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Theorem bpos1 23424
Description: Bertrand's postulate, checked numerically for  N  <_  6 4, using the prime sequence  2 ,  3 ,  5 ,  7 ,  1 3 ,  2 3 ,  4 3 ,  8 3. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
bpos1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  N  <_ ; 6 4 )  ->  E. p  e.  Prime  ( N  <  p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) )
Distinct variable group:    N, p

Proof of Theorem bpos1
StepHypRef Expression
1 elnnuz 11130 . . 3  |-  ( N  e.  NN  <->  N  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
2 ax-1 6 . . . 4  |-  ( E. p  e.  Prime  ( N  <  p  /\  p  <_  ( 2  x.  N
) )  ->  ( N  <_ ; 6 4  ->  E. p  e.  Prime  ( N  < 
p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) ) )
3 6nn0 10828 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  6  e.  NN0
4 4nn0 10826 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  4  e.  NN0
53, 4deccl 11002 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |- ; 6 4  e.  NN0
65nn0rei 10818 . . . . . . . . . . . . . . 15  |- ; 6 4  e.  RR
76a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 8 3 )  -> ; 6 4  e.  RR )
8 8nn0 10830 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  8  e.  NN0
9 3nn0 10825 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  3  e.  NN0
108, 9deccl 11002 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |- ; 8 3  e.  NN0
1110nn0rei 10818 . . . . . . . . . . . . . . 15  |- ; 8 3  e.  RR
1211a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 8 3 )  -> ; 8 3  e.  RR )
13 eluzelre 11104 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 8 3 )  ->  N  e.  RR )
14 4lt10 10755 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  4  <  10
15 6lt8 10736 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  6  <  8
163, 8, 4, 9, 14, 15decltc 11010 . . . . . . . . . . . . . . 15  |- ; 6 4  < ; 8 3
1716a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 8 3 )  -> ; 6 4  < ; 8 3 )
18 eluzle 11106 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 8 3 )  -> ; 8 3  <_  N )
197, 12, 13, 17, 18ltletrd 9753 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 8 3 )  -> ; 6 4  <  N )
20 ltnle 9676 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (; 6
4  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (; 6 4  <  N  <->  -.  N  <_ ; 6 4 ) )
216, 13, 20sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 8 3 )  -> 
(; 6 4  <  N  <->  -.  N  <_ ; 6 4 ) )
2219, 21mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 8 3 )  ->  -.  N  <_ ; 6 4 )
2322pm2.21d 106 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 8 3 )  -> 
( N  <_ ; 6 4  ->  E. p  e.  Prime  ( N  < 
p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) ) )
24 83prm 14483 . . . . . . . . . . 11  |- ; 8 3  e.  Prime
254, 9deccl 11002 . . . . . . . . . . 11  |- ; 4 3  e.  NN0
26 2nn0 10824 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  NN0
27 eqid 2467 . . . . . . . . . . . 12  |- ; 4 3  = ; 4 3
28 0nn0 10822 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  NN0
29 4t2e8 10701 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 4  x.  2 )  =  8
3029oveq1i 6305 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 4  x.  2 )  +  0 )  =  ( 8  +  0 )
31 8cn 10633 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  8  e.  CC
3231addid1i 9778 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 8  +  0 )  =  8
3330, 32eqtri 2496 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 4  x.  2 )  +  0 )  =  8
34 3t2e6 10699 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 3  x.  2 )  =  6
353dec0h 11004 . . . . . . . . . . . . 13  |-  6  = ; 0 6
3634, 35eqtri 2496 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 3  x.  2 )  = ; 0
6
3726, 4, 9, 27, 3, 28, 33, 36decmul1c 11035 . . . . . . . . . . 11  |-  (; 4 3  x.  2 )  = ; 8 6
38 3lt10 10756 . . . . . . . . . . . 12  |-  3  <  10
39 4lt8 10738 . . . . . . . . . . . 12  |-  4  <  8
404, 8, 9, 9, 38, 39decltc 11010 . . . . . . . . . . 11  |- ; 4 3  < ; 8 3
41 6nn 10709 . . . . . . . . . . . . 13  |-  6  e.  NN
42 3lt6 10726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  <  6
438, 9, 41, 42declt 11009 . . . . . . . . . . . 12  |- ; 8 3  < ; 8 6
4443orci 390 . . . . . . . . . . 11  |-  (; 8 3  < ; 8 6  \/ ; 8 3  = ; 8 6 )
452, 23, 24, 25, 37, 40, 44bpos1lem 23423 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 4 3 )  -> 
( N  <_ ; 6 4  ->  E. p  e.  Prime  ( N  < 
p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) ) )
46 43prm 14482 . . . . . . . . . 10  |- ; 4 3  e.  Prime
4726, 9deccl 11002 . . . . . . . . . 10  |- ; 2 3  e.  NN0
48 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11  |- ; 2 3  = ; 2 3
49 2t2e4 10697 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
5049oveq1i 6305 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  x.  2 )  +  0 )  =  ( 4  +  0 )
51 4nn 10707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  4  e.  NN
5251nncni 10558 . . . . . . . . . . . . 13  |-  4  e.  CC
5352addid1i 9778 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 4  +  0 )  =  4
5450, 53eqtri 2496 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  x.  2 )  +  0 )  =  4
5526, 26, 9, 48, 3, 28, 54, 36decmul1c 11035 . . . . . . . . . 10  |-  (; 2 3  x.  2 )  = ; 4 6
56 2lt4 10718 . . . . . . . . . . 11  |-  2  <  4
5726, 4, 9, 9, 38, 56decltc 11010 . . . . . . . . . 10  |- ; 2 3  < ; 4 3
584, 9, 41, 42declt 11009 . . . . . . . . . . 11  |- ; 4 3  < ; 4 6
5958orci 390 . . . . . . . . . 10  |-  (; 4 3  < ; 4 6  \/ ; 4 3  = ; 4 6 )
602, 45, 46, 47, 55, 57, 59bpos1lem 23423 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 2 3 )  -> 
( N  <_ ; 6 4  ->  E. p  e.  Prime  ( N  < 
p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) ) )
61 23prm 14479 . . . . . . . . 9  |- ; 2 3  e.  Prime
62 1nn0 10823 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  NN0
6362, 9deccl 11002 . . . . . . . . 9  |- ; 1 3  e.  NN0
64 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |- ; 1 3  = ; 1 3
65 2cn 10618 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  CC
6665mulid2i 9611 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  x.  2 )  =  2
6766oveq1i 6305 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  x.  2 )  +  0 )  =  ( 2  +  0 )
6865addid1i 9778 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  +  0 )  =  2
6967, 68eqtri 2496 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  x.  2 )  +  0 )  =  2
7026, 62, 9, 64, 3, 28, 69, 36decmul1c 11035 . . . . . . . . 9  |-  (; 1 3  x.  2 )  = ; 2 6
71 1lt2 10714 . . . . . . . . . 10  |-  1  <  2
7262, 26, 9, 9, 38, 71decltc 11010 . . . . . . . . 9  |- ; 1 3  < ; 2 3
7326, 9, 41, 42declt 11009 . . . . . . . . . 10  |- ; 2 3  < ; 2 6
7473orci 390 . . . . . . . . 9  |-  (; 2 3  < ; 2 6  \/ ; 2 3  = ; 2 6 )
752, 60, 61, 63, 70, 72, 74bpos1lem 23423 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 1 3 )  -> 
( N  <_ ; 6 4  ->  E. p  e.  Prime  ( N  < 
p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) ) )
76 13prm 14476 . . . . . . . 8  |- ; 1 3  e.  Prime
77 7nn0 10829 . . . . . . . 8  |-  7  e.  NN0
78 7t2e14 11070 . . . . . . . 8  |-  ( 7  x.  2 )  = ; 1
4
79 1nn 10559 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN
80 7lt10 10752 . . . . . . . . 9  |-  7  <  10
8179, 9, 77, 80declti 11013 . . . . . . . 8  |-  7  < ; 1
3
82 3lt4 10717 . . . . . . . . . 10  |-  3  <  4
8362, 9, 51, 82declt 11009 . . . . . . . . 9  |- ; 1 3  < ; 1 4
8483orci 390 . . . . . . . 8  |-  (; 1 3  < ; 1 4  \/ ; 1 3  = ; 1 4 )
852, 75, 76, 77, 78, 81, 84bpos1lem 23423 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  7
)  ->  ( N  <_ ; 6
4  ->  E. p  e.  Prime  ( N  < 
p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) ) )
86 7prm 14471 . . . . . . 7  |-  7  e.  Prime
87 5nn0 10827 . . . . . . 7  |-  5  e.  NN0
88 5t2e10 10702 . . . . . . 7  |-  ( 5  x.  2 )  =  10
89 5lt7 10730 . . . . . . 7  |-  5  <  7
9080orci 390 . . . . . . 7  |-  ( 7  <  10  \/  7  =  10 )
912, 85, 86, 87, 88, 89, 90bpos1lem 23423 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  5
)  ->  ( N  <_ ; 6
4  ->  E. p  e.  Prime  ( N  < 
p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) ) )
92 5prm 14469 . . . . . 6  |-  5  e.  Prime
93 3lt5 10721 . . . . . 6  |-  3  <  5
94 5lt6 10724 . . . . . . 7  |-  5  <  6
9594orci 390 . . . . . 6  |-  ( 5  <  6  \/  5  =  6 )
962, 91, 92, 9, 34, 93, 95bpos1lem 23423 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( N  <_ ; 6
4  ->  E. p  e.  Prime  ( N  < 
p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) ) )
97 3prm 14110 . . . . 5  |-  3  e.  Prime
98 2lt3 10715 . . . . 5  |-  2  <  3
9982orci 390 . . . . 5  |-  ( 3  <  4  \/  3  =  4 )
1002, 96, 97, 26, 49, 98, 99bpos1lem 23423 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  <_ ; 6
4  ->  E. p  e.  Prime  ( N  < 
p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) ) )
101 2prm 14109 . . . 4  |-  2  e.  Prime
102 eqid 2467 . . . . 5  |-  2  =  2
103102olci 391 . . . 4  |-  ( 2  <  2  \/  2  =  2 )
1042, 100, 101, 62, 66, 71, 103bpos1lem 23423 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( N  <_ ; 6
4  ->  E. p  e.  Prime  ( N  < 
p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) ) )
1051, 104sylbi 195 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  <_ ; 6 4  ->  E. p  e.  Prime  ( N  < 
p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) ) )
106105imp 429 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  N  <_ ; 6 4 )  ->  E. p  e.  Prime  ( N  <  p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   E.wrex 2818   class class class wbr 4453   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   RRcr 9503   0cc0 9504   1c1 9505    + caddc 9507    x. cmul 9509    < clt 9640    <_ cle 9641   NNcn 10548   2c2 10597   3c3 10598   4c4 10599   5c5 10600   6c6 10601   7c7 10602   8c8 10603   10c10 10605  ;cdc 10988   ZZ>=cuz 11094   Primecprime 14093
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-sup 7913  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-rp 11233  df-fz 11685  df-seq 12088  df-exp 12147  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-dvds 13865  df-prm 14094
This theorem is referenced by:  bpos  23434
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