Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bpolydiflem Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem bpolydiflem 14184
 Description: Lemma for bpolydif 14185. (Contributed by Scott Fenton, 12-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bpolydiflem.1
bpolydiflem.2
bpolydiflem.3 BernPoly BernPoly
Assertion
Ref Expression
bpolydiflem BernPoly BernPoly
Distinct variable groups:   ,   ,   ,

Proof of Theorem bpolydiflem
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bpolydiflem.1 . . . . 5
21nnnn0d 10949 . . . 4
3 bpolydiflem.2 . . . . 5
4 peano2cn 9823 . . . . 5
53, 4syl 17 . . . 4
6 bpolyval 14179 . . . 4 BernPoly BernPoly
72, 5, 6syl2anc 673 . . 3 BernPoly BernPoly
8 bpolyval 14179 . . . 4 BernPoly BernPoly
92, 3, 8syl2anc 673 . . 3 BernPoly BernPoly
107, 9oveq12d 6326 . 2 BernPoly BernPoly BernPoly BernPoly
115, 2expcld 12454 . . 3
12 fzfid 12224 . . . 4
13 elfzelz 11826 . . . . . . 7
14 bccl 12545 . . . . . . 7
152, 13, 14syl2an 485 . . . . . 6
1615nn0cnd 10951 . . . . 5
17 elfznn0 11913 . . . . . . 7
18 bpolycl 14182 . . . . . . 7 BernPoly
1917, 5, 18syl2anr 486 . . . . . 6 BernPoly
20 fzssp1 11867 . . . . . . . . . . 11
211nncnd 10647 . . . . . . . . . . . . 13
22 ax-1cn 9615 . . . . . . . . . . . . 13
23 npcan 9904 . . . . . . . . . . . . 13
2421, 22, 23sylancl 675 . . . . . . . . . . . 12
2524oveq2d 6324 . . . . . . . . . . 11
2620, 25syl5sseq 3466 . . . . . . . . . 10
2726sselda 3418 . . . . . . . . 9
28 fznn0sub 11857 . . . . . . . . 9
2927, 28syl 17 . . . . . . . 8
30 nn0p1nn 10933 . . . . . . . 8
3129, 30syl 17 . . . . . . 7
3231nncnd 10647 . . . . . 6
3331nnne0d 10676 . . . . . 6
3419, 32, 33divcld 10405 . . . . 5 BernPoly
3516, 34mulcld 9681 . . . 4 BernPoly
3612, 35fsumcl 13876 . . 3 BernPoly
373, 2expcld 12454 . . 3
38 bpolycl 14182 . . . . . . 7 BernPoly
3917, 3, 38syl2anr 486 . . . . . 6 BernPoly
4039, 32, 33divcld 10405 . . . . 5 BernPoly
4116, 40mulcld 9681 . . . 4 BernPoly
4212, 41fsumcl 13876 . . 3 BernPoly
4311, 36, 37, 42sub4d 10054 . 2 BernPoly BernPoly BernPoly BernPoly
44 addcom 9837 . . . . . . . . . . 11
453, 22, 44sylancl 675 . . . . . . . . . 10
4645oveq1d 6323 . . . . . . . . 9
47 binom1p 13966 . . . . . . . . . 10
483, 2, 47syl2anc 673 . . . . . . . . 9
4946, 48eqtrd 2505 . . . . . . . 8
50 nn0uz 11217 . . . . . . . . . 10
512, 50syl6eleq 2559 . . . . . . . . 9
52 bccl2 12546 . . . . . . . . . . . 12
5352adantl 473 . . . . . . . . . . 11
5453nncnd 10647 . . . . . . . . . 10
55 elfznn0 11913 . . . . . . . . . . 11
56 expcl 12328 . . . . . . . . . . 11
573, 55, 56syl2an 485 . . . . . . . . . 10
5854, 57mulcld 9681 . . . . . . . . 9
59 oveq2 6316 . . . . . . . . . 10
60 oveq2 6316 . . . . . . . . . 10
6159, 60oveq12d 6326 . . . . . . . . 9
6251, 58, 61fsumm1 13889 . . . . . . . 8
63 bcnn 12535 . . . . . . . . . . . 12
642, 63syl 17 . . . . . . . . . . 11
6564oveq1d 6323 . . . . . . . . . 10
6637mulid2d 9679 . . . . . . . . . 10
6765, 66eqtrd 2505 . . . . . . . . 9
6867oveq2d 6324 . . . . . . . 8
6949, 62, 683eqtrd 2509 . . . . . . 7
7069oveq1d 6323 . . . . . 6
7126sselda 3418 . . . . . . . . 9
7271, 58syldan 478 . . . . . . . 8
7312, 72fsumcl 13876 . . . . . . 7
7473, 37pncand 10006 . . . . . 6
7570, 74eqtrd 2505 . . . . 5
76 nnm1nn0 10935 . . . . . . . 8
771, 76syl 17 . . . . . . 7
7877, 50syl6eleq 2559 . . . . . 6
79 oveq2 6316 . . . . . . 7
80 oveq2 6316 . . . . . . 7
8179, 80oveq12d 6326 . . . . . 6
8278, 72, 81fsumm1 13889 . . . . 5
83 1cnd 9677 . . . . . . . . . 10
8421, 83, 83subsub4d 10036 . . . . . . . . 9
85 df-2 10690 . . . . . . . . . 10
8685oveq2i 6319 . . . . . . . . 9
8784, 86syl6eqr 2523 . . . . . . . 8
8887oveq2d 6324 . . . . . . 7
8988sumeq1d 13844 . . . . . 6
90 bcnm1 12550 . . . . . . . 8
912, 90syl 17 . . . . . . 7
9291oveq1d 6323 . . . . . 6
9389, 92oveq12d 6326 . . . . 5
9475, 82, 933eqtrd 2509 . . . 4
95 oveq2 6316 . . . . . . . . 9
96 oveq1 6315 . . . . . . . . . 10 BernPoly BernPoly
97 oveq2 6316 . . . . . . . . . . 11
9897oveq1d 6323 . . . . . . . . . 10
9996, 98oveq12d 6326 . . . . . . . . 9 BernPoly BernPoly
10095, 99oveq12d 6326 . . . . . . . 8 BernPoly BernPoly
10178, 35, 100fsum1p 13891 . . . . . . 7 BernPoly BernPoly BernPoly
102 bpoly0 14180 . . . . . . . . . . 11 BernPoly
1035, 102syl 17 . . . . . . . . . 10 BernPoly
104103oveq1d 6323 . . . . . . . . 9 BernPoly
105104oveq2d 6324 . . . . . . . 8 BernPoly
106105oveq1d 6323 . . . . . . 7 BernPoly BernPoly BernPoly
107101, 106eqtrd 2505 . . . . . 6 BernPoly BernPoly
108 oveq1 6315 . . . . . . . . . 10 BernPoly BernPoly
109108, 98oveq12d 6326 . . . . . . . . 9 BernPoly BernPoly
11095, 109oveq12d 6326 . . . . . . . 8 BernPoly BernPoly
11178, 41, 110fsum1p 13891 . . . . . . 7 BernPoly BernPoly BernPoly
112 bpoly0 14180 . . . . . . . . . . 11 BernPoly
1133, 112syl 17 . . . . . . . . . 10 BernPoly
114113oveq1d 6323 . . . . . . . . 9 BernPoly
115114oveq2d 6324 . . . . . . . 8 BernPoly
116115oveq1d 6323 . . . . . . 7 BernPoly BernPoly BernPoly
117111, 116eqtrd 2505 . . . . . 6 BernPoly BernPoly
118107, 117oveq12d 6326 . . . . 5 BernPoly BernPoly BernPoly BernPoly
119 0z 10972 . . . . . . . . 9
120 bccl 12545 . . . . . . . . 9
1212, 119, 120sylancl 675 . . . . . . . 8
122121nn0cnd 10951 . . . . . . 7
12321subid1d 9994 . . . . . . . . . . 11
124123, 1eqeltrd 2549 . . . . . . . . . 10
125124peano2nnd 10648 . . . . . . . . 9
126125nnrecred 10677 . . . . . . . 8
127126recnd 9687 . . . . . . 7
128122, 127mulcld 9681 . . . . . 6
129 fzfid 12224 . . . . . . 7
130 fzp1ss 11873 . . . . . . . . . 10
131119, 130ax-mp 5 . . . . . . . . 9
132131sseli 3414 . . . . . . . 8
133132, 35sylan2 482 . . . . . . 7 BernPoly
134129, 133fsumcl 13876 . . . . . 6 BernPoly
135132, 41sylan2 482 . . . . . . 7 BernPoly
136129, 135fsumcl 13876 . . . . . 6 BernPoly
137128, 134, 136pnpcand 10042 . . . . 5 BernPoly BernPoly BernPoly BernPoly
138 1zzd 10992 . . . . . . . 8
139 0zd 10973 . . . . . . . 8
1401nnzd 11062 . . . . . . . . 9
141 2z 10993 . . . . . . . . 9
142 zsubcl 11003 . . . . . . . . 9
143140, 141, 142sylancl 675 . . . . . . . 8
144 fzssp1 11867 . . . . . . . . . . 11
145 2m1e1 10746 . . . . . . . . . . . . . 14
146145oveq2i 6319 . . . . . . . . . . . . 13
147 2cnd 10704 . . . . . . . . . . . . . 14
14821, 147, 83subsubd 10033 . . . . . . . . . . . . 13
149146, 148syl5reqr 2520 . . . . . . . . . . . 12
150149oveq2d 6324 . . . . . . . . . . 11
151144, 150syl5sseq 3466 . . . . . . . . . 10
152151sselda 3418 . . . . . . . . 9
153152, 72syldan 478 . . . . . . . 8
154 oveq2 6316 . . . . . . . . 9
155 oveq2 6316 . . . . . . . . 9
156154, 155oveq12d 6326 . . . . . . . 8
157138, 139, 143, 153, 156fsumshft 13918 . . . . . . 7
158149oveq2d 6324 . . . . . . . 8
159158sumeq1d 13844 . . . . . . 7
160157, 159eqtrd 2505 . . . . . 6
161 0p1e1 10743 . . . . . . . . . 10
162161oveq1i 6318 . . . . . . . . 9
163162eleq2i 2541 . . . . . . . 8
164 fzssp1 11867 . . . . . . . . . . . . . 14
16524oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . 14
166164, 165syl5sseq 3466 . . . . . . . . . . . . 13
167166sselda 3418 . . . . . . . . . . . 12
168 bcm1k 12538 . . . . . . . . . . . 12
169167, 168syl 17 . . . . . . . . . . 11
1701adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15
171170nncnd 10647 . . . . . . . . . . . . . 14
172 elfznn 11854 . . . . . . . . . . . . . . . 16
173172adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15
174173nncnd 10647 . . . . . . . . . . . . . 14
175 1cnd 9677 . . . . . . . . . . . . . 14
176171, 174, 175subsubd 10033 . . . . . . . . . . . . 13
177176oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . 12
178177oveq2d 6324 . . . . . . . . . . 11
179169, 178eqtrd 2505 . . . . . . . . . 10
180 bpolydiflem.3 . . . . . . . . . . . 12 BernPoly BernPoly
181180oveq1d 6323 . . . . . . . . . . 11 BernPoly BernPoly
182163, 132sylbir 218 . . . . . . . . . . . . 13
183182, 19sylan2 482 . . . . . . . . . . . 12 BernPoly
184182, 39sylan2 482 . . . . . . . . . . . 12 BernPoly
185182, 32sylan2 482 . . . . . . . . . . . 12
186182, 33sylan2 482 . . . . . . . . . . . 12
187183, 184, 185, 186divsubdird 10444 . . . . . . . . . . 11 BernPoly BernPoly BernPoly BernPoly
1883adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13
189 nnm1nn0 10935 . . . . . . . . . . . . . 14
190173, 189syl 17 . . . . . . . . . . . . 13
191188, 190expcld 12454 . . . . . . . . . . . 12
192174, 191, 185, 186div23d 10442 . . . . . . . . . . 11
193181, 187, 1923eqtr3d 2513 . . . . . . . . . 10 BernPoly BernPoly
194179, 193oveq12d 6326 . . . . . . . . 9 BernPoly BernPoly
195182, 16sylan2 482 . . . . . . . . . 10
196183, 185, 186divcld 10405 . . . . . . . . . 10 BernPoly
197184, 185, 186divcld 10405 . . . . . . . . . 10 BernPoly
198195, 196, 197subdid 10095 . . . . . . . . 9 BernPoly BernPoly BernPoly BernPoly
199170nnnn0d 10949 . . . . . . . . . . . . 13
200190nn0zd 11061 . . . . . . . . . . . . 13
201 bccl 12545 . . . . . . . . . . . . 13
202199, 200, 201syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12
203202nn0cnd 10951 . . . . . . . . . . 11
204173nnne0d 10676 . . . . . . . . . . . 12
205185, 174, 204divcld 10405 . . . . . . . . . . 11
206174, 185, 186divcld 10405 . . . . . . . . . . . 12
207206, 191mulcld 9681 . . . . . . . . . . 11
208203, 205, 207mulassd 9684 . . . . . . . . . 10
209185, 174, 186, 204divcan6d 10424 . . . . . . . . . . . . 13
210209oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . 12
211205, 206, 191mulassd 9684 . . . . . . . . . . . 12
212191mulid2d 9679 . . . . . . . . . . . 12
213210, 211, 2123eqtr3d 2513 . . . . . . . . . . 11
214213oveq2d 6324 . . . . . . . . . 10
215208, 214eqtrd 2505 . . . . . . . . 9
216194, 198, 2153eqtr3d 2513 . . . . . . . 8 BernPoly BernPoly
217163, 216sylan2b 483 . . . . . . 7 BernPoly BernPoly
218217sumeq2dv 13846 . . . . . 6 BernPoly BernPoly
219129, 133, 135fsumsub 13926 . . . . . 6 BernPoly BernPoly BernPoly BernPoly
220160, 218, 2193eqtr2rd 2512 . . . . 5 BernPoly BernPoly
221118, 137, 2203eqtrd 2509 . . . 4 BernPoly BernPoly
22294, 221oveq12d 6326 . . 3 BernPoly BernPoly
223 fzfid 12224 . . . . 5
224223, 153fsumcl 13876 . . . 4
2253, 77expcld 12454 . . . . 5
22621, 225mulcld 9681 . . . 4
227224, 226pncan2d 10007 . . 3
228222, 227eqtrd 2505 . 2 BernPoly BernPoly
22910, 43, 2283eqtrd 2509 1 BernPoly BernPoly
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 376   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641   wss 3390  cfv 5589  (class class class)co 6308  cc 9555  cc0 9557  c1 9558   caddc 9560   cmul 9562   cmin 9880   cdiv 10291  cn 10631  c2 10681  cn0 10893  cz 10961  cuz 11182  cfz 11810  cexp 12310   cbc 12525  csu 13829   BernPoly cbp 14176 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-bpoly 14177 This theorem is referenced by:  bpolydif  14185
 Copyright terms: Public domain W3C validator