Theorem bpolydiflem 28197

Description: Lemma for bpolydif 28198. (Contributed by Scott Fenton, 12-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
bpolydiflem.1	|- ( ph -> N e. NN )
bpolydiflem.2	|- ( ph -> X e. CC )
bpolydiflem.3	|- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) - ( k BernPoly X ) ) = ( k x. ( X ^ ( k - 1 ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
bpolydiflem	|- ( ph -> ( ( N BernPoly ( X + 1 ) ) - ( N BernPoly X ) ) = ( N x. ( X ^ ( N - 1 ) ) ) )

Distinct variable groups:   k, N   ph, k   k, X

Proof of Theorem bpolydiflem

Dummy variable m is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bpolydiflem.1	. . . . 5 |- ( ph -> N e. NN )
2	1	nnnn0d 10636	. . . 4 |- ( ph -> N e. NN0 )
3		bpolydiflem.2	. . . . 5 |- ( ph -> X e. CC )
4		peano2cn 9541	. . . . 5 |- ( X e. CC -> ( X + 1 ) e. CC )
5	3, 4	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> ( X + 1 ) e. CC )
6		bpolyval 28192	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ ( X + 1 ) e. CC ) -> ( N BernPoly ( X + 1 ) ) = ( ( ( X + 1 ) ^ N ) - sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) ) )
7	2, 5, 6	syl2anc 661	. . 3 |- ( ph -> ( N BernPoly ( X + 1 ) ) = ( ( ( X + 1 ) ^ N ) - sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) ) )
8		bpolyval 28192	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ X e. CC ) -> ( N BernPoly X ) = ( ( X ^ N ) - sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) ) )
9	2, 3, 8	syl2anc 661	. . 3 |- ( ph -> ( N BernPoly X ) = ( ( X ^ N ) - sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) ) )
10	7, 9	oveq12d 6109	. 2 |- ( ph -> ( ( N BernPoly ( X + 1 ) ) - ( N BernPoly X ) ) = ( ( ( ( X + 1 ) ^ N ) - sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) ) - ( ( X ^ N ) - sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) ) ) )
11	5, 2	expcld 12008	. . 3 |- ( ph -> ( ( X + 1 ) ^ N ) e. CC )
12		fzfid 11795	. . . 4 |- ( ph -> ( 0 ... ( N - 1 ) ) e. Fin )
13		elfzelz 11453	. . . . . . 7 |- ( k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) -> k e. ZZ )
14		bccl 12098	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. ZZ ) -> ( N _C k ) e. NN0 )
15	2, 13, 14	syl2an 477	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( N _C k ) e. NN0 )
16	15	nn0cnd 10638	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( N _C k ) e. CC )
17		elfznn0 11481	. . . . . . 7 |- ( k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) -> k e. NN0 )
18		bpolycl 28195	. . . . . . 7 |- ( ( k e. NN0 /\ ( X + 1 ) e. CC ) -> ( k BernPoly ( X + 1 ) ) e. CC )
19	17, 5, 18	syl2anr 478	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( k BernPoly ( X + 1 ) ) e. CC )
20		fzssp1 11501	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 ... ( N - 1 ) ) C_ ( 0 ... ( ( N - 1 ) + 1 ) )
21	1	nncnd 10338	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> N e. CC )
22		ax-1cn 9340	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. CC
23		npcan 9619	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
24	21, 22, 23	sylancl 662	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
25	24	oveq2d 6107	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 0 ... ( ( N - 1 ) + 1 ) ) = ( 0 ... N ) )
26	20, 25	syl5sseq 3404	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 0 ... ( N - 1 ) ) C_ ( 0 ... N ) )
27	26	sselda 3356	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> k e. ( 0 ... N ) )
28		fznn0sub 11487	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 0 ... N ) -> ( N - k ) e. NN0 )
29	27, 28	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( N - k ) e. NN0 )
30		nn0p1nn 10619	. . . . . . . 8 |- ( ( N - k ) e. NN0 -> ( ( N - k ) + 1 ) e. NN )
31	29, 30	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( N - k ) + 1 ) e. NN )
32	31	nncnd 10338	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( N - k ) + 1 ) e. CC )
33	31	nnne0d 10366	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( N - k ) + 1 ) =/= 0 )
34	19, 32, 33	divcld 10107	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) e. CC )
35	16, 34	mulcld 9406	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) e. CC )
36	12, 35	fsumcl 13210	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) e. CC )
37	3, 2	expcld 12008	. . 3 |- ( ph -> ( X ^ N ) e. CC )
38		bpolycl 28195	. . . . . . 7 |- ( ( k e. NN0 /\ X e. CC ) -> ( k BernPoly X ) e. CC )
39	17, 3, 38	syl2anr 478	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( k BernPoly X ) e. CC )
40	39, 32, 33	divcld 10107	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( k BernPoly X ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) e. CC )
41	16, 40	mulcld 9406	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) e. CC )
42	12, 41	fsumcl 13210	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) e. CC )
43	11, 36, 37, 42	sub4d 9768	. 2 |- ( ph -> ( ( ( ( X + 1 ) ^ N ) - sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) ) - ( ( X ^ N ) - sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) ) ) = ( ( ( ( X + 1 ) ^ N ) - ( X ^ N ) ) - ( sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) - sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) ) ) )
44		addcom 9555	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( X + 1 ) = ( 1 + X ) )
45	3, 22, 44	sylancl 662	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( X + 1 ) = ( 1 + X ) )
46	45	oveq1d 6106	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( X + 1 ) ^ N ) = ( ( 1 + X ) ^ N ) )
47		binom1p 13294	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. CC /\ N e. NN0 ) -> ( ( 1 + X ) ^ N ) = sum_ m e. ( 0 ... N ) ( ( N _C m ) x. ( X ^ m ) ) )
48	3, 2, 47	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( 1 + X ) ^ N ) = sum_ m e. ( 0 ... N ) ( ( N _C m ) x. ( X ^ m ) ) )
49	46, 48	eqtrd 2475	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( X + 1 ) ^ N ) = sum_ m e. ( 0 ... N ) ( ( N _C m ) x. ( X ^ m ) ) )
50		nn0uz 10895	. . . . . . . . . 10 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
51	2, 50	syl6eleq 2533	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` 0 ) )
52		bccl2 12099	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. ( 0 ... N ) -> ( N _C m ) e. NN )
53	52	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... N ) ) -> ( N _C m ) e. NN )
54	53	nncnd 10338	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... N ) ) -> ( N _C m ) e. CC )
55		elfznn0 11481	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. ( 0 ... N ) -> m e. NN0 )
56		expcl 11883	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. CC /\ m e. NN0 ) -> ( X ^ m ) e. CC )
57	3, 55, 56	syl2an 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... N ) ) -> ( X ^ m ) e. CC )
58	54, 57	mulcld 9406	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( N _C m ) x. ( X ^ m ) ) e. CC )
59		oveq2 6099	. . . . . . . . . 10 |- ( m = N -> ( N _C m ) = ( N _C N ) )
60		oveq2 6099	. . . . . . . . . 10 |- ( m = N -> ( X ^ m ) = ( X ^ N ) )
61	59, 60	oveq12d 6109	. . . . . . . . 9 |- ( m = N -> ( ( N _C m ) x. ( X ^ m ) ) = ( ( N _C N ) x. ( X ^ N ) ) )
62	51, 58, 61	fsumm1 13220	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sum_ m e. ( 0 ... N ) ( ( N _C m ) x. ( X ^ m ) ) = ( sum_ m e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C m ) x. ( X ^ m ) ) + ( ( N _C N ) x. ( X ^ N ) ) ) )
63		bcnn 12088	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN0 -> ( N _C N ) = 1 )
64	2, 63	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( N _C N ) = 1 )
65	64	oveq1d 6106	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( N _C N ) x. ( X ^ N ) ) = ( 1 x. ( X ^ N ) ) )
66	37	mulid2d 9404	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 1 x. ( X ^ N ) ) = ( X ^ N ) )
67	65, 66	eqtrd 2475	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( N _C N ) x. ( X ^ N ) ) = ( X ^ N ) )
68	67	oveq2d 6107	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( sum_ m e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C m ) x. ( X ^ m ) ) + ( ( N _C N ) x. ( X ^ N ) ) ) = ( sum_ m e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C m ) x. ( X ^ m ) ) + ( X ^ N ) ) )
69	49, 62, 68	3eqtrd 2479	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( X + 1 ) ^ N ) = ( sum_ m e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C m ) x. ( X ^ m ) ) + ( X ^ N ) ) )
70	69	oveq1d 6106	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( X + 1 ) ^ N ) - ( X ^ N ) ) = ( ( sum_ m e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C m ) x. ( X ^ m ) ) + ( X ^ N ) ) - ( X ^ N ) ) )
71	26	sselda 3356	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> m e. ( 0 ... N ) )
72	71, 58	syldan 470	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( N _C m ) x. ( X ^ m ) ) e. CC )
73	12, 72	fsumcl 13210	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ m e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C m ) x. ( X ^ m ) ) e. CC )
74	73, 37	pncand 9720	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( sum_ m e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C m ) x. ( X ^ m ) ) + ( X ^ N ) ) - ( X ^ N ) ) = sum_ m e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C m ) x. ( X ^ m ) ) )
75	70, 74	eqtrd 2475	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( X + 1 ) ^ N ) - ( X ^ N ) ) = sum_ m e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C m ) x. ( X ^ m ) ) )
76		nnm1nn0 10621	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( N - 1 ) e. NN0 )
77	1, 76	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( N - 1 ) e. NN0 )
78	77, 50	syl6eleq 2533	. . . . . 6 |- ( ph -> ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
79		oveq2 6099	. . . . . . 7 |- ( m = ( N - 1 ) -> ( N _C m ) = ( N _C ( N - 1 ) ) )
80		oveq2 6099	. . . . . . 7 |- ( m = ( N - 1 ) -> ( X ^ m ) = ( X ^ ( N - 1 ) ) )
81	79, 80	oveq12d 6109	. . . . . 6 |- ( m = ( N - 1 ) -> ( ( N _C m ) x. ( X ^ m ) ) = ( ( N _C ( N - 1 ) ) x. ( X ^ ( N - 1 ) ) ) )
82	78, 72, 81	fsumm1 13220	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ m e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C m ) x. ( X ^ m ) ) = ( sum_ m e. ( 0 ... ( ( N - 1 ) - 1 ) ) ( ( N _C m ) x. ( X ^ m ) ) + ( ( N _C ( N - 1 ) ) x. ( X ^ ( N - 1 ) ) ) ) )
83	22	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 1 e. CC )
84	21, 83, 83	subsub4d 9750	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( N - 1 ) - 1 ) = ( N - ( 1 + 1 ) ) )
85		df-2 10380	. . . . . . . . . 10 |- 2 = ( 1 + 1 )
86	85	oveq2i 6102	. . . . . . . . 9 |- ( N - 2 ) = ( N - ( 1 + 1 ) )
87	84, 86	syl6eqr 2493	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( N - 1 ) - 1 ) = ( N - 2 ) )
88	87	oveq2d 6107	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 0 ... ( ( N - 1 ) - 1 ) ) = ( 0 ... ( N - 2 ) ) )
89	88	sumeq1d 13178	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ m e. ( 0 ... ( ( N - 1 ) - 1 ) ) ( ( N _C m ) x. ( X ^ m ) ) = sum_ m e. ( 0 ... ( N - 2 ) ) ( ( N _C m ) x. ( X ^ m ) ) )
90		bcnm1 27388	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> ( N _C ( N - 1 ) ) = N )
91	2, 90	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( N _C ( N - 1 ) ) = N )
92	91	oveq1d 6106	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( N _C ( N - 1 ) ) x. ( X ^ ( N - 1 ) ) ) = ( N x. ( X ^ ( N - 1 ) ) ) )
93	89, 92	oveq12d 6109	. . . . 5 |- ( ph -> ( sum_ m e. ( 0 ... ( ( N - 1 ) - 1 ) ) ( ( N _C m ) x. ( X ^ m ) ) + ( ( N _C ( N - 1 ) ) x. ( X ^ ( N - 1 ) ) ) ) = ( sum_ m e. ( 0 ... ( N - 2 ) ) ( ( N _C m ) x. ( X ^ m ) ) + ( N x. ( X ^ ( N - 1 ) ) ) ) )
94	75, 82, 93	3eqtrd 2479	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( X + 1 ) ^ N ) - ( X ^ N ) ) = ( sum_ m e. ( 0 ... ( N - 2 ) ) ( ( N _C m ) x. ( X ^ m ) ) + ( N x. ( X ^ ( N - 1 ) ) ) ) )
95		oveq2 6099	. . . . . . . . 9 |- ( k = 0 -> ( N _C k ) = ( N _C 0 ) )
96		oveq1 6098	. . . . . . . . . 10 |- ( k = 0 -> ( k BernPoly ( X + 1 ) ) = ( 0 BernPoly ( X + 1 ) ) )
97		oveq2 6099	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = 0 -> ( N - k ) = ( N - 0 ) )
98	97	oveq1d 6106	. . . . . . . . . 10 |- ( k = 0 -> ( ( N - k ) + 1 ) = ( ( N - 0 ) + 1 ) )
99	96, 98	oveq12d 6109	. . . . . . . . 9 |- ( k = 0 -> ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) = ( ( 0 BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - 0 ) + 1 ) ) )
100	95, 99	oveq12d 6109	. . . . . . . 8 |- ( k = 0 -> ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) = ( ( N _C 0 ) x. ( ( 0 BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - 0 ) + 1 ) ) ) )
101	78, 35, 100	fsum1p 13222	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) = ( ( ( N _C 0 ) x. ( ( 0 BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - 0 ) + 1 ) ) ) + sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) ) )
102		bpoly0 28193	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X + 1 ) e. CC -> ( 0 BernPoly ( X + 1 ) ) = 1 )
103	5, 102	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 0 BernPoly ( X + 1 ) ) = 1 )
104	103	oveq1d 6106	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( 0 BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - 0 ) + 1 ) ) = ( 1 / ( ( N - 0 ) + 1 ) ) )
105	104	oveq2d 6107	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( N _C 0 ) x. ( ( 0 BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - 0 ) + 1 ) ) ) = ( ( N _C 0 ) x. ( 1 / ( ( N - 0 ) + 1 ) ) ) )
106	105	oveq1d 6106	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( N _C 0 ) x. ( ( 0 BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - 0 ) + 1 ) ) ) + sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) ) = ( ( ( N _C 0 ) x. ( 1 / ( ( N - 0 ) + 1 ) ) ) + sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) ) )
107	101, 106	eqtrd 2475	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) = ( ( ( N _C 0 ) x. ( 1 / ( ( N - 0 ) + 1 ) ) ) + sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) ) )
108		oveq1 6098	. . . . . . . . . 10 |- ( k = 0 -> ( k BernPoly X ) = ( 0 BernPoly X ) )
109	108, 98	oveq12d 6109	. . . . . . . . 9 |- ( k = 0 -> ( ( k BernPoly X ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) = ( ( 0 BernPoly X ) / ( ( N - 0 ) + 1 ) ) )
110	95, 109	oveq12d 6109	. . . . . . . 8 |- ( k = 0 -> ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) = ( ( N _C 0 ) x. ( ( 0 BernPoly X ) / ( ( N - 0 ) + 1 ) ) ) )
111	78, 41, 110	fsum1p 13222	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) = ( ( ( N _C 0 ) x. ( ( 0 BernPoly X ) / ( ( N - 0 ) + 1 ) ) ) + sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) ) )
112		bpoly0 28193	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. CC -> ( 0 BernPoly X ) = 1 )
113	3, 112	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 0 BernPoly X ) = 1 )
114	113	oveq1d 6106	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( 0 BernPoly X ) / ( ( N - 0 ) + 1 ) ) = ( 1 / ( ( N - 0 ) + 1 ) ) )
115	114	oveq2d 6107	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( N _C 0 ) x. ( ( 0 BernPoly X ) / ( ( N - 0 ) + 1 ) ) ) = ( ( N _C 0 ) x. ( 1 / ( ( N - 0 ) + 1 ) ) ) )
116	115	oveq1d 6106	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( N _C 0 ) x. ( ( 0 BernPoly X ) / ( ( N - 0 ) + 1 ) ) ) + sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) ) = ( ( ( N _C 0 ) x. ( 1 / ( ( N - 0 ) + 1 ) ) ) + sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) ) )
117	111, 116	eqtrd 2475	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) = ( ( ( N _C 0 ) x. ( 1 / ( ( N - 0 ) + 1 ) ) ) + sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) ) )
118	107, 117	oveq12d 6109	. . . . 5 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) - sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) ) = ( ( ( ( N _C 0 ) x. ( 1 / ( ( N - 0 ) + 1 ) ) ) + sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) ) - ( ( ( N _C 0 ) x. ( 1 / ( ( N - 0 ) + 1 ) ) ) + sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) ) ) )
119		0z 10657	. . . . . . . . 9 |- 0 e. ZZ
120		bccl 12098	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ 0 e. ZZ ) -> ( N _C 0 ) e. NN0 )
121	2, 119, 120	sylancl 662	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( N _C 0 ) e. NN0 )
122	121	nn0cnd 10638	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( N _C 0 ) e. CC )
123	21	subid1d 9708	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( N - 0 ) = N )
124	123, 1	eqeltrd 2517	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( N - 0 ) e. NN )
125	124	peano2nnd 10339	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( N - 0 ) + 1 ) e. NN )
126	125	nnrecred 10367	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 / ( ( N - 0 ) + 1 ) ) e. RR )
127	126	recnd 9412	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 / ( ( N - 0 ) + 1 ) ) e. CC )
128	122, 127	mulcld 9406	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( N _C 0 ) x. ( 1 / ( ( N - 0 ) + 1 ) ) ) e. CC )
129		fzfid 11795	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) e. Fin )
130		fzp1ss 11506	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 e. ZZ -> ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) C_ ( 0 ... ( N - 1 ) ) )
131	119, 130	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) C_ ( 0 ... ( N - 1 ) )
132	131	sseli 3352	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) -> k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) )
133	132, 35	sylan2 474	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) e. CC )
134	129, 133	fsumcl 13210	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) e. CC )
135	132, 41	sylan2 474	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) e. CC )
136	129, 135	fsumcl 13210	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) e. CC )
137	128, 134, 136	pnpcand 9756	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( N _C 0 ) x. ( 1 / ( ( N - 0 ) + 1 ) ) ) + sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) ) - ( ( ( N _C 0 ) x. ( 1 / ( ( N - 0 ) + 1 ) ) ) + sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) ) ) = ( sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) - sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) ) )
138		1z 10676	. . . . . . . . 9 |- 1 e. ZZ
139	138	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
140		0zd 10658	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
141	1	nnzd 10746	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. ZZ )
142		2z 10678	. . . . . . . . 9 |- 2 e. ZZ
143		zsubcl 10687	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) -> ( N - 2 ) e. ZZ )
144	141, 142, 143	sylancl 662	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( N - 2 ) e. ZZ )
145		fzssp1 11501	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 ... ( N - 2 ) ) C_ ( 0 ... ( ( N - 2 ) + 1 ) )
146		2m1e1 10436	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 2 - 1 ) = 1
147	146	oveq2i 6102	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N - ( 2 - 1 ) ) = ( N - 1 )
148		2cnd 10394	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 2 e. CC )
149	21, 148, 83	subsubd 9747	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( N - ( 2 - 1 ) ) = ( ( N - 2 ) + 1 ) )
150	147, 149	syl5reqr 2490	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( N - 2 ) + 1 ) = ( N - 1 ) )
151	150	oveq2d 6107	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 0 ... ( ( N - 2 ) + 1 ) ) = ( 0 ... ( N - 1 ) ) )
152	145, 151	syl5sseq 3404	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 0 ... ( N - 2 ) ) C_ ( 0 ... ( N - 1 ) ) )
153	152	sselda 3356	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( N - 2 ) ) ) -> m e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) )
154	153, 72	syldan 470	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( N - 2 ) ) ) -> ( ( N _C m ) x. ( X ^ m ) ) e. CC )
155		oveq2 6099	. . . . . . . . 9 |- ( m = ( k - 1 ) -> ( N _C m ) = ( N _C ( k - 1 ) ) )
156		oveq2 6099	. . . . . . . . 9 |- ( m = ( k - 1 ) -> ( X ^ m ) = ( X ^ ( k - 1 ) ) )
157	155, 156	oveq12d 6109	. . . . . . . 8 |- ( m = ( k - 1 ) -> ( ( N _C m ) x. ( X ^ m ) ) = ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( X ^ ( k - 1 ) ) ) )
158	139, 140, 144, 154, 157	fsumshft 13247	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ m e. ( 0 ... ( N - 2 ) ) ( ( N _C m ) x. ( X ^ m ) ) = sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( ( N - 2 ) + 1 ) ) ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( X ^ ( k - 1 ) ) ) )
159	150	oveq2d 6107	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 0 + 1 ) ... ( ( N - 2 ) + 1 ) ) = ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) )
160	159	sumeq1d 13178	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( ( N - 2 ) + 1 ) ) ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( X ^ ( k - 1 ) ) ) = sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( X ^ ( k - 1 ) ) ) )
161	158, 160	eqtrd 2475	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ m e. ( 0 ... ( N - 2 ) ) ( ( N _C m ) x. ( X ^ m ) ) = sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( X ^ ( k - 1 ) ) ) )
162		0p1e1 10433	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 + 1 ) = 1
163	162	oveq1i 6101	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) = ( 1 ... ( N - 1 ) )
164	163	eleq2i 2507	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) <-> k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) )
165		fzssp1 11501	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1 ... ( N - 1 ) ) C_ ( 1 ... ( ( N - 1 ) + 1 ) )
166	24	oveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 1 ... ( ( N - 1 ) + 1 ) ) = ( 1 ... N ) )
167	165, 166	syl5sseq 3404	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 1 ... ( N - 1 ) ) C_ ( 1 ... N ) )
168	167	sselda 3356	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> k e. ( 1 ... N ) )
169		bcm1k 12091	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> ( N _C k ) = ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( N - ( k - 1 ) ) / k ) ) )
170	168, 169	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( N _C k ) = ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( N - ( k - 1 ) ) / k ) ) )
171	1	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> N e. NN )
172	171	nncnd 10338	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> N e. CC )
173		elfznn 11478	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> k e. NN )
174	173	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> k e. NN )
175	174	nncnd 10338	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> k e. CC )
176	22	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> 1 e. CC )
177	172, 175, 176	subsubd 9747	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( N - ( k - 1 ) ) = ( ( N - k ) + 1 ) )
178	177	oveq1d 6106	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( N - ( k - 1 ) ) / k ) = ( ( ( N - k ) + 1 ) / k ) )
179	178	oveq2d 6107	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( N - ( k - 1 ) ) / k ) ) = ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( ( N - k ) + 1 ) / k ) ) )
180	170, 179	eqtrd 2475	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( N _C k ) = ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( ( N - k ) + 1 ) / k ) ) )
181		bpolydiflem.3	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) - ( k BernPoly X ) ) = ( k x. ( X ^ ( k - 1 ) ) ) )
182	181	oveq1d 6106	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) - ( k BernPoly X ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) = ( ( k x. ( X ^ ( k - 1 ) ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) )
183	164, 132	sylbir 213	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) )
184	183, 19	sylan2 474	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( k BernPoly ( X + 1 ) ) e. CC )
185	183, 39	sylan2 474	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( k BernPoly X ) e. CC )
186	183, 32	sylan2 474	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( N - k ) + 1 ) e. CC )
187	183, 33	sylan2 474	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( N - k ) + 1 ) =/= 0 )
188	184, 185, 186, 187	divsubdird 10146	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) - ( k BernPoly X ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) = ( ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) - ( ( k BernPoly X ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) )
189	3	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> X e. CC )
190		nnm1nn0 10621	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN -> ( k - 1 ) e. NN0 )
191	174, 190	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( k - 1 ) e. NN0 )
192	189, 191	expcld 12008	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( X ^ ( k - 1 ) ) e. CC )
193	175, 192, 186, 187	div23d 10144	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( k x. ( X ^ ( k - 1 ) ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) = ( ( k / ( ( N - k ) + 1 ) ) x. ( X ^ ( k - 1 ) ) ) )
194	182, 188, 193	3eqtr3d 2483	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) - ( ( k BernPoly X ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) = ( ( k / ( ( N - k ) + 1 ) ) x. ( X ^ ( k - 1 ) ) ) )
195	180, 194	oveq12d 6109	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( N _C k ) x. ( ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) - ( ( k BernPoly X ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) ) = ( ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( ( N - k ) + 1 ) / k ) ) x. ( ( k / ( ( N - k ) + 1 ) ) x. ( X ^ ( k - 1 ) ) ) ) )
196	183, 16	sylan2 474	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( N _C k ) e. CC )
197	184, 186, 187	divcld 10107	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) e. CC )
198	185, 186, 187	divcld 10107	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( k BernPoly X ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) e. CC )
199	196, 197, 198	subdid 9800	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( N _C k ) x. ( ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) - ( ( k BernPoly X ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) ) = ( ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) - ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) ) )
200	171	nnnn0d 10636	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> N e. NN0 )
201	191	nn0zd 10745	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( k - 1 ) e. ZZ )
202		bccl 12098	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN0 /\ ( k - 1 ) e. ZZ ) -> ( N _C ( k - 1 ) ) e. NN0 )
203	200, 201, 202	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( N _C ( k - 1 ) ) e. NN0 )
204	203	nn0cnd 10638	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( N _C ( k - 1 ) ) e. CC )
205	174	nnne0d 10366	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> k =/= 0 )
206	186, 175, 205	divcld 10107	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( ( N - k ) + 1 ) / k ) e. CC )
207	175, 186, 187	divcld 10107	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( k / ( ( N - k ) + 1 ) ) e. CC )
208	207, 192	mulcld 9406	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( k / ( ( N - k ) + 1 ) ) x. ( X ^ ( k - 1 ) ) ) e. CC )
209	204, 206, 208	mulassd 9409	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( ( N - k ) + 1 ) / k ) ) x. ( ( k / ( ( N - k ) + 1 ) ) x. ( X ^ ( k - 1 ) ) ) ) = ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( ( ( N - k ) + 1 ) / k ) x. ( ( k / ( ( N - k ) + 1 ) ) x. ( X ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) )
210	186, 175, 187, 205	divcan6d 10126	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( ( ( N - k ) + 1 ) / k ) x. ( k / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) = 1 )
211	210	oveq1d 6106	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( ( ( ( N - k ) + 1 ) / k ) x. ( k / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) x. ( X ^ ( k - 1 ) ) ) = ( 1 x. ( X ^ ( k - 1 ) ) ) )
212	206, 207, 192	mulassd 9409	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( ( ( ( N - k ) + 1 ) / k ) x. ( k / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) x. ( X ^ ( k - 1 ) ) ) = ( ( ( ( N - k ) + 1 ) / k ) x. ( ( k / ( ( N - k ) + 1 ) ) x. ( X ^ ( k - 1 ) ) ) ) )
213	192	mulid2d 9404	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( 1 x. ( X ^ ( k - 1 ) ) ) = ( X ^ ( k - 1 ) ) )
214	211, 212, 213	3eqtr3d 2483	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( ( ( N - k ) + 1 ) / k ) x. ( ( k / ( ( N - k ) + 1 ) ) x. ( X ^ ( k - 1 ) ) ) ) = ( X ^ ( k - 1 ) ) )
215	214	oveq2d 6107	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( ( ( N - k ) + 1 ) / k ) x. ( ( k / ( ( N - k ) + 1 ) ) x. ( X ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) = ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( X ^ ( k - 1 ) ) ) )
216	209, 215	eqtrd 2475	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( ( N - k ) + 1 ) / k ) ) x. ( ( k / ( ( N - k ) + 1 ) ) x. ( X ^ ( k - 1 ) ) ) ) = ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( X ^ ( k - 1 ) ) ) )
217	195, 199, 216	3eqtr3d 2483	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) - ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) ) = ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( X ^ ( k - 1 ) ) ) )
218	164, 217	sylan2b 475	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) - ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) ) = ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( X ^ ( k - 1 ) ) ) )
219	218	sumeq2dv 13180	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) - ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) ) = sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( X ^ ( k - 1 ) ) ) )
220	129, 133, 135	fsumsub 13255	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) - ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) ) = ( sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) - sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) ) )
221	161, 219, 220	3eqtr2rd 2482	. . . . 5 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) - sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) ) = sum_ m e. ( 0 ... ( N - 2 ) ) ( ( N _C m ) x. ( X ^ m ) ) )
222	118, 137, 221	3eqtrd 2479	. . . 4 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) - sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) ) = sum_ m e. ( 0 ... ( N - 2 ) ) ( ( N _C m ) x. ( X ^ m ) ) )
223	94, 222	oveq12d 6109	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( ( X + 1 ) ^ N ) - ( X ^ N ) ) - ( sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) - sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) ) ) = ( ( sum_ m e. ( 0 ... ( N - 2 ) ) ( ( N _C m ) x. ( X ^ m ) ) + ( N x. ( X ^ ( N - 1 ) ) ) ) - sum_ m e. ( 0 ... ( N - 2 ) ) ( ( N _C m ) x. ( X ^ m ) ) ) )
224		fzfid 11795	. . . . 5 |- ( ph -> ( 0 ... ( N - 2 ) ) e. Fin )
225	224, 154	fsumcl 13210	. . . 4 |- ( ph -> sum_ m e. ( 0 ... ( N - 2 ) ) ( ( N _C m ) x. ( X ^ m ) ) e. CC )
226	3, 77	expcld 12008	. . . . 5 |- ( ph -> ( X ^ ( N - 1 ) ) e. CC )
227	21, 226	mulcld 9406	. . . 4 |- ( ph -> ( N x. ( X ^ ( N - 1 ) ) ) e. CC )
228	225, 227	pncan2d 9721	. . 3 |- ( ph -> ( ( sum_ m e. ( 0 ... ( N - 2 ) ) ( ( N _C m ) x. ( X ^ m ) ) + ( N x. ( X ^ ( N - 1 ) ) ) ) - sum_ m e. ( 0 ... ( N - 2 ) ) ( ( N _C m ) x. ( X ^ m ) ) ) = ( N x. ( X ^ ( N - 1 ) ) ) )
229	223, 228	eqtrd 2475	. 2 |- ( ph -> ( ( ( ( X + 1 ) ^ N ) - ( X ^ N ) ) - ( sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) - sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) ) ) = ( N x. ( X ^ ( N - 1 ) ) ) )
230	10, 43, 229	3eqtrd 2479	1 |- ( ph -> ( ( N BernPoly ( X + 1 ) ) - ( N BernPoly X ) ) = ( N x. ( X ^ ( N - 1 ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   =/= wne 2606   C_ wss 3328   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   CCcc 9280   0cc0 9282   1c1 9283   + caddc 9285   x. cmul 9287   - cmin 9595   / cdiv 9993   NNcn 10322   2c2 10371   NN0cn0 10579   ZZcz 10646   ZZ>=cuz 10861   ...cfz 11437   ^cexp 11865   _C cbc 12078   sum_csu 13163   BernPoly cbp 28189

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-inf2 7847  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-sup 7691  df-oi 7724  df-card 8109  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-rp 10992  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-seq 11807  df-exp 11866  df-fac 12052  df-bc 12079  df-hash 12104  df-cj 12588  df-re 12589  df-im 12590  df-sqr 12724  df-abs 12725  df-clim 12966  df-sum 13164  df-pred 27625  df-wrecs 27717  df-bpoly 28190

This theorem is referenced by:  bpolydif  28198