Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bpoly0 Structured version   Unicode version

Theorem bpoly0 28357
Description: The value of the Bernoulli polynomials at zero. (Contributed by Scott Fenton, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
bpoly0  |-  ( X  e.  CC  ->  (
0 BernPoly  X )  =  1 )

Proof of Theorem bpoly0
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0nn0 10708 . . 3  |-  0  e.  NN0
2 bpolyval 28356 . . 3  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  X  e.  CC )  ->  ( 0 BernPoly  X )  =  ( ( X ^ 0 )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( 0  -  1 ) ) ( ( 0  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( 0  -  k
)  +  1 ) ) ) ) )
31, 2mpan 670 . 2  |-  ( X  e.  CC  ->  (
0 BernPoly  X )  =  ( ( X ^ 0 )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... (
0  -  1 ) ) ( ( 0  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 0  -  k )  +  1 ) ) ) ) )
4 exp0 11989 . . . 4  |-  ( X  e.  CC  ->  ( X ^ 0 )  =  1 )
54oveq1d 6218 . . 3  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( X ^ 0 )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... (
0  -  1 ) ) ( ( 0  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 0  -  k )  +  1 ) ) ) )  =  ( 1  -  sum_ k  e.  ( 0 ... (
0  -  1 ) ) ( ( 0  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 0  -  k )  +  1 ) ) ) ) )
6 risefall0lem 27693 . . . . . . 7  |-  ( 0 ... ( 0  -  1 ) )  =  (/)
76sumeq1i 13296 . . . . . 6  |-  sum_ k  e.  ( 0 ... (
0  -  1 ) ) ( ( 0  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 0  -  k )  +  1 ) ) )  =  sum_ k  e.  (/)  ( ( 0  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 0  -  k )  +  1 ) ) )
8 sum0 13319 . . . . . 6  |-  sum_ k  e.  (/)  ( ( 0  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 0  -  k )  +  1 ) ) )  =  0
97, 8eqtri 2483 . . . . 5  |-  sum_ k  e.  ( 0 ... (
0  -  1 ) ) ( ( 0  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 0  -  k )  +  1 ) ) )  =  0
109oveq2i 6214 . . . 4  |-  ( 1  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( 0  -  1 ) ) ( ( 0  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  X )  /  ( ( 0  -  k )  +  1 ) ) ) )  =  ( 1  -  0 )
11 1m0e1 10546 . . . 4  |-  ( 1  -  0 )  =  1
1210, 11eqtri 2483 . . 3  |-  ( 1  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( 0  -  1 ) ) ( ( 0  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  X )  /  ( ( 0  -  k )  +  1 ) ) ) )  =  1
135, 12syl6eq 2511 . 2  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( X ^ 0 )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... (
0  -  1 ) ) ( ( 0  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 0  -  k )  +  1 ) ) ) )  =  1 )
143, 13eqtrd 2495 1  |-  ( X  e.  CC  ->  (
0 BernPoly  X )  =  1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758   (/)c0 3748  (class class class)co 6203   CCcc 9394   0cc0 9396   1c1 9397    + caddc 9399    x. cmul 9401    - cmin 9709    / cdiv 10107   NN0cn0 10693   ...cfz 11557   ^cexp 11985    _C cbc 12198   sum_csu 13284   BernPoly cbp 28353
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-inf2 7961  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473  ax-pre-sup 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-sup 7805  df-oi 7838  df-card 8223  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-div 10108  df-nn 10437  df-2 10494  df-3 10495  df-n0 10694  df-z 10761  df-uz 10976  df-rp 11106  df-fz 11558  df-fzo 11669  df-seq 11927  df-exp 11986  df-hash 12224  df-cj 12709  df-re 12710  df-im 12711  df-sqr 12845  df-abs 12846  df-clim 13087  df-sum 13285  df-pred 27789  df-wrecs 27881  df-bpoly 28354
This theorem is referenced by:  bpoly1  28358  bpolydiflem  28361  bpoly2  28364  bpoly3  28365  bpoly4  28366
  Copyright terms: Public domain W3C validator