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Theorem bpoly3 28365
Description: The Bernoulli polynomials at three. (Contributed by Scott Fenton, 8-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
bpoly3  |-  ( X  e.  CC  ->  (
3 BernPoly  X )  =  ( ( ( X ^
3 )  -  (
( 3  /  2
)  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( 1  /  2 )  x.  X ) ) )

Proof of Theorem bpoly3
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3nn0 10711 . . 3  |-  3  e.  NN0
2 bpolyval 28356 . . 3  |-  ( ( 3  e.  NN0  /\  X  e.  CC )  ->  ( 3 BernPoly  X )  =  ( ( X ^ 3 )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( 3  -  1 ) ) ( ( 3  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( 3  -  k
)  +  1 ) ) ) ) )
31, 2mpan 670 . 2  |-  ( X  e.  CC  ->  (
3 BernPoly  X )  =  ( ( X ^ 3 )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... (
3  -  1 ) ) ( ( 3  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) ) ) )
4 3m1e2 10552 . . . . . . 7  |-  ( 3  -  1 )  =  2
5 df-2 10494 . . . . . . 7  |-  2  =  ( 1  +  1 )
64, 5eqtri 2483 . . . . . 6  |-  ( 3  -  1 )  =  ( 1  +  1 )
76oveq2i 6214 . . . . 5  |-  ( 0 ... ( 3  -  1 ) )  =  ( 0 ... (
1  +  1 ) )
87sumeq1i 13296 . . . 4  |-  sum_ k  e.  ( 0 ... (
3  -  1 ) ) ( ( 3  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... (
1  +  1 ) ) ( ( 3  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) )
9 1nn0 10709 . . . . . . . 8  |-  1  e.  NN0
10 nn0uz 11009 . . . . . . . 8  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
119, 10eleqtri 2540 . . . . . . 7  |-  1  e.  ( ZZ>= `  0 )
1211a1i 11 . . . . . 6  |-  ( X  e.  CC  ->  1  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
13 0z 10771 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  ZZ
14 fzpr 11631 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
0 ... ( 0  +  1 ) )  =  { 0 ,  ( 0  +  1 ) } )
1513, 14ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 ... ( 0  +  1 ) )  =  { 0 ,  ( 0  +  1 ) }
16 0p1e1 10547 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  +  1 )  =  1
1716oveq2i 6214 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 ... ( 0  +  1 ) )  =  ( 0 ... 1
)
1816preq2i 4069 . . . . . . . . . . . 12  |-  { 0 ,  ( 0  +  1 ) }  =  { 0 ,  1 }
1915, 17, 183eqtr3ri 2492 . . . . . . . . . . 11  |-  { 0 ,  1 }  =  ( 0 ... 1
)
205sneqi 3999 . . . . . . . . . . 11  |-  { 2 }  =  { ( 1  +  1 ) }
2119, 20uneq12i 3619 . . . . . . . . . 10  |-  ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 } )  =  ( ( 0 ... 1 )  u.  { ( 1  +  1 ) } )
22 df-tp 3993 . . . . . . . . . 10  |-  { 0 ,  1 ,  2 }  =  ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 } )
23 fzsuc 11622 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( 0 ... ( 1  +  1 ) )  =  ( ( 0 ... 1 )  u.  {
( 1  +  1 ) } ) )
2411, 23ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 ... ( 1  +  1 ) )  =  ( ( 0 ... 1 )  u.  {
( 1  +  1 ) } )
2521, 22, 243eqtr4ri 2494 . . . . . . . . 9  |-  ( 0 ... ( 1  +  1 ) )  =  { 0 ,  1 ,  2 }
2625eleq2i 2532 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( 1  +  1 ) )  <->  k  e.  { 0 ,  1 ,  2 } )
27 vex 3081 . . . . . . . . 9  |-  k  e. 
_V
2827eltp 4032 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  { 0 ,  1 ,  2 }  <-> 
( k  =  0  \/  k  =  1  \/  k  =  2 ) )
2926, 28bitri 249 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( 1  +  1 ) )  <->  ( k  =  0  \/  k  =  1  \/  k  =  2 ) )
30 oveq2 6211 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  0  ->  (
3  _C  k )  =  ( 3  _C  0 ) )
31 bcn0 12206 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 3  e.  NN0  ->  ( 3  _C  0 )  =  1 )
321, 31ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 3  _C  0 )  =  1
3330, 32syl6eq 2511 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  0  ->  (
3  _C  k )  =  1 )
34 oveq1 6210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  0  ->  (
k BernPoly  X )  =  ( 0 BernPoly  X ) )
35 oveq2 6211 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  0  ->  (
3  -  k )  =  ( 3  -  0 ) )
3635oveq1d 6218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  0  ->  (
( 3  -  k
)  +  1 )  =  ( ( 3  -  0 )  +  1 ) )
37 3cn 10510 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  3  e.  CC
3837subid1i 9794 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 3  -  0 )  =  3
3938oveq1i 6213 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 3  -  0 )  +  1 )  =  ( 3  +  1 )
40 df-4 10496 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  4  =  ( 3  +  1 )
4139, 40eqtr4i 2486 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 3  -  0 )  +  1 )  =  4
4236, 41syl6eq 2511 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  0  ->  (
( 3  -  k
)  +  1 )  =  4 )
4334, 42oveq12d 6221 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  0  ->  (
( k BernPoly  X )  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) )  =  ( ( 0 BernPoly  X
)  /  4 ) )
4433, 43oveq12d 6221 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  0  ->  (
( 3  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( 3  -  k
)  +  1 ) ) )  =  ( 1  x.  ( ( 0 BernPoly  X )  /  4
) ) )
45 bpoly0 28357 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  e.  CC  ->  (
0 BernPoly  X )  =  1 )
4645oveq1d 6218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( 0 BernPoly  X )  /  4 )  =  ( 1  /  4
) )
4746oveq2d 6219 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  CC  ->  (
1  x.  ( ( 0 BernPoly  X )  /  4
) )  =  ( 1  x.  ( 1  /  4 ) ) )
48 4cn 10513 . . . . . . . . . . . . 13  |-  4  e.  CC
49 4ne0 10532 . . . . . . . . . . . . 13  |-  4  =/=  0
5048, 49reccli 10175 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  /  4 )  e.  CC
5150mulid2i 9503 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  x.  ( 1  / 
4 ) )  =  ( 1  /  4
)
5247, 51syl6eq 2511 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  CC  ->  (
1  x.  ( ( 0 BernPoly  X )  /  4
) )  =  ( 1  /  4 ) )
5344, 52sylan9eqr 2517 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  CC  /\  k  =  0 )  ->  ( ( 3  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) )  =  ( 1  /  4 ) )
5453, 50syl6eqel 2550 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  CC  /\  k  =  0 )  ->  ( ( 3  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) )  e.  CC )
55 oveq2 6211 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  1  ->  (
3  _C  k )  =  ( 3  _C  1 ) )
56 bcn1 12209 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 3  e.  NN0  ->  ( 3  _C  1 )  =  3 )
571, 56ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 3  _C  1 )  =  3
5855, 57syl6eq 2511 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  1  ->  (
3  _C  k )  =  3 )
59 oveq1 6210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  1  ->  (
k BernPoly  X )  =  ( 1 BernPoly  X ) )
60 oveq2 6211 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  1  ->  (
3  -  k )  =  ( 3  -  1 ) )
6160oveq1d 6218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  1  ->  (
( 3  -  k
)  +  1 )  =  ( ( 3  -  1 )  +  1 ) )
62 ax-1cn 9454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  CC
63 npcan 9733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( 3  -  1 )  +  1 )  =  3 )
6437, 62, 63mp2an 672 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 3  -  1 )  +  1 )  =  3
6561, 64syl6eq 2511 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  1  ->  (
( 3  -  k
)  +  1 )  =  3 )
6659, 65oveq12d 6221 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  1  ->  (
( k BernPoly  X )  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) )  =  ( ( 1 BernPoly  X
)  /  3 ) )
6758, 66oveq12d 6221 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  1  ->  (
( 3  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( 3  -  k
)  +  1 ) ) )  =  ( 3  x.  ( ( 1 BernPoly  X )  /  3
) ) )
68 bpoly1 28358 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  e.  CC  ->  (
1 BernPoly  X )  =  ( X  -  ( 1  /  2 ) ) )
6968oveq1d 6218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( 1 BernPoly  X )  /  3 )  =  ( ( X  -  ( 1  /  2
) )  /  3
) )
7069oveq2d 6219 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  CC  ->  (
3  x.  ( ( 1 BernPoly  X )  /  3
) )  =  ( 3  x.  ( ( X  -  ( 1  /  2 ) )  /  3 ) ) )
71 halfcn 10655 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  /  2 )  e.  CC
72 subcl 9723 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( X  e.  CC  /\  ( 1  /  2
)  e.  CC )  ->  ( X  -  ( 1  /  2
) )  e.  CC )
7371, 72mpan2 671 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  CC  ->  ( X  -  ( 1  /  2 ) )  e.  CC )
74 3ne0 10530 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  =/=  0
75 divcan2 10116 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X  -  (
1  /  2 ) )  e.  CC  /\  3  e.  CC  /\  3  =/=  0 )  ->  (
3  x.  ( ( X  -  ( 1  /  2 ) )  /  3 ) )  =  ( X  -  ( 1  /  2
) ) )
7637, 74, 75mp3an23 1307 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  -  ( 1  /  2 ) )  e.  CC  ->  (
3  x.  ( ( X  -  ( 1  /  2 ) )  /  3 ) )  =  ( X  -  ( 1  /  2
) ) )
7773, 76syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  CC  ->  (
3  x.  ( ( X  -  ( 1  /  2 ) )  /  3 ) )  =  ( X  -  ( 1  /  2
) ) )
7870, 77eqtrd 2495 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  CC  ->  (
3  x.  ( ( 1 BernPoly  X )  /  3
) )  =  ( X  -  ( 1  /  2 ) ) )
7967, 78sylan9eqr 2517 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  CC  /\  k  =  1 )  ->  ( ( 3  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) )  =  ( X  -  ( 1  / 
2 ) ) )
8073adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  CC  /\  k  =  1 )  ->  ( X  -  ( 1  /  2
) )  e.  CC )
8179, 80eqeltrd 2542 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  CC  /\  k  =  1 )  ->  ( ( 3  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) )  e.  CC )
82 oveq2 6211 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  2  ->  (
3  _C  k )  =  ( 3  _C  2 ) )
83 bcn2 12215 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 3  e.  NN0  ->  ( 3  _C  2 )  =  ( ( 3  x.  ( 3  -  1 ) )  /  2
) )
841, 83ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 3  _C  2 )  =  ( ( 3  x.  ( 3  -  1 ) )  /  2
)
854oveq2i 6214 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 3  x.  ( 3  -  1 ) )  =  ( 3  x.  2 )
8685oveq1i 6213 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 3  x.  ( 3  -  1 ) )  /  2 )  =  ( ( 3  x.  2 )  /  2
)
87 2cn 10506 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  CC
88 2ne0 10528 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  =/=  0
8937, 87, 88divcan4i 10192 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 3  x.  2 )  /  2 )  =  3
9086, 89eqtri 2483 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 3  x.  ( 3  -  1 ) )  /  2 )  =  3
9184, 90eqtri 2483 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 3  _C  2 )  =  3
9282, 91syl6eq 2511 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  2  ->  (
3  _C  k )  =  3 )
93 oveq1 6210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  2  ->  (
k BernPoly  X )  =  ( 2 BernPoly  X ) )
94 oveq2 6211 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  2  ->  (
3  -  k )  =  ( 3  -  2 ) )
9594oveq1d 6218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  2  ->  (
( 3  -  k
)  +  1 )  =  ( ( 3  -  2 )  +  1 ) )
96 2p1e3 10559 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  +  1 )  =  3
9737, 87, 62, 96subaddrii 9811 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 3  -  2 )  =  1
9897oveq1i 6213 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 3  -  2 )  +  1 )  =  ( 1  +  1 )
9998, 5eqtr4i 2486 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 3  -  2 )  +  1 )  =  2
10095, 99syl6eq 2511 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  2  ->  (
( 3  -  k
)  +  1 )  =  2 )
10193, 100oveq12d 6221 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  2  ->  (
( k BernPoly  X )  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) )  =  ( ( 2 BernPoly  X
)  /  2 ) )
10292, 101oveq12d 6221 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  2  ->  (
( 3  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( 3  -  k
)  +  1 ) ) )  =  ( 3  x.  ( ( 2 BernPoly  X )  /  2
) ) )
103 2nn0 10710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  NN0
104 bpolycl 28359 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  NN0  /\  X  e.  CC )  ->  ( 2 BernPoly  X )  e.  CC )
105103, 104mpan 670 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  CC  ->  (
2 BernPoly  X )  e.  CC )
106 2cnne0 10650 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
107 div12 10130 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  ( 2 BernPoly  X )  e.  CC  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  -> 
( 3  x.  (
( 2 BernPoly  X )  /  2 ) )  =  ( ( 2 BernPoly  X )  x.  (
3  /  2 ) ) )
10837, 106, 107mp3an13 1306 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2 BernPoly  X )  e.  CC  ->  ( 3  x.  (
( 2 BernPoly  X )  /  2 ) )  =  ( ( 2 BernPoly  X )  x.  (
3  /  2 ) ) )
109105, 108syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  CC  ->  (
3  x.  ( ( 2 BernPoly  X )  /  2
) )  =  ( ( 2 BernPoly  X )  x.  ( 3  / 
2 ) ) )
11037, 87, 88divcli 10187 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 3  /  2 )  e.  CC
111 mulcom 9482 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2 BernPoly  X )  e.  CC  /\  (
3  /  2 )  e.  CC )  -> 
( ( 2 BernPoly  X
)  x.  ( 3  /  2 ) )  =  ( ( 3  /  2 )  x.  ( 2 BernPoly  X ) ) )
112105, 110, 111sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( 2 BernPoly  X )  x.  ( 3  /  2
) )  =  ( ( 3  /  2
)  x.  ( 2 BernPoly  X ) ) )
113 bpoly2 28364 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  e.  CC  ->  (
2 BernPoly  X )  =  ( ( ( X ^
2 )  -  X
)  +  ( 1  /  6 ) ) )
114113oveq2d 6219 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( 3  /  2
)  x.  ( 2 BernPoly  X ) )  =  ( ( 3  / 
2 )  x.  (
( ( X ^
2 )  -  X
)  +  ( 1  /  6 ) ) ) )
115 sqcl 12048 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X  e.  CC  ->  ( X ^ 2 )  e.  CC )
116 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X  e.  CC  ->  X  e.  CC )
117 6cn 10517 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  6  e.  CC
118 6re 10516 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  6  e.  RR
119 6pos 10534 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  <  6
120118, 119gt0ne0ii 9990 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  6  =/=  0
121117, 120reccli 10175 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  /  6 )  e.  CC
122 subsub 9753 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( X ^ 2 )  e.  CC  /\  X  e.  CC  /\  (
1  /  6 )  e.  CC )  -> 
( ( X ^
2 )  -  ( X  -  ( 1  /  6 ) ) )  =  ( ( ( X ^ 2 )  -  X )  +  ( 1  / 
6 ) ) )
123121, 122mp3an3 1304 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( X ^ 2 )  e.  CC  /\  X  e.  CC )  ->  ( ( X ^
2 )  -  ( X  -  ( 1  /  6 ) ) )  =  ( ( ( X ^ 2 )  -  X )  +  ( 1  / 
6 ) ) )
124115, 116, 123syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( X ^ 2 )  -  ( X  -  ( 1  / 
6 ) ) )  =  ( ( ( X ^ 2 )  -  X )  +  ( 1  /  6
) ) )
125124oveq2d 6219 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( 3  /  2
)  x.  ( ( X ^ 2 )  -  ( X  -  ( 1  /  6
) ) ) )  =  ( ( 3  /  2 )  x.  ( ( ( X ^ 2 )  -  X )  +  ( 1  /  6 ) ) ) )
126 subcl 9723 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X  e.  CC  /\  ( 1  /  6
)  e.  CC )  ->  ( X  -  ( 1  /  6
) )  e.  CC )
127121, 126mpan2 671 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  e.  CC  ->  ( X  -  ( 1  /  6 ) )  e.  CC )
128 subdi 9892 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 3  /  2
)  e.  CC  /\  ( X ^ 2 )  e.  CC  /\  ( X  -  ( 1  /  6 ) )  e.  CC )  -> 
( ( 3  / 
2 )  x.  (
( X ^ 2 )  -  ( X  -  ( 1  / 
6 ) ) ) )  =  ( ( ( 3  /  2
)  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( 3  /  2 )  x.  ( X  -  (
1  /  6 ) ) ) ) )
129110, 128mp3an1 1302 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X ^ 2 )  e.  CC  /\  ( X  -  (
1  /  6 ) )  e.  CC )  ->  ( ( 3  /  2 )  x.  ( ( X ^
2 )  -  ( X  -  ( 1  /  6 ) ) ) )  =  ( ( ( 3  / 
2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( 3  /  2 )  x.  ( X  -  (
1  /  6 ) ) ) ) )
130115, 127, 129syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( 3  /  2
)  x.  ( ( X ^ 2 )  -  ( X  -  ( 1  /  6
) ) ) )  =  ( ( ( 3  /  2 )  x.  ( X ^
2 ) )  -  ( ( 3  / 
2 )  x.  ( X  -  ( 1  /  6 ) ) ) ) )
131114, 125, 1303eqtr2d 2501 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( 3  /  2
)  x.  ( 2 BernPoly  X ) )  =  ( ( ( 3  /  2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  -  (
( 3  /  2
)  x.  ( X  -  ( 1  / 
6 ) ) ) ) )
132109, 112, 1313eqtrd 2499 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  CC  ->  (
3  x.  ( ( 2 BernPoly  X )  /  2
) )  =  ( ( ( 3  / 
2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( 3  /  2 )  x.  ( X  -  (
1  /  6 ) ) ) ) )
133102, 132sylan9eqr 2517 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  CC  /\  k  =  2 )  ->  ( ( 3  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( 3  /  2
)  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( 3  /  2 )  x.  ( X  -  (
1  /  6 ) ) ) ) )
134 mulcl 9480 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 3  /  2
)  e.  CC  /\  ( X ^ 2 )  e.  CC )  -> 
( ( 3  / 
2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  e.  CC )
135110, 115, 134sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( 3  /  2
)  x.  ( X ^ 2 ) )  e.  CC )
136 mulcl 9480 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 3  /  2
)  e.  CC  /\  ( X  -  (
1  /  6 ) )  e.  CC )  ->  ( ( 3  /  2 )  x.  ( X  -  (
1  /  6 ) ) )  e.  CC )
137110, 127, 136sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( 3  /  2
)  x.  ( X  -  ( 1  / 
6 ) ) )  e.  CC )
138135, 137subcld 9833 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( ( 3  / 
2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( 3  /  2 )  x.  ( X  -  (
1  /  6 ) ) ) )  e.  CC )
139138adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  CC  /\  k  =  2 )  ->  ( ( ( 3  /  2 )  x.  ( X ^
2 ) )  -  ( ( 3  / 
2 )  x.  ( X  -  ( 1  /  6 ) ) ) )  e.  CC )
140133, 139eqeltrd 2542 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  CC  /\  k  =  2 )  ->  ( ( 3  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) )  e.  CC )
14154, 81, 1403jaodan 1285 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  CC  /\  ( k  =  0  \/  k  =  1  \/  k  =  2 ) )  ->  (
( 3  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( 3  -  k
)  +  1 ) ) )  e.  CC )
14229, 141sylan2b 475 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  CC  /\  k  e.  ( 0 ... ( 1  +  1 ) ) )  ->  ( ( 3  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) )  e.  CC )
1435eqeq2i 2472 . . . . . . 7  |-  ( k  =  2  <->  k  =  ( 1  +  1 ) )
144143, 102sylbir 213 . . . . . 6  |-  ( k  =  ( 1  +  1 )  ->  (
( 3  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( 3  -  k
)  +  1 ) ) )  =  ( 3  x.  ( ( 2 BernPoly  X )  /  2
) ) )
14512, 142, 144fsump1 13344 . . . . 5  |-  ( X  e.  CC  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... (
1  +  1 ) ) ( ( 3  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... 1 ) ( ( 3  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( 3  -  k
)  +  1 ) ) )  +  ( 3  x.  ( ( 2 BernPoly  X )  /  2
) ) ) )
146132oveq2d 6219 . . . . 5  |-  ( X  e.  CC  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... 1 ) ( ( 3  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( 3  -  k
)  +  1 ) ) )  +  ( 3  x.  ( ( 2 BernPoly  X )  /  2
) ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... 1 ) ( ( 3  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  X )  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) )  +  ( ( ( 3  /  2 )  x.  ( X ^
2 ) )  -  ( ( 3  / 
2 )  x.  ( X  -  ( 1  /  6 ) ) ) ) ) )
14717sumeq1i 13296 . . . . . . . . 9  |-  sum_ k  e.  ( 0 ... (
0  +  1 ) ) ( ( 3  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... 1
) ( ( 3  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) )
148 0nn0 10708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  NN0
149148, 10eleqtri 2540 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  ( ZZ>= `  0 )
150149a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  CC  ->  0  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
15115, 18eqtri 2483 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0 ... ( 0  +  1 ) )  =  { 0 ,  1 }
152151eleq2i 2532 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( 0  +  1 ) )  <->  k  e.  { 0 ,  1 } )
15327elpr 4006 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  { 0 ,  1 }  <->  ( k  =  0  \/  k  =  1 ) )
154152, 153bitri 249 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( 0  +  1 ) )  <->  ( k  =  0  \/  k  =  1 ) )
15554, 81jaodan 783 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  e.  CC  /\  ( k  =  0  \/  k  =  1 ) )  ->  (
( 3  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( 3  -  k
)  +  1 ) ) )  e.  CC )
156154, 155sylan2b 475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  CC  /\  k  e.  ( 0 ... ( 0  +  1 ) ) )  ->  ( ( 3  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) )  e.  CC )
15716eqeq2i 2472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( 0  +  1 )  <->  k  = 
1 )
158157, 67sylbi 195 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( 0  +  1 )  ->  (
( 3  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( 3  -  k
)  +  1 ) ) )  =  ( 3  x.  ( ( 1 BernPoly  X )  /  3
) ) )
159150, 156, 158fsump1 13344 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  CC  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... (
0  +  1 ) ) ( ( 3  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... 0 ) ( ( 3  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( 3  -  k
)  +  1 ) ) )  +  ( 3  x.  ( ( 1 BernPoly  X )  /  3
) ) ) )
16052, 50syl6eqel 2550 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  e.  CC  ->  (
1  x.  ( ( 0 BernPoly  X )  /  4
) )  e.  CC )
16144fsum1 13339 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  ( 1  x.  (
( 0 BernPoly  X )  /  4 ) )  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... 0 ) ( ( 3  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( 3  -  k
)  +  1 ) ) )  =  ( 1  x.  ( ( 0 BernPoly  X )  /  4
) ) )
16213, 160, 161sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  CC  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... 0
) ( ( 3  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) )  =  ( 1  x.  ( ( 0 BernPoly  X )  /  4
) ) )
163162, 52eqtrd 2495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  CC  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... 0
) ( ( 3  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) )  =  ( 1  /  4 ) )
164163, 78oveq12d 6221 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  CC  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... 0 ) ( ( 3  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( 3  -  k
)  +  1 ) ) )  +  ( 3  x.  ( ( 1 BernPoly  X )  /  3
) ) )  =  ( ( 1  / 
4 )  +  ( X  -  ( 1  /  2 ) ) ) )
165159, 164eqtrd 2495 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  CC  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... (
0  +  1 ) ) ( ( 3  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( 1  /  4 )  +  ( X  -  ( 1  /  2
) ) ) )
166147, 165syl5eqr 2509 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  CC  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... 1
) ( ( 3  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( 1  /  4 )  +  ( X  -  ( 1  /  2
) ) ) )
167166oveq1d 6218 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  CC  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... 1 ) ( ( 3  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( 3  -  k
)  +  1 ) ) )  +  ( ( ( 3  / 
2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( 3  /  2 )  x.  ( X  -  (
1  /  6 ) ) ) ) )  =  ( ( ( 1  /  4 )  +  ( X  -  ( 1  /  2
) ) )  +  ( ( ( 3  /  2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  -  (
( 3  /  2
)  x.  ( X  -  ( 1  / 
6 ) ) ) ) ) )
168 addcl 9478 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  /  4
)  e.  CC  /\  ( X  -  (
1  /  2 ) )  e.  CC )  ->  ( ( 1  /  4 )  +  ( X  -  (
1  /  2 ) ) )  e.  CC )
16950, 73, 168sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( 1  /  4
)  +  ( X  -  ( 1  / 
2 ) ) )  e.  CC )
170169, 135, 137addsub12d 9856 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( ( 1  / 
4 )  +  ( X  -  ( 1  /  2 ) ) )  +  ( ( ( 3  /  2
)  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( 3  /  2 )  x.  ( X  -  (
1  /  6 ) ) ) ) )  =  ( ( ( 3  /  2 )  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( ( ( 1  /  4 )  +  ( X  -  (
1  /  2 ) ) )  -  (
( 3  /  2
)  x.  ( X  -  ( 1  / 
6 ) ) ) ) ) )
171167, 170eqtrd 2495 . . . . . 6  |-  ( X  e.  CC  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... 1 ) ( ( 3  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( 3  -  k
)  +  1 ) ) )  +  ( ( ( 3  / 
2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( 3  /  2 )  x.  ( X  -  (
1  /  6 ) ) ) ) )  =  ( ( ( 3  /  2 )  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( ( ( 1  /  4 )  +  ( X  -  (
1  /  2 ) ) )  -  (
( 3  /  2
)  x.  ( X  -  ( 1  / 
6 ) ) ) ) ) )
172137, 169negsubdi2d 9849 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  CC  ->  -u (
( ( 3  / 
2 )  x.  ( X  -  ( 1  /  6 ) ) )  -  ( ( 1  /  4 )  +  ( X  -  ( 1  /  2
) ) ) )  =  ( ( ( 1  /  4 )  +  ( X  -  ( 1  /  2
) ) )  -  ( ( 3  / 
2 )  x.  ( X  -  ( 1  /  6 ) ) ) ) )
173 subdi 9892 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 3  /  2
)  e.  CC  /\  X  e.  CC  /\  (
1  /  6 )  e.  CC )  -> 
( ( 3  / 
2 )  x.  ( X  -  ( 1  /  6 ) ) )  =  ( ( ( 3  /  2
)  x.  X )  -  ( ( 3  /  2 )  x.  ( 1  /  6
) ) ) )
174110, 121, 173mp3an13 1306 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( 3  /  2
)  x.  ( X  -  ( 1  / 
6 ) ) )  =  ( ( ( 3  /  2 )  x.  X )  -  ( ( 3  / 
2 )  x.  (
1  /  6 ) ) ) )
175 addsub12 9737 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1  /  4
)  e.  CC  /\  X  e.  CC  /\  (
1  /  2 )  e.  CC )  -> 
( ( 1  / 
4 )  +  ( X  -  ( 1  /  2 ) ) )  =  ( X  +  ( ( 1  /  4 )  -  ( 1  /  2
) ) ) )
17650, 71, 175mp3an13 1306 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( 1  /  4
)  +  ( X  -  ( 1  / 
2 ) ) )  =  ( X  +  ( ( 1  / 
4 )  -  (
1  /  2 ) ) ) )
177174, 176oveq12d 6221 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( ( 3  / 
2 )  x.  ( X  -  ( 1  /  6 ) ) )  -  ( ( 1  /  4 )  +  ( X  -  ( 1  /  2
) ) ) )  =  ( ( ( ( 3  /  2
)  x.  X )  -  ( ( 3  /  2 )  x.  ( 1  /  6
) ) )  -  ( X  +  (
( 1  /  4
)  -  ( 1  /  2 ) ) ) ) )
178 mulcl 9480 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 3  /  2
)  e.  CC  /\  X  e.  CC )  ->  ( ( 3  / 
2 )  x.  X
)  e.  CC )
179110, 178mpan 670 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( 3  /  2
)  x.  X )  e.  CC )
180110, 121mulcli 9505 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 3  /  2 )  x.  ( 1  / 
6 ) )  e.  CC
181 negsub 9771 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( 3  / 
2 )  x.  X
)  e.  CC  /\  ( ( 3  / 
2 )  x.  (
1  /  6 ) )  e.  CC )  ->  ( ( ( 3  /  2 )  x.  X )  + 
-u ( ( 3  /  2 )  x.  ( 1  /  6
) ) )  =  ( ( ( 3  /  2 )  x.  X )  -  (
( 3  /  2
)  x.  ( 1  /  6 ) ) ) )
182179, 180, 181sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( ( 3  / 
2 )  x.  X
)  +  -u (
( 3  /  2
)  x.  ( 1  /  6 ) ) )  =  ( ( ( 3  /  2
)  x.  X )  -  ( ( 3  /  2 )  x.  ( 1  /  6
) ) ) )
183182oveq1d 6218 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( ( ( 3  /  2 )  x.  X )  +  -u ( ( 3  / 
2 )  x.  (
1  /  6 ) ) )  -  ( X  +  ( (
1  /  4 )  -  ( 1  / 
2 ) ) ) )  =  ( ( ( ( 3  / 
2 )  x.  X
)  -  ( ( 3  /  2 )  x.  ( 1  / 
6 ) ) )  -  ( X  +  ( ( 1  / 
4 )  -  (
1  /  2 ) ) ) ) )
18471, 50negsubdi2i 9808 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -u (
( 1  /  2
)  -  ( 1  /  4 ) )  =  ( ( 1  /  4 )  -  ( 1  /  2
) )
18587, 37, 87mul12i 9678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 2  x.  ( 3  x.  2 ) )  =  ( 3  x.  (
2  x.  2 ) )
186 3t2e6 10587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 3  x.  2 )  =  6
187186oveq2i 6214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 2  x.  ( 3  x.  2 ) )  =  ( 2  x.  6 )
188 2t2e4 10585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
189188oveq2i 6214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 3  x.  ( 2  x.  2 ) )  =  ( 3  x.  4 )
190185, 187, 1893eqtr3i 2491 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 2  x.  6 )  =  ( 3  x.  4 )
191190oveq2i 6214 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 3  x.  1 )  /  ( 2  x.  6 ) )  =  ( ( 3  x.  1 )  /  (
3  x.  4 ) )
19248, 49pm3.2i 455 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 4  e.  CC  /\  4  =/=  0 )
19337, 74pm3.2i 455 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 3  e.  CC  /\  3  =/=  0 )
194 divcan5 10147 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( 4  e.  CC  /\  4  =/=  0 )  /\  ( 3  e.  CC  /\  3  =/=  0 ) )  -> 
( ( 3  x.  1 )  /  (
3  x.  4 ) )  =  ( 1  /  4 ) )
19562, 192, 193, 194mp3an 1315 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 3  x.  1 )  /  ( 3  x.  4 ) )  =  ( 1  /  4
)
196191, 195eqtri 2483 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 3  x.  1 )  /  ( 2  x.  6 ) )  =  ( 1  /  4
)
19737, 87, 62, 117, 88, 120divmuldivi 10205 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 3  /  2 )  x.  ( 1  / 
6 ) )  =  ( ( 3  x.  1 )  /  (
2  x.  6 ) )
19887mulid1i 9502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
199198, 5eqtri 2483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 2  x.  1 )  =  ( 1  +  1 )
200199, 188oveq12i 6215 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 2  x.  1 )  /  ( 2  x.  2 ) )  =  ( ( 1  +  1 )  /  4
)
201 divcan5 10147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  -> 
( ( 2  x.  1 )  /  (
2  x.  2 ) )  =  ( 1  /  2 ) )
20262, 106, 106, 201mp3an 1315 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 2  x.  1 )  /  ( 2  x.  2 ) )  =  ( 1  /  2
)
20362, 62, 48, 49divdiri 10202 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 1  +  1 )  /  4 )  =  ( ( 1  / 
4 )  +  ( 1  /  4 ) )
204200, 202, 2033eqtr3ri 2492 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 1  /  4 )  +  ( 1  / 
4 ) )  =  ( 1  /  2
)
20571, 50, 50, 204subaddrii 9811 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  /  2 )  -  ( 1  / 
4 ) )  =  ( 1  /  4
)
206196, 197, 2053eqtr4ri 2494 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  /  2 )  -  ( 1  / 
4 ) )  =  ( ( 3  / 
2 )  x.  (
1  /  6 ) )
207206negeqi 9717 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -u (
( 1  /  2
)  -  ( 1  /  4 ) )  =  -u ( ( 3  /  2 )  x.  ( 1  /  6
) )
208184, 207eqtr3i 2485 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  /  4 )  -  ( 1  / 
2 ) )  = 
-u ( ( 3  /  2 )  x.  ( 1  /  6
) )
20950, 71subcli 9798 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  /  4 )  -  ( 1  / 
2 ) )  e.  CC
210180negcli 9790 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -u (
( 3  /  2
)  x.  ( 1  /  6 ) )  e.  CC
211209, 210subeq0i 9802 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( 1  / 
4 )  -  (
1  /  2 ) )  -  -u (
( 3  /  2
)  x.  ( 1  /  6 ) ) )  =  0  <->  (
( 1  /  4
)  -  ( 1  /  2 ) )  =  -u ( ( 3  /  2 )  x.  ( 1  /  6
) ) )
212208, 211mpbir 209 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1  /  4
)  -  ( 1  /  2 ) )  -  -u ( ( 3  /  2 )  x.  ( 1  /  6
) ) )  =  0
213212oveq2i 6214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( 3  / 
2 )  x.  X
)  -  X )  -  ( ( ( 1  /  4 )  -  ( 1  / 
2 ) )  -  -u ( ( 3  / 
2 )  x.  (
1  /  6 ) ) ) )  =  ( ( ( ( 3  /  2 )  x.  X )  -  X )  -  0 )
214209a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( 1  /  4
)  -  ( 1  /  2 ) )  e.  CC )
215210a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  CC  ->  -u (
( 3  /  2
)  x.  ( 1  /  6 ) )  e.  CC )
216179, 116, 214, 215subadd4d 9881 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( ( ( 3  /  2 )  x.  X )  -  X
)  -  ( ( ( 1  /  4
)  -  ( 1  /  2 ) )  -  -u ( ( 3  /  2 )  x.  ( 1  /  6
) ) ) )  =  ( ( ( ( 3  /  2
)  x.  X )  +  -u ( ( 3  /  2 )  x.  ( 1  /  6
) ) )  -  ( X  +  (
( 1  /  4
)  -  ( 1  /  2 ) ) ) ) )
217 subdir 9893 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 3  /  2
)  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  X  e.  CC )  ->  (
( ( 3  / 
2 )  -  1 )  x.  X )  =  ( ( ( 3  /  2 )  x.  X )  -  ( 1  x.  X
) ) )
218110, 62, 217mp3an12 1305 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( ( 3  / 
2 )  -  1 )  x.  X )  =  ( ( ( 3  /  2 )  x.  X )  -  ( 1  x.  X
) ) )
219 divsubdir 10141 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  (
2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  ->  ( ( 3  -  2 )  / 
2 )  =  ( ( 3  /  2
)  -  ( 2  /  2 ) ) )
22037, 87, 106, 219mp3an 1315 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 3  -  2 )  /  2 )  =  ( ( 3  / 
2 )  -  (
2  /  2 ) )
22197oveq1i 6213 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 3  -  2 )  /  2 )  =  ( 1  /  2
)
222 2div2e1 10558 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 2  /  2 )  =  1
223222oveq2i 6214 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 3  /  2 )  -  ( 2  / 
2 ) )  =  ( ( 3  / 
2 )  -  1 )
224220, 221, 2233eqtr3ri 2492 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 3  /  2 )  -  1 )  =  ( 1  /  2
)
225224oveq1i 6213 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 3  /  2
)  -  1 )  x.  X )  =  ( ( 1  / 
2 )  x.  X
)
226225a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( ( 3  / 
2 )  -  1 )  x.  X )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  X ) )
227 mulid2 9498 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( X  e.  CC  ->  (
1  x.  X )  =  X )
228227oveq2d 6219 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( ( 3  / 
2 )  x.  X
)  -  ( 1  x.  X ) )  =  ( ( ( 3  /  2 )  x.  X )  -  X ) )
229218, 226, 2283eqtr3rd 2504 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( ( 3  / 
2 )  x.  X
)  -  X )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  X ) )
230229oveq1d 6218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( ( ( 3  /  2 )  x.  X )  -  X
)  -  0 )  =  ( ( ( 1  /  2 )  x.  X )  - 
0 ) )
231 mulcl 9480 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  CC  /\  X  e.  CC )  ->  ( ( 1  / 
2 )  x.  X
)  e.  CC )
23271, 231mpan 670 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( 1  /  2
)  x.  X )  e.  CC )
233232subid1d 9822 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( ( 1  / 
2 )  x.  X
)  -  0 )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  X ) )
234230, 233eqtrd 2495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( ( ( 3  /  2 )  x.  X )  -  X
)  -  0 )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  X ) )
235213, 216, 2343eqtr3a 2519 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( ( ( 3  /  2 )  x.  X )  +  -u ( ( 3  / 
2 )  x.  (
1  /  6 ) ) )  -  ( X  +  ( (
1  /  4 )  -  ( 1  / 
2 ) ) ) )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  X ) )
236177, 183, 2353eqtr2d 2501 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( ( 3  / 
2 )  x.  ( X  -  ( 1  /  6 ) ) )  -  ( ( 1  /  4 )  +  ( X  -  ( 1  /  2
) ) ) )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  X ) )
237236negeqd 9718 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  CC  ->  -u (
( ( 3  / 
2 )  x.  ( X  -  ( 1  /  6 ) ) )  -  ( ( 1  /  4 )  +  ( X  -  ( 1  /  2
) ) ) )  =  -u ( ( 1  /  2 )  x.  X ) )
238172, 237eqtr3d 2497 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( ( 1  / 
4 )  +  ( X  -  ( 1  /  2 ) ) )  -  ( ( 3  /  2 )  x.  ( X  -  ( 1  /  6
) ) ) )  =  -u ( ( 1  /  2 )  x.  X ) )
239238oveq2d 6219 . . . . . 6  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( ( 3  / 
2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( ( ( 1  /  4 )  +  ( X  -  ( 1  /  2
) ) )  -  ( ( 3  / 
2 )  x.  ( X  -  ( 1  /  6 ) ) ) ) )  =  ( ( ( 3  /  2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  +  -u ( ( 1  / 
2 )  x.  X
) ) )
240135, 232negsubd 9839 . . . . . 6  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( ( 3  / 
2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  +  -u ( ( 1  /  2 )  x.  X ) )  =  ( ( ( 3  /  2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  -  (
( 1  /  2
)  x.  X ) ) )
241171, 239, 2403eqtrd 2499 . . . . 5  |-  ( X  e.  CC  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... 1 ) ( ( 3  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( 3  -  k
)  +  1 ) ) )  +  ( ( ( 3  / 
2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( 3  /  2 )  x.  ( X  -  (
1  /  6 ) ) ) ) )  =  ( ( ( 3  /  2 )  x.  ( X ^
2 ) )  -  ( ( 1  / 
2 )  x.  X
) ) )
242145, 146, 2413eqtrd 2499 . . . 4  |-  ( X  e.  CC  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... (
1  +  1 ) ) ( ( 3  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( 3  /  2
)  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( 1  /  2 )  x.  X ) ) )
2438, 242syl5eq 2507 . . 3  |-  ( X  e.  CC  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... (
3  -  1 ) ) ( ( 3  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( 3  /  2
)  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( 1  /  2 )  x.  X ) ) )
244243oveq2d 6219 . 2  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( X ^ 3 )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... (
3  -  1 ) ) ( ( 3  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( X ^ 3 )  -  ( ( ( 3  /  2
)  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( 1  /  2 )  x.  X ) ) ) )
245 expcl 12003 . . . 4  |-  ( ( X  e.  CC  /\  3  e.  NN0 )  -> 
( X ^ 3 )  e.  CC )
2461, 245mpan2 671 . . 3  |-  ( X  e.  CC  ->  ( X ^ 3 )  e.  CC )
247246, 135, 232subsubd 9861 . 2  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( X ^ 3 )  -  ( ( ( 3  /  2
)  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( 1  /  2 )  x.  X ) ) )  =  ( ( ( X ^ 3 )  -  ( ( 3  /  2 )  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( 1  / 
2 )  x.  X
) ) )
2483, 244, 2473eqtrd 2499 1  |-  ( X  e.  CC  ->  (
3 BernPoly  X )  =  ( ( ( X ^
3 )  -  (
( 3  /  2
)  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( 1  /  2 )  x.  X ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    \/ w3o 964    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2648    u. cun 3437   {csn 3988   {cpr 3990   {ctp 3992   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   CCcc 9394   0cc0 9396   1c1 9397    + caddc 9399    x. cmul 9401    - cmin 9709   -ucneg 9710    / cdiv 10107   2c2 10485   3c3 10486   4c4 10487   6c6 10489   NN0cn0 10693   ZZcz 10760   ZZ>=cuz 10975   ...cfz 11557   ^cexp 11985    _C cbc 12198   sum_csu 13284   BernPoly cbp 28353
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-inf2 7961  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473  ax-pre-sup 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-sup 7805  df-oi 7838  df-card 8223  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-div 10108  df-nn 10437  df-2 10494  df-3 10495  df-4 10496  df-5 10497  df-6 10498  df-n0 10694  df-z 10761  df-uz 10976  df-rp 11106  df-fz 11558  df-fzo 11669  df-seq 11927  df-exp 11986  df-fac 12172  df-bc 12199  df-hash 12224  df-cj 12709  df-re 12710  df-im 12711  df-sqr 12845  df-abs 12846  df-clim 13087  df-sum 13285  df-pred 27789  df-wrecs 27881  df-bpoly 28354
This theorem is referenced by:  bpoly4  28366
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