Theorem bnsscmcl 25982

Description: A subspace of a Banach space is a Banach space iff it is closed in the norm-induced metric of the parent space. (Contributed by NM, 1-Feb-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
bnsscmcl.x	|- X = ( BaseSet ` U )
bnsscmcl.d	|- D = ( IndMet ` U )
bnsscmcl.j	|- J = ( MetOpen ` D )
bnsscmcl.h	|- H = ( SubSp ` U )
bnsscmcl.y	|- Y = ( BaseSet ` W )

Assertion

Ref	Expression
bnsscmcl	|- ( ( U e. CBan /\ W e. H ) -> ( W e. CBan <-> Y e. ( Clsd ` J ) ) )

Proof of Theorem bnsscmcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bnnv 25980	. . . 4 |- ( U e. CBan -> U e. NrmCVec )
2		bnsscmcl.h	. . . . 5 |- H = ( SubSp ` U )
3	2	sspnv 25837	. . . 4 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. H ) -> W e. NrmCVec )
4	1, 3	sylan 469	. . 3 |- ( ( U e. CBan /\ W e. H ) -> W e. NrmCVec )
5		bnsscmcl.y	. . . . 5 |- Y = ( BaseSet ` W )
6		eqid 2454	. . . . 5 |- ( IndMet ` W ) = ( IndMet ` W )
7	5, 6	iscbn 25978	. . . 4 |- ( W e. CBan <-> ( W e. NrmCVec /\ ( IndMet ` W ) e. ( CMet ` Y ) ) )
8	7	baib 901	. . 3 |- ( W e. NrmCVec -> ( W e. CBan <-> ( IndMet ` W ) e. ( CMet ` Y ) ) )
9	4, 8	syl 16	. 2 |- ( ( U e. CBan /\ W e. H ) -> ( W e. CBan <-> ( IndMet ` W ) e. ( CMet ` Y ) ) )
10		bnsscmcl.d	. . . . 5 |- D = ( IndMet ` U )
11	5, 10, 6, 2	sspims 25852	. . . 4 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. H ) -> ( IndMet ` W ) = ( D |` ( Y X. Y ) ) )
12	1, 11	sylan 469	. . 3 |- ( ( U e. CBan /\ W e. H ) -> ( IndMet ` W ) = ( D |` ( Y X. Y ) ) )
13	12	eleq1d 2523	. 2 |- ( ( U e. CBan /\ W e. H ) -> ( ( IndMet ` W ) e. ( CMet ` Y ) <-> ( D |` ( Y X. Y ) ) e. ( CMet ` Y ) ) )
14		bnsscmcl.x	. . . . 5 |- X = ( BaseSet ` U )
15	14, 10	cbncms 25979	. . . 4 |- ( U e. CBan -> D e. ( CMet ` X ) )
16	15	adantr 463	. . 3 |- ( ( U e. CBan /\ W e. H ) -> D e. ( CMet ` X ) )
17		bnsscmcl.j	. . . 4 |- J = ( MetOpen ` D )
18	17	cmetss 21919	. . 3 |- ( D e. ( CMet ` X ) -> ( ( D |` ( Y X. Y ) ) e. ( CMet ` Y ) <-> Y e. ( Clsd ` J ) ) )
19	16, 18	syl 16	. 2 |- ( ( U e. CBan /\ W e. H ) -> ( ( D |` ( Y X. Y ) ) e. ( CMet ` Y ) <-> Y e. ( Clsd ` J ) ) )
20	9, 13, 19	3bitrd 279	1 |- ( ( U e. CBan /\ W e. H ) -> ( W e. CBan <-> Y e. ( Clsd ` J ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   = wceq 1398   e. wcel 1823   X. cxp 4986   |` cres 4990   ` cfv 5570   MetOpencmopn 18603   Clsdccld 19684   CMetcms 21859   NrmCVeccnv 25675   BaseSetcba 25677   IndMetcims 25682   SubSpcss 25832   CBanccbn 25976

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fi 7863  df-sup 7893  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-ico 11538  df-icc 11539  df-rest 14912  df-topgen 14933  df-psmet 18606  df-xmet 18607  df-met 18608  df-bl 18609  df-mopn 18610  df-fbas 18611  df-fg 18612  df-top 19566  df-bases 19568  df-topon 19569  df-cld 19687  df-ntr 19688  df-cls 19689  df-nei 19766  df-haus 19983  df-fil 20513  df-flim 20606  df-cfil 21860  df-cmet 21862  df-grpo 25391  df-gid 25392  df-ginv 25393  df-gdiv 25394  df-ablo 25482  df-vc 25637  df-nv 25683  df-va 25686  df-ba 25687  df-sm 25688  df-0v 25689  df-vs 25690  df-nmcv 25691  df-ims 25692  df-ssp 25833  df-cbn 25977

This theorem is referenced by: (None)