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Theorem bpoly3 14111
Description: The Bernoulli polynomials at three. (Contributed by Scott Fenton, 8-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
bpoly3  |-  ( X  e.  CC  ->  (
3 BernPoly  X )  =  ( ( ( X ^
3 )  -  (
( 3  /  2
)  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( 1  /  2 )  x.  X ) ) )

Proof of Theorem bpoly3
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3nn0 10887 . . 3  |-  3  e.  NN0
2 bpolyval 14102 . . 3  |-  ( ( 3  e.  NN0  /\  X  e.  CC )  ->  ( 3 BernPoly  X )  =  ( ( X ^ 3 )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( 3  -  1 ) ) ( ( 3  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( 3  -  k
)  +  1 ) ) ) ) )
31, 2mpan 676 . 2  |-  ( X  e.  CC  ->  (
3 BernPoly  X )  =  ( ( X ^ 3 )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... (
3  -  1 ) ) ( ( 3  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) ) ) )
4 3m1e2 10726 . . . . . . 7  |-  ( 3  -  1 )  =  2
5 df-2 10668 . . . . . . 7  |-  2  =  ( 1  +  1 )
64, 5eqtri 2473 . . . . . 6  |-  ( 3  -  1 )  =  ( 1  +  1 )
76oveq2i 6301 . . . . 5  |-  ( 0 ... ( 3  -  1 ) )  =  ( 0 ... (
1  +  1 ) )
87sumeq1i 13764 . . . 4  |-  sum_ k  e.  ( 0 ... (
3  -  1 ) ) ( ( 3  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... (
1  +  1 ) ) ( ( 3  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) )
9 1eluzge0 11202 . . . . . . 7  |-  1  e.  ( ZZ>= `  0 )
109a1i 11 . . . . . 6  |-  ( X  e.  CC  ->  1  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
11 0z 10948 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  ZZ
12 fzpr 11851 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
0 ... ( 0  +  1 ) )  =  { 0 ,  ( 0  +  1 ) } )
1311, 12ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 ... ( 0  +  1 ) )  =  { 0 ,  ( 0  +  1 ) }
14 0p1e1 10721 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  +  1 )  =  1
1514oveq2i 6301 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 ... ( 0  +  1 ) )  =  ( 0 ... 1
)
1614preq2i 4055 . . . . . . . . . . . 12  |-  { 0 ,  ( 0  +  1 ) }  =  { 0 ,  1 }
1713, 15, 163eqtr3ri 2482 . . . . . . . . . . 11  |-  { 0 ,  1 }  =  ( 0 ... 1
)
185sneqi 3979 . . . . . . . . . . 11  |-  { 2 }  =  { ( 1  +  1 ) }
1917, 18uneq12i 3586 . . . . . . . . . 10  |-  ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 } )  =  ( ( 0 ... 1 )  u.  { ( 1  +  1 ) } )
20 df-tp 3973 . . . . . . . . . 10  |-  { 0 ,  1 ,  2 }  =  ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 } )
21 fzsuc 11843 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( 0 ... ( 1  +  1 ) )  =  ( ( 0 ... 1 )  u.  {
( 1  +  1 ) } ) )
229, 21ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 ... ( 1  +  1 ) )  =  ( ( 0 ... 1 )  u.  {
( 1  +  1 ) } )
2319, 20, 223eqtr4ri 2484 . . . . . . . . 9  |-  ( 0 ... ( 1  +  1 ) )  =  { 0 ,  1 ,  2 }
2423eleq2i 2521 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( 1  +  1 ) )  <->  k  e.  { 0 ,  1 ,  2 } )
25 vex 3048 . . . . . . . . 9  |-  k  e. 
_V
2625eltp 4017 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  { 0 ,  1 ,  2 }  <-> 
( k  =  0  \/  k  =  1  \/  k  =  2 ) )
2724, 26bitri 253 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( 1  +  1 ) )  <->  ( k  =  0  \/  k  =  1  \/  k  =  2 ) )
28 oveq2 6298 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  0  ->  (
3  _C  k )  =  ( 3  _C  0 ) )
29 bcn0 12495 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 3  e.  NN0  ->  ( 3  _C  0 )  =  1 )
301, 29ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 3  _C  0 )  =  1
3128, 30syl6eq 2501 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  0  ->  (
3  _C  k )  =  1 )
32 oveq1 6297 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  0  ->  (
k BernPoly  X )  =  ( 0 BernPoly  X ) )
33 oveq2 6298 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  0  ->  (
3  -  k )  =  ( 3  -  0 ) )
3433oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  0  ->  (
( 3  -  k
)  +  1 )  =  ( ( 3  -  0 )  +  1 ) )
35 3cn 10684 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  3  e.  CC
3635subid1i 9946 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 3  -  0 )  =  3
3736oveq1i 6300 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 3  -  0 )  +  1 )  =  ( 3  +  1 )
38 df-4 10670 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  4  =  ( 3  +  1 )
3937, 38eqtr4i 2476 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 3  -  0 )  +  1 )  =  4
4034, 39syl6eq 2501 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  0  ->  (
( 3  -  k
)  +  1 )  =  4 )
4132, 40oveq12d 6308 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  0  ->  (
( k BernPoly  X )  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) )  =  ( ( 0 BernPoly  X
)  /  4 ) )
4231, 41oveq12d 6308 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  0  ->  (
( 3  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( 3  -  k
)  +  1 ) ) )  =  ( 1  x.  ( ( 0 BernPoly  X )  /  4
) ) )
43 bpoly0 14103 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  e.  CC  ->  (
0 BernPoly  X )  =  1 )
4443oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( 0 BernPoly  X )  /  4 )  =  ( 1  /  4
) )
4544oveq2d 6306 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  CC  ->  (
1  x.  ( ( 0 BernPoly  X )  /  4
) )  =  ( 1  x.  ( 1  /  4 ) ) )
46 4cn 10687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  4  e.  CC
47 4ne0 10706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  4  =/=  0
4846, 47reccli 10337 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  /  4 )  e.  CC
4948mulid2i 9646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  x.  ( 1  / 
4 ) )  =  ( 1  /  4
)
5045, 49syl6eq 2501 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  CC  ->  (
1  x.  ( ( 0 BernPoly  X )  /  4
) )  =  ( 1  /  4 ) )
5142, 50sylan9eqr 2507 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  CC  /\  k  =  0 )  ->  ( ( 3  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) )  =  ( 1  /  4 ) )
5251, 48syl6eqel 2537 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  CC  /\  k  =  0 )  ->  ( ( 3  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) )  e.  CC )
53 oveq2 6298 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  1  ->  (
3  _C  k )  =  ( 3  _C  1 ) )
54 bcn1 12498 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 3  e.  NN0  ->  ( 3  _C  1 )  =  3 )
551, 54ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 3  _C  1 )  =  3
5653, 55syl6eq 2501 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  1  ->  (
3  _C  k )  =  3 )
57 oveq1 6297 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  1  ->  (
k BernPoly  X )  =  ( 1 BernPoly  X ) )
58 oveq2 6298 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  1  ->  (
3  -  k )  =  ( 3  -  1 ) )
5958oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  1  ->  (
( 3  -  k
)  +  1 )  =  ( ( 3  -  1 )  +  1 ) )
60 ax-1cn 9597 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  CC
61 npcan 9884 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( 3  -  1 )  +  1 )  =  3 )
6235, 60, 61mp2an 678 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 3  -  1 )  +  1 )  =  3
6359, 62syl6eq 2501 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  1  ->  (
( 3  -  k
)  +  1 )  =  3 )
6457, 63oveq12d 6308 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  1  ->  (
( k BernPoly  X )  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) )  =  ( ( 1 BernPoly  X
)  /  3 ) )
6556, 64oveq12d 6308 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  1  ->  (
( 3  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( 3  -  k
)  +  1 ) ) )  =  ( 3  x.  ( ( 1 BernPoly  X )  /  3
) ) )
66 bpoly1 14104 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  e.  CC  ->  (
1 BernPoly  X )  =  ( X  -  ( 1  /  2 ) ) )
6766oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( 1 BernPoly  X )  /  3 )  =  ( ( X  -  ( 1  /  2
) )  /  3
) )
6867oveq2d 6306 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  CC  ->  (
3  x.  ( ( 1 BernPoly  X )  /  3
) )  =  ( 3  x.  ( ( X  -  ( 1  /  2 ) )  /  3 ) ) )
69 halfcn 10829 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  /  2 )  e.  CC
70 subcl 9874 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( X  e.  CC  /\  ( 1  /  2
)  e.  CC )  ->  ( X  -  ( 1  /  2
) )  e.  CC )
7169, 70mpan2 677 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  CC  ->  ( X  -  ( 1  /  2 ) )  e.  CC )
72 3ne0 10704 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  =/=  0
73 divcan2 10278 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X  -  (
1  /  2 ) )  e.  CC  /\  3  e.  CC  /\  3  =/=  0 )  ->  (
3  x.  ( ( X  -  ( 1  /  2 ) )  /  3 ) )  =  ( X  -  ( 1  /  2
) ) )
7435, 72, 73mp3an23 1356 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  -  ( 1  /  2 ) )  e.  CC  ->  (
3  x.  ( ( X  -  ( 1  /  2 ) )  /  3 ) )  =  ( X  -  ( 1  /  2
) ) )
7571, 74syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  CC  ->  (
3  x.  ( ( X  -  ( 1  /  2 ) )  /  3 ) )  =  ( X  -  ( 1  /  2
) ) )
7668, 75eqtrd 2485 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  CC  ->  (
3  x.  ( ( 1 BernPoly  X )  /  3
) )  =  ( X  -  ( 1  /  2 ) ) )
7765, 76sylan9eqr 2507 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  CC  /\  k  =  1 )  ->  ( ( 3  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) )  =  ( X  -  ( 1  / 
2 ) ) )
7871adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  CC  /\  k  =  1 )  ->  ( X  -  ( 1  /  2
) )  e.  CC )
7977, 78eqeltrd 2529 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  CC  /\  k  =  1 )  ->  ( ( 3  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) )  e.  CC )
80 oveq2 6298 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  2  ->  (
3  _C  k )  =  ( 3  _C  2 ) )
81 bcn2 12504 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 3  e.  NN0  ->  ( 3  _C  2 )  =  ( ( 3  x.  ( 3  -  1 ) )  /  2
) )
821, 81ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 3  _C  2 )  =  ( ( 3  x.  ( 3  -  1 ) )  /  2
)
834oveq2i 6301 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 3  x.  ( 3  -  1 ) )  =  ( 3  x.  2 )
8483oveq1i 6300 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 3  x.  ( 3  -  1 ) )  /  2 )  =  ( ( 3  x.  2 )  /  2
)
85 2cn 10680 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  CC
86 2ne0 10702 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  =/=  0
8735, 85, 86divcan4i 10354 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 3  x.  2 )  /  2 )  =  3
8884, 87eqtri 2473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 3  x.  ( 3  -  1 ) )  /  2 )  =  3
8982, 88eqtri 2473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 3  _C  2 )  =  3
9080, 89syl6eq 2501 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  2  ->  (
3  _C  k )  =  3 )
91 oveq1 6297 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  2  ->  (
k BernPoly  X )  =  ( 2 BernPoly  X ) )
92 oveq2 6298 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  2  ->  (
3  -  k )  =  ( 3  -  2 ) )
9392oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  2  ->  (
( 3  -  k
)  +  1 )  =  ( ( 3  -  2 )  +  1 ) )
94 2p1e3 10733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  +  1 )  =  3
9535, 85, 60, 94subaddrii 9964 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 3  -  2 )  =  1
9695oveq1i 6300 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 3  -  2 )  +  1 )  =  ( 1  +  1 )
9796, 5eqtr4i 2476 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 3  -  2 )  +  1 )  =  2
9893, 97syl6eq 2501 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  2  ->  (
( 3  -  k
)  +  1 )  =  2 )
9991, 98oveq12d 6308 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  2  ->  (
( k BernPoly  X )  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) )  =  ( ( 2 BernPoly  X
)  /  2 ) )
10090, 99oveq12d 6308 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  2  ->  (
( 3  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( 3  -  k
)  +  1 ) ) )  =  ( 3  x.  ( ( 2 BernPoly  X )  /  2
) ) )
101 2nn0 10886 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  NN0
102 bpolycl 14105 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  NN0  /\  X  e.  CC )  ->  ( 2 BernPoly  X )  e.  CC )
103101, 102mpan 676 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  CC  ->  (
2 BernPoly  X )  e.  CC )
104 2cnne0 10824 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
105 div12 10292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  ( 2 BernPoly  X )  e.  CC  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  -> 
( 3  x.  (
( 2 BernPoly  X )  /  2 ) )  =  ( ( 2 BernPoly  X )  x.  (
3  /  2 ) ) )
10635, 104, 105mp3an13 1355 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2 BernPoly  X )  e.  CC  ->  ( 3  x.  (
( 2 BernPoly  X )  /  2 ) )  =  ( ( 2 BernPoly  X )  x.  (
3  /  2 ) ) )
107103, 106syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  CC  ->  (
3  x.  ( ( 2 BernPoly  X )  /  2
) )  =  ( ( 2 BernPoly  X )  x.  ( 3  / 
2 ) ) )
10835, 85, 86divcli 10349 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 3  /  2 )  e.  CC
109 mulcom 9625 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2 BernPoly  X )  e.  CC  /\  (
3  /  2 )  e.  CC )  -> 
( ( 2 BernPoly  X
)  x.  ( 3  /  2 ) )  =  ( ( 3  /  2 )  x.  ( 2 BernPoly  X ) ) )
110103, 108, 109sylancl 668 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( 2 BernPoly  X )  x.  ( 3  /  2
) )  =  ( ( 3  /  2
)  x.  ( 2 BernPoly  X ) ) )
111 bpoly2 14110 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  e.  CC  ->  (
2 BernPoly  X )  =  ( ( ( X ^
2 )  -  X
)  +  ( 1  /  6 ) ) )
112111oveq2d 6306 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( 3  /  2
)  x.  ( 2 BernPoly  X ) )  =  ( ( 3  / 
2 )  x.  (
( ( X ^
2 )  -  X
)  +  ( 1  /  6 ) ) ) )
113 sqcl 12337 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X  e.  CC  ->  ( X ^ 2 )  e.  CC )
114 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X  e.  CC  ->  X  e.  CC )
115 6cn 10691 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  6  e.  CC
116 6re 10690 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  6  e.  RR
117 6pos 10708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  <  6
118116, 117gt0ne0ii 10150 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  6  =/=  0
119115, 118reccli 10337 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  /  6 )  e.  CC
120 subsub 9904 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( X ^ 2 )  e.  CC  /\  X  e.  CC  /\  (
1  /  6 )  e.  CC )  -> 
( ( X ^
2 )  -  ( X  -  ( 1  /  6 ) ) )  =  ( ( ( X ^ 2 )  -  X )  +  ( 1  / 
6 ) ) )
121119, 120mp3an3 1353 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( X ^ 2 )  e.  CC  /\  X  e.  CC )  ->  ( ( X ^
2 )  -  ( X  -  ( 1  /  6 ) ) )  =  ( ( ( X ^ 2 )  -  X )  +  ( 1  / 
6 ) ) )
122113, 114, 121syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( X ^ 2 )  -  ( X  -  ( 1  / 
6 ) ) )  =  ( ( ( X ^ 2 )  -  X )  +  ( 1  /  6
) ) )
123122oveq2d 6306 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( 3  /  2
)  x.  ( ( X ^ 2 )  -  ( X  -  ( 1  /  6
) ) ) )  =  ( ( 3  /  2 )  x.  ( ( ( X ^ 2 )  -  X )  +  ( 1  /  6 ) ) ) )
124 subcl 9874 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X  e.  CC  /\  ( 1  /  6
)  e.  CC )  ->  ( X  -  ( 1  /  6
) )  e.  CC )
125119, 124mpan2 677 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  e.  CC  ->  ( X  -  ( 1  /  6 ) )  e.  CC )
126 subdi 10052 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 3  /  2
)  e.  CC  /\  ( X ^ 2 )  e.  CC  /\  ( X  -  ( 1  /  6 ) )  e.  CC )  -> 
( ( 3  / 
2 )  x.  (
( X ^ 2 )  -  ( X  -  ( 1  / 
6 ) ) ) )  =  ( ( ( 3  /  2
)  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( 3  /  2 )  x.  ( X  -  (
1  /  6 ) ) ) ) )
127108, 126mp3an1 1351 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X ^ 2 )  e.  CC  /\  ( X  -  (
1  /  6 ) )  e.  CC )  ->  ( ( 3  /  2 )  x.  ( ( X ^
2 )  -  ( X  -  ( 1  /  6 ) ) ) )  =  ( ( ( 3  / 
2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( 3  /  2 )  x.  ( X  -  (
1  /  6 ) ) ) ) )
128113, 125, 127syl2anc 667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( 3  /  2
)  x.  ( ( X ^ 2 )  -  ( X  -  ( 1  /  6
) ) ) )  =  ( ( ( 3  /  2 )  x.  ( X ^
2 ) )  -  ( ( 3  / 
2 )  x.  ( X  -  ( 1  /  6 ) ) ) ) )
129112, 123, 1283eqtr2d 2491 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( 3  /  2
)  x.  ( 2 BernPoly  X ) )  =  ( ( ( 3  /  2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  -  (
( 3  /  2
)  x.  ( X  -  ( 1  / 
6 ) ) ) ) )
130107, 110, 1293eqtrd 2489 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  CC  ->  (
3  x.  ( ( 2 BernPoly  X )  /  2
) )  =  ( ( ( 3  / 
2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( 3  /  2 )  x.  ( X  -  (
1  /  6 ) ) ) ) )
131100, 130sylan9eqr 2507 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  CC  /\  k  =  2 )  ->  ( ( 3  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( 3  /  2
)  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( 3  /  2 )  x.  ( X  -  (
1  /  6 ) ) ) ) )
132 mulcl 9623 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 3  /  2
)  e.  CC  /\  ( X ^ 2 )  e.  CC )  -> 
( ( 3  / 
2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  e.  CC )
133108, 113, 132sylancr 669 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( 3  /  2
)  x.  ( X ^ 2 ) )  e.  CC )
134 mulcl 9623 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 3  /  2
)  e.  CC  /\  ( X  -  (
1  /  6 ) )  e.  CC )  ->  ( ( 3  /  2 )  x.  ( X  -  (
1  /  6 ) ) )  e.  CC )
135108, 125, 134sylancr 669 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( 3  /  2
)  x.  ( X  -  ( 1  / 
6 ) ) )  e.  CC )
136133, 135subcld 9986 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( ( 3  / 
2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( 3  /  2 )  x.  ( X  -  (
1  /  6 ) ) ) )  e.  CC )
137136adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  CC  /\  k  =  2 )  ->  ( ( ( 3  /  2 )  x.  ( X ^
2 ) )  -  ( ( 3  / 
2 )  x.  ( X  -  ( 1  /  6 ) ) ) )  e.  CC )
138131, 137eqeltrd 2529 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  CC  /\  k  =  2 )  ->  ( ( 3  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) )  e.  CC )
13952, 79, 1383jaodan 1334 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  CC  /\  ( k  =  0  \/  k  =  1  \/  k  =  2 ) )  ->  (
( 3  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( 3  -  k
)  +  1 ) ) )  e.  CC )
14027, 139sylan2b 478 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  CC  /\  k  e.  ( 0 ... ( 1  +  1 ) ) )  ->  ( ( 3  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) )  e.  CC )
1415eqeq2i 2463 . . . . . . 7  |-  ( k  =  2  <->  k  =  ( 1  +  1 ) )
142141, 100sylbir 217 . . . . . 6  |-  ( k  =  ( 1  +  1 )  ->  (
( 3  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( 3  -  k
)  +  1 ) ) )  =  ( 3  x.  ( ( 2 BernPoly  X )  /  2
) ) )
14310, 140, 142fsump1 13817 . . . . 5  |-  ( X  e.  CC  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... (
1  +  1 ) ) ( ( 3  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... 1 ) ( ( 3  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( 3  -  k
)  +  1 ) ) )  +  ( 3  x.  ( ( 2 BernPoly  X )  /  2
) ) ) )
144130oveq2d 6306 . . . . 5  |-  ( X  e.  CC  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... 1 ) ( ( 3  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( 3  -  k
)  +  1 ) ) )  +  ( 3  x.  ( ( 2 BernPoly  X )  /  2
) ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... 1 ) ( ( 3  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  X )  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) )  +  ( ( ( 3  /  2 )  x.  ( X ^
2 ) )  -  ( ( 3  / 
2 )  x.  ( X  -  ( 1  /  6 ) ) ) ) ) )
14515sumeq1i 13764 . . . . . . . . 9  |-  sum_ k  e.  ( 0 ... (
0  +  1 ) ) ( ( 3  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... 1
) ( ( 3  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) )
146 0nn0 10884 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  NN0
147 nn0uz 11193 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
148146, 147eleqtri 2527 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  ( ZZ>= `  0 )
149148a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  CC  ->  0  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
15013, 16eqtri 2473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0 ... ( 0  +  1 ) )  =  { 0 ,  1 }
151150eleq2i 2521 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( 0  +  1 ) )  <->  k  e.  { 0 ,  1 } )
15225elpr 3986 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  { 0 ,  1 }  <->  ( k  =  0  \/  k  =  1 ) )
153151, 152bitri 253 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( 0  +  1 ) )  <->  ( k  =  0  \/  k  =  1 ) )
15452, 79jaodan 794 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  e.  CC  /\  ( k  =  0  \/  k  =  1 ) )  ->  (
( 3  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( 3  -  k
)  +  1 ) ) )  e.  CC )
155153, 154sylan2b 478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  CC  /\  k  e.  ( 0 ... ( 0  +  1 ) ) )  ->  ( ( 3  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) )  e.  CC )
15614eqeq2i 2463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( 0  +  1 )  <->  k  = 
1 )
157156, 65sylbi 199 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( 0  +  1 )  ->  (
( 3  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( 3  -  k
)  +  1 ) ) )  =  ( 3  x.  ( ( 1 BernPoly  X )  /  3
) ) )
158149, 155, 157fsump1 13817 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  CC  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... (
0  +  1 ) ) ( ( 3  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... 0 ) ( ( 3  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( 3  -  k
)  +  1 ) ) )  +  ( 3  x.  ( ( 1 BernPoly  X )  /  3
) ) ) )
15950, 48syl6eqel 2537 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  e.  CC  ->  (
1  x.  ( ( 0 BernPoly  X )  /  4
) )  e.  CC )
16042fsum1 13808 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  ( 1  x.  (
( 0 BernPoly  X )  /  4 ) )  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... 0 ) ( ( 3  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( 3  -  k
)  +  1 ) ) )  =  ( 1  x.  ( ( 0 BernPoly  X )  /  4
) ) )
16111, 159, 160sylancr 669 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  CC  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... 0
) ( ( 3  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) )  =  ( 1  x.  ( ( 0 BernPoly  X )  /  4
) ) )
162161, 50eqtrd 2485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  CC  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... 0
) ( ( 3  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) )  =  ( 1  /  4 ) )
163162, 76oveq12d 6308 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  CC  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... 0 ) ( ( 3  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( 3  -  k
)  +  1 ) ) )  +  ( 3  x.  ( ( 1 BernPoly  X )  /  3
) ) )  =  ( ( 1  / 
4 )  +  ( X  -  ( 1  /  2 ) ) ) )
164158, 163eqtrd 2485 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  CC  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... (
0  +  1 ) ) ( ( 3  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( 1  /  4 )  +  ( X  -  ( 1  /  2
) ) ) )
165145, 164syl5eqr 2499 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  CC  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... 1
) ( ( 3  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( 1  /  4 )  +  ( X  -  ( 1  /  2
) ) ) )
166165oveq1d 6305 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  CC  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... 1 ) ( ( 3  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( 3  -  k
)  +  1 ) ) )  +  ( ( ( 3  / 
2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( 3  /  2 )  x.  ( X  -  (
1  /  6 ) ) ) ) )  =  ( ( ( 1  /  4 )  +  ( X  -  ( 1  /  2
) ) )  +  ( ( ( 3  /  2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  -  (
( 3  /  2
)  x.  ( X  -  ( 1  / 
6 ) ) ) ) ) )
167 addcl 9621 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  /  4
)  e.  CC  /\  ( X  -  (
1  /  2 ) )  e.  CC )  ->  ( ( 1  /  4 )  +  ( X  -  (
1  /  2 ) ) )  e.  CC )
16848, 71, 167sylancr 669 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( 1  /  4
)  +  ( X  -  ( 1  / 
2 ) ) )  e.  CC )
169168, 133, 135addsub12d 10009 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( ( 1  / 
4 )  +  ( X  -  ( 1  /  2 ) ) )  +  ( ( ( 3  /  2
)  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( 3  /  2 )  x.  ( X  -  (
1  /  6 ) ) ) ) )  =  ( ( ( 3  /  2 )  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( ( ( 1  /  4 )  +  ( X  -  (
1  /  2 ) ) )  -  (
( 3  /  2
)  x.  ( X  -  ( 1  / 
6 ) ) ) ) ) )
170166, 169eqtrd 2485 . . . . . 6  |-  ( X  e.  CC  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... 1 ) ( ( 3  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( 3  -  k
)  +  1 ) ) )  +  ( ( ( 3  / 
2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( 3  /  2 )  x.  ( X  -  (
1  /  6 ) ) ) ) )  =  ( ( ( 3  /  2 )  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( ( ( 1  /  4 )  +  ( X  -  (
1  /  2 ) ) )  -  (
( 3  /  2
)  x.  ( X  -  ( 1  / 
6 ) ) ) ) ) )
171135, 168negsubdi2d 10002 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  CC  ->  -u (
( ( 3  / 
2 )  x.  ( X  -  ( 1  /  6 ) ) )  -  ( ( 1  /  4 )  +  ( X  -  ( 1  /  2
) ) ) )  =  ( ( ( 1  /  4 )  +  ( X  -  ( 1  /  2
) ) )  -  ( ( 3  / 
2 )  x.  ( X  -  ( 1  /  6 ) ) ) ) )
172 subdi 10052 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 3  /  2
)  e.  CC  /\  X  e.  CC  /\  (
1  /  6 )  e.  CC )  -> 
( ( 3  / 
2 )  x.  ( X  -  ( 1  /  6 ) ) )  =  ( ( ( 3  /  2
)  x.  X )  -  ( ( 3  /  2 )  x.  ( 1  /  6
) ) ) )
173108, 119, 172mp3an13 1355 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( 3  /  2
)  x.  ( X  -  ( 1  / 
6 ) ) )  =  ( ( ( 3  /  2 )  x.  X )  -  ( ( 3  / 
2 )  x.  (
1  /  6 ) ) ) )
174 addsub12 9888 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1  /  4
)  e.  CC  /\  X  e.  CC  /\  (
1  /  2 )  e.  CC )  -> 
( ( 1  / 
4 )  +  ( X  -  ( 1  /  2 ) ) )  =  ( X  +  ( ( 1  /  4 )  -  ( 1  /  2
) ) ) )
17548, 69, 174mp3an13 1355 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( 1  /  4
)  +  ( X  -  ( 1  / 
2 ) ) )  =  ( X  +  ( ( 1  / 
4 )  -  (
1  /  2 ) ) ) )
176173, 175oveq12d 6308 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( ( 3  / 
2 )  x.  ( X  -  ( 1  /  6 ) ) )  -  ( ( 1  /  4 )  +  ( X  -  ( 1  /  2
) ) ) )  =  ( ( ( ( 3  /  2
)  x.  X )  -  ( ( 3  /  2 )  x.  ( 1  /  6
) ) )  -  ( X  +  (
( 1  /  4
)  -  ( 1  /  2 ) ) ) ) )
177 mulcl 9623 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 3  /  2
)  e.  CC  /\  X  e.  CC )  ->  ( ( 3  / 
2 )  x.  X
)  e.  CC )
178108, 177mpan 676 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( 3  /  2
)  x.  X )  e.  CC )
179108, 119mulcli 9648 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 3  /  2 )  x.  ( 1  / 
6 ) )  e.  CC
180 negsub 9922 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( 3  / 
2 )  x.  X
)  e.  CC  /\  ( ( 3  / 
2 )  x.  (
1  /  6 ) )  e.  CC )  ->  ( ( ( 3  /  2 )  x.  X )  + 
-u ( ( 3  /  2 )  x.  ( 1  /  6
) ) )  =  ( ( ( 3  /  2 )  x.  X )  -  (
( 3  /  2
)  x.  ( 1  /  6 ) ) ) )
181178, 179, 180sylancl 668 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( ( 3  / 
2 )  x.  X
)  +  -u (
( 3  /  2
)  x.  ( 1  /  6 ) ) )  =  ( ( ( 3  /  2
)  x.  X )  -  ( ( 3  /  2 )  x.  ( 1  /  6
) ) ) )
182181oveq1d 6305 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( ( ( 3  /  2 )  x.  X )  +  -u ( ( 3  / 
2 )  x.  (
1  /  6 ) ) )  -  ( X  +  ( (
1  /  4 )  -  ( 1  / 
2 ) ) ) )  =  ( ( ( ( 3  / 
2 )  x.  X
)  -  ( ( 3  /  2 )  x.  ( 1  / 
6 ) ) )  -  ( X  +  ( ( 1  / 
4 )  -  (
1  /  2 ) ) ) ) )
18369, 48negsubdi2i 9961 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -u (
( 1  /  2
)  -  ( 1  /  4 ) )  =  ( ( 1  /  4 )  -  ( 1  /  2
) )
18485, 35, 85mul12i 9828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 2  x.  ( 3  x.  2 ) )  =  ( 3  x.  (
2  x.  2 ) )
185 3t2e6 10761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 3  x.  2 )  =  6
186185oveq2i 6301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 2  x.  ( 3  x.  2 ) )  =  ( 2  x.  6 )
187 2t2e4 10759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
188187oveq2i 6301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 3  x.  ( 2  x.  2 ) )  =  ( 3  x.  4 )
189184, 186, 1883eqtr3i 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 2  x.  6 )  =  ( 3  x.  4 )
190189oveq2i 6301 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 3  x.  1 )  /  ( 2  x.  6 ) )  =  ( ( 3  x.  1 )  /  (
3  x.  4 ) )
19146, 47pm3.2i 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 4  e.  CC  /\  4  =/=  0 )
19235, 72pm3.2i 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 3  e.  CC  /\  3  =/=  0 )
193 divcan5 10309 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( 4  e.  CC  /\  4  =/=  0 )  /\  ( 3  e.  CC  /\  3  =/=  0 ) )  -> 
( ( 3  x.  1 )  /  (
3  x.  4 ) )  =  ( 1  /  4 ) )
19460, 191, 192, 193mp3an 1364 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 3  x.  1 )  /  ( 3  x.  4 ) )  =  ( 1  /  4
)
195190, 194eqtri 2473 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 3  x.  1 )  /  ( 2  x.  6 ) )  =  ( 1  /  4
)
19635, 85, 60, 115, 86, 118divmuldivi 10367 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 3  /  2 )  x.  ( 1  / 
6 ) )  =  ( ( 3  x.  1 )  /  (
2  x.  6 ) )
197 2t1e2 10758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
198197, 5eqtri 2473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 2  x.  1 )  =  ( 1  +  1 )
199198, 187oveq12i 6302 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 2  x.  1 )  /  ( 2  x.  2 ) )  =  ( ( 1  +  1 )  /  4
)
200 divcan5 10309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  -> 
( ( 2  x.  1 )  /  (
2  x.  2 ) )  =  ( 1  /  2 ) )
20160, 104, 104, 200mp3an 1364 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 2  x.  1 )  /  ( 2  x.  2 ) )  =  ( 1  /  2
)
20260, 60, 46, 47divdiri 10364 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 1  +  1 )  /  4 )  =  ( ( 1  / 
4 )  +  ( 1  /  4 ) )
203199, 201, 2023eqtr3ri 2482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 1  /  4 )  +  ( 1  / 
4 ) )  =  ( 1  /  2
)
20469, 48, 48, 203subaddrii 9964 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  /  2 )  -  ( 1  / 
4 ) )  =  ( 1  /  4
)
205195, 196, 2043eqtr4ri 2484 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  /  2 )  -  ( 1  / 
4 ) )  =  ( ( 3  / 
2 )  x.  (
1  /  6 ) )
206205negeqi 9868 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -u (
( 1  /  2
)  -  ( 1  /  4 ) )  =  -u ( ( 3  /  2 )  x.  ( 1  /  6
) )
207183, 206eqtr3i 2475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  /  4 )  -  ( 1  / 
2 ) )  = 
-u ( ( 3  /  2 )  x.  ( 1  /  6
) )
20848, 69subcli 9950 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  /  4 )  -  ( 1  / 
2 ) )  e.  CC
209179negcli 9942 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -u (
( 3  /  2
)  x.  ( 1  /  6 ) )  e.  CC
210208, 209subeq0i 9954 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( 1  / 
4 )  -  (
1  /  2 ) )  -  -u (
( 3  /  2
)  x.  ( 1  /  6 ) ) )  =  0  <->  (
( 1  /  4
)  -  ( 1  /  2 ) )  =  -u ( ( 3  /  2 )  x.  ( 1  /  6
) ) )
211207, 210mpbir 213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1  /  4
)  -  ( 1  /  2 ) )  -  -u ( ( 3  /  2 )  x.  ( 1  /  6
) ) )  =  0
212211oveq2i 6301 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( 3  / 
2 )  x.  X
)  -  X )  -  ( ( ( 1  /  4 )  -  ( 1  / 
2 ) )  -  -u ( ( 3  / 
2 )  x.  (
1  /  6 ) ) ) )  =  ( ( ( ( 3  /  2 )  x.  X )  -  X )  -  0 )
213208a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( 1  /  4
)  -  ( 1  /  2 ) )  e.  CC )
214209a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  CC  ->  -u (
( 3  /  2
)  x.  ( 1  /  6 ) )  e.  CC )
215178, 114, 213, 214subadd4d 10034 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( ( ( 3  /  2 )  x.  X )  -  X
)  -  ( ( ( 1  /  4
)  -  ( 1  /  2 ) )  -  -u ( ( 3  /  2 )  x.  ( 1  /  6
) ) ) )  =  ( ( ( ( 3  /  2
)  x.  X )  +  -u ( ( 3  /  2 )  x.  ( 1  /  6
) ) )  -  ( X  +  (
( 1  /  4
)  -  ( 1  /  2 ) ) ) ) )
216 subdir 10053 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 3  /  2
)  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  X  e.  CC )  ->  (
( ( 3  / 
2 )  -  1 )  x.  X )  =  ( ( ( 3  /  2 )  x.  X )  -  ( 1  x.  X
) ) )
217108, 60, 216mp3an12 1354 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( ( 3  / 
2 )  -  1 )  x.  X )  =  ( ( ( 3  /  2 )  x.  X )  -  ( 1  x.  X
) ) )
218 divsubdir 10303 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  (
2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  ->  ( ( 3  -  2 )  / 
2 )  =  ( ( 3  /  2
)  -  ( 2  /  2 ) ) )
21935, 85, 104, 218mp3an 1364 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 3  -  2 )  /  2 )  =  ( ( 3  / 
2 )  -  (
2  /  2 ) )
22095oveq1i 6300 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 3  -  2 )  /  2 )  =  ( 1  /  2
)
221 2div2e1 10732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 2  /  2 )  =  1
222221oveq2i 6301 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 3  /  2 )  -  ( 2  / 
2 ) )  =  ( ( 3  / 
2 )  -  1 )
223219, 220, 2223eqtr3ri 2482 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 3  /  2 )  -  1 )  =  ( 1  /  2
)
224223oveq1i 6300 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 3  /  2
)  -  1 )  x.  X )  =  ( ( 1  / 
2 )  x.  X
)
225224a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( ( 3  / 
2 )  -  1 )  x.  X )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  X ) )
226 mulid2 9641 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( X  e.  CC  ->  (
1  x.  X )  =  X )
227226oveq2d 6306 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( ( 3  / 
2 )  x.  X
)  -  ( 1  x.  X ) )  =  ( ( ( 3  /  2 )  x.  X )  -  X ) )
228217, 225, 2273eqtr3rd 2494 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( ( 3  / 
2 )  x.  X
)  -  X )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  X ) )
229228oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( ( ( 3  /  2 )  x.  X )  -  X
)  -  0 )  =  ( ( ( 1  /  2 )  x.  X )  - 
0 ) )
230 mulcl 9623 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  CC  /\  X  e.  CC )  ->  ( ( 1  / 
2 )  x.  X
)  e.  CC )
23169, 230mpan 676 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( 1  /  2
)  x.  X )  e.  CC )
232231subid1d 9975 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( ( 1  / 
2 )  x.  X
)  -  0 )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  X ) )
233229, 232eqtrd 2485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( ( ( 3  /  2 )  x.  X )  -  X
)  -  0 )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  X ) )
234212, 215, 2333eqtr3a 2509 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( ( ( 3  /  2 )  x.  X )  +  -u ( ( 3  / 
2 )  x.  (
1  /  6 ) ) )  -  ( X  +  ( (
1  /  4 )  -  ( 1  / 
2 ) ) ) )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  X ) )
235176, 182, 2343eqtr2d 2491 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( ( 3  / 
2 )  x.  ( X  -  ( 1  /  6 ) ) )  -  ( ( 1  /  4 )  +  ( X  -  ( 1  /  2
) ) ) )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  X ) )
236235negeqd 9869 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  CC  ->  -u (
( ( 3  / 
2 )  x.  ( X  -  ( 1  /  6 ) ) )  -  ( ( 1  /  4 )  +  ( X  -  ( 1  /  2
) ) ) )  =  -u ( ( 1  /  2 )  x.  X ) )
237171, 236eqtr3d 2487 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( ( 1  / 
4 )  +  ( X  -  ( 1  /  2 ) ) )  -  ( ( 3  /  2 )  x.  ( X  -  ( 1  /  6
) ) ) )  =  -u ( ( 1  /  2 )  x.  X ) )
238237oveq2d 6306 . . . . . 6  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( ( 3  / 
2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( ( ( 1  /  4 )  +  ( X  -  ( 1  /  2
) ) )  -  ( ( 3  / 
2 )  x.  ( X  -  ( 1  /  6 ) ) ) ) )  =  ( ( ( 3  /  2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  +  -u ( ( 1  / 
2 )  x.  X
) ) )
239133, 231negsubd 9992 . . . . . 6  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( ( 3  / 
2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  +  -u ( ( 1  /  2 )  x.  X ) )  =  ( ( ( 3  /  2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  -  (
( 1  /  2
)  x.  X ) ) )
240170, 238, 2393eqtrd 2489 . . . . 5  |-  ( X  e.  CC  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... 1 ) ( ( 3  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( 3  -  k
)  +  1 ) ) )  +  ( ( ( 3  / 
2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( 3  /  2 )  x.  ( X  -  (
1  /  6 ) ) ) ) )  =  ( ( ( 3  /  2 )  x.  ( X ^
2 ) )  -  ( ( 1  / 
2 )  x.  X
) ) )
241143, 144, 2403eqtrd 2489 . . . 4  |-  ( X  e.  CC  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... (
1  +  1 ) ) ( ( 3  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( 3  /  2
)  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( 1  /  2 )  x.  X ) ) )
2428, 241syl5eq 2497 . . 3  |-  ( X  e.  CC  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... (
3  -  1 ) ) ( ( 3  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( 3  /  2
)  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( 1  /  2 )  x.  X ) ) )
243242oveq2d 6306 . 2  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( X ^ 3 )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... (
3  -  1 ) ) ( ( 3  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( X ^ 3 )  -  ( ( ( 3  /  2
)  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( 1  /  2 )  x.  X ) ) ) )
244 expcl 12290 . . . 4  |-  ( ( X  e.  CC  /\  3  e.  NN0 )  -> 
( X ^ 3 )  e.  CC )
2451, 244mpan2 677 . . 3  |-  ( X  e.  CC  ->  ( X ^ 3 )  e.  CC )
246245, 133, 231subsubd 10014 . 2  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( X ^ 3 )  -  ( ( ( 3  /  2
)  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( 1  /  2 )  x.  X ) ) )  =  ( ( ( X ^ 3 )  -  ( ( 3  /  2 )  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( 1  / 
2 )  x.  X
) ) )
2473, 243, 2463eqtrd 2489 1  |-  ( X  e.  CC  ->  (
3 BernPoly  X )  =  ( ( ( X ^
3 )  -  (
( 3  /  2
)  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( 1  /  2 )  x.  X ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 370    /\ wa 371    \/ w3o 984    = wceq 1444    e. wcel 1887    =/= wne 2622    u. cun 3402   {csn 3968   {cpr 3970   {ctp 3972   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   CCcc 9537   0cc0 9539   1c1 9540    + caddc 9542    x. cmul 9544    - cmin 9860   -ucneg 9861    / cdiv 10269   2c2 10659   3c3 10660   4c4 10661   6c6 10663   NN0cn0 10869   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159   ...cfz 11784   ^cexp 12272    _C cbc 12487   sum_csu 13752   BernPoly cbp 14099
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-sup 7956  df-oi 8025  df-card 8373  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12214  df-exp 12273  df-fac 12460  df-bc 12488  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13552  df-sum 13753  df-bpoly 14100
This theorem is referenced by:  bpoly4  14112
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