Theorem bopcn 9263

Description: Conditions for a binary operation O on CC to be continuous.

Hypotheses

Ref	Expression
bopcn.1	|- C = (abs o. - )
bopcn.2	|- D = {<.<.w, v>., u>. | ((w e. (CC X. CC) /\ v e. (CC X. CC)) /\ u = sup({((1st` w)C(1st` v)), ((2nd` w)C(2nd` v))}, RR, < ))}
bopcn.j	|- J = (Open` C)
bopcn.k	|- K = (Open` D)
bopcn.5	|- O:(CC X. CC)-->CC
bopcn.6	|- F = {<.k, r>. | (k e. NN /\ r = (1st` (h` k)))}
bopcn.7	|- G = {<.k, r>. | (k e. NN /\ r = (2nd` (h` k)))}
bopcn.9	|- (((1st` (h` k)) e. CC /\ (2nd` (h` k)) e. CC) -> ((1st` (h` k))O(2nd` (h` k))) e. CC)
bopcn.10	|- (((F ~~> (1st` q) /\ G ~~> (2nd` q)) /\ (1 e. ZZ /\ A.m e. (ZZ>=` 1)((F` m) e. CC /\ (G` m) e. CC /\ (H` m) = ((F` m)O(G` m))))) -> H ~~> ((1st` q)O(2nd` q)))
bopcn.8	|- H = {<.k, r>. | (k e. NN /\ r = (O` (h` k)))}

Assertion

Ref	Expression
bopcn	|- O e. (K Cn J)

Distinct variable groups:   h,q,u,v,w,C   h,m,D,q   u,m,v,w,F   m,G,u,v,w   H,q   J,q   K,q   h,k,r,O,q   k,m,u,v,w,r

Proof of Theorem bopcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bopcn.1	. . . . 5 |- C = (abs o. - )
2	1	cnmetba 9181	. . . 4 |- CC = dom dom C
3	1	cnmet 9182	. . . 4 |- C e. Met
4		bopcn.2	. . . 4 |- D = {<.<.w, v>., u>. | ((w e. (CC X. CC) /\ v e. (CC X. CC)) /\ u = sup({((1st` w)C(1st` v)), ((2nd` w)C(2nd` v))}, RR, < ))}
5	2, 2, 3, 3, 4	metxp 9111	. . 3 |- D e. Met
6		bopcn.5	. . 3 |- O:(CC X. CC)-->CC
7		ltso 6681	. . . . . . . 8 |- < Or RR
8	7	supex 5667	. . . . . . 7 |- sup({((1st` w)C(1st` v)), ((2nd` w)C(2nd` v))}, RR, < ) e. _V
9	8, 4	dmoprab2 5065	. . . . . 6 |- dom D = ((CC X. CC) X. (CC X. CC))
10	9	dmeqi 4158	. . . . 5 |- dom dom D = dom ((CC X. CC) X. (CC X. CC))
11		dmxpid 4179	. . . . 5 |- dom ((CC X. CC) X. (CC X. CC)) = (CC X. CC)
12	10, 11	eqtr2i 1909	. . . 4 |- (CC X. CC) = dom dom D
13		bopcn.k	. . . 4 |- K = (Open` D)
14		bopcn.j	. . . 4 |- J = (Open` C)
15		bopcn.8	. . . 4 |- H = {<.k, r>. | (k e. NN /\ r = (O` (h` k)))}
16	12, 2, 13, 14, 15	metcn4 9249	. . 3 |- ((D e. Met /\ C e. Met /\ O:(CC X. CC)-->CC) -> (O e. (K Cn J) <-> A.h(h:NN-->(CC X. CC) -> A.q e. (CC X. CC)(h(~~>m` D)q -> H(~~>m` C)(O` q)))))
17	5, 3, 6, 16	mp3an 1191	. 2 |- (O e. (K Cn J) <-> A.h(h:NN-->(CC X. CC) -> A.q e. (CC X. CC)(h(~~>m` D)q -> H(~~>m` C)(O` q))))
18		bopcn.6	. . . . . 6 |- F = {<.k, r>. | (k e. NN /\ r = (1st` (h` k)))}
19		bopcn.7	. . . . . 6 |- G = {<.k, r>. | (k e. NN /\ r = (2nd` (h` k)))}
20		bopcn.9	. . . . . 6 |- (((1st` (h` k)) e. CC /\ (2nd` (h` k)) e. CC) -> ((1st` (h` k))O(2nd` (h` k))) e. CC)
21		bopcn.10	. . . . . 6 |- (((F ~~> (1st` q) /\ G ~~> (2nd` q)) /\ (1 e. ZZ /\ A.m e. (ZZ>=` 1)((F` m) e. CC /\ (G` m) e. CC /\ (H` m) = ((F` m)O(G` m))))) -> H ~~> ((1st` q)O(2nd` q)))
22	1, 4, 14, 13, 6, 18, 19, 20, 21, 15	bopcnlem4 9262	. . . . 5 |- ((h:NN-->(CC X. CC) /\ h(~~>m` D)q) -> H(~~>m` C)(O` q))
23	22	ex 402	. . . 4 |- (h:NN-->(CC X. CC) -> (h(~~>m` D)q -> H(~~>m` C)(O` q)))
24	23	adantr 425	. . 3 |- ((h:NN-->(CC X. CC) /\ q e. (CC X. CC)) -> (h(~~>m` D)q -> H(~~>m` C)(O` q)))
25	24	r19.21aiva 2176	. 2 |- (h:NN-->(CC X. CC) -> A.q e. (CC X. CC)(h(~~>m` D)q -> H(~~>m` C)(O` q)))
26	17, 25	mpgbir 1334	1 |- O e. (K Cn J)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  {cpr 3045   class class class wbr 3338  {copab 3395   X. cxp 3984  dom cdm 3986   o. ccom 3990  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  {copab2 4885  1stc1st 5018  2ndc2nd 5019  supcsup 5663  CCcc 6384  RRcr 6385  1c1 6387   - cmin 6445  NNcn 6449  ZZcz 6451   < clt 6653  ZZ>=cuz 7586  abscabs 8000   ~~> cli 8234   Cn ccn 9028  Metcme 9066  Opencopn 9069  ~~>mclm 9197

This theorem is referenced by:  addcn 9264  subcn 9265  mulcn 9266

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-reg 5695  ax-inf2 5731  ax-ac 5906

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-iin 3258  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-map 5383  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-r1 5750  df-rank 5751  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-n0 7309  df-z 7345  df-fl 7463  df-uz 7587  df-seq1 7721  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-clim 8235  df-top 8861  df-cn 9030  df-cnp 9031  df-met 9070  df-bl 9072  df-opn 9073  df-lm 9200

Copyright terms: Public domain