Theorem bpolydiflem 13997

Description: Lemma for bpolydif 13998. (Contributed by Scott Fenton, 12-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
bpolydiflem.1	|- ( ph -> N e. NN )
bpolydiflem.2	|- ( ph -> X e. CC )
bpolydiflem.3	|- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) - ( k BernPoly X ) ) = ( k x. ( X ^ ( k - 1 ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
bpolydiflem	|- ( ph -> ( ( N BernPoly ( X + 1 ) ) - ( N BernPoly X ) ) = ( N x. ( X ^ ( N - 1 ) ) ) )

Distinct variable groups:   k, N   ph, k   k, X

Proof of Theorem bpolydiflem

Dummy variable m is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bpolydiflem.1	. . . . 5 |- ( ph -> N e. NN )
2	1	nnnn0d 10892	. . . 4 |- ( ph -> N e. NN0 )
3		bpolydiflem.2	. . . . 5 |- ( ph -> X e. CC )
4		peano2cn 9785	. . . . 5 |- ( X e. CC -> ( X + 1 ) e. CC )
5	3, 4	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( X + 1 ) e. CC )
6		bpolyval 13992	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ ( X + 1 ) e. CC ) -> ( N BernPoly ( X + 1 ) ) = ( ( ( X + 1 ) ^ N ) - sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) ) )
7	2, 5, 6	syl2anc 659	. . 3 |- ( ph -> ( N BernPoly ( X + 1 ) ) = ( ( ( X + 1 ) ^ N ) - sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) ) )
8		bpolyval 13992	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ X e. CC ) -> ( N BernPoly X ) = ( ( X ^ N ) - sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) ) )
9	2, 3, 8	syl2anc 659	. . 3 |- ( ph -> ( N BernPoly X ) = ( ( X ^ N ) - sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) ) )
10	7, 9	oveq12d 6295	. 2 |- ( ph -> ( ( N BernPoly ( X + 1 ) ) - ( N BernPoly X ) ) = ( ( ( ( X + 1 ) ^ N ) - sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) ) - ( ( X ^ N ) - sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) ) ) )
11	5, 2	expcld 12352	. . 3 |- ( ph -> ( ( X + 1 ) ^ N ) e. CC )
12		fzfid 12122	. . . 4 |- ( ph -> ( 0 ... ( N - 1 ) ) e. Fin )
13		elfzelz 11740	. . . . . . 7 |- ( k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) -> k e. ZZ )
14		bccl 12442	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. ZZ ) -> ( N _C k ) e. NN0 )
15	2, 13, 14	syl2an 475	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( N _C k ) e. NN0 )
16	15	nn0cnd 10894	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( N _C k ) e. CC )
17		elfznn0 11824	. . . . . . 7 |- ( k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) -> k e. NN0 )
18		bpolycl 13995	. . . . . . 7 |- ( ( k e. NN0 /\ ( X + 1 ) e. CC ) -> ( k BernPoly ( X + 1 ) ) e. CC )
19	17, 5, 18	syl2anr 476	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( k BernPoly ( X + 1 ) ) e. CC )
20		fzssp1 11779	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 ... ( N - 1 ) ) C_ ( 0 ... ( ( N - 1 ) + 1 ) )
21	1	nncnd 10591	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> N e. CC )
22		ax-1cn 9579	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. CC
23		npcan 9864	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
24	21, 22, 23	sylancl 660	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
25	24	oveq2d 6293	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 0 ... ( ( N - 1 ) + 1 ) ) = ( 0 ... N ) )
26	20, 25	syl5sseq 3489	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 0 ... ( N - 1 ) ) C_ ( 0 ... N ) )
27	26	sselda 3441	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> k e. ( 0 ... N ) )
28		fznn0sub 11769	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 0 ... N ) -> ( N - k ) e. NN0 )
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( N - k ) e. NN0 )
30		nn0p1nn 10875	. . . . . . . 8 |- ( ( N - k ) e. NN0 -> ( ( N - k ) + 1 ) e. NN )
31	29, 30	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( N - k ) + 1 ) e. NN )
32	31	nncnd 10591	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( N - k ) + 1 ) e. CC )
33	31	nnne0d 10620	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( N - k ) + 1 ) =/= 0 )
34	19, 32, 33	divcld 10360	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) e. CC )
35	16, 34	mulcld 9645	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) e. CC )
36	12, 35	fsumcl 13702	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) e. CC )
37	3, 2	expcld 12352	. . 3 |- ( ph -> ( X ^ N ) e. CC )
38		bpolycl 13995	. . . . . . 7 |- ( ( k e. NN0 /\ X e. CC ) -> ( k BernPoly X ) e. CC )
39	17, 3, 38	syl2anr 476	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( k BernPoly X ) e. CC )
40	39, 32, 33	divcld 10360	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( k BernPoly X ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) e. CC )
41	16, 40	mulcld 9645	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) e. CC )
42	12, 41	fsumcl 13702	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) e. CC )
43	11, 36, 37, 42	sub4d 10015	. 2 |- ( ph -> ( ( ( ( X + 1 ) ^ N ) - sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) ) - ( ( X ^ N ) - sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) ) ) = ( ( ( ( X + 1 ) ^ N ) - ( X ^ N ) ) - ( sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) - sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) ) ) )
44		addcom 9799	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( X + 1 ) = ( 1 + X ) )
45	3, 22, 44	sylancl 660	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( X + 1 ) = ( 1 + X ) )
46	45	oveq1d 6292	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( X + 1 ) ^ N ) = ( ( 1 + X ) ^ N ) )
47		binom1p 13792	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. CC /\ N e. NN0 ) -> ( ( 1 + X ) ^ N ) = sum_ m e. ( 0 ... N ) ( ( N _C m ) x. ( X ^ m ) ) )
48	3, 2, 47	syl2anc 659	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( 1 + X ) ^ N ) = sum_ m e. ( 0 ... N ) ( ( N _C m ) x. ( X ^ m ) ) )
49	46, 48	eqtrd 2443	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( X + 1 ) ^ N ) = sum_ m e. ( 0 ... N ) ( ( N _C m ) x. ( X ^ m ) ) )
50		nn0uz 11160	. . . . . . . . . 10 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
51	2, 50	syl6eleq 2500	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` 0 ) )
52		bccl2 12443	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. ( 0 ... N ) -> ( N _C m ) e. NN )
53	52	adantl 464	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... N ) ) -> ( N _C m ) e. NN )
54	53	nncnd 10591	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... N ) ) -> ( N _C m ) e. CC )
55		elfznn0 11824	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. ( 0 ... N ) -> m e. NN0 )
56		expcl 12226	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. CC /\ m e. NN0 ) -> ( X ^ m ) e. CC )
57	3, 55, 56	syl2an 475	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... N ) ) -> ( X ^ m ) e. CC )
58	54, 57	mulcld 9645	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( N _C m ) x. ( X ^ m ) ) e. CC )
59		oveq2 6285	. . . . . . . . . 10 |- ( m = N -> ( N _C m ) = ( N _C N ) )
60		oveq2 6285	. . . . . . . . . 10 |- ( m = N -> ( X ^ m ) = ( X ^ N ) )
61	59, 60	oveq12d 6295	. . . . . . . . 9 |- ( m = N -> ( ( N _C m ) x. ( X ^ m ) ) = ( ( N _C N ) x. ( X ^ N ) ) )
62	51, 58, 61	fsumm1 13715	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sum_ m e. ( 0 ... N ) ( ( N _C m ) x. ( X ^ m ) ) = ( sum_ m e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C m ) x. ( X ^ m ) ) + ( ( N _C N ) x. ( X ^ N ) ) ) )
63		bcnn 12432	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN0 -> ( N _C N ) = 1 )
64	2, 63	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( N _C N ) = 1 )
65	64	oveq1d 6292	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( N _C N ) x. ( X ^ N ) ) = ( 1 x. ( X ^ N ) ) )
66	37	mulid2d 9643	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 1 x. ( X ^ N ) ) = ( X ^ N ) )
67	65, 66	eqtrd 2443	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( N _C N ) x. ( X ^ N ) ) = ( X ^ N ) )
68	67	oveq2d 6293	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( sum_ m e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C m ) x. ( X ^ m ) ) + ( ( N _C N ) x. ( X ^ N ) ) ) = ( sum_ m e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C m ) x. ( X ^ m ) ) + ( X ^ N ) ) )
69	49, 62, 68	3eqtrd 2447	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( X + 1 ) ^ N ) = ( sum_ m e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C m ) x. ( X ^ m ) ) + ( X ^ N ) ) )
70	69	oveq1d 6292	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( X + 1 ) ^ N ) - ( X ^ N ) ) = ( ( sum_ m e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C m ) x. ( X ^ m ) ) + ( X ^ N ) ) - ( X ^ N ) ) )
71	26	sselda 3441	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> m e. ( 0 ... N ) )
72	71, 58	syldan 468	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( N _C m ) x. ( X ^ m ) ) e. CC )
73	12, 72	fsumcl 13702	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ m e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C m ) x. ( X ^ m ) ) e. CC )
74	73, 37	pncand 9967	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( sum_ m e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C m ) x. ( X ^ m ) ) + ( X ^ N ) ) - ( X ^ N ) ) = sum_ m e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C m ) x. ( X ^ m ) ) )
75	70, 74	eqtrd 2443	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( X + 1 ) ^ N ) - ( X ^ N ) ) = sum_ m e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C m ) x. ( X ^ m ) ) )
76		nnm1nn0 10877	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( N - 1 ) e. NN0 )
77	1, 76	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( N - 1 ) e. NN0 )
78	77, 50	syl6eleq 2500	. . . . . 6 |- ( ph -> ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
79		oveq2 6285	. . . . . . 7 |- ( m = ( N - 1 ) -> ( N _C m ) = ( N _C ( N - 1 ) ) )
80		oveq2 6285	. . . . . . 7 |- ( m = ( N - 1 ) -> ( X ^ m ) = ( X ^ ( N - 1 ) ) )
81	79, 80	oveq12d 6295	. . . . . 6 |- ( m = ( N - 1 ) -> ( ( N _C m ) x. ( X ^ m ) ) = ( ( N _C ( N - 1 ) ) x. ( X ^ ( N - 1 ) ) ) )
82	78, 72, 81	fsumm1 13715	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ m e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C m ) x. ( X ^ m ) ) = ( sum_ m e. ( 0 ... ( ( N - 1 ) - 1 ) ) ( ( N _C m ) x. ( X ^ m ) ) + ( ( N _C ( N - 1 ) ) x. ( X ^ ( N - 1 ) ) ) ) )
83		1cnd 9641	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 1 e. CC )
84	21, 83, 83	subsub4d 9997	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( N - 1 ) - 1 ) = ( N - ( 1 + 1 ) ) )
85		df-2 10634	. . . . . . . . . 10 |- 2 = ( 1 + 1 )
86	85	oveq2i 6288	. . . . . . . . 9 |- ( N - 2 ) = ( N - ( 1 + 1 ) )
87	84, 86	syl6eqr 2461	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( N - 1 ) - 1 ) = ( N - 2 ) )
88	87	oveq2d 6293	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 0 ... ( ( N - 1 ) - 1 ) ) = ( 0 ... ( N - 2 ) ) )
89	88	sumeq1d 13670	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ m e. ( 0 ... ( ( N - 1 ) - 1 ) ) ( ( N _C m ) x. ( X ^ m ) ) = sum_ m e. ( 0 ... ( N - 2 ) ) ( ( N _C m ) x. ( X ^ m ) ) )
90		bcnm1 12447	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> ( N _C ( N - 1 ) ) = N )
91	2, 90	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( N _C ( N - 1 ) ) = N )
92	91	oveq1d 6292	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( N _C ( N - 1 ) ) x. ( X ^ ( N - 1 ) ) ) = ( N x. ( X ^ ( N - 1 ) ) ) )
93	89, 92	oveq12d 6295	. . . . 5 |- ( ph -> ( sum_ m e. ( 0 ... ( ( N - 1 ) - 1 ) ) ( ( N _C m ) x. ( X ^ m ) ) + ( ( N _C ( N - 1 ) ) x. ( X ^ ( N - 1 ) ) ) ) = ( sum_ m e. ( 0 ... ( N - 2 ) ) ( ( N _C m ) x. ( X ^ m ) ) + ( N x. ( X ^ ( N - 1 ) ) ) ) )
94	75, 82, 93	3eqtrd 2447	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( X + 1 ) ^ N ) - ( X ^ N ) ) = ( sum_ m e. ( 0 ... ( N - 2 ) ) ( ( N _C m ) x. ( X ^ m ) ) + ( N x. ( X ^ ( N - 1 ) ) ) ) )
95		oveq2 6285	. . . . . . . . 9 |- ( k = 0 -> ( N _C k ) = ( N _C 0 ) )
96		oveq1 6284	. . . . . . . . . 10 |- ( k = 0 -> ( k BernPoly ( X + 1 ) ) = ( 0 BernPoly ( X + 1 ) ) )
97		oveq2 6285	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = 0 -> ( N - k ) = ( N - 0 ) )
98	97	oveq1d 6292	. . . . . . . . . 10 |- ( k = 0 -> ( ( N - k ) + 1 ) = ( ( N - 0 ) + 1 ) )
99	96, 98	oveq12d 6295	. . . . . . . . 9 |- ( k = 0 -> ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) = ( ( 0 BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - 0 ) + 1 ) ) )
100	95, 99	oveq12d 6295	. . . . . . . 8 |- ( k = 0 -> ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) = ( ( N _C 0 ) x. ( ( 0 BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - 0 ) + 1 ) ) ) )
101	78, 35, 100	fsum1p 13717	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) = ( ( ( N _C 0 ) x. ( ( 0 BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - 0 ) + 1 ) ) ) + sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) ) )
102		bpoly0 13993	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X + 1 ) e. CC -> ( 0 BernPoly ( X + 1 ) ) = 1 )
103	5, 102	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 0 BernPoly ( X + 1 ) ) = 1 )
104	103	oveq1d 6292	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( 0 BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - 0 ) + 1 ) ) = ( 1 / ( ( N - 0 ) + 1 ) ) )
105	104	oveq2d 6293	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( N _C 0 ) x. ( ( 0 BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - 0 ) + 1 ) ) ) = ( ( N _C 0 ) x. ( 1 / ( ( N - 0 ) + 1 ) ) ) )
106	105	oveq1d 6292	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( N _C 0 ) x. ( ( 0 BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - 0 ) + 1 ) ) ) + sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) ) = ( ( ( N _C 0 ) x. ( 1 / ( ( N - 0 ) + 1 ) ) ) + sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) ) )
107	101, 106	eqtrd 2443	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) = ( ( ( N _C 0 ) x. ( 1 / ( ( N - 0 ) + 1 ) ) ) + sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) ) )
108		oveq1 6284	. . . . . . . . . 10 |- ( k = 0 -> ( k BernPoly X ) = ( 0 BernPoly X ) )
109	108, 98	oveq12d 6295	. . . . . . . . 9 |- ( k = 0 -> ( ( k BernPoly X ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) = ( ( 0 BernPoly X ) / ( ( N - 0 ) + 1 ) ) )
110	95, 109	oveq12d 6295	. . . . . . . 8 |- ( k = 0 -> ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) = ( ( N _C 0 ) x. ( ( 0 BernPoly X ) / ( ( N - 0 ) + 1 ) ) ) )
111	78, 41, 110	fsum1p 13717	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) = ( ( ( N _C 0 ) x. ( ( 0 BernPoly X ) / ( ( N - 0 ) + 1 ) ) ) + sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) ) )
112		bpoly0 13993	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. CC -> ( 0 BernPoly X ) = 1 )
113	3, 112	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 0 BernPoly X ) = 1 )
114	113	oveq1d 6292	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( 0 BernPoly X ) / ( ( N - 0 ) + 1 ) ) = ( 1 / ( ( N - 0 ) + 1 ) ) )
115	114	oveq2d 6293	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( N _C 0 ) x. ( ( 0 BernPoly X ) / ( ( N - 0 ) + 1 ) ) ) = ( ( N _C 0 ) x. ( 1 / ( ( N - 0 ) + 1 ) ) ) )
116	115	oveq1d 6292	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( N _C 0 ) x. ( ( 0 BernPoly X ) / ( ( N - 0 ) + 1 ) ) ) + sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) ) = ( ( ( N _C 0 ) x. ( 1 / ( ( N - 0 ) + 1 ) ) ) + sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) ) )
117	111, 116	eqtrd 2443	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) = ( ( ( N _C 0 ) x. ( 1 / ( ( N - 0 ) + 1 ) ) ) + sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) ) )
118	107, 117	oveq12d 6295	. . . . 5 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) - sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) ) = ( ( ( ( N _C 0 ) x. ( 1 / ( ( N - 0 ) + 1 ) ) ) + sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) ) - ( ( ( N _C 0 ) x. ( 1 / ( ( N - 0 ) + 1 ) ) ) + sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) ) ) )
119		0z 10915	. . . . . . . . 9 |- 0 e. ZZ
120		bccl 12442	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ 0 e. ZZ ) -> ( N _C 0 ) e. NN0 )
121	2, 119, 120	sylancl 660	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( N _C 0 ) e. NN0 )
122	121	nn0cnd 10894	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( N _C 0 ) e. CC )
123	21	subid1d 9955	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( N - 0 ) = N )
124	123, 1	eqeltrd 2490	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( N - 0 ) e. NN )
125	124	peano2nnd 10592	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( N - 0 ) + 1 ) e. NN )
126	125	nnrecred 10621	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 / ( ( N - 0 ) + 1 ) ) e. RR )
127	126	recnd 9651	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 / ( ( N - 0 ) + 1 ) ) e. CC )
128	122, 127	mulcld 9645	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( N _C 0 ) x. ( 1 / ( ( N - 0 ) + 1 ) ) ) e. CC )
129		fzfid 12122	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) e. Fin )
130		fzp1ss 11784	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 e. ZZ -> ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) C_ ( 0 ... ( N - 1 ) ) )
131	119, 130	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) C_ ( 0 ... ( N - 1 ) )
132	131	sseli 3437	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) -> k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) )
133	132, 35	sylan2 472	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) e. CC )
134	129, 133	fsumcl 13702	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) e. CC )
135	132, 41	sylan2 472	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) e. CC )
136	129, 135	fsumcl 13702	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) e. CC )
137	128, 134, 136	pnpcand 10003	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( N _C 0 ) x. ( 1 / ( ( N - 0 ) + 1 ) ) ) + sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) ) - ( ( ( N _C 0 ) x. ( 1 / ( ( N - 0 ) + 1 ) ) ) + sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) ) ) = ( sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) - sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) ) )
138		1zzd 10935	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
139		0zd 10916	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
140	1	nnzd 11006	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. ZZ )
141		2z 10936	. . . . . . . . 9 |- 2 e. ZZ
142		zsubcl 10946	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) -> ( N - 2 ) e. ZZ )
143	140, 141, 142	sylancl 660	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( N - 2 ) e. ZZ )
144		fzssp1 11779	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 ... ( N - 2 ) ) C_ ( 0 ... ( ( N - 2 ) + 1 ) )
145		2m1e1 10690	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 2 - 1 ) = 1
146	145	oveq2i 6288	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N - ( 2 - 1 ) ) = ( N - 1 )
147		2cnd 10648	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 2 e. CC )
148	21, 147, 83	subsubd 9994	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( N - ( 2 - 1 ) ) = ( ( N - 2 ) + 1 ) )
149	146, 148	syl5reqr 2458	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( N - 2 ) + 1 ) = ( N - 1 ) )
150	149	oveq2d 6293	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 0 ... ( ( N - 2 ) + 1 ) ) = ( 0 ... ( N - 1 ) ) )
151	144, 150	syl5sseq 3489	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 0 ... ( N - 2 ) ) C_ ( 0 ... ( N - 1 ) ) )
152	151	sselda 3441	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( N - 2 ) ) ) -> m e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) )
153	152, 72	syldan 468	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( N - 2 ) ) ) -> ( ( N _C m ) x. ( X ^ m ) ) e. CC )
154		oveq2 6285	. . . . . . . . 9 |- ( m = ( k - 1 ) -> ( N _C m ) = ( N _C ( k - 1 ) ) )
155		oveq2 6285	. . . . . . . . 9 |- ( m = ( k - 1 ) -> ( X ^ m ) = ( X ^ ( k - 1 ) ) )
156	154, 155	oveq12d 6295	. . . . . . . 8 |- ( m = ( k - 1 ) -> ( ( N _C m ) x. ( X ^ m ) ) = ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( X ^ ( k - 1 ) ) ) )
157	138, 139, 143, 153, 156	fsumshft 13744	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ m e. ( 0 ... ( N - 2 ) ) ( ( N _C m ) x. ( X ^ m ) ) = sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( ( N - 2 ) + 1 ) ) ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( X ^ ( k - 1 ) ) ) )
158	149	oveq2d 6293	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 0 + 1 ) ... ( ( N - 2 ) + 1 ) ) = ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) )
159	158	sumeq1d 13670	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( ( N - 2 ) + 1 ) ) ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( X ^ ( k - 1 ) ) ) = sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( X ^ ( k - 1 ) ) ) )
160	157, 159	eqtrd 2443	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ m e. ( 0 ... ( N - 2 ) ) ( ( N _C m ) x. ( X ^ m ) ) = sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( X ^ ( k - 1 ) ) ) )
161		0p1e1 10687	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 + 1 ) = 1
162	161	oveq1i 6287	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) = ( 1 ... ( N - 1 ) )
163	162	eleq2i 2480	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) <-> k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) )
164		fzssp1 11779	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1 ... ( N - 1 ) ) C_ ( 1 ... ( ( N - 1 ) + 1 ) )
165	24	oveq2d 6293	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 1 ... ( ( N - 1 ) + 1 ) ) = ( 1 ... N ) )
166	164, 165	syl5sseq 3489	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 1 ... ( N - 1 ) ) C_ ( 1 ... N ) )
167	166	sselda 3441	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> k e. ( 1 ... N ) )
168		bcm1k 12435	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> ( N _C k ) = ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( N - ( k - 1 ) ) / k ) ) )
169	167, 168	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( N _C k ) = ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( N - ( k - 1 ) ) / k ) ) )
170	1	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> N e. NN )
171	170	nncnd 10591	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> N e. CC )
172		elfznn 11766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> k e. NN )
173	172	adantl 464	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> k e. NN )
174	173	nncnd 10591	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> k e. CC )
175		1cnd 9641	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> 1 e. CC )
176	171, 174, 175	subsubd 9994	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( N - ( k - 1 ) ) = ( ( N - k ) + 1 ) )
177	176	oveq1d 6292	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( N - ( k - 1 ) ) / k ) = ( ( ( N - k ) + 1 ) / k ) )
178	177	oveq2d 6293	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( N - ( k - 1 ) ) / k ) ) = ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( ( N - k ) + 1 ) / k ) ) )
179	169, 178	eqtrd 2443	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( N _C k ) = ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( ( N - k ) + 1 ) / k ) ) )
180		bpolydiflem.3	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) - ( k BernPoly X ) ) = ( k x. ( X ^ ( k - 1 ) ) ) )
181	180	oveq1d 6292	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) - ( k BernPoly X ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) = ( ( k x. ( X ^ ( k - 1 ) ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) )
182	163, 132	sylbir 213	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) )
183	182, 19	sylan2 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( k BernPoly ( X + 1 ) ) e. CC )
184	182, 39	sylan2 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( k BernPoly X ) e. CC )
185	182, 32	sylan2 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( N - k ) + 1 ) e. CC )
186	182, 33	sylan2 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( N - k ) + 1 ) =/= 0 )
187	183, 184, 185, 186	divsubdird 10399	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) - ( k BernPoly X ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) = ( ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) - ( ( k BernPoly X ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) )
188	3	adantr 463	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> X e. CC )
189		nnm1nn0 10877	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN -> ( k - 1 ) e. NN0 )
190	173, 189	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( k - 1 ) e. NN0 )
191	188, 190	expcld 12352	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( X ^ ( k - 1 ) ) e. CC )
192	174, 191, 185, 186	div23d 10397	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( k x. ( X ^ ( k - 1 ) ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) = ( ( k / ( ( N - k ) + 1 ) ) x. ( X ^ ( k - 1 ) ) ) )
193	181, 187, 192	3eqtr3d 2451	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) - ( ( k BernPoly X ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) = ( ( k / ( ( N - k ) + 1 ) ) x. ( X ^ ( k - 1 ) ) ) )
194	179, 193	oveq12d 6295	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( N _C k ) x. ( ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) - ( ( k BernPoly X ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) ) = ( ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( ( N - k ) + 1 ) / k ) ) x. ( ( k / ( ( N - k ) + 1 ) ) x. ( X ^ ( k - 1 ) ) ) ) )
195	182, 16	sylan2 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( N _C k ) e. CC )
196	183, 185, 186	divcld 10360	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) e. CC )
197	184, 185, 186	divcld 10360	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( k BernPoly X ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) e. CC )
198	195, 196, 197	subdid 10052	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( N _C k ) x. ( ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) - ( ( k BernPoly X ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) ) = ( ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) - ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) ) )
199	170	nnnn0d 10892	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> N e. NN0 )
200	190	nn0zd 11005	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( k - 1 ) e. ZZ )
201		bccl 12442	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN0 /\ ( k - 1 ) e. ZZ ) -> ( N _C ( k - 1 ) ) e. NN0 )
202	199, 200, 201	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( N _C ( k - 1 ) ) e. NN0 )
203	202	nn0cnd 10894	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( N _C ( k - 1 ) ) e. CC )
204	173	nnne0d 10620	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> k =/= 0 )
205	185, 174, 204	divcld 10360	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( ( N - k ) + 1 ) / k ) e. CC )
206	174, 185, 186	divcld 10360	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( k / ( ( N - k ) + 1 ) ) e. CC )
207	206, 191	mulcld 9645	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( k / ( ( N - k ) + 1 ) ) x. ( X ^ ( k - 1 ) ) ) e. CC )
208	203, 205, 207	mulassd 9648	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( ( N - k ) + 1 ) / k ) ) x. ( ( k / ( ( N - k ) + 1 ) ) x. ( X ^ ( k - 1 ) ) ) ) = ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( ( ( N - k ) + 1 ) / k ) x. ( ( k / ( ( N - k ) + 1 ) ) x. ( X ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) )
209	185, 174, 186, 204	divcan6d 10379	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( ( ( N - k ) + 1 ) / k ) x. ( k / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) = 1 )
210	209	oveq1d 6292	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( ( ( ( N - k ) + 1 ) / k ) x. ( k / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) x. ( X ^ ( k - 1 ) ) ) = ( 1 x. ( X ^ ( k - 1 ) ) ) )
211	205, 206, 191	mulassd 9648	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( ( ( ( N - k ) + 1 ) / k ) x. ( k / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) x. ( X ^ ( k - 1 ) ) ) = ( ( ( ( N - k ) + 1 ) / k ) x. ( ( k / ( ( N - k ) + 1 ) ) x. ( X ^ ( k - 1 ) ) ) ) )
212	191	mulid2d 9643	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( 1 x. ( X ^ ( k - 1 ) ) ) = ( X ^ ( k - 1 ) ) )
213	210, 211, 212	3eqtr3d 2451	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( ( ( N - k ) + 1 ) / k ) x. ( ( k / ( ( N - k ) + 1 ) ) x. ( X ^ ( k - 1 ) ) ) ) = ( X ^ ( k - 1 ) ) )
214	213	oveq2d 6293	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( ( ( N - k ) + 1 ) / k ) x. ( ( k / ( ( N - k ) + 1 ) ) x. ( X ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) = ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( X ^ ( k - 1 ) ) ) )
215	208, 214	eqtrd 2443	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( ( N - k ) + 1 ) / k ) ) x. ( ( k / ( ( N - k ) + 1 ) ) x. ( X ^ ( k - 1 ) ) ) ) = ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( X ^ ( k - 1 ) ) ) )
216	194, 198, 215	3eqtr3d 2451	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) - ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) ) = ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( X ^ ( k - 1 ) ) ) )
217	163, 216	sylan2b 473	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) - ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) ) = ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( X ^ ( k - 1 ) ) ) )
218	217	sumeq2dv 13672	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) - ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) ) = sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( X ^ ( k - 1 ) ) ) )
219	129, 133, 135	fsumsub 13752	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) - ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) ) = ( sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) - sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) ) )
220	160, 218, 219	3eqtr2rd 2450	. . . . 5 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) - sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) ) = sum_ m e. ( 0 ... ( N - 2 ) ) ( ( N _C m ) x. ( X ^ m ) ) )
221	118, 137, 220	3eqtrd 2447	. . . 4 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) - sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) ) = sum_ m e. ( 0 ... ( N - 2 ) ) ( ( N _C m ) x. ( X ^ m ) ) )
222	94, 221	oveq12d 6295	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( ( X + 1 ) ^ N ) - ( X ^ N ) ) - ( sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) - sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) ) ) = ( ( sum_ m e. ( 0 ... ( N - 2 ) ) ( ( N _C m ) x. ( X ^ m ) ) + ( N x. ( X ^ ( N - 1 ) ) ) ) - sum_ m e. ( 0 ... ( N - 2 ) ) ( ( N _C m ) x. ( X ^ m ) ) ) )
223		fzfid 12122	. . . . 5 |- ( ph -> ( 0 ... ( N - 2 ) ) e. Fin )
224	223, 153	fsumcl 13702	. . . 4 |- ( ph -> sum_ m e. ( 0 ... ( N - 2 ) ) ( ( N _C m ) x. ( X ^ m ) ) e. CC )
225	3, 77	expcld 12352	. . . . 5 |- ( ph -> ( X ^ ( N - 1 ) ) e. CC )
226	21, 225	mulcld 9645	. . . 4 |- ( ph -> ( N x. ( X ^ ( N - 1 ) ) ) e. CC )
227	224, 226	pncan2d 9968	. . 3 |- ( ph -> ( ( sum_ m e. ( 0 ... ( N - 2 ) ) ( ( N _C m ) x. ( X ^ m ) ) + ( N x. ( X ^ ( N - 1 ) ) ) ) - sum_ m e. ( 0 ... ( N - 2 ) ) ( ( N _C m ) x. ( X ^ m ) ) ) = ( N x. ( X ^ ( N - 1 ) ) ) )
228	222, 227	eqtrd 2443	. 2 |- ( ph -> ( ( ( ( X + 1 ) ^ N ) - ( X ^ N ) ) - ( sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) - sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) ) ) = ( N x. ( X ^ ( N - 1 ) ) ) )
229	10, 43, 228	3eqtrd 2447	1 |- ( ph -> ( ( N BernPoly ( X + 1 ) ) - ( N BernPoly X ) ) = ( N x. ( X ^ ( N - 1 ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 367   = wceq 1405   e. wcel 1842   =/= wne 2598   C_ wss 3413   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   CCcc 9519   0cc0 9521   1c1 9522   + caddc 9524   x. cmul 9526   - cmin 9840   / cdiv 10246   NNcn 10575   2c2 10625   NN0cn0 10835   ZZcz 10904   ZZ>=cuz 11126   ...cfz 11724   ^cexp 12208   _C cbc 12422   sum_csu 13655   BernPoly cbp 13989

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-inf2 8090  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598  ax-pre-sup 9599

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-isom 5577  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-oadd 7170  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-sup 7934  df-oi 7968  df-card 8351  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-div 10247  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-rp 11265  df-fz 11725  df-fzo 11853  df-seq 12150  df-exp 12209  df-fac 12396  df-bc 12423  df-hash 12451  df-cj 13079  df-re 13080  df-im 13081  df-sqrt 13215  df-abs 13216  df-clim 13458  df-sum 13656  df-bpoly 13990

This theorem is referenced by:  bpolydif  13998