Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bpolycl Structured version   Unicode version

Theorem bpolycl 29741
 Description: Closure law for Bernoulli polynomials. (Contributed by Scott Fenton, 16-May-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
bpolycl BernPoly

Proof of Theorem bpolycl
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6302 . . . . 5 BernPoly BernPoly
21eleq1d 2536 . . . 4 BernPoly BernPoly
32imbi2d 316 . . 3 BernPoly BernPoly
4 oveq1 6302 . . . . 5 BernPoly BernPoly
54eleq1d 2536 . . . 4 BernPoly BernPoly
65imbi2d 316 . . 3 BernPoly BernPoly
7 r19.21v 2872 . . . 4 BernPoly BernPoly
8 bpolyval 29738 . . . . . . . 8 BernPoly BernPoly
983adant3 1016 . . . . . . 7 BernPoly BernPoly BernPoly
10 simp2 997 . . . . . . . . 9 BernPoly
11 simp1 996 . . . . . . . . 9 BernPoly
1210, 11expcld 12290 . . . . . . . 8 BernPoly
13 fzfid 12063 . . . . . . . . 9 BernPoly
14 elfzelz 11700 . . . . . . . . . . . 12
15 bccl 12380 . . . . . . . . . . . 12
1611, 14, 15syl2an 477 . . . . . . . . . . 11 BernPoly
1716nn0cnd 10866 . . . . . . . . . 10 BernPoly
18 oveq1 6302 . . . . . . . . . . . . . 14 BernPoly BernPoly
1918eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . . 13 BernPoly BernPoly
2019rspccva 3218 . . . . . . . . . . . 12 BernPoly BernPoly
21203ad2antl3 1160 . . . . . . . . . . 11 BernPoly BernPoly
22 fzssp1 11738 . . . . . . . . . . . . . . 15
2311nn0cnd 10866 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 BernPoly
24 ax-1cn 9562 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
25 npcan 9841 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2623, 24, 25sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . 16 BernPoly
2726oveq2d 6311 . . . . . . . . . . . . . . 15 BernPoly
2822, 27syl5sseq 3557 . . . . . . . . . . . . . 14 BernPoly
2928sselda 3509 . . . . . . . . . . . . 13 BernPoly
30 fznn0sub 11728 . . . . . . . . . . . . 13
31 nn0p1nn 10847 . . . . . . . . . . . . 13
3229, 30, 313syl 20 . . . . . . . . . . . 12 BernPoly
3332nncnd 10564 . . . . . . . . . . 11 BernPoly
3432nnne0d 10592 . . . . . . . . . . 11 BernPoly
3521, 33, 34divcld 10332 . . . . . . . . . 10 BernPoly BernPoly
3617, 35mulcld 9628 . . . . . . . . 9 BernPoly BernPoly
3713, 36fsumcl 13535 . . . . . . . 8 BernPoly BernPoly
3812, 37subcld 9942 . . . . . . 7 BernPoly BernPoly
399, 38eqeltrd 2555 . . . . . 6 BernPoly BernPoly
40393exp 1195 . . . . 5 BernPoly BernPoly
4140a2d 26 . . . 4 BernPoly BernPoly
427, 41syl5bi 217 . . 3 BernPoly BernPoly
433, 6, 42nn0sinds 29225 . 2 BernPoly
4443imp 429 1 BernPoly
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   w3a 973   wceq 1379   wcel 1767  wral 2817  (class class class)co 6295  cc 9502  cc0 9504  c1 9505   caddc 9507   cmul 9509   cmin 9817   cdiv 10218  cn 10548  cn0 10807  cz 10876  cfz 11684  cexp 12146   cbc 12360  csu 13488   BernPoly cbp 29735 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-rp 11233  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-seq 12088  df-exp 12147  df-fac 12334  df-bc 12361  df-hash 12386  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-clim 13291  df-sum 13489  df-pred 29171  df-wrecs 29263  df-bpoly 29736 This theorem is referenced by:  bpolysum  29742  bpolydiflem  29743  fsumkthpow  29745  bpoly3  29747  bpoly4  29748
 Copyright terms: Public domain W3C validator