Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bpoly1 Structured version   Unicode version

Theorem bpoly1 13998
 Description: The value of the Bernoulli polynomials at one. (Contributed by Scott Fenton, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
bpoly1 BernPoly

Proof of Theorem bpoly1
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1nn0 10854 . . 3
2 bpolyval 13996 . . 3 BernPoly BernPoly
31, 2mpan 670 . 2 BernPoly BernPoly
4 exp1 12218 . . 3
5 1m1e0 10647 . . . . . 6
65oveq2i 6291 . . . . 5
76sumeq1i 13671 . . . 4 BernPoly BernPoly
8 0z 10918 . . . . . 6
9 bpoly0 13997 . . . . . . . . . 10 BernPoly
109oveq1d 6295 . . . . . . . . 9 BernPoly
1110oveq2d 6296 . . . . . . . 8 BernPoly
12 halfcn 10798 . . . . . . . . 9
1312mulid2i 9631 . . . . . . . 8
1411, 13syl6eq 2461 . . . . . . 7 BernPoly
1514, 12syl6eqel 2500 . . . . . 6 BernPoly
16 oveq2 6288 . . . . . . . . 9
17 bcn0 12434 . . . . . . . . . 10
181, 17ax-mp 5 . . . . . . . . 9
1916, 18syl6eq 2461 . . . . . . . 8
20 oveq1 6287 . . . . . . . . 9 BernPoly BernPoly
21 oveq2 6288 . . . . . . . . . . . 12
22 1m0e1 10689 . . . . . . . . . . . 12
2321, 22syl6eq 2461 . . . . . . . . . . 11
2423oveq1d 6295 . . . . . . . . . 10
25 df-2 10637 . . . . . . . . . 10
2624, 25syl6eqr 2463 . . . . . . . . 9
2720, 26oveq12d 6298 . . . . . . . 8 BernPoly BernPoly
2819, 27oveq12d 6298 . . . . . . 7 BernPoly BernPoly
2928fsum1 13715 . . . . . 6 BernPoly BernPoly BernPoly
308, 15, 29sylancr 663 . . . . 5 BernPoly BernPoly
3130, 14eqtrd 2445 . . . 4 BernPoly
327, 31syl5eq 2457 . . 3 BernPoly
334, 32oveq12d 6298 . 2 BernPoly
343, 33eqtrd 2445 1 BernPoly
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wceq 1407   wcel 1844  (class class class)co 6280  cc 9522  cc0 9524  c1 9525   caddc 9527   cmul 9529   cmin 9843   cdiv 10249  c2 10628  cn0 10838  cz 10907  cfz 11728  cexp 12212   cbc 12426  csu 13659   BernPoly cbp 13993 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-inf2 8093  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601  ax-pre-sup 9602 This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-fal 1413  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-se 4785  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-isom 5580  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-oadd 7173  df-er 7350  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-fin 7560  df-sup 7937  df-oi 7971  df-card 8354  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-div 10250  df-nn 10579  df-2 10637  df-3 10638  df-n0 10839  df-z 10908  df-uz 11130  df-rp 11268  df-fz 11729  df-fzo 11857  df-seq 12154  df-exp 12213  df-fac 12400  df-bc 12427  df-hash 12455  df-cj 13083  df-re 13084  df-im 13085  df-sqrt 13219  df-abs 13220  df-clim 13462  df-sum 13660  df-bpoly 13994 This theorem is referenced by:  bpoly2  14004  bpoly3  14005  bpoly4  14006
 Copyright terms: Public domain W3C validator