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Theorem bpolydiflem 28197
Description: Lemma for bpolydif 28198. (Contributed by Scott Fenton, 12-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bpolydiflem.1  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
bpolydiflem.2  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
bpolydiflem.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  -  ( k BernPoly  X
) )  =  ( k  x.  ( X ^ ( k  - 
1 ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
bpolydiflem  |-  ( ph  ->  ( ( N BernPoly  ( X  +  1 ) )  -  ( N BernPoly  X ) )  =  ( N  x.  ( X ^ ( N  - 
1 ) ) ) )
Distinct variable groups:    k, N    ph, k    k, X

Proof of Theorem bpolydiflem
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bpolydiflem.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
21nnnn0d 10636 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
3 bpolydiflem.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
4 peano2cn 9541 . . . . 5  |-  ( X  e.  CC  ->  ( X  +  1 )  e.  CC )
53, 4syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  +  1 )  e.  CC )
6 bpolyval 28192 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( X  +  1
)  e.  CC )  ->  ( N BernPoly  ( X  +  1 ) )  =  ( ( ( X  +  1 ) ^ N )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) ) )
72, 5, 6syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N BernPoly  ( X  +  1 ) )  =  ( ( ( X  +  1 ) ^ N )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  ( X  + 
1 ) )  / 
( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) ) )
8 bpolyval 28192 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  X  e.  CC )  ->  ( N BernPoly  X )  =  ( ( X ^ N )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( N  -  k
)  +  1 ) ) ) ) )
92, 3, 8syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N BernPoly  X )  =  ( ( X ^ N )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( N  -  k
)  +  1 ) ) ) ) )
107, 9oveq12d 6109 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( N BernPoly  ( X  +  1 ) )  -  ( N BernPoly  X ) )  =  ( ( ( ( X  +  1 ) ^ N )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  ( X  + 
1 ) )  / 
( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) )  -  ( ( X ^ N )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( N  -  k
)  +  1 ) ) ) ) ) )
115, 2expcld 12008 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( X  + 
1 ) ^ N
)  e.  CC )
12 fzfid 11795 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  e.  Fin )
13 elfzelz 11453 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  k  e.  ZZ )
14 bccl 12098 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( N  _C  k
)  e.  NN0 )
152, 13, 14syl2an 477 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( N  _C  k )  e. 
NN0 )
1615nn0cnd 10638 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( N  _C  k )  e.  CC )
17 elfznn0 11481 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  k  e.  NN0 )
18 bpolycl 28195 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( X  +  1
)  e.  CC )  ->  ( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  e.  CC )
1917, 5, 18syl2anr 478 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
k BernPoly  ( X  +  1 ) )  e.  CC )
20 fzssp1 11501 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  C_  ( 0 ... (
( N  -  1 )  +  1 ) )
211nncnd 10338 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
22 ax-1cn 9340 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  CC
23 npcan 9619 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
2421, 22, 23sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
2524oveq2d 6107 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 0 ... (
( N  -  1 )  +  1 ) )  =  ( 0 ... N ) )
2620, 25syl5sseq 3404 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  C_  ( 0 ... N ) )
2726sselda 3356 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  k  e.  ( 0 ... N
) )
28 fznn0sub 11487 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  -  k )  e.  NN0 )
2927, 28syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( N  -  k )  e.  NN0 )
30 nn0p1nn 10619 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  -  k )  e.  NN0  ->  ( ( N  -  k )  +  1 )  e.  NN )
3129, 30syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( N  -  k
)  +  1 )  e.  NN )
3231nncnd 10338 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( N  -  k
)  +  1 )  e.  CC )
3331nnne0d 10366 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( N  -  k
)  +  1 )  =/=  0 )
3419, 32, 33divcld 10107 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) )  e.  CC )
3516, 34mulcld 9406 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( N  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  ( X  + 
1 ) )  / 
( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  e.  CC )
3612, 35fsumcl 13210 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  e.  CC )
373, 2expcld 12008 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X ^ N
)  e.  CC )
38 bpolycl 28195 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  X  e.  CC )  ->  ( k BernPoly  X )  e.  CC )
3917, 3, 38syl2anr 478 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
k BernPoly  X )  e.  CC )
4039, 32, 33divcld 10107 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( k BernPoly  X )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) )  e.  CC )
4116, 40mulcld 9406 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( N  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( N  -  k
)  +  1 ) ) )  e.  CC )
4212, 41fsumcl 13210 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  X )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  e.  CC )
4311, 36, 37, 42sub4d 9768 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  +  1 ) ^ N )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  ( X  + 
1 ) )  / 
( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) )  -  ( ( X ^ N )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( N  -  k
)  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( X  +  1 ) ^ N )  -  ( X ^ N ) )  -  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  X )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) ) ) )
44 addcom 9555 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( X  +  1 )  =  ( 1  +  X ) )
453, 22, 44sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( X  +  1 )  =  ( 1  +  X ) )
4645oveq1d 6106 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( X  + 
1 ) ^ N
)  =  ( ( 1  +  X ) ^ N ) )
47 binom1p 13294 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  +  X ) ^ N
)  =  sum_ m  e.  ( 0 ... N
) ( ( N  _C  m )  x.  ( X ^ m
) ) )
483, 2, 47syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  X ) ^ N
)  =  sum_ m  e.  ( 0 ... N
) ( ( N  _C  m )  x.  ( X ^ m
) ) )
4946, 48eqtrd 2475 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( X  + 
1 ) ^ N
)  =  sum_ m  e.  ( 0 ... N
) ( ( N  _C  m )  x.  ( X ^ m
) ) )
50 nn0uz 10895 . . . . . . . . . 10  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
512, 50syl6eleq 2533 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
52 bccl2 12099 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  _C  m )  e.  NN )
5352adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( N  _C  m )  e.  NN )
5453nncnd 10338 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( N  _C  m )  e.  CC )
55 elfznn0 11481 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  ( 0 ... N )  ->  m  e.  NN0 )
56 expcl 11883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  CC  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( X ^ m
)  e.  CC )
573, 55, 56syl2an 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( X ^ m )  e.  CC )
5854, 57mulcld 9406 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( N  _C  m
)  x.  ( X ^ m ) )  e.  CC )
59 oveq2 6099 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  N  ->  ( N  _C  m )  =  ( N  _C  N
) )
60 oveq2 6099 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  N  ->  ( X ^ m )  =  ( X ^ N
) )
6159, 60oveq12d 6109 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  N  ->  (
( N  _C  m
)  x.  ( X ^ m ) )  =  ( ( N  _C  N )  x.  ( X ^ N
) ) )
6251, 58, 61fsumm1 13220 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  (
0 ... N ) ( ( N  _C  m
)  x.  ( X ^ m ) )  =  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  m )  x.  ( X ^ m
) )  +  ( ( N  _C  N
)  x.  ( X ^ N ) ) ) )
63 bcnn 12088 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  _C  N )  =  1 )
642, 63syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( N  _C  N
)  =  1 )
6564oveq1d 6106 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( N  _C  N )  x.  ( X ^ N ) )  =  ( 1  x.  ( X ^ N
) ) )
6637mulid2d 9404 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  ( X ^ N ) )  =  ( X ^ N ) )
6765, 66eqtrd 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( N  _C  N )  x.  ( X ^ N ) )  =  ( X ^ N ) )
6867oveq2d 6107 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  m )  x.  ( X ^ m ) )  +  ( ( N  _C  N )  x.  ( X ^ N
) ) )  =  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  m )  x.  ( X ^ m ) )  +  ( X ^ N ) ) )
6949, 62, 683eqtrd 2479 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( X  + 
1 ) ^ N
)  =  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  m )  x.  ( X ^
m ) )  +  ( X ^ N
) ) )
7069oveq1d 6106 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  +  1 ) ^ N )  -  ( X ^ N ) )  =  ( ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  m )  x.  ( X ^
m ) )  +  ( X ^ N
) )  -  ( X ^ N ) ) )
7126sselda 3356 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  m  e.  ( 0 ... N
) )
7271, 58syldan 470 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( N  _C  m
)  x.  ( X ^ m ) )  e.  CC )
7312, 72fsumcl 13210 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( N  _C  m
)  x.  ( X ^ m ) )  e.  CC )
7473, 37pncand 9720 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  m )  x.  ( X ^ m
) )  +  ( X ^ N ) )  -  ( X ^ N ) )  =  sum_ m  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  m )  x.  ( X ^ m ) ) )
7570, 74eqtrd 2475 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  +  1 ) ^ N )  -  ( X ^ N ) )  =  sum_ m  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  m )  x.  ( X ^ m ) ) )
76 nnm1nn0 10621 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
771, 76syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
7877, 50syl6eleq 2533 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
79 oveq2 6099 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( N  - 
1 )  ->  ( N  _C  m )  =  ( N  _C  ( N  -  1 ) ) )
80 oveq2 6099 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( N  - 
1 )  ->  ( X ^ m )  =  ( X ^ ( N  -  1 ) ) )
8179, 80oveq12d 6109 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( N  - 
1 )  ->  (
( N  _C  m
)  x.  ( X ^ m ) )  =  ( ( N  _C  ( N  - 
1 ) )  x.  ( X ^ ( N  -  1 ) ) ) )
8278, 72, 81fsumm1 13220 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( N  _C  m
)  x.  ( X ^ m ) )  =  ( sum_ m  e.  ( 0 ... (
( N  -  1 )  -  1 ) ) ( ( N  _C  m )  x.  ( X ^ m
) )  +  ( ( N  _C  ( N  -  1 ) )  x.  ( X ^ ( N  - 
1 ) ) ) ) )
8322a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
8421, 83, 83subsub4d 9750 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( N  - 
1 )  -  1 )  =  ( N  -  ( 1  +  1 ) ) )
85 df-2 10380 . . . . . . . . . 10  |-  2  =  ( 1  +  1 )
8685oveq2i 6102 . . . . . . . . 9  |-  ( N  -  2 )  =  ( N  -  (
1  +  1 ) )
8784, 86syl6eqr 2493 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( N  - 
1 )  -  1 )  =  ( N  -  2 ) )
8887oveq2d 6107 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0 ... (
( N  -  1 )  -  1 ) )  =  ( 0 ... ( N  - 
2 ) ) )
8988sumeq1d 13178 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  (
0 ... ( ( N  -  1 )  - 
1 ) ) ( ( N  _C  m
)  x.  ( X ^ m ) )  =  sum_ m  e.  ( 0 ... ( N  -  2 ) ) ( ( N  _C  m )  x.  ( X ^ m ) ) )
90 bcnm1 27388 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  _C  ( N  - 
1 ) )  =  N )
912, 90syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N  _C  ( N  -  1 ) )  =  N )
9291oveq1d 6106 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( N  _C  ( N  -  1
) )  x.  ( X ^ ( N  - 
1 ) ) )  =  ( N  x.  ( X ^ ( N  -  1 ) ) ) )
9389, 92oveq12d 6109 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( ( N  -  1 )  -  1 ) ) ( ( N  _C  m )  x.  ( X ^ m ) )  +  ( ( N  _C  ( N  - 
1 ) )  x.  ( X ^ ( N  -  1 ) ) ) )  =  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( N  -  2 ) ) ( ( N  _C  m )  x.  ( X ^ m ) )  +  ( N  x.  ( X ^ ( N  -  1 ) ) ) ) )
9475, 82, 933eqtrd 2479 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  +  1 ) ^ N )  -  ( X ^ N ) )  =  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( N  -  2 ) ) ( ( N  _C  m )  x.  ( X ^ m
) )  +  ( N  x.  ( X ^ ( N  - 
1 ) ) ) ) )
95 oveq2 6099 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  0  ->  ( N  _C  k )  =  ( N  _C  0
) )
96 oveq1 6098 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  0  ->  (
k BernPoly  ( X  +  1 ) )  =  ( 0 BernPoly  ( X  + 
1 ) ) )
97 oveq2 6099 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  0  ->  ( N  -  k )  =  ( N  - 
0 ) )
9897oveq1d 6106 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  0  ->  (
( N  -  k
)  +  1 )  =  ( ( N  -  0 )  +  1 ) )
9996, 98oveq12d 6109 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  0  ->  (
( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) )  =  ( ( 0 BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  0 )  +  1 ) ) )
10095, 99oveq12d 6109 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  0  ->  (
( N  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  ( X  + 
1 ) )  / 
( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( N  _C  0 )  x.  (
( 0 BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  0 )  +  1 ) ) ) )
10178, 35, 100fsum1p 13222 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( N  _C  0 )  x.  ( ( 0 BernPoly  ( X  +  1
) )  /  (
( N  -  0 )  +  1 ) ) )  +  sum_ k  e.  ( (
0  +  1 ) ... ( N  - 
1 ) ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  ( X  + 
1 ) )  / 
( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) ) )
102 bpoly0 28193 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  +  1 )  e.  CC  ->  (
0 BernPoly  ( X  +  1 ) )  =  1 )
1035, 102syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 0 BernPoly  ( X  +  1 ) )  =  1 )
104103oveq1d 6106 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 0 BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  0 )  +  1 ) )  =  ( 1  / 
( ( N  - 
0 )  +  1 ) ) )
105104oveq2d 6107 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( N  _C  0 )  x.  (
( 0 BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  0 )  +  1 ) ) )  =  ( ( N  _C  0 )  x.  ( 1  /  (
( N  -  0 )  +  1 ) ) ) )
106105oveq1d 6106 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  _C  0 )  x.  ( ( 0 BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  0 )  +  1 ) ) )  +  sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( N  _C  0 )  x.  (
1  /  ( ( N  -  0 )  +  1 ) ) )  +  sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) ) )
107101, 106eqtrd 2475 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( N  _C  0 )  x.  ( 1  / 
( ( N  - 
0 )  +  1 ) ) )  + 
sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) ) )
108 oveq1 6098 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  0  ->  (
k BernPoly  X )  =  ( 0 BernPoly  X ) )
109108, 98oveq12d 6109 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  0  ->  (
( k BernPoly  X )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) )  =  ( ( 0 BernPoly  X
)  /  ( ( N  -  0 )  +  1 ) ) )
11095, 109oveq12d 6109 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  0  ->  (
( N  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( N  -  k
)  +  1 ) ) )  =  ( ( N  _C  0
)  x.  ( ( 0 BernPoly  X )  /  (
( N  -  0 )  +  1 ) ) ) )
11178, 41, 110fsum1p 13222 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  X )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( N  _C  0 )  x.  ( ( 0 BernPoly  X )  /  (
( N  -  0 )  +  1 ) ) )  +  sum_ k  e.  ( (
0  +  1 ) ... ( N  - 
1 ) ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( N  -  k
)  +  1 ) ) ) ) )
112 bpoly0 28193 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  CC  ->  (
0 BernPoly  X )  =  1 )
1133, 112syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 0 BernPoly  X )  =  1 )
114113oveq1d 6106 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 0 BernPoly  X
)  /  ( ( N  -  0 )  +  1 ) )  =  ( 1  / 
( ( N  - 
0 )  +  1 ) ) )
115114oveq2d 6107 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( N  _C  0 )  x.  (
( 0 BernPoly  X )  /  ( ( N  -  0 )  +  1 ) ) )  =  ( ( N  _C  0 )  x.  ( 1  /  (
( N  -  0 )  +  1 ) ) ) )
116115oveq1d 6106 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  _C  0 )  x.  ( ( 0 BernPoly  X
)  /  ( ( N  -  0 )  +  1 ) ) )  +  sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( N  _C  0 )  x.  (
1  /  ( ( N  -  0 )  +  1 ) ) )  +  sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) ) )
117111, 116eqtrd 2475 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  X )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( N  _C  0 )  x.  ( 1  / 
( ( N  - 
0 )  +  1 ) ) )  + 
sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  X )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) ) )
118107, 117oveq12d 6109 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  X )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( ( N  _C  0 )  x.  (
1  /  ( ( N  -  0 )  +  1 ) ) )  +  sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) )  -  (
( ( N  _C  0 )  x.  (
1  /  ( ( N  -  0 )  +  1 ) ) )  +  sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) ) ) )
119 0z 10657 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  ZZ
120 bccl 12098 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( N  _C  0
)  e.  NN0 )
1212, 119, 120sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N  _C  0
)  e.  NN0 )
122121nn0cnd 10638 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N  _C  0
)  e.  CC )
12321subid1d 9708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( N  -  0 )  =  N )
124123, 1eqeltrd 2517 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N  -  0 )  e.  NN )
125124peano2nnd 10339 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( N  - 
0 )  +  1 )  e.  NN )
126125nnrecred 10367 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  /  (
( N  -  0 )  +  1 ) )  e.  RR )
127126recnd 9412 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  /  (
( N  -  0 )  +  1 ) )  e.  CC )
128122, 127mulcld 9406 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( N  _C  0 )  x.  (
1  /  ( ( N  -  0 )  +  1 ) ) )  e.  CC )
129 fzfid 11795 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) )  e.  Fin )
130 fzp1ss 11506 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) 
C_  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )
131119, 130ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  - 
1 ) )  C_  ( 0 ... ( N  -  1 ) )
132131sseli 3352 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) )  ->  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )
133132, 35sylan2 474 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( N  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  ( X  + 
1 ) )  / 
( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  e.  CC )
134129, 133fsumcl 13210 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  e.  CC )
135132, 41sylan2 474 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( N  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( N  -  k
)  +  1 ) ) )  e.  CC )
136129, 135fsumcl 13210 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  X )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  e.  CC )
137128, 134, 136pnpcand 9756 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( N  _C  0 )  x.  ( 1  / 
( ( N  - 
0 )  +  1 ) ) )  + 
sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) )  -  ( ( ( N  _C  0
)  x.  ( 1  /  ( ( N  -  0 )  +  1 ) ) )  +  sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  X )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) ) )  =  (
sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  -  sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  X )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) ) )
138 1z 10676 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  ZZ
139138a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
140 0zd 10658 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
1411nnzd 10746 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
142 2z 10678 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  ZZ
143 zsubcl 10687 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  ->  ( N  -  2 )  e.  ZZ )
144141, 142, 143sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N  -  2 )  e.  ZZ )
145 fzssp1 11501 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 ... ( N  - 
2 ) )  C_  ( 0 ... (
( N  -  2 )  +  1 ) )
146 2m1e1 10436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  -  1 )  =  1
147146oveq2i 6102 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  -  ( 2  -  1 ) )  =  ( N  -  1 )
148 2cnd 10394 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
14921, 148, 83subsubd 9747 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( N  -  (
2  -  1 ) )  =  ( ( N  -  2 )  +  1 ) )
150147, 149syl5reqr 2490 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( N  - 
2 )  +  1 )  =  ( N  -  1 ) )
151150oveq2d 6107 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 0 ... (
( N  -  2 )  +  1 ) )  =  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) )
152145, 151syl5sseq 3404 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 0 ... ( N  -  2 ) )  C_  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) )
153152sselda 3356 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 0 ... ( N  -  2 ) ) )  ->  m  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )
154153, 72syldan 470 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 0 ... ( N  -  2 ) ) )  ->  (
( N  _C  m
)  x.  ( X ^ m ) )  e.  CC )
155 oveq2 6099 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( k  - 
1 )  ->  ( N  _C  m )  =  ( N  _C  (
k  -  1 ) ) )
156 oveq2 6099 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( k  - 
1 )  ->  ( X ^ m )  =  ( X ^ (
k  -  1 ) ) )
157155, 156oveq12d 6109 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( k  - 
1 )  ->  (
( N  _C  m
)  x.  ( X ^ m ) )  =  ( ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  x.  ( X ^ (
k  -  1 ) ) ) )
158139, 140, 144, 154, 157fsumshft 13247 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  (
0 ... ( N  - 
2 ) ) ( ( N  _C  m
)  x.  ( X ^ m ) )  =  sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( ( N  -  2 )  +  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  - 
1 ) ) ) )
159150oveq2d 6107 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 0  +  1 ) ... (
( N  -  2 )  +  1 ) )  =  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  - 
1 ) ) )
160159sumeq1d 13178 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( ( N  -  2 )  +  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  - 
1 ) ) )  =  sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  - 
1 ) ) ) )
161158, 160eqtrd 2475 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  (
0 ... ( N  - 
2 ) ) ( ( N  _C  m
)  x.  ( X ^ m ) )  =  sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  - 
1 ) ) ) )
162 0p1e1 10433 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  +  1 )  =  1
163162oveq1i 6101 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  - 
1 ) )  =  ( 1 ... ( N  -  1 ) )
164163eleq2i 2507 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) )  <->  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )
165 fzssp1 11501 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1 ... ( N  - 
1 ) )  C_  ( 1 ... (
( N  -  1 )  +  1 ) )
16624oveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 1 ... (
( N  -  1 )  +  1 ) )  =  ( 1 ... N ) )
167165, 166syl5sseq 3404 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  C_  ( 1 ... N ) )
168167sselda 3356 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  k  e.  ( 1 ... N
) )
169 bcm1k 12091 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  ( N  _C  k )  =  ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( N  -  (
k  -  1 ) )  /  k ) ) )
170168, 169syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( N  _C  k )  =  ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( N  -  (
k  -  1 ) )  /  k ) ) )
1711adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  N  e.  NN )
172171nncnd 10338 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  N  e.  CC )
173 elfznn 11478 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  k  e.  NN )
174173adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  k  e.  NN )
175174nncnd 10338 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  k  e.  CC )
17622a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  1  e.  CC )
177172, 175, 176subsubd 9747 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( N  -  ( k  -  1 ) )  =  ( ( N  -  k )  +  1 ) )
178177oveq1d 6106 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( N  -  (
k  -  1 ) )  /  k )  =  ( ( ( N  -  k )  +  1 )  / 
k ) )
179178oveq2d 6107 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( N  _C  (
k  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  ( k  -  1 ) )  /  k ) )  =  ( ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  x.  ( ( ( N  -  k )  +  1 )  /  k
) ) )
180170, 179eqtrd 2475 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( N  _C  k )  =  ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( ( N  -  k )  +  1 )  /  k ) ) )
181 bpolydiflem.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  -  ( k BernPoly  X
) )  =  ( k  x.  ( X ^ ( k  - 
1 ) ) ) )
182181oveq1d 6106 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( ( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  -  ( k BernPoly  X ) )  / 
( ( N  -  k )  +  1 ) )  =  ( ( k  x.  ( X ^ ( k  - 
1 ) ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )
183164, 132sylbir 213 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )
184183, 19sylan2 474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
k BernPoly  ( X  +  1 ) )  e.  CC )
185183, 39sylan2 474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
k BernPoly  X )  e.  CC )
186183, 32sylan2 474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( N  -  k
)  +  1 )  e.  CC )
187183, 33sylan2 474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( N  -  k
)  +  1 )  =/=  0 )
188184, 185, 186, 187divsubdird 10146 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( ( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  -  ( k BernPoly  X ) )  / 
( ( N  -  k )  +  1 ) )  =  ( ( ( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) )  -  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( N  -  k
)  +  1 ) ) ) )
1893adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  X  e.  CC )
190 nnm1nn0 10621 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  -  1 )  e.  NN0 )
191174, 190syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
k  -  1 )  e.  NN0 )
192189, 191expcld 12008 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( X ^ ( k  - 
1 ) )  e.  CC )
193175, 192, 186, 187div23d 10144 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( k  x.  ( X ^ ( k  - 
1 ) ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) )  =  ( ( k  / 
( ( N  -  k )  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  - 
1 ) ) ) )
194182, 188, 1933eqtr3d 2483 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( ( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) )  -  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( N  -  k
)  +  1 ) ) )  =  ( ( k  /  (
( N  -  k
)  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  - 
1 ) ) ) )
195180, 194oveq12d 6109 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( N  _C  k
)  x.  ( ( ( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) )  -  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( ( N  -  k )  +  1 )  /  k ) )  x.  ( ( k  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) )  x.  ( X ^
( k  -  1 ) ) ) ) )
196183, 16sylan2 474 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( N  _C  k )  e.  CC )
197184, 186, 187divcld 10107 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) )  e.  CC )
198185, 186, 187divcld 10107 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( k BernPoly  X )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) )  e.  CC )
199196, 197, 198subdid 9800 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( N  _C  k
)  x.  ( ( ( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) )  -  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  -  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) ) )
200171nnnn0d 10636 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  N  e.  NN0 )
201191nn0zd 10745 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
k  -  1 )  e.  ZZ )
202 bccl 12098 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( k  -  1 )  e.  ZZ )  ->  ( N  _C  ( k  -  1 ) )  e.  NN0 )
203200, 201, 202syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  e. 
NN0 )
204203nn0cnd 10638 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  e.  CC )
205174nnne0d 10366 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  k  =/=  0 )
206186, 175, 205divcld 10107 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( ( N  -  k )  +  1 )  /  k )  e.  CC )
207175, 186, 187divcld 10107 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
k  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) )  e.  CC )
208207, 192mulcld 9406 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( k  /  (
( N  -  k
)  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  - 
1 ) ) )  e.  CC )
209204, 206, 208mulassd 9409 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( ( N  -  k )  +  1 )  /  k ) )  x.  ( ( k  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) )  x.  ( X ^
( k  -  1 ) ) ) )  =  ( ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  x.  ( ( ( ( N  -  k )  +  1 )  / 
k )  x.  (
( k  /  (
( N  -  k
)  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  - 
1 ) ) ) ) ) )
210186, 175, 187, 205divcan6d 10126 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( ( ( N  -  k )  +  1 )  /  k
)  x.  ( k  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  =  1 )
211210oveq1d 6106 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( ( ( ( N  -  k )  +  1 )  / 
k )  x.  (
k  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  x.  ( X ^ ( k  - 
1 ) ) )  =  ( 1  x.  ( X ^ (
k  -  1 ) ) ) )
212206, 207, 192mulassd 9409 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( ( ( ( N  -  k )  +  1 )  / 
k )  x.  (
k  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  x.  ( X ^ ( k  - 
1 ) ) )  =  ( ( ( ( N  -  k
)  +  1 )  /  k )  x.  ( ( k  / 
( ( N  -  k )  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  - 
1 ) ) ) ) )
213192mulid2d 9404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
1  x.  ( X ^ ( k  - 
1 ) ) )  =  ( X ^
( k  -  1 ) ) )
214211, 212, 2133eqtr3d 2483 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( ( ( N  -  k )  +  1 )  /  k
)  x.  ( ( k  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) )  x.  ( X ^
( k  -  1 ) ) ) )  =  ( X ^
( k  -  1 ) ) )
215214oveq2d 6107 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( N  _C  (
k  -  1 ) )  x.  ( ( ( ( N  -  k )  +  1 )  /  k )  x.  ( ( k  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) )  x.  ( X ^ (
k  -  1 ) ) ) ) )  =  ( ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  x.  ( X ^ (
k  -  1 ) ) ) )
216209, 215eqtrd 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( ( N  -  k )  +  1 )  /  k ) )  x.  ( ( k  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) )  x.  ( X ^
( k  -  1 ) ) ) )  =  ( ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  x.  ( X ^ (
k  -  1 ) ) ) )
217195, 199, 2163eqtr3d 2483 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  -  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( N  _C  (
k  -  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  - 
1 ) ) ) )
218164, 217sylan2b 475 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  -  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( N  _C  (
k  -  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  - 
1 ) ) ) )
219218sumeq2dv 13180 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( ( N  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  -  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( N  -  k
)  +  1 ) ) ) )  = 
sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  - 
1 ) ) ) )
220129, 133, 135fsumsub 13255 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( ( N  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  -  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( N  -  k
)  +  1 ) ) ) )  =  ( sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  -  sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  X )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) ) )
221161, 219, 2203eqtr2rd 2482 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  -  sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  X )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) )  =  sum_ m  e.  ( 0 ... ( N  -  2 ) ) ( ( N  _C  m )  x.  ( X ^ m
) ) )
222118, 137, 2213eqtrd 2479 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  X )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) )  =  sum_ m  e.  ( 0 ... ( N  -  2 ) ) ( ( N  _C  m )  x.  ( X ^ m
) ) )
22394, 222oveq12d 6109 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  +  1 ) ^ N )  -  ( X ^ N ) )  -  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  ( X  + 
1 ) )  / 
( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( N  -  k
)  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( N  -  2 ) ) ( ( N  _C  m )  x.  ( X ^
m ) )  +  ( N  x.  ( X ^ ( N  - 
1 ) ) ) )  -  sum_ m  e.  ( 0 ... ( N  -  2 ) ) ( ( N  _C  m )  x.  ( X ^ m
) ) ) )
224 fzfid 11795 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0 ... ( N  -  2 ) )  e.  Fin )
225224, 154fsumcl 13210 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  (
0 ... ( N  - 
2 ) ) ( ( N  _C  m
)  x.  ( X ^ m ) )  e.  CC )
2263, 77expcld 12008 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X ^ ( N  -  1 ) )  e.  CC )
22721, 226mulcld 9406 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N  x.  ( X ^ ( N  - 
1 ) ) )  e.  CC )
228225, 227pncan2d 9721 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( N  -  2 ) ) ( ( N  _C  m )  x.  ( X ^ m
) )  +  ( N  x.  ( X ^ ( N  - 
1 ) ) ) )  -  sum_ m  e.  ( 0 ... ( N  -  2 ) ) ( ( N  _C  m )  x.  ( X ^ m
) ) )  =  ( N  x.  ( X ^ ( N  - 
1 ) ) ) )
229223, 228eqtrd 2475 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  +  1 ) ^ N )  -  ( X ^ N ) )  -  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  ( X  + 
1 ) )  / 
( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( N  -  k
)  +  1 ) ) ) ) )  =  ( N  x.  ( X ^ ( N  -  1 ) ) ) )
23010, 43, 2293eqtrd 2479 1  |-  ( ph  ->  ( ( N BernPoly  ( X  +  1 ) )  -  ( N BernPoly  X ) )  =  ( N  x.  ( X ^ ( N  - 
1 ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2606    C_ wss 3328   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   CCcc 9280   0cc0 9282   1c1 9283    + caddc 9285    x. cmul 9287    - cmin 9595    / cdiv 9993   NNcn 10322   2c2 10371   NN0cn0 10579   ZZcz 10646   ZZ>=cuz 10861   ...cfz 11437   ^cexp 11865    _C cbc 12078   sum_csu 13163   BernPoly cbp 28189
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-inf2 7847  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-sup 7691  df-oi 7724  df-card 8109  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-rp 10992  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-seq 11807  df-exp 11866  df-fac 12052  df-bc 12079  df-hash 12104  df-cj 12588  df-re 12589  df-im 12590  df-sqr 12724  df-abs 12725  df-clim 12966  df-sum 13164  df-pred 27625  df-wrecs 27717  df-bpoly 28190
This theorem is referenced by:  bpolydif  28198
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