Theorem bpoly4 28131

Description: The Bernoulli polynomials at four. (Contributed by Scott Fenton, 8-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
bpoly4	|- ( X e. CC -> ( 4 BernPoly X ) = ( ( ( ( X ^ 4 ) - ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) ) + ( X ^ 2 ) ) - ( 1 / ; 3 0 ) ) )

Proof of Theorem bpoly4

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn0 10594	. . 3 |- 4 e. NN0
2		bpolyval 28121	. . 3 |- ( ( 4 e. NN0 /\ X e. CC ) -> ( 4 BernPoly X ) = ( ( X ^ 4 ) - sum_ k e. ( 0 ... ( 4 - 1 ) ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) ) )
3	1, 2	mpan 665	. 2 |- ( X e. CC -> ( 4 BernPoly X ) = ( ( X ^ 4 ) - sum_ k e. ( 0 ... ( 4 - 1 ) ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) ) )
4		4cn 10395	. . . . . . . 8 |- 4 e. CC
5		ax-1cn 9336	. . . . . . . 8 |- 1 e. CC
6		3cn 10392	. . . . . . . 8 |- 3 e. CC
7		3p1e4 10443	. . . . . . . . 9 |- ( 3 + 1 ) = 4
8	6, 5, 7	addcomli 9557	. . . . . . . 8 |- ( 1 + 3 ) = 4
9	4, 5, 6, 8	subaddrii 9693	. . . . . . 7 |- ( 4 - 1 ) = 3
10		df-3 10377	. . . . . . 7 |- 3 = ( 2 + 1 )
11	9, 10	eqtri 2461	. . . . . 6 |- ( 4 - 1 ) = ( 2 + 1 )
12	11	oveq2i 6101	. . . . 5 |- ( 0 ... ( 4 - 1 ) ) = ( 0 ... ( 2 + 1 ) )
13	12	sumeq1i 13171	. . . 4 |- sum_ k e. ( 0 ... ( 4 - 1 ) ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) )
14		2nn0 10592	. . . . . . . 8 |- 2 e. NN0
15		nn0uz 10891	. . . . . . . 8 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
16	14, 15	eleqtri 2513	. . . . . . 7 |- 2 e. ( ZZ>= ` 0 )
17	16	a1i 11	. . . . . 6 |- ( X e. CC -> 2 e. ( ZZ>= ` 0 ) )
18		elfzelz 11449	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) -> k e. ZZ )
19		bccl 12094	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 4 e. NN0 /\ k e. ZZ ) -> ( 4 _C k ) e. NN0 )
20	1, 18, 19	sylancr 658	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) -> ( 4 _C k ) e. NN0 )
21	20	nn0cnd 10634	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) -> ( 4 _C k ) e. CC )
22	21	adantl 463	. . . . . . 7 |- ( ( X e. CC /\ k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) ) -> ( 4 _C k ) e. CC )
23		elfznn0 11477	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) -> k e. NN0 )
24		bpolycl 28124	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. NN0 /\ X e. CC ) -> ( k BernPoly X ) e. CC )
25	23, 24	sylan 468	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) /\ X e. CC ) -> ( k BernPoly X ) e. CC )
26	25	ancoms 450	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. CC /\ k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) ) -> ( k BernPoly X ) e. CC )
27		4re 10394	. . . . . . . . . . . . 13 |- 4 e. RR
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) -> 4 e. RR )
29	18	zred 10743	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) -> k e. RR )
30	28, 29	resubcld 9772	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) -> ( 4 - k ) e. RR )
31		peano2re 9538	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 4 - k ) e. RR -> ( ( 4 - k ) + 1 ) e. RR )
32	30, 31	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) -> ( ( 4 - k ) + 1 ) e. RR )
33	32	recnd 9408	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) -> ( ( 4 - k ) + 1 ) e. CC )
34	33	adantl 463	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. CC /\ k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) ) -> ( ( 4 - k ) + 1 ) e. CC )
35		1re 9381	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. RR
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) -> 1 e. RR )
37	10	oveq2i 6101	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 ... 3 ) = ( 0 ... ( 2 + 1 ) )
38	37	eleq2i 2505	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( 0 ... 3 ) <-> k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) )
39		elfzelz 11449	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ( 0 ... 3 ) -> k e. ZZ )
40	39	zred 10743	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( 0 ... 3 ) -> k e. RR )
41		3re 10391	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 3 e. RR
42	41	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( 0 ... 3 ) -> 3 e. RR )
43	27	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( 0 ... 3 ) -> 4 e. RR )
44		elfzle2 11451	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( 0 ... 3 ) -> k <_ 3 )
45		3lt4 10487	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 3 < 4
46	45	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( 0 ... 3 ) -> 3 < 4 )
47	40, 42, 43, 44, 46	lelttrd 9525	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( 0 ... 3 ) -> k < 4 )
48	38, 47	sylbir 213	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) -> k < 4 )
49	29, 28	posdifd 9922	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) -> ( k < 4 <-> 0 < ( 4 - k ) ) )
50	48, 49	mpbid 210	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) -> 0 < ( 4 - k ) )
51		0lt1 9858	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 < 1
52	51	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) -> 0 < 1 )
53	30, 36, 50, 52	addgt0d 9910	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) -> 0 < ( ( 4 - k ) + 1 ) )
54	53	gt0ne0d 9900	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) -> ( ( 4 - k ) + 1 ) =/= 0 )
55	54	adantl 463	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. CC /\ k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) ) -> ( ( 4 - k ) + 1 ) =/= 0 )
56	26, 34, 55	divcld 10103	. . . . . . 7 |- ( ( X e. CC /\ k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) ) -> ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) e. CC )
57	22, 56	mulcld 9402	. . . . . 6 |- ( ( X e. CC /\ k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) ) -> ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) e. CC )
58	10	eqeq2i 2451	. . . . . . 7 |- ( k = 3 <-> k = ( 2 + 1 ) )
59		oveq2 6098	. . . . . . . . 9 |- ( k = 3 -> ( 4 _C k ) = ( 4 _C 3 ) )
60		4bc3eq4 27319	. . . . . . . . 9 |- ( 4 _C 3 ) = 4
61	59, 60	syl6eq 2489	. . . . . . . 8 |- ( k = 3 -> ( 4 _C k ) = 4 )
62		oveq1 6097	. . . . . . . . 9 |- ( k = 3 -> ( k BernPoly X ) = ( 3 BernPoly X ) )
63		oveq2 6098	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = 3 -> ( 4 - k ) = ( 4 - 3 ) )
64	63	oveq1d 6105	. . . . . . . . . 10 |- ( k = 3 -> ( ( 4 - k ) + 1 ) = ( ( 4 - 3 ) + 1 ) )
65	4, 6, 5, 7	subaddrii 9693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 4 - 3 ) = 1
66	65	oveq1i 6100	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 4 - 3 ) + 1 ) = ( 1 + 1 )
67		df-2 10376	. . . . . . . . . . 11 |- 2 = ( 1 + 1 )
68	66, 67	eqtr4i 2464	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 4 - 3 ) + 1 ) = 2
69	64, 68	syl6eq 2489	. . . . . . . . 9 |- ( k = 3 -> ( ( 4 - k ) + 1 ) = 2 )
70	62, 69	oveq12d 6108	. . . . . . . 8 |- ( k = 3 -> ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) = ( ( 3 BernPoly X ) / 2 ) )
71	61, 70	oveq12d 6108	. . . . . . 7 |- ( k = 3 -> ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) = ( 4 x. ( ( 3 BernPoly X ) / 2 ) ) )
72	58, 71	sylbir 213	. . . . . 6 |- ( k = ( 2 + 1 ) -> ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) = ( 4 x. ( ( 3 BernPoly X ) / 2 ) ) )
73	17, 57, 72	fsump1 13219	. . . . 5 |- ( X e. CC -> sum_ k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) = ( sum_ k e. ( 0 ... 2 ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) + ( 4 x. ( ( 3 BernPoly X ) / 2 ) ) ) )
74	67	oveq2i 6101	. . . . . . . 8 |- ( 0 ... 2 ) = ( 0 ... ( 1 + 1 ) )
75	74	sumeq1i 13171	. . . . . . 7 |- sum_ k e. ( 0 ... 2 ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... ( 1 + 1 ) ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) )
76		1nn0 10591	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. NN0
77	76, 15	eleqtri 2513	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. ( ZZ>= ` 0 )
78	77	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( X e. CC -> 1 e. ( ZZ>= ` 0 ) )
79		fzssp1 11497	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 ... ( 1 + 1 ) ) C_ ( 0 ... ( ( 1 + 1 ) + 1 ) )
80	67	oveq1i 6100	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 2 + 1 ) = ( ( 1 + 1 ) + 1 )
81	80	oveq2i 6101	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) = ( 0 ... ( ( 1 + 1 ) + 1 ) )
82	79, 81	sseqtr4i 3386	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 ... ( 1 + 1 ) ) C_ ( 0 ... ( 2 + 1 ) )
83	82	sseli 3349	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 0 ... ( 1 + 1 ) ) -> k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) )
84	83, 57	sylan2 471	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. CC /\ k e. ( 0 ... ( 1 + 1 ) ) ) -> ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) e. CC )
85	67	eqeq2i 2451	. . . . . . . . . 10 |- ( k = 2 <-> k = ( 1 + 1 ) )
86		oveq2 6098	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = 2 -> ( 4 _C k ) = ( 4 _C 2 ) )
87		4bc2eq6 27320	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 4 _C 2 ) = 6
88	86, 87	syl6eq 2489	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = 2 -> ( 4 _C k ) = 6 )
89		oveq1 6097	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = 2 -> ( k BernPoly X ) = ( 2 BernPoly X ) )
90		oveq2 6098	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = 2 -> ( 4 - k ) = ( 4 - 2 ) )
91	90	oveq1d 6105	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = 2 -> ( ( 4 - k ) + 1 ) = ( ( 4 - 2 ) + 1 ) )
92		2cn 10388	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 2 e. CC
93		2p2e4 10435	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 2 + 2 ) = 4
94	4, 92, 92, 93	subaddrii 9693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 4 - 2 ) = 2
95	94	oveq1i 6100	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 4 - 2 ) + 1 ) = ( 2 + 1 )
96	95, 10	eqtr4i 2464	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 4 - 2 ) + 1 ) = 3
97	91, 96	syl6eq 2489	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = 2 -> ( ( 4 - k ) + 1 ) = 3 )
98	89, 97	oveq12d 6108	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = 2 -> ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) = ( ( 2 BernPoly X ) / 3 ) )
99	88, 98	oveq12d 6108	. . . . . . . . . 10 |- ( k = 2 -> ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) = ( 6 x. ( ( 2 BernPoly X ) / 3 ) ) )
100	85, 99	sylbir 213	. . . . . . . . 9 |- ( k = ( 1 + 1 ) -> ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) = ( 6 x. ( ( 2 BernPoly X ) / 3 ) ) )
101	78, 84, 100	fsump1 13219	. . . . . . . 8 |- ( X e. CC -> sum_ k e. ( 0 ... ( 1 + 1 ) ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) = ( sum_ k e. ( 0 ... 1 ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) + ( 6 x. ( ( 2 BernPoly X ) / 3 ) ) ) )
102		0p1e1 10429	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 + 1 ) = 1
103	102	oveq2i 6101	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) = ( 0 ... 1 )
104	103	sumeq1i 13171	. . . . . . . . . 10 |- sum_ k e. ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... 1 ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) )
105		0nn0 10590	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 e. NN0
106	105, 15	eleqtri 2513	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 e. ( ZZ>= ` 0 )
107	106	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. CC -> 0 e. ( ZZ>= ` 0 ) )
108		3nn 10476	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 3 e. NN
109		nnuz 10892	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
110	108, 109	eleqtri 2513	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 3 e. ( ZZ>= ` 1 )
111		fzss2 11494	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 3 e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( 0 ... 1 ) C_ ( 0 ... 3 ) )
112	110, 111	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 0 ... 1 ) C_ ( 0 ... 3 )
113		2p1e3 10441	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 2 + 1 ) = 3
114	113	oveq2i 6101	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) = ( 0 ... 3 )
115	112, 103, 114	3sstr4i 3392	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) C_ ( 0 ... ( 2 + 1 ) )
116	115	sseli 3349	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) -> k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) )
117	116, 57	sylan2 471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( X e. CC /\ k e. ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) ) -> ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) e. CC )
118	102	eqeq2i 2451	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = ( 0 + 1 ) <-> k = 1 )
119		oveq2 6098	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = 1 -> ( 4 _C k ) = ( 4 _C 1 ) )
120		bcn1 12085	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 4 e. NN0 -> ( 4 _C 1 ) = 4 )
121	1, 120	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 4 _C 1 ) = 4
122	119, 121	syl6eq 2489	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = 1 -> ( 4 _C k ) = 4 )
123		oveq1 6097	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = 1 -> ( k BernPoly X ) = ( 1 BernPoly X ) )
124		oveq2 6098	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = 1 -> ( 4 - k ) = ( 4 - 1 ) )
125	124	oveq1d 6105	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = 1 -> ( ( 4 - k ) + 1 ) = ( ( 4 - 1 ) + 1 ) )
126	9	oveq1i 6100	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 4 - 1 ) + 1 ) = ( 3 + 1 )
127		df-4 10378	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 4 = ( 3 + 1 )
128	126, 127	eqtr4i 2464	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 4 - 1 ) + 1 ) = 4
129	125, 128	syl6eq 2489	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = 1 -> ( ( 4 - k ) + 1 ) = 4 )
130	123, 129	oveq12d 6108	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = 1 -> ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) = ( ( 1 BernPoly X ) / 4 ) )
131	122, 130	oveq12d 6108	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = 1 -> ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) = ( 4 x. ( ( 1 BernPoly X ) / 4 ) ) )
132	118, 131	sylbi 195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = ( 0 + 1 ) -> ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) = ( 4 x. ( ( 1 BernPoly X ) / 4 ) ) )
133	107, 117, 132	fsump1 13219	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. CC -> sum_ k e. ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) = ( sum_ k e. ( 0 ... 0 ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) + ( 4 x. ( ( 1 BernPoly X ) / 4 ) ) ) )
134		0z 10653	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 e. ZZ
135	5	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( X e. CC -> 1 e. CC )
136		bpolycl 28124	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 0 e. NN0 /\ X e. CC ) -> ( 0 BernPoly X ) e. CC )
137	105, 136	mpan 665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( X e. CC -> ( 0 BernPoly X ) e. CC )
138		5cn 10397	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 5 e. CC
139	138	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( X e. CC -> 5 e. CC )
140		0re 9382	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 0 e. RR
141		5pos 10415	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 0 < 5
142	140, 141	gtneii 9482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 5 =/= 0
143	142	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( X e. CC -> 5 =/= 0 )
144	137, 139, 143	divcld 10103	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( X e. CC -> ( ( 0 BernPoly X ) / 5 ) e. CC )
145	135, 144	mulcld 9402	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( X e. CC -> ( 1 x. ( ( 0 BernPoly X ) / 5 ) ) e. CC )
146		oveq2 6098	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = 0 -> ( 4 _C k ) = ( 4 _C 0 ) )
147		bcn0 12082	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 4 e. NN0 -> ( 4 _C 0 ) = 1 )
148	1, 147	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 4 _C 0 ) = 1
149	146, 148	syl6eq 2489	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = 0 -> ( 4 _C k ) = 1 )
150		oveq1 6097	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = 0 -> ( k BernPoly X ) = ( 0 BernPoly X ) )
151		oveq2 6098	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k = 0 -> ( 4 - k ) = ( 4 - 0 ) )
152	151	oveq1d 6105	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = 0 -> ( ( 4 - k ) + 1 ) = ( ( 4 - 0 ) + 1 ) )
153	4	subid1i 9676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( 4 - 0 ) = 4
154	153	oveq1i 6100	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 4 - 0 ) + 1 ) = ( 4 + 1 )
155		4p1e5 10444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 4 + 1 ) = 5
156	154, 155	eqtri 2461	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 4 - 0 ) + 1 ) = 5
157	152, 156	syl6eq 2489	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = 0 -> ( ( 4 - k ) + 1 ) = 5 )
158	150, 157	oveq12d 6108	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = 0 -> ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) = ( ( 0 BernPoly X ) / 5 ) )
159	149, 158	oveq12d 6108	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = 0 -> ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) = ( 1 x. ( ( 0 BernPoly X ) / 5 ) ) )
160	159	fsum1 13214	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 0 e. ZZ /\ ( 1 x. ( ( 0 BernPoly X ) / 5 ) ) e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... 0 ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) = ( 1 x. ( ( 0 BernPoly X ) / 5 ) ) )
161	134, 145, 160	sylancr 658	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X e. CC -> sum_ k e. ( 0 ... 0 ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) = ( 1 x. ( ( 0 BernPoly X ) / 5 ) ) )
162		bpoly0 28122	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( X e. CC -> ( 0 BernPoly X ) = 1 )
163	162	oveq1d 6105	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( X e. CC -> ( ( 0 BernPoly X ) / 5 ) = ( 1 / 5 ) )
164	163	oveq2d 6106	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( X e. CC -> ( 1 x. ( ( 0 BernPoly X ) / 5 ) ) = ( 1 x. ( 1 / 5 ) ) )
165	138, 142	reccli 10057	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1 / 5 ) e. CC
166	165	mulid2i 9385	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1 x. ( 1 / 5 ) ) = ( 1 / 5 )
167	164, 166	syl6eq 2489	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X e. CC -> ( 1 x. ( ( 0 BernPoly X ) / 5 ) ) = ( 1 / 5 ) )
168	161, 167	eqtrd 2473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. CC -> sum_ k e. ( 0 ... 0 ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) = ( 1 / 5 ) )
169		bpolycl 28124	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1 e. NN0 /\ X e. CC ) -> ( 1 BernPoly X ) e. CC )
170	76, 169	mpan 665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( X e. CC -> ( 1 BernPoly X ) e. CC )
171		nn0cn 10585	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 4 e. NN0 -> 4 e. CC )
172	1, 171	mp1i 12	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( X e. CC -> 4 e. CC )
173		4ne0 10414	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 4 =/= 0
174	173	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( X e. CC -> 4 =/= 0 )
175	170, 172, 174	divcan2d 10105	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X e. CC -> ( 4 x. ( ( 1 BernPoly X ) / 4 ) ) = ( 1 BernPoly X ) )
176		bpoly1 28123	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X e. CC -> ( 1 BernPoly X ) = ( X - ( 1 / 2 ) ) )
177	175, 176	eqtrd 2473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. CC -> ( 4 x. ( ( 1 BernPoly X ) / 4 ) ) = ( X - ( 1 / 2 ) ) )
178	168, 177	oveq12d 6108	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. CC -> ( sum_ k e. ( 0 ... 0 ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) + ( 4 x. ( ( 1 BernPoly X ) / 4 ) ) ) = ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) )
179	133, 178	eqtrd 2473	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. CC -> sum_ k e. ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) = ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) )
180	104, 179	syl5eqr 2487	. . . . . . . . 9 |- ( X e. CC -> sum_ k e. ( 0 ... 1 ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) = ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) )
181		6cn 10399	. . . . . . . . . . . 12 |- 6 e. CC
182	181	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. CC -> 6 e. CC )
183		bpolycl 28124	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 e. NN0 /\ X e. CC ) -> ( 2 BernPoly X ) e. CC )
184	14, 183	mpan 665	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. CC -> ( 2 BernPoly X ) e. CC )
185	6	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. CC -> 3 e. CC )
186		3ne0 10412	. . . . . . . . . . . 12 |- 3 =/= 0
187	186	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. CC -> 3 =/= 0 )
188	182, 184, 185, 187	div12d 10139	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. CC -> ( 6 x. ( ( 2 BernPoly X ) / 3 ) ) = ( ( 2 BernPoly X ) x. ( 6 / 3 ) ) )
189		3t2e6 10469	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 3 x. 2 ) = 6
190	181, 6, 92, 186	divmuli 10081	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 6 / 3 ) = 2 <-> ( 3 x. 2 ) = 6 )
191	189, 190	mpbir 209	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 6 / 3 ) = 2
192	191	oveq2i 6101	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 BernPoly X ) x. ( 6 / 3 ) ) = ( ( 2 BernPoly X ) x. 2 )
193	92	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X e. CC -> 2 e. CC )
194	184, 193	mulcomd 9403	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. CC -> ( ( 2 BernPoly X ) x. 2 ) = ( 2 x. ( 2 BernPoly X ) ) )
195		bpoly2 28129	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X e. CC -> ( 2 BernPoly X ) = ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) )
196	195	oveq2d 6106	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. CC -> ( 2 x. ( 2 BernPoly X ) ) = ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) )
197	194, 196	eqtrd 2473	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. CC -> ( ( 2 BernPoly X ) x. 2 ) = ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) )
198	192, 197	syl5eq 2485	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. CC -> ( ( 2 BernPoly X ) x. ( 6 / 3 ) ) = ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) )
199	188, 198	eqtrd 2473	. . . . . . . . 9 |- ( X e. CC -> ( 6 x. ( ( 2 BernPoly X ) / 3 ) ) = ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) )
200	180, 199	oveq12d 6108	. . . . . . . 8 |- ( X e. CC -> ( sum_ k e. ( 0 ... 1 ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) + ( 6 x. ( ( 2 BernPoly X ) / 3 ) ) ) = ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) )
201	101, 200	eqtrd 2473	. . . . . . 7 |- ( X e. CC -> sum_ k e. ( 0 ... ( 1 + 1 ) ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) = ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) )
202	75, 201	syl5eq 2485	. . . . . 6 |- ( X e. CC -> sum_ k e. ( 0 ... 2 ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) = ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) )
203		3nn0 10593	. . . . . . . . 9 |- 3 e. NN0
204		bpolycl 28124	. . . . . . . . 9 |- ( ( 3 e. NN0 /\ X e. CC ) -> ( 3 BernPoly X ) e. CC )
205	203, 204	mpan 665	. . . . . . . 8 |- ( X e. CC -> ( 3 BernPoly X ) e. CC )
206		2ne0 10410	. . . . . . . . 9 |- 2 =/= 0
207	206	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( X e. CC -> 2 =/= 0 )
208	172, 205, 193, 207	div12d 10139	. . . . . . 7 |- ( X e. CC -> ( 4 x. ( ( 3 BernPoly X ) / 2 ) ) = ( ( 3 BernPoly X ) x. ( 4 / 2 ) ) )
209		4d2e2 10474	. . . . . . . . 9 |- ( 4 / 2 ) = 2
210	209	oveq2i 6101	. . . . . . . 8 |- ( ( 3 BernPoly X ) x. ( 4 / 2 ) ) = ( ( 3 BernPoly X ) x. 2 )
211	205, 193	mulcomd 9403	. . . . . . . . 9 |- ( X e. CC -> ( ( 3 BernPoly X ) x. 2 ) = ( 2 x. ( 3 BernPoly X ) ) )
212		bpoly3 28130	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. CC -> ( 3 BernPoly X ) = ( ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) )
213	212	oveq2d 6106	. . . . . . . . 9 |- ( X e. CC -> ( 2 x. ( 3 BernPoly X ) ) = ( 2 x. ( ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) ) )
214	211, 213	eqtrd 2473	. . . . . . . 8 |- ( X e. CC -> ( ( 3 BernPoly X ) x. 2 ) = ( 2 x. ( ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) ) )
215	210, 214	syl5eq 2485	. . . . . . 7 |- ( X e. CC -> ( ( 3 BernPoly X ) x. ( 4 / 2 ) ) = ( 2 x. ( ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) ) )
216	208, 215	eqtrd 2473	. . . . . 6 |- ( X e. CC -> ( 4 x. ( ( 3 BernPoly X ) / 2 ) ) = ( 2 x. ( ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) ) )
217	202, 216	oveq12d 6108	. . . . 5 |- ( X e. CC -> ( sum_ k e. ( 0 ... 2 ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) + ( 4 x. ( ( 3 BernPoly X ) / 2 ) ) ) = ( ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) ) ) )
218	73, 217	eqtrd 2473	. . . 4 |- ( X e. CC -> sum_ k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) = ( ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) ) ) )
219	13, 218	syl5eq 2485	. . 3 |- ( X e. CC -> sum_ k e. ( 0 ... ( 4 - 1 ) ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) = ( ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) ) ) )
220	219	oveq2d 6106	. 2 |- ( X e. CC -> ( ( X ^ 4 ) - sum_ k e. ( 0 ... ( 4 - 1 ) ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) ) = ( ( X ^ 4 ) - ( ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) ) ) ) )
221		expcl 11879	. . . . 5 |- ( ( X e. CC /\ 4 e. NN0 ) -> ( X ^ 4 ) e. CC )
222	1, 221	mpan2 666	. . . 4 |- ( X e. CC -> ( X ^ 4 ) e. CC )
223		expcl 11879	. . . . . 6 |- ( ( X e. CC /\ 3 e. NN0 ) -> ( X ^ 3 ) e. CC )
224	203, 223	mpan2 666	. . . . 5 |- ( X e. CC -> ( X ^ 3 ) e. CC )
225	193, 224	mulcld 9402	. . . 4 |- ( X e. CC -> ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) e. CC )
226		sqcl 11924	. . . . 5 |- ( X e. CC -> ( X ^ 2 ) e. CC )
227	203, 105	deccl 10765	. . . . . . . 8 |- ; 3 0 e. NN0
228	227	nn0cni 10587	. . . . . . 7 |- ; 3 0 e. CC
229		df-dec 10752	. . . . . . . . 9 |- ; 3 0 = ( ( 10 x. 3 ) + 0 )
230		10re 10406	. . . . . . . . . . . 12 |- 10 e. RR
231	230	recni 9394	. . . . . . . . . . 11 |- 10 e. CC
232	231, 6	mulcli 9387	. . . . . . . . . 10 |- ( 10 x. 3 ) e. CC
233	232	addid1i 9552	. . . . . . . . 9 |- ( ( 10 x. 3 ) + 0 ) = ( 10 x. 3 )
234	229, 233	eqtri 2461	. . . . . . . 8 |- ; 3 0 = ( 10 x. 3 )
235		10pos 10420	. . . . . . . . . 10 |- 0 < 10
236	140, 235	gtneii 9482	. . . . . . . . 9 |- 10 =/= 0
237	231, 6, 236, 186	mulne0i 9975	. . . . . . . 8 |- ( 10 x. 3 ) =/= 0
238	234, 237	eqnetri 2623	. . . . . . 7 |- ; 3 0 =/= 0
239	228, 238	reccli 10057	. . . . . 6 |- ( 1 / ; 3 0 ) e. CC
240	239	a1i 11	. . . . 5 |- ( X e. CC -> ( 1 / ; 3 0 ) e. CC )
241	226, 240	subcld 9715	. . . 4 |- ( X e. CC -> ( ( X ^ 2 ) - ( 1 / ; 3 0 ) ) e. CC )
242	222, 225, 241	subsubd 9743	. . 3 |- ( X e. CC -> ( ( X ^ 4 ) - ( ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) - ( ( X ^ 2 ) - ( 1 / ; 3 0 ) ) ) ) = ( ( ( X ^ 4 ) - ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) ) + ( ( X ^ 2 ) - ( 1 / ; 3 0 ) ) ) )
243	165	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( X e. CC -> ( 1 / 5 ) e. CC )
244		id 22	. . . . . . . . 9 |- ( X e. CC -> X e. CC )
245	92, 206	reccli 10057	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 / 2 ) e. CC
246	245	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( X e. CC -> ( 1 / 2 ) e. CC )
247	244, 246	subcld 9715	. . . . . . . 8 |- ( X e. CC -> ( X - ( 1 / 2 ) ) e. CC )
248	243, 247	addcld 9401	. . . . . . 7 |- ( X e. CC -> ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) e. CC )
249	226, 244	subcld 9715	. . . . . . . . 9 |- ( X e. CC -> ( ( X ^ 2 ) - X ) e. CC )
250		6pos 10416	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 < 6
251	140, 250	gtneii 9482	. . . . . . . . . . 11 |- 6 =/= 0
252	181, 251	reccli 10057	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 / 6 ) e. CC
253	252	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( X e. CC -> ( 1 / 6 ) e. CC )
254	249, 253	addcld 9401	. . . . . . . 8 |- ( X e. CC -> ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) e. CC )
255	193, 254	mulcld 9402	. . . . . . 7 |- ( X e. CC -> ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) e. CC )
256	248, 255	addcld 9401	. . . . . 6 |- ( X e. CC -> ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) e. CC )
257	6, 92, 206	divcli 10069	. . . . . . . . . . 11 |- ( 3 / 2 ) e. CC
258	257	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. CC -> ( 3 / 2 ) e. CC )
259	258, 226	mulcld 9402	. . . . . . . . 9 |- ( X e. CC -> ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) e. CC )
260	224, 259	subcld 9715	. . . . . . . 8 |- ( X e. CC -> ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) e. CC )
261	246, 244	mulcld 9402	. . . . . . . 8 |- ( X e. CC -> ( ( 1 / 2 ) x. X ) e. CC )
262	260, 261	addcld 9401	. . . . . . 7 |- ( X e. CC -> ( ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) e. CC )
263	193, 262	mulcld 9402	. . . . . 6 |- ( X e. CC -> ( 2 x. ( ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) ) e. CC )
264	256, 263	addcomd 9567	. . . . 5 |- ( X e. CC -> ( ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) ) ) = ( ( 2 x. ( ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) ) + ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) ) )
265	193, 260, 261	adddid 9406	. . . . . . 7 |- ( X e. CC -> ( 2 x. ( ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) ) = ( ( 2 x. ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) ) + ( 2 x. ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) ) )
266	193, 224, 259	subdid 9796	. . . . . . . 8 |- ( X e. CC -> ( 2 x. ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) ) = ( ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) - ( 2 x. ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) ) )
267	92, 206	recidi 10058	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) = 1
268	267	oveq1i 6100	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. X ) = ( 1 x. X )
269	193, 246, 244	mulassd 9405	. . . . . . . . 9 |- ( X e. CC -> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. X ) = ( 2 x. ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) )
270		mulid2 9380	. . . . . . . . 9 |- ( X e. CC -> ( 1 x. X ) = X )
271	268, 269, 270	3eqtr3a 2497	. . . . . . . 8 |- ( X e. CC -> ( 2 x. ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) = X )
272	266, 271	oveq12d 6108	. . . . . . 7 |- ( X e. CC -> ( ( 2 x. ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) ) + ( 2 x. ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) ) = ( ( ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) - ( 2 x. ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) ) + X ) )
273	265, 272	eqtrd 2473	. . . . . 6 |- ( X e. CC -> ( 2 x. ( ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) ) = ( ( ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) - ( 2 x. ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) ) + X ) )
274	273	oveq1d 6105	. . . . 5 |- ( X e. CC -> ( ( 2 x. ( ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) ) + ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) ) = ( ( ( ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) - ( 2 x. ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) ) + X ) + ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) ) )
275	193, 259	mulcld 9402	. . . . . . . 8 |- ( X e. CC -> ( 2 x. ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) e. CC )
276	225, 275	subcld 9715	. . . . . . 7 |- ( X e. CC -> ( ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) - ( 2 x. ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) ) e. CC )
277	276, 244, 256	addassd 9404	. . . . . 6 |- ( X e. CC -> ( ( ( ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) - ( 2 x. ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) ) + X ) + ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) ) = ( ( ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) - ( 2 x. ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) ) + ( X + ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) ) ) )
278	244, 256	addcld 9401	. . . . . . 7 |- ( X e. CC -> ( X + ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) ) e. CC )
279	225, 275, 278	subsubd 9743	. . . . . 6 |- ( X e. CC -> ( ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) - ( ( 2 x. ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) - ( X + ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) ) ) ) = ( ( ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) - ( 2 x. ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) ) + ( X + ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) ) ) )
280	6, 92, 206	divcan2i 10070	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 x. ( 3 / 2 ) ) = 3
281	280	oveq1i 6100	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 x. ( 3 / 2 ) ) x. ( X ^ 2 ) ) = ( 3 x. ( X ^ 2 ) )
282	193, 258, 226	mulassd 9405	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. CC -> ( ( 2 x. ( 3 / 2 ) ) x. ( X ^ 2 ) ) = ( 2 x. ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) )
283	281, 282	syl5reqr 2488	. . . . . . . . 9 |- ( X e. CC -> ( 2 x. ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) = ( 3 x. ( X ^ 2 ) ) )
284	283	oveq1d 6105	. . . . . . . 8 |- ( X e. CC -> ( ( 2 x. ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) - ( X + ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) ) ) = ( ( 3 x. ( X ^ 2 ) ) - ( X + ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) ) ) )
285	244, 248, 255	add12d 9587	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. CC -> ( X + ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) ) = ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( X + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) ) )
286	193, 249, 253	adddid 9406	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( X e. CC -> ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) = ( ( 2 x. ( ( X ^ 2 ) - X ) ) + ( 2 x. ( 1 / 6 ) ) ) )
287	193, 226, 244	subdid 9796	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( X e. CC -> ( 2 x. ( ( X ^ 2 ) - X ) ) = ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) - ( 2 x. X ) ) )
288	189	oveq2i 6101	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 2 / ( 3 x. 2 ) ) = ( 2 / 6 )
289	6, 186	reccli 10057	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( 1 / 3 ) e. CC
290	6, 92, 289	mul32i 9561	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 3 x. 2 ) x. ( 1 / 3 ) ) = ( ( 3 x. ( 1 / 3 ) ) x. 2 )
291	6, 186	recidi 10058	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( 3 x. ( 1 / 3 ) ) = 1
292	291	oveq1i 6100	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 3 x. ( 1 / 3 ) ) x. 2 ) = ( 1 x. 2 )
293	92	mulid2i 9385	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( 1 x. 2 ) = 2
294	292, 293	eqtri 2461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 3 x. ( 1 / 3 ) ) x. 2 ) = 2
295	290, 294	eqtri 2461	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 3 x. 2 ) x. ( 1 / 3 ) ) = 2
296	189, 181	eqeltri 2511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 3 x. 2 ) e. CC
297	189, 251	eqnetri 2623	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 3 x. 2 ) =/= 0
298	92, 296, 289, 297	divmuli 10081	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 2 / ( 3 x. 2 ) ) = ( 1 / 3 ) <-> ( ( 3 x. 2 ) x. ( 1 / 3 ) ) = 2 )
299	295, 298	mpbir 209	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 2 / ( 3 x. 2 ) ) = ( 1 / 3 )
300	92, 181, 251	divreci 10072	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 2 / 6 ) = ( 2 x. ( 1 / 6 ) )
301	288, 299, 300	3eqtr3ri 2470	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 2 x. ( 1 / 6 ) ) = ( 1 / 3 )
302	301	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( X e. CC -> ( 2 x. ( 1 / 6 ) ) = ( 1 / 3 ) )
303	287, 302	oveq12d 6108	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( X e. CC -> ( ( 2 x. ( ( X ^ 2 ) - X ) ) + ( 2 x. ( 1 / 6 ) ) ) = ( ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) - ( 2 x. X ) ) + ( 1 / 3 ) ) )
304	286, 303	eqtrd 2473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X e. CC -> ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) = ( ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) - ( 2 x. X ) ) + ( 1 / 3 ) ) )
305	304	oveq2d 6106	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. CC -> ( X + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) = ( X + ( ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) - ( 2 x. X ) ) + ( 1 / 3 ) ) ) )
306	193, 226	mulcld 9402	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( X e. CC -> ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) e. CC )
307	193, 244	mulcld 9402	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( X e. CC -> ( 2 x. X ) e. CC )
308	306, 307	subcld 9715	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X e. CC -> ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) - ( 2 x. X ) ) e. CC )
309	289	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X e. CC -> ( 1 / 3 ) e. CC )
310	244, 308, 309	addassd 9404	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. CC -> ( ( X + ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) - ( 2 x. X ) ) ) + ( 1 / 3 ) ) = ( X + ( ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) - ( 2 x. X ) ) + ( 1 / 3 ) ) ) )
311	244, 306, 307	addsub12d 9738	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X e. CC -> ( X + ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) - ( 2 x. X ) ) ) = ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) )
312	311	oveq1d 6105	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. CC -> ( ( X + ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) - ( 2 x. X ) ) ) + ( 1 / 3 ) ) = ( ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) + ( 1 / 3 ) ) )
313	305, 310, 312	3eqtr2d 2479	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. CC -> ( X + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) = ( ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) + ( 1 / 3 ) ) )
314	313	oveq2d 6106	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. CC -> ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( X + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) ) = ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) + ( 1 / 3 ) ) ) )
315	285, 314	eqtrd 2473	. . . . . . . . 9 |- ( X e. CC -> ( X + ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) ) = ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) + ( 1 / 3 ) ) ) )
316	315	oveq2d 6106	. . . . . . . 8 |- ( X e. CC -> ( ( 3 x. ( X ^ 2 ) ) - ( X + ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) ) ) = ( ( 3 x. ( X ^ 2 ) ) - ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) + ( 1 / 3 ) ) ) ) )
317	244, 307	subcld 9715	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X e. CC -> ( X - ( 2 x. X ) ) e. CC )
318	306, 317	addcld 9401	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. CC -> ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) e. CC )
319	243, 247, 318, 309	add4d 9589	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. CC -> ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) + ( 1 / 3 ) ) ) = ( ( ( 1 / 5 ) + ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) ) + ( ( X - ( 1 / 2 ) ) + ( 1 / 3 ) ) ) )
320	243, 306, 317	add12d 9587	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. CC -> ( ( 1 / 5 ) + ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) ) = ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) + ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) ) )
321	320	oveq1d 6105	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. CC -> ( ( ( 1 / 5 ) + ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) ) + ( ( X - ( 1 / 2 ) ) + ( 1 / 3 ) ) ) = ( ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) + ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) ) + ( ( X - ( 1 / 2 ) ) + ( 1 / 3 ) ) ) )
322	243, 317	addcld 9401	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. CC -> ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) e. CC )
323	247, 309	addcld 9401	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. CC -> ( ( X - ( 1 / 2 ) ) + ( 1 / 3 ) ) e. CC )
324	306, 322, 323	addassd 9404	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. CC -> ( ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) + ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) ) + ( ( X - ( 1 / 2 ) ) + ( 1 / 3 ) ) ) = ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) + ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) + ( ( X - ( 1 / 2 ) ) + ( 1 / 3 ) ) ) ) )
325	319, 321, 324	3eqtrd 2477	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. CC -> ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) + ( 1 / 3 ) ) ) = ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) + ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) + ( ( X - ( 1 / 2 ) ) + ( 1 / 3 ) ) ) ) )
326	325	oveq2d 6106	. . . . . . . . 9 |- ( X e. CC -> ( ( 3 x. ( X ^ 2 ) ) - ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) + ( 1 / 3 ) ) ) ) = ( ( 3 x. ( X ^ 2 ) ) - ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) + ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) + ( ( X - ( 1 / 2 ) ) + ( 1 / 3 ) ) ) ) ) )
327	185, 226	mulcld 9402	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. CC -> ( 3 x. ( X ^ 2 ) ) e. CC )
328	322, 323	addcld 9401	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. CC -> ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) + ( ( X - ( 1 / 2 ) ) + ( 1 / 3 ) ) ) e. CC )
329	327, 306, 328	subsub4d 9746	. . . . . . . . 9 |- ( X e. CC -> ( ( ( 3 x. ( X ^ 2 ) ) - ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) ) - ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) + ( ( X - ( 1 / 2 ) ) + ( 1 / 3 ) ) ) ) = ( ( 3 x. ( X ^ 2 ) ) - ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) + ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) + ( ( X - ( 1 / 2 ) ) + ( 1 / 3 ) ) ) ) ) )
330	6, 92, 5, 113	subaddrii 9693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 3 - 2 ) = 1
331	330	oveq1i 6100	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 3 - 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) = ( 1 x. ( X ^ 2 ) )
332	185, 193, 226	subdird 9797	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. CC -> ( ( 3 - 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) = ( ( 3 x. ( X ^ 2 ) ) - ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) ) )
333	226	mulid2d 9400	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. CC -> ( 1 x. ( X ^ 2 ) ) = ( X ^ 2 ) )
334	331, 332, 333	3eqtr3a 2497	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. CC -> ( ( 3 x. ( X ^ 2 ) ) - ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) ) = ( X ^ 2 ) )
335	243, 307, 244	subsubd 9743	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X e. CC -> ( ( 1 / 5 ) - ( ( 2 x. X ) - X ) ) = ( ( ( 1 / 5 ) - ( 2 x. X ) ) + X ) )
336	270	oveq2d 6106	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( X e. CC -> ( ( 2 x. X ) - ( 1 x. X ) ) = ( ( 2 x. X ) - X ) )
337		2m1e1 10432	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 2 - 1 ) = 1
338	337	oveq1i 6100	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 2 - 1 ) x. X ) = ( 1 x. X )
339	193, 135, 244	subdird 9797	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( X e. CC -> ( ( 2 - 1 ) x. X ) = ( ( 2 x. X ) - ( 1 x. X ) ) )
340	338, 339, 270	3eqtr3a 2497	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( X e. CC -> ( ( 2 x. X ) - ( 1 x. X ) ) = X )
341	336, 340	eqtr3d 2475	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( X e. CC -> ( ( 2 x. X ) - X ) = X )
342	341	oveq2d 6106	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X e. CC -> ( ( 1 / 5 ) - ( ( 2 x. X ) - X ) ) = ( ( 1 / 5 ) - X ) )
343	243, 307, 244	subadd23d 9737	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X e. CC -> ( ( ( 1 / 5 ) - ( 2 x. X ) ) + X ) = ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) )
344	335, 342, 343	3eqtr3d 2481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. CC -> ( ( 1 / 5 ) - X ) = ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) )
345	244, 246, 309	subsubd 9743	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. CC -> ( X - ( ( 1 / 2 ) - ( 1 / 3 ) ) ) = ( ( X - ( 1 / 2 ) ) + ( 1 / 3 ) ) )
346	344, 345	oveq12d 6108	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. CC -> ( ( ( 1 / 5 ) - X ) + ( X - ( ( 1 / 2 ) - ( 1 / 3 ) ) ) ) = ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) + ( ( X - ( 1 / 2 ) ) + ( 1 / 3 ) ) ) )
347	245, 289	subcli 9680	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1 / 2 ) - ( 1 / 3 ) ) e. CC
348	347	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X e. CC -> ( ( 1 / 2 ) - ( 1 / 3 ) ) e. CC )
349	243, 244, 348	npncand 9739	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. CC -> ( ( ( 1 / 5 ) - X ) + ( X - ( ( 1 / 2 ) - ( 1 / 3 ) ) ) ) = ( ( 1 / 5 ) - ( ( 1 / 2 ) - ( 1 / 3 ) ) ) )
350		halfthird 27321	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1 / 2 ) - ( 1 / 3 ) ) = ( 1 / 6 )
351	350	oveq2i 6101	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1 / 5 ) - ( ( 1 / 2 ) - ( 1 / 3 ) ) ) = ( ( 1 / 5 ) - ( 1 / 6 ) )
352		5recm6rec 27322	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1 / 5 ) - ( 1 / 6 ) ) = ( 1 / ; 3 0 )
353	351, 352	eqtri 2461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 / 5 ) - ( ( 1 / 2 ) - ( 1 / 3 ) ) ) = ( 1 / ; 3 0 )
354	349, 353	syl6eq 2489	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. CC -> ( ( ( 1 / 5 ) - X ) + ( X - ( ( 1 / 2 ) - ( 1 / 3 ) ) ) ) = ( 1 / ; 3 0 ) )
355	346, 354	eqtr3d 2475	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. CC -> ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) + ( ( X - ( 1 / 2 ) ) + ( 1 / 3 ) ) ) = ( 1 / ; 3 0 ) )
356	334, 355	oveq12d 6108	. . . . . . . . 9 |- ( X e. CC -> ( ( ( 3 x. ( X ^ 2 ) ) - ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) ) - ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) + ( ( X - ( 1 / 2 ) ) + ( 1 / 3 ) ) ) ) = ( ( X ^ 2 ) - ( 1 / ; 3 0 ) ) )
357	326, 329, 356	3eqtr2d 2479	. . . . . . . 8 |- ( X e. CC -> ( ( 3 x. ( X ^ 2 ) ) - ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) + ( 1 / 3 ) ) ) ) = ( ( X ^ 2 ) - ( 1 / ; 3 0 ) ) )
358	284, 316, 357	3eqtrd 2477	. . . . . . 7 |- ( X e. CC -> ( ( 2 x. ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) - ( X + ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) ) ) = ( ( X ^ 2 ) - ( 1 / ; 3 0 ) ) )
359	358	oveq2d 6106	. . . . . 6 |- ( X e. CC -> ( ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) - ( ( 2 x. ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) - ( X + ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) ) ) ) = ( ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) - ( ( X ^ 2 ) - ( 1 / ; 3 0 ) ) ) )
360	277, 279, 359	3eqtr2d 2479	. . . . 5 |- ( X e. CC -> ( ( ( ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) - ( 2 x. ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) ) + X ) + ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) ) = ( ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) - ( ( X ^ 2 ) - ( 1 / ; 3 0 ) ) ) )
361	264, 274, 360	3eqtrd 2477	. . . 4 |- ( X e. CC -> ( ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) ) ) = ( ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) - ( ( X ^ 2 ) - ( 1 / ; 3 0 ) ) ) )
362	361	oveq2d 6106	. . 3 |- ( X e. CC -> ( ( X ^ 4 ) - ( ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) ) ) ) = ( ( X ^ 4 ) - ( ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) - ( ( X ^ 2 ) - ( 1 / ; 3 0 ) ) ) ) )
363	222, 225	subcld 9715	. . . 4 |- ( X e. CC -> ( ( X ^ 4 ) - ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) ) e. CC )
364	363, 226, 240	addsubassd 9735	. . 3 |- ( X e. CC -> ( ( ( ( X ^ 4 ) - ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) ) + ( X ^ 2 ) ) - ( 1 / ; 3 0 ) ) = ( ( ( X ^ 4 ) - ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) ) + ( ( X ^ 2 ) - ( 1 / ; 3 0 ) ) ) )
365	242, 362, 364	3eqtr4d 2483	. 2 |- ( X e. CC -> ( ( X ^ 4 ) - ( ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) ) ) ) = ( ( ( ( X ^ 4 ) - ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) ) + ( X ^ 2 ) ) - ( 1 / ; 3 0 ) ) )
366	3, 220, 365	3eqtrd 2477	1 |- ( X e. CC -> ( 4 BernPoly X ) = ( ( ( ( X ^ 4 ) - ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) ) + ( X ^ 2 ) ) - ( 1 / ; 3 0 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1364   e. wcel 1761   =/= wne 2604   C_ wss 3325   class class class wbr 4289   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   CCcc 9276   RRcr 9277   0cc0 9278   1c1 9279   + caddc 9281   x. cmul 9283   < clt 9414   - cmin 9591   / cdiv 9989   NNcn 10318   2c2 10367   3c3 10368   4c4 10369   5c5 10370   6c6 10371   10c10 10375   NN0cn0 10575   ZZcz 10642  ;cdc 10751   ZZ>=cuz 10857   ...cfz 11433   ^cexp 11861   _C cbc 12074   sum_csu 13159   BernPoly cbp 28118

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-rp 10988  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-seq 11803  df-exp 11862  df-fac 12048  df-bc 12075  df-hash 12100  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-clim 12962  df-sum 13160  df-pred 27554  df-wrecs 27646  df-bpoly 28119

This theorem is referenced by:  fsumcube  28132