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Theorem bpolydiflem 29791
Description: Lemma for bpolydif 29792. (Contributed by Scott Fenton, 12-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bpolydiflem.1  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
bpolydiflem.2  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
bpolydiflem.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  -  ( k BernPoly  X
) )  =  ( k  x.  ( X ^ ( k  - 
1 ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
bpolydiflem  |-  ( ph  ->  ( ( N BernPoly  ( X  +  1 ) )  -  ( N BernPoly  X ) )  =  ( N  x.  ( X ^ ( N  - 
1 ) ) ) )
Distinct variable groups:    k, N    ph, k    k, X

Proof of Theorem bpolydiflem
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bpolydiflem.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
21nnnn0d 10859 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
3 bpolydiflem.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
4 peano2cn 9755 . . . . 5  |-  ( X  e.  CC  ->  ( X  +  1 )  e.  CC )
53, 4syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  +  1 )  e.  CC )
6 bpolyval 29786 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( X  +  1
)  e.  CC )  ->  ( N BernPoly  ( X  +  1 ) )  =  ( ( ( X  +  1 ) ^ N )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) ) )
72, 5, 6syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N BernPoly  ( X  +  1 ) )  =  ( ( ( X  +  1 ) ^ N )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  ( X  + 
1 ) )  / 
( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) ) )
8 bpolyval 29786 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  X  e.  CC )  ->  ( N BernPoly  X )  =  ( ( X ^ N )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( N  -  k
)  +  1 ) ) ) ) )
92, 3, 8syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N BernPoly  X )  =  ( ( X ^ N )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( N  -  k
)  +  1 ) ) ) ) )
107, 9oveq12d 6299 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( N BernPoly  ( X  +  1 ) )  -  ( N BernPoly  X ) )  =  ( ( ( ( X  +  1 ) ^ N )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  ( X  + 
1 ) )  / 
( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) )  -  ( ( X ^ N )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( N  -  k
)  +  1 ) ) ) ) ) )
115, 2expcld 12291 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( X  + 
1 ) ^ N
)  e.  CC )
12 fzfid 12064 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  e.  Fin )
13 elfzelz 11698 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  k  e.  ZZ )
14 bccl 12381 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( N  _C  k
)  e.  NN0 )
152, 13, 14syl2an 477 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( N  _C  k )  e. 
NN0 )
1615nn0cnd 10861 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( N  _C  k )  e.  CC )
17 elfznn0 11781 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  k  e.  NN0 )
18 bpolycl 29789 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( X  +  1
)  e.  CC )  ->  ( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  e.  CC )
1917, 5, 18syl2anr 478 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
k BernPoly  ( X  +  1 ) )  e.  CC )
20 fzssp1 11736 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  C_  ( 0 ... (
( N  -  1 )  +  1 ) )
211nncnd 10559 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
22 ax-1cn 9553 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  CC
23 npcan 9834 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
2421, 22, 23sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
2524oveq2d 6297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 0 ... (
( N  -  1 )  +  1 ) )  =  ( 0 ... N ) )
2620, 25syl5sseq 3537 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  C_  ( 0 ... N ) )
2726sselda 3489 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  k  e.  ( 0 ... N
) )
28 fznn0sub 11726 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  -  k )  e.  NN0 )
2927, 28syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( N  -  k )  e.  NN0 )
30 nn0p1nn 10842 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  -  k )  e.  NN0  ->  ( ( N  -  k )  +  1 )  e.  NN )
3129, 30syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( N  -  k
)  +  1 )  e.  NN )
3231nncnd 10559 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( N  -  k
)  +  1 )  e.  CC )
3331nnne0d 10587 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( N  -  k
)  +  1 )  =/=  0 )
3419, 32, 33divcld 10327 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) )  e.  CC )
3516, 34mulcld 9619 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( N  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  ( X  + 
1 ) )  / 
( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  e.  CC )
3612, 35fsumcl 13536 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  e.  CC )
373, 2expcld 12291 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X ^ N
)  e.  CC )
38 bpolycl 29789 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  X  e.  CC )  ->  ( k BernPoly  X )  e.  CC )
3917, 3, 38syl2anr 478 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
k BernPoly  X )  e.  CC )
4039, 32, 33divcld 10327 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( k BernPoly  X )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) )  e.  CC )
4116, 40mulcld 9619 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( N  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( N  -  k
)  +  1 ) ) )  e.  CC )
4212, 41fsumcl 13536 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  X )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  e.  CC )
4311, 36, 37, 42sub4d 9985 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  +  1 ) ^ N )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  ( X  + 
1 ) )  / 
( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) )  -  ( ( X ^ N )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( N  -  k
)  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( X  +  1 ) ^ N )  -  ( X ^ N ) )  -  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  X )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) ) ) )
44 addcom 9769 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( X  +  1 )  =  ( 1  +  X ) )
453, 22, 44sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( X  +  1 )  =  ( 1  +  X ) )
4645oveq1d 6296 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( X  + 
1 ) ^ N
)  =  ( ( 1  +  X ) ^ N ) )
47 binom1p 13624 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  +  X ) ^ N
)  =  sum_ m  e.  ( 0 ... N
) ( ( N  _C  m )  x.  ( X ^ m
) ) )
483, 2, 47syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  X ) ^ N
)  =  sum_ m  e.  ( 0 ... N
) ( ( N  _C  m )  x.  ( X ^ m
) ) )
4946, 48eqtrd 2484 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( X  + 
1 ) ^ N
)  =  sum_ m  e.  ( 0 ... N
) ( ( N  _C  m )  x.  ( X ^ m
) ) )
50 nn0uz 11125 . . . . . . . . . 10  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
512, 50syl6eleq 2541 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
52 bccl2 12382 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  _C  m )  e.  NN )
5352adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( N  _C  m )  e.  NN )
5453nncnd 10559 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( N  _C  m )  e.  CC )
55 elfznn0 11781 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  ( 0 ... N )  ->  m  e.  NN0 )
56 expcl 12165 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  CC  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( X ^ m
)  e.  CC )
573, 55, 56syl2an 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( X ^ m )  e.  CC )
5854, 57mulcld 9619 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( N  _C  m
)  x.  ( X ^ m ) )  e.  CC )
59 oveq2 6289 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  N  ->  ( N  _C  m )  =  ( N  _C  N
) )
60 oveq2 6289 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  N  ->  ( X ^ m )  =  ( X ^ N
) )
6159, 60oveq12d 6299 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  N  ->  (
( N  _C  m
)  x.  ( X ^ m ) )  =  ( ( N  _C  N )  x.  ( X ^ N
) ) )
6251, 58, 61fsumm1 13547 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  (
0 ... N ) ( ( N  _C  m
)  x.  ( X ^ m ) )  =  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  m )  x.  ( X ^ m
) )  +  ( ( N  _C  N
)  x.  ( X ^ N ) ) ) )
63 bcnn 12371 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  _C  N )  =  1 )
642, 63syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( N  _C  N
)  =  1 )
6564oveq1d 6296 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( N  _C  N )  x.  ( X ^ N ) )  =  ( 1  x.  ( X ^ N
) ) )
6637mulid2d 9617 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  ( X ^ N ) )  =  ( X ^ N ) )
6765, 66eqtrd 2484 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( N  _C  N )  x.  ( X ^ N ) )  =  ( X ^ N ) )
6867oveq2d 6297 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  m )  x.  ( X ^ m ) )  +  ( ( N  _C  N )  x.  ( X ^ N
) ) )  =  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  m )  x.  ( X ^ m ) )  +  ( X ^ N ) ) )
6949, 62, 683eqtrd 2488 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( X  + 
1 ) ^ N
)  =  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  m )  x.  ( X ^
m ) )  +  ( X ^ N
) ) )
7069oveq1d 6296 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  +  1 ) ^ N )  -  ( X ^ N ) )  =  ( ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  m )  x.  ( X ^
m ) )  +  ( X ^ N
) )  -  ( X ^ N ) ) )
7126sselda 3489 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  m  e.  ( 0 ... N
) )
7271, 58syldan 470 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( N  _C  m
)  x.  ( X ^ m ) )  e.  CC )
7312, 72fsumcl 13536 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( N  _C  m
)  x.  ( X ^ m ) )  e.  CC )
7473, 37pncand 9937 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  m )  x.  ( X ^ m
) )  +  ( X ^ N ) )  -  ( X ^ N ) )  =  sum_ m  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  m )  x.  ( X ^ m ) ) )
7570, 74eqtrd 2484 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  +  1 ) ^ N )  -  ( X ^ N ) )  =  sum_ m  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  m )  x.  ( X ^ m ) ) )
76 nnm1nn0 10844 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
771, 76syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
7877, 50syl6eleq 2541 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
79 oveq2 6289 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( N  - 
1 )  ->  ( N  _C  m )  =  ( N  _C  ( N  -  1 ) ) )
80 oveq2 6289 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( N  - 
1 )  ->  ( X ^ m )  =  ( X ^ ( N  -  1 ) ) )
8179, 80oveq12d 6299 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( N  - 
1 )  ->  (
( N  _C  m
)  x.  ( X ^ m ) )  =  ( ( N  _C  ( N  - 
1 ) )  x.  ( X ^ ( N  -  1 ) ) ) )
8278, 72, 81fsumm1 13547 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( N  _C  m
)  x.  ( X ^ m ) )  =  ( sum_ m  e.  ( 0 ... (
( N  -  1 )  -  1 ) ) ( ( N  _C  m )  x.  ( X ^ m
) )  +  ( ( N  _C  ( N  -  1 ) )  x.  ( X ^ ( N  - 
1 ) ) ) ) )
83 1cnd 9615 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
8421, 83, 83subsub4d 9967 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( N  - 
1 )  -  1 )  =  ( N  -  ( 1  +  1 ) ) )
85 df-2 10601 . . . . . . . . . 10  |-  2  =  ( 1  +  1 )
8685oveq2i 6292 . . . . . . . . 9  |-  ( N  -  2 )  =  ( N  -  (
1  +  1 ) )
8784, 86syl6eqr 2502 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( N  - 
1 )  -  1 )  =  ( N  -  2 ) )
8887oveq2d 6297 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0 ... (
( N  -  1 )  -  1 ) )  =  ( 0 ... ( N  - 
2 ) ) )
8988sumeq1d 13504 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  (
0 ... ( ( N  -  1 )  - 
1 ) ) ( ( N  _C  m
)  x.  ( X ^ m ) )  =  sum_ m  e.  ( 0 ... ( N  -  2 ) ) ( ( N  _C  m )  x.  ( X ^ m ) ) )
90 bcnm1 29086 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  _C  ( N  - 
1 ) )  =  N )
912, 90syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N  _C  ( N  -  1 ) )  =  N )
9291oveq1d 6296 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( N  _C  ( N  -  1
) )  x.  ( X ^ ( N  - 
1 ) ) )  =  ( N  x.  ( X ^ ( N  -  1 ) ) ) )
9389, 92oveq12d 6299 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( ( N  -  1 )  -  1 ) ) ( ( N  _C  m )  x.  ( X ^ m ) )  +  ( ( N  _C  ( N  - 
1 ) )  x.  ( X ^ ( N  -  1 ) ) ) )  =  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( N  -  2 ) ) ( ( N  _C  m )  x.  ( X ^ m ) )  +  ( N  x.  ( X ^ ( N  -  1 ) ) ) ) )
9475, 82, 933eqtrd 2488 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  +  1 ) ^ N )  -  ( X ^ N ) )  =  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( N  -  2 ) ) ( ( N  _C  m )  x.  ( X ^ m
) )  +  ( N  x.  ( X ^ ( N  - 
1 ) ) ) ) )
95 oveq2 6289 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  0  ->  ( N  _C  k )  =  ( N  _C  0
) )
96 oveq1 6288 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  0  ->  (
k BernPoly  ( X  +  1 ) )  =  ( 0 BernPoly  ( X  + 
1 ) ) )
97 oveq2 6289 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  0  ->  ( N  -  k )  =  ( N  - 
0 ) )
9897oveq1d 6296 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  0  ->  (
( N  -  k
)  +  1 )  =  ( ( N  -  0 )  +  1 ) )
9996, 98oveq12d 6299 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  0  ->  (
( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) )  =  ( ( 0 BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  0 )  +  1 ) ) )
10095, 99oveq12d 6299 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  0  ->  (
( N  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  ( X  + 
1 ) )  / 
( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( N  _C  0 )  x.  (
( 0 BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  0 )  +  1 ) ) ) )
10178, 35, 100fsum1p 13549 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( N  _C  0 )  x.  ( ( 0 BernPoly  ( X  +  1
) )  /  (
( N  -  0 )  +  1 ) ) )  +  sum_ k  e.  ( (
0  +  1 ) ... ( N  - 
1 ) ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  ( X  + 
1 ) )  / 
( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) ) )
102 bpoly0 29787 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  +  1 )  e.  CC  ->  (
0 BernPoly  ( X  +  1 ) )  =  1 )
1035, 102syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 0 BernPoly  ( X  +  1 ) )  =  1 )
104103oveq1d 6296 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 0 BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  0 )  +  1 ) )  =  ( 1  / 
( ( N  - 
0 )  +  1 ) ) )
105104oveq2d 6297 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( N  _C  0 )  x.  (
( 0 BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  0 )  +  1 ) ) )  =  ( ( N  _C  0 )  x.  ( 1  /  (
( N  -  0 )  +  1 ) ) ) )
106105oveq1d 6296 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  _C  0 )  x.  ( ( 0 BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  0 )  +  1 ) ) )  +  sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( N  _C  0 )  x.  (
1  /  ( ( N  -  0 )  +  1 ) ) )  +  sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) ) )
107101, 106eqtrd 2484 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( N  _C  0 )  x.  ( 1  / 
( ( N  - 
0 )  +  1 ) ) )  + 
sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) ) )
108 oveq1 6288 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  0  ->  (
k BernPoly  X )  =  ( 0 BernPoly  X ) )
109108, 98oveq12d 6299 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  0  ->  (
( k BernPoly  X )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) )  =  ( ( 0 BernPoly  X
)  /  ( ( N  -  0 )  +  1 ) ) )
11095, 109oveq12d 6299 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  0  ->  (
( N  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( N  -  k
)  +  1 ) ) )  =  ( ( N  _C  0
)  x.  ( ( 0 BernPoly  X )  /  (
( N  -  0 )  +  1 ) ) ) )
11178, 41, 110fsum1p 13549 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  X )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( N  _C  0 )  x.  ( ( 0 BernPoly  X )  /  (
( N  -  0 )  +  1 ) ) )  +  sum_ k  e.  ( (
0  +  1 ) ... ( N  - 
1 ) ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( N  -  k
)  +  1 ) ) ) ) )
112 bpoly0 29787 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  CC  ->  (
0 BernPoly  X )  =  1 )
1133, 112syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 0 BernPoly  X )  =  1 )
114113oveq1d 6296 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 0 BernPoly  X
)  /  ( ( N  -  0 )  +  1 ) )  =  ( 1  / 
( ( N  - 
0 )  +  1 ) ) )
115114oveq2d 6297 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( N  _C  0 )  x.  (
( 0 BernPoly  X )  /  ( ( N  -  0 )  +  1 ) ) )  =  ( ( N  _C  0 )  x.  ( 1  /  (
( N  -  0 )  +  1 ) ) ) )
116115oveq1d 6296 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  _C  0 )  x.  ( ( 0 BernPoly  X
)  /  ( ( N  -  0 )  +  1 ) ) )  +  sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( N  _C  0 )  x.  (
1  /  ( ( N  -  0 )  +  1 ) ) )  +  sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) ) )
117111, 116eqtrd 2484 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  X )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( N  _C  0 )  x.  ( 1  / 
( ( N  - 
0 )  +  1 ) ) )  + 
sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  X )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) ) )
118107, 117oveq12d 6299 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  X )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( ( N  _C  0 )  x.  (
1  /  ( ( N  -  0 )  +  1 ) ) )  +  sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) )  -  (
( ( N  _C  0 )  x.  (
1  /  ( ( N  -  0 )  +  1 ) ) )  +  sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) ) ) )
119 0z 10882 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  ZZ
120 bccl 12381 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( N  _C  0
)  e.  NN0 )
1212, 119, 120sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N  _C  0
)  e.  NN0 )
122121nn0cnd 10861 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N  _C  0
)  e.  CC )
12321subid1d 9925 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( N  -  0 )  =  N )
124123, 1eqeltrd 2531 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N  -  0 )  e.  NN )
125124peano2nnd 10560 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( N  - 
0 )  +  1 )  e.  NN )
126125nnrecred 10588 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  /  (
( N  -  0 )  +  1 ) )  e.  RR )
127126recnd 9625 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  /  (
( N  -  0 )  +  1 ) )  e.  CC )
128122, 127mulcld 9619 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( N  _C  0 )  x.  (
1  /  ( ( N  -  0 )  +  1 ) ) )  e.  CC )
129 fzfid 12064 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) )  e.  Fin )
130 fzp1ss 11741 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) 
C_  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )
131119, 130ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  - 
1 ) )  C_  ( 0 ... ( N  -  1 ) )
132131sseli 3485 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) )  ->  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )
133132, 35sylan2 474 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( N  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  ( X  + 
1 ) )  / 
( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  e.  CC )
134129, 133fsumcl 13536 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  e.  CC )
135132, 41sylan2 474 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( N  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( N  -  k
)  +  1 ) ) )  e.  CC )
136129, 135fsumcl 13536 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  X )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  e.  CC )
137128, 134, 136pnpcand 9973 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( N  _C  0 )  x.  ( 1  / 
( ( N  - 
0 )  +  1 ) ) )  + 
sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) )  -  ( ( ( N  _C  0
)  x.  ( 1  /  ( ( N  -  0 )  +  1 ) ) )  +  sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  X )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) ) )  =  (
sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  -  sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  X )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) ) )
138 1zzd 10902 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
139 0zd 10883 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
1401nnzd 10974 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
141 2z 10903 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  ZZ
142 zsubcl 10913 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  ->  ( N  -  2 )  e.  ZZ )
143140, 141, 142sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N  -  2 )  e.  ZZ )
144 fzssp1 11736 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 ... ( N  - 
2 ) )  C_  ( 0 ... (
( N  -  2 )  +  1 ) )
145 2m1e1 10657 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  -  1 )  =  1
146145oveq2i 6292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  -  ( 2  -  1 ) )  =  ( N  -  1 )
147 2cnd 10615 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
14821, 147, 83subsubd 9964 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( N  -  (
2  -  1 ) )  =  ( ( N  -  2 )  +  1 ) )
149146, 148syl5reqr 2499 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( N  - 
2 )  +  1 )  =  ( N  -  1 ) )
150149oveq2d 6297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 0 ... (
( N  -  2 )  +  1 ) )  =  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) )
151144, 150syl5sseq 3537 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 0 ... ( N  -  2 ) )  C_  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) )
152151sselda 3489 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 0 ... ( N  -  2 ) ) )  ->  m  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )
153152, 72syldan 470 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 0 ... ( N  -  2 ) ) )  ->  (
( N  _C  m
)  x.  ( X ^ m ) )  e.  CC )
154 oveq2 6289 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( k  - 
1 )  ->  ( N  _C  m )  =  ( N  _C  (
k  -  1 ) ) )
155 oveq2 6289 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( k  - 
1 )  ->  ( X ^ m )  =  ( X ^ (
k  -  1 ) ) )
156154, 155oveq12d 6299 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( k  - 
1 )  ->  (
( N  _C  m
)  x.  ( X ^ m ) )  =  ( ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  x.  ( X ^ (
k  -  1 ) ) ) )
157138, 139, 143, 153, 156fsumshft 13576 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  (
0 ... ( N  - 
2 ) ) ( ( N  _C  m
)  x.  ( X ^ m ) )  =  sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( ( N  -  2 )  +  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  - 
1 ) ) ) )
158149oveq2d 6297 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 0  +  1 ) ... (
( N  -  2 )  +  1 ) )  =  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  - 
1 ) ) )
159158sumeq1d 13504 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( ( N  -  2 )  +  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  - 
1 ) ) )  =  sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  - 
1 ) ) ) )
160157, 159eqtrd 2484 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  (
0 ... ( N  - 
2 ) ) ( ( N  _C  m
)  x.  ( X ^ m ) )  =  sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  - 
1 ) ) ) )
161 0p1e1 10654 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  +  1 )  =  1
162161oveq1i 6291 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  - 
1 ) )  =  ( 1 ... ( N  -  1 ) )
163162eleq2i 2521 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) )  <->  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )
164 fzssp1 11736 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1 ... ( N  - 
1 ) )  C_  ( 1 ... (
( N  -  1 )  +  1 ) )
16524oveq2d 6297 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 1 ... (
( N  -  1 )  +  1 ) )  =  ( 1 ... N ) )
166164, 165syl5sseq 3537 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  C_  ( 1 ... N ) )
167166sselda 3489 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  k  e.  ( 1 ... N
) )
168 bcm1k 12374 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  ( N  _C  k )  =  ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( N  -  (
k  -  1 ) )  /  k ) ) )
169167, 168syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( N  _C  k )  =  ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( N  -  (
k  -  1 ) )  /  k ) ) )
1701adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  N  e.  NN )
171170nncnd 10559 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  N  e.  CC )
172 elfznn 11724 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  k  e.  NN )
173172adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  k  e.  NN )
174173nncnd 10559 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  k  e.  CC )
175 1cnd 9615 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  1  e.  CC )
176171, 174, 175subsubd 9964 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( N  -  ( k  -  1 ) )  =  ( ( N  -  k )  +  1 ) )
177176oveq1d 6296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( N  -  (
k  -  1 ) )  /  k )  =  ( ( ( N  -  k )  +  1 )  / 
k ) )
178177oveq2d 6297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( N  _C  (
k  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  ( k  -  1 ) )  /  k ) )  =  ( ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  x.  ( ( ( N  -  k )  +  1 )  /  k
) ) )
179169, 178eqtrd 2484 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( N  _C  k )  =  ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( ( N  -  k )  +  1 )  /  k ) ) )
180 bpolydiflem.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  -  ( k BernPoly  X
) )  =  ( k  x.  ( X ^ ( k  - 
1 ) ) ) )
181180oveq1d 6296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( ( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  -  ( k BernPoly  X ) )  / 
( ( N  -  k )  +  1 ) )  =  ( ( k  x.  ( X ^ ( k  - 
1 ) ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )
182163, 132sylbir 213 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )
183182, 19sylan2 474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
k BernPoly  ( X  +  1 ) )  e.  CC )
184182, 39sylan2 474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
k BernPoly  X )  e.  CC )
185182, 32sylan2 474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( N  -  k
)  +  1 )  e.  CC )
186182, 33sylan2 474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( N  -  k
)  +  1 )  =/=  0 )
187183, 184, 185, 186divsubdird 10366 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( ( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  -  ( k BernPoly  X ) )  / 
( ( N  -  k )  +  1 ) )  =  ( ( ( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) )  -  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( N  -  k
)  +  1 ) ) ) )
1883adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  X  e.  CC )
189 nnm1nn0 10844 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  -  1 )  e.  NN0 )
190173, 189syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
k  -  1 )  e.  NN0 )
191188, 190expcld 12291 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( X ^ ( k  - 
1 ) )  e.  CC )
192174, 191, 185, 186div23d 10364 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( k  x.  ( X ^ ( k  - 
1 ) ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) )  =  ( ( k  / 
( ( N  -  k )  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  - 
1 ) ) ) )
193181, 187, 1923eqtr3d 2492 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( ( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) )  -  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( N  -  k
)  +  1 ) ) )  =  ( ( k  /  (
( N  -  k
)  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  - 
1 ) ) ) )
194179, 193oveq12d 6299 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( N  _C  k
)  x.  ( ( ( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) )  -  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( ( N  -  k )  +  1 )  /  k ) )  x.  ( ( k  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) )  x.  ( X ^
( k  -  1 ) ) ) ) )
195182, 16sylan2 474 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( N  _C  k )  e.  CC )
196183, 185, 186divcld 10327 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) )  e.  CC )
197184, 185, 186divcld 10327 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( k BernPoly  X )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) )  e.  CC )
198195, 196, 197subdid 10019 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( N  _C  k
)  x.  ( ( ( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) )  -  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  -  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) ) )
199170nnnn0d 10859 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  N  e.  NN0 )
200190nn0zd 10973 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
k  -  1 )  e.  ZZ )
201 bccl 12381 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( k  -  1 )  e.  ZZ )  ->  ( N  _C  ( k  -  1 ) )  e.  NN0 )
202199, 200, 201syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  e. 
NN0 )
203202nn0cnd 10861 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  e.  CC )
204173nnne0d 10587 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  k  =/=  0 )
205185, 174, 204divcld 10327 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( ( N  -  k )  +  1 )  /  k )  e.  CC )
206174, 185, 186divcld 10327 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
k  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) )  e.  CC )
207206, 191mulcld 9619 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( k  /  (
( N  -  k
)  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  - 
1 ) ) )  e.  CC )
208203, 205, 207mulassd 9622 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( ( N  -  k )  +  1 )  /  k ) )  x.  ( ( k  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) )  x.  ( X ^
( k  -  1 ) ) ) )  =  ( ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  x.  ( ( ( ( N  -  k )  +  1 )  / 
k )  x.  (
( k  /  (
( N  -  k
)  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  - 
1 ) ) ) ) ) )
209185, 174, 186, 204divcan6d 10346 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( ( ( N  -  k )  +  1 )  /  k
)  x.  ( k  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  =  1 )
210209oveq1d 6296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( ( ( ( N  -  k )  +  1 )  / 
k )  x.  (
k  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  x.  ( X ^ ( k  - 
1 ) ) )  =  ( 1  x.  ( X ^ (
k  -  1 ) ) ) )
211205, 206, 191mulassd 9622 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( ( ( ( N  -  k )  +  1 )  / 
k )  x.  (
k  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  x.  ( X ^ ( k  - 
1 ) ) )  =  ( ( ( ( N  -  k
)  +  1 )  /  k )  x.  ( ( k  / 
( ( N  -  k )  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  - 
1 ) ) ) ) )
212191mulid2d 9617 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
1  x.  ( X ^ ( k  - 
1 ) ) )  =  ( X ^
( k  -  1 ) ) )
213210, 211, 2123eqtr3d 2492 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( ( ( N  -  k )  +  1 )  /  k
)  x.  ( ( k  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) )  x.  ( X ^
( k  -  1 ) ) ) )  =  ( X ^
( k  -  1 ) ) )
214213oveq2d 6297 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( N  _C  (
k  -  1 ) )  x.  ( ( ( ( N  -  k )  +  1 )  /  k )  x.  ( ( k  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) )  x.  ( X ^ (
k  -  1 ) ) ) ) )  =  ( ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  x.  ( X ^ (
k  -  1 ) ) ) )
215208, 214eqtrd 2484 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( ( N  -  k )  +  1 )  /  k ) )  x.  ( ( k  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) )  x.  ( X ^
( k  -  1 ) ) ) )  =  ( ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  x.  ( X ^ (
k  -  1 ) ) ) )
216194, 198, 2153eqtr3d 2492 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  -  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( N  _C  (
k  -  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  - 
1 ) ) ) )
217163, 216sylan2b 475 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  -  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( N  _C  (
k  -  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  - 
1 ) ) ) )
218217sumeq2dv 13506 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( ( N  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  -  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( N  -  k
)  +  1 ) ) ) )  = 
sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  - 
1 ) ) ) )
219129, 133, 135fsumsub 13584 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( ( N  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  -  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( N  -  k
)  +  1 ) ) ) )  =  ( sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  -  sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  X )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) ) )
220160, 218, 2193eqtr2rd 2491 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  -  sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  X )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) )  =  sum_ m  e.  ( 0 ... ( N  -  2 ) ) ( ( N  _C  m )  x.  ( X ^ m
) ) )
221118, 137, 2203eqtrd 2488 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  X )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) )  =  sum_ m  e.  ( 0 ... ( N  -  2 ) ) ( ( N  _C  m )  x.  ( X ^ m
) ) )
22294, 221oveq12d 6299 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  +  1 ) ^ N )  -  ( X ^ N ) )  -  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  ( X  + 
1 ) )  / 
( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( N  -  k
)  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( N  -  2 ) ) ( ( N  _C  m )  x.  ( X ^
m ) )  +  ( N  x.  ( X ^ ( N  - 
1 ) ) ) )  -  sum_ m  e.  ( 0 ... ( N  -  2 ) ) ( ( N  _C  m )  x.  ( X ^ m
) ) ) )
223 fzfid 12064 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0 ... ( N  -  2 ) )  e.  Fin )
224223, 153fsumcl 13536 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  (
0 ... ( N  - 
2 ) ) ( ( N  _C  m
)  x.  ( X ^ m ) )  e.  CC )
2253, 77expcld 12291 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X ^ ( N  -  1 ) )  e.  CC )
22621, 225mulcld 9619 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N  x.  ( X ^ ( N  - 
1 ) ) )  e.  CC )
227224, 226pncan2d 9938 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( N  -  2 ) ) ( ( N  _C  m )  x.  ( X ^ m
) )  +  ( N  x.  ( X ^ ( N  - 
1 ) ) ) )  -  sum_ m  e.  ( 0 ... ( N  -  2 ) ) ( ( N  _C  m )  x.  ( X ^ m
) ) )  =  ( N  x.  ( X ^ ( N  - 
1 ) ) ) )
228222, 227eqtrd 2484 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  +  1 ) ^ N )  -  ( X ^ N ) )  -  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  ( X  + 
1 ) )  / 
( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( N  -  k
)  +  1 ) ) ) ) )  =  ( N  x.  ( X ^ ( N  -  1 ) ) ) )
22910, 43, 2283eqtrd 2488 1  |-  ( ph  ->  ( ( N BernPoly  ( X  +  1 ) )  -  ( N BernPoly  X ) )  =  ( N  x.  ( X ^ ( N  - 
1 ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804    =/= wne 2638    C_ wss 3461   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   CCcc 9493   0cc0 9495   1c1 9496    + caddc 9498    x. cmul 9500    - cmin 9810    / cdiv 10213   NNcn 10543   2c2 10592   NN0cn0 10802   ZZcz 10871   ZZ>=cuz 11091   ...cfz 11682   ^cexp 12147    _C cbc 12361   sum_csu 13489   BernPoly cbp 29783
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11092  df-rp 11231  df-fz 11683  df-fzo 11806  df-seq 12089  df-exp 12148  df-fac 12335  df-bc 12362  df-hash 12387  df-cj 12913  df-re 12914  df-im 12915  df-sqrt 13049  df-abs 13050  df-clim 13292  df-sum 13490  df-pred 29219  df-wrecs 29311  df-bpoly 29784
This theorem is referenced by:  bpolydif  29792
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