Theorem bpoly4 14189

Description: The Bernoulli polynomials at four. (Contributed by Scott Fenton, 8-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
bpoly4	|- ( X e. CC -> ( 4 BernPoly X ) = ( ( ( ( X ^ 4 ) - ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) ) + ( X ^ 2 ) ) - ( 1 / ; 3 0 ) ) )

Proof of Theorem bpoly4

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn0 10912	. . 3 |- 4 e. NN0
2		bpolyval 14179	. . 3 |- ( ( 4 e. NN0 /\ X e. CC ) -> ( 4 BernPoly X ) = ( ( X ^ 4 ) - sum_ k e. ( 0 ... ( 4 - 1 ) ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) ) )
3	1, 2	mpan 684	. 2 |- ( X e. CC -> ( 4 BernPoly X ) = ( ( X ^ 4 ) - sum_ k e. ( 0 ... ( 4 - 1 ) ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) ) )
4		4cn 10709	. . . . . . . 8 |- 4 e. CC
5		ax-1cn 9615	. . . . . . . 8 |- 1 e. CC
6		3cn 10706	. . . . . . . 8 |- 3 e. CC
7		3p1e4 10758	. . . . . . . . 9 |- ( 3 + 1 ) = 4
8	6, 5, 7	addcomli 9843	. . . . . . . 8 |- ( 1 + 3 ) = 4
9	4, 5, 6, 8	subaddrii 9983	. . . . . . 7 |- ( 4 - 1 ) = 3
10		df-3 10691	. . . . . . 7 |- 3 = ( 2 + 1 )
11	9, 10	eqtri 2493	. . . . . 6 |- ( 4 - 1 ) = ( 2 + 1 )
12	11	oveq2i 6319	. . . . 5 |- ( 0 ... ( 4 - 1 ) ) = ( 0 ... ( 2 + 1 ) )
13	12	sumeq1i 13841	. . . 4 |- sum_ k e. ( 0 ... ( 4 - 1 ) ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) )
14		2eluzge0 11227	. . . . . . 7 |- 2 e. ( ZZ>= ` 0 )
15	14	a1i 11	. . . . . 6 |- ( X e. CC -> 2 e. ( ZZ>= ` 0 ) )
16		elfzelz 11826	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) -> k e. ZZ )
17		bccl 12545	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 4 e. NN0 /\ k e. ZZ ) -> ( 4 _C k ) e. NN0 )
18	1, 16, 17	sylancr 676	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) -> ( 4 _C k ) e. NN0 )
19	18	nn0cnd 10951	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) -> ( 4 _C k ) e. CC )
20	19	adantl 473	. . . . . . 7 |- ( ( X e. CC /\ k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) ) -> ( 4 _C k ) e. CC )
21		elfznn0 11913	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) -> k e. NN0 )
22		bpolycl 14182	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. NN0 /\ X e. CC ) -> ( k BernPoly X ) e. CC )
23	21, 22	sylan 479	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) /\ X e. CC ) -> ( k BernPoly X ) e. CC )
24	23	ancoms 460	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. CC /\ k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) ) -> ( k BernPoly X ) e. CC )
25		4re 10708	. . . . . . . . . . . . 13 |- 4 e. RR
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) -> 4 e. RR )
27	16	zred 11063	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) -> k e. RR )
28	26, 27	resubcld 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) -> ( 4 - k ) e. RR )
29		peano2re 9824	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 4 - k ) e. RR -> ( ( 4 - k ) + 1 ) e. RR )
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) -> ( ( 4 - k ) + 1 ) e. RR )
31	30	recnd 9687	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) -> ( ( 4 - k ) + 1 ) e. CC )
32	31	adantl 473	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. CC /\ k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) ) -> ( ( 4 - k ) + 1 ) e. CC )
33		1red 9676	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) -> 1 e. RR )
34	10	oveq2i 6319	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 ... 3 ) = ( 0 ... ( 2 + 1 ) )
35	34	eleq2i 2541	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( 0 ... 3 ) <-> k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) )
36		elfzelz 11826	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ( 0 ... 3 ) -> k e. ZZ )
37	36	zred 11063	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( 0 ... 3 ) -> k e. RR )
38		3re 10705	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 3 e. RR
39	38	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( 0 ... 3 ) -> 3 e. RR )
40	25	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( 0 ... 3 ) -> 4 e. RR )
41		elfzle2 11829	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( 0 ... 3 ) -> k <_ 3 )
42		3lt4 10802	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 3 < 4
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( 0 ... 3 ) -> 3 < 4 )
44	37, 39, 40, 41, 43	lelttrd 9810	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( 0 ... 3 ) -> k < 4 )
45	35, 44	sylbir 218	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) -> k < 4 )
46	27, 26	posdifd 10221	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) -> ( k < 4 <-> 0 < ( 4 - k ) ) )
47	45, 46	mpbid 215	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) -> 0 < ( 4 - k ) )
48		0lt1 10157	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 < 1
49	48	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) -> 0 < 1 )
50	28, 33, 47, 49	addgt0d 10209	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) -> 0 < ( ( 4 - k ) + 1 ) )
51	50	gt0ne0d 10199	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) -> ( ( 4 - k ) + 1 ) =/= 0 )
52	51	adantl 473	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. CC /\ k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) ) -> ( ( 4 - k ) + 1 ) =/= 0 )
53	24, 32, 52	divcld 10405	. . . . . . 7 |- ( ( X e. CC /\ k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) ) -> ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) e. CC )
54	20, 53	mulcld 9681	. . . . . 6 |- ( ( X e. CC /\ k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) ) -> ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) e. CC )
55	10	eqeq2i 2483	. . . . . . 7 |- ( k = 3 <-> k = ( 2 + 1 ) )
56		oveq2 6316	. . . . . . . . 9 |- ( k = 3 -> ( 4 _C k ) = ( 4 _C 3 ) )
57		4bc3eq4 12551	. . . . . . . . 9 |- ( 4 _C 3 ) = 4
58	56, 57	syl6eq 2521	. . . . . . . 8 |- ( k = 3 -> ( 4 _C k ) = 4 )
59		oveq1 6315	. . . . . . . . 9 |- ( k = 3 -> ( k BernPoly X ) = ( 3 BernPoly X ) )
60		oveq2 6316	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = 3 -> ( 4 - k ) = ( 4 - 3 ) )
61	60	oveq1d 6323	. . . . . . . . . 10 |- ( k = 3 -> ( ( 4 - k ) + 1 ) = ( ( 4 - 3 ) + 1 ) )
62	4, 6, 5, 7	subaddrii 9983	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 4 - 3 ) = 1
63	62	oveq1i 6318	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 4 - 3 ) + 1 ) = ( 1 + 1 )
64		df-2 10690	. . . . . . . . . . 11 |- 2 = ( 1 + 1 )
65	63, 64	eqtr4i 2496	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 4 - 3 ) + 1 ) = 2
66	61, 65	syl6eq 2521	. . . . . . . . 9 |- ( k = 3 -> ( ( 4 - k ) + 1 ) = 2 )
67	59, 66	oveq12d 6326	. . . . . . . 8 |- ( k = 3 -> ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) = ( ( 3 BernPoly X ) / 2 ) )
68	58, 67	oveq12d 6326	. . . . . . 7 |- ( k = 3 -> ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) = ( 4 x. ( ( 3 BernPoly X ) / 2 ) ) )
69	55, 68	sylbir 218	. . . . . 6 |- ( k = ( 2 + 1 ) -> ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) = ( 4 x. ( ( 3 BernPoly X ) / 2 ) ) )
70	15, 54, 69	fsump1 13894	. . . . 5 |- ( X e. CC -> sum_ k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) = ( sum_ k e. ( 0 ... 2 ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) + ( 4 x. ( ( 3 BernPoly X ) / 2 ) ) ) )
71	64	oveq2i 6319	. . . . . . . 8 |- ( 0 ... 2 ) = ( 0 ... ( 1 + 1 ) )
72	71	sumeq1i 13841	. . . . . . 7 |- sum_ k e. ( 0 ... 2 ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... ( 1 + 1 ) ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) )
73		1eluzge0 11226	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. ( ZZ>= ` 0 )
74	73	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( X e. CC -> 1 e. ( ZZ>= ` 0 ) )
75		fzssp1 11867	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 ... ( 1 + 1 ) ) C_ ( 0 ... ( ( 1 + 1 ) + 1 ) )
76	64	oveq1i 6318	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 2 + 1 ) = ( ( 1 + 1 ) + 1 )
77	76	oveq2i 6319	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) = ( 0 ... ( ( 1 + 1 ) + 1 ) )
78	75, 77	sseqtr4i 3451	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 ... ( 1 + 1 ) ) C_ ( 0 ... ( 2 + 1 ) )
79	78	sseli 3414	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 0 ... ( 1 + 1 ) ) -> k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) )
80	79, 54	sylan2 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. CC /\ k e. ( 0 ... ( 1 + 1 ) ) ) -> ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) e. CC )
81	64	eqeq2i 2483	. . . . . . . . . 10 |- ( k = 2 <-> k = ( 1 + 1 ) )
82		oveq2 6316	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = 2 -> ( 4 _C k ) = ( 4 _C 2 ) )
83		4bc2eq6 12552	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 4 _C 2 ) = 6
84	82, 83	syl6eq 2521	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = 2 -> ( 4 _C k ) = 6 )
85		oveq1 6315	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = 2 -> ( k BernPoly X ) = ( 2 BernPoly X ) )
86		oveq2 6316	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = 2 -> ( 4 - k ) = ( 4 - 2 ) )
87	86	oveq1d 6323	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = 2 -> ( ( 4 - k ) + 1 ) = ( ( 4 - 2 ) + 1 ) )
88		2cn 10702	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 2 e. CC
89		2p2e4 10750	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 2 + 2 ) = 4
90	4, 88, 88, 89	subaddrii 9983	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 4 - 2 ) = 2
91	90	oveq1i 6318	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 4 - 2 ) + 1 ) = ( 2 + 1 )
92	91, 10	eqtr4i 2496	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 4 - 2 ) + 1 ) = 3
93	87, 92	syl6eq 2521	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = 2 -> ( ( 4 - k ) + 1 ) = 3 )
94	85, 93	oveq12d 6326	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = 2 -> ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) = ( ( 2 BernPoly X ) / 3 ) )
95	84, 94	oveq12d 6326	. . . . . . . . . 10 |- ( k = 2 -> ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) = ( 6 x. ( ( 2 BernPoly X ) / 3 ) ) )
96	81, 95	sylbir 218	. . . . . . . . 9 |- ( k = ( 1 + 1 ) -> ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) = ( 6 x. ( ( 2 BernPoly X ) / 3 ) ) )
97	74, 80, 96	fsump1 13894	. . . . . . . 8 |- ( X e. CC -> sum_ k e. ( 0 ... ( 1 + 1 ) ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) = ( sum_ k e. ( 0 ... 1 ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) + ( 6 x. ( ( 2 BernPoly X ) / 3 ) ) ) )
98		0p1e1 10743	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 + 1 ) = 1
99	98	oveq2i 6319	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) = ( 0 ... 1 )
100	99	sumeq1i 13841	. . . . . . . . . 10 |- sum_ k e. ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... 1 ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) )
101		0nn0 10908	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 e. NN0
102		nn0uz 11217	. . . . . . . . . . . . . 14 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
103	101, 102	eleqtri 2547	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 e. ( ZZ>= ` 0 )
104	103	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. CC -> 0 e. ( ZZ>= ` 0 ) )
105		3nn 10791	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 3 e. NN
106		nnuz 11218	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
107	105, 106	eleqtri 2547	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 3 e. ( ZZ>= ` 1 )
108		fzss2 11864	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 3 e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( 0 ... 1 ) C_ ( 0 ... 3 ) )
109	107, 108	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 0 ... 1 ) C_ ( 0 ... 3 )
110		2p1e3 10756	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 2 + 1 ) = 3
111	110	oveq2i 6319	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) = ( 0 ... 3 )
112	109, 99, 111	3sstr4i 3457	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) C_ ( 0 ... ( 2 + 1 ) )
113	112	sseli 3414	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) -> k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) )
114	113, 54	sylan2 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( X e. CC /\ k e. ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) ) -> ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) e. CC )
115	98	eqeq2i 2483	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = ( 0 + 1 ) <-> k = 1 )
116		oveq2 6316	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = 1 -> ( 4 _C k ) = ( 4 _C 1 ) )
117		bcn1 12536	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 4 e. NN0 -> ( 4 _C 1 ) = 4 )
118	1, 117	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 4 _C 1 ) = 4
119	116, 118	syl6eq 2521	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = 1 -> ( 4 _C k ) = 4 )
120		oveq1 6315	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = 1 -> ( k BernPoly X ) = ( 1 BernPoly X ) )
121		oveq2 6316	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = 1 -> ( 4 - k ) = ( 4 - 1 ) )
122	121	oveq1d 6323	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = 1 -> ( ( 4 - k ) + 1 ) = ( ( 4 - 1 ) + 1 ) )
123	9	oveq1i 6318	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 4 - 1 ) + 1 ) = ( 3 + 1 )
124		df-4 10692	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 4 = ( 3 + 1 )
125	123, 124	eqtr4i 2496	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 4 - 1 ) + 1 ) = 4
126	122, 125	syl6eq 2521	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = 1 -> ( ( 4 - k ) + 1 ) = 4 )
127	120, 126	oveq12d 6326	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = 1 -> ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) = ( ( 1 BernPoly X ) / 4 ) )
128	119, 127	oveq12d 6326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = 1 -> ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) = ( 4 x. ( ( 1 BernPoly X ) / 4 ) ) )
129	115, 128	sylbi 200	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = ( 0 + 1 ) -> ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) = ( 4 x. ( ( 1 BernPoly X ) / 4 ) ) )
130	104, 114, 129	fsump1 13894	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. CC -> sum_ k e. ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) = ( sum_ k e. ( 0 ... 0 ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) + ( 4 x. ( ( 1 BernPoly X ) / 4 ) ) ) )
131		0z 10972	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 e. ZZ
132	5	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( X e. CC -> 1 e. CC )
133		bpolycl 14182	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 0 e. NN0 /\ X e. CC ) -> ( 0 BernPoly X ) e. CC )
134	101, 133	mpan 684	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( X e. CC -> ( 0 BernPoly X ) e. CC )
135		5cn 10711	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 5 e. CC
136	135	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( X e. CC -> 5 e. CC )
137		0re 9661	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 0 e. RR
138		5pos 10729	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 0 < 5
139	137, 138	gtneii 9764	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 5 =/= 0
140	139	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( X e. CC -> 5 =/= 0 )
141	134, 136, 140	divcld 10405	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( X e. CC -> ( ( 0 BernPoly X ) / 5 ) e. CC )
142	132, 141	mulcld 9681	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( X e. CC -> ( 1 x. ( ( 0 BernPoly X ) / 5 ) ) e. CC )
143		oveq2 6316	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = 0 -> ( 4 _C k ) = ( 4 _C 0 ) )
144		bcn0 12533	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 4 e. NN0 -> ( 4 _C 0 ) = 1 )
145	1, 144	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 4 _C 0 ) = 1
146	143, 145	syl6eq 2521	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = 0 -> ( 4 _C k ) = 1 )
147		oveq1 6315	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = 0 -> ( k BernPoly X ) = ( 0 BernPoly X ) )
148		oveq2 6316	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k = 0 -> ( 4 - k ) = ( 4 - 0 ) )
149	148	oveq1d 6323	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = 0 -> ( ( 4 - k ) + 1 ) = ( ( 4 - 0 ) + 1 ) )
150	4	subid1i 9966	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( 4 - 0 ) = 4
151	150	oveq1i 6318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 4 - 0 ) + 1 ) = ( 4 + 1 )
152		4p1e5 10759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 4 + 1 ) = 5
153	151, 152	eqtri 2493	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 4 - 0 ) + 1 ) = 5
154	149, 153	syl6eq 2521	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = 0 -> ( ( 4 - k ) + 1 ) = 5 )
155	147, 154	oveq12d 6326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = 0 -> ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) = ( ( 0 BernPoly X ) / 5 ) )
156	146, 155	oveq12d 6326	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = 0 -> ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) = ( 1 x. ( ( 0 BernPoly X ) / 5 ) ) )
157	156	fsum1 13885	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 0 e. ZZ /\ ( 1 x. ( ( 0 BernPoly X ) / 5 ) ) e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... 0 ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) = ( 1 x. ( ( 0 BernPoly X ) / 5 ) ) )
158	131, 142, 157	sylancr 676	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X e. CC -> sum_ k e. ( 0 ... 0 ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) = ( 1 x. ( ( 0 BernPoly X ) / 5 ) ) )
159		bpoly0 14180	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( X e. CC -> ( 0 BernPoly X ) = 1 )
160	159	oveq1d 6323	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( X e. CC -> ( ( 0 BernPoly X ) / 5 ) = ( 1 / 5 ) )
161	160	oveq2d 6324	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( X e. CC -> ( 1 x. ( ( 0 BernPoly X ) / 5 ) ) = ( 1 x. ( 1 / 5 ) ) )
162	135, 139	reccli 10359	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1 / 5 ) e. CC
163	162	mulid2i 9664	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1 x. ( 1 / 5 ) ) = ( 1 / 5 )
164	161, 163	syl6eq 2521	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X e. CC -> ( 1 x. ( ( 0 BernPoly X ) / 5 ) ) = ( 1 / 5 ) )
165	158, 164	eqtrd 2505	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. CC -> sum_ k e. ( 0 ... 0 ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) = ( 1 / 5 ) )
166		1nn0 10909	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 e. NN0
167		bpolycl 14182	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1 e. NN0 /\ X e. CC ) -> ( 1 BernPoly X ) e. CC )
168	166, 167	mpan 684	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( X e. CC -> ( 1 BernPoly X ) e. CC )
169		nn0cn 10903	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 4 e. NN0 -> 4 e. CC )
170	1, 169	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( X e. CC -> 4 e. CC )
171		4ne0 10728	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 4 =/= 0
172	171	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( X e. CC -> 4 =/= 0 )
173	168, 170, 172	divcan2d 10407	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X e. CC -> ( 4 x. ( ( 1 BernPoly X ) / 4 ) ) = ( 1 BernPoly X ) )
174		bpoly1 14181	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X e. CC -> ( 1 BernPoly X ) = ( X - ( 1 / 2 ) ) )
175	173, 174	eqtrd 2505	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. CC -> ( 4 x. ( ( 1 BernPoly X ) / 4 ) ) = ( X - ( 1 / 2 ) ) )
176	165, 175	oveq12d 6326	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. CC -> ( sum_ k e. ( 0 ... 0 ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) + ( 4 x. ( ( 1 BernPoly X ) / 4 ) ) ) = ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) )
177	130, 176	eqtrd 2505	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. CC -> sum_ k e. ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) = ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) )
178	100, 177	syl5eqr 2519	. . . . . . . . 9 |- ( X e. CC -> sum_ k e. ( 0 ... 1 ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) = ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) )
179		6cn 10713	. . . . . . . . . . . 12 |- 6 e. CC
180	179	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. CC -> 6 e. CC )
181		2nn0 10910	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. NN0
182		bpolycl 14182	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 e. NN0 /\ X e. CC ) -> ( 2 BernPoly X ) e. CC )
183	181, 182	mpan 684	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. CC -> ( 2 BernPoly X ) e. CC )
184	6	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. CC -> 3 e. CC )
185		3ne0 10726	. . . . . . . . . . . 12 |- 3 =/= 0
186	185	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. CC -> 3 =/= 0 )
187	180, 183, 184, 186	div12d 10441	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. CC -> ( 6 x. ( ( 2 BernPoly X ) / 3 ) ) = ( ( 2 BernPoly X ) x. ( 6 / 3 ) ) )
188		3t2e6 10784	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 3 x. 2 ) = 6
189	179, 6, 88, 185	divmuli 10383	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 6 / 3 ) = 2 <-> ( 3 x. 2 ) = 6 )
190	188, 189	mpbir 214	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 6 / 3 ) = 2
191	190	oveq2i 6319	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 BernPoly X ) x. ( 6 / 3 ) ) = ( ( 2 BernPoly X ) x. 2 )
192	88	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X e. CC -> 2 e. CC )
193	183, 192	mulcomd 9682	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. CC -> ( ( 2 BernPoly X ) x. 2 ) = ( 2 x. ( 2 BernPoly X ) ) )
194		bpoly2 14187	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X e. CC -> ( 2 BernPoly X ) = ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) )
195	194	oveq2d 6324	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. CC -> ( 2 x. ( 2 BernPoly X ) ) = ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) )
196	193, 195	eqtrd 2505	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. CC -> ( ( 2 BernPoly X ) x. 2 ) = ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) )
197	191, 196	syl5eq 2517	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. CC -> ( ( 2 BernPoly X ) x. ( 6 / 3 ) ) = ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) )
198	187, 197	eqtrd 2505	. . . . . . . . 9 |- ( X e. CC -> ( 6 x. ( ( 2 BernPoly X ) / 3 ) ) = ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) )
199	178, 198	oveq12d 6326	. . . . . . . 8 |- ( X e. CC -> ( sum_ k e. ( 0 ... 1 ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) + ( 6 x. ( ( 2 BernPoly X ) / 3 ) ) ) = ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) )
200	97, 199	eqtrd 2505	. . . . . . 7 |- ( X e. CC -> sum_ k e. ( 0 ... ( 1 + 1 ) ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) = ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) )
201	72, 200	syl5eq 2517	. . . . . 6 |- ( X e. CC -> sum_ k e. ( 0 ... 2 ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) = ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) )
202		3nn0 10911	. . . . . . . . 9 |- 3 e. NN0
203		bpolycl 14182	. . . . . . . . 9 |- ( ( 3 e. NN0 /\ X e. CC ) -> ( 3 BernPoly X ) e. CC )
204	202, 203	mpan 684	. . . . . . . 8 |- ( X e. CC -> ( 3 BernPoly X ) e. CC )
205		2ne0 10724	. . . . . . . . 9 |- 2 =/= 0
206	205	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( X e. CC -> 2 =/= 0 )
207	170, 204, 192, 206	div12d 10441	. . . . . . 7 |- ( X e. CC -> ( 4 x. ( ( 3 BernPoly X ) / 2 ) ) = ( ( 3 BernPoly X ) x. ( 4 / 2 ) ) )
208		4d2e2 10789	. . . . . . . . 9 |- ( 4 / 2 ) = 2
209	208	oveq2i 6319	. . . . . . . 8 |- ( ( 3 BernPoly X ) x. ( 4 / 2 ) ) = ( ( 3 BernPoly X ) x. 2 )
210	204, 192	mulcomd 9682	. . . . . . . . 9 |- ( X e. CC -> ( ( 3 BernPoly X ) x. 2 ) = ( 2 x. ( 3 BernPoly X ) ) )
211		bpoly3 14188	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. CC -> ( 3 BernPoly X ) = ( ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) )
212	211	oveq2d 6324	. . . . . . . . 9 |- ( X e. CC -> ( 2 x. ( 3 BernPoly X ) ) = ( 2 x. ( ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) ) )
213	210, 212	eqtrd 2505	. . . . . . . 8 |- ( X e. CC -> ( ( 3 BernPoly X ) x. 2 ) = ( 2 x. ( ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) ) )
214	209, 213	syl5eq 2517	. . . . . . 7 |- ( X e. CC -> ( ( 3 BernPoly X ) x. ( 4 / 2 ) ) = ( 2 x. ( ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) ) )
215	207, 214	eqtrd 2505	. . . . . 6 |- ( X e. CC -> ( 4 x. ( ( 3 BernPoly X ) / 2 ) ) = ( 2 x. ( ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) ) )
216	201, 215	oveq12d 6326	. . . . 5 |- ( X e. CC -> ( sum_ k e. ( 0 ... 2 ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) + ( 4 x. ( ( 3 BernPoly X ) / 2 ) ) ) = ( ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) ) ) )
217	70, 216	eqtrd 2505	. . . 4 |- ( X e. CC -> sum_ k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) = ( ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) ) ) )
218	13, 217	syl5eq 2517	. . 3 |- ( X e. CC -> sum_ k e. ( 0 ... ( 4 - 1 ) ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) = ( ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) ) ) )
219	218	oveq2d 6324	. 2 |- ( X e. CC -> ( ( X ^ 4 ) - sum_ k e. ( 0 ... ( 4 - 1 ) ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) ) = ( ( X ^ 4 ) - ( ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) ) ) ) )
220		expcl 12328	. . . . 5 |- ( ( X e. CC /\ 4 e. NN0 ) -> ( X ^ 4 ) e. CC )
221	1, 220	mpan2 685	. . . 4 |- ( X e. CC -> ( X ^ 4 ) e. CC )
222		expcl 12328	. . . . . 6 |- ( ( X e. CC /\ 3 e. NN0 ) -> ( X ^ 3 ) e. CC )
223	202, 222	mpan2 685	. . . . 5 |- ( X e. CC -> ( X ^ 3 ) e. CC )
224	192, 223	mulcld 9681	. . . 4 |- ( X e. CC -> ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) e. CC )
225		sqcl 12375	. . . . 5 |- ( X e. CC -> ( X ^ 2 ) e. CC )
226	202, 101	deccl 11088	. . . . . . . 8 |- ; 3 0 e. NN0
227	226	nn0cni 10905	. . . . . . 7 |- ; 3 0 e. CC
228		df-dec 11075	. . . . . . . . 9 |- ; 3 0 = ( ( 10 x. 3 ) + 0 )
229		10re 10720	. . . . . . . . . . . 12 |- 10 e. RR
230	229	recni 9673	. . . . . . . . . . 11 |- 10 e. CC
231	230, 6	mulcli 9666	. . . . . . . . . 10 |- ( 10 x. 3 ) e. CC
232	231	addid1i 9838	. . . . . . . . 9 |- ( ( 10 x. 3 ) + 0 ) = ( 10 x. 3 )
233	228, 232	eqtri 2493	. . . . . . . 8 |- ; 3 0 = ( 10 x. 3 )
234		10pos 10734	. . . . . . . . . 10 |- 0 < 10
235	137, 234	gtneii 9764	. . . . . . . . 9 |- 10 =/= 0
236	230, 6, 235, 185	mulne0i 10277	. . . . . . . 8 |- ( 10 x. 3 ) =/= 0
237	233, 236	eqnetri 2713	. . . . . . 7 |- ; 3 0 =/= 0
238	227, 237	reccli 10359	. . . . . 6 |- ( 1 / ; 3 0 ) e. CC
239	238	a1i 11	. . . . 5 |- ( X e. CC -> ( 1 / ; 3 0 ) e. CC )
240	225, 239	subcld 10005	. . . 4 |- ( X e. CC -> ( ( X ^ 2 ) - ( 1 / ; 3 0 ) ) e. CC )
241	221, 224, 240	subsubd 10033	. . 3 |- ( X e. CC -> ( ( X ^ 4 ) - ( ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) - ( ( X ^ 2 ) - ( 1 / ; 3 0 ) ) ) ) = ( ( ( X ^ 4 ) - ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) ) + ( ( X ^ 2 ) - ( 1 / ; 3 0 ) ) ) )
242	162	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( X e. CC -> ( 1 / 5 ) e. CC )
243		id 22	. . . . . . . . 9 |- ( X e. CC -> X e. CC )
244	88, 205	reccli 10359	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 / 2 ) e. CC
245	244	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( X e. CC -> ( 1 / 2 ) e. CC )
246	243, 245	subcld 10005	. . . . . . . 8 |- ( X e. CC -> ( X - ( 1 / 2 ) ) e. CC )
247	242, 246	addcld 9680	. . . . . . 7 |- ( X e. CC -> ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) e. CC )
248	225, 243	subcld 10005	. . . . . . . . 9 |- ( X e. CC -> ( ( X ^ 2 ) - X ) e. CC )
249		6pos 10730	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 < 6
250	137, 249	gtneii 9764	. . . . . . . . . . 11 |- 6 =/= 0
251	179, 250	reccli 10359	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 / 6 ) e. CC
252	251	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( X e. CC -> ( 1 / 6 ) e. CC )
253	248, 252	addcld 9680	. . . . . . . 8 |- ( X e. CC -> ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) e. CC )
254	192, 253	mulcld 9681	. . . . . . 7 |- ( X e. CC -> ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) e. CC )
255	247, 254	addcld 9680	. . . . . 6 |- ( X e. CC -> ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) e. CC )
256	6, 88, 205	divcli 10371	. . . . . . . . . . 11 |- ( 3 / 2 ) e. CC
257	256	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. CC -> ( 3 / 2 ) e. CC )
258	257, 225	mulcld 9681	. . . . . . . . 9 |- ( X e. CC -> ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) e. CC )
259	223, 258	subcld 10005	. . . . . . . 8 |- ( X e. CC -> ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) e. CC )
260	245, 243	mulcld 9681	. . . . . . . 8 |- ( X e. CC -> ( ( 1 / 2 ) x. X ) e. CC )
261	259, 260	addcld 9680	. . . . . . 7 |- ( X e. CC -> ( ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) e. CC )
262	192, 261	mulcld 9681	. . . . . 6 |- ( X e. CC -> ( 2 x. ( ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) ) e. CC )
263	255, 262	addcomd 9853	. . . . 5 |- ( X e. CC -> ( ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) ) ) = ( ( 2 x. ( ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) ) + ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) ) )
264	192, 259, 260	adddid 9685	. . . . . . 7 |- ( X e. CC -> ( 2 x. ( ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) ) = ( ( 2 x. ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) ) + ( 2 x. ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) ) )
265	192, 223, 258	subdid 10095	. . . . . . . 8 |- ( X e. CC -> ( 2 x. ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) ) = ( ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) - ( 2 x. ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) ) )
266	88, 205	recidi 10360	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) = 1
267	266	oveq1i 6318	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. X ) = ( 1 x. X )
268	192, 245, 243	mulassd 9684	. . . . . . . . 9 |- ( X e. CC -> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. X ) = ( 2 x. ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) )
269		mulid2 9659	. . . . . . . . 9 |- ( X e. CC -> ( 1 x. X ) = X )
270	267, 268, 269	3eqtr3a 2529	. . . . . . . 8 |- ( X e. CC -> ( 2 x. ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) = X )
271	265, 270	oveq12d 6326	. . . . . . 7 |- ( X e. CC -> ( ( 2 x. ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) ) + ( 2 x. ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) ) = ( ( ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) - ( 2 x. ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) ) + X ) )
272	264, 271	eqtrd 2505	. . . . . 6 |- ( X e. CC -> ( 2 x. ( ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) ) = ( ( ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) - ( 2 x. ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) ) + X ) )
273	272	oveq1d 6323	. . . . 5 |- ( X e. CC -> ( ( 2 x. ( ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) ) + ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) ) = ( ( ( ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) - ( 2 x. ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) ) + X ) + ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) ) )
274	192, 258	mulcld 9681	. . . . . . . 8 |- ( X e. CC -> ( 2 x. ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) e. CC )
275	224, 274	subcld 10005	. . . . . . 7 |- ( X e. CC -> ( ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) - ( 2 x. ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) ) e. CC )
276	275, 243, 255	addassd 9683	. . . . . 6 |- ( X e. CC -> ( ( ( ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) - ( 2 x. ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) ) + X ) + ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) ) = ( ( ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) - ( 2 x. ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) ) + ( X + ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) ) ) )
277	243, 255	addcld 9680	. . . . . . 7 |- ( X e. CC -> ( X + ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) ) e. CC )
278	224, 274, 277	subsubd 10033	. . . . . 6 |- ( X e. CC -> ( ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) - ( ( 2 x. ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) - ( X + ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) ) ) ) = ( ( ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) - ( 2 x. ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) ) + ( X + ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) ) ) )
279	6, 88, 205	divcan2i 10372	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 x. ( 3 / 2 ) ) = 3
280	279	oveq1i 6318	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 x. ( 3 / 2 ) ) x. ( X ^ 2 ) ) = ( 3 x. ( X ^ 2 ) )
281	192, 257, 225	mulassd 9684	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. CC -> ( ( 2 x. ( 3 / 2 ) ) x. ( X ^ 2 ) ) = ( 2 x. ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) )
282	280, 281	syl5reqr 2520	. . . . . . . . 9 |- ( X e. CC -> ( 2 x. ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) = ( 3 x. ( X ^ 2 ) ) )
283	282	oveq1d 6323	. . . . . . . 8 |- ( X e. CC -> ( ( 2 x. ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) - ( X + ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) ) ) = ( ( 3 x. ( X ^ 2 ) ) - ( X + ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) ) ) )
284	243, 247, 254	add12d 9876	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. CC -> ( X + ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) ) = ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( X + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) ) )
285	192, 248, 252	adddid 9685	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( X e. CC -> ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) = ( ( 2 x. ( ( X ^ 2 ) - X ) ) + ( 2 x. ( 1 / 6 ) ) ) )
286	192, 225, 243	subdid 10095	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( X e. CC -> ( 2 x. ( ( X ^ 2 ) - X ) ) = ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) - ( 2 x. X ) ) )
287	188	oveq2i 6319	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 2 / ( 3 x. 2 ) ) = ( 2 / 6 )
288	6, 185	reccli 10359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( 1 / 3 ) e. CC
289	6, 88, 288	mul32i 9847	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 3 x. 2 ) x. ( 1 / 3 ) ) = ( ( 3 x. ( 1 / 3 ) ) x. 2 )
290	6, 185	recidi 10360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( 3 x. ( 1 / 3 ) ) = 1
291	290	oveq1i 6318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 3 x. ( 1 / 3 ) ) x. 2 ) = ( 1 x. 2 )
292	88	mulid2i 9664	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( 1 x. 2 ) = 2
293	291, 292	eqtri 2493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 3 x. ( 1 / 3 ) ) x. 2 ) = 2
294	289, 293	eqtri 2493	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 3 x. 2 ) x. ( 1 / 3 ) ) = 2
295	188, 179	eqeltri 2545	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 3 x. 2 ) e. CC
296	188, 250	eqnetri 2713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 3 x. 2 ) =/= 0
297	88, 295, 288, 296	divmuli 10383	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 2 / ( 3 x. 2 ) ) = ( 1 / 3 ) <-> ( ( 3 x. 2 ) x. ( 1 / 3 ) ) = 2 )
298	294, 297	mpbir 214	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 2 / ( 3 x. 2 ) ) = ( 1 / 3 )
299	88, 179, 250	divreci 10374	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 2 / 6 ) = ( 2 x. ( 1 / 6 ) )
300	287, 298, 299	3eqtr3ri 2502	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 2 x. ( 1 / 6 ) ) = ( 1 / 3 )
301	300	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( X e. CC -> ( 2 x. ( 1 / 6 ) ) = ( 1 / 3 ) )
302	286, 301	oveq12d 6326	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( X e. CC -> ( ( 2 x. ( ( X ^ 2 ) - X ) ) + ( 2 x. ( 1 / 6 ) ) ) = ( ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) - ( 2 x. X ) ) + ( 1 / 3 ) ) )
303	285, 302	eqtrd 2505	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X e. CC -> ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) = ( ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) - ( 2 x. X ) ) + ( 1 / 3 ) ) )
304	303	oveq2d 6324	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. CC -> ( X + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) = ( X + ( ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) - ( 2 x. X ) ) + ( 1 / 3 ) ) ) )
305	192, 225	mulcld 9681	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( X e. CC -> ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) e. CC )
306	192, 243	mulcld 9681	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( X e. CC -> ( 2 x. X ) e. CC )
307	305, 306	subcld 10005	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X e. CC -> ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) - ( 2 x. X ) ) e. CC )
308	288	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X e. CC -> ( 1 / 3 ) e. CC )
309	243, 307, 308	addassd 9683	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. CC -> ( ( X + ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) - ( 2 x. X ) ) ) + ( 1 / 3 ) ) = ( X + ( ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) - ( 2 x. X ) ) + ( 1 / 3 ) ) ) )
310	243, 305, 306	addsub12d 10028	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X e. CC -> ( X + ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) - ( 2 x. X ) ) ) = ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) )
311	310	oveq1d 6323	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. CC -> ( ( X + ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) - ( 2 x. X ) ) ) + ( 1 / 3 ) ) = ( ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) + ( 1 / 3 ) ) )
312	304, 309, 311	3eqtr2d 2511	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. CC -> ( X + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) = ( ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) + ( 1 / 3 ) ) )
313	312	oveq2d 6324	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. CC -> ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( X + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) ) = ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) + ( 1 / 3 ) ) ) )
314	284, 313	eqtrd 2505	. . . . . . . . 9 |- ( X e. CC -> ( X + ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) ) = ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) + ( 1 / 3 ) ) ) )
315	314	oveq2d 6324	. . . . . . . 8 |- ( X e. CC -> ( ( 3 x. ( X ^ 2 ) ) - ( X + ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) ) ) = ( ( 3 x. ( X ^ 2 ) ) - ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) + ( 1 / 3 ) ) ) ) )
316	243, 306	subcld 10005	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X e. CC -> ( X - ( 2 x. X ) ) e. CC )
317	305, 316	addcld 9680	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. CC -> ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) e. CC )
318	242, 246, 317, 308	add4d 9878	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. CC -> ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) + ( 1 / 3 ) ) ) = ( ( ( 1 / 5 ) + ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) ) + ( ( X - ( 1 / 2 ) ) + ( 1 / 3 ) ) ) )
319	242, 305, 316	add12d 9876	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. CC -> ( ( 1 / 5 ) + ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) ) = ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) + ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) ) )
320	319	oveq1d 6323	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. CC -> ( ( ( 1 / 5 ) + ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) ) + ( ( X - ( 1 / 2 ) ) + ( 1 / 3 ) ) ) = ( ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) + ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) ) + ( ( X - ( 1 / 2 ) ) + ( 1 / 3 ) ) ) )
321	242, 316	addcld 9680	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. CC -> ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) e. CC )
322	246, 308	addcld 9680	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. CC -> ( ( X - ( 1 / 2 ) ) + ( 1 / 3 ) ) e. CC )
323	305, 321, 322	addassd 9683	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. CC -> ( ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) + ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) ) + ( ( X - ( 1 / 2 ) ) + ( 1 / 3 ) ) ) = ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) + ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) + ( ( X - ( 1 / 2 ) ) + ( 1 / 3 ) ) ) ) )
324	318, 320, 323	3eqtrd 2509	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. CC -> ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) + ( 1 / 3 ) ) ) = ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) + ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) + ( ( X - ( 1 / 2 ) ) + ( 1 / 3 ) ) ) ) )
325	324	oveq2d 6324	. . . . . . . . 9 |- ( X e. CC -> ( ( 3 x. ( X ^ 2 ) ) - ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) + ( 1 / 3 ) ) ) ) = ( ( 3 x. ( X ^ 2 ) ) - ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) + ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) + ( ( X - ( 1 / 2 ) ) + ( 1 / 3 ) ) ) ) ) )
326	184, 225	mulcld 9681	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. CC -> ( 3 x. ( X ^ 2 ) ) e. CC )
327	321, 322	addcld 9680	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. CC -> ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) + ( ( X - ( 1 / 2 ) ) + ( 1 / 3 ) ) ) e. CC )
328	326, 305, 327	subsub4d 10036	. . . . . . . . 9 |- ( X e. CC -> ( ( ( 3 x. ( X ^ 2 ) ) - ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) ) - ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) + ( ( X - ( 1 / 2 ) ) + ( 1 / 3 ) ) ) ) = ( ( 3 x. ( X ^ 2 ) ) - ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) + ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) + ( ( X - ( 1 / 2 ) ) + ( 1 / 3 ) ) ) ) ) )
329	6, 88, 5, 110	subaddrii 9983	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 3 - 2 ) = 1
330	329	oveq1i 6318	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 3 - 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) = ( 1 x. ( X ^ 2 ) )
331	184, 192, 225	subdird 10096	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. CC -> ( ( 3 - 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) = ( ( 3 x. ( X ^ 2 ) ) - ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) ) )
332	225	mulid2d 9679	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. CC -> ( 1 x. ( X ^ 2 ) ) = ( X ^ 2 ) )
333	330, 331, 332	3eqtr3a 2529	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. CC -> ( ( 3 x. ( X ^ 2 ) ) - ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) ) = ( X ^ 2 ) )
334	242, 306, 243	subsubd 10033	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X e. CC -> ( ( 1 / 5 ) - ( ( 2 x. X ) - X ) ) = ( ( ( 1 / 5 ) - ( 2 x. X ) ) + X ) )
335	269	oveq2d 6324	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( X e. CC -> ( ( 2 x. X ) - ( 1 x. X ) ) = ( ( 2 x. X ) - X ) )
336		2m1e1 10746	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 2 - 1 ) = 1
337	336	oveq1i 6318	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 2 - 1 ) x. X ) = ( 1 x. X )
338	192, 132, 243	subdird 10096	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( X e. CC -> ( ( 2 - 1 ) x. X ) = ( ( 2 x. X ) - ( 1 x. X ) ) )
339	337, 338, 269	3eqtr3a 2529	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( X e. CC -> ( ( 2 x. X ) - ( 1 x. X ) ) = X )
340	335, 339	eqtr3d 2507	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( X e. CC -> ( ( 2 x. X ) - X ) = X )
341	340	oveq2d 6324	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X e. CC -> ( ( 1 / 5 ) - ( ( 2 x. X ) - X ) ) = ( ( 1 / 5 ) - X ) )
342	242, 306, 243	subadd23d 10027	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X e. CC -> ( ( ( 1 / 5 ) - ( 2 x. X ) ) + X ) = ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) )
343	334, 341, 342	3eqtr3d 2513	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. CC -> ( ( 1 / 5 ) - X ) = ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) )
344	243, 245, 308	subsubd 10033	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. CC -> ( X - ( ( 1 / 2 ) - ( 1 / 3 ) ) ) = ( ( X - ( 1 / 2 ) ) + ( 1 / 3 ) ) )
345	343, 344	oveq12d 6326	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. CC -> ( ( ( 1 / 5 ) - X ) + ( X - ( ( 1 / 2 ) - ( 1 / 3 ) ) ) ) = ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) + ( ( X - ( 1 / 2 ) ) + ( 1 / 3 ) ) ) )
346	244, 288	subcli 9970	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1 / 2 ) - ( 1 / 3 ) ) e. CC
347	346	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X e. CC -> ( ( 1 / 2 ) - ( 1 / 3 ) ) e. CC )
348	242, 243, 347	npncand 10029	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. CC -> ( ( ( 1 / 5 ) - X ) + ( X - ( ( 1 / 2 ) - ( 1 / 3 ) ) ) ) = ( ( 1 / 5 ) - ( ( 1 / 2 ) - ( 1 / 3 ) ) ) )
349		halfthird 11180	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1 / 2 ) - ( 1 / 3 ) ) = ( 1 / 6 )
350	349	oveq2i 6319	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1 / 5 ) - ( ( 1 / 2 ) - ( 1 / 3 ) ) ) = ( ( 1 / 5 ) - ( 1 / 6 ) )
351		5recm6rec 11181	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1 / 5 ) - ( 1 / 6 ) ) = ( 1 / ; 3 0 )
352	350, 351	eqtri 2493	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 / 5 ) - ( ( 1 / 2 ) - ( 1 / 3 ) ) ) = ( 1 / ; 3 0 )
353	348, 352	syl6eq 2521	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. CC -> ( ( ( 1 / 5 ) - X ) + ( X - ( ( 1 / 2 ) - ( 1 / 3 ) ) ) ) = ( 1 / ; 3 0 ) )
354	345, 353	eqtr3d 2507	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. CC -> ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) + ( ( X - ( 1 / 2 ) ) + ( 1 / 3 ) ) ) = ( 1 / ; 3 0 ) )
355	333, 354	oveq12d 6326	. . . . . . . . 9 |- ( X e. CC -> ( ( ( 3 x. ( X ^ 2 ) ) - ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) ) - ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) + ( ( X - ( 1 / 2 ) ) + ( 1 / 3 ) ) ) ) = ( ( X ^ 2 ) - ( 1 / ; 3 0 ) ) )
356	325, 328, 355	3eqtr2d 2511	. . . . . . . 8 |- ( X e. CC -> ( ( 3 x. ( X ^ 2 ) ) - ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) + ( 1 / 3 ) ) ) ) = ( ( X ^ 2 ) - ( 1 / ; 3 0 ) ) )
357	283, 315, 356	3eqtrd 2509	. . . . . . 7 |- ( X e. CC -> ( ( 2 x. ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) - ( X + ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) ) ) = ( ( X ^ 2 ) - ( 1 / ; 3 0 ) ) )
358	357	oveq2d 6324	. . . . . 6 |- ( X e. CC -> ( ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) - ( ( 2 x. ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) - ( X + ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) ) ) ) = ( ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) - ( ( X ^ 2 ) - ( 1 / ; 3 0 ) ) ) )
359	276, 278, 358	3eqtr2d 2511	. . . . 5 |- ( X e. CC -> ( ( ( ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) - ( 2 x. ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) ) + X ) + ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) ) = ( ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) - ( ( X ^ 2 ) - ( 1 / ; 3 0 ) ) ) )
360	263, 273, 359	3eqtrd 2509	. . . 4 |- ( X e. CC -> ( ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) ) ) = ( ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) - ( ( X ^ 2 ) - ( 1 / ; 3 0 ) ) ) )
361	360	oveq2d 6324	. . 3 |- ( X e. CC -> ( ( X ^ 4 ) - ( ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) ) ) ) = ( ( X ^ 4 ) - ( ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) - ( ( X ^ 2 ) - ( 1 / ; 3 0 ) ) ) ) )
362	221, 224	subcld 10005	. . . 4 |- ( X e. CC -> ( ( X ^ 4 ) - ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) ) e. CC )
363	362, 225, 239	addsubassd 10025	. . 3 |- ( X e. CC -> ( ( ( ( X ^ 4 ) - ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) ) + ( X ^ 2 ) ) - ( 1 / ; 3 0 ) ) = ( ( ( X ^ 4 ) - ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) ) + ( ( X ^ 2 ) - ( 1 / ; 3 0 ) ) ) )
364	241, 361, 363	3eqtr4d 2515	. 2 |- ( X e. CC -> ( ( X ^ 4 ) - ( ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) ) ) ) = ( ( ( ( X ^ 4 ) - ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) ) + ( X ^ 2 ) ) - ( 1 / ; 3 0 ) ) )
365	3, 219, 364	3eqtrd 2509	1 |- ( X e. CC -> ( 4 BernPoly X ) = ( ( ( ( X ^ 4 ) - ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) ) + ( X ^ 2 ) ) - ( 1 / ; 3 0 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 376   = wceq 1452   e. wcel 1904   =/= wne 2641   C_ wss 3390   class class class wbr 4395   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558   + caddc 9560   x. cmul 9562   < clt 9693   - cmin 9880   / cdiv 10291   NNcn 10631   2c2 10681   3c3 10682   4c4 10683   5c5 10684   6c6 10685   10c10 10689   NN0cn0 10893   ZZcz 10961  ;cdc 11074   ZZ>=cuz 11182   ...cfz 11810   ^cexp 12310   _C cbc 12525   sum_csu 13829   BernPoly cbp 14176

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-bpoly 14177

This theorem is referenced by:  fsumcube  14190