Theorem bnsscmcl 24414

Description: A subspace of a Banach space is a Banach space iff it is closed in the norm-induced metric of the parent space. (Contributed by NM, 1-Feb-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
bnsscmcl.x	|- X = ( BaseSet ` U )
bnsscmcl.d	|- D = ( IndMet ` U )
bnsscmcl.j	|- J = ( MetOpen ` D )
bnsscmcl.h	|- H = ( SubSp ` U )
bnsscmcl.y	|- Y = ( BaseSet ` W )

Assertion

Ref	Expression
bnsscmcl	|- ( ( U e. CBan /\ W e. H ) -> ( W e. CBan <-> Y e. ( Clsd ` J ) ) )

Proof of Theorem bnsscmcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bnnv 24412	. . . 4 |- ( U e. CBan -> U e. NrmCVec )
2		bnsscmcl.h	. . . . 5 |- H = ( SubSp ` U )
3	2	sspnv 24269	. . . 4 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. H ) -> W e. NrmCVec )
4	1, 3	sylan 471	. . 3 |- ( ( U e. CBan /\ W e. H ) -> W e. NrmCVec )
5		bnsscmcl.y	. . . . 5 |- Y = ( BaseSet ` W )
6		eqid 2451	. . . . 5 |- ( IndMet ` W ) = ( IndMet ` W )
7	5, 6	iscbn 24410	. . . 4 |- ( W e. CBan <-> ( W e. NrmCVec /\ ( IndMet ` W ) e. ( CMet ` Y ) ) )
8	7	baib 896	. . 3 |- ( W e. NrmCVec -> ( W e. CBan <-> ( IndMet ` W ) e. ( CMet ` Y ) ) )
9	4, 8	syl 16	. 2 |- ( ( U e. CBan /\ W e. H ) -> ( W e. CBan <-> ( IndMet ` W ) e. ( CMet ` Y ) ) )
10		bnsscmcl.d	. . . . 5 |- D = ( IndMet ` U )
11	5, 10, 6, 2	sspims 24284	. . . 4 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. H ) -> ( IndMet ` W ) = ( D |` ( Y X. Y ) ) )
12	1, 11	sylan 471	. . 3 |- ( ( U e. CBan /\ W e. H ) -> ( IndMet ` W ) = ( D |` ( Y X. Y ) ) )
13	12	eleq1d 2520	. 2 |- ( ( U e. CBan /\ W e. H ) -> ( ( IndMet ` W ) e. ( CMet ` Y ) <-> ( D |` ( Y X. Y ) ) e. ( CMet ` Y ) ) )
14		bnsscmcl.x	. . . . 5 |- X = ( BaseSet ` U )
15	14, 10	cbncms 24411	. . . 4 |- ( U e. CBan -> D e. ( CMet ` X ) )
16	15	adantr 465	. . 3 |- ( ( U e. CBan /\ W e. H ) -> D e. ( CMet ` X ) )
17		bnsscmcl.j	. . . 4 |- J = ( MetOpen ` D )
18	17	cmetss 20950	. . 3 |- ( D e. ( CMet ` X ) -> ( ( D |` ( Y X. Y ) ) e. ( CMet ` Y ) <-> Y e. ( Clsd ` J ) ) )
19	16, 18	syl 16	. 2 |- ( ( U e. CBan /\ W e. H ) -> ( ( D |` ( Y X. Y ) ) e. ( CMet ` Y ) <-> Y e. ( Clsd ` J ) ) )
20	9, 13, 19	3bitrd 279	1 |- ( ( U e. CBan /\ W e. H ) -> ( W e. CBan <-> Y e. ( Clsd ` J ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1370   e. wcel 1758   X. cxp 4939   |` cres 4943   ` cfv 5519   MetOpencmopn 17924   Clsdccld 18745   CMetcms 20890   NrmCVeccnv 24107   BaseSetcba 24109   IndMetcims 24114   SubSpcss 24264   CBanccbn 24408

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463  ax-pre-sup 9464

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-iin 4275  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-1o 7023  df-oadd 7027  df-er 7204  df-map 7319  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-fin 7417  df-fi 7765  df-sup 7795  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-div 10098  df-nn 10427  df-2 10484  df-n0 10684  df-z 10751  df-uz 10966  df-q 11058  df-rp 11096  df-xneg 11193  df-xadd 11194  df-xmul 11195  df-ico 11410  df-icc 11411  df-rest 14472  df-topgen 14493  df-psmet 17927  df-xmet 17928  df-met 17929  df-bl 17930  df-mopn 17931  df-fbas 17932  df-fg 17933  df-top 18628  df-bases 18630  df-topon 18631  df-cld 18748  df-ntr 18749  df-cls 18750  df-nei 18827  df-haus 19044  df-fil 19544  df-flim 19637  df-cfil 20891  df-cmet 20893  df-grpo 23823  df-gid 23824  df-ginv 23825  df-gdiv 23826  df-ablo 23914  df-vc 24069  df-nv 24115  df-va 24118  df-ba 24119  df-sm 24120  df-0v 24121  df-vs 24122  df-nmcv 24123  df-ims 24124  df-ssp 24265  df-cbn 24409

This theorem is referenced by: (None)