Theorem bnsscmcl 9870

Description: A subspace of a Banach space is a Banach space iff it is closed in the norm-induced metric of the parent space.

Hypotheses

Ref	Expression
bnsscmcl.x	|- X = (BaseSet` U)
bnsscmcl.d	|- D = (IndMet` U)
bnsscmcl.j	|- J = (Open` D)
bnsscmcl.h	|- H = (SubSp` U)
bnsscmcl.y	|- Y = (BaseSet` W)

Assertion

Ref	Expression
bnsscmcl	|- ((U e. CBan /\ W e. H) -> (W e. CBan <-> Y e. (Clsd` J)))

Proof of Theorem bnsscmcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bnsscmcl.h	. . . . 5 |- H = (SubSp` U)
2	1	sspnv 9724	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. H) -> W e. NrmCVec)
3		bnnv 9868	. . . 4 |- (U e. CBan -> U e. NrmCVec)
4	2, 3	sylan 497	. . 3 |- ((U e. CBan /\ W e. H) -> W e. NrmCVec)
5		eqid 1884	. . . . 5 |- (IndMet` W) = (IndMet` W)
6	5	isbn 9866	. . . 4 |- (W e. CBan <-> (W e. NrmCVec /\ (IndMet` W) e. CMet))
7	6	baib 749	. . 3 |- (W e. NrmCVec -> (W e. CBan <-> (IndMet` W) e. CMet))
8	4, 7	syl 12	. 2 |- ((U e. CBan /\ W e. H) -> (W e. CBan <-> (IndMet` W) e. CMet))
9		bnsscmcl.y	. . . . 5 |- Y = (BaseSet` W)
10		bnsscmcl.d	. . . . 5 |- D = (IndMet` U)
11	9, 10, 5, 1	sspims 9739	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. H) -> (IndMet` W) = (D |` (Y X. Y)))
12	11, 3	sylan 497	. . 3 |- ((U e. CBan /\ W e. H) -> (IndMet` W) = (D |` (Y X. Y)))
13	12	eleq1d 1963	. 2 |- ((U e. CBan /\ W e. H) -> ((IndMet` W) e. CMet <-> (D |` (Y X. Y)) e. CMet))
14	10	bncms 9867	. . . 4 |- (U e. CBan -> D e. CMet)
15	14	adantr 425	. . 3 |- ((U e. CBan /\ W e. H) -> D e. CMet)
16		bnsscmcl.x	. . . . . 6 |- X = (BaseSet` U)
17	16, 9, 1	sspba 9725	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. H) -> Y C_ X)
18	16, 10	imsba 9653	. . . . . 6 |- (U e. NrmCVec -> X = dom dom D)
19	18	adantr 425	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. H) -> X = dom dom D)
20	17, 19	sseqtrd 2653	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. H) -> Y C_ dom dom D)
21	20, 3	sylan 497	. . 3 |- ((U e. CBan /\ W e. H) -> Y C_ dom dom D)
22		eqid 1884	. . . 4 |- dom dom D = dom dom D
23		bnsscmcl.j	. . . 4 |- J = (Open` D)
24	22, 23	cmsss 9275	. . 3 |- ((D e. CMet /\ Y C_ dom dom D) -> ((D |` (Y X. Y)) e. CMet <-> Y e. (Clsd` J)))
25	15, 21, 24	syl11anc 524	. 2 |- ((U e. CBan /\ W e. H) -> ((D |` (Y X. Y)) e. CMet <-> Y e. (Clsd` J)))
26	8, 13, 25	3bitrd 603	1 |- ((U e. CBan /\ W e. H) -> (W e. CBan <-> Y e. (Clsd` J)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300   C_ wss 2593   X. cxp 3984  dom cdm 3986   |` cres 3988  ` cfv 3998  Clsdccld 8936  Opencopn 9069  CMetcms 9199  NrmCVeccnv 9535  BaseSetcba 9537  IndMetcims 9542  SubSpcss 9719  CBancbn 9864

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-reg 5695  ax-inf2 5731  ax-ac 5906

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-iin 3258  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-r1 5750  df-rank 5751  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-n0 7309  df-z 7345  df-fl 7463  df-uz 7587  df-top 8861  df-cld 8939  df-ntr 8940  df-cls 8941  df-nei 8989  df-lp 9017  df-met 9070  df-bl 9072  df-opn 9073  df-lm 9200  df-cau 9201  df-cmet 9202  df-grp 9316  df-gid 9317  df-ginv 9318  df-gdiv 9319  df-abl 9408  df-vc 9497  df-nv 9543  df-va 9546  df-ba 9547  df-sm 9548  df-0v 9549  df-vs 9550  df-nm 9551  df-ims 9552  df-ssp 9720  df-bn 9865

Copyright terms: Public domain