Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bpolysum Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem bpolysum 14183
 Description: A sum for Bernoulli polynomials. (Contributed by Scott Fenton, 16-May-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
bpolysum BernPoly
Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem bpolysum
StepHypRef Expression
1 simpl 464 . . . 4
2 nn0uz 11217 . . . 4
31, 2syl6eleq 2559 . . 3
4 elfzelz 11826 . . . . . 6
5 bccl 12545 . . . . . 6
61, 4, 5syl2an 485 . . . . 5
76nn0cnd 10951 . . . 4
8 elfznn0 11913 . . . . . 6
9 simpr 468 . . . . . 6
10 bpolycl 14182 . . . . . 6 BernPoly
118, 9, 10syl2anr 486 . . . . 5 BernPoly
12 fznn0sub 11857 . . . . . . . 8
1312adantl 473 . . . . . . 7
14 nn0p1nn 10933 . . . . . . 7
1513, 14syl 17 . . . . . 6
1615nncnd 10647 . . . . 5
1715nnne0d 10676 . . . . 5
1811, 16, 17divcld 10405 . . . 4 BernPoly
197, 18mulcld 9681 . . 3 BernPoly
20 oveq2 6316 . . . 4
21 oveq1 6315 . . . . 5 BernPoly BernPoly
22 oveq2 6316 . . . . . 6
2322oveq1d 6323 . . . . 5
2421, 23oveq12d 6326 . . . 4 BernPoly BernPoly
2520, 24oveq12d 6326 . . 3 BernPoly BernPoly
263, 19, 25fsumm1 13889 . 2 BernPoly BernPoly BernPoly
27 bcnn 12535 . . . . . 6
2827adantr 472 . . . . 5
29 nn0cn 10903 . . . . . . . . . . 11
3029adantr 472 . . . . . . . . . 10
3130subidd 9993 . . . . . . . . 9
3231oveq1d 6323 . . . . . . . 8
33 0p1e1 10743 . . . . . . . 8
3432, 33syl6eq 2521 . . . . . . 7
3534oveq2d 6324 . . . . . 6 BernPoly BernPoly
36 bpolycl 14182 . . . . . . 7 BernPoly
3736div1d 10397 . . . . . 6 BernPoly BernPoly
3835, 37eqtrd 2505 . . . . 5 BernPoly BernPoly
3928, 38oveq12d 6326 . . . 4 BernPoly BernPoly
4036mulid2d 9679 . . . 4 BernPoly BernPoly
4139, 40eqtrd 2505 . . 3 BernPoly BernPoly
4241oveq2d 6324 . 2 BernPoly BernPoly BernPoly BernPoly
43 bpolyval 14179 . . . 4 BernPoly BernPoly
4443eqcomd 2477 . . 3 BernPoly BernPoly
45 expcl 12328 . . . . 5
4645ancoms 460 . . . 4
47 fzfid 12224 . . . . 5
48 fzssp1 11867 . . . . . . . 8
49 ax-1cn 9615 . . . . . . . . . 10
50 npcan 9904 . . . . . . . . . 10
5130, 49, 50sylancl 675 . . . . . . . . 9
5251oveq2d 6324 . . . . . . . 8
5348, 52syl5sseq 3466 . . . . . . 7
5453sselda 3418 . . . . . 6
5554, 19syldan 478 . . . . 5 BernPoly
5647, 55fsumcl 13876 . . . 4 BernPoly
5746, 56, 36subaddd 10023 . . 3 BernPoly BernPoly BernPoly BernPoly
5844, 57mpbid 215 . 2 BernPoly BernPoly
5926, 42, 583eqtrd 2509 1 BernPoly
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 376   wceq 1452   wcel 1904  cfv 5589  (class class class)co 6308  cc 9555  cc0 9557  c1 9558   caddc 9560   cmul 9562   cmin 9880   cdiv 10291  cn 10631  cn0 10893  cz 10961  cuz 11182  cfz 11810  cexp 12310   cbc 12525  csu 13829   BernPoly cbp 14176 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-bpoly 14177 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator