Theorem bpolydiflem 26004

Description: Lemma for bpolydif 26005. (Contributed by Scott Fenton, 12-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
bpolydiflem.1	|- ( ph -> N e. NN )
bpolydiflem.2	|- ( ph -> X e. CC )
bpolydiflem.3	|- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) - ( k BernPoly X ) ) = ( k x. ( X ^ ( k - 1 ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
bpolydiflem	|- ( ph -> ( ( N BernPoly ( X + 1 ) ) - ( N BernPoly X ) ) = ( N x. ( X ^ ( N - 1 ) ) ) )

Distinct variable groups:   k, N   ph, k   k, X

Proof of Theorem bpolydiflem

Dummy variable m is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bpolydiflem.1	. . . . 5 |- ( ph -> N e. NN )
2	1	nnnn0d 10230	. . . 4 |- ( ph -> N e. NN0 )
3		bpolydiflem.2	. . . . 5 |- ( ph -> X e. CC )
4		peano2cn 9194	. . . . 5 |- ( X e. CC -> ( X + 1 ) e. CC )
5	3, 4	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> ( X + 1 ) e. CC )
6		bpolyval 25999	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ ( X + 1 ) e. CC ) -> ( N BernPoly ( X + 1 ) ) = ( ( ( X + 1 ) ^ N ) - sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) ) )
7	2, 5, 6	syl2anc 643	. . 3 |- ( ph -> ( N BernPoly ( X + 1 ) ) = ( ( ( X + 1 ) ^ N ) - sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) ) )
8		bpolyval 25999	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ X e. CC ) -> ( N BernPoly X ) = ( ( X ^ N ) - sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) ) )
9	2, 3, 8	syl2anc 643	. . 3 |- ( ph -> ( N BernPoly X ) = ( ( X ^ N ) - sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) ) )
10	7, 9	oveq12d 6058	. 2 |- ( ph -> ( ( N BernPoly ( X + 1 ) ) - ( N BernPoly X ) ) = ( ( ( ( X + 1 ) ^ N ) - sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) ) - ( ( X ^ N ) - sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) ) ) )
11	5, 2	expcld 11478	. . 3 |- ( ph -> ( ( X + 1 ) ^ N ) e. CC )
12		fzfid 11267	. . . 4 |- ( ph -> ( 0 ... ( N - 1 ) ) e. Fin )
13		elfzelz 11015	. . . . . . 7 |- ( k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) -> k e. ZZ )
14		bccl 11568	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ k e. ZZ ) -> ( N _C k ) e. NN0 )
15	2, 13, 14	syl2an 464	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( N _C k ) e. NN0 )
16	15	nn0cnd 10232	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( N _C k ) e. CC )
17		elfznn0 11039	. . . . . . 7 |- ( k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) -> k e. NN0 )
18		bpolycl 26002	. . . . . . 7 |- ( ( k e. NN0 /\ ( X + 1 ) e. CC ) -> ( k BernPoly ( X + 1 ) ) e. CC )
19	17, 5, 18	syl2anr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( k BernPoly ( X + 1 ) ) e. CC )
20		fzssp1 11051	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 ... ( N - 1 ) ) C_ ( 0 ... ( ( N - 1 ) + 1 ) )
21	1	nncnd 9972	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> N e. CC )
22		ax-1cn 9004	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. CC
23		npcan 9270	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
24	21, 22, 23	sylancl 644	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
25	24	oveq2d 6056	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 0 ... ( ( N - 1 ) + 1 ) ) = ( 0 ... N ) )
26	20, 25	syl5sseq 3356	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 0 ... ( N - 1 ) ) C_ ( 0 ... N ) )
27	26	sselda 3308	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> k e. ( 0 ... N ) )
28		fznn0sub 11041	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 0 ... N ) -> ( N - k ) e. NN0 )
29	27, 28	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( N - k ) e. NN0 )
30		nn0p1nn 10215	. . . . . . . 8 |- ( ( N - k ) e. NN0 -> ( ( N - k ) + 1 ) e. NN )
31	29, 30	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( N - k ) + 1 ) e. NN )
32	31	nncnd 9972	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( N - k ) + 1 ) e. CC )
33	31	nnne0d 10000	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( N - k ) + 1 ) =/= 0 )
34	19, 32, 33	divcld 9746	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) e. CC )
35	16, 34	mulcld 9064	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) e. CC )
36	12, 35	fsumcl 12482	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) e. CC )
37	3, 2	expcld 11478	. . 3 |- ( ph -> ( X ^ N ) e. CC )
38		bpolycl 26002	. . . . . . 7 |- ( ( k e. NN0 /\ X e. CC ) -> ( k BernPoly X ) e. CC )
39	17, 3, 38	syl2anr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( k BernPoly X ) e. CC )
40	39, 32, 33	divcld 9746	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( k BernPoly X ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) e. CC )
41	16, 40	mulcld 9064	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) e. CC )
42	12, 41	fsumcl 12482	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) e. CC )
43	11, 36, 37, 42	sub4d 9416	. 2 |- ( ph -> ( ( ( ( X + 1 ) ^ N ) - sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) ) - ( ( X ^ N ) - sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) ) ) = ( ( ( ( X + 1 ) ^ N ) - ( X ^ N ) ) - ( sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) - sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) ) ) )
44		addcom 9208	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( X + 1 ) = ( 1 + X ) )
45	3, 22, 44	sylancl 644	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( X + 1 ) = ( 1 + X ) )
46	45	oveq1d 6055	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( X + 1 ) ^ N ) = ( ( 1 + X ) ^ N ) )
47		binom1p 12565	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. CC /\ N e. NN0 ) -> ( ( 1 + X ) ^ N ) = sum_ m e. ( 0 ... N ) ( ( N _C m ) x. ( X ^ m ) ) )
48	3, 2, 47	syl2anc 643	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( 1 + X ) ^ N ) = sum_ m e. ( 0 ... N ) ( ( N _C m ) x. ( X ^ m ) ) )
49	46, 48	eqtrd 2436	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( X + 1 ) ^ N ) = sum_ m e. ( 0 ... N ) ( ( N _C m ) x. ( X ^ m ) ) )
50		nn0uz 10476	. . . . . . . . . 10 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
51	2, 50	syl6eleq 2494	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` 0 ) )
52		bccl2 11569	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. ( 0 ... N ) -> ( N _C m ) e. NN )
53	52	adantl 453	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... N ) ) -> ( N _C m ) e. NN )
54	53	nncnd 9972	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... N ) ) -> ( N _C m ) e. CC )
55		elfznn0 11039	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. ( 0 ... N ) -> m e. NN0 )
56		expcl 11354	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. CC /\ m e. NN0 ) -> ( X ^ m ) e. CC )
57	3, 55, 56	syl2an 464	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... N ) ) -> ( X ^ m ) e. CC )
58	54, 57	mulcld 9064	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( N _C m ) x. ( X ^ m ) ) e. CC )
59		oveq2 6048	. . . . . . . . . 10 |- ( m = N -> ( N _C m ) = ( N _C N ) )
60		oveq2 6048	. . . . . . . . . 10 |- ( m = N -> ( X ^ m ) = ( X ^ N ) )
61	59, 60	oveq12d 6058	. . . . . . . . 9 |- ( m = N -> ( ( N _C m ) x. ( X ^ m ) ) = ( ( N _C N ) x. ( X ^ N ) ) )
62	51, 58, 61	fsumm1 12492	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sum_ m e. ( 0 ... N ) ( ( N _C m ) x. ( X ^ m ) ) = ( sum_ m e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C m ) x. ( X ^ m ) ) + ( ( N _C N ) x. ( X ^ N ) ) ) )
63		bcnn 11558	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN0 -> ( N _C N ) = 1 )
64	2, 63	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( N _C N ) = 1 )
65	64	oveq1d 6055	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( N _C N ) x. ( X ^ N ) ) = ( 1 x. ( X ^ N ) ) )
66	37	mulid2d 9062	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 1 x. ( X ^ N ) ) = ( X ^ N ) )
67	65, 66	eqtrd 2436	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( N _C N ) x. ( X ^ N ) ) = ( X ^ N ) )
68	67	oveq2d 6056	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( sum_ m e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C m ) x. ( X ^ m ) ) + ( ( N _C N ) x. ( X ^ N ) ) ) = ( sum_ m e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C m ) x. ( X ^ m ) ) + ( X ^ N ) ) )
69	49, 62, 68	3eqtrd 2440	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( X + 1 ) ^ N ) = ( sum_ m e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C m ) x. ( X ^ m ) ) + ( X ^ N ) ) )
70	69	oveq1d 6055	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( X + 1 ) ^ N ) - ( X ^ N ) ) = ( ( sum_ m e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C m ) x. ( X ^ m ) ) + ( X ^ N ) ) - ( X ^ N ) ) )
71	26	sselda 3308	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> m e. ( 0 ... N ) )
72	71, 58	syldan 457	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( N _C m ) x. ( X ^ m ) ) e. CC )
73	12, 72	fsumcl 12482	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ m e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C m ) x. ( X ^ m ) ) e. CC )
74	73, 37	pncand 9368	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( sum_ m e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C m ) x. ( X ^ m ) ) + ( X ^ N ) ) - ( X ^ N ) ) = sum_ m e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C m ) x. ( X ^ m ) ) )
75	70, 74	eqtrd 2436	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( X + 1 ) ^ N ) - ( X ^ N ) ) = sum_ m e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C m ) x. ( X ^ m ) ) )
76		nnm1nn0 10217	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( N - 1 ) e. NN0 )
77	1, 76	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( N - 1 ) e. NN0 )
78	77, 50	syl6eleq 2494	. . . . . 6 |- ( ph -> ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
79		oveq2 6048	. . . . . . 7 |- ( m = ( N - 1 ) -> ( N _C m ) = ( N _C ( N - 1 ) ) )
80		oveq2 6048	. . . . . . 7 |- ( m = ( N - 1 ) -> ( X ^ m ) = ( X ^ ( N - 1 ) ) )
81	79, 80	oveq12d 6058	. . . . . 6 |- ( m = ( N - 1 ) -> ( ( N _C m ) x. ( X ^ m ) ) = ( ( N _C ( N - 1 ) ) x. ( X ^ ( N - 1 ) ) ) )
82	78, 72, 81	fsumm1 12492	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ m e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C m ) x. ( X ^ m ) ) = ( sum_ m e. ( 0 ... ( ( N - 1 ) - 1 ) ) ( ( N _C m ) x. ( X ^ m ) ) + ( ( N _C ( N - 1 ) ) x. ( X ^ ( N - 1 ) ) ) ) )
83	22	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 1 e. CC )
84	21, 83, 83	subsub4d 9398	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( N - 1 ) - 1 ) = ( N - ( 1 + 1 ) ) )
85		df-2 10014	. . . . . . . . . 10 |- 2 = ( 1 + 1 )
86	85	oveq2i 6051	. . . . . . . . 9 |- ( N - 2 ) = ( N - ( 1 + 1 ) )
87	84, 86	syl6eqr 2454	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( N - 1 ) - 1 ) = ( N - 2 ) )
88	87	oveq2d 6056	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 0 ... ( ( N - 1 ) - 1 ) ) = ( 0 ... ( N - 2 ) ) )
89	88	sumeq1d 12450	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ m e. ( 0 ... ( ( N - 1 ) - 1 ) ) ( ( N _C m ) x. ( X ^ m ) ) = sum_ m e. ( 0 ... ( N - 2 ) ) ( ( N _C m ) x. ( X ^ m ) ) )
90		bcnm1 25154	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> ( N _C ( N - 1 ) ) = N )
91	2, 90	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( N _C ( N - 1 ) ) = N )
92	91	oveq1d 6055	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( N _C ( N - 1 ) ) x. ( X ^ ( N - 1 ) ) ) = ( N x. ( X ^ ( N - 1 ) ) ) )
93	89, 92	oveq12d 6058	. . . . 5 |- ( ph -> ( sum_ m e. ( 0 ... ( ( N - 1 ) - 1 ) ) ( ( N _C m ) x. ( X ^ m ) ) + ( ( N _C ( N - 1 ) ) x. ( X ^ ( N - 1 ) ) ) ) = ( sum_ m e. ( 0 ... ( N - 2 ) ) ( ( N _C m ) x. ( X ^ m ) ) + ( N x. ( X ^ ( N - 1 ) ) ) ) )
94	75, 82, 93	3eqtrd 2440	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( X + 1 ) ^ N ) - ( X ^ N ) ) = ( sum_ m e. ( 0 ... ( N - 2 ) ) ( ( N _C m ) x. ( X ^ m ) ) + ( N x. ( X ^ ( N - 1 ) ) ) ) )
95		oveq2 6048	. . . . . . . . 9 |- ( k = 0 -> ( N _C k ) = ( N _C 0 ) )
96		oveq1 6047	. . . . . . . . . 10 |- ( k = 0 -> ( k BernPoly ( X + 1 ) ) = ( 0 BernPoly ( X + 1 ) ) )
97		oveq2 6048	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = 0 -> ( N - k ) = ( N - 0 ) )
98	97	oveq1d 6055	. . . . . . . . . 10 |- ( k = 0 -> ( ( N - k ) + 1 ) = ( ( N - 0 ) + 1 ) )
99	96, 98	oveq12d 6058	. . . . . . . . 9 |- ( k = 0 -> ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) = ( ( 0 BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - 0 ) + 1 ) ) )
100	95, 99	oveq12d 6058	. . . . . . . 8 |- ( k = 0 -> ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) = ( ( N _C 0 ) x. ( ( 0 BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - 0 ) + 1 ) ) ) )
101	78, 35, 100	fsum1p 12494	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) = ( ( ( N _C 0 ) x. ( ( 0 BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - 0 ) + 1 ) ) ) + sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) ) )
102		bpoly0 26000	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X + 1 ) e. CC -> ( 0 BernPoly ( X + 1 ) ) = 1 )
103	5, 102	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 0 BernPoly ( X + 1 ) ) = 1 )
104	103	oveq1d 6055	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( 0 BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - 0 ) + 1 ) ) = ( 1 / ( ( N - 0 ) + 1 ) ) )
105	104	oveq2d 6056	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( N _C 0 ) x. ( ( 0 BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - 0 ) + 1 ) ) ) = ( ( N _C 0 ) x. ( 1 / ( ( N - 0 ) + 1 ) ) ) )
106	105	oveq1d 6055	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( N _C 0 ) x. ( ( 0 BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - 0 ) + 1 ) ) ) + sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) ) = ( ( ( N _C 0 ) x. ( 1 / ( ( N - 0 ) + 1 ) ) ) + sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) ) )
107	101, 106	eqtrd 2436	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) = ( ( ( N _C 0 ) x. ( 1 / ( ( N - 0 ) + 1 ) ) ) + sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) ) )
108		oveq1 6047	. . . . . . . . . 10 |- ( k = 0 -> ( k BernPoly X ) = ( 0 BernPoly X ) )
109	108, 98	oveq12d 6058	. . . . . . . . 9 |- ( k = 0 -> ( ( k BernPoly X ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) = ( ( 0 BernPoly X ) / ( ( N - 0 ) + 1 ) ) )
110	95, 109	oveq12d 6058	. . . . . . . 8 |- ( k = 0 -> ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) = ( ( N _C 0 ) x. ( ( 0 BernPoly X ) / ( ( N - 0 ) + 1 ) ) ) )
111	78, 41, 110	fsum1p 12494	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) = ( ( ( N _C 0 ) x. ( ( 0 BernPoly X ) / ( ( N - 0 ) + 1 ) ) ) + sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) ) )
112		bpoly0 26000	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. CC -> ( 0 BernPoly X ) = 1 )
113	3, 112	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 0 BernPoly X ) = 1 )
114	113	oveq1d 6055	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( 0 BernPoly X ) / ( ( N - 0 ) + 1 ) ) = ( 1 / ( ( N - 0 ) + 1 ) ) )
115	114	oveq2d 6056	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( N _C 0 ) x. ( ( 0 BernPoly X ) / ( ( N - 0 ) + 1 ) ) ) = ( ( N _C 0 ) x. ( 1 / ( ( N - 0 ) + 1 ) ) ) )
116	115	oveq1d 6055	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( N _C 0 ) x. ( ( 0 BernPoly X ) / ( ( N - 0 ) + 1 ) ) ) + sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) ) = ( ( ( N _C 0 ) x. ( 1 / ( ( N - 0 ) + 1 ) ) ) + sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) ) )
117	111, 116	eqtrd 2436	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) = ( ( ( N _C 0 ) x. ( 1 / ( ( N - 0 ) + 1 ) ) ) + sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) ) )
118	107, 117	oveq12d 6058	. . . . 5 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) - sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) ) = ( ( ( ( N _C 0 ) x. ( 1 / ( ( N - 0 ) + 1 ) ) ) + sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) ) - ( ( ( N _C 0 ) x. ( 1 / ( ( N - 0 ) + 1 ) ) ) + sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) ) ) )
119		0z 10249	. . . . . . . . 9 |- 0 e. ZZ
120		bccl 11568	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ 0 e. ZZ ) -> ( N _C 0 ) e. NN0 )
121	2, 119, 120	sylancl 644	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( N _C 0 ) e. NN0 )
122	121	nn0cnd 10232	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( N _C 0 ) e. CC )
123	21	subid1d 9356	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( N - 0 ) = N )
124	123, 1	eqeltrd 2478	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( N - 0 ) e. NN )
125	124	peano2nnd 9973	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( N - 0 ) + 1 ) e. NN )
126	125	nnrecred 10001	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 / ( ( N - 0 ) + 1 ) ) e. RR )
127	126	recnd 9070	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 / ( ( N - 0 ) + 1 ) ) e. CC )
128	122, 127	mulcld 9064	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( N _C 0 ) x. ( 1 / ( ( N - 0 ) + 1 ) ) ) e. CC )
129		fzfid 11267	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) e. Fin )
130		fzp1ss 11054	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 e. ZZ -> ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) C_ ( 0 ... ( N - 1 ) ) )
131	119, 130	ax-mp 8	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) C_ ( 0 ... ( N - 1 ) )
132	131	sseli 3304	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) -> k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) )
133	132, 35	sylan2 461	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) e. CC )
134	129, 133	fsumcl 12482	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) e. CC )
135	132, 41	sylan2 461	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) e. CC )
136	129, 135	fsumcl 12482	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) e. CC )
137	128, 134, 136	pnpcand 9404	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( N _C 0 ) x. ( 1 / ( ( N - 0 ) + 1 ) ) ) + sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) ) - ( ( ( N _C 0 ) x. ( 1 / ( ( N - 0 ) + 1 ) ) ) + sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) ) ) = ( sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) - sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) ) )
138		1z 10267	. . . . . . . . 9 |- 1 e. ZZ
139	138	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
140	119	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
141	1	nnzd 10330	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. ZZ )
142		2z 10268	. . . . . . . . 9 |- 2 e. ZZ
143		zsubcl 10275	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) -> ( N - 2 ) e. ZZ )
144	141, 142, 143	sylancl 644	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( N - 2 ) e. ZZ )
145		fzssp1 11051	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 ... ( N - 2 ) ) C_ ( 0 ... ( ( N - 2 ) + 1 ) )
146		2m1e1 10051	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 2 - 1 ) = 1
147	146	oveq2i 6051	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N - ( 2 - 1 ) ) = ( N - 1 )
148		2cn 10026	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 e. CC
149	148	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 2 e. CC )
150	21, 149, 83	subsubd 9395	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( N - ( 2 - 1 ) ) = ( ( N - 2 ) + 1 ) )
151	147, 150	syl5reqr 2451	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( N - 2 ) + 1 ) = ( N - 1 ) )
152	151	oveq2d 6056	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 0 ... ( ( N - 2 ) + 1 ) ) = ( 0 ... ( N - 1 ) ) )
153	145, 152	syl5sseq 3356	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 0 ... ( N - 2 ) ) C_ ( 0 ... ( N - 1 ) ) )
154	153	sselda 3308	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( N - 2 ) ) ) -> m e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) )
155	154, 72	syldan 457	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... ( N - 2 ) ) ) -> ( ( N _C m ) x. ( X ^ m ) ) e. CC )
156		oveq2 6048	. . . . . . . . 9 |- ( m = ( k - 1 ) -> ( N _C m ) = ( N _C ( k - 1 ) ) )
157		oveq2 6048	. . . . . . . . 9 |- ( m = ( k - 1 ) -> ( X ^ m ) = ( X ^ ( k - 1 ) ) )
158	156, 157	oveq12d 6058	. . . . . . . 8 |- ( m = ( k - 1 ) -> ( ( N _C m ) x. ( X ^ m ) ) = ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( X ^ ( k - 1 ) ) ) )
159	139, 140, 144, 155, 158	fsumshft 12518	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ m e. ( 0 ... ( N - 2 ) ) ( ( N _C m ) x. ( X ^ m ) ) = sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( ( N - 2 ) + 1 ) ) ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( X ^ ( k - 1 ) ) ) )
160	151	oveq2d 6056	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 0 + 1 ) ... ( ( N - 2 ) + 1 ) ) = ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) )
161	160	sumeq1d 12450	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( ( N - 2 ) + 1 ) ) ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( X ^ ( k - 1 ) ) ) = sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( X ^ ( k - 1 ) ) ) )
162	159, 161	eqtrd 2436	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ m e. ( 0 ... ( N - 2 ) ) ( ( N _C m ) x. ( X ^ m ) ) = sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( X ^ ( k - 1 ) ) ) )
163		0p1e1 10049	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 + 1 ) = 1
164	163	oveq1i 6050	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) = ( 1 ... ( N - 1 ) )
165	164	eleq2i 2468	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) <-> k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) )
166		fzssp1 11051	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1 ... ( N - 1 ) ) C_ ( 1 ... ( ( N - 1 ) + 1 ) )
167	24	oveq2d 6056	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 1 ... ( ( N - 1 ) + 1 ) ) = ( 1 ... N ) )
168	166, 167	syl5sseq 3356	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 1 ... ( N - 1 ) ) C_ ( 1 ... N ) )
169	168	sselda 3308	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> k e. ( 1 ... N ) )
170		bcm1k 11561	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> ( N _C k ) = ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( N - ( k - 1 ) ) / k ) ) )
171	169, 170	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( N _C k ) = ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( N - ( k - 1 ) ) / k ) ) )
172	1	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> N e. NN )
173	172	nncnd 9972	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> N e. CC )
174		elfznn 11036	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> k e. NN )
175	174	adantl 453	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> k e. NN )
176	175	nncnd 9972	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> k e. CC )
177	22	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> 1 e. CC )
178	173, 176, 177	subsubd 9395	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( N - ( k - 1 ) ) = ( ( N - k ) + 1 ) )
179	178	oveq1d 6055	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( N - ( k - 1 ) ) / k ) = ( ( ( N - k ) + 1 ) / k ) )
180	179	oveq2d 6056	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( N - ( k - 1 ) ) / k ) ) = ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( ( N - k ) + 1 ) / k ) ) )
181	171, 180	eqtrd 2436	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( N _C k ) = ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( ( N - k ) + 1 ) / k ) ) )
182		bpolydiflem.3	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) - ( k BernPoly X ) ) = ( k x. ( X ^ ( k - 1 ) ) ) )
183	182	oveq1d 6055	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) - ( k BernPoly X ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) = ( ( k x. ( X ^ ( k - 1 ) ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) )
184	165, 132	sylbir 205	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) )
185	184, 19	sylan2 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( k BernPoly ( X + 1 ) ) e. CC )
186	184, 39	sylan2 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( k BernPoly X ) e. CC )
187	184, 32	sylan2 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( N - k ) + 1 ) e. CC )
188	184, 33	sylan2 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( N - k ) + 1 ) =/= 0 )
189	185, 186, 187, 188	divsubdird 9785	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) - ( k BernPoly X ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) = ( ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) - ( ( k BernPoly X ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) )
190	3	adantr 452	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> X e. CC )
191		nnm1nn0 10217	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN -> ( k - 1 ) e. NN0 )
192	175, 191	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( k - 1 ) e. NN0 )
193	190, 192	expcld 11478	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( X ^ ( k - 1 ) ) e. CC )
194	176, 193, 187, 188	div23d 9783	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( k x. ( X ^ ( k - 1 ) ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) = ( ( k / ( ( N - k ) + 1 ) ) x. ( X ^ ( k - 1 ) ) ) )
195	183, 189, 194	3eqtr3d 2444	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) - ( ( k BernPoly X ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) = ( ( k / ( ( N - k ) + 1 ) ) x. ( X ^ ( k - 1 ) ) ) )
196	181, 195	oveq12d 6058	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( N _C k ) x. ( ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) - ( ( k BernPoly X ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) ) = ( ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( ( N - k ) + 1 ) / k ) ) x. ( ( k / ( ( N - k ) + 1 ) ) x. ( X ^ ( k - 1 ) ) ) ) )
197	184, 16	sylan2 461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( N _C k ) e. CC )
198	185, 187, 188	divcld 9746	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) e. CC )
199	186, 187, 188	divcld 9746	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( k BernPoly X ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) e. CC )
200	197, 198, 199	subdid 9445	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( N _C k ) x. ( ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) - ( ( k BernPoly X ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) ) = ( ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) - ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) ) )
201	172	nnnn0d 10230	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> N e. NN0 )
202	192	nn0zd 10329	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( k - 1 ) e. ZZ )
203		bccl 11568	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN0 /\ ( k - 1 ) e. ZZ ) -> ( N _C ( k - 1 ) ) e. NN0 )
204	201, 202, 203	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( N _C ( k - 1 ) ) e. NN0 )
205	204	nn0cnd 10232	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( N _C ( k - 1 ) ) e. CC )
206	175	nnne0d 10000	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> k =/= 0 )
207	187, 176, 206	divcld 9746	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( ( N - k ) + 1 ) / k ) e. CC )
208	176, 187, 188	divcld 9746	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( k / ( ( N - k ) + 1 ) ) e. CC )
209	208, 193	mulcld 9064	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( k / ( ( N - k ) + 1 ) ) x. ( X ^ ( k - 1 ) ) ) e. CC )
210	205, 207, 209	mulassd 9067	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( ( N - k ) + 1 ) / k ) ) x. ( ( k / ( ( N - k ) + 1 ) ) x. ( X ^ ( k - 1 ) ) ) ) = ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( ( ( N - k ) + 1 ) / k ) x. ( ( k / ( ( N - k ) + 1 ) ) x. ( X ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) )
211	187, 176, 188, 206	divcan6d 9765	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( ( ( N - k ) + 1 ) / k ) x. ( k / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) = 1 )
212	211	oveq1d 6055	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( ( ( ( N - k ) + 1 ) / k ) x. ( k / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) x. ( X ^ ( k - 1 ) ) ) = ( 1 x. ( X ^ ( k - 1 ) ) ) )
213	207, 208, 193	mulassd 9067	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( ( ( ( N - k ) + 1 ) / k ) x. ( k / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) x. ( X ^ ( k - 1 ) ) ) = ( ( ( ( N - k ) + 1 ) / k ) x. ( ( k / ( ( N - k ) + 1 ) ) x. ( X ^ ( k - 1 ) ) ) ) )
214	193	mulid2d 9062	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( 1 x. ( X ^ ( k - 1 ) ) ) = ( X ^ ( k - 1 ) ) )
215	212, 213, 214	3eqtr3d 2444	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( ( ( N - k ) + 1 ) / k ) x. ( ( k / ( ( N - k ) + 1 ) ) x. ( X ^ ( k - 1 ) ) ) ) = ( X ^ ( k - 1 ) ) )
216	215	oveq2d 6056	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( ( ( N - k ) + 1 ) / k ) x. ( ( k / ( ( N - k ) + 1 ) ) x. ( X ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) = ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( X ^ ( k - 1 ) ) ) )
217	210, 216	eqtrd 2436	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( ( ( N - k ) + 1 ) / k ) ) x. ( ( k / ( ( N - k ) + 1 ) ) x. ( X ^ ( k - 1 ) ) ) ) = ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( X ^ ( k - 1 ) ) ) )
218	196, 200, 217	3eqtr3d 2444	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) - ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) ) = ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( X ^ ( k - 1 ) ) ) )
219	165, 218	sylan2b 462	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) - ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) ) = ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( X ^ ( k - 1 ) ) ) )
220	219	sumeq2dv 12452	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) - ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) ) = sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C ( k - 1 ) ) x. ( X ^ ( k - 1 ) ) ) )
221	129, 133, 135	fsumsub 12526	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) - ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) ) = ( sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) - sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) ) )
222	162, 220, 221	3eqtr2rd 2443	. . . . 5 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) - sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) ) = sum_ m e. ( 0 ... ( N - 2 ) ) ( ( N _C m ) x. ( X ^ m ) ) )
223	118, 137, 222	3eqtrd 2440	. . . 4 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) - sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) ) = sum_ m e. ( 0 ... ( N - 2 ) ) ( ( N _C m ) x. ( X ^ m ) ) )
224	94, 223	oveq12d 6058	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( ( X + 1 ) ^ N ) - ( X ^ N ) ) - ( sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) - sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) ) ) = ( ( sum_ m e. ( 0 ... ( N - 2 ) ) ( ( N _C m ) x. ( X ^ m ) ) + ( N x. ( X ^ ( N - 1 ) ) ) ) - sum_ m e. ( 0 ... ( N - 2 ) ) ( ( N _C m ) x. ( X ^ m ) ) ) )
225		fzfid 11267	. . . . 5 |- ( ph -> ( 0 ... ( N - 2 ) ) e. Fin )
226	225, 155	fsumcl 12482	. . . 4 |- ( ph -> sum_ m e. ( 0 ... ( N - 2 ) ) ( ( N _C m ) x. ( X ^ m ) ) e. CC )
227	3, 77	expcld 11478	. . . . 5 |- ( ph -> ( X ^ ( N - 1 ) ) e. CC )
228	21, 227	mulcld 9064	. . . 4 |- ( ph -> ( N x. ( X ^ ( N - 1 ) ) ) e. CC )
229	226, 228	pncan2d 9369	. . 3 |- ( ph -> ( ( sum_ m e. ( 0 ... ( N - 2 ) ) ( ( N _C m ) x. ( X ^ m ) ) + ( N x. ( X ^ ( N - 1 ) ) ) ) - sum_ m e. ( 0 ... ( N - 2 ) ) ( ( N _C m ) x. ( X ^ m ) ) ) = ( N x. ( X ^ ( N - 1 ) ) ) )
230	224, 229	eqtrd 2436	. 2 |- ( ph -> ( ( ( ( X + 1 ) ^ N ) - ( X ^ N ) ) - ( sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly ( X + 1 ) ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) - sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( N _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( N - k ) + 1 ) ) ) ) ) = ( N x. ( X ^ ( N - 1 ) ) ) )
231	10, 43, 230	3eqtrd 2440	1 |- ( ph -> ( ( N BernPoly ( X + 1 ) ) - ( N BernPoly X ) ) = ( N x. ( X ^ ( N - 1 ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 359   = wceq 1649   e. wcel 1721   =/= wne 2567   C_ wss 3280   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   0cc0 8946   1c1 8947   + caddc 8949   x. cmul 8951   - cmin 9247   / cdiv 9633   NNcn 9956   2c2 10005   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   ...cfz 10999   ^cexp 11337   _C cbc 11548   sum_csu 12434   BernPoly cbp 25996

This theorem is referenced by:  bpolydif  26005

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-sum 12435  df-pred 25382  df-bpoly 25997