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Theorem bpolydiflem 28126
Description: Lemma for bpolydif 28127. (Contributed by Scott Fenton, 12-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bpolydiflem.1  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
bpolydiflem.2  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
bpolydiflem.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  -  ( k BernPoly  X
) )  =  ( k  x.  ( X ^ ( k  - 
1 ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
bpolydiflem  |-  ( ph  ->  ( ( N BernPoly  ( X  +  1 ) )  -  ( N BernPoly  X ) )  =  ( N  x.  ( X ^ ( N  - 
1 ) ) ) )
Distinct variable groups:    k, N    ph, k    k, X

Proof of Theorem bpolydiflem
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bpolydiflem.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
21nnnn0d 10632 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
3 bpolydiflem.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
4 peano2cn 9537 . . . . 5  |-  ( X  e.  CC  ->  ( X  +  1 )  e.  CC )
53, 4syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  +  1 )  e.  CC )
6 bpolyval 28121 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( X  +  1
)  e.  CC )  ->  ( N BernPoly  ( X  +  1 ) )  =  ( ( ( X  +  1 ) ^ N )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) ) )
72, 5, 6syl2anc 656 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N BernPoly  ( X  +  1 ) )  =  ( ( ( X  +  1 ) ^ N )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  ( X  + 
1 ) )  / 
( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) ) )
8 bpolyval 28121 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  X  e.  CC )  ->  ( N BernPoly  X )  =  ( ( X ^ N )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( N  -  k
)  +  1 ) ) ) ) )
92, 3, 8syl2anc 656 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N BernPoly  X )  =  ( ( X ^ N )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( N  -  k
)  +  1 ) ) ) ) )
107, 9oveq12d 6108 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( N BernPoly  ( X  +  1 ) )  -  ( N BernPoly  X ) )  =  ( ( ( ( X  +  1 ) ^ N )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  ( X  + 
1 ) )  / 
( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) )  -  ( ( X ^ N )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( N  -  k
)  +  1 ) ) ) ) ) )
115, 2expcld 12004 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( X  + 
1 ) ^ N
)  e.  CC )
12 fzfid 11791 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  e.  Fin )
13 elfzelz 11449 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  k  e.  ZZ )
14 bccl 12094 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( N  _C  k
)  e.  NN0 )
152, 13, 14syl2an 474 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( N  _C  k )  e. 
NN0 )
1615nn0cnd 10634 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( N  _C  k )  e.  CC )
17 elfznn0 11477 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  k  e.  NN0 )
18 bpolycl 28124 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( X  +  1
)  e.  CC )  ->  ( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  e.  CC )
1917, 5, 18syl2anr 475 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
k BernPoly  ( X  +  1 ) )  e.  CC )
20 fzssp1 11497 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  C_  ( 0 ... (
( N  -  1 )  +  1 ) )
211nncnd 10334 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
22 ax-1cn 9336 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  CC
23 npcan 9615 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
2421, 22, 23sylancl 657 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
2524oveq2d 6106 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 0 ... (
( N  -  1 )  +  1 ) )  =  ( 0 ... N ) )
2620, 25syl5sseq 3401 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  C_  ( 0 ... N ) )
2726sselda 3353 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  k  e.  ( 0 ... N
) )
28 fznn0sub 11483 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  -  k )  e.  NN0 )
2927, 28syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( N  -  k )  e.  NN0 )
30 nn0p1nn 10615 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  -  k )  e.  NN0  ->  ( ( N  -  k )  +  1 )  e.  NN )
3129, 30syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( N  -  k
)  +  1 )  e.  NN )
3231nncnd 10334 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( N  -  k
)  +  1 )  e.  CC )
3331nnne0d 10362 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( N  -  k
)  +  1 )  =/=  0 )
3419, 32, 33divcld 10103 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) )  e.  CC )
3516, 34mulcld 9402 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( N  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  ( X  + 
1 ) )  / 
( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  e.  CC )
3612, 35fsumcl 13206 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  e.  CC )
373, 2expcld 12004 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X ^ N
)  e.  CC )
38 bpolycl 28124 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  X  e.  CC )  ->  ( k BernPoly  X )  e.  CC )
3917, 3, 38syl2anr 475 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
k BernPoly  X )  e.  CC )
4039, 32, 33divcld 10103 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( k BernPoly  X )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) )  e.  CC )
4116, 40mulcld 9402 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( N  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( N  -  k
)  +  1 ) ) )  e.  CC )
4212, 41fsumcl 13206 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  X )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  e.  CC )
4311, 36, 37, 42sub4d 9764 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  +  1 ) ^ N )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  ( X  + 
1 ) )  / 
( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) )  -  ( ( X ^ N )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( N  -  k
)  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( X  +  1 ) ^ N )  -  ( X ^ N ) )  -  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  X )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) ) ) )
44 addcom 9551 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( X  +  1 )  =  ( 1  +  X ) )
453, 22, 44sylancl 657 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( X  +  1 )  =  ( 1  +  X ) )
4645oveq1d 6105 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( X  + 
1 ) ^ N
)  =  ( ( 1  +  X ) ^ N ) )
47 binom1p 13290 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  +  X ) ^ N
)  =  sum_ m  e.  ( 0 ... N
) ( ( N  _C  m )  x.  ( X ^ m
) ) )
483, 2, 47syl2anc 656 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  X ) ^ N
)  =  sum_ m  e.  ( 0 ... N
) ( ( N  _C  m )  x.  ( X ^ m
) ) )
4946, 48eqtrd 2473 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( X  + 
1 ) ^ N
)  =  sum_ m  e.  ( 0 ... N
) ( ( N  _C  m )  x.  ( X ^ m
) ) )
50 nn0uz 10891 . . . . . . . . . 10  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
512, 50syl6eleq 2531 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
52 bccl2 12095 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  _C  m )  e.  NN )
5352adantl 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( N  _C  m )  e.  NN )
5453nncnd 10334 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( N  _C  m )  e.  CC )
55 elfznn0 11477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  ( 0 ... N )  ->  m  e.  NN0 )
56 expcl 11879 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  CC  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( X ^ m
)  e.  CC )
573, 55, 56syl2an 474 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( X ^ m )  e.  CC )
5854, 57mulcld 9402 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( N  _C  m
)  x.  ( X ^ m ) )  e.  CC )
59 oveq2 6098 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  N  ->  ( N  _C  m )  =  ( N  _C  N
) )
60 oveq2 6098 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  N  ->  ( X ^ m )  =  ( X ^ N
) )
6159, 60oveq12d 6108 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  N  ->  (
( N  _C  m
)  x.  ( X ^ m ) )  =  ( ( N  _C  N )  x.  ( X ^ N
) ) )
6251, 58, 61fsumm1 13216 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  (
0 ... N ) ( ( N  _C  m
)  x.  ( X ^ m ) )  =  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  m )  x.  ( X ^ m
) )  +  ( ( N  _C  N
)  x.  ( X ^ N ) ) ) )
63 bcnn 12084 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  _C  N )  =  1 )
642, 63syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( N  _C  N
)  =  1 )
6564oveq1d 6105 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( N  _C  N )  x.  ( X ^ N ) )  =  ( 1  x.  ( X ^ N
) ) )
6637mulid2d 9400 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  ( X ^ N ) )  =  ( X ^ N ) )
6765, 66eqtrd 2473 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( N  _C  N )  x.  ( X ^ N ) )  =  ( X ^ N ) )
6867oveq2d 6106 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  m )  x.  ( X ^ m ) )  +  ( ( N  _C  N )  x.  ( X ^ N
) ) )  =  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  m )  x.  ( X ^ m ) )  +  ( X ^ N ) ) )
6949, 62, 683eqtrd 2477 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( X  + 
1 ) ^ N
)  =  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  m )  x.  ( X ^
m ) )  +  ( X ^ N
) ) )
7069oveq1d 6105 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  +  1 ) ^ N )  -  ( X ^ N ) )  =  ( ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  m )  x.  ( X ^
m ) )  +  ( X ^ N
) )  -  ( X ^ N ) ) )
7126sselda 3353 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  m  e.  ( 0 ... N
) )
7271, 58syldan 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( N  _C  m
)  x.  ( X ^ m ) )  e.  CC )
7312, 72fsumcl 13206 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( N  _C  m
)  x.  ( X ^ m ) )  e.  CC )
7473, 37pncand 9716 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  m )  x.  ( X ^ m
) )  +  ( X ^ N ) )  -  ( X ^ N ) )  =  sum_ m  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  m )  x.  ( X ^ m ) ) )
7570, 74eqtrd 2473 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  +  1 ) ^ N )  -  ( X ^ N ) )  =  sum_ m  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  m )  x.  ( X ^ m ) ) )
76 nnm1nn0 10617 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
771, 76syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
7877, 50syl6eleq 2531 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
79 oveq2 6098 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( N  - 
1 )  ->  ( N  _C  m )  =  ( N  _C  ( N  -  1 ) ) )
80 oveq2 6098 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( N  - 
1 )  ->  ( X ^ m )  =  ( X ^ ( N  -  1 ) ) )
8179, 80oveq12d 6108 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( N  - 
1 )  ->  (
( N  _C  m
)  x.  ( X ^ m ) )  =  ( ( N  _C  ( N  - 
1 ) )  x.  ( X ^ ( N  -  1 ) ) ) )
8278, 72, 81fsumm1 13216 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( N  _C  m
)  x.  ( X ^ m ) )  =  ( sum_ m  e.  ( 0 ... (
( N  -  1 )  -  1 ) ) ( ( N  _C  m )  x.  ( X ^ m
) )  +  ( ( N  _C  ( N  -  1 ) )  x.  ( X ^ ( N  - 
1 ) ) ) ) )
8322a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
8421, 83, 83subsub4d 9746 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( N  - 
1 )  -  1 )  =  ( N  -  ( 1  +  1 ) ) )
85 df-2 10376 . . . . . . . . . 10  |-  2  =  ( 1  +  1 )
8685oveq2i 6101 . . . . . . . . 9  |-  ( N  -  2 )  =  ( N  -  (
1  +  1 ) )
8784, 86syl6eqr 2491 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( N  - 
1 )  -  1 )  =  ( N  -  2 ) )
8887oveq2d 6106 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0 ... (
( N  -  1 )  -  1 ) )  =  ( 0 ... ( N  - 
2 ) ) )
8988sumeq1d 13174 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  (
0 ... ( ( N  -  1 )  - 
1 ) ) ( ( N  _C  m
)  x.  ( X ^ m ) )  =  sum_ m  e.  ( 0 ... ( N  -  2 ) ) ( ( N  _C  m )  x.  ( X ^ m ) ) )
90 bcnm1 27317 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  _C  ( N  - 
1 ) )  =  N )
912, 90syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N  _C  ( N  -  1 ) )  =  N )
9291oveq1d 6105 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( N  _C  ( N  -  1
) )  x.  ( X ^ ( N  - 
1 ) ) )  =  ( N  x.  ( X ^ ( N  -  1 ) ) ) )
9389, 92oveq12d 6108 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( ( N  -  1 )  -  1 ) ) ( ( N  _C  m )  x.  ( X ^ m ) )  +  ( ( N  _C  ( N  - 
1 ) )  x.  ( X ^ ( N  -  1 ) ) ) )  =  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( N  -  2 ) ) ( ( N  _C  m )  x.  ( X ^ m ) )  +  ( N  x.  ( X ^ ( N  -  1 ) ) ) ) )
9475, 82, 933eqtrd 2477 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  +  1 ) ^ N )  -  ( X ^ N ) )  =  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( N  -  2 ) ) ( ( N  _C  m )  x.  ( X ^ m
) )  +  ( N  x.  ( X ^ ( N  - 
1 ) ) ) ) )
95 oveq2 6098 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  0  ->  ( N  _C  k )  =  ( N  _C  0
) )
96 oveq1 6097 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  0  ->  (
k BernPoly  ( X  +  1 ) )  =  ( 0 BernPoly  ( X  + 
1 ) ) )
97 oveq2 6098 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  0  ->  ( N  -  k )  =  ( N  - 
0 ) )
9897oveq1d 6105 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  0  ->  (
( N  -  k
)  +  1 )  =  ( ( N  -  0 )  +  1 ) )
9996, 98oveq12d 6108 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  0  ->  (
( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) )  =  ( ( 0 BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  0 )  +  1 ) ) )
10095, 99oveq12d 6108 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  0  ->  (
( N  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  ( X  + 
1 ) )  / 
( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( N  _C  0 )  x.  (
( 0 BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  0 )  +  1 ) ) ) )
10178, 35, 100fsum1p 13218 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( N  _C  0 )  x.  ( ( 0 BernPoly  ( X  +  1
) )  /  (
( N  -  0 )  +  1 ) ) )  +  sum_ k  e.  ( (
0  +  1 ) ... ( N  - 
1 ) ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  ( X  + 
1 ) )  / 
( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) ) )
102 bpoly0 28122 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  +  1 )  e.  CC  ->  (
0 BernPoly  ( X  +  1 ) )  =  1 )
1035, 102syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 0 BernPoly  ( X  +  1 ) )  =  1 )
104103oveq1d 6105 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 0 BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  0 )  +  1 ) )  =  ( 1  / 
( ( N  - 
0 )  +  1 ) ) )
105104oveq2d 6106 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( N  _C  0 )  x.  (
( 0 BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  0 )  +  1 ) ) )  =  ( ( N  _C  0 )  x.  ( 1  /  (
( N  -  0 )  +  1 ) ) ) )
106105oveq1d 6105 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  _C  0 )  x.  ( ( 0 BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  0 )  +  1 ) ) )  +  sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( N  _C  0 )  x.  (
1  /  ( ( N  -  0 )  +  1 ) ) )  +  sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) ) )
107101, 106eqtrd 2473 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( N  _C  0 )  x.  ( 1  / 
( ( N  - 
0 )  +  1 ) ) )  + 
sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) ) )
108 oveq1 6097 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  0  ->  (
k BernPoly  X )  =  ( 0 BernPoly  X ) )
109108, 98oveq12d 6108 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  0  ->  (
( k BernPoly  X )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) )  =  ( ( 0 BernPoly  X
)  /  ( ( N  -  0 )  +  1 ) ) )
11095, 109oveq12d 6108 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  0  ->  (
( N  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( N  -  k
)  +  1 ) ) )  =  ( ( N  _C  0
)  x.  ( ( 0 BernPoly  X )  /  (
( N  -  0 )  +  1 ) ) ) )
11178, 41, 110fsum1p 13218 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  X )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( N  _C  0 )  x.  ( ( 0 BernPoly  X )  /  (
( N  -  0 )  +  1 ) ) )  +  sum_ k  e.  ( (
0  +  1 ) ... ( N  - 
1 ) ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( N  -  k
)  +  1 ) ) ) ) )
112 bpoly0 28122 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  CC  ->  (
0 BernPoly  X )  =  1 )
1133, 112syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 0 BernPoly  X )  =  1 )
114113oveq1d 6105 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 0 BernPoly  X
)  /  ( ( N  -  0 )  +  1 ) )  =  ( 1  / 
( ( N  - 
0 )  +  1 ) ) )
115114oveq2d 6106 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( N  _C  0 )  x.  (
( 0 BernPoly  X )  /  ( ( N  -  0 )  +  1 ) ) )  =  ( ( N  _C  0 )  x.  ( 1  /  (
( N  -  0 )  +  1 ) ) ) )
116115oveq1d 6105 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  _C  0 )  x.  ( ( 0 BernPoly  X
)  /  ( ( N  -  0 )  +  1 ) ) )  +  sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( N  _C  0 )  x.  (
1  /  ( ( N  -  0 )  +  1 ) ) )  +  sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) ) )
117111, 116eqtrd 2473 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  X )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( N  _C  0 )  x.  ( 1  / 
( ( N  - 
0 )  +  1 ) ) )  + 
sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  X )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) ) )
118107, 117oveq12d 6108 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  X )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( ( N  _C  0 )  x.  (
1  /  ( ( N  -  0 )  +  1 ) ) )  +  sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) )  -  (
( ( N  _C  0 )  x.  (
1  /  ( ( N  -  0 )  +  1 ) ) )  +  sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) ) ) )
119 0z 10653 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  ZZ
120 bccl 12094 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( N  _C  0
)  e.  NN0 )
1212, 119, 120sylancl 657 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N  _C  0
)  e.  NN0 )
122121nn0cnd 10634 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N  _C  0
)  e.  CC )
12321subid1d 9704 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( N  -  0 )  =  N )
124123, 1eqeltrd 2515 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N  -  0 )  e.  NN )
125124peano2nnd 10335 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( N  - 
0 )  +  1 )  e.  NN )
126125nnrecred 10363 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  /  (
( N  -  0 )  +  1 ) )  e.  RR )
127126recnd 9408 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  /  (
( N  -  0 )  +  1 ) )  e.  CC )
128122, 127mulcld 9402 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( N  _C  0 )  x.  (
1  /  ( ( N  -  0 )  +  1 ) ) )  e.  CC )
129 fzfid 11791 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) )  e.  Fin )
130 fzp1ss 11502 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) 
C_  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )
131119, 130ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  - 
1 ) )  C_  ( 0 ... ( N  -  1 ) )
132131sseli 3349 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) )  ->  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )
133132, 35sylan2 471 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( N  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  ( X  + 
1 ) )  / 
( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  e.  CC )
134129, 133fsumcl 13206 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  e.  CC )
135132, 41sylan2 471 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( N  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( N  -  k
)  +  1 ) ) )  e.  CC )
136129, 135fsumcl 13206 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  X )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  e.  CC )
137128, 134, 136pnpcand 9752 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( N  _C  0 )  x.  ( 1  / 
( ( N  - 
0 )  +  1 ) ) )  + 
sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) )  -  ( ( ( N  _C  0
)  x.  ( 1  /  ( ( N  -  0 )  +  1 ) ) )  +  sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  X )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) ) )  =  (
sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  -  sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  X )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) ) )
138 1z 10672 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  ZZ
139138a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
140 0zd 10654 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
1411nnzd 10742 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
142 2z 10674 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  ZZ
143 zsubcl 10683 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  ->  ( N  -  2 )  e.  ZZ )
144141, 142, 143sylancl 657 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N  -  2 )  e.  ZZ )
145 fzssp1 11497 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 ... ( N  - 
2 ) )  C_  ( 0 ... (
( N  -  2 )  +  1 ) )
146 2m1e1 10432 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  -  1 )  =  1
147146oveq2i 6101 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  -  ( 2  -  1 ) )  =  ( N  -  1 )
148 2cnd 10390 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
14921, 148, 83subsubd 9743 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( N  -  (
2  -  1 ) )  =  ( ( N  -  2 )  +  1 ) )
150147, 149syl5reqr 2488 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( N  - 
2 )  +  1 )  =  ( N  -  1 ) )
151150oveq2d 6106 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 0 ... (
( N  -  2 )  +  1 ) )  =  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) )
152145, 151syl5sseq 3401 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 0 ... ( N  -  2 ) )  C_  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) )
153152sselda 3353 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 0 ... ( N  -  2 ) ) )  ->  m  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )
154153, 72syldan 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 0 ... ( N  -  2 ) ) )  ->  (
( N  _C  m
)  x.  ( X ^ m ) )  e.  CC )
155 oveq2 6098 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( k  - 
1 )  ->  ( N  _C  m )  =  ( N  _C  (
k  -  1 ) ) )
156 oveq2 6098 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( k  - 
1 )  ->  ( X ^ m )  =  ( X ^ (
k  -  1 ) ) )
157155, 156oveq12d 6108 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( k  - 
1 )  ->  (
( N  _C  m
)  x.  ( X ^ m ) )  =  ( ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  x.  ( X ^ (
k  -  1 ) ) ) )
158139, 140, 144, 154, 157fsumshft 13243 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  (
0 ... ( N  - 
2 ) ) ( ( N  _C  m
)  x.  ( X ^ m ) )  =  sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( ( N  -  2 )  +  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  - 
1 ) ) ) )
159150oveq2d 6106 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 0  +  1 ) ... (
( N  -  2 )  +  1 ) )  =  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  - 
1 ) ) )
160159sumeq1d 13174 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( ( N  -  2 )  +  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  - 
1 ) ) )  =  sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  - 
1 ) ) ) )
161158, 160eqtrd 2473 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  (
0 ... ( N  - 
2 ) ) ( ( N  _C  m
)  x.  ( X ^ m ) )  =  sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  - 
1 ) ) ) )
162 0p1e1 10429 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  +  1 )  =  1
163162oveq1i 6100 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  - 
1 ) )  =  ( 1 ... ( N  -  1 ) )
164163eleq2i 2505 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) )  <->  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )
165 fzssp1 11497 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1 ... ( N  - 
1 ) )  C_  ( 1 ... (
( N  -  1 )  +  1 ) )
16624oveq2d 6106 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 1 ... (
( N  -  1 )  +  1 ) )  =  ( 1 ... N ) )
167165, 166syl5sseq 3401 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  C_  ( 1 ... N ) )
168167sselda 3353 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  k  e.  ( 1 ... N
) )
169 bcm1k 12087 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  ( N  _C  k )  =  ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( N  -  (
k  -  1 ) )  /  k ) ) )
170168, 169syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( N  _C  k )  =  ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( N  -  (
k  -  1 ) )  /  k ) ) )
1711adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  N  e.  NN )
172171nncnd 10334 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  N  e.  CC )
173 elfznn 11474 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  k  e.  NN )
174173adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  k  e.  NN )
175174nncnd 10334 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  k  e.  CC )
17622a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  1  e.  CC )
177172, 175, 176subsubd 9743 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( N  -  ( k  -  1 ) )  =  ( ( N  -  k )  +  1 ) )
178177oveq1d 6105 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( N  -  (
k  -  1 ) )  /  k )  =  ( ( ( N  -  k )  +  1 )  / 
k ) )
179178oveq2d 6106 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( N  _C  (
k  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  ( k  -  1 ) )  /  k ) )  =  ( ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  x.  ( ( ( N  -  k )  +  1 )  /  k
) ) )
180170, 179eqtrd 2473 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( N  _C  k )  =  ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( ( N  -  k )  +  1 )  /  k ) ) )
181 bpolydiflem.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  -  ( k BernPoly  X
) )  =  ( k  x.  ( X ^ ( k  - 
1 ) ) ) )
182181oveq1d 6105 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( ( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  -  ( k BernPoly  X ) )  / 
( ( N  -  k )  +  1 ) )  =  ( ( k  x.  ( X ^ ( k  - 
1 ) ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )
183164, 132sylbir 213 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )
184183, 19sylan2 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
k BernPoly  ( X  +  1 ) )  e.  CC )
185183, 39sylan2 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
k BernPoly  X )  e.  CC )
186183, 32sylan2 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( N  -  k
)  +  1 )  e.  CC )
187183, 33sylan2 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( N  -  k
)  +  1 )  =/=  0 )
188184, 185, 186, 187divsubdird 10142 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( ( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  -  ( k BernPoly  X ) )  / 
( ( N  -  k )  +  1 ) )  =  ( ( ( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) )  -  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( N  -  k
)  +  1 ) ) ) )
1893adantr 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  X  e.  CC )
190 nnm1nn0 10617 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  -  1 )  e.  NN0 )
191174, 190syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
k  -  1 )  e.  NN0 )
192189, 191expcld 12004 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( X ^ ( k  - 
1 ) )  e.  CC )
193175, 192, 186, 187div23d 10140 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( k  x.  ( X ^ ( k  - 
1 ) ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) )  =  ( ( k  / 
( ( N  -  k )  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  - 
1 ) ) ) )
194182, 188, 1933eqtr3d 2481 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( ( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) )  -  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( N  -  k
)  +  1 ) ) )  =  ( ( k  /  (
( N  -  k
)  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  - 
1 ) ) ) )
195180, 194oveq12d 6108 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( N  _C  k
)  x.  ( ( ( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) )  -  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( ( N  -  k )  +  1 )  /  k ) )  x.  ( ( k  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) )  x.  ( X ^
( k  -  1 ) ) ) ) )
196183, 16sylan2 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( N  _C  k )  e.  CC )
197184, 186, 187divcld 10103 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) )  e.  CC )
198185, 186, 187divcld 10103 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( k BernPoly  X )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) )  e.  CC )
199196, 197, 198subdid 9796 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( N  _C  k
)  x.  ( ( ( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) )  -  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  -  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) ) )
200171nnnn0d 10632 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  N  e.  NN0 )
201191nn0zd 10741 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
k  -  1 )  e.  ZZ )
202 bccl 12094 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( k  -  1 )  e.  ZZ )  ->  ( N  _C  ( k  -  1 ) )  e.  NN0 )
203200, 201, 202syl2anc 656 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  e. 
NN0 )
204203nn0cnd 10634 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  e.  CC )
205174nnne0d 10362 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  k  =/=  0 )
206186, 175, 205divcld 10103 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( ( N  -  k )  +  1 )  /  k )  e.  CC )
207175, 186, 187divcld 10103 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
k  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) )  e.  CC )
208207, 192mulcld 9402 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( k  /  (
( N  -  k
)  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  - 
1 ) ) )  e.  CC )
209204, 206, 208mulassd 9405 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( ( N  -  k )  +  1 )  /  k ) )  x.  ( ( k  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) )  x.  ( X ^
( k  -  1 ) ) ) )  =  ( ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  x.  ( ( ( ( N  -  k )  +  1 )  / 
k )  x.  (
( k  /  (
( N  -  k
)  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  - 
1 ) ) ) ) ) )
210186, 175, 187, 205divcan6d 10122 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( ( ( N  -  k )  +  1 )  /  k
)  x.  ( k  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  =  1 )
211210oveq1d 6105 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( ( ( ( N  -  k )  +  1 )  / 
k )  x.  (
k  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  x.  ( X ^ ( k  - 
1 ) ) )  =  ( 1  x.  ( X ^ (
k  -  1 ) ) ) )
212206, 207, 192mulassd 9405 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( ( ( ( N  -  k )  +  1 )  / 
k )  x.  (
k  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  x.  ( X ^ ( k  - 
1 ) ) )  =  ( ( ( ( N  -  k
)  +  1 )  /  k )  x.  ( ( k  / 
( ( N  -  k )  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  - 
1 ) ) ) ) )
213192mulid2d 9400 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
1  x.  ( X ^ ( k  - 
1 ) ) )  =  ( X ^
( k  -  1 ) ) )
214211, 212, 2133eqtr3d 2481 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( ( ( N  -  k )  +  1 )  /  k
)  x.  ( ( k  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) )  x.  ( X ^
( k  -  1 ) ) ) )  =  ( X ^
( k  -  1 ) ) )
215214oveq2d 6106 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( N  _C  (
k  -  1 ) )  x.  ( ( ( ( N  -  k )  +  1 )  /  k )  x.  ( ( k  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) )  x.  ( X ^ (
k  -  1 ) ) ) ) )  =  ( ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  x.  ( X ^ (
k  -  1 ) ) ) )
216209, 215eqtrd 2473 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( ( N  -  k )  +  1 )  /  k ) )  x.  ( ( k  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) )  x.  ( X ^
( k  -  1 ) ) ) )  =  ( ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  x.  ( X ^ (
k  -  1 ) ) ) )
217195, 199, 2163eqtr3d 2481 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  -  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( N  _C  (
k  -  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  - 
1 ) ) ) )
218164, 217sylan2b 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  -  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( N  _C  (
k  -  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  - 
1 ) ) ) )
219218sumeq2dv 13176 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( ( N  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  -  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( N  -  k
)  +  1 ) ) ) )  = 
sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  - 
1 ) ) ) )
220129, 133, 135fsumsub 13251 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( ( N  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  -  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( N  -  k
)  +  1 ) ) ) )  =  ( sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  -  sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  X )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) ) )
221161, 219, 2203eqtr2rd 2480 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  -  sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  X )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) )  =  sum_ m  e.  ( 0 ... ( N  -  2 ) ) ( ( N  _C  m )  x.  ( X ^ m
) ) )
222118, 137, 2213eqtrd 2477 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  X )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) )  =  sum_ m  e.  ( 0 ... ( N  -  2 ) ) ( ( N  _C  m )  x.  ( X ^ m
) ) )
22394, 222oveq12d 6108 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  +  1 ) ^ N )  -  ( X ^ N ) )  -  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  ( X  + 
1 ) )  / 
( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( N  -  k
)  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( N  -  2 ) ) ( ( N  _C  m )  x.  ( X ^
m ) )  +  ( N  x.  ( X ^ ( N  - 
1 ) ) ) )  -  sum_ m  e.  ( 0 ... ( N  -  2 ) ) ( ( N  _C  m )  x.  ( X ^ m
) ) ) )
224 fzfid 11791 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0 ... ( N  -  2 ) )  e.  Fin )
225224, 154fsumcl 13206 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  (
0 ... ( N  - 
2 ) ) ( ( N  _C  m
)  x.  ( X ^ m ) )  e.  CC )
2263, 77expcld 12004 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X ^ ( N  -  1 ) )  e.  CC )
22721, 226mulcld 9402 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N  x.  ( X ^ ( N  - 
1 ) ) )  e.  CC )
228225, 227pncan2d 9717 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( N  -  2 ) ) ( ( N  _C  m )  x.  ( X ^ m
) )  +  ( N  x.  ( X ^ ( N  - 
1 ) ) ) )  -  sum_ m  e.  ( 0 ... ( N  -  2 ) ) ( ( N  _C  m )  x.  ( X ^ m
) ) )  =  ( N  x.  ( X ^ ( N  - 
1 ) ) ) )
229223, 228eqtrd 2473 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  +  1 ) ^ N )  -  ( X ^ N ) )  -  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  ( X  + 
1 ) )  / 
( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( N  -  k
)  +  1 ) ) ) ) )  =  ( N  x.  ( X ^ ( N  -  1 ) ) ) )
23010, 43, 2293eqtrd 2477 1  |-  ( ph  ->  ( ( N BernPoly  ( X  +  1 ) )  -  ( N BernPoly  X ) )  =  ( N  x.  ( X ^ ( N  - 
1 ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761    =/= wne 2604    C_ wss 3325   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   CCcc 9276   0cc0 9278   1c1 9279    + caddc 9281    x. cmul 9283    - cmin 9591    / cdiv 9989   NNcn 10318   2c2 10367   NN0cn0 10575   ZZcz 10642   ZZ>=cuz 10857   ...cfz 11433   ^cexp 11861    _C cbc 12074   sum_csu 13159   BernPoly cbp 28118
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-rp 10988  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-seq 11803  df-exp 11862  df-fac 12048  df-bc 12075  df-hash 12100  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-clim 12962  df-sum 13160  df-pred 27554  df-wrecs 27646  df-bpoly 28119
This theorem is referenced by:  bpolydif  28127
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