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Theorem bpolycl 28195
Description: Closure law for Bernoulli polynomials. (Contributed by Scott Fenton, 16-May-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
bpolycl  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  X  e.  CC )  ->  ( N BernPoly  X )  e.  CC )

Proof of Theorem bpolycl
Dummy variables  n  k  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6098 . . . . 5  |-  ( n  =  k  ->  (
n BernPoly  X )  =  ( k BernPoly  X ) )
21eleq1d 2509 . . . 4  |-  ( n  =  k  ->  (
( n BernPoly  X )  e.  CC  <->  ( k BernPoly  X
)  e.  CC ) )
32imbi2d 316 . . 3  |-  ( n  =  k  ->  (
( X  e.  CC  ->  ( n BernPoly  X )  e.  CC )  <->  ( X  e.  CC  ->  ( k BernPoly  X )  e.  CC ) ) )
4 oveq1 6098 . . . . 5  |-  ( n  =  N  ->  (
n BernPoly  X )  =  ( N BernPoly  X ) )
54eleq1d 2509 . . . 4  |-  ( n  =  N  ->  (
( n BernPoly  X )  e.  CC  <->  ( N BernPoly  X )  e.  CC ) )
65imbi2d 316 . . 3  |-  ( n  =  N  ->  (
( X  e.  CC  ->  ( n BernPoly  X )  e.  CC )  <->  ( X  e.  CC  ->  ( N BernPoly  X )  e.  CC ) ) )
7 r19.21v 2803 . . . 4  |-  ( A. k  e.  ( 0 ... ( n  - 
1 ) ) ( X  e.  CC  ->  ( k BernPoly  X )  e.  CC ) 
<->  ( X  e.  CC  ->  A. k  e.  ( 0 ... ( n  -  1 ) ) ( k BernPoly  X )  e.  CC ) )
8 bpolyval 28192 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  X  e.  CC )  ->  ( n BernPoly  X )  =  ( ( X ^ n )  -  sum_ m  e.  ( 0 ... ( n  - 
1 ) ) ( ( n  _C  m
)  x.  ( ( m BernPoly  X )  /  (
( n  -  m
)  +  1 ) ) ) ) )
983adant3 1008 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  X  e.  CC  /\  A. k  e.  ( 0 ... ( n  - 
1 ) ) ( k BernPoly  X )  e.  CC )  ->  ( n BernPoly  X
)  =  ( ( X ^ n )  -  sum_ m  e.  ( 0 ... ( n  -  1 ) ) ( ( n  _C  m )  x.  (
( m BernPoly  X )  /  ( ( n  -  m )  +  1 ) ) ) ) )
10 simp2 989 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  X  e.  CC  /\  A. k  e.  ( 0 ... ( n  - 
1 ) ) ( k BernPoly  X )  e.  CC )  ->  X  e.  CC )
11 simp1 988 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  X  e.  CC  /\  A. k  e.  ( 0 ... ( n  - 
1 ) ) ( k BernPoly  X )  e.  CC )  ->  n  e.  NN0 )
1210, 11expcld 12008 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  X  e.  CC  /\  A. k  e.  ( 0 ... ( n  - 
1 ) ) ( k BernPoly  X )  e.  CC )  ->  ( X ^
n )  e.  CC )
13 fzfid 11795 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  X  e.  CC  /\  A. k  e.  ( 0 ... ( n  - 
1 ) ) ( k BernPoly  X )  e.  CC )  ->  ( 0 ... ( n  -  1 ) )  e.  Fin )
14 elfzelz 11453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  ( 0 ... ( n  -  1 ) )  ->  m  e.  ZZ )
15 bccl 12098 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( n  _C  m
)  e.  NN0 )
1611, 14, 15syl2an 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  X  e.  CC  /\  A. k  e.  ( 0 ... ( n  - 
1 ) ) ( k BernPoly  X )  e.  CC )  /\  m  e.  ( 0 ... ( n  -  1 ) ) )  ->  ( n  _C  m )  e.  NN0 )
1716nn0cnd 10638 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  X  e.  CC  /\  A. k  e.  ( 0 ... ( n  - 
1 ) ) ( k BernPoly  X )  e.  CC )  /\  m  e.  ( 0 ... ( n  -  1 ) ) )  ->  ( n  _C  m )  e.  CC )
18 oveq1 6098 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  m  ->  (
k BernPoly  X )  =  ( m BernPoly  X ) )
1918eleq1d 2509 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  m  ->  (
( k BernPoly  X )  e.  CC  <->  ( m BernPoly  X
)  e.  CC ) )
2019rspccva 3072 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. k  e.  ( 0 ... ( n  -  1 ) ) ( k BernPoly  X )  e.  CC  /\  m  e.  ( 0 ... (
n  -  1 ) ) )  ->  (
m BernPoly  X )  e.  CC )
21203ad2antl3 1152 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  X  e.  CC  /\  A. k  e.  ( 0 ... ( n  - 
1 ) ) ( k BernPoly  X )  e.  CC )  /\  m  e.  ( 0 ... ( n  -  1 ) ) )  ->  ( m BernPoly  X )  e.  CC )
22 fzssp1 11501 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0 ... ( n  - 
1 ) )  C_  ( 0 ... (
( n  -  1 )  +  1 ) )
2311nn0cnd 10638 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  X  e.  CC  /\  A. k  e.  ( 0 ... ( n  - 
1 ) ) ( k BernPoly  X )  e.  CC )  ->  n  e.  CC )
24 ax-1cn 9340 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  CC
25 npcan 9619 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( n  - 
1 )  +  1 )  =  n )
2623, 24, 25sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  X  e.  CC  /\  A. k  e.  ( 0 ... ( n  - 
1 ) ) ( k BernPoly  X )  e.  CC )  ->  ( ( n  -  1 )  +  1 )  =  n )
2726oveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  X  e.  CC  /\  A. k  e.  ( 0 ... ( n  - 
1 ) ) ( k BernPoly  X )  e.  CC )  ->  ( 0 ... ( ( n  - 
1 )  +  1 ) )  =  ( 0 ... n ) )
2822, 27syl5sseq 3404 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  X  e.  CC  /\  A. k  e.  ( 0 ... ( n  - 
1 ) ) ( k BernPoly  X )  e.  CC )  ->  ( 0 ... ( n  -  1 ) )  C_  (
0 ... n ) )
2928sselda 3356 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  X  e.  CC  /\  A. k  e.  ( 0 ... ( n  - 
1 ) ) ( k BernPoly  X )  e.  CC )  /\  m  e.  ( 0 ... ( n  -  1 ) ) )  ->  m  e.  ( 0 ... n
) )
30 fznn0sub 11487 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  ( 0 ... n )  ->  (
n  -  m )  e.  NN0 )
31 nn0p1nn 10619 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  -  m )  e.  NN0  ->  ( ( n  -  m )  +  1 )  e.  NN )
3229, 30, 313syl 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  X  e.  CC  /\  A. k  e.  ( 0 ... ( n  - 
1 ) ) ( k BernPoly  X )  e.  CC )  /\  m  e.  ( 0 ... ( n  -  1 ) ) )  ->  ( (
n  -  m )  +  1 )  e.  NN )
3332nncnd 10338 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  X  e.  CC  /\  A. k  e.  ( 0 ... ( n  - 
1 ) ) ( k BernPoly  X )  e.  CC )  /\  m  e.  ( 0 ... ( n  -  1 ) ) )  ->  ( (
n  -  m )  +  1 )  e.  CC )
3432nnne0d 10366 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  X  e.  CC  /\  A. k  e.  ( 0 ... ( n  - 
1 ) ) ( k BernPoly  X )  e.  CC )  /\  m  e.  ( 0 ... ( n  -  1 ) ) )  ->  ( (
n  -  m )  +  1 )  =/=  0 )
3521, 33, 34divcld 10107 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  X  e.  CC  /\  A. k  e.  ( 0 ... ( n  - 
1 ) ) ( k BernPoly  X )  e.  CC )  /\  m  e.  ( 0 ... ( n  -  1 ) ) )  ->  ( (
m BernPoly  X )  /  (
( n  -  m
)  +  1 ) )  e.  CC )
3617, 35mulcld 9406 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  X  e.  CC  /\  A. k  e.  ( 0 ... ( n  - 
1 ) ) ( k BernPoly  X )  e.  CC )  /\  m  e.  ( 0 ... ( n  -  1 ) ) )  ->  ( (
n  _C  m )  x.  ( ( m BernPoly  X )  /  (
( n  -  m
)  +  1 ) ) )  e.  CC )
3713, 36fsumcl 13210 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  X  e.  CC  /\  A. k  e.  ( 0 ... ( n  - 
1 ) ) ( k BernPoly  X )  e.  CC )  ->  sum_ m  e.  ( 0 ... ( n  -  1 ) ) ( ( n  _C  m )  x.  (
( m BernPoly  X )  /  ( ( n  -  m )  +  1 ) ) )  e.  CC )
3812, 37subcld 9719 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  X  e.  CC  /\  A. k  e.  ( 0 ... ( n  - 
1 ) ) ( k BernPoly  X )  e.  CC )  ->  ( ( X ^ n )  -  sum_ m  e.  ( 0 ... ( n  - 
1 ) ) ( ( n  _C  m
)  x.  ( ( m BernPoly  X )  /  (
( n  -  m
)  +  1 ) ) ) )  e.  CC )
399, 38eqeltrd 2517 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  X  e.  CC  /\  A. k  e.  ( 0 ... ( n  - 
1 ) ) ( k BernPoly  X )  e.  CC )  ->  ( n BernPoly  X
)  e.  CC )
40393exp 1186 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( X  e.  CC  ->  ( A. k  e.  (
0 ... ( n  - 
1 ) ) ( k BernPoly  X )  e.  CC  ->  ( n BernPoly  X )  e.  CC ) ) )
4140a2d 26 . . . 4  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( X  e.  CC  ->  A. k  e.  ( 0 ... ( n  - 
1 ) ) ( k BernPoly  X )  e.  CC )  ->  ( X  e.  CC  ->  ( n BernPoly  X )  e.  CC ) ) )
427, 41syl5bi 217 . . 3  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( A. k  e.  ( 0 ... ( n  - 
1 ) ) ( X  e.  CC  ->  ( k BernPoly  X )  e.  CC )  ->  ( X  e.  CC  ->  ( n BernPoly  X )  e.  CC ) ) )
433, 6, 42nn0sinds 27679 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( X  e.  CC  ->  ( N BernPoly  X )  e.  CC ) )
4443imp 429 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  X  e.  CC )  ->  ( N BernPoly  X )  e.  CC )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2715  (class class class)co 6091   CCcc 9280   0cc0 9282   1c1 9283    + caddc 9285    x. cmul 9287    - cmin 9595    / cdiv 9993   NNcn 10322   NN0cn0 10579   ZZcz 10646   ...cfz 11437   ^cexp 11865    _C cbc 12078   sum_csu 13163   BernPoly cbp 28189
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-inf2 7847  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-sup 7691  df-oi 7724  df-card 8109  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-rp 10992  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-seq 11807  df-exp 11866  df-fac 12052  df-bc 12079  df-hash 12104  df-cj 12588  df-re 12589  df-im 12590  df-sqr 12724  df-abs 12725  df-clim 12966  df-sum 13164  df-pred 27625  df-wrecs 27717  df-bpoly 28190
This theorem is referenced by:  bpolysum  28196  bpolydiflem  28197  fsumkthpow  28199  bpoly3  28201  bpoly4  28202
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