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Theorem bpos1 22602
Description: Bertrand's postulate, checked numerically for  N  <_  6 4, using the prime sequence  2 ,  3 ,  5 ,  7 ,  1 3 ,  2 3 ,  4 3 ,  8 3. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
bpos1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  N  <_ ; 6 4 )  ->  E. p  e.  Prime  ( N  <  p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) )
Distinct variable group:    N, p

Proof of Theorem bpos1
StepHypRef Expression
1 elnnuz 10889 . . 3  |-  ( N  e.  NN  <->  N  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
2 ax-1 6 . . . 4  |-  ( E. p  e.  Prime  ( N  <  p  /\  p  <_  ( 2  x.  N
) )  ->  ( N  <_ ; 6 4  ->  E. p  e.  Prime  ( N  < 
p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) ) )
3 6nn0 10592 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  6  e.  NN0
4 4nn0 10590 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  4  e.  NN0
53, 4deccl 10761 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |- ; 6 4  e.  NN0
65nn0rei 10582 . . . . . . . . . . . . . . 15  |- ; 6 4  e.  RR
76a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 8 3 )  -> ; 6 4  e.  RR )
8 8nn0 10594 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  8  e.  NN0
9 3nn0 10589 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  3  e.  NN0
108, 9deccl 10761 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |- ; 8 3  e.  NN0
1110nn0rei 10582 . . . . . . . . . . . . . . 15  |- ; 8 3  e.  RR
1211a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 8 3 )  -> ; 8 3  e.  RR )
13 eluzelre 10863 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 8 3 )  ->  N  e.  RR )
14 4lt10 10521 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  4  <  10
15 6lt8 10502 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  6  <  8
163, 8, 4, 9, 14, 15decltc 10769 . . . . . . . . . . . . . . 15  |- ; 6 4  < ; 8 3
1716a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 8 3 )  -> ; 6 4  < ; 8 3 )
18 eluzle 10865 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 8 3 )  -> ; 8 3  <_  N )
197, 12, 13, 17, 18ltletrd 9523 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 8 3 )  -> ; 6 4  <  N )
20 ltnle 9446 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (; 6
4  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (; 6 4  <  N  <->  -.  N  <_ ; 6 4 ) )
216, 13, 20sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 8 3 )  -> 
(; 6 4  <  N  <->  -.  N  <_ ; 6 4 ) )
2219, 21mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 8 3 )  ->  -.  N  <_ ; 6 4 )
2322pm2.21d 106 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 8 3 )  -> 
( N  <_ ; 6 4  ->  E. p  e.  Prime  ( N  < 
p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) ) )
24 83prm 14142 . . . . . . . . . . 11  |- ; 8 3  e.  Prime
254, 9deccl 10761 . . . . . . . . . . 11  |- ; 4 3  e.  NN0
26 2nn0 10588 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  NN0
27 eqid 2438 . . . . . . . . . . . 12  |- ; 4 3  = ; 4 3
28 0nn0 10586 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  NN0
29 4t2e8 10467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 4  x.  2 )  =  8
3029oveq1i 6096 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 4  x.  2 )  +  0 )  =  ( 8  +  0 )
31 8cn 10399 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  8  e.  CC
3231addid1i 9548 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 8  +  0 )  =  8
3330, 32eqtri 2458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 4  x.  2 )  +  0 )  =  8
34 3t2e6 10465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 3  x.  2 )  =  6
353dec0h 10763 . . . . . . . . . . . . 13  |-  6  = ; 0 6
3634, 35eqtri 2458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 3  x.  2 )  = ; 0
6
3726, 4, 9, 27, 3, 28, 33, 36decmul1c 10794 . . . . . . . . . . 11  |-  (; 4 3  x.  2 )  = ; 8 6
38 3lt10 10522 . . . . . . . . . . . 12  |-  3  <  10
39 4lt8 10504 . . . . . . . . . . . 12  |-  4  <  8
404, 8, 9, 9, 38, 39decltc 10769 . . . . . . . . . . 11  |- ; 4 3  < ; 8 3
41 6nn 10475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  6  e.  NN
42 3lt6 10492 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  <  6
438, 9, 41, 42declt 10768 . . . . . . . . . . . 12  |- ; 8 3  < ; 8 6
4443orci 390 . . . . . . . . . . 11  |-  (; 8 3  < ; 8 6  \/ ; 8 3  = ; 8 6 )
452, 23, 24, 25, 37, 40, 44bpos1lem 22601 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 4 3 )  -> 
( N  <_ ; 6 4  ->  E. p  e.  Prime  ( N  < 
p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) ) )
46 43prm 14141 . . . . . . . . . 10  |- ; 4 3  e.  Prime
4726, 9deccl 10761 . . . . . . . . . 10  |- ; 2 3  e.  NN0
48 eqid 2438 . . . . . . . . . . 11  |- ; 2 3  = ; 2 3
49 2t2e4 10463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
5049oveq1i 6096 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  x.  2 )  +  0 )  =  ( 4  +  0 )
51 4nn 10473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  4  e.  NN
5251nncni 10324 . . . . . . . . . . . . 13  |-  4  e.  CC
5352addid1i 9548 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 4  +  0 )  =  4
5450, 53eqtri 2458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  x.  2 )  +  0 )  =  4
5526, 26, 9, 48, 3, 28, 54, 36decmul1c 10794 . . . . . . . . . 10  |-  (; 2 3  x.  2 )  = ; 4 6
56 2lt4 10484 . . . . . . . . . . 11  |-  2  <  4
5726, 4, 9, 9, 38, 56decltc 10769 . . . . . . . . . 10  |- ; 2 3  < ; 4 3
584, 9, 41, 42declt 10768 . . . . . . . . . . 11  |- ; 4 3  < ; 4 6
5958orci 390 . . . . . . . . . 10  |-  (; 4 3  < ; 4 6  \/ ; 4 3  = ; 4 6 )
602, 45, 46, 47, 55, 57, 59bpos1lem 22601 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 2 3 )  -> 
( N  <_ ; 6 4  ->  E. p  e.  Prime  ( N  < 
p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) ) )
61 23prm 14138 . . . . . . . . 9  |- ; 2 3  e.  Prime
62 1nn0 10587 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  NN0
6362, 9deccl 10761 . . . . . . . . 9  |- ; 1 3  e.  NN0
64 eqid 2438 . . . . . . . . . 10  |- ; 1 3  = ; 1 3
65 2cn 10384 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  CC
6665mulid2i 9381 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  x.  2 )  =  2
6766oveq1i 6096 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  x.  2 )  +  0 )  =  ( 2  +  0 )
6865addid1i 9548 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  +  0 )  =  2
6967, 68eqtri 2458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  x.  2 )  +  0 )  =  2
7026, 62, 9, 64, 3, 28, 69, 36decmul1c 10794 . . . . . . . . 9  |-  (; 1 3  x.  2 )  = ; 2 6
71 1lt2 10480 . . . . . . . . . 10  |-  1  <  2
7262, 26, 9, 9, 38, 71decltc 10769 . . . . . . . . 9  |- ; 1 3  < ; 2 3
7326, 9, 41, 42declt 10768 . . . . . . . . . 10  |- ; 2 3  < ; 2 6
7473orci 390 . . . . . . . . 9  |-  (; 2 3  < ; 2 6  \/ ; 2 3  = ; 2 6 )
752, 60, 61, 63, 70, 72, 74bpos1lem 22601 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 1 3 )  -> 
( N  <_ ; 6 4  ->  E. p  e.  Prime  ( N  < 
p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) ) )
76 13prm 14135 . . . . . . . 8  |- ; 1 3  e.  Prime
77 7nn0 10593 . . . . . . . 8  |-  7  e.  NN0
78 7t2e14 10829 . . . . . . . 8  |-  ( 7  x.  2 )  = ; 1
4
79 1nn 10325 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN
80 7lt10 10518 . . . . . . . . 9  |-  7  <  10
8179, 9, 77, 80declti 10772 . . . . . . . 8  |-  7  < ; 1
3
82 3lt4 10483 . . . . . . . . . 10  |-  3  <  4
8362, 9, 51, 82declt 10768 . . . . . . . . 9  |- ; 1 3  < ; 1 4
8483orci 390 . . . . . . . 8  |-  (; 1 3  < ; 1 4  \/ ; 1 3  = ; 1 4 )
852, 75, 76, 77, 78, 81, 84bpos1lem 22601 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  7
)  ->  ( N  <_ ; 6
4  ->  E. p  e.  Prime  ( N  < 
p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) ) )
86 7prm 14130 . . . . . . 7  |-  7  e.  Prime
87 5nn0 10591 . . . . . . 7  |-  5  e.  NN0
88 5t2e10 10468 . . . . . . 7  |-  ( 5  x.  2 )  =  10
89 5lt7 10496 . . . . . . 7  |-  5  <  7
9080orci 390 . . . . . . 7  |-  ( 7  <  10  \/  7  =  10 )
912, 85, 86, 87, 88, 89, 90bpos1lem 22601 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  5
)  ->  ( N  <_ ; 6
4  ->  E. p  e.  Prime  ( N  < 
p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) ) )
92 5prm 14128 . . . . . 6  |-  5  e.  Prime
93 3lt5 10487 . . . . . 6  |-  3  <  5
94 5lt6 10490 . . . . . . 7  |-  5  <  6
9594orci 390 . . . . . 6  |-  ( 5  <  6  \/  5  =  6 )
962, 91, 92, 9, 34, 93, 95bpos1lem 22601 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( N  <_ ; 6
4  ->  E. p  e.  Prime  ( N  < 
p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) ) )
97 3prm 13772 . . . . 5  |-  3  e.  Prime
98 2lt3 10481 . . . . 5  |-  2  <  3
9982orci 390 . . . . 5  |-  ( 3  <  4  \/  3  =  4 )
1002, 96, 97, 26, 49, 98, 99bpos1lem 22601 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  <_ ; 6
4  ->  E. p  e.  Prime  ( N  < 
p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) ) )
101 2prm 13771 . . . 4  |-  2  e.  Prime
102 eqid 2438 . . . . 5  |-  2  =  2
103102olci 391 . . . 4  |-  ( 2  <  2  \/  2  =  2 )
1042, 100, 101, 62, 66, 71, 103bpos1lem 22601 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( N  <_ ; 6
4  ->  E. p  e.  Prime  ( N  < 
p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) ) )
1051, 104sylbi 195 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  <_ ; 6 4  ->  E. p  e.  Prime  ( N  < 
p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) ) )
106105imp 429 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  N  <_ ; 6 4 )  ->  E. p  e.  Prime  ( N  <  p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   E.wrex 2711   class class class wbr 4287   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   RRcr 9273   0cc0 9274   1c1 9275    + caddc 9277    x. cmul 9279    < clt 9410    <_ cle 9411   NNcn 10314   2c2 10363   3c3 10364   4c4 10365   5c5 10366   6c6 10367   7c7 10368   8c8 10369   10c10 10371  ;cdc 10747   ZZ>=cuz 10853   Primecprime 13755
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-sup 7683  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-rp 10984  df-fz 11430  df-seq 11799  df-exp 11858  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-dvds 13528  df-prm 13756
This theorem is referenced by:  bpos  22612
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