
70 1lt2 10723 . . . . . . . . . 10  |-  1  <  2
7161, 26, 9, 9, 38, 70decltc 11022 . . . . . . . . 9  |- ; 1 3  < ; 2 3
7226, 9, 41, 42declt 11021 . . . . . . . . . 10  |- ; 2 3  < ; 2 6
7372orci 390 . . . . . . . . 9  |-  (; 2 3  < ; 2 6  \/ ; 2 3  = ; 2 6 )
742, 59, 60, 62, 69, 71, 73bpos1lem 23683 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 1 3 )  -> 
( N  <_ ; 6 4  ->  E. p  e.  Prime  ( N  < 
p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) ) )
75 13prm 14613 . . . . . . . 8  |- ; 1 3  e.  Prime
76 7nn0 10838 . . . . . . . 8  |-  7  e.  NN0
77 7t2e14 11082 . . . . . . . 8  |-  ( 7  x.  2 )  = ; 1
4
78 1nn 10567 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN
79 7lt10 10761 . . . . . . . . 9  |-  7  <  10
8078, 9, 76, 79declti 11025 . . . . . . . 8  |-  7  < ; 1
3
81 4nn 10716 . . . . . . . . . 10  |-  4  e.  NN
82 3lt4 10726 . . . . . . . . . 10  |-  3  <  4
8361, 9, 81, 82declt 11021 . . . . . . . . 9  |- ; 1 3  < ; 1 4
8483orci 390 . . . . . . . 8  |-  (; 1 3  < ; 1 4  \/ ; 1 3  = ; 1 4 )
852, 74, 75, 76, 77, 80, 84bpos1lem 23683 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  7
)  ->  ( N  <_ ; 6
4  ->  E. p  e.  Prime  ( N  < 
p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) ) )
86 7prm 14608 . . . . . . 7  |-  7  e.  Prime
87 5nn0 10836 . . . . . . 7  |-  5  e.  NN0
88 5t2e10 10711 . . . . . . 7  |-  ( 5  x.  2 )  =  10
89 5lt7 10739 . . . . . . 7  |-  5  <  7
9079orci 390 . . . . . . 7  |-  ( 7  <  10  \/  7  =  10 )
912, 85, 86, 87, 88, 89, 90bpos1lem 23683 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  5
)  ->  ( N  <_ ; 6
4  ->  E. p  e.  Prime  ( N  < 
p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) ) )
92 5prm 14606 . . . . . 6  |-  5  e.  Prime
93 3lt5 10730 . . . . . 6  |-  3  <  5
94 5lt6 10733 . . . . . . 7  |-  5  <  6
9594orci 390 . . . . . 6  |-  ( 5  <  6  \/  5  =  6 )
962, 91, 92, 9, 34, 93, 95bpos1lem 23683 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( N  <_ ; 6
4  ->  E. p  e.  Prime  ( N  < 
p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) ) )
97 3prm 14246 . . . . 5  |-  3  e.  Prime
98 2lt3 10724 . . . . 5  |-  2  <  3
9982orci 390 . . . . 5  |-  ( 3  <  4  \/  3  =  4 )
1002, 96, 97, 26, 49, 98, 99bpos1lem 23683 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  <_ ; 6
4  ->  E. p  e.  Prime  ( N  < 
p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) ) )
101 2prm 14245 . . . 4  |-  2  e.  Prime
102 eqid 2457 . . . . 5  |-  2  =  2
103102olci 391 . . . 4  |-  ( 2  <  2  \/  2  =  2 )
1042, 100, 101, 61, 65, 70, 103bpos1lem 23683 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( N  <_ ; 6
4  ->  E. p  e.  Prime  ( N  < 
p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) ) )
1051, 104sylbi 195 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  <_ ; 6 4  ->  E. p  e.  Prime  ( N  < 
p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) ) )
106105imp 429 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  N  <_ ; 6 4 )  ->  E. p  e.  Prime  ( N  <  p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   E.wrex 2808   class class class wbr 4456   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512    x. cmul 9514    < clt 9645    <_ cle 9646   NNcn 10556   2c2 10606   3c3 10607   4c4 10608   5c5 10609   6c6 10610   7c7 10611   8c8 10612   10c10 10614  ;cdc 11000   ZZ>=cuz 11106   Primecprime 14229
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-rp 11246  df-fz 11698  df-seq 12111  df-exp 12170  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-dvds 13999  df-prm 14230
This theorem is referenced by:  bpos  23694
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