Theorem bpoly4 26009

Description: The Bernoulli polynomials at four. (Contributed by Scott Fenton, 8-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
bpoly4	|- ( X e. CC -> ( 4 BernPoly X ) = ( ( ( ( X ^ 4 ) - ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) ) + ( X ^ 2 ) ) - ( 1 / ; 3 0 ) ) )

Proof of Theorem bpoly4

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn0 10196	. . 3 |- 4 e. NN0
2		bpolyval 25999	. . 3 |- ( ( 4 e. NN0 /\ X e. CC ) -> ( 4 BernPoly X ) = ( ( X ^ 4 ) - sum_ k e. ( 0 ... ( 4 - 1 ) ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) ) )
3	1, 2	mpan 652	. 2 |- ( X e. CC -> ( 4 BernPoly X ) = ( ( X ^ 4 ) - sum_ k e. ( 0 ... ( 4 - 1 ) ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) ) )
4		4cn 10030	. . . . . . . 8 |- 4 e. CC
5		ax-1cn 9004	. . . . . . . 8 |- 1 e. CC
6		3cn 10028	. . . . . . . 8 |- 3 e. CC
7		3p1e4 10060	. . . . . . . . 9 |- ( 3 + 1 ) = 4
8	6, 5, 7	addcomli 9214	. . . . . . . 8 |- ( 1 + 3 ) = 4
9	4, 5, 6, 8	subaddrii 9345	. . . . . . 7 |- ( 4 - 1 ) = 3
10		df-3 10015	. . . . . . 7 |- 3 = ( 2 + 1 )
11	9, 10	eqtri 2424	. . . . . 6 |- ( 4 - 1 ) = ( 2 + 1 )
12	11	oveq2i 6051	. . . . 5 |- ( 0 ... ( 4 - 1 ) ) = ( 0 ... ( 2 + 1 ) )
13	12	sumeq1i 12447	. . . 4 |- sum_ k e. ( 0 ... ( 4 - 1 ) ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) )
14		2nn0 10194	. . . . . . . 8 |- 2 e. NN0
15		nn0uz 10476	. . . . . . . 8 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
16	14, 15	eleqtri 2476	. . . . . . 7 |- 2 e. ( ZZ>= ` 0 )
17	16	a1i 11	. . . . . 6 |- ( X e. CC -> 2 e. ( ZZ>= ` 0 ) )
18		elfzelz 11015	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) -> k e. ZZ )
19		bccl 11568	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 4 e. NN0 /\ k e. ZZ ) -> ( 4 _C k ) e. NN0 )
20	1, 18, 19	sylancr 645	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) -> ( 4 _C k ) e. NN0 )
21	20	nn0cnd 10232	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) -> ( 4 _C k ) e. CC )
22	21	adantl 453	. . . . . . 7 |- ( ( X e. CC /\ k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) ) -> ( 4 _C k ) e. CC )
23		elfznn0 11039	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) -> k e. NN0 )
24		bpolycl 26002	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. NN0 /\ X e. CC ) -> ( k BernPoly X ) e. CC )
25	23, 24	sylan 458	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) /\ X e. CC ) -> ( k BernPoly X ) e. CC )
26	25	ancoms 440	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. CC /\ k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) ) -> ( k BernPoly X ) e. CC )
27		4re 10029	. . . . . . . . . . . . 13 |- 4 e. RR
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) -> 4 e. RR )
29	18	zred 10331	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) -> k e. RR )
30	28, 29	resubcld 9421	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) -> ( 4 - k ) e. RR )
31		peano2re 9195	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 4 - k ) e. RR -> ( ( 4 - k ) + 1 ) e. RR )
32	30, 31	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) -> ( ( 4 - k ) + 1 ) e. RR )
33	32	recnd 9070	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) -> ( ( 4 - k ) + 1 ) e. CC )
34	33	adantl 453	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. CC /\ k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) ) -> ( ( 4 - k ) + 1 ) e. CC )
35		1re 9046	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. RR
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) -> 1 e. RR )
37	10	oveq2i 6051	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 ... 3 ) = ( 0 ... ( 2 + 1 ) )
38	37	eleq2i 2468	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( 0 ... 3 ) <-> k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) )
39		elfzelz 11015	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ( 0 ... 3 ) -> k e. ZZ )
40	39	zred 10331	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( 0 ... 3 ) -> k e. RR )
41		3re 10027	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 3 e. RR
42	41	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( 0 ... 3 ) -> 3 e. RR )
43	27	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( 0 ... 3 ) -> 4 e. RR )
44		elfzle2 11017	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( 0 ... 3 ) -> k <_ 3 )
45		3lt4 10101	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 3 < 4
46	45	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( 0 ... 3 ) -> 3 < 4 )
47	40, 42, 43, 44, 46	lelttrd 9184	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( 0 ... 3 ) -> k < 4 )
48	38, 47	sylbir 205	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) -> k < 4 )
49	29, 28	posdifd 9569	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) -> ( k < 4 <-> 0 < ( 4 - k ) ) )
50	48, 49	mpbid 202	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) -> 0 < ( 4 - k ) )
51		0lt1 9506	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 < 1
52	51	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) -> 0 < 1 )
53	30, 36, 50, 52	addgt0d 9557	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) -> 0 < ( ( 4 - k ) + 1 ) )
54	53	gt0ne0d 9547	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) -> ( ( 4 - k ) + 1 ) =/= 0 )
55	54	adantl 453	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. CC /\ k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) ) -> ( ( 4 - k ) + 1 ) =/= 0 )
56	26, 34, 55	divcld 9746	. . . . . . 7 |- ( ( X e. CC /\ k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) ) -> ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) e. CC )
57	22, 56	mulcld 9064	. . . . . 6 |- ( ( X e. CC /\ k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) ) -> ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) e. CC )
58	10	eqeq2i 2414	. . . . . . 7 |- ( k = 3 <-> k = ( 2 + 1 ) )
59		oveq2 6048	. . . . . . . . 9 |- ( k = 3 -> ( 4 _C k ) = ( 4 _C 3 ) )
60		4bc3eq4 25156	. . . . . . . . 9 |- ( 4 _C 3 ) = 4
61	59, 60	syl6eq 2452	. . . . . . . 8 |- ( k = 3 -> ( 4 _C k ) = 4 )
62		oveq1 6047	. . . . . . . . 9 |- ( k = 3 -> ( k BernPoly X ) = ( 3 BernPoly X ) )
63		oveq2 6048	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = 3 -> ( 4 - k ) = ( 4 - 3 ) )
64	63	oveq1d 6055	. . . . . . . . . 10 |- ( k = 3 -> ( ( 4 - k ) + 1 ) = ( ( 4 - 3 ) + 1 ) )
65	4, 6, 5, 7	subaddrii 9345	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 4 - 3 ) = 1
66	65	oveq1i 6050	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 4 - 3 ) + 1 ) = ( 1 + 1 )
67		df-2 10014	. . . . . . . . . . 11 |- 2 = ( 1 + 1 )
68	66, 67	eqtr4i 2427	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 4 - 3 ) + 1 ) = 2
69	64, 68	syl6eq 2452	. . . . . . . . 9 |- ( k = 3 -> ( ( 4 - k ) + 1 ) = 2 )
70	62, 69	oveq12d 6058	. . . . . . . 8 |- ( k = 3 -> ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) = ( ( 3 BernPoly X ) / 2 ) )
71	61, 70	oveq12d 6058	. . . . . . 7 |- ( k = 3 -> ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) = ( 4 x. ( ( 3 BernPoly X ) / 2 ) ) )
72	58, 71	sylbir 205	. . . . . 6 |- ( k = ( 2 + 1 ) -> ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) = ( 4 x. ( ( 3 BernPoly X ) / 2 ) ) )
73	17, 57, 72	fsump1 12495	. . . . 5 |- ( X e. CC -> sum_ k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) = ( sum_ k e. ( 0 ... 2 ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) + ( 4 x. ( ( 3 BernPoly X ) / 2 ) ) ) )
74	67	oveq2i 6051	. . . . . . . 8 |- ( 0 ... 2 ) = ( 0 ... ( 1 + 1 ) )
75	74	sumeq1i 12447	. . . . . . 7 |- sum_ k e. ( 0 ... 2 ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... ( 1 + 1 ) ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) )
76		1nn0 10193	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. NN0
77	76, 15	eleqtri 2476	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. ( ZZ>= ` 0 )
78	77	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( X e. CC -> 1 e. ( ZZ>= ` 0 ) )
79		fzssp1 11051	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 ... ( 1 + 1 ) ) C_ ( 0 ... ( ( 1 + 1 ) + 1 ) )
80	67	oveq1i 6050	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 2 + 1 ) = ( ( 1 + 1 ) + 1 )
81	80	oveq2i 6051	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) = ( 0 ... ( ( 1 + 1 ) + 1 ) )
82	79, 81	sseqtr4i 3341	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 ... ( 1 + 1 ) ) C_ ( 0 ... ( 2 + 1 ) )
83	82	sseli 3304	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 0 ... ( 1 + 1 ) ) -> k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) )
84	83, 57	sylan2 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. CC /\ k e. ( 0 ... ( 1 + 1 ) ) ) -> ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) e. CC )
85	67	eqeq2i 2414	. . . . . . . . . 10 |- ( k = 2 <-> k = ( 1 + 1 ) )
86		oveq2 6048	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = 2 -> ( 4 _C k ) = ( 4 _C 2 ) )
87		4bc2eq6 25157	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 4 _C 2 ) = 6
88	86, 87	syl6eq 2452	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = 2 -> ( 4 _C k ) = 6 )
89		oveq1 6047	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = 2 -> ( k BernPoly X ) = ( 2 BernPoly X ) )
90		oveq2 6048	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = 2 -> ( 4 - k ) = ( 4 - 2 ) )
91	90	oveq1d 6055	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = 2 -> ( ( 4 - k ) + 1 ) = ( ( 4 - 2 ) + 1 ) )
92		2cn 10026	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 2 e. CC
93		2p2e4 10054	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 2 + 2 ) = 4
94	4, 92, 92, 93	subaddrii 9345	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 4 - 2 ) = 2
95	94	oveq1i 6050	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 4 - 2 ) + 1 ) = ( 2 + 1 )
96	95, 10	eqtr4i 2427	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 4 - 2 ) + 1 ) = 3
97	91, 96	syl6eq 2452	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = 2 -> ( ( 4 - k ) + 1 ) = 3 )
98	89, 97	oveq12d 6058	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = 2 -> ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) = ( ( 2 BernPoly X ) / 3 ) )
99	88, 98	oveq12d 6058	. . . . . . . . . 10 |- ( k = 2 -> ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) = ( 6 x. ( ( 2 BernPoly X ) / 3 ) ) )
100	85, 99	sylbir 205	. . . . . . . . 9 |- ( k = ( 1 + 1 ) -> ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) = ( 6 x. ( ( 2 BernPoly X ) / 3 ) ) )
101	78, 84, 100	fsump1 12495	. . . . . . . 8 |- ( X e. CC -> sum_ k e. ( 0 ... ( 1 + 1 ) ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) = ( sum_ k e. ( 0 ... 1 ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) + ( 6 x. ( ( 2 BernPoly X ) / 3 ) ) ) )
102		0p1e1 10049	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 + 1 ) = 1
103	102	oveq2i 6051	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) = ( 0 ... 1 )
104	103	sumeq1i 12447	. . . . . . . . . 10 |- sum_ k e. ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... 1 ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) )
105		0nn0 10192	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 e. NN0
106	105, 15	eleqtri 2476	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 e. ( ZZ>= ` 0 )
107	106	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. CC -> 0 e. ( ZZ>= ` 0 ) )
108		3nn 10090	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 3 e. NN
109		nnuz 10477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
110	108, 109	eleqtri 2476	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 3 e. ( ZZ>= ` 1 )
111		fzss2 11048	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 3 e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( 0 ... 1 ) C_ ( 0 ... 3 ) )
112	110, 111	ax-mp 8	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 0 ... 1 ) C_ ( 0 ... 3 )
113		2p1e3 10059	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 2 + 1 ) = 3
114	113	oveq2i 6051	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) = ( 0 ... 3 )
115	112, 103, 114	3sstr4i 3347	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) C_ ( 0 ... ( 2 + 1 ) )
116	115	sseli 3304	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) -> k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) )
117	116, 57	sylan2 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( X e. CC /\ k e. ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) ) -> ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) e. CC )
118	102	eqeq2i 2414	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = ( 0 + 1 ) <-> k = 1 )
119		oveq2 6048	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = 1 -> ( 4 _C k ) = ( 4 _C 1 ) )
120		bcn1 11559	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 4 e. NN0 -> ( 4 _C 1 ) = 4 )
121	1, 120	ax-mp 8	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 4 _C 1 ) = 4
122	119, 121	syl6eq 2452	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = 1 -> ( 4 _C k ) = 4 )
123		oveq1 6047	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = 1 -> ( k BernPoly X ) = ( 1 BernPoly X ) )
124		oveq2 6048	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = 1 -> ( 4 - k ) = ( 4 - 1 ) )
125	124	oveq1d 6055	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = 1 -> ( ( 4 - k ) + 1 ) = ( ( 4 - 1 ) + 1 ) )
126	9	oveq1i 6050	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 4 - 1 ) + 1 ) = ( 3 + 1 )
127		df-4 10016	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 4 = ( 3 + 1 )
128	126, 127	eqtr4i 2427	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 4 - 1 ) + 1 ) = 4
129	125, 128	syl6eq 2452	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = 1 -> ( ( 4 - k ) + 1 ) = 4 )
130	123, 129	oveq12d 6058	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = 1 -> ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) = ( ( 1 BernPoly X ) / 4 ) )
131	122, 130	oveq12d 6058	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = 1 -> ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) = ( 4 x. ( ( 1 BernPoly X ) / 4 ) ) )
132	118, 131	sylbi 188	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = ( 0 + 1 ) -> ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) = ( 4 x. ( ( 1 BernPoly X ) / 4 ) ) )
133	107, 117, 132	fsump1 12495	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. CC -> sum_ k e. ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) = ( sum_ k e. ( 0 ... 0 ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) + ( 4 x. ( ( 1 BernPoly X ) / 4 ) ) ) )
134		0z 10249	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 e. ZZ
135	5	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( X e. CC -> 1 e. CC )
136		bpolycl 26002	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 0 e. NN0 /\ X e. CC ) -> ( 0 BernPoly X ) e. CC )
137	105, 136	mpan 652	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( X e. CC -> ( 0 BernPoly X ) e. CC )
138		5re 10031	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 5 e. RR
139	138	recni 9058	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 5 e. CC
140	139	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( X e. CC -> 5 e. CC )
141		0re 9047	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 0 e. RR
142		5pos 10043	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 0 < 5
143	141, 142	gtneii 9141	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 5 =/= 0
144	143	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( X e. CC -> 5 =/= 0 )
145	137, 140, 144	divcld 9746	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( X e. CC -> ( ( 0 BernPoly X ) / 5 ) e. CC )
146	135, 145	mulcld 9064	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( X e. CC -> ( 1 x. ( ( 0 BernPoly X ) / 5 ) ) e. CC )
147		oveq2 6048	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = 0 -> ( 4 _C k ) = ( 4 _C 0 ) )
148		bcn0 11556	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 4 e. NN0 -> ( 4 _C 0 ) = 1 )
149	1, 148	ax-mp 8	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 4 _C 0 ) = 1
150	147, 149	syl6eq 2452	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = 0 -> ( 4 _C k ) = 1 )
151		oveq1 6047	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = 0 -> ( k BernPoly X ) = ( 0 BernPoly X ) )
152		oveq2 6048	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k = 0 -> ( 4 - k ) = ( 4 - 0 ) )
153	152	oveq1d 6055	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = 0 -> ( ( 4 - k ) + 1 ) = ( ( 4 - 0 ) + 1 ) )
154	4	subid1i 9328	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( 4 - 0 ) = 4
155	154	oveq1i 6050	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 4 - 0 ) + 1 ) = ( 4 + 1 )
156		4p1e5 10061	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 4 + 1 ) = 5
157	155, 156	eqtri 2424	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 4 - 0 ) + 1 ) = 5
158	153, 157	syl6eq 2452	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = 0 -> ( ( 4 - k ) + 1 ) = 5 )
159	151, 158	oveq12d 6058	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = 0 -> ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) = ( ( 0 BernPoly X ) / 5 ) )
160	150, 159	oveq12d 6058	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = 0 -> ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) = ( 1 x. ( ( 0 BernPoly X ) / 5 ) ) )
161	160	fsum1 12490	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 0 e. ZZ /\ ( 1 x. ( ( 0 BernPoly X ) / 5 ) ) e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... 0 ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) = ( 1 x. ( ( 0 BernPoly X ) / 5 ) ) )
162	134, 146, 161	sylancr 645	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X e. CC -> sum_ k e. ( 0 ... 0 ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) = ( 1 x. ( ( 0 BernPoly X ) / 5 ) ) )
163		bpoly0 26000	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( X e. CC -> ( 0 BernPoly X ) = 1 )
164	163	oveq1d 6055	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( X e. CC -> ( ( 0 BernPoly X ) / 5 ) = ( 1 / 5 ) )
165	164	oveq2d 6056	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( X e. CC -> ( 1 x. ( ( 0 BernPoly X ) / 5 ) ) = ( 1 x. ( 1 / 5 ) ) )
166	139, 143	reccli 9700	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1 / 5 ) e. CC
167	166	mulid2i 9049	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1 x. ( 1 / 5 ) ) = ( 1 / 5 )
168	165, 167	syl6eq 2452	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X e. CC -> ( 1 x. ( ( 0 BernPoly X ) / 5 ) ) = ( 1 / 5 ) )
169	162, 168	eqtrd 2436	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. CC -> sum_ k e. ( 0 ... 0 ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) = ( 1 / 5 ) )
170		bpolycl 26002	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1 e. NN0 /\ X e. CC ) -> ( 1 BernPoly X ) e. CC )
171	76, 170	mpan 652	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( X e. CC -> ( 1 BernPoly X ) e. CC )
172		nn0cn 10187	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 4 e. NN0 -> 4 e. CC )
173	1, 172	mp1i 12	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( X e. CC -> 4 e. CC )
174		4pos 10042	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 < 4
175	141, 174	gtneii 9141	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 4 =/= 0
176	175	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( X e. CC -> 4 =/= 0 )
177	171, 173, 176	divcan2d 9748	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X e. CC -> ( 4 x. ( ( 1 BernPoly X ) / 4 ) ) = ( 1 BernPoly X ) )
178		bpoly1 26001	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X e. CC -> ( 1 BernPoly X ) = ( X - ( 1 / 2 ) ) )
179	177, 178	eqtrd 2436	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. CC -> ( 4 x. ( ( 1 BernPoly X ) / 4 ) ) = ( X - ( 1 / 2 ) ) )
180	169, 179	oveq12d 6058	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. CC -> ( sum_ k e. ( 0 ... 0 ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) + ( 4 x. ( ( 1 BernPoly X ) / 4 ) ) ) = ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) )
181	133, 180	eqtrd 2436	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. CC -> sum_ k e. ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) = ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) )
182	104, 181	syl5eqr 2450	. . . . . . . . 9 |- ( X e. CC -> sum_ k e. ( 0 ... 1 ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) = ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) )
183		6re 10032	. . . . . . . . . . . . 13 |- 6 e. RR
184	183	recni 9058	. . . . . . . . . . . 12 |- 6 e. CC
185	184	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. CC -> 6 e. CC )
186		bpolycl 26002	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 e. NN0 /\ X e. CC ) -> ( 2 BernPoly X ) e. CC )
187	14, 186	mpan 652	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. CC -> ( 2 BernPoly X ) e. CC )
188	6	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. CC -> 3 e. CC )
189		3ne0 10041	. . . . . . . . . . . 12 |- 3 =/= 0
190	189	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. CC -> 3 =/= 0 )
191	185, 187, 188, 190	div12d 9782	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. CC -> ( 6 x. ( ( 2 BernPoly X ) / 3 ) ) = ( ( 2 BernPoly X ) x. ( 6 / 3 ) ) )
192		3t2e6 10084	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 3 x. 2 ) = 6
193	184, 6, 92, 189	divmuli 9724	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 6 / 3 ) = 2 <-> ( 3 x. 2 ) = 6 )
194	192, 193	mpbir 201	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 6 / 3 ) = 2
195	194	oveq2i 6051	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 BernPoly X ) x. ( 6 / 3 ) ) = ( ( 2 BernPoly X ) x. 2 )
196	92	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X e. CC -> 2 e. CC )
197	187, 196	mulcomd 9065	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. CC -> ( ( 2 BernPoly X ) x. 2 ) = ( 2 x. ( 2 BernPoly X ) ) )
198		bpoly2 26007	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X e. CC -> ( 2 BernPoly X ) = ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) )
199	198	oveq2d 6056	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. CC -> ( 2 x. ( 2 BernPoly X ) ) = ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) )
200	197, 199	eqtrd 2436	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. CC -> ( ( 2 BernPoly X ) x. 2 ) = ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) )
201	195, 200	syl5eq 2448	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. CC -> ( ( 2 BernPoly X ) x. ( 6 / 3 ) ) = ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) )
202	191, 201	eqtrd 2436	. . . . . . . . 9 |- ( X e. CC -> ( 6 x. ( ( 2 BernPoly X ) / 3 ) ) = ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) )
203	182, 202	oveq12d 6058	. . . . . . . 8 |- ( X e. CC -> ( sum_ k e. ( 0 ... 1 ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) + ( 6 x. ( ( 2 BernPoly X ) / 3 ) ) ) = ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) )
204	101, 203	eqtrd 2436	. . . . . . 7 |- ( X e. CC -> sum_ k e. ( 0 ... ( 1 + 1 ) ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) = ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) )
205	75, 204	syl5eq 2448	. . . . . 6 |- ( X e. CC -> sum_ k e. ( 0 ... 2 ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) = ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) )
206		3nn0 10195	. . . . . . . . 9 |- 3 e. NN0
207		bpolycl 26002	. . . . . . . . 9 |- ( ( 3 e. NN0 /\ X e. CC ) -> ( 3 BernPoly X ) e. CC )
208	206, 207	mpan 652	. . . . . . . 8 |- ( X e. CC -> ( 3 BernPoly X ) e. CC )
209		2ne0 10039	. . . . . . . . 9 |- 2 =/= 0
210	209	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( X e. CC -> 2 =/= 0 )
211	173, 208, 196, 210	div12d 9782	. . . . . . 7 |- ( X e. CC -> ( 4 x. ( ( 3 BernPoly X ) / 2 ) ) = ( ( 3 BernPoly X ) x. ( 4 / 2 ) ) )
212		4d2e2 10088	. . . . . . . . 9 |- ( 4 / 2 ) = 2
213	212	oveq2i 6051	. . . . . . . 8 |- ( ( 3 BernPoly X ) x. ( 4 / 2 ) ) = ( ( 3 BernPoly X ) x. 2 )
214	208, 196	mulcomd 9065	. . . . . . . . 9 |- ( X e. CC -> ( ( 3 BernPoly X ) x. 2 ) = ( 2 x. ( 3 BernPoly X ) ) )
215		bpoly3 26008	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. CC -> ( 3 BernPoly X ) = ( ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) )
216	215	oveq2d 6056	. . . . . . . . 9 |- ( X e. CC -> ( 2 x. ( 3 BernPoly X ) ) = ( 2 x. ( ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) ) )
217	214, 216	eqtrd 2436	. . . . . . . 8 |- ( X e. CC -> ( ( 3 BernPoly X ) x. 2 ) = ( 2 x. ( ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) ) )
218	213, 217	syl5eq 2448	. . . . . . 7 |- ( X e. CC -> ( ( 3 BernPoly X ) x. ( 4 / 2 ) ) = ( 2 x. ( ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) ) )
219	211, 218	eqtrd 2436	. . . . . 6 |- ( X e. CC -> ( 4 x. ( ( 3 BernPoly X ) / 2 ) ) = ( 2 x. ( ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) ) )
220	205, 219	oveq12d 6058	. . . . 5 |- ( X e. CC -> ( sum_ k e. ( 0 ... 2 ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) + ( 4 x. ( ( 3 BernPoly X ) / 2 ) ) ) = ( ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) ) ) )
221	73, 220	eqtrd 2436	. . . 4 |- ( X e. CC -> sum_ k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) = ( ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) ) ) )
222	13, 221	syl5eq 2448	. . 3 |- ( X e. CC -> sum_ k e. ( 0 ... ( 4 - 1 ) ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) = ( ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) ) ) )
223	222	oveq2d 6056	. 2 |- ( X e. CC -> ( ( X ^ 4 ) - sum_ k e. ( 0 ... ( 4 - 1 ) ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) ) = ( ( X ^ 4 ) - ( ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) ) ) ) )
224		expcl 11354	. . . . 5 |- ( ( X e. CC /\ 4 e. NN0 ) -> ( X ^ 4 ) e. CC )
225	1, 224	mpan2 653	. . . 4 |- ( X e. CC -> ( X ^ 4 ) e. CC )
226		expcl 11354	. . . . . 6 |- ( ( X e. CC /\ 3 e. NN0 ) -> ( X ^ 3 ) e. CC )
227	206, 226	mpan2 653	. . . . 5 |- ( X e. CC -> ( X ^ 3 ) e. CC )
228	196, 227	mulcld 9064	. . . 4 |- ( X e. CC -> ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) e. CC )
229		sqcl 11399	. . . . 5 |- ( X e. CC -> ( X ^ 2 ) e. CC )
230	206, 105	deccl 10352	. . . . . . . 8 |- ; 3 0 e. NN0
231	230	nn0cni 10189	. . . . . . 7 |- ; 3 0 e. CC
232		df-dec 10339	. . . . . . . . 9 |- ; 3 0 = ( ( 10 x. 3 ) + 0 )
233		10re 10036	. . . . . . . . . . . 12 |- 10 e. RR
234	233	recni 9058	. . . . . . . . . . 11 |- 10 e. CC
235	234, 6	mulcli 9051	. . . . . . . . . 10 |- ( 10 x. 3 ) e. CC
236	235	addid1i 9209	. . . . . . . . 9 |- ( ( 10 x. 3 ) + 0 ) = ( 10 x. 3 )
237	232, 236	eqtri 2424	. . . . . . . 8 |- ; 3 0 = ( 10 x. 3 )
238		10pos 10048	. . . . . . . . . 10 |- 0 < 10
239	141, 238	gtneii 9141	. . . . . . . . 9 |- 10 =/= 0
240	234, 6, 239, 189	mulne0i 9621	. . . . . . . 8 |- ( 10 x. 3 ) =/= 0
241	237, 240	eqnetri 2584	. . . . . . 7 |- ; 3 0 =/= 0
242	231, 241	reccli 9700	. . . . . 6 |- ( 1 / ; 3 0 ) e. CC
243	242	a1i 11	. . . . 5 |- ( X e. CC -> ( 1 / ; 3 0 ) e. CC )
244	229, 243	subcld 9367	. . . 4 |- ( X e. CC -> ( ( X ^ 2 ) - ( 1 / ; 3 0 ) ) e. CC )
245	225, 228, 244	subsubd 9395	. . 3 |- ( X e. CC -> ( ( X ^ 4 ) - ( ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) - ( ( X ^ 2 ) - ( 1 / ; 3 0 ) ) ) ) = ( ( ( X ^ 4 ) - ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) ) + ( ( X ^ 2 ) - ( 1 / ; 3 0 ) ) ) )
246	166	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( X e. CC -> ( 1 / 5 ) e. CC )
247		id 20	. . . . . . . . 9 |- ( X e. CC -> X e. CC )
248	92, 209	reccli 9700	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 / 2 ) e. CC
249	248	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( X e. CC -> ( 1 / 2 ) e. CC )
250	247, 249	subcld 9367	. . . . . . . 8 |- ( X e. CC -> ( X - ( 1 / 2 ) ) e. CC )
251	246, 250	addcld 9063	. . . . . . 7 |- ( X e. CC -> ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) e. CC )
252	229, 247	subcld 9367	. . . . . . . . 9 |- ( X e. CC -> ( ( X ^ 2 ) - X ) e. CC )
253		6pos 10044	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 < 6
254	141, 253	gtneii 9141	. . . . . . . . . . 11 |- 6 =/= 0
255	184, 254	reccli 9700	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 / 6 ) e. CC
256	255	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( X e. CC -> ( 1 / 6 ) e. CC )
257	252, 256	addcld 9063	. . . . . . . 8 |- ( X e. CC -> ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) e. CC )
258	196, 257	mulcld 9064	. . . . . . 7 |- ( X e. CC -> ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) e. CC )
259	251, 258	addcld 9063	. . . . . 6 |- ( X e. CC -> ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) e. CC )
260	6, 92, 209	divcli 9712	. . . . . . . . . . 11 |- ( 3 / 2 ) e. CC
261	260	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. CC -> ( 3 / 2 ) e. CC )
262	261, 229	mulcld 9064	. . . . . . . . 9 |- ( X e. CC -> ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) e. CC )
263	227, 262	subcld 9367	. . . . . . . 8 |- ( X e. CC -> ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) e. CC )
264	249, 247	mulcld 9064	. . . . . . . 8 |- ( X e. CC -> ( ( 1 / 2 ) x. X ) e. CC )
265	263, 264	addcld 9063	. . . . . . 7 |- ( X e. CC -> ( ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) e. CC )
266	196, 265	mulcld 9064	. . . . . 6 |- ( X e. CC -> ( 2 x. ( ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) ) e. CC )
267	259, 266	addcomd 9224	. . . . 5 |- ( X e. CC -> ( ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) ) ) = ( ( 2 x. ( ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) ) + ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) ) )
268	196, 263, 264	adddid 9068	. . . . . . 7 |- ( X e. CC -> ( 2 x. ( ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) ) = ( ( 2 x. ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) ) + ( 2 x. ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) ) )
269	196, 227, 262	subdid 9445	. . . . . . . 8 |- ( X e. CC -> ( 2 x. ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) ) = ( ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) - ( 2 x. ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) ) )
270	92, 209	recidi 9701	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) = 1
271	270	oveq1i 6050	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. X ) = ( 1 x. X )
272	196, 249, 247	mulassd 9067	. . . . . . . . 9 |- ( X e. CC -> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. X ) = ( 2 x. ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) )
273		mulid2 9045	. . . . . . . . 9 |- ( X e. CC -> ( 1 x. X ) = X )
274	271, 272, 273	3eqtr3a 2460	. . . . . . . 8 |- ( X e. CC -> ( 2 x. ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) = X )
275	269, 274	oveq12d 6058	. . . . . . 7 |- ( X e. CC -> ( ( 2 x. ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) ) + ( 2 x. ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) ) = ( ( ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) - ( 2 x. ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) ) + X ) )
276	268, 275	eqtrd 2436	. . . . . 6 |- ( X e. CC -> ( 2 x. ( ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) ) = ( ( ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) - ( 2 x. ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) ) + X ) )
277	276	oveq1d 6055	. . . . 5 |- ( X e. CC -> ( ( 2 x. ( ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) ) + ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) ) = ( ( ( ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) - ( 2 x. ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) ) + X ) + ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) ) )
278	196, 262	mulcld 9064	. . . . . . . 8 |- ( X e. CC -> ( 2 x. ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) e. CC )
279	228, 278	subcld 9367	. . . . . . 7 |- ( X e. CC -> ( ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) - ( 2 x. ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) ) e. CC )
280	279, 247, 259	addassd 9066	. . . . . 6 |- ( X e. CC -> ( ( ( ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) - ( 2 x. ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) ) + X ) + ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) ) = ( ( ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) - ( 2 x. ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) ) + ( X + ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) ) ) )
281	247, 259	addcld 9063	. . . . . . 7 |- ( X e. CC -> ( X + ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) ) e. CC )
282	228, 278, 281	subsubd 9395	. . . . . 6 |- ( X e. CC -> ( ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) - ( ( 2 x. ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) - ( X + ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) ) ) ) = ( ( ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) - ( 2 x. ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) ) + ( X + ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) ) ) )
283	6, 92, 209	divcan2i 9713	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 x. ( 3 / 2 ) ) = 3
284	283	oveq1i 6050	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 x. ( 3 / 2 ) ) x. ( X ^ 2 ) ) = ( 3 x. ( X ^ 2 ) )
285	196, 261, 229	mulassd 9067	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. CC -> ( ( 2 x. ( 3 / 2 ) ) x. ( X ^ 2 ) ) = ( 2 x. ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) )
286	284, 285	syl5reqr 2451	. . . . . . . . 9 |- ( X e. CC -> ( 2 x. ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) = ( 3 x. ( X ^ 2 ) ) )
287	286	oveq1d 6055	. . . . . . . 8 |- ( X e. CC -> ( ( 2 x. ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) - ( X + ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) ) ) = ( ( 3 x. ( X ^ 2 ) ) - ( X + ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) ) ) )
288	247, 251, 258	add12d 9243	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. CC -> ( X + ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) ) = ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( X + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) ) )
289	196, 252, 256	adddid 9068	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( X e. CC -> ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) = ( ( 2 x. ( ( X ^ 2 ) - X ) ) + ( 2 x. ( 1 / 6 ) ) ) )
290	196, 229, 247	subdid 9445	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( X e. CC -> ( 2 x. ( ( X ^ 2 ) - X ) ) = ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) - ( 2 x. X ) ) )
291	192	oveq2i 6051	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 2 / ( 3 x. 2 ) ) = ( 2 / 6 )
292	6, 189	reccli 9700	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( 1 / 3 ) e. CC
293	6, 92, 292	mul32i 9218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 3 x. 2 ) x. ( 1 / 3 ) ) = ( ( 3 x. ( 1 / 3 ) ) x. 2 )
294	6, 189	recidi 9701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( 3 x. ( 1 / 3 ) ) = 1
295	294	oveq1i 6050	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 3 x. ( 1 / 3 ) ) x. 2 ) = ( 1 x. 2 )
296	92	mulid2i 9049	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( 1 x. 2 ) = 2
297	295, 296	eqtri 2424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 3 x. ( 1 / 3 ) ) x. 2 ) = 2
298	293, 297	eqtri 2424	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 3 x. 2 ) x. ( 1 / 3 ) ) = 2
299	192, 184	eqeltri 2474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 3 x. 2 ) e. CC
300	192, 254	eqnetri 2584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 3 x. 2 ) =/= 0
301	92, 299, 292, 300	divmuli 9724	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 2 / ( 3 x. 2 ) ) = ( 1 / 3 ) <-> ( ( 3 x. 2 ) x. ( 1 / 3 ) ) = 2 )
302	298, 301	mpbir 201	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 2 / ( 3 x. 2 ) ) = ( 1 / 3 )
303	92, 184, 254	divreci 9715	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 2 / 6 ) = ( 2 x. ( 1 / 6 ) )
304	291, 302, 303	3eqtr3ri 2433	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 2 x. ( 1 / 6 ) ) = ( 1 / 3 )
305	304	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( X e. CC -> ( 2 x. ( 1 / 6 ) ) = ( 1 / 3 ) )
306	290, 305	oveq12d 6058	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( X e. CC -> ( ( 2 x. ( ( X ^ 2 ) - X ) ) + ( 2 x. ( 1 / 6 ) ) ) = ( ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) - ( 2 x. X ) ) + ( 1 / 3 ) ) )
307	289, 306	eqtrd 2436	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X e. CC -> ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) = ( ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) - ( 2 x. X ) ) + ( 1 / 3 ) ) )
308	307	oveq2d 6056	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. CC -> ( X + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) = ( X + ( ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) - ( 2 x. X ) ) + ( 1 / 3 ) ) ) )
309	196, 229	mulcld 9064	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( X e. CC -> ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) e. CC )
310	196, 247	mulcld 9064	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( X e. CC -> ( 2 x. X ) e. CC )
311	309, 310	subcld 9367	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X e. CC -> ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) - ( 2 x. X ) ) e. CC )
312	292	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X e. CC -> ( 1 / 3 ) e. CC )
313	247, 311, 312	addassd 9066	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. CC -> ( ( X + ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) - ( 2 x. X ) ) ) + ( 1 / 3 ) ) = ( X + ( ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) - ( 2 x. X ) ) + ( 1 / 3 ) ) ) )
314	247, 309, 310	addsub12d 9390	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X e. CC -> ( X + ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) - ( 2 x. X ) ) ) = ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) )
315	314	oveq1d 6055	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. CC -> ( ( X + ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) - ( 2 x. X ) ) ) + ( 1 / 3 ) ) = ( ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) + ( 1 / 3 ) ) )
316	308, 313, 315	3eqtr2d 2442	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. CC -> ( X + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) = ( ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) + ( 1 / 3 ) ) )
317	316	oveq2d 6056	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. CC -> ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( X + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) ) = ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) + ( 1 / 3 ) ) ) )
318	288, 317	eqtrd 2436	. . . . . . . . 9 |- ( X e. CC -> ( X + ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) ) = ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) + ( 1 / 3 ) ) ) )
319	318	oveq2d 6056	. . . . . . . 8 |- ( X e. CC -> ( ( 3 x. ( X ^ 2 ) ) - ( X + ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) ) ) = ( ( 3 x. ( X ^ 2 ) ) - ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) + ( 1 / 3 ) ) ) ) )
320	247, 310	subcld 9367	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X e. CC -> ( X - ( 2 x. X ) ) e. CC )
321	309, 320	addcld 9063	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. CC -> ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) e. CC )
322	246, 250, 321, 312	add4d 9245	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. CC -> ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) + ( 1 / 3 ) ) ) = ( ( ( 1 / 5 ) + ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) ) + ( ( X - ( 1 / 2 ) ) + ( 1 / 3 ) ) ) )
323	246, 309, 320	add12d 9243	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. CC -> ( ( 1 / 5 ) + ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) ) = ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) + ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) ) )
324	323	oveq1d 6055	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. CC -> ( ( ( 1 / 5 ) + ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) ) + ( ( X - ( 1 / 2 ) ) + ( 1 / 3 ) ) ) = ( ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) + ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) ) + ( ( X - ( 1 / 2 ) ) + ( 1 / 3 ) ) ) )
325	246, 320	addcld 9063	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. CC -> ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) e. CC )
326	250, 312	addcld 9063	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. CC -> ( ( X - ( 1 / 2 ) ) + ( 1 / 3 ) ) e. CC )
327	309, 325, 326	addassd 9066	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. CC -> ( ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) + ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) ) + ( ( X - ( 1 / 2 ) ) + ( 1 / 3 ) ) ) = ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) + ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) + ( ( X - ( 1 / 2 ) ) + ( 1 / 3 ) ) ) ) )
328	322, 324, 327	3eqtrd 2440	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. CC -> ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) + ( 1 / 3 ) ) ) = ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) + ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) + ( ( X - ( 1 / 2 ) ) + ( 1 / 3 ) ) ) ) )
329	328	oveq2d 6056	. . . . . . . . 9 |- ( X e. CC -> ( ( 3 x. ( X ^ 2 ) ) - ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) + ( 1 / 3 ) ) ) ) = ( ( 3 x. ( X ^ 2 ) ) - ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) + ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) + ( ( X - ( 1 / 2 ) ) + ( 1 / 3 ) ) ) ) ) )
330	188, 229	mulcld 9064	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. CC -> ( 3 x. ( X ^ 2 ) ) e. CC )
331	325, 326	addcld 9063	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. CC -> ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) + ( ( X - ( 1 / 2 ) ) + ( 1 / 3 ) ) ) e. CC )
332	330, 309, 331	subsub4d 9398	. . . . . . . . 9 |- ( X e. CC -> ( ( ( 3 x. ( X ^ 2 ) ) - ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) ) - ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) + ( ( X - ( 1 / 2 ) ) + ( 1 / 3 ) ) ) ) = ( ( 3 x. ( X ^ 2 ) ) - ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) + ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) + ( ( X - ( 1 / 2 ) ) + ( 1 / 3 ) ) ) ) ) )
333	6, 92, 5, 113	subaddrii 9345	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 3 - 2 ) = 1
334	333	oveq1i 6050	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 3 - 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) = ( 1 x. ( X ^ 2 ) )
335	188, 196, 229	subdird 9446	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. CC -> ( ( 3 - 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) = ( ( 3 x. ( X ^ 2 ) ) - ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) ) )
336	229	mulid2d 9062	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. CC -> ( 1 x. ( X ^ 2 ) ) = ( X ^ 2 ) )
337	334, 335, 336	3eqtr3a 2460	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. CC -> ( ( 3 x. ( X ^ 2 ) ) - ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) ) = ( X ^ 2 ) )
338	246, 310, 247	subsubd 9395	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X e. CC -> ( ( 1 / 5 ) - ( ( 2 x. X ) - X ) ) = ( ( ( 1 / 5 ) - ( 2 x. X ) ) + X ) )
339	273	oveq2d 6056	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( X e. CC -> ( ( 2 x. X ) - ( 1 x. X ) ) = ( ( 2 x. X ) - X ) )
340		2m1e1 10051	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 2 - 1 ) = 1
341	340	oveq1i 6050	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 2 - 1 ) x. X ) = ( 1 x. X )
342	196, 135, 247	subdird 9446	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( X e. CC -> ( ( 2 - 1 ) x. X ) = ( ( 2 x. X ) - ( 1 x. X ) ) )
343	341, 342, 273	3eqtr3a 2460	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( X e. CC -> ( ( 2 x. X ) - ( 1 x. X ) ) = X )
344	339, 343	eqtr3d 2438	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( X e. CC -> ( ( 2 x. X ) - X ) = X )
345	344	oveq2d 6056	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X e. CC -> ( ( 1 / 5 ) - ( ( 2 x. X ) - X ) ) = ( ( 1 / 5 ) - X ) )
346	246, 310, 247	subadd23d 9389	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X e. CC -> ( ( ( 1 / 5 ) - ( 2 x. X ) ) + X ) = ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) )
347	338, 345, 346	3eqtr3d 2444	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. CC -> ( ( 1 / 5 ) - X ) = ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) )
348	247, 249, 312	subsubd 9395	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. CC -> ( X - ( ( 1 / 2 ) - ( 1 / 3 ) ) ) = ( ( X - ( 1 / 2 ) ) + ( 1 / 3 ) ) )
349	347, 348	oveq12d 6058	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. CC -> ( ( ( 1 / 5 ) - X ) + ( X - ( ( 1 / 2 ) - ( 1 / 3 ) ) ) ) = ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) + ( ( X - ( 1 / 2 ) ) + ( 1 / 3 ) ) ) )
350	248, 292	subcli 9332	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1 / 2 ) - ( 1 / 3 ) ) e. CC
351	350	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X e. CC -> ( ( 1 / 2 ) - ( 1 / 3 ) ) e. CC )
352	246, 247, 351	npncand 9391	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. CC -> ( ( ( 1 / 5 ) - X ) + ( X - ( ( 1 / 2 ) - ( 1 / 3 ) ) ) ) = ( ( 1 / 5 ) - ( ( 1 / 2 ) - ( 1 / 3 ) ) ) )
353		halfthird 25158	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1 / 2 ) - ( 1 / 3 ) ) = ( 1 / 6 )
354	353	oveq2i 6051	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1 / 5 ) - ( ( 1 / 2 ) - ( 1 / 3 ) ) ) = ( ( 1 / 5 ) - ( 1 / 6 ) )
355		5recm6rec 25159	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1 / 5 ) - ( 1 / 6 ) ) = ( 1 / ; 3 0 )
356	354, 355	eqtri 2424	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 / 5 ) - ( ( 1 / 2 ) - ( 1 / 3 ) ) ) = ( 1 / ; 3 0 )
357	352, 356	syl6eq 2452	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. CC -> ( ( ( 1 / 5 ) - X ) + ( X - ( ( 1 / 2 ) - ( 1 / 3 ) ) ) ) = ( 1 / ; 3 0 ) )
358	349, 357	eqtr3d 2438	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. CC -> ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) + ( ( X - ( 1 / 2 ) ) + ( 1 / 3 ) ) ) = ( 1 / ; 3 0 ) )
359	337, 358	oveq12d 6058	. . . . . . . . 9 |- ( X e. CC -> ( ( ( 3 x. ( X ^ 2 ) ) - ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) ) - ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) + ( ( X - ( 1 / 2 ) ) + ( 1 / 3 ) ) ) ) = ( ( X ^ 2 ) - ( 1 / ; 3 0 ) ) )
360	329, 332, 359	3eqtr2d 2442	. . . . . . . 8 |- ( X e. CC -> ( ( 3 x. ( X ^ 2 ) ) - ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) + ( 1 / 3 ) ) ) ) = ( ( X ^ 2 ) - ( 1 / ; 3 0 ) ) )
361	287, 319, 360	3eqtrd 2440	. . . . . . 7 |- ( X e. CC -> ( ( 2 x. ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) - ( X + ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) ) ) = ( ( X ^ 2 ) - ( 1 / ; 3 0 ) ) )
362	361	oveq2d 6056	. . . . . 6 |- ( X e. CC -> ( ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) - ( ( 2 x. ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) - ( X + ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) ) ) ) = ( ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) - ( ( X ^ 2 ) - ( 1 / ; 3 0 ) ) ) )
363	280, 282, 362	3eqtr2d 2442	. . . . 5 |- ( X e. CC -> ( ( ( ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) - ( 2 x. ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) ) + X ) + ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) ) = ( ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) - ( ( X ^ 2 ) - ( 1 / ; 3 0 ) ) ) )
364	267, 277, 363	3eqtrd 2440	. . . 4 |- ( X e. CC -> ( ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) ) ) = ( ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) - ( ( X ^ 2 ) - ( 1 / ; 3 0 ) ) ) )
365	364	oveq2d 6056	. . 3 |- ( X e. CC -> ( ( X ^ 4 ) - ( ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) ) ) ) = ( ( X ^ 4 ) - ( ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) - ( ( X ^ 2 ) - ( 1 / ; 3 0 ) ) ) ) )
366	225, 228	subcld 9367	. . . 4 |- ( X e. CC -> ( ( X ^ 4 ) - ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) ) e. CC )
367	366, 229, 243	addsubassd 9387	. . 3 |- ( X e. CC -> ( ( ( ( X ^ 4 ) - ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) ) + ( X ^ 2 ) ) - ( 1 / ; 3 0 ) ) = ( ( ( X ^ 4 ) - ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) ) + ( ( X ^ 2 ) - ( 1 / ; 3 0 ) ) ) )
368	245, 365, 367	3eqtr4d 2446	. 2 |- ( X e. CC -> ( ( X ^ 4 ) - ( ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) ) ) ) = ( ( ( ( X ^ 4 ) - ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) ) + ( X ^ 2 ) ) - ( 1 / ; 3 0 ) ) )
369	3, 223, 368	3eqtrd 2440	1 |- ( X e. CC -> ( 4 BernPoly X ) = ( ( ( ( X ^ 4 ) - ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) ) + ( X ^ 2 ) ) - ( 1 / ; 3 0 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 359   = wceq 1649   e. wcel 1721   =/= wne 2567   C_ wss 3280   class class class wbr 4172   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947   + caddc 8949   x. cmul 8951   < clt 9076   - cmin 9247   / cdiv 9633   NNcn 9956   2c2 10005   3c3 10006   4c4 10007   5c5 10008   6c6 10009   10c10 10013   NN0cn0 10177   ZZcz 10238  ;cdc 10338   ZZ>=cuz 10444   ...cfz 10999   ^cexp 11337   _C cbc 11548   sum_csu 12434   BernPoly cbp 25996

This theorem is referenced by:  fsumcube  26010

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-rp 10569  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-sum 12435  df-pred 25382  df-bpoly 25997