MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bpoly0 Structured version   Unicode version

Theorem bpoly0 14081
Description: The value of the Bernoulli polynomials at zero. (Contributed by Scott Fenton, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
bpoly0  |-  ( X  e.  CC  ->  (
0 BernPoly  X )  =  1 )

Proof of Theorem bpoly0
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0nn0 10884 . . 3  |-  0  e.  NN0
2 bpolyval 14080 . . 3  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  X  e.  CC )  ->  ( 0 BernPoly  X )  =  ( ( X ^ 0 )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( 0  -  1 ) ) ( ( 0  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( 0  -  k
)  +  1 ) ) ) ) )
31, 2mpan 674 . 2  |-  ( X  e.  CC  ->  (
0 BernPoly  X )  =  ( ( X ^ 0 )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... (
0  -  1 ) ) ( ( 0  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 0  -  k )  +  1 ) ) ) ) )
4 exp0 12273 . . . 4  |-  ( X  e.  CC  ->  ( X ^ 0 )  =  1 )
54oveq1d 6320 . . 3  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( X ^ 0 )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... (
0  -  1 ) ) ( ( 0  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 0  -  k )  +  1 ) ) ) )  =  ( 1  -  sum_ k  e.  ( 0 ... (
0  -  1 ) ) ( ( 0  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 0  -  k )  +  1 ) ) ) ) )
6 risefall0lem 14057 . . . . . . 7  |-  ( 0 ... ( 0  -  1 ) )  =  (/)
76sumeq1i 13742 . . . . . 6  |-  sum_ k  e.  ( 0 ... (
0  -  1 ) ) ( ( 0  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 0  -  k )  +  1 ) ) )  =  sum_ k  e.  (/)  ( ( 0  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 0  -  k )  +  1 ) ) )
8 sum0 13765 . . . . . 6  |-  sum_ k  e.  (/)  ( ( 0  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 0  -  k )  +  1 ) ) )  =  0
97, 8eqtri 2458 . . . . 5  |-  sum_ k  e.  ( 0 ... (
0  -  1 ) ) ( ( 0  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 0  -  k )  +  1 ) ) )  =  0
109oveq2i 6316 . . . 4  |-  ( 1  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( 0  -  1 ) ) ( ( 0  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  X )  /  ( ( 0  -  k )  +  1 ) ) ) )  =  ( 1  -  0 )
11 1m0e1 10720 . . . 4  |-  ( 1  -  0 )  =  1
1210, 11eqtri 2458 . . 3  |-  ( 1  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( 0  -  1 ) ) ( ( 0  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  X )  /  ( ( 0  -  k )  +  1 ) ) ) )  =  1
135, 12syl6eq 2486 . 2  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( X ^ 0 )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... (
0  -  1 ) ) ( ( 0  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 0  -  k )  +  1 ) ) ) )  =  1 )
143, 13eqtrd 2470 1  |-  ( X  e.  CC  ->  (
0 BernPoly  X )  =  1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1437    e. wcel 1870   (/)c0 3767  (class class class)co 6305   CCcc 9536   0cc0 9538   1c1 9539    + caddc 9541    x. cmul 9543    - cmin 9859    / cdiv 10268   NN0cn0 10869   ...cfz 11782   ^cexp 12269    _C cbc 12484   sum_csu 13730   BernPoly cbp 14077
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-sup 7962  df-oi 8025  df-card 8372  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-clim 13530  df-sum 13731  df-bpoly 14078
This theorem is referenced by:  bpoly1  14082  bpolydiflem  14085  bpoly2  14088  bpoly3  14089  bpoly4  14090
  Copyright terms: Public domain W3C validator