Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bpoly1 Structured version   Unicode version

Theorem bpoly1 29390
 Description: The value of the Bernoulli polynomials at one. (Contributed by Scott Fenton, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
bpoly1 BernPoly

Proof of Theorem bpoly1
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1nn0 10807 . . 3
2 bpolyval 29388 . . 3 BernPoly BernPoly
31, 2mpan 670 . 2 BernPoly BernPoly
4 exp1 12136 . . 3
5 1m1e0 10600 . . . . . 6
65oveq2i 6293 . . . . 5
76sumeq1i 13479 . . . 4 BernPoly BernPoly
8 0z 10871 . . . . . 6
9 bpoly0 29389 . . . . . . . . . 10 BernPoly
109oveq1d 6297 . . . . . . . . 9 BernPoly
1110oveq2d 6298 . . . . . . . 8 BernPoly
12 halfcn 10751 . . . . . . . . 9
1312mulid2i 9595 . . . . . . . 8
1411, 13syl6eq 2524 . . . . . . 7 BernPoly
1514, 12syl6eqel 2563 . . . . . 6 BernPoly
16 oveq2 6290 . . . . . . . . 9
17 bcn0 12352 . . . . . . . . . 10
181, 17ax-mp 5 . . . . . . . . 9
1916, 18syl6eq 2524 . . . . . . . 8
20 oveq1 6289 . . . . . . . . 9 BernPoly BernPoly
21 oveq2 6290 . . . . . . . . . . . 12
22 1m0e1 10642 . . . . . . . . . . . 12
2321, 22syl6eq 2524 . . . . . . . . . . 11
2423oveq1d 6297 . . . . . . . . . 10
25 df-2 10590 . . . . . . . . . 10
2624, 25syl6eqr 2526 . . . . . . . . 9
2720, 26oveq12d 6300 . . . . . . . 8 BernPoly BernPoly
2819, 27oveq12d 6300 . . . . . . 7 BernPoly BernPoly
2928fsum1 13523 . . . . . 6 BernPoly BernPoly BernPoly
308, 15, 29sylancr 663 . . . . 5 BernPoly BernPoly
3130, 14eqtrd 2508 . . . 4 BernPoly
327, 31syl5eq 2520 . . 3 BernPoly
334, 32oveq12d 6300 . 2 BernPoly
343, 33eqtrd 2508 1 BernPoly
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wceq 1379   wcel 1767  (class class class)co 6282  cc 9486  cc0 9488  c1 9489   caddc 9491   cmul 9493   cmin 9801   cdiv 10202  c2 10581  cn0 10791  cz 10860  cfz 11668  cexp 12130   cbc 12344  csu 13467   BernPoly cbp 29385 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-rp 11217  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-seq 12072  df-exp 12131  df-fac 12318  df-bc 12345  df-hash 12370  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-clim 13270  df-sum 13468  df-pred 28821  df-wrecs 28913  df-bpoly 29386 This theorem is referenced by:  bpoly2  29396  bpoly3  29397  bpoly4  29398
 Copyright terms: Public domain W3C validator