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Theorem bpoly3 29413
Description: The Bernoulli polynomials at three. (Contributed by Scott Fenton, 8-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
bpoly3  |-  ( X  e.  CC  ->  (
3 BernPoly  X )  =  ( ( ( X ^
3 )  -  (
( 3  /  2
)  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( 1  /  2 )  x.  X ) ) )

Proof of Theorem bpoly3
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3nn0 10812 . . 3  |-  3  e.  NN0
2 bpolyval 29404 . . 3  |-  ( ( 3  e.  NN0  /\  X  e.  CC )  ->  ( 3 BernPoly  X )  =  ( ( X ^ 3 )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( 3  -  1 ) ) ( ( 3  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( 3  -  k
)  +  1 ) ) ) ) )
31, 2mpan 670 . 2  |-  ( X  e.  CC  ->  (
3 BernPoly  X )  =  ( ( X ^ 3 )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... (
3  -  1 ) ) ( ( 3  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) ) ) )
4 3m1e2 10651 . . . . . . 7  |-  ( 3  -  1 )  =  2
5 df-2 10593 . . . . . . 7  |-  2  =  ( 1  +  1 )
64, 5eqtri 2496 . . . . . 6  |-  ( 3  -  1 )  =  ( 1  +  1 )
76oveq2i 6294 . . . . 5  |-  ( 0 ... ( 3  -  1 ) )  =  ( 0 ... (
1  +  1 ) )
87sumeq1i 13482 . . . 4  |-  sum_ k  e.  ( 0 ... (
3  -  1 ) ) ( ( 3  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... (
1  +  1 ) ) ( ( 3  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) )
9 1nn0 10810 . . . . . . . 8  |-  1  e.  NN0
10 nn0uz 11115 . . . . . . . 8  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
119, 10eleqtri 2553 . . . . . . 7  |-  1  e.  ( ZZ>= `  0 )
1211a1i 11 . . . . . 6  |-  ( X  e.  CC  ->  1  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
13 0z 10874 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  ZZ
14 fzpr 11734 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
0 ... ( 0  +  1 ) )  =  { 0 ,  ( 0  +  1 ) } )
1513, 14ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 ... ( 0  +  1 ) )  =  { 0 ,  ( 0  +  1 ) }
16 0p1e1 10646 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  +  1 )  =  1
1716oveq2i 6294 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 ... ( 0  +  1 ) )  =  ( 0 ... 1
)
1816preq2i 4110 . . . . . . . . . . . 12  |-  { 0 ,  ( 0  +  1 ) }  =  { 0 ,  1 }
1915, 17, 183eqtr3ri 2505 . . . . . . . . . . 11  |-  { 0 ,  1 }  =  ( 0 ... 1
)
205sneqi 4038 . . . . . . . . . . 11  |-  { 2 }  =  { ( 1  +  1 ) }
2119, 20uneq12i 3656 . . . . . . . . . 10  |-  ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 } )  =  ( ( 0 ... 1 )  u.  { ( 1  +  1 ) } )
22 df-tp 4032 . . . . . . . . . 10  |-  { 0 ,  1 ,  2 }  =  ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 } )
23 fzsuc 11726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( 0 ... ( 1  +  1 ) )  =  ( ( 0 ... 1 )  u.  {
( 1  +  1 ) } ) )
2411, 23ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 ... ( 1  +  1 ) )  =  ( ( 0 ... 1 )  u.  {
( 1  +  1 ) } )
2521, 22, 243eqtr4ri 2507 . . . . . . . . 9  |-  ( 0 ... ( 1  +  1 ) )  =  { 0 ,  1 ,  2 }
2625eleq2i 2545 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( 1  +  1 ) )  <->  k  e.  { 0 ,  1 ,  2 } )
27 vex 3116 . . . . . . . . 9  |-  k  e. 
_V
2827eltp 4072 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  { 0 ,  1 ,  2 }  <-> 
( k  =  0  \/  k  =  1  \/  k  =  2 ) )
2926, 28bitri 249 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( 1  +  1 ) )  <->  ( k  =  0  \/  k  =  1  \/  k  =  2 ) )
30 oveq2 6291 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  0  ->  (
3  _C  k )  =  ( 3  _C  0 ) )
31 bcn0 12355 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 3  e.  NN0  ->  ( 3  _C  0 )  =  1 )
321, 31ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 3  _C  0 )  =  1
3330, 32syl6eq 2524 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  0  ->  (
3  _C  k )  =  1 )
34 oveq1 6290 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  0  ->  (
k BernPoly  X )  =  ( 0 BernPoly  X ) )
35 oveq2 6291 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  0  ->  (
3  -  k )  =  ( 3  -  0 ) )
3635oveq1d 6298 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  0  ->  (
( 3  -  k
)  +  1 )  =  ( ( 3  -  0 )  +  1 ) )
37 3cn 10609 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  3  e.  CC
3837subid1i 9890 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 3  -  0 )  =  3
3938oveq1i 6293 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 3  -  0 )  +  1 )  =  ( 3  +  1 )
40 df-4 10595 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  4  =  ( 3  +  1 )
4139, 40eqtr4i 2499 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 3  -  0 )  +  1 )  =  4
4236, 41syl6eq 2524 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  0  ->  (
( 3  -  k
)  +  1 )  =  4 )
4334, 42oveq12d 6301 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  0  ->  (
( k BernPoly  X )  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) )  =  ( ( 0 BernPoly  X
)  /  4 ) )
4433, 43oveq12d 6301 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  0  ->  (
( 3  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( 3  -  k
)  +  1 ) ) )  =  ( 1  x.  ( ( 0 BernPoly  X )  /  4
) ) )
45 bpoly0 29405 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  e.  CC  ->  (
0 BernPoly  X )  =  1 )
4645oveq1d 6298 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( 0 BernPoly  X )  /  4 )  =  ( 1  /  4
) )
4746oveq2d 6299 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  CC  ->  (
1  x.  ( ( 0 BernPoly  X )  /  4
) )  =  ( 1  x.  ( 1  /  4 ) ) )
48 4cn 10612 . . . . . . . . . . . . 13  |-  4  e.  CC
49 4ne0 10631 . . . . . . . . . . . . 13  |-  4  =/=  0
5048, 49reccli 10273 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  /  4 )  e.  CC
5150mulid2i 9598 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  x.  ( 1  / 
4 ) )  =  ( 1  /  4
)
5247, 51syl6eq 2524 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  CC  ->  (
1  x.  ( ( 0 BernPoly  X )  /  4
) )  =  ( 1  /  4 ) )
5344, 52sylan9eqr 2530 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  CC  /\  k  =  0 )  ->  ( ( 3  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) )  =  ( 1  /  4 ) )
5453, 50syl6eqel 2563 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  CC  /\  k  =  0 )  ->  ( ( 3  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) )  e.  CC )
55 oveq2 6291 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  1  ->  (
3  _C  k )  =  ( 3  _C  1 ) )
56 bcn1 12358 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 3  e.  NN0  ->  ( 3  _C  1 )  =  3 )
571, 56ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 3  _C  1 )  =  3
5855, 57syl6eq 2524 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  1  ->  (
3  _C  k )  =  3 )
59 oveq1 6290 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  1  ->  (
k BernPoly  X )  =  ( 1 BernPoly  X ) )
60 oveq2 6291 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  1  ->  (
3  -  k )  =  ( 3  -  1 ) )
6160oveq1d 6298 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  1  ->  (
( 3  -  k
)  +  1 )  =  ( ( 3  -  1 )  +  1 ) )
62 ax-1cn 9549 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  CC
63 npcan 9828 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( 3  -  1 )  +  1 )  =  3 )
6437, 62, 63mp2an 672 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 3  -  1 )  +  1 )  =  3
6561, 64syl6eq 2524 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  1  ->  (
( 3  -  k
)  +  1 )  =  3 )
6659, 65oveq12d 6301 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  1  ->  (
( k BernPoly  X )  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) )  =  ( ( 1 BernPoly  X
)  /  3 ) )
6758, 66oveq12d 6301 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  1  ->  (
( 3  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( 3  -  k
)  +  1 ) ) )  =  ( 3  x.  ( ( 1 BernPoly  X )  /  3
) ) )
68 bpoly1 29406 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  e.  CC  ->  (
1 BernPoly  X )  =  ( X  -  ( 1  /  2 ) ) )
6968oveq1d 6298 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( 1 BernPoly  X )  /  3 )  =  ( ( X  -  ( 1  /  2
) )  /  3
) )
7069oveq2d 6299 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  CC  ->  (
3  x.  ( ( 1 BernPoly  X )  /  3
) )  =  ( 3  x.  ( ( X  -  ( 1  /  2 ) )  /  3 ) ) )
71 halfcn 10754 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  /  2 )  e.  CC
72 subcl 9818 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( X  e.  CC  /\  ( 1  /  2
)  e.  CC )  ->  ( X  -  ( 1  /  2
) )  e.  CC )
7371, 72mpan2 671 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  CC  ->  ( X  -  ( 1  /  2 ) )  e.  CC )
74 3ne0 10629 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  =/=  0
75 divcan2 10214 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X  -  (
1  /  2 ) )  e.  CC  /\  3  e.  CC  /\  3  =/=  0 )  ->  (
3  x.  ( ( X  -  ( 1  /  2 ) )  /  3 ) )  =  ( X  -  ( 1  /  2
) ) )
7637, 74, 75mp3an23 1316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  -  ( 1  /  2 ) )  e.  CC  ->  (
3  x.  ( ( X  -  ( 1  /  2 ) )  /  3 ) )  =  ( X  -  ( 1  /  2
) ) )
7773, 76syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  CC  ->  (
3  x.  ( ( X  -  ( 1  /  2 ) )  /  3 ) )  =  ( X  -  ( 1  /  2
) ) )
7870, 77eqtrd 2508 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  CC  ->  (
3  x.  ( ( 1 BernPoly  X )  /  3
) )  =  ( X  -  ( 1  /  2 ) ) )
7967, 78sylan9eqr 2530 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  CC  /\  k  =  1 )  ->  ( ( 3  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) )  =  ( X  -  ( 1  / 
2 ) ) )
8073adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  CC  /\  k  =  1 )  ->  ( X  -  ( 1  /  2
) )  e.  CC )
8179, 80eqeltrd 2555 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  CC  /\  k  =  1 )  ->  ( ( 3  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) )  e.  CC )
82 oveq2 6291 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  2  ->  (
3  _C  k )  =  ( 3  _C  2 ) )
83 bcn2 12364 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 3  e.  NN0  ->  ( 3  _C  2 )  =  ( ( 3  x.  ( 3  -  1 ) )  /  2
) )
841, 83ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 3  _C  2 )  =  ( ( 3  x.  ( 3  -  1 ) )  /  2
)
854oveq2i 6294 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 3  x.  ( 3  -  1 ) )  =  ( 3  x.  2 )
8685oveq1i 6293 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 3  x.  ( 3  -  1 ) )  /  2 )  =  ( ( 3  x.  2 )  /  2
)
87 2cn 10605 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  CC
88 2ne0 10627 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  =/=  0
8937, 87, 88divcan4i 10290 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 3  x.  2 )  /  2 )  =  3
9086, 89eqtri 2496 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 3  x.  ( 3  -  1 ) )  /  2 )  =  3
9184, 90eqtri 2496 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 3  _C  2 )  =  3
9282, 91syl6eq 2524 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  2  ->  (
3  _C  k )  =  3 )
93 oveq1 6290 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  2  ->  (
k BernPoly  X )  =  ( 2 BernPoly  X ) )
94 oveq2 6291 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  2  ->  (
3  -  k )  =  ( 3  -  2 ) )
9594oveq1d 6298 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  2  ->  (
( 3  -  k
)  +  1 )  =  ( ( 3  -  2 )  +  1 ) )
96 2p1e3 10658 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  +  1 )  =  3
9737, 87, 62, 96subaddrii 9907 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 3  -  2 )  =  1
9897oveq1i 6293 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 3  -  2 )  +  1 )  =  ( 1  +  1 )
9998, 5eqtr4i 2499 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 3  -  2 )  +  1 )  =  2
10095, 99syl6eq 2524 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  2  ->  (
( 3  -  k
)  +  1 )  =  2 )
10193, 100oveq12d 6301 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  2  ->  (
( k BernPoly  X )  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) )  =  ( ( 2 BernPoly  X
)  /  2 ) )
10292, 101oveq12d 6301 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  2  ->  (
( 3  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( 3  -  k
)  +  1 ) ) )  =  ( 3  x.  ( ( 2 BernPoly  X )  /  2
) ) )
103 2nn0 10811 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  NN0
104 bpolycl 29407 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  NN0  /\  X  e.  CC )  ->  ( 2 BernPoly  X )  e.  CC )
105103, 104mpan 670 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  CC  ->  (
2 BernPoly  X )  e.  CC )
106 2cnne0 10749 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
107 div12 10228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  ( 2 BernPoly  X )  e.  CC  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  -> 
( 3  x.  (
( 2 BernPoly  X )  /  2 ) )  =  ( ( 2 BernPoly  X )  x.  (
3  /  2 ) ) )
10837, 106, 107mp3an13 1315 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2 BernPoly  X )  e.  CC  ->  ( 3  x.  (
( 2 BernPoly  X )  /  2 ) )  =  ( ( 2 BernPoly  X )  x.  (
3  /  2 ) ) )
109105, 108syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  CC  ->  (
3  x.  ( ( 2 BernPoly  X )  /  2
) )  =  ( ( 2 BernPoly  X )  x.  ( 3  / 
2 ) ) )
11037, 87, 88divcli 10285 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 3  /  2 )  e.  CC
111 mulcom 9577 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2 BernPoly  X )  e.  CC  /\  (
3  /  2 )  e.  CC )  -> 
( ( 2 BernPoly  X
)  x.  ( 3  /  2 ) )  =  ( ( 3  /  2 )  x.  ( 2 BernPoly  X ) ) )
112105, 110, 111sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( 2 BernPoly  X )  x.  ( 3  /  2
) )  =  ( ( 3  /  2
)  x.  ( 2 BernPoly  X ) ) )
113 bpoly2 29412 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  e.  CC  ->  (
2 BernPoly  X )  =  ( ( ( X ^
2 )  -  X
)  +  ( 1  /  6 ) ) )
114113oveq2d 6299 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( 3  /  2
)  x.  ( 2 BernPoly  X ) )  =  ( ( 3  / 
2 )  x.  (
( ( X ^
2 )  -  X
)  +  ( 1  /  6 ) ) ) )
115 sqcl 12197 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X  e.  CC  ->  ( X ^ 2 )  e.  CC )
116 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X  e.  CC  ->  X  e.  CC )
117 6cn 10616 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  6  e.  CC
118 6re 10615 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  6  e.  RR
119 6pos 10633 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  <  6
120118, 119gt0ne0ii 10088 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  6  =/=  0
121117, 120reccli 10273 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  /  6 )  e.  CC
122 subsub 9848 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( X ^ 2 )  e.  CC  /\  X  e.  CC  /\  (
1  /  6 )  e.  CC )  -> 
( ( X ^
2 )  -  ( X  -  ( 1  /  6 ) ) )  =  ( ( ( X ^ 2 )  -  X )  +  ( 1  / 
6 ) ) )
123121, 122mp3an3 1313 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( X ^ 2 )  e.  CC  /\  X  e.  CC )  ->  ( ( X ^
2 )  -  ( X  -  ( 1  /  6 ) ) )  =  ( ( ( X ^ 2 )  -  X )  +  ( 1  / 
6 ) ) )
124115, 116, 123syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( X ^ 2 )  -  ( X  -  ( 1  / 
6 ) ) )  =  ( ( ( X ^ 2 )  -  X )  +  ( 1  /  6
) ) )
125124oveq2d 6299 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( 3  /  2
)  x.  ( ( X ^ 2 )  -  ( X  -  ( 1  /  6
) ) ) )  =  ( ( 3  /  2 )  x.  ( ( ( X ^ 2 )  -  X )  +  ( 1  /  6 ) ) ) )
126 subcl 9818 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X  e.  CC  /\  ( 1  /  6
)  e.  CC )  ->  ( X  -  ( 1  /  6
) )  e.  CC )
127121, 126mpan2 671 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  e.  CC  ->  ( X  -  ( 1  /  6 ) )  e.  CC )
128 subdi 9989 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 3  /  2
)  e.  CC  /\  ( X ^ 2 )  e.  CC  /\  ( X  -  ( 1  /  6 ) )  e.  CC )  -> 
( ( 3  / 
2 )  x.  (
( X ^ 2 )  -  ( X  -  ( 1  / 
6 ) ) ) )  =  ( ( ( 3  /  2
)  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( 3  /  2 )  x.  ( X  -  (
1  /  6 ) ) ) ) )
129110, 128mp3an1 1311 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X ^ 2 )  e.  CC  /\  ( X  -  (
1  /  6 ) )  e.  CC )  ->  ( ( 3  /  2 )  x.  ( ( X ^
2 )  -  ( X  -  ( 1  /  6 ) ) ) )  =  ( ( ( 3  / 
2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( 3  /  2 )  x.  ( X  -  (
1  /  6 ) ) ) ) )
130115, 127, 129syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( 3  /  2
)  x.  ( ( X ^ 2 )  -  ( X  -  ( 1  /  6
) ) ) )  =  ( ( ( 3  /  2 )  x.  ( X ^
2 ) )  -  ( ( 3  / 
2 )  x.  ( X  -  ( 1  /  6 ) ) ) ) )
131114, 125, 1303eqtr2d 2514 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( 3  /  2
)  x.  ( 2 BernPoly  X ) )  =  ( ( ( 3  /  2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  -  (
( 3  /  2
)  x.  ( X  -  ( 1  / 
6 ) ) ) ) )
132109, 112, 1313eqtrd 2512 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  CC  ->  (
3  x.  ( ( 2 BernPoly  X )  /  2
) )  =  ( ( ( 3  / 
2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( 3  /  2 )  x.  ( X  -  (
1  /  6 ) ) ) ) )
133102, 132sylan9eqr 2530 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  CC  /\  k  =  2 )  ->  ( ( 3  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( 3  /  2
)  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( 3  /  2 )  x.  ( X  -  (
1  /  6 ) ) ) ) )
134 mulcl 9575 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 3  /  2
)  e.  CC  /\  ( X ^ 2 )  e.  CC )  -> 
( ( 3  / 
2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  e.  CC )
135110, 115, 134sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( 3  /  2
)  x.  ( X ^ 2 ) )  e.  CC )
136 mulcl 9575 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 3  /  2
)  e.  CC  /\  ( X  -  (
1  /  6 ) )  e.  CC )  ->  ( ( 3  /  2 )  x.  ( X  -  (
1  /  6 ) ) )  e.  CC )
137110, 127, 136sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( 3  /  2
)  x.  ( X  -  ( 1  / 
6 ) ) )  e.  CC )
138135, 137subcld 9929 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( ( 3  / 
2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( 3  /  2 )  x.  ( X  -  (
1  /  6 ) ) ) )  e.  CC )
139138adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  CC  /\  k  =  2 )  ->  ( ( ( 3  /  2 )  x.  ( X ^
2 ) )  -  ( ( 3  / 
2 )  x.  ( X  -  ( 1  /  6 ) ) ) )  e.  CC )
140133, 139eqeltrd 2555 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  CC  /\  k  =  2 )  ->  ( ( 3  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) )  e.  CC )
14154, 81, 1403jaodan 1294 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  CC  /\  ( k  =  0  \/  k  =  1  \/  k  =  2 ) )  ->  (
( 3  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( 3  -  k
)  +  1 ) ) )  e.  CC )
14229, 141sylan2b 475 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  CC  /\  k  e.  ( 0 ... ( 1  +  1 ) ) )  ->  ( ( 3  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) )  e.  CC )
1435eqeq2i 2485 . . . . . . 7  |-  ( k  =  2  <->  k  =  ( 1  +  1 ) )
144143, 102sylbir 213 . . . . . 6  |-  ( k  =  ( 1  +  1 )  ->  (
( 3  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( 3  -  k
)  +  1 ) ) )  =  ( 3  x.  ( ( 2 BernPoly  X )  /  2
) ) )
14512, 142, 144fsump1 13533 . . . . 5  |-  ( X  e.  CC  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... (
1  +  1 ) ) ( ( 3  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... 1 ) ( ( 3  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( 3  -  k
)  +  1 ) ) )  +  ( 3  x.  ( ( 2 BernPoly  X )  /  2
) ) ) )
146132oveq2d 6299 . . . . 5  |-  ( X  e.  CC  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... 1 ) ( ( 3  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( 3  -  k
)  +  1 ) ) )  +  ( 3  x.  ( ( 2 BernPoly  X )  /  2
) ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... 1 ) ( ( 3  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  X )  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) )  +  ( ( ( 3  /  2 )  x.  ( X ^
2 ) )  -  ( ( 3  / 
2 )  x.  ( X  -  ( 1  /  6 ) ) ) ) ) )
14717sumeq1i 13482 . . . . . . . . 9  |-  sum_ k  e.  ( 0 ... (
0  +  1 ) ) ( ( 3  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... 1
) ( ( 3  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) )
148 0nn0 10809 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  NN0
149148, 10eleqtri 2553 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  ( ZZ>= `  0 )
150149a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  CC  ->  0  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
15115, 18eqtri 2496 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0 ... ( 0  +  1 ) )  =  { 0 ,  1 }
152151eleq2i 2545 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( 0  +  1 ) )  <->  k  e.  { 0 ,  1 } )
15327elpr 4045 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  { 0 ,  1 }  <->  ( k  =  0  \/  k  =  1 ) )
154152, 153bitri 249 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( 0  +  1 ) )  <->  ( k  =  0  \/  k  =  1 ) )
15554, 81jaodan 783 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  e.  CC  /\  ( k  =  0  \/  k  =  1 ) )  ->  (
( 3  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( 3  -  k
)  +  1 ) ) )  e.  CC )
156154, 155sylan2b 475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  CC  /\  k  e.  ( 0 ... ( 0  +  1 ) ) )  ->  ( ( 3  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) )  e.  CC )
15716eqeq2i 2485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( 0  +  1 )  <->  k  = 
1 )
158157, 67sylbi 195 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( 0  +  1 )  ->  (
( 3  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( 3  -  k
)  +  1 ) ) )  =  ( 3  x.  ( ( 1 BernPoly  X )  /  3
) ) )
159150, 156, 158fsump1 13533 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  CC  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... (
0  +  1 ) ) ( ( 3  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... 0 ) ( ( 3  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( 3  -  k
)  +  1 ) ) )  +  ( 3  x.  ( ( 1 BernPoly  X )  /  3
) ) ) )
16052, 50syl6eqel 2563 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  e.  CC  ->  (
1  x.  ( ( 0 BernPoly  X )  /  4
) )  e.  CC )
16144fsum1 13526 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  ( 1  x.  (
( 0 BernPoly  X )  /  4 ) )  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... 0 ) ( ( 3  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( 3  -  k
)  +  1 ) ) )  =  ( 1  x.  ( ( 0 BernPoly  X )  /  4
) ) )
16213, 160, 161sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  CC  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... 0
) ( ( 3  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) )  =  ( 1  x.  ( ( 0 BernPoly  X )  /  4
) ) )
163162, 52eqtrd 2508 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  CC  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... 0
) ( ( 3  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) )  =  ( 1  /  4 ) )
164163, 78oveq12d 6301 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  CC  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... 0 ) ( ( 3  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( 3  -  k
)  +  1 ) ) )  +  ( 3  x.  ( ( 1 BernPoly  X )  /  3
) ) )  =  ( ( 1  / 
4 )  +  ( X  -  ( 1  /  2 ) ) ) )
165159, 164eqtrd 2508 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  CC  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... (
0  +  1 ) ) ( ( 3  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( 1  /  4 )  +  ( X  -  ( 1  /  2
) ) ) )
166147, 165syl5eqr 2522 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  CC  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... 1
) ( ( 3  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( 1  /  4 )  +  ( X  -  ( 1  /  2
) ) ) )
167166oveq1d 6298 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  CC  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... 1 ) ( ( 3  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( 3  -  k
)  +  1 ) ) )  +  ( ( ( 3  / 
2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( 3  /  2 )  x.  ( X  -  (
1  /  6 ) ) ) ) )  =  ( ( ( 1  /  4 )  +  ( X  -  ( 1  /  2
) ) )  +  ( ( ( 3  /  2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  -  (
( 3  /  2
)  x.  ( X  -  ( 1  / 
6 ) ) ) ) ) )
168 addcl 9573 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  /  4
)  e.  CC  /\  ( X  -  (
1  /  2 ) )  e.  CC )  ->  ( ( 1  /  4 )  +  ( X  -  (
1  /  2 ) ) )  e.  CC )
16950, 73, 168sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( 1  /  4
)  +  ( X  -  ( 1  / 
2 ) ) )  e.  CC )
170169, 135, 137addsub12d 9952 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( ( 1  / 
4 )  +  ( X  -  ( 1  /  2 ) ) )  +  ( ( ( 3  /  2
)  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( 3  /  2 )  x.  ( X  -  (
1  /  6 ) ) ) ) )  =  ( ( ( 3  /  2 )  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( ( ( 1  /  4 )  +  ( X  -  (
1  /  2 ) ) )  -  (
( 3  /  2
)  x.  ( X  -  ( 1  / 
6 ) ) ) ) ) )
171167, 170eqtrd 2508 . . . . . 6  |-  ( X  e.  CC  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... 1 ) ( ( 3  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( 3  -  k
)  +  1 ) ) )  +  ( ( ( 3  / 
2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( 3  /  2 )  x.  ( X  -  (
1  /  6 ) ) ) ) )  =  ( ( ( 3  /  2 )  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( ( ( 1  /  4 )  +  ( X  -  (
1  /  2 ) ) )  -  (
( 3  /  2
)  x.  ( X  -  ( 1  / 
6 ) ) ) ) ) )
172137, 169negsubdi2d 9945 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  CC  ->  -u (
( ( 3  / 
2 )  x.  ( X  -  ( 1  /  6 ) ) )  -  ( ( 1  /  4 )  +  ( X  -  ( 1  /  2
) ) ) )  =  ( ( ( 1  /  4 )  +  ( X  -  ( 1  /  2
) ) )  -  ( ( 3  / 
2 )  x.  ( X  -  ( 1  /  6 ) ) ) ) )
173 subdi 9989 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 3  /  2
)  e.  CC  /\  X  e.  CC  /\  (
1  /  6 )  e.  CC )  -> 
( ( 3  / 
2 )  x.  ( X  -  ( 1  /  6 ) ) )  =  ( ( ( 3  /  2
)  x.  X )  -  ( ( 3  /  2 )  x.  ( 1  /  6
) ) ) )
174110, 121, 173mp3an13 1315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( 3  /  2
)  x.  ( X  -  ( 1  / 
6 ) ) )  =  ( ( ( 3  /  2 )  x.  X )  -  ( ( 3  / 
2 )  x.  (
1  /  6 ) ) ) )
175 addsub12 9832 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1  /  4
)  e.  CC  /\  X  e.  CC  /\  (
1  /  2 )  e.  CC )  -> 
( ( 1  / 
4 )  +  ( X  -  ( 1  /  2 ) ) )  =  ( X  +  ( ( 1  /  4 )  -  ( 1  /  2
) ) ) )
17650, 71, 175mp3an13 1315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( 1  /  4
)  +  ( X  -  ( 1  / 
2 ) ) )  =  ( X  +  ( ( 1  / 
4 )  -  (
1  /  2 ) ) ) )
177174, 176oveq12d 6301 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( ( 3  / 
2 )  x.  ( X  -  ( 1  /  6 ) ) )  -  ( ( 1  /  4 )  +  ( X  -  ( 1  /  2
) ) ) )  =  ( ( ( ( 3  /  2
)  x.  X )  -  ( ( 3  /  2 )  x.  ( 1  /  6
) ) )  -  ( X  +  (
( 1  /  4
)  -  ( 1  /  2 ) ) ) ) )
178 mulcl 9575 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 3  /  2
)  e.  CC  /\  X  e.  CC )  ->  ( ( 3  / 
2 )  x.  X
)  e.  CC )
179110, 178mpan 670 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( 3  /  2
)  x.  X )  e.  CC )
180110, 121mulcli 9600 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 3  /  2 )  x.  ( 1  / 
6 ) )  e.  CC
181 negsub 9866 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( 3  / 
2 )  x.  X
)  e.  CC  /\  ( ( 3  / 
2 )  x.  (
1  /  6 ) )  e.  CC )  ->  ( ( ( 3  /  2 )  x.  X )  + 
-u ( ( 3  /  2 )  x.  ( 1  /  6
) ) )  =  ( ( ( 3  /  2 )  x.  X )  -  (
( 3  /  2
)  x.  ( 1  /  6 ) ) ) )
182179, 180, 181sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( ( 3  / 
2 )  x.  X
)  +  -u (
( 3  /  2
)  x.  ( 1  /  6 ) ) )  =  ( ( ( 3  /  2
)  x.  X )  -  ( ( 3  /  2 )  x.  ( 1  /  6
) ) ) )
183182oveq1d 6298 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( ( ( 3  /  2 )  x.  X )  +  -u ( ( 3  / 
2 )  x.  (
1  /  6 ) ) )  -  ( X  +  ( (
1  /  4 )  -  ( 1  / 
2 ) ) ) )  =  ( ( ( ( 3  / 
2 )  x.  X
)  -  ( ( 3  /  2 )  x.  ( 1  / 
6 ) ) )  -  ( X  +  ( ( 1  / 
4 )  -  (
1  /  2 ) ) ) ) )
18471, 50negsubdi2i 9904 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -u (
( 1  /  2
)  -  ( 1  /  4 ) )  =  ( ( 1  /  4 )  -  ( 1  /  2
) )
18587, 37, 87mul12i 9773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 2  x.  ( 3  x.  2 ) )  =  ( 3  x.  (
2  x.  2 ) )
186 3t2e6 10686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 3  x.  2 )  =  6
187186oveq2i 6294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 2  x.  ( 3  x.  2 ) )  =  ( 2  x.  6 )
188 2t2e4 10684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
189188oveq2i 6294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 3  x.  ( 2  x.  2 ) )  =  ( 3  x.  4 )
190185, 187, 1893eqtr3i 2504 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 2  x.  6 )  =  ( 3  x.  4 )
191190oveq2i 6294 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 3  x.  1 )  /  ( 2  x.  6 ) )  =  ( ( 3  x.  1 )  /  (
3  x.  4 ) )
19248, 49pm3.2i 455 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 4  e.  CC  /\  4  =/=  0 )
19337, 74pm3.2i 455 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 3  e.  CC  /\  3  =/=  0 )
194 divcan5 10245 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( 4  e.  CC  /\  4  =/=  0 )  /\  ( 3  e.  CC  /\  3  =/=  0 ) )  -> 
( ( 3  x.  1 )  /  (
3  x.  4 ) )  =  ( 1  /  4 ) )
19562, 192, 193, 194mp3an 1324 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 3  x.  1 )  /  ( 3  x.  4 ) )  =  ( 1  /  4
)
196191, 195eqtri 2496 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 3  x.  1 )  /  ( 2  x.  6 ) )  =  ( 1  /  4
)
19737, 87, 62, 117, 88, 120divmuldivi 10303 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 3  /  2 )  x.  ( 1  / 
6 ) )  =  ( ( 3  x.  1 )  /  (
2  x.  6 ) )
19887mulid1i 9597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
199198, 5eqtri 2496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 2  x.  1 )  =  ( 1  +  1 )
200199, 188oveq12i 6295 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 2  x.  1 )  /  ( 2  x.  2 ) )  =  ( ( 1  +  1 )  /  4
)
201 divcan5 10245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  -> 
( ( 2  x.  1 )  /  (
2  x.  2 ) )  =  ( 1  /  2 ) )
20262, 106, 106, 201mp3an 1324 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 2  x.  1 )  /  ( 2  x.  2 ) )  =  ( 1  /  2
)
20362, 62, 48, 49divdiri 10300 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 1  +  1 )  /  4 )  =  ( ( 1  / 
4 )  +  ( 1  /  4 ) )
204200, 202, 2033eqtr3ri 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 1  /  4 )  +  ( 1  / 
4 ) )  =  ( 1  /  2
)
20571, 50, 50, 204subaddrii 9907 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  /  2 )  -  ( 1  / 
4 ) )  =  ( 1  /  4
)
206196, 197, 2053eqtr4ri 2507 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  /  2 )  -  ( 1  / 
4 ) )  =  ( ( 3  / 
2 )  x.  (
1  /  6 ) )
207206negeqi 9812 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -u (
( 1  /  2
)  -  ( 1  /  4 ) )  =  -u ( ( 3  /  2 )  x.  ( 1  /  6
) )
208184, 207eqtr3i 2498 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  /  4 )  -  ( 1  / 
2 ) )  = 
-u ( ( 3  /  2 )  x.  ( 1  /  6
) )
20950, 71subcli 9894 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  /  4 )  -  ( 1  / 
2 ) )  e.  CC
210180negcli 9886 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -u (
( 3  /  2
)  x.  ( 1  /  6 ) )  e.  CC
211209, 210subeq0i 9898 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( 1  / 
4 )  -  (
1  /  2 ) )  -  -u (
( 3  /  2
)  x.  ( 1  /  6 ) ) )  =  0  <->  (
( 1  /  4
)  -  ( 1  /  2 ) )  =  -u ( ( 3  /  2 )  x.  ( 1  /  6
) ) )
212208, 211mpbir 209 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1  /  4
)  -  ( 1  /  2 ) )  -  -u ( ( 3  /  2 )  x.  ( 1  /  6
) ) )  =  0
213212oveq2i 6294 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( 3  / 
2 )  x.  X
)  -  X )  -  ( ( ( 1  /  4 )  -  ( 1  / 
2 ) )  -  -u ( ( 3  / 
2 )  x.  (
1  /  6 ) ) ) )  =  ( ( ( ( 3  /  2 )  x.  X )  -  X )  -  0 )
214209a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( 1  /  4
)  -  ( 1  /  2 ) )  e.  CC )
215210a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  CC  ->  -u (
( 3  /  2
)  x.  ( 1  /  6 ) )  e.  CC )
216179, 116, 214, 215subadd4d 9977 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( ( ( 3  /  2 )  x.  X )  -  X
)  -  ( ( ( 1  /  4
)  -  ( 1  /  2 ) )  -  -u ( ( 3  /  2 )  x.  ( 1  /  6
) ) ) )  =  ( ( ( ( 3  /  2
)  x.  X )  +  -u ( ( 3  /  2 )  x.  ( 1  /  6
) ) )  -  ( X  +  (
( 1  /  4
)  -  ( 1  /  2 ) ) ) ) )
217 subdir 9990 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 3  /  2
)  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  X  e.  CC )  ->  (
( ( 3  / 
2 )  -  1 )  x.  X )  =  ( ( ( 3  /  2 )  x.  X )  -  ( 1  x.  X
) ) )
218110, 62, 217mp3an12 1314 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( ( 3  / 
2 )  -  1 )  x.  X )  =  ( ( ( 3  /  2 )  x.  X )  -  ( 1  x.  X
) ) )
219 divsubdir 10239 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  (
2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  ->  ( ( 3  -  2 )  / 
2 )  =  ( ( 3  /  2
)  -  ( 2  /  2 ) ) )
22037, 87, 106, 219mp3an 1324 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 3  -  2 )  /  2 )  =  ( ( 3  / 
2 )  -  (
2  /  2 ) )
22197oveq1i 6293 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 3  -  2 )  /  2 )  =  ( 1  /  2
)
222 2div2e1 10657 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 2  /  2 )  =  1
223222oveq2i 6294 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 3  /  2 )  -  ( 2  / 
2 ) )  =  ( ( 3  / 
2 )  -  1 )
224220, 221, 2233eqtr3ri 2505 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 3  /  2 )  -  1 )  =  ( 1  /  2
)
225224oveq1i 6293 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 3  /  2
)  -  1 )  x.  X )  =  ( ( 1  / 
2 )  x.  X
)
226225a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( ( 3  / 
2 )  -  1 )  x.  X )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  X ) )
227 mulid2 9593 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( X  e.  CC  ->  (
1  x.  X )  =  X )
228227oveq2d 6299 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( ( 3  / 
2 )  x.  X
)  -  ( 1  x.  X ) )  =  ( ( ( 3  /  2 )  x.  X )  -  X ) )
229218, 226, 2283eqtr3rd 2517 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( ( 3  / 
2 )  x.  X
)  -  X )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  X ) )
230229oveq1d 6298 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( ( ( 3  /  2 )  x.  X )  -  X
)  -  0 )  =  ( ( ( 1  /  2 )  x.  X )  - 
0 ) )
231 mulcl 9575 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  CC  /\  X  e.  CC )  ->  ( ( 1  / 
2 )  x.  X
)  e.  CC )
23271, 231mpan 670 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( 1  /  2
)  x.  X )  e.  CC )
233232subid1d 9918 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( ( 1  / 
2 )  x.  X
)  -  0 )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  X ) )
234230, 233eqtrd 2508 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( ( ( 3  /  2 )  x.  X )  -  X
)  -  0 )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  X ) )
235213, 216, 2343eqtr3a 2532 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( ( ( 3  /  2 )  x.  X )  +  -u ( ( 3  / 
2 )  x.  (
1  /  6 ) ) )  -  ( X  +  ( (
1  /  4 )  -  ( 1  / 
2 ) ) ) )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  X ) )
236177, 183, 2353eqtr2d 2514 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( ( 3  / 
2 )  x.  ( X  -  ( 1  /  6 ) ) )  -  ( ( 1  /  4 )  +  ( X  -  ( 1  /  2
) ) ) )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  X ) )
237236negeqd 9813 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  CC  ->  -u (
( ( 3  / 
2 )  x.  ( X  -  ( 1  /  6 ) ) )  -  ( ( 1  /  4 )  +  ( X  -  ( 1  /  2
) ) ) )  =  -u ( ( 1  /  2 )  x.  X ) )
238172, 237eqtr3d 2510 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( ( 1  / 
4 )  +  ( X  -  ( 1  /  2 ) ) )  -  ( ( 3  /  2 )  x.  ( X  -  ( 1  /  6
) ) ) )  =  -u ( ( 1  /  2 )  x.  X ) )
239238oveq2d 6299 . . . . . 6  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( ( 3  / 
2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( ( ( 1  /  4 )  +  ( X  -  ( 1  /  2
) ) )  -  ( ( 3  / 
2 )  x.  ( X  -  ( 1  /  6 ) ) ) ) )  =  ( ( ( 3  /  2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  +  -u ( ( 1  / 
2 )  x.  X
) ) )
240135, 232negsubd 9935 . . . . . 6  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( ( 3  / 
2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  +  -u ( ( 1  /  2 )  x.  X ) )  =  ( ( ( 3  /  2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  -  (
( 1  /  2
)  x.  X ) ) )
241171, 239, 2403eqtrd 2512 . . . . 5  |-  ( X  e.  CC  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... 1 ) ( ( 3  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( 3  -  k
)  +  1 ) ) )  +  ( ( ( 3  / 
2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( 3  /  2 )  x.  ( X  -  (
1  /  6 ) ) ) ) )  =  ( ( ( 3  /  2 )  x.  ( X ^
2 ) )  -  ( ( 1  / 
2 )  x.  X
) ) )
242145, 146, 2413eqtrd 2512 . . . 4  |-  ( X  e.  CC  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... (
1  +  1 ) ) ( ( 3  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( 3  /  2
)  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( 1  /  2 )  x.  X ) ) )
2438, 242syl5eq 2520 . . 3  |-  ( X  e.  CC  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... (
3  -  1 ) ) ( ( 3  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( 3  /  2
)  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( 1  /  2 )  x.  X ) ) )
244243oveq2d 6299 . 2  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( X ^ 3 )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... (
3  -  1 ) ) ( ( 3  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( X ^ 3 )  -  ( ( ( 3  /  2
)  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( 1  /  2 )  x.  X ) ) ) )
245 expcl 12151 . . . 4  |-  ( ( X  e.  CC  /\  3  e.  NN0 )  -> 
( X ^ 3 )  e.  CC )
2461, 245mpan2 671 . . 3  |-  ( X  e.  CC  ->  ( X ^ 3 )  e.  CC )
247246, 135, 232subsubd 9957 . 2  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( X ^ 3 )  -  ( ( ( 3  /  2
)  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( 1  /  2 )  x.  X ) ) )  =  ( ( ( X ^ 3 )  -  ( ( 3  /  2 )  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( 1  / 
2 )  x.  X
) ) )
2483, 244, 2473eqtrd 2512 1  |-  ( X  e.  CC  ->  (
3 BernPoly  X )  =  ( ( ( X ^
3 )  -  (
( 3  /  2
)  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( 1  /  2 )  x.  X ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    \/ w3o 972    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662    u. cun 3474   {csn 4027   {cpr 4029   {ctp 4031   ` cfv 5587  (class class class)co 6283   CCcc 9489   0cc0 9491   1c1 9492    + caddc 9494    x. cmul 9496    - cmin 9804   -ucneg 9805    / cdiv 10205   2c2 10584   3c3 10585   4c4 10586   6c6 10588   NN0cn0 10794   ZZcz 10863   ZZ>=cuz 11081   ...cfz 11671   ^cexp 12133    _C cbc 12347   sum_csu 13470   BernPoly cbp 29401
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-inf2 8057  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568  ax-pre-sup 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-isom 5596  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-om 6680  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-sup 7900  df-oi 7934  df-card 8319  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-div 10206  df-nn 10536  df-2 10593  df-3 10594  df-4 10595  df-5 10596  df-6 10597  df-n0 10795  df-z 10864  df-uz 11082  df-rp 11220  df-fz 11672  df-fzo 11792  df-seq 12075  df-exp 12134  df-fac 12321  df-bc 12348  df-hash 12373  df-cj 12894  df-re 12895  df-im 12896  df-sqrt 13030  df-abs 13031  df-clim 13273  df-sum 13471  df-pred 28837  df-wrecs 28929  df-bpoly 29402
This theorem is referenced by:  bpoly4  29414
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