MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bpos Structured version   Unicode version

Theorem bpos 22575
Description: Bertrand's postulate: there is a prime between  N and  2 N for every positive integer  N. This proof follows Erdős's method, for the most part, but with some refinements due to Shigenori Tochiori to save us some calculations of large primes. See http://en.wikipedia.org/wiki/Proof_of_Bertrand%27s_postulate for an overview of the proof strategy. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
bpos  |-  ( N  e.  NN  ->  E. p  e.  Prime  ( N  < 
p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) )
Distinct variable group:    N, p

Proof of Theorem bpos
Dummy variables  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bpos1 22565 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  N  <_ ; 6 4 )  ->  E. p  e.  Prime  ( N  <  p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) )
2 eqid 2441 . . . 4  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( sqr `  2
)  x.  ( ( x  e.  RR+  |->  ( ( log `  x )  /  x ) ) `
 ( sqr `  n
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  (
( x  e.  RR+  |->  ( ( log `  x
)  /  x ) ) `  ( n  /  2 ) ) ) )  +  ( ( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  n
) ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( sqr `  2
)  x.  ( ( x  e.  RR+  |->  ( ( log `  x )  /  x ) ) `
 ( sqr `  n
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  (
( x  e.  RR+  |->  ( ( log `  x
)  /  x ) ) `  ( n  /  2 ) ) ) )  +  ( ( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  n
) ) ) ) )
3 eqid 2441 . . . 4  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log `  x )  /  x ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log `  x )  /  x
) )
4 simpll 748 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ ; 6
4  <  N )  /\  -.  E. p  e. 
Prime  ( N  <  p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) )  ->  N  e.  NN )
5 simplr 749 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ ; 6
4  <  N )  /\  -.  E. p  e. 
Prime  ( N  <  p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) )  -> ; 6 4  <  N
)
6 simpr 458 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ ; 6
4  <  N )  /\  -.  E. p  e. 
Prime  ( N  <  p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) )  ->  -.  E. p  e.  Prime  ( N  < 
p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) )
72, 3, 4, 5, 6bposlem9 22574 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\ ; 6
4  <  N )  /\  -.  E. p  e. 
Prime  ( N  <  p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) )  ->  E. p  e.  Prime  ( N  < 
p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) )
87pm2.18da 441 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\ ; 6 4  <  N )  ->  E. p  e.  Prime  ( N  <  p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) )
9 nnre 10325 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
10 6nn0 10596 . . . . 5  |-  6  e.  NN0
11 4nn0 10594 . . . . 5  |-  4  e.  NN0
1210, 11deccl 10765 . . . 4  |- ; 6 4  e.  NN0
1312nn0rei 10586 . . 3  |- ; 6 4  e.  RR
14 lelttric 9477 . . 3  |-  ( ( N  e.  RR  /\ ; 6 4  e.  RR )  -> 
( N  <_ ; 6 4  \/ ; 6 4  <  N
) )
159, 13, 14sylancl 657 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  <_ ; 6 4  \/ ; 6 4  <  N
) )
161, 8, 15mpjaodan 779 1  |-  ( N  e.  NN  ->  E. p  e.  Prime  ( N  < 
p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    e. wcel 1761   E.wrex 2714   class class class wbr 4289    e. cmpt 4347   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   RRcr 9277    + caddc 9281    x. cmul 9283    < clt 9414    <_ cle 9415    / cdiv 9989   NNcn 10318   2c2 10367   4c4 10369   6c6 10371   9c9 10374  ;cdc 10751   RR+crp 10987   sqrcsqr 12718   Primecprime 13759   logclog 21949
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356  ax-addf 9357  ax-mulf 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-fi 7657  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-ioo 11300  df-ioc 11301  df-ico 11302  df-icc 11303  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-fl 11638  df-mod 11705  df-seq 11803  df-exp 11862  df-fac 12048  df-bc 12075  df-hash 12100  df-shft 12552  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-limsup 12945  df-clim 12962  df-rlim 12963  df-sum 13160  df-ef 13349  df-e 13350  df-sin 13351  df-cos 13352  df-pi 13354  df-dvds 13532  df-gcd 13687  df-prm 13760  df-pc 13900  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-starv 14249  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-ip 14252  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-unif 14257  df-hom 14258  df-cco 14259  df-rest 14357  df-topn 14358  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-topgen 14378  df-pt 14379  df-prds 14382  df-xrs 14436  df-qtop 14441  df-imas 14442  df-xps 14444  df-mre 14520  df-mrc 14521  df-acs 14523  df-mnd 15411  df-submnd 15461  df-mulg 15541  df-cntz 15828  df-cmn 16272  df-psmet 17709  df-xmet 17710  df-met 17711  df-bl 17712  df-mopn 17713  df-fbas 17714  df-fg 17715  df-cnfld 17719  df-top 18403  df-bases 18405  df-topon 18406  df-topsp 18407  df-cld 18523  df-ntr 18524  df-cls 18525  df-nei 18602  df-lp 18640  df-perf 18641  df-cn 18731  df-cnp 18732  df-haus 18819  df-tx 19035  df-hmeo 19228  df-fil 19319  df-fm 19411  df-flim 19412  df-flf 19413  df-xms 19795  df-ms 19796  df-tms 19797  df-cncf 20354  df-limc 21241  df-dv 21242  df-log 21951  df-cxp 21952  df-cht 22377  df-ppi 22380
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator