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Theorem bpolycl 28108
Description: Closure law for Bernoulli polynomials. (Contributed by Scott Fenton, 16-May-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
bpolycl  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  X  e.  CC )  ->  ( N BernPoly  X )  e.  CC )

Proof of Theorem bpolycl
Dummy variables  n  k  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6097 . . . . 5  |-  ( n  =  k  ->  (
n BernPoly  X )  =  ( k BernPoly  X ) )
21eleq1d 2507 . . . 4  |-  ( n  =  k  ->  (
( n BernPoly  X )  e.  CC  <->  ( k BernPoly  X
)  e.  CC ) )
32imbi2d 316 . . 3  |-  ( n  =  k  ->  (
( X  e.  CC  ->  ( n BernPoly  X )  e.  CC )  <->  ( X  e.  CC  ->  ( k BernPoly  X )  e.  CC ) ) )
4 oveq1 6097 . . . . 5  |-  ( n  =  N  ->  (
n BernPoly  X )  =  ( N BernPoly  X ) )
54eleq1d 2507 . . . 4  |-  ( n  =  N  ->  (
( n BernPoly  X )  e.  CC  <->  ( N BernPoly  X )  e.  CC ) )
65imbi2d 316 . . 3  |-  ( n  =  N  ->  (
( X  e.  CC  ->  ( n BernPoly  X )  e.  CC )  <->  ( X  e.  CC  ->  ( N BernPoly  X )  e.  CC ) ) )
7 r19.21v 2801 . . . 4  |-  ( A. k  e.  ( 0 ... ( n  - 
1 ) ) ( X  e.  CC  ->  ( k BernPoly  X )  e.  CC ) 
<->  ( X  e.  CC  ->  A. k  e.  ( 0 ... ( n  -  1 ) ) ( k BernPoly  X )  e.  CC ) )
8 bpolyval 28105 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  X  e.  CC )  ->  ( n BernPoly  X )  =  ( ( X ^ n )  -  sum_ m  e.  ( 0 ... ( n  - 
1 ) ) ( ( n  _C  m
)  x.  ( ( m BernPoly  X )  /  (
( n  -  m
)  +  1 ) ) ) ) )
983adant3 1003 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  X  e.  CC  /\  A. k  e.  ( 0 ... ( n  - 
1 ) ) ( k BernPoly  X )  e.  CC )  ->  ( n BernPoly  X
)  =  ( ( X ^ n )  -  sum_ m  e.  ( 0 ... ( n  -  1 ) ) ( ( n  _C  m )  x.  (
( m BernPoly  X )  /  ( ( n  -  m )  +  1 ) ) ) ) )
10 simp2 984 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  X  e.  CC  /\  A. k  e.  ( 0 ... ( n  - 
1 ) ) ( k BernPoly  X )  e.  CC )  ->  X  e.  CC )
11 simp1 983 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  X  e.  CC  /\  A. k  e.  ( 0 ... ( n  - 
1 ) ) ( k BernPoly  X )  e.  CC )  ->  n  e.  NN0 )
1210, 11expcld 12004 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  X  e.  CC  /\  A. k  e.  ( 0 ... ( n  - 
1 ) ) ( k BernPoly  X )  e.  CC )  ->  ( X ^
n )  e.  CC )
13 fzfid 11791 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  X  e.  CC  /\  A. k  e.  ( 0 ... ( n  - 
1 ) ) ( k BernPoly  X )  e.  CC )  ->  ( 0 ... ( n  -  1 ) )  e.  Fin )
14 elfzelz 11449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  ( 0 ... ( n  -  1 ) )  ->  m  e.  ZZ )
15 bccl 12094 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( n  _C  m
)  e.  NN0 )
1611, 14, 15syl2an 474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  X  e.  CC  /\  A. k  e.  ( 0 ... ( n  - 
1 ) ) ( k BernPoly  X )  e.  CC )  /\  m  e.  ( 0 ... ( n  -  1 ) ) )  ->  ( n  _C  m )  e.  NN0 )
1716nn0cnd 10634 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  X  e.  CC  /\  A. k  e.  ( 0 ... ( n  - 
1 ) ) ( k BernPoly  X )  e.  CC )  /\  m  e.  ( 0 ... ( n  -  1 ) ) )  ->  ( n  _C  m )  e.  CC )
18 oveq1 6097 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  m  ->  (
k BernPoly  X )  =  ( m BernPoly  X ) )
1918eleq1d 2507 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  m  ->  (
( k BernPoly  X )  e.  CC  <->  ( m BernPoly  X
)  e.  CC ) )
2019rspccva 3069 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. k  e.  ( 0 ... ( n  -  1 ) ) ( k BernPoly  X )  e.  CC  /\  m  e.  ( 0 ... (
n  -  1 ) ) )  ->  (
m BernPoly  X )  e.  CC )
21203ad2antl3 1147 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  X  e.  CC  /\  A. k  e.  ( 0 ... ( n  - 
1 ) ) ( k BernPoly  X )  e.  CC )  /\  m  e.  ( 0 ... ( n  -  1 ) ) )  ->  ( m BernPoly  X )  e.  CC )
22 fzssp1 11497 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0 ... ( n  - 
1 ) )  C_  ( 0 ... (
( n  -  1 )  +  1 ) )
2311nn0cnd 10634 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  X  e.  CC  /\  A. k  e.  ( 0 ... ( n  - 
1 ) ) ( k BernPoly  X )  e.  CC )  ->  n  e.  CC )
24 ax-1cn 9336 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  CC
25 npcan 9615 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( n  - 
1 )  +  1 )  =  n )
2623, 24, 25sylancl 657 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  X  e.  CC  /\  A. k  e.  ( 0 ... ( n  - 
1 ) ) ( k BernPoly  X )  e.  CC )  ->  ( ( n  -  1 )  +  1 )  =  n )
2726oveq2d 6106 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  X  e.  CC  /\  A. k  e.  ( 0 ... ( n  - 
1 ) ) ( k BernPoly  X )  e.  CC )  ->  ( 0 ... ( ( n  - 
1 )  +  1 ) )  =  ( 0 ... n ) )
2822, 27syl5sseq 3401 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  X  e.  CC  /\  A. k  e.  ( 0 ... ( n  - 
1 ) ) ( k BernPoly  X )  e.  CC )  ->  ( 0 ... ( n  -  1 ) )  C_  (
0 ... n ) )
2928sselda 3353 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  X  e.  CC  /\  A. k  e.  ( 0 ... ( n  - 
1 ) ) ( k BernPoly  X )  e.  CC )  /\  m  e.  ( 0 ... ( n  -  1 ) ) )  ->  m  e.  ( 0 ... n
) )
30 fznn0sub 11483 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  ( 0 ... n )  ->  (
n  -  m )  e.  NN0 )
31 nn0p1nn 10615 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  -  m )  e.  NN0  ->  ( ( n  -  m )  +  1 )  e.  NN )
3229, 30, 313syl 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  X  e.  CC  /\  A. k  e.  ( 0 ... ( n  - 
1 ) ) ( k BernPoly  X )  e.  CC )  /\  m  e.  ( 0 ... ( n  -  1 ) ) )  ->  ( (
n  -  m )  +  1 )  e.  NN )
3332nncnd 10334 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  X  e.  CC  /\  A. k  e.  ( 0 ... ( n  - 
1 ) ) ( k BernPoly  X )  e.  CC )  /\  m  e.  ( 0 ... ( n  -  1 ) ) )  ->  ( (
n  -  m )  +  1 )  e.  CC )
3432nnne0d 10362 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  X  e.  CC  /\  A. k  e.  ( 0 ... ( n  - 
1 ) ) ( k BernPoly  X )  e.  CC )  /\  m  e.  ( 0 ... ( n  -  1 ) ) )  ->  ( (
n  -  m )  +  1 )  =/=  0 )
3521, 33, 34divcld 10103 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  X  e.  CC  /\  A. k  e.  ( 0 ... ( n  - 
1 ) ) ( k BernPoly  X )  e.  CC )  /\  m  e.  ( 0 ... ( n  -  1 ) ) )  ->  ( (
m BernPoly  X )  /  (
( n  -  m
)  +  1 ) )  e.  CC )
3617, 35mulcld 9402 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  X  e.  CC  /\  A. k  e.  ( 0 ... ( n  - 
1 ) ) ( k BernPoly  X )  e.  CC )  /\  m  e.  ( 0 ... ( n  -  1 ) ) )  ->  ( (
n  _C  m )  x.  ( ( m BernPoly  X )  /  (
( n  -  m
)  +  1 ) ) )  e.  CC )
3713, 36fsumcl 13206 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  X  e.  CC  /\  A. k  e.  ( 0 ... ( n  - 
1 ) ) ( k BernPoly  X )  e.  CC )  ->  sum_ m  e.  ( 0 ... ( n  -  1 ) ) ( ( n  _C  m )  x.  (
( m BernPoly  X )  /  ( ( n  -  m )  +  1 ) ) )  e.  CC )
3812, 37subcld 9715 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  X  e.  CC  /\  A. k  e.  ( 0 ... ( n  - 
1 ) ) ( k BernPoly  X )  e.  CC )  ->  ( ( X ^ n )  -  sum_ m  e.  ( 0 ... ( n  - 
1 ) ) ( ( n  _C  m
)  x.  ( ( m BernPoly  X )  /  (
( n  -  m
)  +  1 ) ) ) )  e.  CC )
399, 38eqeltrd 2515 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  X  e.  CC  /\  A. k  e.  ( 0 ... ( n  - 
1 ) ) ( k BernPoly  X )  e.  CC )  ->  ( n BernPoly  X
)  e.  CC )
40393exp 1181 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( X  e.  CC  ->  ( A. k  e.  (
0 ... ( n  - 
1 ) ) ( k BernPoly  X )  e.  CC  ->  ( n BernPoly  X )  e.  CC ) ) )
4140a2d 26 . . . 4  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( X  e.  CC  ->  A. k  e.  ( 0 ... ( n  - 
1 ) ) ( k BernPoly  X )  e.  CC )  ->  ( X  e.  CC  ->  ( n BernPoly  X )  e.  CC ) ) )
427, 41syl5bi 217 . . 3  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( A. k  e.  ( 0 ... ( n  - 
1 ) ) ( X  e.  CC  ->  ( k BernPoly  X )  e.  CC )  ->  ( X  e.  CC  ->  ( n BernPoly  X )  e.  CC ) ) )
433, 6, 42nn0sinds 27592 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( X  e.  CC  ->  ( N BernPoly  X )  e.  CC ) )
4443imp 429 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  X  e.  CC )  ->  ( N BernPoly  X )  e.  CC )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761   A.wral 2713  (class class class)co 6090   CCcc 9276   0cc0 9278   1c1 9279    + caddc 9281    x. cmul 9283    - cmin 9591    / cdiv 9989   NNcn 10318   NN0cn0 10575   ZZcz 10642   ...cfz 11433   ^cexp 11861    _C cbc 12074   sum_csu 13159   BernPoly cbp 28102
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-rp 10988  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-seq 11803  df-exp 11862  df-fac 12048  df-bc 12075  df-hash 12100  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-clim 12962  df-sum 13160  df-pred 27538  df-wrecs 27630  df-bpoly 28103
This theorem is referenced by:  bpolysum  28109  bpolydiflem  28110  fsumkthpow  28112  bpoly3  28114  bpoly4  28115
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