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Theorem boxriin 7570
Description: A rectangular subset of a rectangular set can be recovered as the relative intersection of single-axis restrictions. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
boxriin  |-  ( A. x  e.  I  A  C_  B  ->  X_ x  e.  I  A  =  (
X_ x  e.  I  B  i^i  |^|_ y  e.  I  X_ x  e.  I  if ( x  =  y ,  A ,  B
) ) )
Distinct variable groups:    y, A    y, B    x, I, y
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x)

Proof of Theorem boxriin
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprl 763 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  I  A  C_  B  /\  (
z  Fn  I  /\  A. x  e.  I  ( z `  x )  e.  A ) )  ->  z  Fn  I
)
2 ssel 3459 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  B  ->  (
( z `  x
)  e.  A  -> 
( z `  x
)  e.  B ) )
32ral2imi 2814 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  I  A  C_  B  ->  ( A. x  e.  I  (
z `  x )  e.  A  ->  A. x  e.  I  ( z `  x )  e.  B
) )
43adantr 467 . . . . . 6  |-  ( ( A. x  e.  I  A  C_  B  /\  z  Fn  I )  ->  ( A. x  e.  I 
( z `  x
)  e.  A  ->  A. x  e.  I 
( z `  x
)  e.  B ) )
54impr 624 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  I  A  C_  B  /\  (
z  Fn  I  /\  A. x  e.  I  ( z `  x )  e.  A ) )  ->  A. x  e.  I 
( z `  x
)  e.  B )
6 eleq2 2496 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  =  if ( x  =  y ,  A ,  B )  ->  (
( z `  x
)  e.  A  <->  ( z `  x )  e.  if ( x  =  y ,  A ,  B ) ) )
7 eleq2 2496 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  =  if ( x  =  y ,  A ,  B )  ->  (
( z `  x
)  e.  B  <->  ( z `  x )  e.  if ( x  =  y ,  A ,  B ) ) )
8 simplr 761 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  ( z `  x
)  e.  A )  /\  x  =  y )  ->  ( z `  x )  e.  A
)
9 ssel2 3460 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  C_  B  /\  ( z `  x
)  e.  A )  ->  ( z `  x )  e.  B
)
109adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  ( z `  x
)  e.  A )  /\  -.  x  =  y )  ->  (
z `  x )  e.  B )
116, 7, 8, 10ifbothda 3945 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  C_  B  /\  ( z `  x
)  e.  A )  ->  ( z `  x )  e.  if ( x  =  y ,  A ,  B ) )
1211ex 436 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  B  ->  (
( z `  x
)  e.  A  -> 
( z `  x
)  e.  if ( x  =  y ,  A ,  B ) ) )
1312ral2imi 2814 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  I  A  C_  B  ->  ( A. x  e.  I  (
z `  x )  e.  A  ->  A. x  e.  I  ( z `  x )  e.  if ( x  =  y ,  A ,  B ) ) )
1413adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x  e.  I  A  C_  B  /\  z  Fn  I )  ->  ( A. x  e.  I 
( z `  x
)  e.  A  ->  A. x  e.  I 
( z `  x
)  e.  if ( x  =  y ,  A ,  B ) ) )
1514impr 624 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x  e.  I  A  C_  B  /\  (
z  Fn  I  /\  A. x  e.  I  ( z `  x )  e.  A ) )  ->  A. x  e.  I 
( z `  x
)  e.  if ( x  =  y ,  A ,  B ) )
161, 15jca 535 . . . . . 6  |-  ( ( A. x  e.  I  A  C_  B  /\  (
z  Fn  I  /\  A. x  e.  I  ( z `  x )  e.  A ) )  ->  ( z  Fn  I  /\  A. x  e.  I  ( z `  x )  e.  if ( x  =  y ,  A ,  B ) ) )
1716ralrimivw 2841 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  I  A  C_  B  /\  (
z  Fn  I  /\  A. x  e.  I  ( z `  x )  e.  A ) )  ->  A. y  e.  I 
( z  Fn  I  /\  A. x  e.  I 
( z `  x
)  e.  if ( x  =  y ,  A ,  B ) ) )
181, 5, 17jca31 537 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  I  A  C_  B  /\  (
z  Fn  I  /\  A. x  e.  I  ( z `  x )  e.  A ) )  ->  ( ( z  Fn  I  /\  A. x  e.  I  (
z `  x )  e.  B )  /\  A. y  e.  I  (
z  Fn  I  /\  A. x  e.  I  ( z `  x )  e.  if ( x  =  y ,  A ,  B ) ) ) )
19 simprll 771 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  I  A  C_  B  /\  (
( z  Fn  I  /\  A. x  e.  I 
( z `  x
)  e.  B )  /\  A. y  e.  I  ( z  Fn  I  /\  A. x  e.  I  ( z `  x )  e.  if ( x  =  y ,  A ,  B ) ) ) )  -> 
z  Fn  I )
20 simpr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  Fn  I  /\  A. x  e.  I  ( z `  x )  e.  if ( x  =  y ,  A ,  B ) )  ->  A. x  e.  I 
( z `  x
)  e.  if ( x  =  y ,  A ,  B ) )
2120ralimi 2819 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  I  (
z  Fn  I  /\  A. x  e.  I  ( z `  x )  e.  if ( x  =  y ,  A ,  B ) )  ->  A. y  e.  I  A. x  e.  I 
( z `  x
)  e.  if ( x  =  y ,  A ,  B ) )
22 ralcom 2990 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  I  A. x  e.  I  (
z `  x )  e.  if ( x  =  y ,  A ,  B )  <->  A. x  e.  I  A. y  e.  I  ( z `  x )  e.  if ( x  =  y ,  A ,  B ) )
23 iftrue 3916 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  if ( x  =  y ,  A ,  B )  =  A )
2423equcoms 1846 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  if ( x  =  y ,  A ,  B )  =  A )
2524eleq2d 2493 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  x  ->  (
( z `  x
)  e.  if ( x  =  y ,  A ,  B )  <-> 
( z `  x
)  e.  A ) )
2625rspcva 3181 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  I  /\  A. y  e.  I  ( z `  x )  e.  if ( x  =  y ,  A ,  B ) )  -> 
( z `  x
)  e.  A )
2726ralimiaa 2818 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  I  A. y  e.  I  (
z `  x )  e.  if ( x  =  y ,  A ,  B )  ->  A. x  e.  I  ( z `  x )  e.  A
)
2822, 27sylbi 199 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  I  A. x  e.  I  (
z `  x )  e.  if ( x  =  y ,  A ,  B )  ->  A. x  e.  I  ( z `  x )  e.  A
)
2921, 28syl 17 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  I  (
z  Fn  I  /\  A. x  e.  I  ( z `  x )  e.  if ( x  =  y ,  A ,  B ) )  ->  A. x  e.  I 
( z `  x
)  e.  A )
3029ad2antll 734 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  I  A  C_  B  /\  (
( z  Fn  I  /\  A. x  e.  I 
( z `  x
)  e.  B )  /\  A. y  e.  I  ( z  Fn  I  /\  A. x  e.  I  ( z `  x )  e.  if ( x  =  y ,  A ,  B ) ) ) )  ->  A. x  e.  I 
( z `  x
)  e.  A )
3119, 30jca 535 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  I  A  C_  B  /\  (
( z  Fn  I  /\  A. x  e.  I 
( z `  x
)  e.  B )  /\  A. y  e.  I  ( z  Fn  I  /\  A. x  e.  I  ( z `  x )  e.  if ( x  =  y ,  A ,  B ) ) ) )  -> 
( z  Fn  I  /\  A. x  e.  I 
( z `  x
)  e.  A ) )
3218, 31impbida 841 . . 3  |-  ( A. x  e.  I  A  C_  B  ->  ( (
z  Fn  I  /\  A. x  e.  I  ( z `  x )  e.  A )  <->  ( (
z  Fn  I  /\  A. x  e.  I  ( z `  x )  e.  B )  /\  A. y  e.  I  ( z  Fn  I  /\  A. x  e.  I  ( z `  x )  e.  if ( x  =  y ,  A ,  B ) ) ) ) )
33 vex 3085 . . . 4  |-  z  e. 
_V
3433elixp 7535 . . 3  |-  ( z  e.  X_ x  e.  I  A 
<->  ( z  Fn  I  /\  A. x  e.  I 
( z `  x
)  e.  A ) )
35 elin 3650 . . . 4  |-  ( z  e.  ( X_ x  e.  I  B  i^i  |^|_ y  e.  I  X_ x  e.  I  if ( x  =  y ,  A ,  B ) )  <->  ( z  e.  X_ x  e.  I  B  /\  z  e.  |^|_ y  e.  I  X_ x  e.  I  if (
x  =  y ,  A ,  B ) ) )
3633elixp 7535 . . . . 5  |-  ( z  e.  X_ x  e.  I  B 
<->  ( z  Fn  I  /\  A. x  e.  I 
( z `  x
)  e.  B ) )
37 eliin 4303 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  _V  ->  (
z  e.  |^|_ y  e.  I  X_ x  e.  I  if ( x  =  y ,  A ,  B )  <->  A. y  e.  I  z  e.  X_ x  e.  I  if ( x  =  y ,  A ,  B
) ) )
3833, 37ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( z  e.  |^|_ y  e.  I  X_ x  e.  I  if ( x  =  y ,  A ,  B
)  <->  A. y  e.  I 
z  e.  X_ x  e.  I  if (
x  =  y ,  A ,  B ) )
3933elixp 7535 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  X_ x  e.  I  if ( x  =  y ,  A ,  B
)  <->  ( z  Fn  I  /\  A. x  e.  I  ( z `  x )  e.  if ( x  =  y ,  A ,  B ) ) )
4039ralbii 2857 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  I  z  e.  X_ x  e.  I  if ( x  =  y ,  A ,  B
)  <->  A. y  e.  I 
( z  Fn  I  /\  A. x  e.  I 
( z `  x
)  e.  if ( x  =  y ,  A ,  B ) ) )
4138, 40bitri 253 . . . . 5  |-  ( z  e.  |^|_ y  e.  I  X_ x  e.  I  if ( x  =  y ,  A ,  B
)  <->  A. y  e.  I 
( z  Fn  I  /\  A. x  e.  I 
( z `  x
)  e.  if ( x  =  y ,  A ,  B ) ) )
4236, 41anbi12i 702 . . . 4  |-  ( ( z  e.  X_ x  e.  I  B  /\  z  e.  |^|_ y  e.  I  X_ x  e.  I  if ( x  =  y ,  A ,  B
) )  <->  ( (
z  Fn  I  /\  A. x  e.  I  ( z `  x )  e.  B )  /\  A. y  e.  I  ( z  Fn  I  /\  A. x  e.  I  ( z `  x )  e.  if ( x  =  y ,  A ,  B ) ) ) )
4335, 42bitri 253 . . 3  |-  ( z  e.  ( X_ x  e.  I  B  i^i  |^|_ y  e.  I  X_ x  e.  I  if ( x  =  y ,  A ,  B ) )  <->  ( ( z  Fn  I  /\  A. x  e.  I  (
z `  x )  e.  B )  /\  A. y  e.  I  (
z  Fn  I  /\  A. x  e.  I  ( z `  x )  e.  if ( x  =  y ,  A ,  B ) ) ) )
4432, 34, 433bitr4g 292 . 2  |-  ( A. x  e.  I  A  C_  B  ->  ( z  e.  X_ x  e.  I  A 
<->  z  e.  ( X_ x  e.  I  B  i^i  |^|_ y  e.  I  X_ x  e.  I  if ( x  =  y ,  A ,  B
) ) ) )
4544eqrdv 2420 1  |-  ( A. x  e.  I  A  C_  B  ->  X_ x  e.  I  A  =  (
X_ x  e.  I  B  i^i  |^|_ y  e.  I  X_ x  e.  I  if ( x  =  y ,  A ,  B
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1438    e. wcel 1869   A.wral 2776   _Vcvv 3082    i^i cin 3436    C_ wss 3437   ifcif 3910   |^|_ciin 4298    Fn wfn 5594   ` cfv 5599   X_cixp 7528
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ral 2781  df-rex 2782  df-rab 2785  df-v 3084  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3763  df-if 3911  df-sn 3998  df-pr 4000  df-op 4004  df-uni 4218  df-iin 4300  df-br 4422  df-opab 4481  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-fv 5607  df-ixp 7529
This theorem is referenced by:  ptcld  20620  kelac1  35847
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