Theorem bpoly4 29414

Description: The Bernoulli polynomials at four. (Contributed by Scott Fenton, 8-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
bpoly4	|- ( X e. CC -> ( 4 BernPoly X ) = ( ( ( ( X ^ 4 ) - ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) ) + ( X ^ 2 ) ) - ( 1 / ; 3 0 ) ) )

Proof of Theorem bpoly4

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn0 10813	. . 3 |- 4 e. NN0
2		bpolyval 29404	. . 3 |- ( ( 4 e. NN0 /\ X e. CC ) -> ( 4 BernPoly X ) = ( ( X ^ 4 ) - sum_ k e. ( 0 ... ( 4 - 1 ) ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) ) )
3	1, 2	mpan 670	. 2 |- ( X e. CC -> ( 4 BernPoly X ) = ( ( X ^ 4 ) - sum_ k e. ( 0 ... ( 4 - 1 ) ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) ) )
4		4cn 10612	. . . . . . . 8 |- 4 e. CC
5		ax-1cn 9549	. . . . . . . 8 |- 1 e. CC
6		3cn 10609	. . . . . . . 8 |- 3 e. CC
7		3p1e4 10660	. . . . . . . . 9 |- ( 3 + 1 ) = 4
8	6, 5, 7	addcomli 9770	. . . . . . . 8 |- ( 1 + 3 ) = 4
9	4, 5, 6, 8	subaddrii 9907	. . . . . . 7 |- ( 4 - 1 ) = 3
10		df-3 10594	. . . . . . 7 |- 3 = ( 2 + 1 )
11	9, 10	eqtri 2496	. . . . . 6 |- ( 4 - 1 ) = ( 2 + 1 )
12	11	oveq2i 6294	. . . . 5 |- ( 0 ... ( 4 - 1 ) ) = ( 0 ... ( 2 + 1 ) )
13	12	sumeq1i 13482	. . . 4 |- sum_ k e. ( 0 ... ( 4 - 1 ) ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) )
14		2nn0 10811	. . . . . . . 8 |- 2 e. NN0
15		nn0uz 11115	. . . . . . . 8 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
16	14, 15	eleqtri 2553	. . . . . . 7 |- 2 e. ( ZZ>= ` 0 )
17	16	a1i 11	. . . . . 6 |- ( X e. CC -> 2 e. ( ZZ>= ` 0 ) )
18		elfzelz 11687	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) -> k e. ZZ )
19		bccl 12367	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 4 e. NN0 /\ k e. ZZ ) -> ( 4 _C k ) e. NN0 )
20	1, 18, 19	sylancr 663	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) -> ( 4 _C k ) e. NN0 )
21	20	nn0cnd 10853	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) -> ( 4 _C k ) e. CC )
22	21	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( X e. CC /\ k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) ) -> ( 4 _C k ) e. CC )
23		elfznn0 11769	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) -> k e. NN0 )
24		bpolycl 29407	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. NN0 /\ X e. CC ) -> ( k BernPoly X ) e. CC )
25	23, 24	sylan 471	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) /\ X e. CC ) -> ( k BernPoly X ) e. CC )
26	25	ancoms 453	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. CC /\ k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) ) -> ( k BernPoly X ) e. CC )
27		4re 10611	. . . . . . . . . . . . 13 |- 4 e. RR
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) -> 4 e. RR )
29	18	zred 10965	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) -> k e. RR )
30	28, 29	resubcld 9986	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) -> ( 4 - k ) e. RR )
31		peano2re 9751	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 4 - k ) e. RR -> ( ( 4 - k ) + 1 ) e. RR )
32	30, 31	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) -> ( ( 4 - k ) + 1 ) e. RR )
33	32	recnd 9621	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) -> ( ( 4 - k ) + 1 ) e. CC )
34	33	adantl 466	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. CC /\ k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) ) -> ( ( 4 - k ) + 1 ) e. CC )
35		1re 9594	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. RR
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) -> 1 e. RR )
37	10	oveq2i 6294	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 ... 3 ) = ( 0 ... ( 2 + 1 ) )
38	37	eleq2i 2545	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( 0 ... 3 ) <-> k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) )
39		elfzelz 11687	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ( 0 ... 3 ) -> k e. ZZ )
40	39	zred 10965	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( 0 ... 3 ) -> k e. RR )
41		3re 10608	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 3 e. RR
42	41	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( 0 ... 3 ) -> 3 e. RR )
43	27	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( 0 ... 3 ) -> 4 e. RR )
44		elfzle2 11689	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( 0 ... 3 ) -> k <_ 3 )
45		3lt4 10704	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 3 < 4
46	45	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( 0 ... 3 ) -> 3 < 4 )
47	40, 42, 43, 44, 46	lelttrd 9738	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( 0 ... 3 ) -> k < 4 )
48	38, 47	sylbir 213	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) -> k < 4 )
49	29, 28	posdifd 10138	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) -> ( k < 4 <-> 0 < ( 4 - k ) ) )
50	48, 49	mpbid 210	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) -> 0 < ( 4 - k ) )
51		0lt1 10074	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 < 1
52	51	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) -> 0 < 1 )
53	30, 36, 50, 52	addgt0d 10126	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) -> 0 < ( ( 4 - k ) + 1 ) )
54	53	gt0ne0d 10116	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) -> ( ( 4 - k ) + 1 ) =/= 0 )
55	54	adantl 466	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. CC /\ k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) ) -> ( ( 4 - k ) + 1 ) =/= 0 )
56	26, 34, 55	divcld 10319	. . . . . . 7 |- ( ( X e. CC /\ k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) ) -> ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) e. CC )
57	22, 56	mulcld 9615	. . . . . 6 |- ( ( X e. CC /\ k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) ) -> ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) e. CC )
58	10	eqeq2i 2485	. . . . . . 7 |- ( k = 3 <-> k = ( 2 + 1 ) )
59		oveq2 6291	. . . . . . . . 9 |- ( k = 3 -> ( 4 _C k ) = ( 4 _C 3 ) )
60		4bc3eq4 28602	. . . . . . . . 9 |- ( 4 _C 3 ) = 4
61	59, 60	syl6eq 2524	. . . . . . . 8 |- ( k = 3 -> ( 4 _C k ) = 4 )
62		oveq1 6290	. . . . . . . . 9 |- ( k = 3 -> ( k BernPoly X ) = ( 3 BernPoly X ) )
63		oveq2 6291	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = 3 -> ( 4 - k ) = ( 4 - 3 ) )
64	63	oveq1d 6298	. . . . . . . . . 10 |- ( k = 3 -> ( ( 4 - k ) + 1 ) = ( ( 4 - 3 ) + 1 ) )
65	4, 6, 5, 7	subaddrii 9907	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 4 - 3 ) = 1
66	65	oveq1i 6293	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 4 - 3 ) + 1 ) = ( 1 + 1 )
67		df-2 10593	. . . . . . . . . . 11 |- 2 = ( 1 + 1 )
68	66, 67	eqtr4i 2499	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 4 - 3 ) + 1 ) = 2
69	64, 68	syl6eq 2524	. . . . . . . . 9 |- ( k = 3 -> ( ( 4 - k ) + 1 ) = 2 )
70	62, 69	oveq12d 6301	. . . . . . . 8 |- ( k = 3 -> ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) = ( ( 3 BernPoly X ) / 2 ) )
71	61, 70	oveq12d 6301	. . . . . . 7 |- ( k = 3 -> ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) = ( 4 x. ( ( 3 BernPoly X ) / 2 ) ) )
72	58, 71	sylbir 213	. . . . . 6 |- ( k = ( 2 + 1 ) -> ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) = ( 4 x. ( ( 3 BernPoly X ) / 2 ) ) )
73	17, 57, 72	fsump1 13533	. . . . 5 |- ( X e. CC -> sum_ k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) = ( sum_ k e. ( 0 ... 2 ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) + ( 4 x. ( ( 3 BernPoly X ) / 2 ) ) ) )
74	67	oveq2i 6294	. . . . . . . 8 |- ( 0 ... 2 ) = ( 0 ... ( 1 + 1 ) )
75	74	sumeq1i 13482	. . . . . . 7 |- sum_ k e. ( 0 ... 2 ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... ( 1 + 1 ) ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) )
76		1nn0 10810	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. NN0
77	76, 15	eleqtri 2553	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. ( ZZ>= ` 0 )
78	77	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( X e. CC -> 1 e. ( ZZ>= ` 0 ) )
79		fzssp1 11725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 ... ( 1 + 1 ) ) C_ ( 0 ... ( ( 1 + 1 ) + 1 ) )
80	67	oveq1i 6293	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 2 + 1 ) = ( ( 1 + 1 ) + 1 )
81	80	oveq2i 6294	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) = ( 0 ... ( ( 1 + 1 ) + 1 ) )
82	79, 81	sseqtr4i 3537	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 ... ( 1 + 1 ) ) C_ ( 0 ... ( 2 + 1 ) )
83	82	sseli 3500	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 0 ... ( 1 + 1 ) ) -> k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) )
84	83, 57	sylan2 474	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. CC /\ k e. ( 0 ... ( 1 + 1 ) ) ) -> ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) e. CC )
85	67	eqeq2i 2485	. . . . . . . . . 10 |- ( k = 2 <-> k = ( 1 + 1 ) )
86		oveq2 6291	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = 2 -> ( 4 _C k ) = ( 4 _C 2 ) )
87		4bc2eq6 28603	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 4 _C 2 ) = 6
88	86, 87	syl6eq 2524	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = 2 -> ( 4 _C k ) = 6 )
89		oveq1 6290	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = 2 -> ( k BernPoly X ) = ( 2 BernPoly X ) )
90		oveq2 6291	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = 2 -> ( 4 - k ) = ( 4 - 2 ) )
91	90	oveq1d 6298	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = 2 -> ( ( 4 - k ) + 1 ) = ( ( 4 - 2 ) + 1 ) )
92		2cn 10605	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 2 e. CC
93		2p2e4 10652	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 2 + 2 ) = 4
94	4, 92, 92, 93	subaddrii 9907	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 4 - 2 ) = 2
95	94	oveq1i 6293	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 4 - 2 ) + 1 ) = ( 2 + 1 )
96	95, 10	eqtr4i 2499	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 4 - 2 ) + 1 ) = 3
97	91, 96	syl6eq 2524	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = 2 -> ( ( 4 - k ) + 1 ) = 3 )
98	89, 97	oveq12d 6301	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = 2 -> ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) = ( ( 2 BernPoly X ) / 3 ) )
99	88, 98	oveq12d 6301	. . . . . . . . . 10 |- ( k = 2 -> ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) = ( 6 x. ( ( 2 BernPoly X ) / 3 ) ) )
100	85, 99	sylbir 213	. . . . . . . . 9 |- ( k = ( 1 + 1 ) -> ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) = ( 6 x. ( ( 2 BernPoly X ) / 3 ) ) )
101	78, 84, 100	fsump1 13533	. . . . . . . 8 |- ( X e. CC -> sum_ k e. ( 0 ... ( 1 + 1 ) ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) = ( sum_ k e. ( 0 ... 1 ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) + ( 6 x. ( ( 2 BernPoly X ) / 3 ) ) ) )
102		0p1e1 10646	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 + 1 ) = 1
103	102	oveq2i 6294	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) = ( 0 ... 1 )
104	103	sumeq1i 13482	. . . . . . . . . 10 |- sum_ k e. ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... 1 ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) )
105		0nn0 10809	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 e. NN0
106	105, 15	eleqtri 2553	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 e. ( ZZ>= ` 0 )
107	106	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. CC -> 0 e. ( ZZ>= ` 0 ) )
108		3nn 10693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 3 e. NN
109		nnuz 11116	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
110	108, 109	eleqtri 2553	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 3 e. ( ZZ>= ` 1 )
111		fzss2 11722	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 3 e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( 0 ... 1 ) C_ ( 0 ... 3 ) )
112	110, 111	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 0 ... 1 ) C_ ( 0 ... 3 )
113		2p1e3 10658	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 2 + 1 ) = 3
114	113	oveq2i 6294	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) = ( 0 ... 3 )
115	112, 103, 114	3sstr4i 3543	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) C_ ( 0 ... ( 2 + 1 ) )
116	115	sseli 3500	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) -> k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) )
117	116, 57	sylan2 474	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( X e. CC /\ k e. ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) ) -> ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) e. CC )
118	102	eqeq2i 2485	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = ( 0 + 1 ) <-> k = 1 )
119		oveq2 6291	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = 1 -> ( 4 _C k ) = ( 4 _C 1 ) )
120		bcn1 12358	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 4 e. NN0 -> ( 4 _C 1 ) = 4 )
121	1, 120	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 4 _C 1 ) = 4
122	119, 121	syl6eq 2524	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = 1 -> ( 4 _C k ) = 4 )
123		oveq1 6290	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = 1 -> ( k BernPoly X ) = ( 1 BernPoly X ) )
124		oveq2 6291	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = 1 -> ( 4 - k ) = ( 4 - 1 ) )
125	124	oveq1d 6298	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = 1 -> ( ( 4 - k ) + 1 ) = ( ( 4 - 1 ) + 1 ) )
126	9	oveq1i 6293	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 4 - 1 ) + 1 ) = ( 3 + 1 )
127		df-4 10595	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 4 = ( 3 + 1 )
128	126, 127	eqtr4i 2499	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 4 - 1 ) + 1 ) = 4
129	125, 128	syl6eq 2524	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = 1 -> ( ( 4 - k ) + 1 ) = 4 )
130	123, 129	oveq12d 6301	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = 1 -> ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) = ( ( 1 BernPoly X ) / 4 ) )
131	122, 130	oveq12d 6301	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = 1 -> ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) = ( 4 x. ( ( 1 BernPoly X ) / 4 ) ) )
132	118, 131	sylbi 195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = ( 0 + 1 ) -> ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) = ( 4 x. ( ( 1 BernPoly X ) / 4 ) ) )
133	107, 117, 132	fsump1 13533	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. CC -> sum_ k e. ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) = ( sum_ k e. ( 0 ... 0 ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) + ( 4 x. ( ( 1 BernPoly X ) / 4 ) ) ) )
134		0z 10874	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 e. ZZ
135	5	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( X e. CC -> 1 e. CC )
136		bpolycl 29407	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 0 e. NN0 /\ X e. CC ) -> ( 0 BernPoly X ) e. CC )
137	105, 136	mpan 670	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( X e. CC -> ( 0 BernPoly X ) e. CC )
138		5cn 10614	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 5 e. CC
139	138	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( X e. CC -> 5 e. CC )
140		0re 9595	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 0 e. RR
141		5pos 10632	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 0 < 5
142	140, 141	gtneii 9695	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 5 =/= 0
143	142	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( X e. CC -> 5 =/= 0 )
144	137, 139, 143	divcld 10319	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( X e. CC -> ( ( 0 BernPoly X ) / 5 ) e. CC )
145	135, 144	mulcld 9615	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( X e. CC -> ( 1 x. ( ( 0 BernPoly X ) / 5 ) ) e. CC )
146		oveq2 6291	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = 0 -> ( 4 _C k ) = ( 4 _C 0 ) )
147		bcn0 12355	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 4 e. NN0 -> ( 4 _C 0 ) = 1 )
148	1, 147	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 4 _C 0 ) = 1
149	146, 148	syl6eq 2524	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = 0 -> ( 4 _C k ) = 1 )
150		oveq1 6290	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = 0 -> ( k BernPoly X ) = ( 0 BernPoly X ) )
151		oveq2 6291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k = 0 -> ( 4 - k ) = ( 4 - 0 ) )
152	151	oveq1d 6298	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = 0 -> ( ( 4 - k ) + 1 ) = ( ( 4 - 0 ) + 1 ) )
153	4	subid1i 9890	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( 4 - 0 ) = 4
154	153	oveq1i 6293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 4 - 0 ) + 1 ) = ( 4 + 1 )
155		4p1e5 10661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 4 + 1 ) = 5
156	154, 155	eqtri 2496	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 4 - 0 ) + 1 ) = 5
157	152, 156	syl6eq 2524	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = 0 -> ( ( 4 - k ) + 1 ) = 5 )
158	150, 157	oveq12d 6301	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = 0 -> ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) = ( ( 0 BernPoly X ) / 5 ) )
159	149, 158	oveq12d 6301	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = 0 -> ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) = ( 1 x. ( ( 0 BernPoly X ) / 5 ) ) )
160	159	fsum1 13526	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 0 e. ZZ /\ ( 1 x. ( ( 0 BernPoly X ) / 5 ) ) e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... 0 ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) = ( 1 x. ( ( 0 BernPoly X ) / 5 ) ) )
161	134, 145, 160	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X e. CC -> sum_ k e. ( 0 ... 0 ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) = ( 1 x. ( ( 0 BernPoly X ) / 5 ) ) )
162		bpoly0 29405	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( X e. CC -> ( 0 BernPoly X ) = 1 )
163	162	oveq1d 6298	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( X e. CC -> ( ( 0 BernPoly X ) / 5 ) = ( 1 / 5 ) )
164	163	oveq2d 6299	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( X e. CC -> ( 1 x. ( ( 0 BernPoly X ) / 5 ) ) = ( 1 x. ( 1 / 5 ) ) )
165	138, 142	reccli 10273	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1 / 5 ) e. CC
166	165	mulid2i 9598	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1 x. ( 1 / 5 ) ) = ( 1 / 5 )
167	164, 166	syl6eq 2524	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X e. CC -> ( 1 x. ( ( 0 BernPoly X ) / 5 ) ) = ( 1 / 5 ) )
168	161, 167	eqtrd 2508	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. CC -> sum_ k e. ( 0 ... 0 ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) = ( 1 / 5 ) )
169		bpolycl 29407	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1 e. NN0 /\ X e. CC ) -> ( 1 BernPoly X ) e. CC )
170	76, 169	mpan 670	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( X e. CC -> ( 1 BernPoly X ) e. CC )
171		nn0cn 10804	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 4 e. NN0 -> 4 e. CC )
172	1, 171	mp1i 12	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( X e. CC -> 4 e. CC )
173		4ne0 10631	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 4 =/= 0
174	173	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( X e. CC -> 4 =/= 0 )
175	170, 172, 174	divcan2d 10321	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X e. CC -> ( 4 x. ( ( 1 BernPoly X ) / 4 ) ) = ( 1 BernPoly X ) )
176		bpoly1 29406	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X e. CC -> ( 1 BernPoly X ) = ( X - ( 1 / 2 ) ) )
177	175, 176	eqtrd 2508	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. CC -> ( 4 x. ( ( 1 BernPoly X ) / 4 ) ) = ( X - ( 1 / 2 ) ) )
178	168, 177	oveq12d 6301	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. CC -> ( sum_ k e. ( 0 ... 0 ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) + ( 4 x. ( ( 1 BernPoly X ) / 4 ) ) ) = ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) )
179	133, 178	eqtrd 2508	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. CC -> sum_ k e. ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) = ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) )
180	104, 179	syl5eqr 2522	. . . . . . . . 9 |- ( X e. CC -> sum_ k e. ( 0 ... 1 ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) = ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) )
181		6cn 10616	. . . . . . . . . . . 12 |- 6 e. CC
182	181	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. CC -> 6 e. CC )
183		bpolycl 29407	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 e. NN0 /\ X e. CC ) -> ( 2 BernPoly X ) e. CC )
184	14, 183	mpan 670	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. CC -> ( 2 BernPoly X ) e. CC )
185	6	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. CC -> 3 e. CC )
186		3ne0 10629	. . . . . . . . . . . 12 |- 3 =/= 0
187	186	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. CC -> 3 =/= 0 )
188	182, 184, 185, 187	div12d 10355	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. CC -> ( 6 x. ( ( 2 BernPoly X ) / 3 ) ) = ( ( 2 BernPoly X ) x. ( 6 / 3 ) ) )
189		3t2e6 10686	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 3 x. 2 ) = 6
190	181, 6, 92, 186	divmuli 10297	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 6 / 3 ) = 2 <-> ( 3 x. 2 ) = 6 )
191	189, 190	mpbir 209	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 6 / 3 ) = 2
192	191	oveq2i 6294	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 BernPoly X ) x. ( 6 / 3 ) ) = ( ( 2 BernPoly X ) x. 2 )
193	92	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X e. CC -> 2 e. CC )
194	184, 193	mulcomd 9616	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. CC -> ( ( 2 BernPoly X ) x. 2 ) = ( 2 x. ( 2 BernPoly X ) ) )
195		bpoly2 29412	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X e. CC -> ( 2 BernPoly X ) = ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) )
196	195	oveq2d 6299	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. CC -> ( 2 x. ( 2 BernPoly X ) ) = ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) )
197	194, 196	eqtrd 2508	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. CC -> ( ( 2 BernPoly X ) x. 2 ) = ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) )
198	192, 197	syl5eq 2520	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. CC -> ( ( 2 BernPoly X ) x. ( 6 / 3 ) ) = ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) )
199	188, 198	eqtrd 2508	. . . . . . . . 9 |- ( X e. CC -> ( 6 x. ( ( 2 BernPoly X ) / 3 ) ) = ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) )
200	180, 199	oveq12d 6301	. . . . . . . 8 |- ( X e. CC -> ( sum_ k e. ( 0 ... 1 ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) + ( 6 x. ( ( 2 BernPoly X ) / 3 ) ) ) = ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) )
201	101, 200	eqtrd 2508	. . . . . . 7 |- ( X e. CC -> sum_ k e. ( 0 ... ( 1 + 1 ) ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) = ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) )
202	75, 201	syl5eq 2520	. . . . . 6 |- ( X e. CC -> sum_ k e. ( 0 ... 2 ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) = ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) )
203		3nn0 10812	. . . . . . . . 9 |- 3 e. NN0
204		bpolycl 29407	. . . . . . . . 9 |- ( ( 3 e. NN0 /\ X e. CC ) -> ( 3 BernPoly X ) e. CC )
205	203, 204	mpan 670	. . . . . . . 8 |- ( X e. CC -> ( 3 BernPoly X ) e. CC )
206		2ne0 10627	. . . . . . . . 9 |- 2 =/= 0
207	206	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( X e. CC -> 2 =/= 0 )
208	172, 205, 193, 207	div12d 10355	. . . . . . 7 |- ( X e. CC -> ( 4 x. ( ( 3 BernPoly X ) / 2 ) ) = ( ( 3 BernPoly X ) x. ( 4 / 2 ) ) )
209		4d2e2 10691	. . . . . . . . 9 |- ( 4 / 2 ) = 2
210	209	oveq2i 6294	. . . . . . . 8 |- ( ( 3 BernPoly X ) x. ( 4 / 2 ) ) = ( ( 3 BernPoly X ) x. 2 )
211	205, 193	mulcomd 9616	. . . . . . . . 9 |- ( X e. CC -> ( ( 3 BernPoly X ) x. 2 ) = ( 2 x. ( 3 BernPoly X ) ) )
212		bpoly3 29413	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. CC -> ( 3 BernPoly X ) = ( ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) )
213	212	oveq2d 6299	. . . . . . . . 9 |- ( X e. CC -> ( 2 x. ( 3 BernPoly X ) ) = ( 2 x. ( ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) ) )
214	211, 213	eqtrd 2508	. . . . . . . 8 |- ( X e. CC -> ( ( 3 BernPoly X ) x. 2 ) = ( 2 x. ( ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) ) )
215	210, 214	syl5eq 2520	. . . . . . 7 |- ( X e. CC -> ( ( 3 BernPoly X ) x. ( 4 / 2 ) ) = ( 2 x. ( ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) ) )
216	208, 215	eqtrd 2508	. . . . . 6 |- ( X e. CC -> ( 4 x. ( ( 3 BernPoly X ) / 2 ) ) = ( 2 x. ( ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) ) )
217	202, 216	oveq12d 6301	. . . . 5 |- ( X e. CC -> ( sum_ k e. ( 0 ... 2 ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) + ( 4 x. ( ( 3 BernPoly X ) / 2 ) ) ) = ( ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) ) ) )
218	73, 217	eqtrd 2508	. . . 4 |- ( X e. CC -> sum_ k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) = ( ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) ) ) )
219	13, 218	syl5eq 2520	. . 3 |- ( X e. CC -> sum_ k e. ( 0 ... ( 4 - 1 ) ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) = ( ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) ) ) )
220	219	oveq2d 6299	. 2 |- ( X e. CC -> ( ( X ^ 4 ) - sum_ k e. ( 0 ... ( 4 - 1 ) ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) ) = ( ( X ^ 4 ) - ( ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) ) ) ) )
221		expcl 12151	. . . . 5 |- ( ( X e. CC /\ 4 e. NN0 ) -> ( X ^ 4 ) e. CC )
222	1, 221	mpan2 671	. . . 4 |- ( X e. CC -> ( X ^ 4 ) e. CC )
223		expcl 12151	. . . . . 6 |- ( ( X e. CC /\ 3 e. NN0 ) -> ( X ^ 3 ) e. CC )
224	203, 223	mpan2 671	. . . . 5 |- ( X e. CC -> ( X ^ 3 ) e. CC )
225	193, 224	mulcld 9615	. . . 4 |- ( X e. CC -> ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) e. CC )
226		sqcl 12197	. . . . 5 |- ( X e. CC -> ( X ^ 2 ) e. CC )
227	203, 105	deccl 10989	. . . . . . . 8 |- ; 3 0 e. NN0
228	227	nn0cni 10806	. . . . . . 7 |- ; 3 0 e. CC
229		df-dec 10976	. . . . . . . . 9 |- ; 3 0 = ( ( 10 x. 3 ) + 0 )
230		10re 10623	. . . . . . . . . . . 12 |- 10 e. RR
231	230	recni 9607	. . . . . . . . . . 11 |- 10 e. CC
232	231, 6	mulcli 9600	. . . . . . . . . 10 |- ( 10 x. 3 ) e. CC
233	232	addid1i 9765	. . . . . . . . 9 |- ( ( 10 x. 3 ) + 0 ) = ( 10 x. 3 )
234	229, 233	eqtri 2496	. . . . . . . 8 |- ; 3 0 = ( 10 x. 3 )
235		10pos 10637	. . . . . . . . . 10 |- 0 < 10
236	140, 235	gtneii 9695	. . . . . . . . 9 |- 10 =/= 0
237	231, 6, 236, 186	mulne0i 10191	. . . . . . . 8 |- ( 10 x. 3 ) =/= 0
238	234, 237	eqnetri 2763	. . . . . . 7 |- ; 3 0 =/= 0
239	228, 238	reccli 10273	. . . . . 6 |- ( 1 / ; 3 0 ) e. CC
240	239	a1i 11	. . . . 5 |- ( X e. CC -> ( 1 / ; 3 0 ) e. CC )
241	226, 240	subcld 9929	. . . 4 |- ( X e. CC -> ( ( X ^ 2 ) - ( 1 / ; 3 0 ) ) e. CC )
242	222, 225, 241	subsubd 9957	. . 3 |- ( X e. CC -> ( ( X ^ 4 ) - ( ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) - ( ( X ^ 2 ) - ( 1 / ; 3 0 ) ) ) ) = ( ( ( X ^ 4 ) - ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) ) + ( ( X ^ 2 ) - ( 1 / ; 3 0 ) ) ) )
243	165	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( X e. CC -> ( 1 / 5 ) e. CC )
244		id 22	. . . . . . . . 9 |- ( X e. CC -> X e. CC )
245	92, 206	reccli 10273	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 / 2 ) e. CC
246	245	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( X e. CC -> ( 1 / 2 ) e. CC )
247	244, 246	subcld 9929	. . . . . . . 8 |- ( X e. CC -> ( X - ( 1 / 2 ) ) e. CC )
248	243, 247	addcld 9614	. . . . . . 7 |- ( X e. CC -> ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) e. CC )
249	226, 244	subcld 9929	. . . . . . . . 9 |- ( X e. CC -> ( ( X ^ 2 ) - X ) e. CC )
250		6pos 10633	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 < 6
251	140, 250	gtneii 9695	. . . . . . . . . . 11 |- 6 =/= 0
252	181, 251	reccli 10273	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 / 6 ) e. CC
253	252	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( X e. CC -> ( 1 / 6 ) e. CC )
254	249, 253	addcld 9614	. . . . . . . 8 |- ( X e. CC -> ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) e. CC )
255	193, 254	mulcld 9615	. . . . . . 7 |- ( X e. CC -> ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) e. CC )
256	248, 255	addcld 9614	. . . . . 6 |- ( X e. CC -> ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) e. CC )
257	6, 92, 206	divcli 10285	. . . . . . . . . . 11 |- ( 3 / 2 ) e. CC
258	257	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. CC -> ( 3 / 2 ) e. CC )
259	258, 226	mulcld 9615	. . . . . . . . 9 |- ( X e. CC -> ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) e. CC )
260	224, 259	subcld 9929	. . . . . . . 8 |- ( X e. CC -> ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) e. CC )
261	246, 244	mulcld 9615	. . . . . . . 8 |- ( X e. CC -> ( ( 1 / 2 ) x. X ) e. CC )
262	260, 261	addcld 9614	. . . . . . 7 |- ( X e. CC -> ( ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) e. CC )
263	193, 262	mulcld 9615	. . . . . 6 |- ( X e. CC -> ( 2 x. ( ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) ) e. CC )
264	256, 263	addcomd 9780	. . . . 5 |- ( X e. CC -> ( ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) ) ) = ( ( 2 x. ( ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) ) + ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) ) )
265	193, 260, 261	adddid 9619	. . . . . . 7 |- ( X e. CC -> ( 2 x. ( ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) ) = ( ( 2 x. ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) ) + ( 2 x. ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) ) )
266	193, 224, 259	subdid 10011	. . . . . . . 8 |- ( X e. CC -> ( 2 x. ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) ) = ( ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) - ( 2 x. ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) ) )
267	92, 206	recidi 10274	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) = 1
268	267	oveq1i 6293	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. X ) = ( 1 x. X )
269	193, 246, 244	mulassd 9618	. . . . . . . . 9 |- ( X e. CC -> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. X ) = ( 2 x. ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) )
270		mulid2 9593	. . . . . . . . 9 |- ( X e. CC -> ( 1 x. X ) = X )
271	268, 269, 270	3eqtr3a 2532	. . . . . . . 8 |- ( X e. CC -> ( 2 x. ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) = X )
272	266, 271	oveq12d 6301	. . . . . . 7 |- ( X e. CC -> ( ( 2 x. ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) ) + ( 2 x. ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) ) = ( ( ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) - ( 2 x. ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) ) + X ) )
273	265, 272	eqtrd 2508	. . . . . 6 |- ( X e. CC -> ( 2 x. ( ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) ) = ( ( ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) - ( 2 x. ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) ) + X ) )
274	273	oveq1d 6298	. . . . 5 |- ( X e. CC -> ( ( 2 x. ( ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) ) + ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) ) = ( ( ( ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) - ( 2 x. ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) ) + X ) + ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) ) )
275	193, 259	mulcld 9615	. . . . . . . 8 |- ( X e. CC -> ( 2 x. ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) e. CC )
276	225, 275	subcld 9929	. . . . . . 7 |- ( X e. CC -> ( ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) - ( 2 x. ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) ) e. CC )
277	276, 244, 256	addassd 9617	. . . . . 6 |- ( X e. CC -> ( ( ( ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) - ( 2 x. ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) ) + X ) + ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) ) = ( ( ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) - ( 2 x. ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) ) + ( X + ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) ) ) )
278	244, 256	addcld 9614	. . . . . . 7 |- ( X e. CC -> ( X + ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) ) e. CC )
279	225, 275, 278	subsubd 9957	. . . . . 6 |- ( X e. CC -> ( ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) - ( ( 2 x. ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) - ( X + ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) ) ) ) = ( ( ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) - ( 2 x. ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) ) + ( X + ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) ) ) )
280	6, 92, 206	divcan2i 10286	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 x. ( 3 / 2 ) ) = 3
281	280	oveq1i 6293	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 x. ( 3 / 2 ) ) x. ( X ^ 2 ) ) = ( 3 x. ( X ^ 2 ) )
282	193, 258, 226	mulassd 9618	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. CC -> ( ( 2 x. ( 3 / 2 ) ) x. ( X ^ 2 ) ) = ( 2 x. ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) )
283	281, 282	syl5reqr 2523	. . . . . . . . 9 |- ( X e. CC -> ( 2 x. ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) = ( 3 x. ( X ^ 2 ) ) )
284	283	oveq1d 6298	. . . . . . . 8 |- ( X e. CC -> ( ( 2 x. ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) - ( X + ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) ) ) = ( ( 3 x. ( X ^ 2 ) ) - ( X + ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) ) ) )
285	244, 248, 255	add12d 9800	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. CC -> ( X + ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) ) = ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( X + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) ) )
286	193, 249, 253	adddid 9619	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( X e. CC -> ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) = ( ( 2 x. ( ( X ^ 2 ) - X ) ) + ( 2 x. ( 1 / 6 ) ) ) )
287	193, 226, 244	subdid 10011	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( X e. CC -> ( 2 x. ( ( X ^ 2 ) - X ) ) = ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) - ( 2 x. X ) ) )
288	189	oveq2i 6294	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 2 / ( 3 x. 2 ) ) = ( 2 / 6 )
289	6, 186	reccli 10273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( 1 / 3 ) e. CC
290	6, 92, 289	mul32i 9774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 3 x. 2 ) x. ( 1 / 3 ) ) = ( ( 3 x. ( 1 / 3 ) ) x. 2 )
291	6, 186	recidi 10274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( 3 x. ( 1 / 3 ) ) = 1
292	291	oveq1i 6293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 3 x. ( 1 / 3 ) ) x. 2 ) = ( 1 x. 2 )
293	92	mulid2i 9598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( 1 x. 2 ) = 2
294	292, 293	eqtri 2496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 3 x. ( 1 / 3 ) ) x. 2 ) = 2
295	290, 294	eqtri 2496	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 3 x. 2 ) x. ( 1 / 3 ) ) = 2
296	189, 181	eqeltri 2551	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 3 x. 2 ) e. CC
297	189, 251	eqnetri 2763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 3 x. 2 ) =/= 0
298	92, 296, 289, 297	divmuli 10297	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 2 / ( 3 x. 2 ) ) = ( 1 / 3 ) <-> ( ( 3 x. 2 ) x. ( 1 / 3 ) ) = 2 )
299	295, 298	mpbir 209	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 2 / ( 3 x. 2 ) ) = ( 1 / 3 )
300	92, 181, 251	divreci 10288	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 2 / 6 ) = ( 2 x. ( 1 / 6 ) )
301	288, 299, 300	3eqtr3ri 2505	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 2 x. ( 1 / 6 ) ) = ( 1 / 3 )
302	301	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( X e. CC -> ( 2 x. ( 1 / 6 ) ) = ( 1 / 3 ) )
303	287, 302	oveq12d 6301	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( X e. CC -> ( ( 2 x. ( ( X ^ 2 ) - X ) ) + ( 2 x. ( 1 / 6 ) ) ) = ( ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) - ( 2 x. X ) ) + ( 1 / 3 ) ) )
304	286, 303	eqtrd 2508	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X e. CC -> ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) = ( ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) - ( 2 x. X ) ) + ( 1 / 3 ) ) )
305	304	oveq2d 6299	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. CC -> ( X + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) = ( X + ( ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) - ( 2 x. X ) ) + ( 1 / 3 ) ) ) )
306	193, 226	mulcld 9615	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( X e. CC -> ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) e. CC )
307	193, 244	mulcld 9615	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( X e. CC -> ( 2 x. X ) e. CC )
308	306, 307	subcld 9929	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X e. CC -> ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) - ( 2 x. X ) ) e. CC )
309	289	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X e. CC -> ( 1 / 3 ) e. CC )
310	244, 308, 309	addassd 9617	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. CC -> ( ( X + ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) - ( 2 x. X ) ) ) + ( 1 / 3 ) ) = ( X + ( ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) - ( 2 x. X ) ) + ( 1 / 3 ) ) ) )
311	244, 306, 307	addsub12d 9952	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X e. CC -> ( X + ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) - ( 2 x. X ) ) ) = ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) )
312	311	oveq1d 6298	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. CC -> ( ( X + ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) - ( 2 x. X ) ) ) + ( 1 / 3 ) ) = ( ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) + ( 1 / 3 ) ) )
313	305, 310, 312	3eqtr2d 2514	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. CC -> ( X + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) = ( ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) + ( 1 / 3 ) ) )
314	313	oveq2d 6299	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. CC -> ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( X + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) ) = ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) + ( 1 / 3 ) ) ) )
315	285, 314	eqtrd 2508	. . . . . . . . 9 |- ( X e. CC -> ( X + ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) ) = ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) + ( 1 / 3 ) ) ) )
316	315	oveq2d 6299	. . . . . . . 8 |- ( X e. CC -> ( ( 3 x. ( X ^ 2 ) ) - ( X + ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) ) ) = ( ( 3 x. ( X ^ 2 ) ) - ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) + ( 1 / 3 ) ) ) ) )
317	244, 307	subcld 9929	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X e. CC -> ( X - ( 2 x. X ) ) e. CC )
318	306, 317	addcld 9614	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. CC -> ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) e. CC )
319	243, 247, 318, 309	add4d 9802	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. CC -> ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) + ( 1 / 3 ) ) ) = ( ( ( 1 / 5 ) + ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) ) + ( ( X - ( 1 / 2 ) ) + ( 1 / 3 ) ) ) )
320	243, 306, 317	add12d 9800	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. CC -> ( ( 1 / 5 ) + ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) ) = ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) + ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) ) )
321	320	oveq1d 6298	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. CC -> ( ( ( 1 / 5 ) + ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) ) + ( ( X - ( 1 / 2 ) ) + ( 1 / 3 ) ) ) = ( ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) + ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) ) + ( ( X - ( 1 / 2 ) ) + ( 1 / 3 ) ) ) )
322	243, 317	addcld 9614	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. CC -> ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) e. CC )
323	247, 309	addcld 9614	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. CC -> ( ( X - ( 1 / 2 ) ) + ( 1 / 3 ) ) e. CC )
324	306, 322, 323	addassd 9617	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. CC -> ( ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) + ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) ) + ( ( X - ( 1 / 2 ) ) + ( 1 / 3 ) ) ) = ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) + ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) + ( ( X - ( 1 / 2 ) ) + ( 1 / 3 ) ) ) ) )
325	319, 321, 324	3eqtrd 2512	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. CC -> ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) + ( 1 / 3 ) ) ) = ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) + ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) + ( ( X - ( 1 / 2 ) ) + ( 1 / 3 ) ) ) ) )
326	325	oveq2d 6299	. . . . . . . . 9 |- ( X e. CC -> ( ( 3 x. ( X ^ 2 ) ) - ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) + ( 1 / 3 ) ) ) ) = ( ( 3 x. ( X ^ 2 ) ) - ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) + ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) + ( ( X - ( 1 / 2 ) ) + ( 1 / 3 ) ) ) ) ) )
327	185, 226	mulcld 9615	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. CC -> ( 3 x. ( X ^ 2 ) ) e. CC )
328	322, 323	addcld 9614	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. CC -> ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) + ( ( X - ( 1 / 2 ) ) + ( 1 / 3 ) ) ) e. CC )
329	327, 306, 328	subsub4d 9960	. . . . . . . . 9 |- ( X e. CC -> ( ( ( 3 x. ( X ^ 2 ) ) - ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) ) - ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) + ( ( X - ( 1 / 2 ) ) + ( 1 / 3 ) ) ) ) = ( ( 3 x. ( X ^ 2 ) ) - ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) + ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) + ( ( X - ( 1 / 2 ) ) + ( 1 / 3 ) ) ) ) ) )
330	6, 92, 5, 113	subaddrii 9907	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 3 - 2 ) = 1
331	330	oveq1i 6293	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 3 - 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) = ( 1 x. ( X ^ 2 ) )
332	185, 193, 226	subdird 10012	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. CC -> ( ( 3 - 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) = ( ( 3 x. ( X ^ 2 ) ) - ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) ) )
333	226	mulid2d 9613	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. CC -> ( 1 x. ( X ^ 2 ) ) = ( X ^ 2 ) )
334	331, 332, 333	3eqtr3a 2532	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. CC -> ( ( 3 x. ( X ^ 2 ) ) - ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) ) = ( X ^ 2 ) )
335	243, 307, 244	subsubd 9957	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X e. CC -> ( ( 1 / 5 ) - ( ( 2 x. X ) - X ) ) = ( ( ( 1 / 5 ) - ( 2 x. X ) ) + X ) )
336	270	oveq2d 6299	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( X e. CC -> ( ( 2 x. X ) - ( 1 x. X ) ) = ( ( 2 x. X ) - X ) )
337		2m1e1 10649	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 2 - 1 ) = 1
338	337	oveq1i 6293	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 2 - 1 ) x. X ) = ( 1 x. X )
339	193, 135, 244	subdird 10012	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( X e. CC -> ( ( 2 - 1 ) x. X ) = ( ( 2 x. X ) - ( 1 x. X ) ) )
340	338, 339, 270	3eqtr3a 2532	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( X e. CC -> ( ( 2 x. X ) - ( 1 x. X ) ) = X )
341	336, 340	eqtr3d 2510	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( X e. CC -> ( ( 2 x. X ) - X ) = X )
342	341	oveq2d 6299	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X e. CC -> ( ( 1 / 5 ) - ( ( 2 x. X ) - X ) ) = ( ( 1 / 5 ) - X ) )
343	243, 307, 244	subadd23d 9951	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X e. CC -> ( ( ( 1 / 5 ) - ( 2 x. X ) ) + X ) = ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) )
344	335, 342, 343	3eqtr3d 2516	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. CC -> ( ( 1 / 5 ) - X ) = ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) )
345	244, 246, 309	subsubd 9957	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. CC -> ( X - ( ( 1 / 2 ) - ( 1 / 3 ) ) ) = ( ( X - ( 1 / 2 ) ) + ( 1 / 3 ) ) )
346	344, 345	oveq12d 6301	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. CC -> ( ( ( 1 / 5 ) - X ) + ( X - ( ( 1 / 2 ) - ( 1 / 3 ) ) ) ) = ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) + ( ( X - ( 1 / 2 ) ) + ( 1 / 3 ) ) ) )
347	245, 289	subcli 9894	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1 / 2 ) - ( 1 / 3 ) ) e. CC
348	347	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X e. CC -> ( ( 1 / 2 ) - ( 1 / 3 ) ) e. CC )
349	243, 244, 348	npncand 9953	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. CC -> ( ( ( 1 / 5 ) - X ) + ( X - ( ( 1 / 2 ) - ( 1 / 3 ) ) ) ) = ( ( 1 / 5 ) - ( ( 1 / 2 ) - ( 1 / 3 ) ) ) )
350		halfthird 28604	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1 / 2 ) - ( 1 / 3 ) ) = ( 1 / 6 )
351	350	oveq2i 6294	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1 / 5 ) - ( ( 1 / 2 ) - ( 1 / 3 ) ) ) = ( ( 1 / 5 ) - ( 1 / 6 ) )
352		5recm6rec 28605	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1 / 5 ) - ( 1 / 6 ) ) = ( 1 / ; 3 0 )
353	351, 352	eqtri 2496	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 / 5 ) - ( ( 1 / 2 ) - ( 1 / 3 ) ) ) = ( 1 / ; 3 0 )
354	349, 353	syl6eq 2524	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. CC -> ( ( ( 1 / 5 ) - X ) + ( X - ( ( 1 / 2 ) - ( 1 / 3 ) ) ) ) = ( 1 / ; 3 0 ) )
355	346, 354	eqtr3d 2510	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. CC -> ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) + ( ( X - ( 1 / 2 ) ) + ( 1 / 3 ) ) ) = ( 1 / ; 3 0 ) )
356	334, 355	oveq12d 6301	. . . . . . . . 9 |- ( X e. CC -> ( ( ( 3 x. ( X ^ 2 ) ) - ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) ) - ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) + ( ( X - ( 1 / 2 ) ) + ( 1 / 3 ) ) ) ) = ( ( X ^ 2 ) - ( 1 / ; 3 0 ) ) )
357	326, 329, 356	3eqtr2d 2514	. . . . . . . 8 |- ( X e. CC -> ( ( 3 x. ( X ^ 2 ) ) - ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) + ( 1 / 3 ) ) ) ) = ( ( X ^ 2 ) - ( 1 / ; 3 0 ) ) )
358	284, 316, 357	3eqtrd 2512	. . . . . . 7 |- ( X e. CC -> ( ( 2 x. ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) - ( X + ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) ) ) = ( ( X ^ 2 ) - ( 1 / ; 3 0 ) ) )
359	358	oveq2d 6299	. . . . . 6 |- ( X e. CC -> ( ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) - ( ( 2 x. ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) - ( X + ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) ) ) ) = ( ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) - ( ( X ^ 2 ) - ( 1 / ; 3 0 ) ) ) )
360	277, 279, 359	3eqtr2d 2514	. . . . 5 |- ( X e. CC -> ( ( ( ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) - ( 2 x. ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) ) + X ) + ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) ) = ( ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) - ( ( X ^ 2 ) - ( 1 / ; 3 0 ) ) ) )
361	264, 274, 360	3eqtrd 2512	. . . 4 |- ( X e. CC -> ( ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) ) ) = ( ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) - ( ( X ^ 2 ) - ( 1 / ; 3 0 ) ) ) )
362	361	oveq2d 6299	. . 3 |- ( X e. CC -> ( ( X ^ 4 ) - ( ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) ) ) ) = ( ( X ^ 4 ) - ( ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) - ( ( X ^ 2 ) - ( 1 / ; 3 0 ) ) ) ) )
363	222, 225	subcld 9929	. . . 4 |- ( X e. CC -> ( ( X ^ 4 ) - ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) ) e. CC )
364	363, 226, 240	addsubassd 9949	. . 3 |- ( X e. CC -> ( ( ( ( X ^ 4 ) - ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) ) + ( X ^ 2 ) ) - ( 1 / ; 3 0 ) ) = ( ( ( X ^ 4 ) - ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) ) + ( ( X ^ 2 ) - ( 1 / ; 3 0 ) ) ) )
365	242, 362, 364	3eqtr4d 2518	. 2 |- ( X e. CC -> ( ( X ^ 4 ) - ( ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) ) ) ) = ( ( ( ( X ^ 4 ) - ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) ) + ( X ^ 2 ) ) - ( 1 / ; 3 0 ) ) )
366	3, 220, 365	3eqtrd 2512	1 |- ( X e. CC -> ( 4 BernPoly X ) = ( ( ( ( X ^ 4 ) - ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) ) + ( X ^ 2 ) ) - ( 1 / ; 3 0 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   C_ wss 3476   class class class wbr 4447   ` cfv 5587  (class class class)co 6283   CCcc 9489   RRcr 9490   0cc0 9491   1c1 9492   + caddc 9494   x. cmul 9496   < clt 9627   - cmin 9804   / cdiv 10205   NNcn 10535   2c2 10584   3c3 10585   4c4 10586   5c5 10587   6c6 10588   10c10 10592   NN0cn0 10794   ZZcz 10863  ;cdc 10975   ZZ>=cuz 11081   ...cfz 11671   ^cexp 12133   _C cbc 12347   sum_csu 13470   BernPoly cbp 29401

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-inf2 8057  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568  ax-pre-sup 9569

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-isom 5596  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-om 6680  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-sup 7900  df-oi 7934  df-card 8319  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-div 10206  df-nn 10536  df-2 10593  df-3 10594  df-4 10595  df-5 10596  df-6 10597  df-7 10598  df-8 10599  df-9 10600  df-10 10601  df-n0 10795  df-z 10864  df-dec 10976  df-uz 11082  df-rp 11220  df-fz 11672  df-fzo 11792  df-seq 12075  df-exp 12134  df-fac 12321  df-bc 12348  df-hash 12373  df-cj 12894  df-re 12895  df-im 12896  df-sqrt 13030  df-abs 13031  df-clim 13273  df-sum 13471  df-pred 28837  df-wrecs 28929  df-bpoly 29402

This theorem is referenced by:  fsumcube  29415