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Theorem bpos1 22738
Description: Bertrand's postulate, checked numerically for  N  <_  6 4, using the prime sequence  2 ,  3 ,  5 ,  7 ,  1 3 ,  2 3 ,  4 3 ,  8 3. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
bpos1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  N  <_ ; 6 4 )  ->  E. p  e.  Prime  ( N  <  p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) )
Distinct variable group:    N, p

Proof of Theorem bpos1
StepHypRef Expression
1 elnnuz 10998 . . 3  |-  ( N  e.  NN  <->  N  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
2 ax-1 6 . . . 4  |-  ( E. p  e.  Prime  ( N  <  p  /\  p  <_  ( 2  x.  N
) )  ->  ( N  <_ ; 6 4  ->  E. p  e.  Prime  ( N  < 
p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) ) )
3 6nn0 10701 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  6  e.  NN0
4 4nn0 10699 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  4  e.  NN0
53, 4deccl 10870 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |- ; 6 4  e.  NN0
65nn0rei 10691 . . . . . . . . . . . . . . 15  |- ; 6 4  e.  RR
76a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 8 3 )  -> ; 6 4  e.  RR )
8 8nn0 10703 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  8  e.  NN0
9 3nn0 10698 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  3  e.  NN0
108, 9deccl 10870 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |- ; 8 3  e.  NN0
1110nn0rei 10691 . . . . . . . . . . . . . . 15  |- ; 8 3  e.  RR
1211a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 8 3 )  -> ; 8 3  e.  RR )
13 eluzelre 10972 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 8 3 )  ->  N  e.  RR )
14 4lt10 10630 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  4  <  10
15 6lt8 10611 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  6  <  8
163, 8, 4, 9, 14, 15decltc 10878 . . . . . . . . . . . . . . 15  |- ; 6 4  < ; 8 3
1716a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 8 3 )  -> ; 6 4  < ; 8 3 )
18 eluzle 10974 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 8 3 )  -> ; 8 3  <_  N )
197, 12, 13, 17, 18ltletrd 9632 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 8 3 )  -> ; 6 4  <  N )
20 ltnle 9555 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (; 6
4  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (; 6 4  <  N  <->  -.  N  <_ ; 6 4 ) )
216, 13, 20sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 8 3 )  -> 
(; 6 4  <  N  <->  -.  N  <_ ; 6 4 ) )
2219, 21mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 8 3 )  ->  -.  N  <_ ; 6 4 )
2322pm2.21d 106 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 8 3 )  -> 
( N  <_ ; 6 4  ->  E. p  e.  Prime  ( N  < 
p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) ) )
24 83prm 14252 . . . . . . . . . . 11  |- ; 8 3  e.  Prime
254, 9deccl 10870 . . . . . . . . . . 11  |- ; 4 3  e.  NN0
26 2nn0 10697 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  NN0
27 eqid 2451 . . . . . . . . . . . 12  |- ; 4 3  = ; 4 3
28 0nn0 10695 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  NN0
29 4t2e8 10576 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 4  x.  2 )  =  8
3029oveq1i 6200 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 4  x.  2 )  +  0 )  =  ( 8  +  0 )
31 8cn 10508 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  8  e.  CC
3231addid1i 9657 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 8  +  0 )  =  8
3330, 32eqtri 2480 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 4  x.  2 )  +  0 )  =  8
34 3t2e6 10574 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 3  x.  2 )  =  6
353dec0h 10872 . . . . . . . . . . . . 13  |-  6  = ; 0 6
3634, 35eqtri 2480 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 3  x.  2 )  = ; 0
6
3726, 4, 9, 27, 3, 28, 33, 36decmul1c 10903 . . . . . . . . . . 11  |-  (; 4 3  x.  2 )  = ; 8 6
38 3lt10 10631 . . . . . . . . . . . 12  |-  3  <  10
39 4lt8 10613 . . . . . . . . . . . 12  |-  4  <  8
404, 8, 9, 9, 38, 39decltc 10878 . . . . . . . . . . 11  |- ; 4 3  < ; 8 3
41 6nn 10584 . . . . . . . . . . . . 13  |-  6  e.  NN
42 3lt6 10601 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  <  6
438, 9, 41, 42declt 10877 . . . . . . . . . . . 12  |- ; 8 3  < ; 8 6
4443orci 390 . . . . . . . . . . 11  |-  (; 8 3  < ; 8 6  \/ ; 8 3  = ; 8 6 )
452, 23, 24, 25, 37, 40, 44bpos1lem 22737 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 4 3 )  -> 
( N  <_ ; 6 4  ->  E. p  e.  Prime  ( N  < 
p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) ) )
46 43prm 14251 . . . . . . . . . 10  |- ; 4 3  e.  Prime
4726, 9deccl 10870 . . . . . . . . . 10  |- ; 2 3  e.  NN0
48 eqid 2451 . . . . . . . . . . 11  |- ; 2 3  = ; 2 3
49 2t2e4 10572 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
5049oveq1i 6200 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  x.  2 )  +  0 )  =  ( 4  +  0 )
51 4nn 10582 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  4  e.  NN
5251nncni 10433 . . . . . . . . . . . . 13  |-  4  e.  CC
5352addid1i 9657 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 4  +  0 )  =  4
5450, 53eqtri 2480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  x.  2 )  +  0 )  =  4
5526, 26, 9, 48, 3, 28, 54, 36decmul1c 10903 . . . . . . . . . 10  |-  (; 2 3  x.  2 )  = ; 4 6
56 2lt4 10593 . . . . . . . . . . 11  |-  2  <  4
5726, 4, 9, 9, 38, 56decltc 10878 . . . . . . . . . 10  |- ; 2 3  < ; 4 3
584, 9, 41, 42declt 10877 . . . . . . . . . . 11  |- ; 4 3  < ; 4 6
5958orci 390 . . . . . . . . . 10  |-  (; 4 3  < ; 4 6  \/ ; 4 3  = ; 4 6 )
602, 45, 46, 47, 55, 57, 59bpos1lem 22737 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 2 3 )  -> 
( N  <_ ; 6 4  ->  E. p  e.  Prime  ( N  < 
p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) ) )
61 23prm 14248 . . . . . . . . 9  |- ; 2 3  e.  Prime
62 1nn0 10696 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  NN0
6362, 9deccl 10870 . . . . . . . . 9  |- ; 1 3  e.  NN0
64 eqid 2451 . . . . . . . . . 10  |- ; 1 3  = ; 1 3
65 2cn 10493 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  CC
6665mulid2i 9490 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  x.  2 )  =  2
6766oveq1i 6200 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  x.  2 )  +  0 )  =  ( 2  +  0 )
6865addid1i 9657 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  +  0 )  =  2
6967, 68eqtri 2480 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  x.  2 )  +  0 )  =  2
7026, 62, 9, 64, 3, 28, 69, 36decmul1c 10903 . . . . . . . . 9  |-  (; 1 3  x.  2 )  = ; 2 6
71 1lt2 10589 . . . . . . . . . 10  |-  1  <  2
7262, 26, 9, 9, 38, 71decltc 10878 . . . . . . . . 9  |- ; 1 3  < ; 2 3
7326, 9, 41, 42declt 10877 . . . . . . . . . 10  |- ; 2 3  < ; 2 6
7473orci 390 . . . . . . . . 9  |-  (; 2 3  < ; 2 6  \/ ; 2 3  = ; 2 6 )
752, 60, 61, 63, 70, 72, 74bpos1lem 22737 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 1 3 )  -> 
( N  <_ ; 6 4  ->  E. p  e.  Prime  ( N  < 
p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) ) )
76 13prm 14245 . . . . . . . 8  |- ; 1 3  e.  Prime
77 7nn0 10702 . . . . . . . 8  |-  7  e.  NN0
78 7t2e14 10938 . . . . . . . 8  |-  ( 7  x.  2 )  = ; 1
4
79 1nn 10434 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN
80 7lt10 10627 . . . . . . . . 9  |-  7  <  10
8179, 9, 77, 80declti 10881 . . . . . . . 8  |-  7  < ; 1
3
82 3lt4 10592 . . . . . . . . . 10  |-  3  <  4
8362, 9, 51, 82declt 10877 . . . . . . . . 9  |- ; 1 3  < ; 1 4
8483orci 390 . . . . . . . 8  |-  (; 1 3  < ; 1 4  \/ ; 1 3  = ; 1 4 )
852, 75, 76, 77, 78, 81, 84bpos1lem 22737 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  7
)  ->  ( N  <_ ; 6
4  ->  E. p  e.  Prime  ( N  < 
p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) ) )
86 7prm 14240 . . . . . . 7  |-  7  e.  Prime
87 5nn0 10700 . . . . . . 7  |-  5  e.  NN0
88 5t2e10 10577 . . . . . . 7  |-  ( 5  x.  2 )  =  10
89 5lt7 10605 . . . . . . 7  |-  5  <  7
9080orci 390 . . . . . . 7  |-  ( 7  <  10  \/  7  =  10 )
912, 85, 86, 87, 88, 89, 90bpos1lem 22737 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  5
)  ->  ( N  <_ ; 6
4  ->  E. p  e.  Prime  ( N  < 
p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) ) )
92 5prm 14238 . . . . . 6  |-  5  e.  Prime
93 3lt5 10596 . . . . . 6  |-  3  <  5
94 5lt6 10599 . . . . . . 7  |-  5  <  6
9594orci 390 . . . . . 6  |-  ( 5  <  6  \/  5  =  6 )
962, 91, 92, 9, 34, 93, 95bpos1lem 22737 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( N  <_ ; 6
4  ->  E. p  e.  Prime  ( N  < 
p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) ) )
97 3prm 13882 . . . . 5  |-  3  e.  Prime
98 2lt3 10590 . . . . 5  |-  2  <  3
9982orci 390 . . . . 5  |-  ( 3  <  4  \/  3  =  4 )
1002, 96, 97, 26, 49, 98, 99bpos1lem 22737 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  <_ ; 6
4  ->  E. p  e.  Prime  ( N  < 
p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) ) )
101 2prm 13881 . . . 4  |-  2  e.  Prime
102 eqid 2451 . . . . 5  |-  2  =  2
103102olci 391 . . . 4  |-  ( 2  <  2  \/  2  =  2 )
1042, 100, 101, 62, 66, 71, 103bpos1lem 22737 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( N  <_ ; 6
4  ->  E. p  e.  Prime  ( N  < 
p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) ) )
1051, 104sylbi 195 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  <_ ; 6 4  ->  E. p  e.  Prime  ( N  < 
p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) ) )
106105imp 429 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  N  <_ ; 6 4 )  ->  E. p  e.  Prime  ( N  <  p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   E.wrex 2796   class class class wbr 4390   ` cfv 5516  (class class class)co 6190   RRcr 9382   0cc0 9383   1c1 9384    + caddc 9386    x. cmul 9388    < clt 9519    <_ cle 9520   NNcn 10423   2c2 10472   3c3 10473   4c4 10474   5c5 10475   6c6 10476   7c7 10477   8c8 10478   10c10 10480  ;cdc 10856   ZZ>=cuz 10962   Primecprime 13865
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460  ax-pre-sup 9461
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-om 6577  df-1st 6677  df-2nd 6678  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-1o 7020  df-2o 7021  df-oadd 7024  df-er 7201  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-fin 7414  df-sup 7792  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-div 10095  df-nn 10424  df-2 10481  df-3 10482  df-4 10483  df-5 10484  df-6 10485  df-7 10486  df-8 10487  df-9 10488  df-10 10489  df-n0 10681  df-z 10748  df-dec 10857  df-uz 10963  df-rp 11093  df-fz 11539  df-seq 11908  df-exp 11967  df-cj 12690  df-re 12691  df-im 12692  df-sqr 12826  df-abs 12827  df-dvds 13638  df-prm 13866
This theorem is referenced by:  bpos  22748
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