Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bpolylem Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem bpolylem 14178
 Description: Lemma for bpolyval 14179. (Contributed by Scott Fenton, 22-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bpoly.1
bpoly.2 wrecs
Assertion
Ref Expression
bpolylem BernPoly BernPoly
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,,)

Proof of Theorem bpolylem
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6315 . . . . . . . . . . 11
21oveq1d 6323 . . . . . . . . . 10
32csbeq2dv 3785 . . . . . . . . 9
43mpteq2dv 4483 . . . . . . . 8
5 bpoly.1 . . . . . . . 8
64, 5syl6eqr 2523 . . . . . . 7
7 wrecseq3 7051 . . . . . . 7 wrecs wrecs
86, 7syl 17 . . . . . 6 wrecs wrecs
9 bpoly.2 . . . . . 6 wrecs
108, 9syl6eqr 2523 . . . . 5 wrecs
1110fveq1d 5881 . . . 4 wrecs
12 fveq2 5879 . . . 4
1311, 12sylan9eqr 2527 . . 3 wrecs
14 df-bpoly 14177 . . 3 BernPoly wrecs
15 fvex 5889 . . 3
1613, 14, 15ovmpt2a 6446 . 2 BernPoly
17 ltweuz 12213 . . . . 5
18 nn0uz 11217 . . . . . 6
19 weeq2 4828 . . . . . 6
2018, 19ax-mp 5 . . . . 5
2117, 20mpbir 214 . . . 4
22 nn0ex 10899 . . . . 5
23 exse 4803 . . . . 5 Se
2422, 23ax-mp 5 . . . 4 Se
2521, 24, 9wfr2 7073 . . 3
2625adantr 472 . 2
27 prednn0 11940 . . . . . 6
2827adantr 472 . . . . 5
2928reseq2d 5111 . . . 4
3029fveq2d 5883 . . 3
3121, 24, 9wfrfun 7064 . . . . . 6
32 ovex 6336 . . . . . 6
33 resfunexg 6146 . . . . . 6
3431, 32, 33mp2an 686 . . . . 5
35 dmeq 5040 . . . . . . . . . . 11
3621, 24, 9wfr1 7072 . . . . . . . . . . . . 13
37 elfznn0 11913 . . . . . . . . . . . . . 14
3837ssriv 3422 . . . . . . . . . . . . 13
39 fnssres 5699 . . . . . . . . . . . . 13
4036, 38, 39mp2an 686 . . . . . . . . . . . 12
41 fndm 5685 . . . . . . . . . . . 12
4240, 41ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11
4335, 42syl6eq 2521 . . . . . . . . . 10
44 fveq1 5878 . . . . . . . . . . . . 13
45 fvres 5893 . . . . . . . . . . . . 13
4644, 45sylan9eq 2525 . . . . . . . . . . . 12
4746oveq1d 6323 . . . . . . . . . . 11
4847oveq2d 6324 . . . . . . . . . 10
4943, 48sumeq12rdv 13850 . . . . . . . . 9
5049oveq2d 6324 . . . . . . . 8
5150csbeq2dv 3785 . . . . . . 7
5243fveq2d 5883 . . . . . . . 8
5352csbeq1d 3356 . . . . . . 7
5451, 53eqtrd 2505 . . . . . 6
55 ovex 6336 . . . . . . 7
5655csbex 4531 . . . . . 6
5754, 5, 56fvmpt 5963 . . . . 5
5834, 57ax-mp 5 . . . 4
59 nfcvd 2613 . . . . . . 7
60 oveq2 6316 . . . . . . . 8
61 oveq1 6315 . . . . . . . . . 10
62 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . 12
6362oveq1d 6323 . . . . . . . . . . 11
6463oveq2d 6324 . . . . . . . . . 10
6561, 64oveq12d 6326 . . . . . . . . 9
6665sumeq2sdv 13847 . . . . . . . 8
6760, 66oveq12d 6326 . . . . . . 7
6859, 67csbiegf 3373 . . . . . 6
6968adantr 472 . . . . 5
70 nn0z 10984 . . . . . . . . . 10
71 fz01en 11853 . . . . . . . . . 10
7270, 71syl 17 . . . . . . . . 9
73 fzfi 12223 . . . . . . . . . 10
74 fzfi 12223 . . . . . . . . . 10
75 hashen 12568 . . . . . . . . . 10
7673, 74, 75mp2an 686 . . . . . . . . 9
7772, 76sylibr 217 . . . . . . . 8
78 hashfz1 12567 . . . . . . . 8
7977, 78eqtrd 2505 . . . . . . 7
8079adantr 472 . . . . . 6
8180csbeq1d 3356 . . . . 5
82 simpr 468 . . . . . . . . . 10
83 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . 12
8411, 83sylan9eqr 2527 . . . . . . . . . . 11 wrecs
85 fvex 5889 . . . . . . . . . . 11
8684, 14, 85ovmpt2a 6446 . . . . . . . . . 10 BernPoly
8737, 82, 86syl2anr 486 . . . . . . . . 9 BernPoly
8887oveq1d 6323 . . . . . . . 8 BernPoly
8988oveq2d 6324 . . . . . . 7 BernPoly
9089sumeq2dv 13846 . . . . . 6 BernPoly
9190oveq2d 6324 . . . . 5 BernPoly
9269, 81, 913eqtr4d 2515 . . . 4 BernPoly
9358, 92syl5eq 2517 . . 3 BernPoly
9430, 93eqtrd 2505 . 2 BernPoly
9516, 26, 943eqtrd 2509 1 BernPoly BernPoly
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   wceq 1452   wcel 1904  cvv 3031  csb 3349   wss 3390   class class class wbr 4395   cmpt 4454   Se wse 4796   wwe 4797   cdm 4839   cres 4841  cpred 5386   wfun 5583   wfn 5584  cfv 5589  (class class class)co 6308  wrecscwrecs 7045   cen 7584  cfn 7587  cc 9555  cc0 9557  c1 9558   caddc 9560   cmul 9562   clt 9693   cmin 9880   cdiv 10291  cn0 10893  cz 10961  cuz 11182  cfz 11810  cexp 12310   cbc 12525  chash 12553  csu 13829   BernPoly cbp 14176 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-seq 12252  df-hash 12554  df-sum 13830  df-bpoly 14177 This theorem is referenced by:  bpolyval  14179
 Copyright terms: Public domain W3C validator